【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.2.1 函数的单调性(一)备考练习苏教版

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【浙江专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】常考题型强化练——函数

常考题型强化练——函数一、选择题1． (2011·江西)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.2． (2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x 答案 A解析利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解．对于A 选项，可看成由函数y ＝ln u ，u ＝x ＋2复合而成，由于两函数都为增函数，单调性相同，所以函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数． B 、C 均为减函数．对于D 选项，y ＝x ＋1x在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数．3． (2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)等于 ( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12答案 A解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (－52)＝f (－52＋2)＝f (－12)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12.4． (2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析先判断函数的单调性，再确定零点．因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．二、填空题5． (2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3) ＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.6． (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析先求出函数g (x )＝|x －a |的单调区间，再结合复合函数单调性判断． g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)．∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.7． (2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案－1解析先利用奇函数条件求出f (x )与f (－x )的关系． ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0. ∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 三、解答题8． (2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 9． (2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．B 组专项能力提升一、选择题1． (2011·四川)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是 ( )答案 A解析函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象．2． (2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， ∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时， f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5.x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7.3． (2012·福建)函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 答案 D解析通过构造某些特殊函数，排除不合适的选项，利用反证法证明③正确，再两次应用定义式证明④正确．令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确；令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ，但f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P ，因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确；对于选项③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1，因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3，由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，故上式矛盾．即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故选项③正确．对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422 ≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42 ≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，即选项④正确．二、填空题4． (2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析由f (x )的周期为2，得f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12是关键．因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.5． (2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.答案 32解析对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1. (2)当a <1时，∵x >0，∴(a －1)x －1<0，不等式可化为： x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.6． (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________．答案－4<m <－2解析将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解； ②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．若g (x )＝2x －2<0，则x <1. 又∵∀x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知， m 不可能大于或等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0. 当2m ＝－m －3，即m ＝－1时， f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足条件．当2m >－m －3，即－1<m <0时， f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}．依题意2m <1，即m <12，∴－1<m <0.当2m <－m －3，即m <－1时， f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}．依题意－m －3<1，即m >－4，∴－4<m <－1. 因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0. ②中，∵当x ∈(－∞，－4)时，g (x )＝2x －2<0， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>0，即f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3，即－m－3<－4，∴m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，∴m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.三、解答题7．(2012·福建)已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.解(1)由于f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝e x－e x.此时f′(x)＝e x－e.由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x>x0时，g′(x)>0，则当x>x0时，g(x)>g(x0)＝0；当x<x0时，g′(x)<0，则当x<x0时，g(x)>g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．②若a<0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)<0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)>0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．a ．若x 0＝x *，当x ∈(－∞，x *)时， g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0；当x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0.所以g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *. b ．若x 0>x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )<h (x 0)＝0， g (x )>g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)>0. 又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)<e x 1＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋ x 0f ′(x 0) ＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－(e ＋f ′(x 0))，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a <0，则必存在x 2<x 1，使得ax 22＋bx 2＋c <0.所以g (x 2)<0，故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点，即g (x )在R 上至少有两个零点． c ．若x 0<x *，仿b 并利用e x>x 36，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点．综上所述，当a <0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章函数2.1.2(二)

填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.2(二)
1．在求函数解析式时，若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称
本这个方法为消元法．课时 2．分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的栏解析表达式目 ________________，像这样的函数叫做分段函数．开并关 3．分段函数定义域是各段定义域的________集，其值域是各段值域
2.1.2(二)
2.1.2 函数的表示方法(二)
【学习要求】 1.进一步掌握求函数解析式的方法；
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2.了解分段函数的定义； 3.学会求分段函数的定义域、值域； 4.学会运用函数图象来研究分段函数．【学法指导】通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力.
(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先
本课要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析表达式；时画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．栏目开关
研一研•问题探究、课堂更高效
2.1.2(二)
跟踪训练 3 某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地，在 B 地停留 1 h 后，再以 50 km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的路程 s(km)表示为时间 t(h)(从 A 地出发是开始)的函
本课时栏目开关
凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解． 2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．

【步步高】2014届高考数学一轮复习第2章章末检测备考练习苏教版

章末检测一、填空题1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________. 2．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 3．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为5.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15S 5＝________.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n＝________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 9．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n －1a n －1－a n ＝a n a n ＋1a n －a n ＋1，则此数列的第10项a 10＝________.10．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项．14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号) 二、解答题15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．16．已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .19．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？答案1．88 2.8 3.－1或2 4.1 5．15 6.34 7.2n8.20 9.15 10.1 11．－7 12.313．50 14．①②④15．(1)解设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．16．(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n＋1. (2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n <1.17．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n ＝－2n n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.18．(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n－1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 19．解当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1 ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)，整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1. 20．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，n －1a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.2.1 常见函数的导数备考练习苏教版

§3.2 导数的运算3．2.1 常见函数的导数一、基础过关1．下列结论中正确的个数为________．①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12； ②f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227； ③f (x )＝2x ，则f ′(x )＝2xln 2；④f (x )＝log 2x ，则f ′(x )＝1x ln 2. 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________． 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________．4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有________条．5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.9．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________．10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．32.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－23．44．25．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .8．649．e10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23′＝23x －13， ∴在P (8,4)处曲线的切线斜率k ＝23×8－13＝13. ∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。

【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.2 函数的单调性与最值配套课件理新人教A版

利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知
数 a 的取值范围．
数，依据函数的图象或单调性定
义，确定函数的单调区间，与已
知单调区间比较求参．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】若函数 f(x)＝axx＋－11在 (－∞，－1)上是减函数，求实
思维启迪解析探究提高
(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解析探究提高
题型分类·深度剖析
题型一
函数单调性的判断
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
思维启迪解析探究提高
可利用定义或导数法讨论函数的单调性．
题型分类·深度剖析
题型一
函数单调性的判断
思维启迪
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1
—下结论．
题型分类·深度剖析
变式训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ax (x>0)，证明函数 f(x)
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
证明设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1x2x2(x1x2－a)．当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0，
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】若函数 f(x)＝axx＋－11在
思维启迪解析探究提高
(－∞，－1)上是减函数，求实
数 a 的取值范围．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章函数2.2.1(二)

本课时栏目开关
函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部位取得？函数的最大、最小值各是什么 ?
答曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为 9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
研一研•问题探究、课堂更高效
2.2.1(二)
问题 2 根据问题 1 的讨论，你能给函数的最大值及最小值下个定义吗？
证明
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因为当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数，
所以对于任意 x∈[a，c]，都有 f(x)≤f(c)．
又因为当 x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数，所以对于任意 x∈[c，b]，都有 f(x)≤f(c)．因此，对于任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤f(c)，即 f(x)在 x＝c 时取得最大值．
本课时栏目开关
解析观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为 f(－2)＝－1，最高点的纵坐标为 2.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(二)
1 有最大值1， 2．下列关于函数 f(x)＝在[1，＋∞)上的最值情况为____________ x
无最小值 ______________．
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1(二)
最高点 3．函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的____________和最低点 ____________．
4．函数单调性与最值的关系：已知函数 y＝f(x)的定义域是[a，b]，
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a<c<b.当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当 x∈[c，b]时，f(x)
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【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.2函数的单调性与最值文档专练文

§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断．解设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．题型二利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ，当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。

【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题二第三讲

题型与方法
第三讲
解析
函数 f(x)＝2x－2 是把函数 y＝2x 的图象向下平移两个单
位得到的图象，
由 2x－2<0 得 x<1，即在(－∞，1)上，函数 f(x)＝2x－2 的图象位于 x 轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方后得到函数 y＝|f(x)|的图象.故选 B.
第三讲
x<g x， x≥ g x，
则 f(x)的值域是
(
)
9 A.[－， 0]∪ (1，＋∞ ) 4 9 C.[－，＋∞ ) 4
B.[0，＋∞ ) 9 D.[－， 0]∪ (2，＋∞ ) 4
解析由 x<g(x)得 x<x2－2，∴x<－1 或 x>2；
由 x≥g(x)得 x≥x2－2，∴－1≤x≤2.
所以 a>0，
当 a<0 时，由 f(1－a)≥f(1＋a)得： 3 －1＋a－2a≥2＋2a＋a，解得 a≤－4， 3 综上可知，a 的取值范围为 a≤－或 a>0. 4
题型与方法
变式训练 1 设函数 g(x)＝ x2－ 2(x∈ R)，
g x＋ x＋ 4， f(x)＝ g x－ x，
5.(2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时，f(x) ＝x2－4x，则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 (－5,0)∪(5，＋∞) ____________________.
解析因此
由已知 f(0)＝0，当 x<0 时， f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，
真题感悟
第三讲
1.(2013· 江西)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

2014届高考数学一轮复习第5讲《单调性》热点针对训练理

第5讲函数的性质一——单调性1.(2013·吉林市期末质检)下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( C )A ．y ＝log 12xB ．y ＝1xC ．y ＝sin xD ．y ＝x 2－x2.(2013·安徽宿州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( B )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：因为y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0且－b >0，即a <0，b <0，则函数y ＝ax 2＋bx 对称轴方程为x ＝－b 2a<0，且图象开口向下，故函数y ＝ax 2＋bx 的减区间为[－b 2a，＋∞)，所以y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数，故选B.3.(2012·广东省肇庆市第二次模拟)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f (3x －2)<f (1)，则实数x 的取值范围是(B )A ．(－∞，1)B ．(23，1) C ．(23，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2>03x －2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >23x <1，所以x ∈(23，1)，故选B. 4.(改编)若函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( C )A ．a <1B ．a >1C ．a ≤1D ．a ≥1解析：因为f (x )＝|x |在区间[0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝|x －a |的图象是由f (x )＝|x |的图象向左(右)平移|a |个单位得到的，所以f (x )＝|x －a |在区间[a ，＋∞)上为增函数，由题意可知a ≤1，故选C.5.函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为 [34，＋∞) . 解析：因为t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，所以t ＝2x 2－3x ＋1在[34，＋∞)上是增函数，(－∞，34]上是减函数，又y ＝(12)t 在R 上是减函数，所以y ＝(12)2x 2－3x ＋1在[34，＋∞)上是减函数． 6.(1)函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上递增，则b 的取值范围是 b ≥0 ；(2)函数y ＝x 2＋bx ＋c 的单调增区间是[0，＋∞)，则b 的值为 0 .7.(2013·日照市模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a xx 4－a2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 [4,8) .解析：因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a ，解得4≤a <8.8.(2012·山东省德州市期末考试)已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f (2－x x)＜2. 解析：(1)由f (－a )＋f (a )＝0可得f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，由f (－3)＝2，得f (0)<f (－3)，又f (x )在R 上是单调函数，所以f (x )为R 上的减函数．(2)因为f (－3)＝2，所以f (2－x x )＜2等价于f (2－x x )＜f (－3)，又由(1)可得2－x x＞－3，即x ＋1x＞0，解得x <－1或x >0，所以，不等式的解集为{x |x <－1或x >0}．9.判断函数f (x )＝axx ＋1(a ≠0)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解析：当a >0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a <0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．证明：设－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1 ＝ax 1x 2＋－ax2x 1＋x 1＋x 2＋＝ax 1－x 2x 1＋x 2＋. 因为－1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，又当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是减函数．或用导数法：因为f ′(x )＝a x ＋2(x >－1)，当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(－1，＋∞)上递增；当a <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上递减．。

【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习2.1函数及其表示

2.1 函数及其表示一、填空题1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则＝________.解析本题主要考查分段函数问题．正确利用分段函数来进行分段求值．∵f (2)＝4，∴＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.答案 15162. 若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．解析当x <0时，f (x )＝2x ∈(0,1)，故y ＝f (f (x ))＝－2－f (x )∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，故y ＝f (f (x ))＝2f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，从而原函数的值域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12x x ，1xx ＜，若f (a )＝a ，则实数a 的值是________．解析当a ≥0时，1－12a ＝a ，所以a ＝23.当a ＜0时，1a＝a ，所以a ＝－1.答案23或－1 4．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的序号有________．解析由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个x 对应着一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．5.下列函数中与函数y =x 相同的是_______． ①；② ；③； ④ 解析因为所以应天②. 答案 ②6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案 117．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析当1－a ＜1，即a ＞0时，a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)．当1－a ＞1，即a ＜0时，a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34.答案－348．若f (x )＝1log12x ＋，则f (x )的定义域为________．解析因为log 12(2x ＋1)＞0，所以0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，09.设函数f (x )=若f (-3)=f (0),f (-1)=-2,则关于x 的方程f (x)=x 的解的个数为______．解析由f(-3)=f(0),f(-1)=-2可得b=3,c=0,从而方程f(x)=x 等价于或解得到x=0或x=-2,从而得方程f(x)=x 的解的个数为3.10．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析当(x 2－2)－(x －1)≤1时，－1≤x ≤2，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x ＜－1或x ＞2，f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 恰有两个解，由图象可知当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时满足条件．答案 (－2，－1]∪(1,2]11．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为________．解析因为a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b·b 2a ＝52＋2＝92，所以－12a －2b ≤－92，所以－12a －2b 的上确界为－92. 答案－9212．设函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为________．解析令x ＝1，f (3)＝1f＝－15.由f (x ＋2)＝1f x得f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )，所以f (5)＝f (1)＝－5，则f (f (5))＝f (－5)＝f (－1) ＝1f－1＋＝1f＝－15.答案－1513．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为________．解析 f (x )＝lg2＋x 2－x 有意义，则2＋x2－x＞0，即(x ＋2)(x －2)＜0，∴－2＜x ＜2. 对f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x2＜2，－2＜2x ＜2⇒⎩⎨⎧－4＜x ＜4，x ＜－1或x ＞1.∴－4＜x ＜－1，或1＜x ＜4. 答案 (－4，－1)∪(1,4) 二、解答题14．已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x －a 的定义域为A ，值域为B .(1)当a ＝4时，求集合A ；(2)当B ＝R 时，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝4时，由x ＋3x －4＝x 2－4x ＋3x＝x －x －x＞0，解得0＜x ＜1或x ＞3，故A ＝{x |0＜x ＜1或x ＞3}．(2)若B ＝R ，只有u ＝x ＋3x－a 可取到一切正实数，则x ＞0及u min ≤0，∴u min ＝23－a ≤0. 解得a ≥2 3.实数a 的取值范围为[23，＋∞)． 15．已知函数f (x )＝2a ＋1a－1a 2x，常数a ＞0.(1)设m ·n ＞0，证明：函数f (x )在[m ，n ]上单调递增；(2)设0＜m ＜n 且f (x )的定义域和值域都是[m ，n ]，求常数a 的取值范围．解析 (1)证明任取x 1，x 2∈[m ，n ]，且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1a 2·x 1－x 2x 1x 2.因为x 1＜x 2，x 1，x 2∈[m ，n ]，所以x 1x 2＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[m ，n ]上单调递增．(2) 因为f (x )在[m ，n ]上单调递增，f (x )的定义域、值域都是[m ，n ]⇔f (m )＝m ，f (n )＝n ，即m ，n 是方程2a ＋1a－1a 2x＝x 的两个不等的正根⇔a 2x 2－(2a 2＋a )x ＋1＝0有两个不等的正根．所以Δ＝(2a 2＋a )2－4a 2＞0，2a 2＋aa2＞0⇒a ＞12.即常数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1xx ，x 2＋－1≤x，2x ＋x <－(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－1，f (f (f (－2)))的值； (2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a 的值．解析 (1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1－12－1＝f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f (f (－2))＝f (－1)＝2，∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，则f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤23，则f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，则f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 3x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >23，9x 2－6x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤23，6x ＋x(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，有a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22. 17．已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)求实数a 的取值范围，使得函数f (x )满足：当定义域为[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立．解析 (1)由4－a x ≥0，即a x ≤4，当0<a <1时，x ≥log a 4，当a >1时，x ≤log a 4，故f (x )的定义域为：当a >1时，为(－∞，log a 4]，当0<a <1时，为[log a 4，＋∞)．令t ＝4－a x ，则t ∈[0,2)，所以y ＝4－t 2－2t －1＝4－(t ＋1)2. 当t ∈[0,2)时，y ＝4－(t ＋1)2是减函数，所以函数的值域为(－5,3]．(2)由(1)知，若a >1，f (x )是增函数，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥f (1)＝a －24－a －1，由于f (x )≥0恒成立， ∴a －24－a －1≥0，解得3≤a ≤4.若0<a <1，f (x )在[1，＋∞)上是减函数，f (x )max ＝a －1－24－a <0，即f (x )≥0不成立．综上知，当3≤a ≤4时，在[1，＋∞)上f (x )≥0恒成立．18．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (k m/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (k m)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 k m ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解析 (1)由图象可知；当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2当10＜t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈，20]，－t 2＋70t －550， t ∈，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150＜650.当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450＜650. 当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40,0＜t ≤35故t ＝30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章函数2.2.2

研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 判断函数 f(x)＝x3＋5x 是否具有奇偶性．
解函数 f(x)的定义域为 R.因为对于任意的 x∈R，都有 f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－f(x)，
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2.2.2
所以函数 y＝f(x)为奇函数．
研一研•问题探究、课堂更高效
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
1．一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果对于任意的 x∈A，都
f(x) 有 f(－x)＝________，那么称函数 y＝f(x)是偶函数．
本 2．如果对于函数 y＝f(x)的定义域内的任意的一个 x，都有 f(－x)＝课－f(x) ________，那么称函数 y＝f(x)是奇函数．时栏 3．函数的奇偶性：如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数目开奇偶性 f(x)具有____________，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶关
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1
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2.2.2
解 (1)函数的定义域为 R，因函数 f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因 f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
探究点三函数奇偶性的应用
2.2.2
例 3 如图，给出了偶函数 y＝f(x)的局部图象，试比较 f(1)与 f(3)的大小．
解 ∵f(－3)>f(－1)，
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又 f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)． ∴f(3)>f(1)．小结本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，利用偶函数定义，得 f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性．

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章函数2.1.1(一)

填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.1(一)
1．函数的概念：设 A、B 是两个________的数集，如果按某种对非空应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有
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唯一的元素y ____________________和它对应，那么这样的对应叫做从 A
研一研•问题探究、课堂更高效
2.1.1(一)
问题 4 如何用集合的语言来阐述这三个实例的共同特点？
答存在某种对应法则，对于集合 A 中任意元素 x，集合 B 中总有一个元素 y 与之对应．
本问题 5 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的课时定义域是怎么定义的？栏答一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应目开法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一关
研一研•问题探究、课堂更高效
2.1.1(一)
小结
函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析
本式 y＝f(x)，而没有指明它的定义域．那么函数的定义域就是指能使课时这个式子有意义的实数 x 的集合．函数的定义域可用两种方法表栏目示：集合、区间．开关
研一研•问题探究、课堂更高效
(4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
使各部分式子都有意义 ________________________________的实数的集合(即使每个部
分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合________________的实数的集合. 实际意义
2.1.1(一)
解

2014《步步高》高考数学第一轮复习02函数及其表示

§2.1 函数及其表示2014高考会这样考 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．复习备考要这样做 1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法．2．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x(a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x a的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． [难点正本疑点清源] 1．函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2．函数与映射(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 3．函数的定义域(1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑； (2)求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a <q (x )<b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域．1． (2011·浙江)设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________.答案－1 解析 ∵f (x )＝41－x ，∴f (a )＝41－a＝2，∴a ＝－1. 2． (课本改编题)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x∈N )的图象是一条直线；④f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确命题的序号有________．答案 ①②解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数．对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数．3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 4． (2012·江西)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x答案 D 解析函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D. 5． (2012·福建)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 答案 B解析根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.题型一函数的概念例1 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．答案 (2)(3)解析对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0－1 x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)．探究提高函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A. 题型二求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系．解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．探究提高函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(2012·武汉模拟)给出下列两个条件：(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 题型三函数的定义域【例3】 (1)函数y ＝lnx ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为______________． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是 ( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．答案 (1)(－1,1) (2)B解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.(2)依已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解之得0≤x <1，定义域为[0,1)．故选B.探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34解析 f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，∴0<m <34.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．答案 [1,3]解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤40≤x －1≤4，得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．题型四分段函数【例4】 )定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ， x ≤0，f x －1－f x －2， x >0，则f (2014)的值为________．思维启迪：注意到2 014较大，较难代入计算求出值，所以可通过x 取较小数值探究函数f (x )值的规律性，再求f (2 014)．也可以先用推理的方法得出f (x )的规律性，再求f (2 014)．答案 1解析方法一由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝log 21＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝1， f (5)＝f (4)－f (3)＝1，f (6)＝f (5)－f (4)＝0， f (7)＝f (6)－f (5)＝－1，f (8)＝f (7)－f (6)＝－1，…，所以f (x )的值以6为周期重复出现，因此，f (2 014)＝f (4)＝1.方法二 ∵x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6.因此，f (2 014)＝f (6×335＋4)＝f (4)＝1.探究提高求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为( )A ．2B ．3C ．2或3D ．－2 答案 C解析当x ≤2时，由f (x )＝14，得2－x＝14.解得x ＝2.当x >2时，由f (x )＝14，得log 81x ＝14，解得x ＝3.3.忽视函数的定义域典例：求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．易错分析忽视函数的定义域，认为x 的范围是全体实数，导致错误．解设t ＝x 2－3x ，由t >0，得x <0或x >3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．温馨提醒函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误． 4.分段函数意义理解不清典例：设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．易错分析 (1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c .所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论，不能忽视自变量的限制条件．规范解答解当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－22－2b ＋c ＝c－12－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，[4分]∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2x ≤0，2 x >0.[6分]当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由x ＝1>0，所以舍去．[8分] 当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2，[10分] 所以方程f (x )＝x 的解为－2、2.[12分]温馨提醒 (1)对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．(2)就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，上述解法中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数的解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·山东)函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0得－1<x ≤2，且x ≠0.2． (2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析由题意知f (3)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.3．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( )A ．－2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 答案 D解析由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.4．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.答案 6解析由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2.∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为____________．答案 f (x )＝2x1＋x2解析令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x 1＋x2. 7．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 三、解答题(共25分)8． (12分)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .9． (13分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－2x －1≥0＝{x |x ≥3或x <1}； (2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝{x |x <1或x >32}．B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分) 1．设f (x )＝lg2＋x2－x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为 ( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4) 答案 B解析 ∵2＋x2－x>0，∴－2<x <2.∴－2<x 2<2且－2<2x<2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.2． (2011·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 C解析 f (x )的图象如图．g (x )是二次函数，且f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，∴g (x )的值域是[0，＋∞)．二、填空题(每小题4分，共12分)4． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0.解得0<x ≤ 6.5．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b b a >b，则函数f (x )＝log12(3x －2)*log 2x 的值域为________．答案 (－∞，0]解析 f (x )＝log 213x －2*log 2x＝⎩⎪⎨⎪⎧log 213x －2x ≥1log 2x23<x <1.∴当x ≥1时，13x －2≤1，f (x )≤0；当23<x <1时，log 223<f (x )<0. ∴f (x )的值域为(－∞，0]．6． (2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______．答案－34解析当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2，所以a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)．综上，满足条件的a 的值为－34.三、解答题(13分)7．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >02－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．解 (1)∵g (2)＝1，∴f (g (2))＝f (1)＝0， ∵f (2)＝3，∴g (f (2))＝g (3)＝2. (2)f (g (x ))＝(g (x ))2－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－1， x >02－x2－1， x <0.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0x 2－4x ＋3，x <0.g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f x－1，f x >02－f x ，f x <0.＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1－1，x 2－1>02－x 2－1，x 2－1<0.∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－13－x 2，－1< x <1.。

【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习函数的单调性与最值学案理新人教A版

函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．(4)函数y ＝x ＋ax(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在______________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．自我检测1．(2011·杭州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a ) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝1－2xB ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2xD ．y ＝54．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c的值域为( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ]D ．[c,20＋c ]探究点一函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f x，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二函数的单调性与最值例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分](2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分](3)当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[9分](4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；(4)当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[12分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1f x具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009·宁夏，海南)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．74．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数； ②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)(2011·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数减函数 (3)单调区间 (4)递增递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测1．B [由已知得a <0，b <0.所以二次函数对称轴为直线x ＝－b2a <0，且图象开口向下．]2．D [∵a 2＋1>a ，f (x )在R 上单调递增， ∴f (a 2＋1)>f (a )．]3．C [常数函数不具有单调性．]4．D [在本题中，x 1，x 2不在同一单调区间内，故无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小．] 5．C [∵f (x )＝3(x －23)2－43＋c ，x ∈[0,5]，∴当x ＝23时，f (x )min ＝－43＋c ；当x ＝5时，f (x )max ＝55＋c .]课堂活动区例1 解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋a x 1＋b＝x2＋a x1＋b－x2＋b x1＋ax1＋b x2＋b＝b－a x2－x1x1＋b x2＋b.∵a>b>0，∴b－a<0，∴(b－a)(x2－x1)<0，又∵x∈(－∞，－b)∪(－b，＋∞)，∴只有当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0，即Δy<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)>f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1f x2]－[f(x1)＋1f x1]＝[f(x2)－f(x1)][1－1f x1f x2]，∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，∴当x<5时，0<f(x)<1，而当x>5时f(x)>1；①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1，∴0<f(x1)f(x2)<1，∴1－1f x1f x2<0，∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1，∴f(x1)·f(x2)>1，∴1－1f x1f x2>0，∴F(x2)>F(x1)．综上，F(x)在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，设x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵1<x1<x2，∴1－12x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增，∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立，故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.方法三在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值． ∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0. 又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立． ∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)又∵x >0时，f (x )<0. 而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9；当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)，∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．课后练习区1．A [f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C [由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.]3．C [由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．]4．D [f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.]5．A [∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.]6．[0，32] 解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －3x x ≥0x －3x x <0.画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]． 7．③解析举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确．8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x1－x ，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14. ∴y ≥4.9．(1)证明当x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2) ＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． ……………………………………………………………………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0， ∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分)故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分)10．解设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a 2. (1)当－a 2<－2，即a >4时， g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时， g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a2>2，即a <－4时， g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(12分)11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1<1.………………………………8分 ∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.……………………………………………………(14分)。

2014高考数学第一轮复习第11课时—函数的单调性(1)

一．课题：函数的单调性二．教学目标：理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题．三．教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．四．教学过程:（一）主要知识：1．函数单调性的定义;2．判断函数的单调性的方法;求函数的单调区间; 3．复合函数单调性的判断． (二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：(1）用定义；（2）用已知函数的单调性;(3)利用函数的导数．3．注意函数的单调性的应用;4．注意分类讨论与数形结合的应用．（三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2)已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．解:（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，（2）222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+，令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<,1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．例2．设0a >，()x xe af x a e=+是R 上的偶函数．（1)求a 的值;（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．解：（1)依题意，对一切x R ∈,有()()f x f x -=，即1x xx x e a ae ae a e+=+∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则10a a-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．(2)设120x x <<，则12121211()()x x x x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e+-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．(1）（《高考A 计划》考点11“智能训练第9题”)若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞．例4．（《高考A 计划》考点10智能训练14）已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1)求证：()f x 是偶函数；(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数；(3)解不等式2(21)2f x -<．解:（1)令121x x ==,得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．（2)设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-=∵210xx >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>,即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f xf -<,又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<,解得：x <<即不等式的解集为(．例5．函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．分析:由函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x+->恒成立．解:∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,xx ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得121288a ax x x x +-<+-，即1212()(1)0ax x x x -+<, ∵120x x-<，∴1210,ax x +>121,ax x >- 12a x x >-，∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立,只要1a ≥;又∵函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，即9a <,综上a 的取值范围为[1,9)-．另解：（用导数求解）令()8a g x x x=+-，函数9()log (8)a f x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，∴()8a g x x x=+-在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x '=+，∴180a +->,且210ax+≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．（四）巩固练习： 1．《高考A 计划》考点11，智能训练10；2．已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性为．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5， 7,8，12，13,15．。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：2.3函数的单调性

2014届高三数学一轮复习精讲精练：2.3函数的单调性在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数；（2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x xx x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-又1234x x<≤，则12x x-<，1232x x+<，得1232()0x x -+>，故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数．（2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++，又121x x<<-，则12x x-<，1(1)0x +<，2(1)0x+<得，12(1)(1)0x x++>故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数．同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数()12f x x=-分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则1212()()1212f x f x x x -=---211212121212x x x x ---=-⋅-1212121212(1212)x x x x =-⋅--+-又12x x-<12121212(12120x x x x ---->，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】1．已知函数1()21xf x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3. 函数22y x x =--+1[2,]2--. 4. 函数2()1f x xx=-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-． 5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x++>，120a ∴-<，即12a >． (0,1)。

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