2013年高考数学(理科)仿真试题(六)

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2013年高考数学模拟试题(理科)答案

2013年高考数学模拟试题（理科）答案命题人：卧龙寺中学吴亮李丰明一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分11.[1,3] 12. -8 13. 96 14.511[2,2],66k k k Z ++∈ 15. A. 8(,)(2,)3-∞-+∞ B.C. 4三．解答题:本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)解:(1)---------------------6分(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5, -----------12分17.(本题满分12分)解:(1)当n=1时,a 1=S 1=k+1,当n≥2时,a n =S n -S n-1=kn 2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1(*),经检验,n=1,(*)式成立,∴a n =2kn-k+1(n∈N *). -----------------6分(2)∵a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,∴a 22m =a m ·a 4m ,即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0,对任意的m∈N *成立,∴k=0或k=1. ------------------12分18.(本题满分12分)223121,25453||||3,51:2145 2.2cosA 2cos A (0,),sinA ,bc 5,ABC bcs 5inA a A AB AC AB AC cosA bc π-=-=⎝⎭==⨯======∈==⨯⨯= 又所以而所以所以的面积为所以-------------12分19．(本小题满分12分)解：(1)设事件A 表示甲运动员射击一次，恰好击中9环以上(含9环)，则P (A )＝0.35＋0.45＝0.8. 甲运动员射击3次均击中9环以下的概率为P 0＝(1－0.8)3＝0.008.所以甲运动员射击3次，至少有1次击中9环以上的概率为P ＝1－0.008＝0.992.------------------6分(2)记乙运动员射击1次，击中9环以上为事件B ，则P (B )＝1－0.1－0.15＝0.75.由已知ξ的可能取值是0,1,2.P (ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；P (ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05；P (ξ＝1)＝1－0.05－0.6＝0.35.ξ的分布列为所以E ξ＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6故所求数学期望为1.55. --------------------12分20. (本小题满分13分)解：(1)设A (x 1，y 1)，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32，又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32，所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0. ---------6分(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符．当AB 的方程为y ＝kx ＋3时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解，消去y 得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0，所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5，则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2,3)＝244＋k 2，因为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2<3，所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k2<3， -------------12分解得－163<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)，所以当λ＝0时，由OA→＋OB →＝0，得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k 2＝0，上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6k λ(4＋k 2)， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ(4＋k 2)，因为点P (x 3，y 3)在椭圆上，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ(4＋k 2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4＋k 2)2＝1，化简得λ2＝364＋k 2，因为5<k 2<8，所以3<λ2<4，则λ∈(－2，－3)∪(3，2)．综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)． ---------------13分21．(本小题满分14分)解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2. 因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． -------------2分当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. -------------4分(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．--------------9分(3)f (x )≥k (x －1)，即(x －1)(x 2＋x －5)≥k (x －1)．因为x >1，所以k ≤x 2＋x －5在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x 2＋x －5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝－3.所以k 的取值范围是k ≤－3.---------------14分。

2013届高三数学高考仿真试卷6

2013届高三数学高考仿真试卷6数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若f是虚数单位，复数，则在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a是第二象限角，，则= （）A． B．－ C． D．－3．已知等比数列，若，且，则数列的公比q=（）A． B．3 C． D．24．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是（） A．[o,4] B．[o,7] C． D．[ ，7]25．在相距4千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB=60°，∠CBA=75°，则B，C两点之间的距离是千米．（）A． B． C． D．6．函数为奇函数，则a= （）A． B． C． D．17．已知函数，则在区间上的最大值M和最小值m分别为（）A． B． C． D．8．将正方体（如图（1）所示）截去四个三棱锥得到图（2）所示的几何体，则该几何体的左视图为（）9．设则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．10．已知向量，设与同向的单位向量为，向量与向量的夹角为，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．11．设，若时恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0,2） B．（一∞，0） C．（一∞，1） D．（一∞，2）12．已知存在正数a，b，c满足，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在指定的答题卷上。

2013年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试数学试题(理科)

科目：数学（供理科考生使用）（试题册）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题纸和试题册上，并将条形码贴在答题纸的相应位置上．2．考生在答题纸上按答题纸中的注意事项要求答卷，各题必须在各题目的答题区域内答题，超出答题区域范围作答部分视为无效．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷均不能答在本试题册上，写在试题册上无效．3．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．4．考试结束时，将本试题册和答题纸一并交回．5．本试题卷共6页，如缺页，考生须声明，否则后果自负．姓名准考证号2013年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试题册上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上，写在本试题册上无效.4．考试结束后，将本试题册和答题纸一并交回.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合A 为不等式260x x +-<的解集，集合B ={x |101x <-，x ∈Z }，则集合A B 为（A ）{x |21x -<<} （B ） {x |31x -<<}（C ）{1-，0} （D ） {2-，1-，0}（2）已知i 为虚数单位，复数z 满足2(1i)(1i)z +=-，则复数1z 是（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--（3）已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个单位向量，若它们满足任意两个向量间的夹角都相等，则()+-⋅a b c b 的值是（A ）1- （B ）1 （C ）32- （D ）32（4）下列有关命题的说法正确的是（A ）若命题p ：x ∃∈R ，20x >，则命题p ⌝为x ∀∈R ，20x <（B ）若命题p ：x ∃∈R ，20x >，则命题p ⌝为x ∃∈R ，20x ≤（C ）命题“若21x >，则1x >”的否命题是“若21x >，则1x ≤”（D ）命题“若21x >，则1x >”的否命题是“若21x ≤，则1x ≤”（5）在等差数列}{n a 中，0n a >，且357912a a a a +++=，则111a a ⋅的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）16 （D ）36（6）已知函数()sin(2)sin(2)62f x x x ππ=-++，则下列结论正确的是（A ）函数()f x 的图象关于直线23x π=轴对称（B ）函数()f x 的图象关于点（23π，0）中心对称（C ）函数()f x 的图象关于直线12x π=轴对称（D ）函数()f x 的图象关于点（12π，0）中心对称（7）在区间[2-，2]上随机取一个数m ，则直线y x m =+与圆222x y x +=相交的概率为（A（B（C（D（8）给出右面的程序框图，则输出的数值是（A ）5 （B ）6 （C ）7（D ）8（9）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α⊂，n α∥，则m n ∥；②若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；③若αβ⊥，m αβ= ，m n ⊥，则n β⊥；④若m α⊥，m β⊥，则αβ∥．则其中正确的命题为（A ）只有① （B ）只有② （C ）②和④ （D ）③和④（10）定义：如果一个椭圆的长轴和短轴分别是双曲线C 的虚轴与实轴，则这个椭圆叫做双曲线C 的“双轭椭圆”．若已知双曲线C的离心率e >，则其“双轭椭圆”的离心率的取值范围是（A ）（0，13）（B ）（13，1）（C ）（0，3）（D ）（3，1）（11）已知0a >且1a ≠，函数|log |(0,]()(,)a x x x b f x a x b ∈⎧=⎨∈+∞⎩，若对任意120x x <<，都有12()()f x f x >，则下列结论一定正确的是（A ）1a b ⋅> (B )1a b ⋅< (C )1a b +> (D )1a b +<（12）若函数21()ln 2f x x a x =-+（a ∈R ）有且只有一个零点，e 为自然对数的底，则这个零点所在的区间是（A ）（0，1）（B ）（1，e ）（C ）（1，2e ）（D ）（e ，2e ）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）已知{}n a 是各项为正数的等比数列，若1232a a a ++=，4568a a a ++=，则其前9项的和9S 的值是．（14）定积分41|3|x dx --⎰的值是．（15）一个几何体的三视图如图所示，若其中的每个三角形都是等腰直角三角形．则该几何体的体积为．（16）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点P （1-，0）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（|AP |>|BP |），若2|BFBP |，则A ，B 两点间的距离|AB |的值是．主俯数学试题卷（理科）第 4 页共 6 页三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在锐角∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知c ，且2cos 222sin C C +=．（Ⅰ）设a ∶3b =∶2，证明：4B π<；（Ⅱ）若4a =，求b 的值．（18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在的平面与直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直，AD ∥EF ，∠ADE =90º，AD =DE =2EF =2，点H 在线段FC 上，且FH ∶FC =1∶3，点G 为线段AD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BGH ；（Ⅱ）求二面角D —BH —G的平面角的大小．（19）（本小题满分12分） “中国式过马路”一经网络传播，立刻引发广大群众对交通、国民素质和安全意识的讨论．某班的数学课外探究小组决定对“中国式过马路”现象做一次探究活动，于星期日在某交通岗进行了30分钟的行人过岗是否“闯红灯”的调查，将调查的结果统计成诸多的统计表，其中的两个统计表如下：表1：过岗人员统计表表2：过岗人员中的学生情况统计表根据以上所给信息，回答下列问题：（Ⅰ）你是否有95%的把握认为某人过交通岗是否闯红灯与其性别有关？并说明你的理由；（Ⅱ）对调查过程中通过交通岗的学生都进行了简单的问卷调查，现在从女学生的问卷中任意抽取4份进行分析，考虑到分析的科学性，要求中学女生数不小于小学女生数，设小学女生问卷被抽取的份数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-= FHGED C BA（20）（本小题满分12分）如图，设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是其与y 轴的一个交点，定点P （2-，2-），且122AF AF ⋅= ， 12||||OP FF =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点P 作直线l 与椭圆C 相交于不同的两点Q ，H （Q ，H 与点A 不重合），设直线AQ 的斜率为1k ，直线AH 的斜率为2k ，证明：12k k +为定值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e ax f x x =（e 为自然对数的底）．（Ⅰ）试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当1a =时，2()f x mx x +≥在区间[0，+∞）内恒成立，试求m 的取值范围．※考生注意：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD 内接于O ⊙，点A 是 BDC 的中点， BE AD =，AE 的延长线与CB 的延长线相交于点F ，FG 与O ⊙相切于点G ．（Ⅰ）证明：AB BF AD AF ⋅=⋅；（Ⅱ）证明：22AB AE FG EF =．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1124x t y t⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-（0ρ>）．（Ⅰ）求直线l 的斜率及其与坐标轴构成的直角三角形的面积；（Ⅱ）试判断直线l 与曲线C 是否有公共点，若有公共点，则求出公共点的坐标；若无公共点，请说明将直线l 沿y 轴方向（向上或向下）平移多少个单位，才能使其与曲线C 有公共点．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|21|21f x x m =+-+．（Ⅰ）设不等式()0f x <的解集为A ，记由全体负实数构成的集合为-R ，若A -R Ü，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若2()f x x <的解集为全体实数R ，求实数m 的取值范围．2013年模拟考试数学参考答案与评分标准（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）D C B D B A D C C D B A二、填空题（每小题5分，共20分）（13）42；（14）172；（15）83；（16）三、解答题（17）（Ⅰ）证明：由2cos 2C 22sin C +=得1cos 22C =-，又C 是锐角，所以C=3π，得A B +=23π……2分由32a b =∶∶及正弦定理得3sin 2sin B A =，得213sin 2sin()sin )sin 32B B B B B B π=-=+=+ ……3分得tan 1tan 4B π=<=，由正切函数单调性知4B π< ……2分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及余弦定理得22131624cos 3c b b π==+-⨯⨯⨯，整理得2430b b -+=，解得1b =或3b = ……3分又当1b =时，cos A 0=<与A 为锐角矛盾，所以1b =舍去，即3b = …2分（18）（Ⅰ）证明：连接AC ，设AC 交BG 于点P ，连接PH ，由APG CPB ∆∆∽，点G 为线段AD 的中点得13AP AC =∶∶，又FH ∶FC =1∶3，所以AF ∥PH ……2分因为PH ⊂平面BGH ，AF ⊄平面BGH ，所以AF ∥平面BGH ……2分（Ⅱ）解：由题意分别以,,DA DC DE 为轴建立空间直角坐标系，得(2,0,0),A(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,0,0)B C E F G ，(1,2,0),(1,2,2),GB FC ==--1(0,0,2),3GF FH FC ==，124(,,)333GH GF FH =+=- ……3分设平面GBH的一个法向量为1n ，由110GB GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得一个1(2,1,1)=-n，同理得平面DBH 的一个法向量2(1,1,0)=-n ……3分又12cos ,〈〉==n n ，所以二面角D —BH —G 的平面角为6π……2分（19）解：(Ⅰ) 有95%的把握认为某人过交通岗是否闯红灯与其性别有关……3分由表1及22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=得22150(40206030) 5.357708050100χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.357 3.841>，所以有95%的把握认为某人过交通岗是否闯红灯与其性别有关……3分(Ⅱ) 由表2及题意得0,1,2ξ=，所以40532231405353531(0)13C C P C C C C C C ξ⋅===⋅+⋅+⋅，6(1)13P ξ==，6(2)13P ξ==，即分布列为…4分所以ξ的数学期望为16618()01213131313E ξ=⨯+⨯+⨯= ……2分（20）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c （0c >），由P （2-，2-）及12||||OP FF =得c =22c =；由122AF AF ⋅= 得222b c -=，即24b =，所以26a =所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=……4分（Ⅱ）证明：若直线l 与x 轴垂直，则Q ，H 的坐标分别为（2-，y ），（2,y --），于是1222222y y k k ---+=+=--……1分若直线l 的斜率存在，则设斜率为k ，由P （2-，2-）及Q ，H 与点A 不重合知0k ≠且2k ≠ ……1分设11(,)Q x y ，22(,)H x y ，直线l 的方程为(2)22(1)y k x kx k =+-=+-与椭圆C 的方程联立消去y 得22(23)12(1)12(2)0k x k k x k k ++-+-=……2分得12212(1)23k k x x k -+=-+，12212(2)23k k x x k -⋅=+ ……2分于是12121212122212(1)22(2)22(2)212(2)y y x x k k k k k k k k x x x x k k --+--+=+=+-⋅=+-⋅=⋅-综上得12k k +为定值2 ……2分（21）解：（Ⅰ） ()e e (1)e ax ax ax f x ax ax '=+=+……1分当0a =时，()f x x =，()f x 在R 内单调递增，因为e 0ax >，所以当0a >时，()f x 在1[,)a -+∞内单调递增，在1(,a -∞-内单调递减当0a <时，()f x 在1(,)a -∞-内单调递增，在1[,)a -+∞内单调递减……3分（Ⅱ）当1a =时，2()f x mx x +≥，即2e x x mx x +≥，整理得(e 1)x x mx --≥0 因为x ∈[0，+∞），所以上式恒成立，即为e 1x mx --≥0在区间[0，+∞）恒成立令()e 1x h x mx =--，则()e x h x m '=-……2分因为x ∈[0，+∞），所以()e 1x h x m m '=--≥，若1m ≤，则当x ∈（0，+∞）时，()0h x '>，()h x 为增函数，又(0)0h =，因此当1m ≤时，在x ∈[0，+∞）内， ()e 10x h x mx =--≥恒成立，即2()f x mx x +≥恒成立 ……3分若1m >，由()e 0x h x m '=-=得ln 0x m =>于是当x ∈（0，ln m ）时，()0h x '<，()h x 为减函数，又(0)0h =，因此当x ∈（0，ln m ）时，()0h x <，即2()f x mx x <+，2()f x mx x +≥不成立综上所述，m 的取值范围为（-∞，1] ……3分（22）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 内接于O ⊙，所以ABF ADC ∠=∠，又因为 BE AD =，所以BAE ACD ∠=∠，所以有ACD FAB ∆∆∽，得ADACBF AF =，即AC BF AD AF ⋅=⋅……3分点A 是 BDC 的中点，所以 AB AC =，即AB AC =，于是AB BF AD AF ⋅=⋅……2分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知ACD FAB ∆∆∽且AB AC =，得C D ACA B A F =，即2A B C D A F =⋅，因为点A 是 BDC 的中点且 BE AD =，所以 AE CD =，即AE CD =，得2AB AE AF =⋅，……3分FG 与O ⊙相切于点G ，所以2FG EF AF =⋅，因此22AB AEFG EF = ……2分数学试题卷（理科）第 10 页共 6 页（23）解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程1124x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩得1421y t x t-==-，所以直线l 的斜率为2……2分当0x =时，得2t =-，得2y =，当0y =时，得4t =-，得1x =-所以直线l 与坐标轴构成的直角三角形的面积1|1|212S =⨯-⨯=……3分（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为220x y -+=；曲线C 的直角坐标方程为22(2)(1)5x y -++=，是以点P （2，1-2分又点P 到直线l=>所以直线l 与曲线C 无公共点，设直线20x y b -+=与曲线C 相切，可得0b =或10b =-，所以将直线l 向下平移2个至12个单位时，直线l 与曲线C 有公共点 ……3分（24）（Ⅰ）由()0f x <得，|21|21x m +<-，当210m -≤，即12m ≤时，不等式的解集为A =∅，当210m ->，即12m >时，有212121m x m -+<+<-，得1m x m -<<-，即{|1}A x m x m =-<<-……3分因为A -R Ü，所以有10m -≤，即1m ≤，综上得(,1]m ∈-∞……2分（Ⅱ）解： 1212222(()|21|2122(x m x f x x m x m x -+-⎧=+-+=⎨--<-⎩≥，由2()f x x <得212212(1)23((1)21()x m x x m x ⎧->-+-⎪⎨+>-+<-⎪⎩≥ ……3分因为2()f x x <的解集为R ，所以有210230m m -+<⎧⎨-+<⎩，解之得32m >，即3(,)2m ∈+∞……2分。

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题，（步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有（）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ，（步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的灵活应用能力. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1）令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3）故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2）解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1）由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5）不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3）在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14），（步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8）由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1）记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2）当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3）故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4）要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7）故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8）综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11）记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14）于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16）下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18）当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21）此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19）下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21）即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠；（II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=；（步骤2）又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2）注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ；（步骤2）当24x <<时，44f x x --（）无解；（步骤3）当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（）的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，，（步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7）又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（）（A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ．（2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ．（3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（A ）简单随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（）（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈．综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-．又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ．（8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（）（A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ．（11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（）（A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（）（A ）{}n S 为递减数列（B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列（D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ．【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒．（1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ．又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C．（19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==．所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=．（20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =．当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =．（21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++，故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =．（2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>．即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ．而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．（1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

浙江省2013年高考数学仿真模拟试卷6(理科)

浙江省2013年高考模拟试卷数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试事间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

注意事项：参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么棱柱的体积公式 V S h =()()()P A B P A P B +=+ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高如果事件A ，B 相互独立，那么棱锥的体积公式 13V S h =()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高在n 次独立重复试验中事件A 恰好棱台的体积公式 ()112213V h S S S S =++发生k 次的概率是()1n kk knC p k --，其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中p 表示在一次试验中事件A 发生的概率 h 表示棱台的高球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一．选择题（本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1．【原创】．已知集合M=⎩⎨⎧∈++==-=},1)42sin(2|{},3|2R x x y y N x y x π，且M 、N 都是全集R 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A ．{x|-33≤≤x } B ． {y|-31≤≤y }C ．{x|33≤<x }D ．Φ（命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算）2. 【原创】已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“21=a ”是“点M 在第四象限”的( ) （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（命题意图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）3. 【原创】设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+22142y x y x y x ，则z ＝x ＋y ： ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值（命题意图：考查线性规划）MNR1题5题4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（）. （A ）103 （B ）102 （C ）101 （D ）31（命题意图：考查古典概型的计算）5．【改编教材必修3】如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )A ．1m nC - B. 1m nA - C. m n C D. mn A（命题意图：考查排列数、组合数，算法中的循环结构）6．[原创] 已知：l m ,是直线，βα,是平面，给出下列四个命题： ①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥；⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //。

2013年上海高考数学理科试卷(带详解)

a1, a2, a3, a4 , a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4, d5 .若 m, M 分别
为 (ai a j ak ) ( dr ds dt ) 的最小值、最大值，其中
{ i , j , k} {1,2,3, 4,5} ,{ r, s,t} {1,2,3, 4,5} ,则 m, M 满足
平行于平面 D1AC ，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离 .
第 19 题图
【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积
.
【考查方式】给出长方体及若干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公
式求出答案 .
【难易程度】容易
【试题解析】因为 ABCD A1B1C1D1 为长方体， AB C1D1 , AB C1D1 ，
【测量目标】奇函数的性质 . 【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出【难易程度】中等
8 【参考答案】 a ,
7 【试题解析】 f (0) 0，故 0 厔a 1 a 1 （步骤 1）；当 x 0 时
a 的范围 .
a2
f (x) 9x
7 …a 1（步骤 2）
x
即 6 | a |… a 8 ，又 a , 1，故 a ,
f (x) [0,1) ，而 y f (x) 的定义域为 [0,3] （步骤 2），故当 x [2,3] 时， f (x) 的取值应在
( ,0) [1,2] (4, ) ，故若 f ( x0 ) x0 ，只有 x0 2．（步骤 3）
二、选择题
15．设常数 a R ，集合 A { x | ( x 1)( x a) 厖0}, B { x | x a 1} ，若 A B R ，则 a

广东肇庆市2013年高考一模数学(理科)试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估 2013届高中毕业班第一次模拟试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=A ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i +2．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则M N =A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3] 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥b a c ，则λ=A ．311-B ．113- C ．12 D ．354．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =A ．1B ．2C ．4D ．8 5．某程序框图如图1所示，则输出的结果S =A ．26B ．57C ．120D ．2476．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =- 7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为AC D8．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质： ①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕； ②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为A ．4B ．3C ．．1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．不等式4|||2|≥++x x 的解集是 ______. 10. 2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间时说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们都被招聘进来的概率是701” .根据他的话可推断去面试的人有______个（用数字作答）. 11．若圆2210x y mx ++-=与直线1y =-相切，其圆心在y 轴的左侧，则m =______.12．在ABC ∆中，AC =，BC =2，︒=∠60B ，则ABC ∆的面积等于_____.13．已知不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤+≥≥ay x y x y x ,2,0,0表示一个三角形区域（包括三角形的内部及边界），则实数a 的取值范围为______.14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线113:(24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数）与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =______.15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知圆O 的半径为2，从圆O 外一点A 引切线AB 和割线，C 为AD 与圆O 的交点，圆心O 到AD 的距AB =，则AC 的长为______.三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数)0,0)(4sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 在16x π=时取得最大值2.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的解析式；（3）若,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，164165f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17.（本小题满分13分）因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施．若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第三年与第四年相互独立，令()1,2i i ξ=表示方案i 实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数．（1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?如图5，PA 垂直⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，PA =AB ，14BF BP =，C 是弧AB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAC ；（2）证明：CF ⊥BP ；（3）求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.19. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.（1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0=⋅，求||QS的取值范围.20.（本小题满分14分）已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+. （1）求234,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）设数列{}n b 满足21111,2n n n kb b b b a +==+，求证：当n k ≤时有1n b <.以其面积为12S ==8B 解析：根据条件③，对于任意的,,a b c 有()()()()2a b c c ab a c b c c ⊕⊕=⊕+⊕+⊕-，∴取0c =得()00()(0)(0)20a b ab a b ⊕⊕=⊕+⊕+⊕-⋅得①②得00a a a ⊕=⊕=对任意实数a 都成立，代入上式得：a b ab a b ⊕=++这就是运算⊕的定义,将其代入题目检验符合①②③，∴1111()113f x x x x x x x x x =⊕=⋅++=++≥=，当且仅当1x =时“=”成立，即函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为3.二、填空题9. (][)+∞-∞-,13, 13. (,2][0,2)-∞- 14.5215. 3 三、解答题 16．（本小题满分12分）解：（1）()f x 的最小正周期为242T ππ== （2分）（2）由()f x 的最大值是2知，2A =，（3分）又()2sin 421616max f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（4分）∵0ϕπ<<，∴5444πππϕ<+<，∴42ππϕ+=，∴4πϕ= （5分）∴()2sin(4)4f x x π=+（6分）（3）由（2）得1162sin 441641645f πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即3sin()25πα+=，∴3cos 5α=，（7分）∵,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴4sin 5α===- （8分）∴4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ （9分）2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭（10分）∴sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2472525=-+=（12分）17．（本小题满分13分）解：（1（3分）（6分）（2）由（1）可得ξ1＞1的概率P （ξ1＞1）= 0.15 + 0.15 = 0.3，（7分） ξ2＞1的概率P （ξ2＞1）= 0.24 + 0.08 = 0.32，（8分） ∵P （ξ2＞1）＞P （ξ1＞1），∴实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大. （9分）（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A 、利润B ，根据题意，利润A =（0.2 +0.15）×10 + 0.35×15 +（0.15 + 0.15）×20 = 14.75（万元）（10分）利润B =（0.3 + 0.2）×10 + 0.18×15 + （0.24 + 0.08）×20 = 14.1（万元）（11分） ∵利润A ＞利润B ，∴实施方案1平均利润更大. （13分） 18．（本小题满分13分）（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥PA . （1分） ∵∠ACB 是直径所对的圆周角，∴90o ACB ∠=，即BC ⊥AC . （2分）又∵PA AC A = ，∴BC ⊥平面PAC . （3分）（2）证明：∵PA ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥PA . （4分） ∵C 是弧AB 的中点， ∴∆ABC 是等腰三角形，AC =BC ，又O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB . （5分）又∵PA AB A = ，∴OC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴BP OC ⊥. （6分）设BP 的中点为E ，连结AE ，则//OF AE ，AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥. （7分）∵OC OF O = ，∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ，∴CF BP ⊥. （8分）（3）解：由（2）知OC ⊥平面PAB ，∴OF OC ⊥，OC OB ⊥，（9分） ∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角. （10分）又∵BP OF ⊥，045FBO ∠=，∴045FOB ∠=，（12分）∴sin FOB ∠=，即二面角F OC B --. （13分） 19．（本小题满分14分）解：（1）由直线:2l y x =+与圆222x y b +=b =，即b =. （2分）由3e =，得222213b e a =-=，所以a = （3分）所以椭圆的方程是221:132x y C +=. （4分）（2）由条件，知2||||MF MP =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. （7分）（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴222121,,,y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- （8分）由0=⋅，得()()222121121016y y y y y y -+-= （9分）∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y =++≥=，当且仅当2121256y y =，即14y =±时等号成立. （11分）又||QS == （12分）∵2264y ≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS =（13分）故||QS的取值范围是)⎡+∞⎣. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）由111,2()n n a na S n N *+==∈得 2122a a == ，（1分）32123a S a a ==+=，（2分）由43123322()a S a a a ==++得44a = （3分）（2）当1>n 时，由12n n na S += ① ，得1(1)2n n n a S --= ② （4分） ①－②得11(1)2()n n n n na n a S S +---=-，化简得1(1)n n na n a +=+，∴11n n a n a n++=（1>n ）. （5 分） ∴22=a ，3232a a =，……，11n n a na n -=- （6 分）以上（1n -）个式子相乘得n n na n =-⨯⨯⨯=1232 （1>n ）（7 分）又11=a ，∴()n a n n N *=∈ （8 分）（3）∵0>=n a n ，0211>=b ，n n k n b b a b +=+211， ∴{}n b 是单调递增数列，故要证：当n k ≤时，1n b <，只需证1k b <. （9分）（i ）当1k =时，1112b =<，显然成立；（10分）（ii ）当2k ≥时，∵01>>+n n b b ，n n kn b b a b +=+211， ∴n n n n b b b kb +<++111，∴1111n n b b k +->-. （11分） ∴112232111111111111k k k k k k k b b b b b b b b b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112k k k k -+>-+= （12分）∴11k kb k <<+. （13分）综上，当n k ≤时有1n b <. （14分）。

新课标2013届高考模拟试卷及答案(理科数学)[1]

新课标 2013 届高考模拟试卷（理科数学）考试时间：120分钟满分：150分出题者：秦庆广一、选择题：（本大题共小题，每小题分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（）✌．1-．．．2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂ ☎ ✆✌．φ ．}0|{<x x ．}1|{<x x ．}10|{<<x x ．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是☎ ✆．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a ☎ ✆✌．21 ．22．2 ．．已知变量⌧、⍓满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为☎ ✆✌．  ．25．  ．．过点（，）且与曲线11-+=x x y 在点（，）处的切线垂直的直线的方程为☎ ✆ ✌．012=+-y x ．012=-+y x ．022=-+y x ．022=+-y x．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是☎ ✆♊图象C 关于直线11π12x =对称； ♋图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ♌函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ♍由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （✌）♊♋♌ （）♋♌♍ （）♊♌♍ （）♊♋♌♍ ．已知6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（）✌．．1-．63 ．62．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是⌧ ☎ ✆✌．☯，  ．☯，  ．☯，  ．☯， ．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是☎ ✆ ✌      ． ✌中， ✌ ✌的平分线✌交边 于，已知✌，且)(31R AB AC AD ∈+=λλ，则✌的长为☎ ✆ ✌．．3 ．32 ．．在三棱锥 ✌中，✌✌2 ✌，二面角 ✌的余弦值是33-，若、✌、、都在同一球面上，则该球的表面积是☎ ✆ ✌．68 ．π6 ． π ． π二、填空题：（本大题小题，每小题分，共 分）．在 ✌中， 3π中，且34=⋅BC BA 则 ✌的面积是．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为，则❍的取值范围是．已知向量b a ,满足：2||,1||==b a ，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量a 与b 的夹角是 ．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图侧视图俯视图三、解答题（本大题共小题，共分。

2013年高考数学理科仿真试题(有答案河南十名校)

2013年高考数学理科仿真试题（有答案河南十名校）数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效,考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数＝a－bi，则a＋b＝A．1B．3C．－1D．－32．已知全集U＝{x∈Z｜－9x＋8＜0}，M＝{3，5，6}，N＝{x｜－9x＋20＝0}，则集合{2，7}为A．M∪NB．M∩NC．CU（M∪N）D．CU（M∩N）3．设x∈R，向量a＝（2，x），b＝（3，－2），且a⊥b，则｜a－b｜＝A．5B．C．2D．64．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A．B．16C．D．5．将函数f（x）＝sin（2x＋）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，则g（x）的单调递增区间为A．2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）B．2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z）C．kπ－，kπ＋]（k∈Z）D．kπ＋，kπ＋]（k∈Z）6．如果执行下面的程序框图，输出的S＝240，则判断框中为A．k≥15?B．k≤16?C．k≤15?D．k≥16?7．已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线＝2py（p＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥y轴，则双曲线的离心率为A．B．C．D．8．已知实数x，y满足如果目标函数z＝5x－4y的最小值为－3，则实数m＝A．3B．2C．4D．9．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为A．36πB．88πC．92πD．128π10．设函数f（x）＝2－2k（a＞0且a≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝的图象是11．若直线y＝－nx＋4n（n∈N﹡）与两坐标轴所围成封闭区域内（不含坐标轴）的整点的个数为（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则（a1＋a3＋a5＋…＋a2013）＝A．1012B．2012C．3021D．400112．定义在实数集R上的函数y＝f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t＋x）＝－tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）＝是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是A．1B．2C．3D．0第Ⅱ卷非选择题本卷包括必考题和选考题两部分．第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题－第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知某化妆品的广告费用x（万元）与销售额y（百万元）的统计数据如下表所示：从散点图分析，y与x有较强的线性相关性，且＝0．95x＋，若投入广告费用为5万元，预计销售额为____________百万元．14．已知递增的等比数列{}（n∈N﹡）满足b3＋b5＝40，b3•b5＝256，则数列{}的前10项和＝_______________．15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为－8x＋15＝0，若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为_________．16．对于（m，n∈N，且m，n＞2）可以按如下的方式进行“分解”，例如的“分解”中最小的数是1，最大的数是13．若的“分解”中最小的数是651，则m＝___________．三、解答题：解答应写出文字说明。

数学_2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷6(理科)(含答案)

2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷6（理科）一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知集合M ={x|y =√3−x 2}，N ={y|y =2sin(2x +π4)+1，x ∈R}，且M 、N 都是全集R 的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A {x|−√3≤x ≤√3}B {y|−1≤y ≤3}C {x|√3<x ≤3}D Φ2. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a −2i)(1+i)在复平面内对应的点为M ，则“a =12”是“点M 在第四象限”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z ＝x +y( )A 有最小值2，最大值3B 有最小值2，无最大值C 有最大值3，无最小值D 既无最小值，也无最大值4. 某甲上大学前把手机号码抄给同学乙．后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复．则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（） A 310B 210C 110D 135. 如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（）A C n m−1B A n m−1C C n mD A n m6. 已知：m ，l 是直线，α，β是平面，给出下列5个命题： ①若l 垂直于a 内的两条直线，则l ⊥α； ②若l // α，则l 行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α // β，则m // l ．其中正确命题的个数是（） A 0 B 1 C 2 D 37. 设函数f(x)=xsinx,x ∈[−π2，π2]，若f(x 1)>f(x 2)，则下列不等式一定成立的是（）A x 1+x 2>0B x 12>x 22C x 1>x 2D x 12<x 228. 已知双曲线x 22−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y =x ，点P(√3，y 0)在双曲线上、则PF 1→⋅PF 2→=( ) A −12 B −2 C 0 D 4 9. 在等差数列{a n }中，若a 11a 10<−1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n =( )A 18B 19C 20D 2110. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（）A 4+2√2B 2√2+2C 4D 4√3二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11. 已知sin(π4−x)=35，则sin2x 的值为________．12. 设a →=(2,4)，b →=(1,1)，若b →⊥(a →+m ⋅b →)，则实数m =________． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. 已知随机变量X 的分布列如下表所示，X 的期望EX =1.5，则DX 的值等于________．√x)展开式中x 项系数为________．16. 若函数f(x)=log t |x +1|在区间(−2, −1)上恒有f(x)>0，则关于t 的不等式f(8t −1)>f(1)的解集为________．17.如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，CA =CB =2，若AB →⋅AE →+AC →⋅AF →=2，则EF →与BC →的夹角等于________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cosB cosC=−b 2a+c.(1)求角B 的大小；(2)若b =√13，a +c =4，求△ABC 的面积．19. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，1成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n 2=2−b n ，设C n =b n a n求数列{C n }的前项和T n ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB // CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点． (Ⅰ)试证：AB ⊥平面BEF ；(Ⅱ)设PA ＝k ⋅AB ，且二面角E −BD −C 的平面角大于45∘，求k 的取值范围．21. 已知：圆x 2+y 2=1过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切，与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于A ，B 两点记λ=OA →⋅OB →，且23≤λ≤34．（1）求椭圆的方程；（2）求k 的取值范围；（3）求△OAB 的面积S 的取值范围．22. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ，g(x)=xe 1−x ．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）当a =1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0,12)上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的x 0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i (i =1, 2)，使得f(x i )=g(x 0)成立，求a 的取值范围．2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷6（理科）答案1. C2. A3. B4. A5. D6. B7. B8. C9. C10. A11. 72512. −313. 314. 0.8515. 1616. (0, 13)17. π318. 解：(1)由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知cosBcosC =−b2a+c得:cosB cosC =−sinB2sinA+sinC，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin(B+C)=0，∵ A+B+C=π，∴ sin(B+C)=sinA，∴ 2sinAcosB+sinA=0，即sinA(2cosB+1)=0，∵ sinA≠0，∴ cosB=−12，∵ B为三角形的内角，∴ B=23π.(2)将b=√13，a+c=4，B=23π，代入余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ，即13=16−2ac(1−12)，∴ ac =3，∴ S △ABC =12acsinB =34√3．19. 解：（1）由题意2a n =S n +1，a n >0 当n =1时2a 1=a 1+1∴ a 1=1n ≥2时，s n =2a n −1，s n−1=2a n−1−1 两式相减a n =2a n −2a n−1(n ≥2) 整理得a nan−1=2(n ≥2)∴ 数列{a n }1为首项，2为公比的等比数列． ∴ a n =a 1⋅2n−1=1×2n−1=2n−1（2）a n 2=2−b n =22n−2 ∴ b n =2−2n C n =b n a n=2−2n 2n−1=4−4n 2nT n =02+−422+−823+⋯+8−4n 2n−1+4−4n 2n①12T n =022+−423+⋯+8−4n 2n +4−4n 2n+1②①-②12T n =−4(122+123+⋯12n )−4−4n 2n+1=−4⋅122(1−12n−1)1−12−4−4n 2n+1=−2(1−12n−1)−4−4n 2n+1=n +12n−1−2∴ T n =n+12n−2−420. （1）证：由已知DF // AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ．又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF // PD ，所以AB ⊥EF ．由此得AB ⊥平面BEF ．（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为OX 、OY 、OZ 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则BD →=(−1, 2, 0)，BE →=(0, 1k2)设平面CDB 的法向量为m 1¯=(0,0,1)，平面EDB 的法向量为m 2¯=(x,y,z)，则{m 2¯⋅BD ¯=0m 2¯⋅BE ¯=0∴ {−x +2y =0y +kz 2=0，取y ＝1，可得m 2=(2,1,−2k )设二面角E −BD −C 的大小为θ，则cosθ＝|cos <m 1，m 2>|=2k√22+1+4k 2<√22化简得k 2>45，则k >2√55．21. 解；（1）由题意知，椭圆的焦距2c =2∴ c =1又∵ 圆x 2+y 2=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴ b =1，∴ a =√2 ∴ 圆的方程为x 22+y 2=1（2）∵ 直线y =kx +m 与圆x 2+y 2=1相切，∴ 原点O 到直线的距离√1+k 2=1，即m 2=k 2+1把直线y =kx +m 代入椭圆x 22+y 2=1，可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2(m 2−1)2k 2+1λ=OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)2(m 2−1)2k 2+1−4k 2m 22k 2+1+m 2 ∵ 23≤λ≤34，∴ 23≤k 2+12k 2+1≤34，解得，12≤k 2≤1 ∴ k 的取值范围是[−1, −√22]∪[√22, 1]；（3）|AB|2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(1+k 2)(x 1−x 2)2=(1+k 2)[(−4km 2k 2+1)2−42(m 2−1)2k 2+1]=(1+k 2)[16k 2(k 2+1)(2k 2+1)2−8k22k 2+1] =(1+k 2)8k 2(2k 2+1)2=2−2(2k 2+1)2S △OAB 2=14|AB|2×1=14(2−2(2k 2+1)2)∵ 12≤k 2≤1，∴ 29≤2(2k 2+1)2≤12 ∴ 32≤2−2(2k 2+1)2≤169，∴ 38≤14(2−2(2k 2+1)2)≤49即38≤S △OAB 2=≤49∴ √64≤S △OAB ≤23∴ △OAB 的面积S 的取值范围为[√64, 23] 22. 解：（1）当a =1时，f(x)=x −1−2lnx ，则f′(x)=1−2x，由f′(x)>0，得x >2；由f′(x)<0，得0<x <2．故f(x)的单调减区间为(0, 2]，单调增区间为[2, +∞)；（2）因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能，故要使函数f(x)在(0,12)上无零点，只要对任意的x ∈(0,12)，f(x)>0恒成立，即对x ∈(0,12)，a >2−2lnxx−1恒成立．令l(x)=2−2lnxx−1，x ∈(0,12)，则l(x)=−2x(x−1)−2lnx (x−1)2=2lnx+2x−2(x−1)2，再令m(x)=2lnx +2x−2，x ∈(0,12)，则m′(x)=−2x 2+2x =−2(1−x)x 2<0，故m(x)在(0,12)上为减函数，于是m(x)>m(12)=2−2ln2>0，从而，l(x)>0，于是l(x)在(0,12)上为增函数，所以l(x)<l(12)=2−4ln2，故要使a >2−2lnx x−1恒成立，只要a ∈[2−4ln2, +∞)，综上，若函数f(x)在(0,12)上无零点，则a 的最小值为2−4ln2；（3）g′(x)=e 1−x −xe 1−x =(1−x)e 1−x ，当x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x ∈(1, e]时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．又因为g(0)=0，g(1)=1，g(e)=e ⋅e 1−e >0，所以，函数g(x)在(0, e]上的值域为(0, 1]．当a =2时，不合题意；当a ≠2时，f′(x)=2−a −2x =(2−a)x−2x=(2−a)(x−22−a)x，x ∈(0, e]当x =22−a 时，f′(x)=0．由题意得，f(x)在(0, e]上不单调，故0<22−a <e ，即a <2−2e ① 此时，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：又因为，当x→0时，2−a>0，f(x)→+∞，f(22−a )=a−2ln22−a，f(e)=(2−a)(e−1)−2，所以，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使得f(x i)=g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件：{f(22−a)≤0f(e)≥1即{a−2ln22−a≤0②(2−a)(e−1)−2≥1③令ℎ(a)=a−2ln22−a ，a∈(−∞,2−2e)，则ℎ′(a)=1−2[ln2−ln(2−a)]′=1−22−a =aa−2，令ℎ′(a)=0，得a=0或a=2，故当a∈(−∞, 0)时，ℎ′(a)>0，函数ℎ(a)单调递增；当a∈(0,2−2e)时，ℎ′(a)<0，函数ℎ(a)单调递减．所以，对任意a∈(−∞,2−2e)，有ℎ(a)≤ℎ(0)=0，即②对任意a∈(−∞,2−2e)恒成立．由③式解得：a≤2−3e−1．④综合①④可知，当a∈(−∞,2−3e−1]时，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使f(x i)=g(x0)成立．。

2013年高考数学(理科)仿真试题(十)

2013年高考数学（理科）仿真试题（新课标版）（十）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)- 2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间 A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为 A ．45- B ． 35- C ． 35 D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是7．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）主视图左视图BACD的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论： ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >；③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-. 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③8. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 . 11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，其中26a =-，则实数m 的值为； 12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =， 2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = . 14. 已知函数sin ()x f x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值.其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）（2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）A 1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π. （Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程.16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．A D O C PB E18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R .（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k = ，，3,3，….(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32，116222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14. ①② , 9三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分）解：（Ⅰ） 1()(1cos 2)sin 222f x x x =++ωω ………………………2分1sin(2)26x =++πω, …………………………3分因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分所以21()32πf =-. …………………………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………………10分由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26kπx πk Z =+∈. …………………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,…………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，1(4,)X B . ……………………………9分11分14()433E X=⨯=. ………………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DFAB =∵AB AD ⊥，AB AD=，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………2分∵BD ==，∴PO ==12AO BD ==，在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D - (1,1,0)F ，(1,3,0)C ，P ，11(,222E --，则11(,,222OE =-- ，(1,1,PF = ，(1,1,PD =- ，AD OCPBEF(1,3,PC =. ∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为0,1)n = ，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,3θn CB =<>==∴直线CB 与平面PDC所成角的正弦值为3. ………………………………………14分18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减；…………………………………………8分 ②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a+∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a+∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分 ④当12a >时，在1(0,)2a和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x <所以()f x 在1(0,)2a和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分）解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分（II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x xx -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对，所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ……………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+，所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==，当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k k k l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k k k l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数………………………………………………………………13分。

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。

（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。

（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。

（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。

4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。

5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 解释什么是平面向量的坐标表示。

3. 请写出三角形面积公式。

4. 请列举三种不同的数列。

5. 简述反函数的定义及其性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷(六)理科数学

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|A x y ==，{}|2xB y y ==，则()UA CB ＝A ．∅B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．[]0,12．定义运算a b ad bc c d=-，复数z 满足i 11 z i i=+，则复数z 的共轭复数是A ．2i +B ．2i -C ．2i --D ．2i -+3．下列说法中，错误的是A ．命题“若a A ∉，则bB ∈”的否命题是“若a A ∈，则b B ∉”B ．命题“存在实数x ，使20x x ->”的否定是“对所有的实数x ，20x x -≤ C ．命题“若22am bm <，则a b <“的逆命题是真命题D ．已知x R ∈，则12x >是2210x x +->的充分不必要条件 4．在△ABC 中，点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点，BF 交CE 于点G ，若A G x A E y A F =+ ，则x y +的值是A ．32B ．23C ．43D ．15．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题①若,,m n m αα⊂⊂∥β，n ∥β，则α∥β；②若m αβ= ，n ∥m ，n α⊄，n β⊄，则n ∥α，n ∥β； ③若m α⊥，n ∥m ，n β⊂，则αβ⊥； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥；⑤若α∥β，m α⊂，n β⊂，则m ∥n ．其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．16．若2(1,1)()d m m R =--∈ 是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)0,πB ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭71所示，左视图是一个三角形，则这个三角形的面积是A ．BCD 8．设函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，则 A ．()y f x =的最小正周期是π，其图像关于4x π=-对称 B ．()y f x =的最小正周期是2π，其图像关于4x π=-对称C ．()y f x =的最小正周期是π，其图像关于2x π=对称D ．()y f x =的最小正周期是2π，其图像关于2x π=对称9．关于x 的不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，则a 的取值范围是A ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,116⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭10．如果函数()||0)f x x a =>没有零点，则a 的取值范围是A ．()0,1B ．()()0,12,+∞C ．())0,1+∞D．(()2,+∞11．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧，则下列说法中正确的序号是 ①2310a b -+>； ②0a ≠时，ba有最小值，无最大值； ③0a >且1a ≠，0b >时，1b a -的取值范围为12,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④存在正实数MM >．A ．①④B ．③④C ．②③D ．②③④12．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，M 为椭圆上一点，且12MF MF ⋅ 的最大值的取值范围是22,2c c ⎡⎤⎣⎦，其中c 的椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．⎫⎪⎪⎣⎭C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如图2，程序运行后，输出的结果S 为．14．已知直线2y x =-与圆22430x y x +-+=及抛物线28y x =的四个交点从上而下依次为A 、B 、C 、D 四点，则||||AB CD +＝． 15．已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A ，(1,1)B ，(2,0)C ，则函数()(02)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积i=1WHILE i<8 S=2*i+3 i=i+2 WEND PRINT S END是． 16．已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则数列{}n a 的前六项和等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图像如图3所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，求()y g x =的单调递增区间．18．（本小题满分12分）如图4，在长方形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 翻折成A BE '，使平面A BE '⊥平面BCDE ，F 为A C '的中点．（1）求证：DF ∥平面A BE '；（2）求直线A C '与平面BCDE 所成角的正切值；（3）求三棱锥F A BE '-的体积． 19．（本小题满分12分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块中各随机抽取10株树苗，分别测出它们的高度如下表（单位：cm ）．（1）用茎叶图表示上述两组数据，并分别求出从两块地中抽取的树苗高度的平均数和中位数；（2）绿化部门分配这20株树苗的栽种任务，小王在株高大于35cm 的7株树苗中随机选种2株，则小王选种的树苗至少有一株来自甲地的概率是多少？（3）现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一块，按高度分成A 、B 两个等级．某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗．已知每个单位购买A 等级或B 等级树苗的费用均为5万元，且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性均等，求该市绿化部门此次采购所需A B CDE奖金总额Z 的分布列及数学期望()E Z ．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为,12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求双曲线的标准方程；（2）设斜率为(||k k <的直线l 交双曲线于P 、Q 两点，若直线l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥．21．（本小题满分12分）已知函数(),xf x e ax a R =+∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的实数0x >，()0f x >恒成立，试确定a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在实数[]01,x e ∈，使曲线:()ln ()xC g x e x f x =-在0x x =处的切线与x 轴平行？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图5，已知AB AC =，AC 为圆O 的直径，BC 与圆O 交于点D ，DE AB ⊥，连CE 交圆O 于F ．（1）求证：DE 为圆O 的切线；（2）求证：AE BE EF CE ⋅=⋅．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知圆1O 与圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos()24πρθ--=．（1）把圆1O 与圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求两圆公共弦的长．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】设()|1||2|f x x x =+--．（1）若不等式()f x a ≤的解集为(],1-∞，求a 的值；（2）若1()()g x f x m=+的定义域为R ，求实数m 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（n ）文科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|11}=-A x x ≤≤，{|0}=>B y y ，{|0}∴=U B y y ≤ð，故()= U A B ð[1,0]-. 2．由题可得i i 1i -=+z ，12i2i i+∴==-z ，则复数z 的共轭复数是2i +. 3．A 、B 、D 选项都是正确的，选项C 的逆命题是“若<a b ，则22<am bm ”，它是错误的，因为当0=m 时，22=am bm .4．由题可得点G 是ABC △的重心，设BC 边的中点为D ，则2211()(22)3323==⨯+=+ AGAD AB AC AE AF，23∴==x y ，43∴+=x y .5．只有②③是正确的.6．直线l 的斜率211=-k m ≤，tan 1,∴α≤ ∴ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭α.7．设正四面体的棱长为a ，则体积31132=⨯⨯=V a2∴=a ，而正四面体的左视图为一个三角形，如图1所示，∴122=⨯S . 8．73ππ()sin πcos πsin cos 4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x x x x xππππsin cos cos sin cos cos sin sin cos )4444=--+=-x x x x x xπ2sin 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ，故最小正周期是2π.令πππ,42-=+x k 则3ππ4=+x k 为函数()=y f x 的对称轴方程. 当1=-k 时，π4=-x .9．由题意得2log <a x x 在10,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦x 上恒成立，故在10,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦x 上2=log =ay x y x 的图象在的下方，由图象知0<<1a . 当=log a y x 的图象过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭时，1=16a ，故1,116⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a 时满足题意.10．()||0==f x x ||x ，函数()f x 没有零点，则=y 的图象与||=y x 的图象没有交点. 如图2，图122(0) =+=y x y a y≥，它表示以(0,0)|| =y x的图象是端点为(0,的一条折线，当上半圆与||=y x相切时，1=a；当上半圆经过点(0,2∴=a；若两图象没有交点，则01>2<<a a或.11．①由于点(,)P a b与点(1,0)Q在直线23+1=0-x y的两侧，则23+10-<a b；②0≠a时，-=-b ba a可看作点(,)P a b与原点的斜率，由图可知无最值；③11-=--b ba a可看作点(,)P a b与点(1,0)的斜率，由图可知1-ba∈12,,+33⎛⎫⎛⎫-∞-∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④=可看作点(,)P a b与原点的距离，而原点到直线的距离为==MM.12．设00(,)M x y，则100200(,),(,)=---=--MF c x y MF c x y，222222222222222120000022211.⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=-+-=--+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x b cMF MF x c y x c b x c b x c ba a a[,]∈-x a a，∴当=±x a时，12⋅MF MF有最大值2b，2222,∴c b c≤≤22222222,23,∴-∴c a c c c a c≤≤≤≤2211,32∴ca≤≤∴∈⎣⎦e.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图2【解析】13．i 从1开始，依次取3，5，7，9．故输出27317=⨯+=S . 14．如图3所示，圆的方程可化为22(2)1,-+=x y抛物线的焦点(2,0)F ，准线 2.=-x 由228=-⎧⎨=⎩y x y x ，，得21240-+=x x ，设直线与抛物线交于(,),(,)A A D D A x y D x y ，则12+=A D x x .()()(1)(1)2+=-+-=-+-=+-AB CD AF BF DF CF AF DF AF DF ，由抛物线的定义得2,2=+=+A D AF x DF x ，故()2214+=+-=++=A D AB CD AF DF x x .15．,01,()2,12,<⎧==⎨-⎩x x y f x x x ≤≤≤ 22,01,()2,12,⎧<⎪∴==⎨-⎪⎩x x y xf x x x x ≤≤≤ 3312122220101d (2)d 133⎛⎫∴=+-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰x x S x x x x x x .16．1231531311121,(),(),()1213+==∴======++ n n a a f a a f a a f a a a . 20102012= a a，20122010201020101,1∴==∴+a a a a2010200820062004220081===1∴==∴+ a a a a a a 同理：123456121323∴+++++=+++=a a a a a a 三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）311π3ππ,π41264=-=∴= T T ，2π2∴==Tω.图3图象过点π,6⎛⎫⎪⎝⎭A ，ππππ22π,0,6226∴⨯+=+<<∴= k ϕϕϕ，π()sin 26⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭f x A x .又图象过点(0,1)，πsin 1,26∴=∴=A A ，π()2sin 26⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭f x x . ……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ()2sin 22sin 2463⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x .由πππ2π22π232--+k x k ≤≤得π5πππ1212-+k x k ≤≤， ∴()=y g x 的单调递增区间是π5ππ,π1212⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k . ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）如图4，（Ⅰ）证明：取'A B 的中点G ，连接FG ，EG ，F 、G 分别是'A C 、'A B 的中点，12∴FGBC ，又12DE BC ， ∴FG DE ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴//DF EG ，又''⊄⊂DF A BE EG A BE 平面，平面，∴DF //'A BE 平面. ……………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：取BE 的中点H ，连接,'A H HC ，则'⊥A H BE ，='''⊥∴⊥ A BE BCDE A BE BCDE BE A H BCDE 平面平面，平面平面，平面，''∴∠A CH A C BCDE 为与平面所成角，在△BCH中，由余弦定理得22252222=+-=⎝⎭CH，'=A H 又tan =''∴∠=A H A CH CH ……………………………………………………………（8分）（Ⅲ）解：过点D 作⊥DM BE 于点M ，易证'⊥DM A BE 平面，在Rt △DME中，sin 45=⋅︒DM DE图4DF //'A BE 平面，∴F 到平面'A BE 的距离即为D 到平面'A BE 的距离，111132''--∴==⨯⨯⨯F A BE D A BE V V . ……………………………………（12分）另解：''---=-F A BE A BEC F BEC V V V .（其他解法酌情给分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）茎叶图表示为图5. 甲地树苗高度平均数 =1920212325293233374128(cm)10+++++++++=，乙地树苗高度平均数=1026303034374446464735(cm)10+++++++++=，甲地树苗高度中位数=252927(cm)2+=，乙地树苗高度中位数=343735.5(cm)2+=， ………………………………………（4分）（Ⅱ）都来自乙地的概率为：2527C 10C 21=，∴至少有一株来自甲地的概率为：11021-=1121. ………………………………………（8分）（Ⅲ）Z 的可能取值为0，5，10，15，20，设Z=5y ，则1~4,2⎛⎫⎪⎝⎭Y B ，(0)=P Z =4411C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭，(5)=P Z =41411C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， (10)=P Z =42413C 28⎛⎫= ⎪⎝⎭，(15)=P Z =43411C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭，(20)=P Z =44411C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭，Z 的分布列为：图5∴()E Z =5()E y =10.故该市绿化部门此次采购所需资金总额Z 的数学期望为10万元. …………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2-=∴=p p∴抛物线22(0)=>y px p 的焦点为⎫⎪⎪⎝⎭，∴=a 12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1∴∴=bb a . 故双曲线的标准方程为222 1.-=x y ………………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l ：=+y kx b .直线l 与圆相切，221,1=∴=+b k ，由22,21=+⎧⎨-=⎩y kx b x y 消去y 得：222(2)210----=k x kbx b . 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则212122221,22--+==--kb b x x x x k k ， 22121212121212()()(1)()∴⋅=+=+++=++++OP OQ x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b2222222222(1)(1)21222+---+-=++=---k b k b b k b k k k， 221=+ b k ，0,∴⋅=∴⊥OP OQ OP OQ . ……………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()'=+x f x e a ，当0a ≥时，()0'>f x ，()∴f x R 在上是增函数；当<0a 时，令()=0,ln()'=+-x f x e a x a 则=，则()(ln())(ln()+)∞--∞f x a a 在-,上是减函数，在，上是增函数. ……………（4分）（Ⅱ）()0(,+)>(,+)=+>∈∞⇒-∈∞xxe f x e ax x a x x在0上恒成立在0上恒成立.令22(1)()=,()==--'-∴-x x x x e e x e e x k x k x x x x，当>1x 时，()0'<k x ；当0<<1x 时，()>0'k x ， ()(0,1)(1+)∴∞k x 在上是增函数，在，上是减函数, max ()=(1)=,∴-k x k e>∴-a e . …………………………………………………………………………（8分）（Ⅲ）()ln ,(0,)=-++∞x x g x e x e x 定义域为,1()ln 1ln 11⎛⎫'∴=+-+=+-+ ⎪⎝⎭x x x x e g x e x e x e x x .若曲线C ：()ln ()=-x g x e x f x 在0=x x 处的切线与x 轴平行，则0()0'=g x ，0[1,]∈x e 有实数根. 令221111()ln 1,()=-'=+-=-+x h x x h x x x x x则, ()(0,1)(1+)∴∞h x 在上是减函数，在，上是增函数.0[1,]∈x e ，()(1)0,>0∴=x h x h e ≥又,01[1,]()ln 11>0⎛⎫'∴∈=+-+ ⎪⎝⎭x x e g x x e x 当时，，∴()0'=g x 在0[1,]∈x e 上无实数根，故不存在实数0[1,]∈x e 满足题意. ……………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图6，连接,OD ,ADAC 为圆O 的直径，.∴⊥AD BC又 ,=AB AC ∴.∠=∠CAD BAD,=OA OD∴,∠=∠CAD ODA ∴,∠=∠BAD ODA图6⊥DE AB ，,∴⊥OD DE∴DE 为圆O 的切线. ……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）在Rt ADB △中，⊥DE AB ，2.∴=⋅DE AE BE ……………………………………………………………（8分）DE 为圆O 的切线，2∴=⋅DE EF CE ，∴.⋅=⋅AE BE EF CE ……………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆1O 可化为：224+=x y ,圆2O可化为：2ππcos cos sin sin 244⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ρθθ，222220.∴+---=x y x y ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立22224,2220,⎧+=⎪⎨+---=⎪⎩x y x y x y 两式相减得10+-=x y ，即为公共弦所在的直线方程,∴圆心1(0,0)O 到直线10+-=x y的距离为==d ，故两圆公共弦的长为= ……………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）3,1,()21,12,3,2,-<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩x f x x x x ≤≤其图象如图7：由图可知当x =1时，y =1，故=1a . ……………………………………（5分）（Ⅱ）由题意得()0+≠f x m 在R 上恒成立，即()0+=f x m 在R 上无实数解，即()==-y f x y m 的图象与无交点，<3>3∴---m m 或，图7云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）·双向细目表文科数学。

2013届高考数学理科模拟试题(有答案)

2013届高考数学理科模拟试题（有答案）安徽省阜阳市第一中学2013届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题（共10小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案）1、复数的共轭复数为（）。

ABCD2、实数x，条件P:xA充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要3、某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（）。

ABCD4、对任意x都有则()。

AB0C3D5、为锐角三角形，则则与的大小关系为（）。

ABCD6、动点在区域上运动，则的范围（）。

ABCD7、四面体的五条棱长都是2，另一条棱长为1，则四面体的体积为（）。

ABCD8、已知：在上为减函数，则的取值范围为（）。

ABCD9、为x的整数部分。

当时，则的值为（）。

A0B1C2D310、数列、、、、、、、、、……依次排列到第项属于的范围是（）。

ABCD二、填空题：(共5小题，每小题5分)。

11、等比数列中，若则¬¬_____________。

12、过点P（1,2）的直线，在x轴、y轴正半轴截距分别为、，则最小值为____________。

13、如图:矩形ABCD中，AB=BC=2点E为BC的中点，点F在CD上。

若则_____________。

14、函数，则不等式的解集_________。

15、,为x的整数部分，当时，的解集为___________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（12分）已知向量（1）求并求的单调递增区间。

（2）若，且与共线，为第二象限角，求的值。

17、（12分）函数为奇函数，且在上为增函数，，若对所有都成立，求的取值范围。

18、（12分）直三棱柱中，点M、N分别为线段的中点，平面侧面(1)求证：MN//平面(2)证明：BC平面19、（12分）若，证明：20、（13分）设(1)讨论函数的单调性。

（2）求证：21、（14分）数列中，（1）求证：时，是等比数列，并求通项公式。

（2）设求：数列的前n项的和。

2013高考理科数学密破仿真预测卷06含答案

考试时间:120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2．答第1卷时，每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3．答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规书写．．定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2．534+i的共轭复数是（ )．A ．34-iB ．3545+i C ．34+i D ．3545-i【答案】D【解析】解：因为55(34i)34i34i (34i)(34i)5--==++-，故选D4. 若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-132的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为A.3927C - B.3927C C.499C - D 。

499C5．目标函数y x z +=2,变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ,则有（）A ．3,12min max==z z B ．z z,3min=无最大值C ．,12max=zz 无最小值 D ．z 既无最大值，也无最小值【答案】B【解析】因为目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，那么可知作图得到目标函数平移法得到由最小值3，没有最大值故选B 。