(完整版)解直角三角形超经典例题讲解

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第十一讲解直角三角形的应用

【典型例题1】

如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处．此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为︒=30α，︒=45β．求大桥AB 的长．（精确到1米，供选用的数据：41.12≈，73.13≈）

解：由题意，得∠PAC=︒=30α，∠PBC=︒=45β。在Rt △PBC 中，∵PO ＝450，∴BO=450。同理可得AO=3450。

∴AB=AO-BO=5.3284503450≈-=329。

答：大桥AB 的长为329米。

【知识点】

仰角和俯角的概念。

仰角和俯角就是水平线与视线所夹的角，如果视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

【基本习题限时训练】

1. 小李在楼上点A 处看到楼下点B 处的小明的俯角是35度，那么点B 处的小明看点A 处的小李的仰角是（）

（A ）25度；（B ）35度；（C ）45度；（D ）55度。答案：B 。

2.在离房屋m 米处的地方测得房屋顶部的仰角为α，测角仪的高度为a 米（a<m ），那么此房屋的高度为（）

（A ）αm tan ；（B ）αm cot ；（C ）αm a tan +；（D ）αm a cot +。答案：C 。

3. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，则这栋高楼高为（）

（A ）322；（B ）344；（C ）366；（D ）388。答案：D 。【压轴题1】如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB =36米．

第25章解直角三角形(第1-2节)

第25章解直角三角形

§25.1 测量

【学习目标】

1.了解测量物体高度和物体之间距离的方法.

2.学会运用相似三角形对应边成比例或勾股定理解决相关测量问题. 【课前导习】

1．在△ABC 中，若∠C=90° , ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,则a 2+b 2= ．

2．若△ABC ∽DEF,AB=6，DE=8，则

)(AB

)

(BC

)(DF

= ．

3. 地图上A 、B 两地的图上距离是1.6m ，比例尺为1：20000，则实际距离是 km ．

4.一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是．【主动探究】

问题一：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？

你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

图25.1.1

如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．

问题二：如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识，你知道吗？．

试一试：如图25．1．2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？

图25.1.2

实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．

初中数学专题——函数及其图像的经典例题解析，非常全...

初中数学专题——函数及其图像的经典例题解析，非常全...（一）巧解直角三角形与函数图像

例1：如图1所示，已知等边ABC的两个顶点坐标为A（－4，0）、B（2，0），试求：（1）C

点的坐标；

（2）ABC的面积。

常规策略：设C点的坐标为（x，y），根据等边三角形的性质建立方程，解出x、y，即可求得C

点的坐标。

巧妙解法：

画龙点睛：利用设元求解点的坐标往往比较复杂，但利用点的坐标的几何意义，可将直角坐标

系中的问题转化为解直角三角形的问题来处理。

练习题：

图3

（二）挖掘隐含条件解题

（三）巧用函数图像与x轴的交点

例3：已知二次函数的图象经过点P

（2，－3），并且以直线x＝1为对称轴，若它与x轴交于A（－1，0）点，求二次函数的解析

式。

常规策略：用求出点A或点P关于x＝1的对称点后，将三点代入y＝ax2＋bx＋c后求解。

巧妙解法：因为抛物线对称轴为x＝1，且点（2，－3）和点（－1，0）在抛物线上，所以点

（2，－3）和点（－1，0）的对称点（0，－3）和点（3，0）也在抛物线上。

从而设抛物线的解析式为：y＝a（x＋1）（x－3），

把点（0，－3）的坐标代入，得－3＝a（0＋1）（0－3），

解得a＝1，

所以二次函数的解析式为

y＝（x＋1）（x－3），即y＝x2－2x－3

画龙点睛：求二次函数的解析式时如知道函数图象与x轴的交点时，应避免用一般式y＝ax2＋bx

＋c解题，而应采用两根式解题，可使运算简便。

练习题：

2. 已知函数y＝－x＋m与y＝mx－4的图象的交点在x轴的负半轴上，那么m的值为（）。

3. 以x为自变量的二次函数

直角三角形的边角关系的典型例题的解析

余弦 cosA＝______，cosB＝______
面积易错点
正切 tanA＝______，tanB＝______
SRt△ABC＝12ab＝12chc，hc 为斜边上的高非直角三角形要构造直角三角形
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°， AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连接CD.如果AD＝1，那么tan∠BCD＝________．
9．路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线(D在中心线上)．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高(结果保留根号)．
（备用图）
课堂小结
通过本节课的学习谈收获、需要注意的问题
3．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则 cos∠AOB的值是________．
知识点二：30°、 60°、45° 的三角函数值：
知识点三解直角三角形的基本关系及应用
边wenku.baidu.com关系角的关系
勾股定理：a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90°
边角关系
正弦 sinA＝______， sinB＝______
8.在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以50km/h的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心 130km内的地方都要受到其影响。（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多久？

初中数学解直角三角形知识点讲解及例题解析

解直角三角形知识点讲解及例题解析

一、知识点讲解：

1、解直角三角形的依据

在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么

（1）三边之间的关系为（勾股定理）

（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系为

2、其他有关公式

面积公式：（hc为c边上的高）

3、角三角形的条件

在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式

在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？

（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数

（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5、直角三角形时需要注意的几个问题

（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算

锐角三角函数解直角三角形例题

主题：锐角三角函数解直角三角形例题

【序言】

直角三角形是我们初中数学学习中的一个重要内容，而锐角三角函数作为直角三角形中的一个重要概念，在解题中也扮演着重要的角色。下面我们将通过一些例题来详细讲解锐角三角函数在直角三角形中的应用。

【例一】

已知直角三角形中的一角为30°，对边长为3cm，求斜边长。求

sin30°、cos30°、tan30°的值。

1. 根据三角函数的定义，sin30°=对边/斜边=3/斜边，而cos30°=邻边/斜边，tan30°=对边/邻边

2. 根据30-60-90三角形的性质，可知对边为3cm，邻边为

3*sqrt(3)cm，斜边为2*3cm=6cm

3. 所以sin30°=1/2，cos30°=sqrt(3)/2，tan30°=1/sqrt(3)

【例二】

已知直角三角形中的一角为45°，斜边长为5cm，求对边和邻边的长度。求sin45°、cos45°、tan45°的值。

1. 根据三角函数的定义，sin45°=对边/斜边，cos45°=邻边/斜边，

tan45°=对边/邻边

2. 根据45-45-90三角形的性质，可知对边和邻边的长度相等，且均为斜边的1/sqrt(2)倍

3. 所以对边和邻边的长度均为5/sqrt(2)cm，sin45°=1/sqrt(2)，cos45°=1/sqrt(2)，tan45°=1

【例三】

已知直角三角形中的一角为60°，对边长为4cm，求斜边和邻边的长度。求sin60°、cos60°、tan60°的值。

1. 根据三角函数的定义，sin60°=对边/斜边，cos60°=邻边/斜边，tan60°=对边/邻边

解直角三角形的典型例题

一、知识概述

1、仰角、俯角

仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．

说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．

2、坡角和坡度

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示

说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．

(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．

3、象限角

象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．

二、重点难点疑点突破

1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．

一般有以下三个步骤：

(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；

(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；

(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．

其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：

解直角三角形超经典例题讲解

之阳早格格创做课题解曲角三角形授课时间：

备课时间：

教教目标

1. 相识勾股定理

2. 相识三角函数的观念

3. 教会解曲角三角形

沉面、易面

三角函数的应用及解曲角三角形

考面及考查央供

各考面

教教要领：道授法

教教真量

（一）知识面（观念）梳理考面一、曲角三角形的本量

1、曲角三角形的二个钝角互余

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°

2、正在曲角三角形中，30°角所对于的曲角边等于斜边的一半. ∠A=30°

可表示如下： ⇒BC=

1AB ∠C=90°

3、曲角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°

可表示如下： ⇒CD=2

AB=BD=AD D 为AB 的中面 4、勾股定理

曲角三角形二曲角边a ，b 的仄圆战等于斜边c 的仄圆，即2

c b a =+ 5、摄影定理

正在曲角三角形中，斜边上的下线是二曲角边正在斜边上的摄影的比率中项，每条曲角边是它们正在斜边上的摄影战斜边的比率中项 ∠ACB=90°BD AD CD •=2

⇒AB AD AC •=2

CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、时常使用闭系式

由三角形里积公式可得： AB •CD=AC •BC

α不妨瞅做是面A 的角也可瞅做是面B 的角；

9、（1）坡度（或者坡比）是坡里的铅曲下度（h ）战火

仄少度（l ）的比.

记做i,即i = l h

；

（2）坡角——坡里与火仄里的夹角.记做α，有i ＝l h

=tan α

（3）坡度与坡角的闭系：坡度越大，坡角α便越大，坡里便越陡

考面二、曲角三角形的判决

1、有一个角是曲角的三角形是曲角三角形.

解直角三角形超经典例题讲解

课题解直角三角形

授课时间：备课时间：

1. 了解勾股定理

教学目标

2. 了解三角函数的概念

3. 学会解直角三角形

重点、难点三角函数的应用及解直角三角形

考点及考试要求各考点教学方法：讲授法

教学内容

（一）知识点（概念）梳理

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下：BC=

∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

可表示如下：CD=

D 为AB的中点

4、勾股定理1

AB=BD=AD

直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即5、摄影定理a 2b2 c

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条

直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90°CD AD BD

AC AD AB

CD⊥AB BC2 BD

AB 6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB CD=AC BC

7. 图中角可以看作是点 A 的角

也可看作是点B的角；

（1）

9、（1）坡度（或坡比）是坡面的铅直高度（h）和水平长度（l ）的比。

记作i, 即i = l

；

（2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l

=tan α

（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

解直角三角形经典例题和练习

解直角三角形

精典例题：

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝，D为AC上

一点，∠BDC＝450，DC＝6，求AB的长。

变式：如图，在△ABC中，∠B＝900，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝450，∠ACB＝600，求AB的长。

【例2】如图，在△ABC中，∠A＝300，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则tan∠CFB＝（）

【例3】已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，

∠BOC＝1200，试求AB的长。

跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝600，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是。

2、在△ABC中，∠B＝300，tanC＝2，AB＝2，则BC的长是。

3、在△ABC中，∠C＝900，AB＝2，BC＝，则tan＝。

4、已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝600，则PO∶AO＝。

5、如图，在△ABC中，∠B＝600，∠BAC＝750，BC边上的高AD＝3，则BC＝。

6、等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于。

二、选择题：

1、在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA的值是（）

A、B、C、1 D、

2、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）

A、B、C、D、

3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米。

现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（）

解直角三角形知识点及典型例题

板块一解直角三角形

一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.

二、直角三角形的边角关系

如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

a C

⑴ 三边之间的关系：222

a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =

，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a

=. 三、解直角三角形的四种基本类型

⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a

A c

求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠

，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；

⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a

c A

=；

⑷ 已知两直角边(如a 和b )

，求出c =tan a

A b

=，得90B A ∠=︒-∠.

具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a

c A =等.

四、解直角三角形的方法

解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：

当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；

无斜边时，就用正切或余切；

当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；

既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．直角三角形两锐角间的三角函数关系

解直角三角形典型例题

典型例题

【例1】为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB 的高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC 的高度．

解：在Rt △ABD 中，AB ＝3 m ，∠ADB ＝45°，所以AD ＝

AB tan ∠ADB

＝3tan 45°＝3

1＝3(m)．

Rt △ACD 中，AD ＝3 m ，∠ADC ＝60°，所以AC ＝ADtan ∠ADC ＝3×tan 60°＝3×3＝33(m)．

所以路况显示牌BC 的高度为(33－3) m.

【练习1】如图2，小山上有一电视塔CD ，由地面上一点A ，测得塔顶C 的仰角为30°，由A 向小山前进100米到B 点，又测得塔顶C 的仰角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE.

【例2】如图3，有长为100m 的大坝斜坡AB ，坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸长的坡度DB 的长.

【练习2】水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水面AB 的长为10 m ，∠B ＝60°，背水面DC 的长度为10 3 m ，加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE 的长为5 m.

(1)已知需加固的大坝长为100 m ，求需要填方多少立方米； (2)求新大坝背水面DE 的坡度．(计算结果保留根号)

解：(1)分别过A ，D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂足分别为F ，G ，如图所示．

专题18 解直角三角形问题(解析版)

专题18 解直角三角形问题

一、勾股定理

1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

5. 直角三角形的性质：

(1)直角三角形的两锐角互余；

(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；

(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；

(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：

(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形

(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形

(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形

(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形

二、锐角三角函数

1.各种锐角三角函数的定义

（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边

斜边

（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边

斜边

（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边

2.特殊值的三角函数：

专题知识回顾

α sin α

cos

tan α

cot α

0° 0 1 0 不存在

30° 12 32 33 3

九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)

《解直角三角形》典型例题

例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．

分析本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．

解（1）

；（2）由a

b B =tan ，知；（3）由

c a B =

cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ．说明此题还可用其他方法求b 和c ．

例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．

解法一 ∵

∴

设

,则

由勾股定理,得 ∴ ．

∴

．解法二 133330tan =⨯=︒=b a

说明本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．

例 3 设

中，于D ，若，解三

角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是

的边，所以应先从Rt入手．

解在Rt中，有：

∴

在Rt中，有

说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：

（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中

“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：

所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．

例4在中，，求．

分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；

（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有

，且有

；

在中，，且

，

∴；

于是，有，

解直角三角形典型例题

知识点1、直角三角形边、角之间的关系： sinA=cosB=c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=a

【典型题例】

1.在RtΔABC 中，∠C=900，则下列等式中不正确的是( ) （A ）a=csinA ；（B ）a=bcotB ；（C ）b=csinB ；（D ）B

c cos =

. 2.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是米.

3.如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若．（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值．

知识点2、方位角问题：【典型题例】

某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l （如图）救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B 处有人发出求救信号.他立即沿AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C 处入海，径直向B 处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B 处游去.若CD=40米，B 在C 的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B 处？请说明理由.

（参考数据：sin550.82cos550.57tan55 1.43≈≈≈，

，）

知识点3、仰角和俯角问题：【典型题例】

1.为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α，则楼房BC 的高为( ) （A ）30tan α米；（B ）

30tan α

米；（C ）30sin α米；（D ）

解直角三角形(复习课)

cos A AC 5t 5 ， AB 13t 13
tgA BC 12t 12， AC 5t 5
ctgA AC 5t 。 BC 12t
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解直角应三角形用
三、例题讲解：
例1、已知
RtABC
中，∠C=Rt∠,sinA=
12 13
，
求角A的
其它锐角三角函数值。解：RtABC中，C Rt,
sin A 12 BC 13 AB
设BC 12t, AB 13t. 由勾股定理，得
AC AB2 BC2 5t，
例3一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD，试根据下图
中的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单位是米，结果保
留根号）
解：过C作CFAD于F AB CD,BC // AD,i 1: 3, A
B 4
C
i 1: 3
6
α
EF
D
CF BE 6,EF BC 4,
AE FD 3CF 6 3.
；
赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。民歌有意思，留在春营地和路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。财富离幸福有多远？贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。有人不想多办事，也不想到哪儿去以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享受，与幸福无关。（二）人有时不知道自己到底要什么。如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只占一成，饮食男女而已。于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。（三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。（四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的住房。在，听朋友交流打高尔夫球的体会。而到了深圳，几位巨富比较各自的健康状况，甘油三脂，高密度脂蛋白胆固醇（HDL），后者在每公升血液中多一毫克，心肌梗塞的发生率会下降3%。 ? 我想到，太行山农人的甘油三脂和HDL一定最让深圳的富豪倾心。这样，又想起海因里希· 伯尔那篇一个渔夫在海边晒太阳，有游客劝他工作等等的小说。人的努力常常会使目标回到原地，换句话说，人也许不知道自己的幸福在哪里。有时，人只为温饱而工作，没有办法去为幸福而谋划，因为谋划的结果大多是财富或满足，离幸福仍然很远。 ? 其实幸福太简单，简单到我们承担不了。（五） ? 为什么穷人离幸福很近？ ? 如同朴素离美很近那样，穷人的愿望低而单纯。人在风雪路上疾走，倘遇暖屋烤火，是一种幸福。把汗湿的鞋垫抻出来，手脚并感炉火的温暖，与封侯何异？这时，倘有一杯热茶与点心，更让人喜出望外。这样的例子太多，如避雨之乐，推重载之车上坡幸无顶风之乐，在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，在快餐店吃饭忽闻老板宣布啤酒免费之乐，走夜路无狼狗尾随之乐。穷人太容易快乐了，因为愿望低，“望外”之喜于是多多。有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，是因为此类幸福需要风雪、推车、捡报纸以及走夜路这些条件。 ? 穷人的幸福差不多是以温饱不逮为前提的，满足了温饱，幸福却变得悭吝，它的价值又升高了。 ? 除非你有意过一种简单的生活。（六）贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。蝴蝶一如梦游人 ? 会飞的生灵里，蝴蝶一如梦游人。它好像不知住哪儿飞，断断续续。鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，什么样的生活，醉醺醺，有一点混乱，甜蜜忧伤各半，如蝴蝶。 ? 蝴蝶蹁跹，像找丢失的东西。仔细看，它啥东西都没丢，触须、肚子和翅膀是它的全部家当。它飞，一跳一跳，像人跺脚。也许，它视陆地为海洋，怕浪花打湿衣袂。 ? 蝴蝶有大梦，伏落灌木的时候，其实在工作。梦里飞里，直至被露水凉醒。诺瓦利斯说：“如果在梦中梦见自己做梦，梦就快醒了。”它梦见城市的水泥地面长满卷心菜和十字花科椰菜，楼顶冒出清泉，空气变好了。蝴蝶对空气很挑剔，它的肺太纤弱。蝴蝶梦到月亮跟太阳商量，替值一个白班。月色昼夜相连，雾一般的蝴蝶弥漫城市上空，如玉色的落叶，却无声息。人愿把蝴蝶想象为女性，正如可以把鸟类想象为男性。鸟儿高飞，一如士兵。蝴蝶一生都在草地灌木中。蝴蝶假如不怯生，从敞开的窗飞进人类的家里，那么—— 落在酣睡的孩子的额上，有如天使的祝福。落书页上，好像字句开出素白的花。落碗边，仿佛里面装满泉水。 ? ?落鞋上，这双鞋好像刚刚走过长满鲜花的草地。 ? 落于枕旁，人梦见青草像一片流水淹没大地。 ? 蝴蝶落在墙上的竹笛上，笛孔屏息，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。蝴蝶飞过人的房间，看人的床辅、厨房、牙刷和眼镜，缓缓飞出窗外，接着梦游。春天是做梦的季节，边飞边梦，蝴蝶就像年青人。黄金不用是废铁 ? 讲个故事吧。有一个老汉勤劳致富。他种的粮食，自用之外卖钱，再把钱换成黄金。这些金子放丰一只瓦罐里，摆在屋檐下面。老汉累的时候，或者需要娱乐的时候，背着手看这些金锭，它们闪闪发光，像歌颂老汉的不凡。当然，喜欢黄金的人并不只老汉一个人，别人也喜欢。别人不想经历种粮食、卖粮食、换钱再买黄金这么复杂的历程，把老汉的偷走了。黄金没了，老汉就哭。他没想到别人用偷的方法积累黄金。他觉得自己的粮食啊，汗水啊，青春啊，特别是黄金，都让这个人偷走了。悲声惊动了邻居，大伙儿围成一圈儿，听老汉哭。 ? 一位邻居说：这些黄金你用过吗？用的意思是打个戒指，或者换一头小毛驴替代劳动，也包括送给别人施善。老汉说：没有。邻居说：没用过，你哭什么？ ? 老汉说什么话？没用过就不疼吗？没用过就没有价值吗？ ? ?邻居说：嗨，没用过的东西就跟没有东西是一样的。黄金对你来说，用处只在看。别哭啦，你可以看其他的东西，比如花、比如天空的云彩。还有，你拿几块镀金的元宝放在罐子里，不也好看吗？老汉止住了哭泣。他不赞成邻居的话，但这一番话让他无法反驳，只好认为自己不曾有过黄金，别人也未曾偷走它。故事就是这样，不一定真正发生过，但有一点儿趣味。一个有才能的人不运用才能，就贫穷如老汉，

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