28吴清--第一轮复习--二次函数2+模拟测试讲解
第14讲+二次函数的应用(课件)-2024年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)
二次函数的应用
➢ 能用二次函数解决实际
问题
理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，
需要考生在做题过程中更为细心对待。
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第二部分
知识建构
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与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元．
(1)直接写出P与x之间的函数关系；
【详解】
（1）解：结合图象，分段计算，
当10 ≤ ≤ 15时， = 40，
当0 < ≤ 10时，设 P 与 x 之间的函数关系为： = + ，
∵(10,40)，(0,20)，
∴
= 20
润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，
并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函
数的最值解决面积最值问题。
∴2 = = −3 2 + 60；
考点一 二次函数的实际应用
题型01 最大利润/销量问题
【例1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，
甲商品从开始销售至销售的第天总销量1 （千克）与的关系如图1所示，且1 是的二次函数．乙商品从开始销
(1)分别求出1 ，2 与的函数关系；
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
2024年高考数学一轮复习第2章 §2.6 二次函数与幂函数
§2.6二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为；当α为偶数时，y＝xα为．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域值域对称轴 x ＝ 顶点坐标奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递 ； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递 ； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( ) (3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( ) 教材改编题1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，则f (8)的值等于( ) A.14 B ．4 C ．8 D.182．已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋5，则函数y ＝f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．函数f (x )＝－2x 2＋4x ，x ∈[－1,2]的值域为( ) A ．[－6,2] B ．[－6,1] C ．[0,2]D ．[0,1]题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1，0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1(2)(2023·德州模拟)幂函数f (x )＝(m 2＋m －5)225m m x ＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (3)等于( )A ．27B ．9 C.19 D.127听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)已知幂函数3py x ＝(p ∈Z )的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p 为奇数，且p >0B ．p 为奇数，且p <0C ．p 为偶数，且p >0D ．p 为偶数，且p <0(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y ＝254m m x －＋(m ∈Z )为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可以为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．题型三二次函数的图象与性质命题点1二次函数的图象例3设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2二次函数的单调性与最值例4(2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0D．abc<0(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．。
全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题分类汇总及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
2020年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.5 二次函数与幂函数(讲)
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域 单调性 对称性
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
4ac－b2
[ ) ，＋∞ 4a
4ac－b2
( ] －∞， 4a
性质.
2017•浙江 5.
2.了解幂函数的变化特征.
【知识清单】
1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象
分析预测 1.与二次函数相关的单调 性、最值问题； 2.幂函数的图象与性质的 应用. 备考重点： 1.“三个二次”的结合问 题； 2.幂函数图象和性质.
它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式 f x ＝________.
【答案】－2x2＋4
【解析】由 f x 是偶函数知 f x 图象关于 y 轴对称，
∴ b＝－2 ，∴ f x＝－2x2＋2a2 ，又 f x 的值域为(－∞，4]，
∴ 2a2 4 ，故 f x＝－2x2＋4 .
【1-2】已知：抛物线与 x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，- 9 ），则函数解析 2
∴ 所求函数解析式为： y 1 x 2 x 4 , y 1 x2 x 4 ．
2
2
-3-
【领悟技法】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般 用待定系数法，选择规律如下：
【触类旁通】
【变式一】已知二次函数 f (x) 的图象经过点 4, 3 ，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任
2024年深圳市中考数学模拟题汇编：二次函数(附答案解析)
2024年深圳市中考数学模拟题汇编：二次函数一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+42．已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m23．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）4．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察：s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象滑行时间t/s01234滑行距离s/m0 4.51428.548根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（）A．=322+3B．=322−3C．=522−2D．=522+25．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的图象如图所示，其对称轴为直线=12，那么一次函数y ＝ax+b的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2 7．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤6B．﹣1≤x＜6C．﹣1＜x≤6D．x≤﹣1或x≥6 8．二次函数y＝2x2的图象平移后，得到二次函数y＝2（x+1）2﹣4图象，平移方法是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位9．已知二次函数y＝x2+（1﹣m）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤3D．m＞﹣1 10．如图，抛物线1=o+2)2−3与2=12(−3)2+1相交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，有下列结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝5；④2AB＝3AC，其中正确的有（）A．①②B．①③C．③④D．①④二．填空题（共5小题）11．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为m2．12．如图，小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为y=−19（x﹣3）2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为（0，169），则实心球飞行的水平距离OB的长度为m．13．若二次函数y＝ax2的图象开口向上，则a的取值范围是．14．若将抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度得到抛物线y＝﹣x2+bx+c，则b+c ＝．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于点M．①若抛物线经过（0，4），则b＝；②若AB＝3，则OM＝．三．解答题（共5小题）16．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：=−182+8++1的一部分．（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．17．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？18．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝10m，水嘴高AD＝6m．（1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC．19．某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？20．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2024年深圳市中考数学模拟题汇编：二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】B【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．2．已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】A【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x=22，∴这两个函数图象对称轴之间的距离=22=2．故选：A．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．4．滑雪爱好者小张从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得的一些如下数据（如表），为观察：s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以t为横坐标，s为纵坐标绘制了如图所示的函数图象滑行时间t/s01234滑行距离s/m0 4.51428.548根据以上信息，可知，s与t的函数关系式是（不考虑取值范围）（）A．=322+3B．=322−3C．=522−2D．=522+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】D【分析】观察函数图象，可知s与t成二次函数关系，根据给定数据，利用待定系数法，即可求出s与t的函数关系式．【解答】解：观察函数图象，可知：s与t成二次函数关系，设s＝at2+bt+c（a≠0），将（0，0），（1，4.5），（2，14）代入s＝at2+bt+c得：=0++=4.54+2+=14，解得：=52=2=0，∴s与t的函数关系式是s=52t2+2t．故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据给定数据，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．5．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的图象如图所示，其对称轴为直线=12，那么一次函数y ＝ax+b的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】D【分析】先根据二次函数性质得出b＝﹣a，进而得出b＝﹣a＜0，0＜a＜1，判断出一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数y＝ax+b与y轴交点在﹣1与0之间，一次函数y＝ax+b与x轴交点是1，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+a﹣2对称轴为直线=12，∴−2=12，∴b＝﹣a，根据二次函数：a＞0，﹣2＜a﹣2＜﹣1，∴b＝﹣a＜0，0＜a＜1，∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，当x＝0时，y＝b，∴﹣1＜b＜0，∴一次函数y＝ax+b与y轴交点在﹣1与0之间，当y＝0时，=−，∴=−=1，∴一次函数y＝ax+b与x轴交点是1，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．【答案】A【分析】根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y＜0时，x的取值范围．【解答】解：由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2，故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤6B．﹣1≤x＜6C．﹣1＜x≤6D．x≤﹣1或x≥6【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】A【分析】根据图象关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．8．二次函数y＝2x2的图象平移后，得到二次函数y＝2（x+1）2﹣4图象，平移方法是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0）．抛物线y＝2（x+1）2﹣4的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．则由二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数y ＝2（x+1）2﹣4的图象．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．9．已知二次函数y＝x2+（1﹣m）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤3D．m＞﹣1【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】函数思想；模型思想；应用意识．【答案】C【分析】根据y＝x2+（1﹣m）x+1可知a＝1＞0，则开口向上，对称轴为x=K12；若x ＞1时，y随x的增大而增大，所以K12＜1，求解即可．【解答】解：由y＝x2+（1﹣m）x+1，∵a＝1＞0，对称轴x=K12，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴x=K12≤1，解得：m≤3，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象和性质，理解题意是解决问题的关键．10．如图，抛物线1=o+2)2−3与2=12(−3)2+1相交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，有下列结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝5；④2AB＝3AC，其中正确的有（）A．①②B．①③C．③④D．①④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】D【分析】根据与y2=12（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线的解析式求出当x＝0时，y1，y2的值，再求y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出B，C坐标，从而得出AB，AC的关系即可．【解答】解：①∵抛物线y2=12（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；②把A（1，3）代入抛物线y1＝a（x+2）2﹣3得，3＝a（1+2）2﹣3，解得a=23，故本结论错误；③由②可知，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3解析式为y1=23（x+2）2﹣3，当x＝0时，y1=23（0+2）2﹣3=−13，y2=12（0﹣3）2+1=112，故y2﹣y1=112−（−13）=356，故本结论错误；④∵物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2=12（x﹣3）2+1交于点A（1，3），∴y1的对称轴为x＝﹣2，y2的对称轴为x＝3，∴B（﹣5，3），C（5，3），∴AB＝6，AC＝4，∴2AB＝3AC，故本结论正确．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．二．填空题（共5小题）11．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为144m2．【考点】二次函数的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】见试题解答内容＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣【分析】设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，则S矩形花园ABCDx2+24x，求面积的最大值即可．【解答】解：设：AB＝xm，则BC＝（24﹣x）m，S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，此函数的对称轴为：x=−2=−24−2×1=12，∵a＝﹣1，故函数有最大值，当x＝12时，函数取得最大值，＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144（m2），则：S矩形花园ABCD故：答案是144．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．12．如图，小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为y=−19（x﹣3）2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为（0，169），则实心球飞行的水平距离OB的长度为8m．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】8．【分析】根据出手点A的坐标为（0，169），求出函数关系式，再令y＝0可解得答案．【解答】解：把A（0，169）代入y=−19（x﹣3）2+k得：169=−19×9+k，∴k=259，∴y=−19（x﹣3）2+259，令y＝0得−19（x﹣3）2+259=0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故答案为：8．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．13．若二次函数y＝ax2的图象开口向上，则a的取值范围是a＞0．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】a＞0．【分析】由二次函数y＝ax2的图象开口向上，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，∴a＞0，故答案为：a＞0．【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握开口方向是解题的关键．14．若将抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度得到抛物线y＝﹣x2+bx+c，则b+c ＝﹣5．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】﹣5．【分析】先根据左加右减，上加下减的规律得出平移后的顶点式解析式，然后再化为一般式，求出b、c的值，再代入b+c，计算即可．【解答】解：把抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2向右平行移2个单位长度，得：y＝﹣（x﹣1﹣2）2﹣2，即y＝﹣（x﹣3）2﹣2＝﹣x2+6x﹣11；所以b＝6，c＝﹣11，b+c＝6﹣11＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于点M．①若抛物线经过（0，4），则b＝﹣4；②若AB＝3，则OM＝94．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）﹣4；（2）94．【分析】（1）根据题意可得c＝4，代入判别式即可求出b；（2）OM＝h，点A点B的横坐标分别为m、n，则A（m，h），B（n，h），可得：x2+bx+c ﹣h＝0，m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝3＝n﹣m=(+p2−4B=4ℎ，计算即可．【解答】解：①抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，∵抛物线经过（0，4），∴c＝4，∴b2＝16，∴b＝±4（根据图像舍去正值），∴b＝﹣4，故答案为：﹣4．②抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，设OM＝h，点A点B的横坐标分别为m、n，则A（m，h），B（n，h），由题意可得：x2+bx+c﹣h＝0，m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝3＝n﹣m=(+p2−4B=4ℎ，解得：h=94，故答案为：94．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握图象的平移时解得本题的关键．三．解答题（共5小题）16．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：=−182+8++1的一部分．（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）C1的最高点坐标为（3，2），a=−19，c＝1；（2）符合条件的n的整数值为4和5．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；（2）根据点A的取值范围代入解析式可求解．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴C1的最高点坐标为（3，2），∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上，∴1＝a（6﹣3）2+2，∴a=−19，∴抛物线C1：y=−19（x﹣3）2+2，当x＝0时，c＝1；（2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1），当经过（5，1）时，1=−18×25+8×5+1+1，解得：n=175，当经过（7，1）时，1=−18×49+8×7+1+1，解得：n=417，∴175≤n≤417，∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5．【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．17．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】函数思想；运算能力；模型思想；应用意识．【答案】（1）y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），（2）6；（3）7；2550．【分析】（1）根据题意设y＝kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则5+=9506+=900，求得k、b即可；（2）定价为x元，每千克利润（x﹣4）元，销售量为ykg，则（x﹣4）y＝1800即（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800，解方程即可；（3）设利润为W，根据题意可得W＝（x﹣4）（﹣50x+1200）＝﹣50x2+1400x﹣4800化为顶点式即可求出合适的值．【解答】解：（1）根据题意设y＝kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则5+=9506+=900，解得：=−50=1200，则y与x的函数关系式；y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），（2）∵定价为x元，每千克利润（x﹣4）元，由（1）知销售量为y＝﹣50x+1200（4≤x≤7），则（x﹣4）（﹣50x+1200）＝1800，解得：x1＝22（舍去），x2＝6，∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；（3）设利润为W元，根据题意可得：W＝（x﹣4）（﹣50x+1200），即W＝﹣50x2+1400x﹣4800＝﹣50（x﹣14）2+5000，∵a＝﹣50＜0，对称轴为x＝14，∴当x＜14时，W随x的增大而增大，又∵4≤x≤7，＝﹣50（7﹣14）2+5000＝2550（元），∴x＝7时，W最大值∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．【点评】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，属于综合题，关键是理解题意，搞清楚数量关系．18．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝10m，水嘴高AD＝6m．（1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC．【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）y＝﹣（x﹣2）2+10；（2）（2+10）m．【分析】（1）据D（0，6），顶点P（2，10），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求解析式即可；（2）当y＝0时，求出x的值解答即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，∴y＝a（x﹣2）2+10，把D（0，6）代入y＝a（x﹣2）2+10得，4a＝﹣4．∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣2）2+10．（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+10．解得x1＝2+10，x2=2−10（舍去）．所以C（2+10，0）．答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为（2+10）m．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据实际问题求出点的坐标，恰当选择抛物线解析式的形式是解决问题的关键．19．某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）y＝﹣x+60（15≤x≤24）；（2）每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（14，46）、（24，36）代入，得：14+=4624+=36，解得：=−1=60，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；（2）根据题意知，W＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣x+60）＝﹣x2+74x﹣840，∵−2=−742×(−1)=37，又∵a＝﹣1＜0，∴当x＜37时，W随x的增大而增大，∵14≤x≤24，∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为360，答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．20．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【专题】综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是直线x＝2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）设D（m，n），列出方程即可解决问题；（3）因为点A与点C关于直线x＝2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x＝2的交点即可．【解答】解：（1−+=0=2，解得=4=3，∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3；（2）设D（m，n），由题意12×2×|n|＝8，∴n＝±8当n＝8时，x2﹣4x+3＝8，解得x＝5或﹣1，∴D（5，8）或（﹣1，8），当n＝﹣8时，x2﹣4x+3＝﹣8，方程无解，综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）．（3）∵点A与点C关于x＝2对称，∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b，3+=0=3，解得=−1=3，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．【点评】本题考查二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．。
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件
当 x＝0 时，－3＜0，符合题意；
当 x≠0 时，a＜321x－312－61，
易得1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当 x＝1 时，右边取得 最小值12，所以 a＜12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，21. 答案：－∞，21
答案：B
考向 2 二次函数的单调性 通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应 用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性” (作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)·|x＋a|在区间(1，2)上单调递
增，则满足条件的实数 a 的值可能是( )
方法二(分离参数)：当 x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立. ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<x2－6x＋1.
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67， ∴只需 m<67即可. 综上所述，m 的取值范围是－∞，67.
公共点
在(－∞，0]上单 在 R 上 在[0， 在(－∞，0)
调递减；在[0， 单调递 ＋∞)上 和(0，＋∞)
＋∞)上单调递增 增
单调递增 上单调递减
(1，1)
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正 抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时 的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)， α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ
北师大版高中数学一轮复习第二章2.4二次函数word版下载
课时作业7 二次函数一、选择题1．已知某二次函数的图像与函数y ＝2x 2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )．A ．y ＝2(x －1)2＋3B ．y ＝2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋3D ．y ＝－2(x ＋1)2＋32．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为( )．A ．2 B.34 C.23D ．0 4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )．A ．－b 2aB ．－b aC ．c D.4ac －b 24a5．(2013届安徽示范校第一次联考)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减少的，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ＜－3D ．a ＞－36．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋c )x ＋1(a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b ]，则点(a ，b )的轨迹是( )．A ．线段B ．直线的一部分C ．点D ．圆锥曲线7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题8．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是__________，最大值是__________．9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为__________．10．(2012江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．三、解答题11．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 12．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1.参考答案一、选择题1．D 解析：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.2．D 解析：由f (1＋x )＝f (－x )可知，函数的对称轴为x ＝12，即－b 2＝12， ∴b ＝－1，则f (x )＝x 2－x ＋c ，结合函数图像可知f (0)＜f (2)＜f (－2)，故选D.3．B 解析：2x ＋3y 2＝2(1－2y )＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∵x ＝1－2y ≥0，y ≥0，∴y 的取值范围为0≤y ≤12. 设f (y )＝3y 2－4y ＋2＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. ∴y ＝12时，f (y )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34， 即当y ＝12且x ＝0时，2x ＋3y 2有最小值34. 4．C 解析：由已知f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图像关于x ＝－b 2a对称， ∴x 1＋x 2＝－b a， ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a＋c ＝c .选C. 5．A 解析：由题意知，对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.6．B 解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴⎩⎨⎧ b ＋c ＝0，a －c ＋b ＝0，b >0.∴a ＝－2b (b ＞0)，即点(a ，b )的轨迹是直线的一部分．7．A 解析：∵f (－x )＝f (x )，∴(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴(－x ＋a )2＝(x ＋a )2，即4ax ＝0，∴a ＝0.二、填空题8．－3 9 解析：f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－72. 当x ＝1时，f (x )min ＝－3；当x ＝－1时，f (x )max ＝9.9.38或－3 解析：f (x )的对称轴为x ＝－1. 当a ＞0时，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f (－3)＝3a ＋1.∴f (2)＞f (－3)，即f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4.∴a ＝38. 当a ＜0时，f (x )max ＝f (－1)＝a －2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3. 10．9 解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋(m ＋6)＝－a ，m (m ＋6)＝b －c ， ②③由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ，解得c ＝9.三、解答题11．解：f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时， f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意．②当a 2＞1，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103. ③当a 2＜0，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. f (x )在区间[0,1]上最大值为2时，a ＝103或a ＝－6. 12．(1)解：当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ＞0)，方程f (x )＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理可知，x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. 代入上式可得4a 2＋4a －1＝0，解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a ＞0)的两根满足x 1＜2＜x 2＜4，设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (4)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2(b －1)＋1<016a ＋4(b －1)＋1>0⇒⎩⎨⎧ 2a >14，b <14.∴2a －b ＞0.又∵函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a ＞－1.。
二次函数专题复习(上课)
变式三
2-1， 若二次函数y=（x-m）
当x≤3时，y随x的增大而减小， 则m的取值范围是（ ）C A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
方法提炼（一） ：增减问题---对称轴来帮忙
2+mx+8的图象 二次函数y=2x
如图所示，则m的值是（ B ）
y
A．-8 C. ±8
B.8 D.6
o x
变量x的取值范围是（ C ） A．x＜-2 B．x＞-2 C．x＜2 D．x＞2
变式一
在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y 随x的增大而增大，则x的取值范围是
（
A
）
B．x＞1 D．x＞-1
A．x＜1 C．x＜-1
变式二
已知二次函数y=x2+2ax-3， 如果当x＞1时，y随x的增大而增 大，当x＜1时，y随x的增大而减 小，那么实数a= -1 。
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0） 过点（1，0）和点（0，-2）， 且顶点在第三象限，设P=a-b+c， 则P的取值范围是（ ） A．-4＜P＜0 B．-4＜P＜-2 C．-2＜P＜0 D．-1＜P＜0
y y y
y
o （A）
x
o （B）
x
o （C）
x
o （D）
x
方法提炼（五） ： 两个函数图像问题---是否矛盾来帮忙
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中下不正确的是 （ ）
D
A、abc＞0
B、b2-4ac＞0
y
C、2a+b＞0
D、4a-2b+c＜0
-1 o 1
高三第一轮复习---二次函数(2)
二次函数（2）
上节的重要结论
二次函数在闭区间上的最值问题
问题：求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间[m， n]上的最值。
结论：
10、
当
-
b 2a
m，n
时，
最值
在
区间
ห้องสมุดไป่ตู้
端点
处取
到
；
20、当 b m，n时，一个最值在x b 处取得，
2a
2a
另一个最值在距离对称抽较远的区间端点取得。
例4、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内， 另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。
(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。
四、作业
《名师伴你行》高考一轮闯关大卷第9练，A 卷必做，B卷选做。
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定不怕？”临走前,何玲颇担心她.“没关系,赶紧回去吧.”以为她担心自己一个女生晚上怕黑,陆羽笑着将她一家送出院门,看着周家人绕到自家屋后往村里走.屋子周围种着许多桉树,村里风大,吹得叶子沙沙响.院门前有一大片空地被屋主铺了一层水泥,不管下多大雨,地面永远是平坦干净 の,没有泥坑.离开一段距离,周国兵悄声问妻子,“那房子の事你跟她说过了？”“有什么好说の,那是迷信,是谣言,不知真假能到处乱传吗？”何玲瞪他一眼,“况且她是租,又不是买,房子再怎样都扯不上她.”“啊？不好吧？我看她人挺娇气の,万一...”男人前怕虎后怕狼の怂样,女人最 看不惯,何玲没好气道：“万一什么？你爸整天去打扫卫生也不见怎样.难得现在没人传了,定康家搞成那样赚得一分算一分,你散播谣言撵客
中考数学一轮复习二次函数数精讲精练
【例1】 1.抛物线y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y=ax +b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于 ．3.已知二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 1＜y 2方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-，)来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2+4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ） A ．（﹣3，7）B ．（﹣1，7）C ．（﹣4，10）D ．（0，10）2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2+3x +m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ．3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．312y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．213y y y >>考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；①b＞a＞c；①若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；①3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）．方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．举一反三 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+c＞2b；③（a+c）2＞b2；④x（ax+b）≤a﹣b．其中正确结论的是．（请把正确结论的序号都填在横线上）2.一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0D．a＞k＞0考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．举一反三将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．举一反三已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．考点五、二次函数的实际应用【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．举一反三大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x ＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？考点六、二次函数的面积问题【例6】如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．方法总结对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．其次就是应用到二次函数常见的水平宽铅垂高．举一反三如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m ＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．考点七、二次函数的综合应用【例7】如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法总结此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求出题中P 点的关键．所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用．举一反三 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ． 求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．一、选择题1．已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c xcx 的根是c ； ②在反比例函数xy 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；A ．①③B ．③C ．②④D ．③④①如果21a a a>>，那么10<<a ； ②如果aa a 12>>，那么1>a ；③如果a a a>>21，那么01<<-a ； ④如果a aa >>12时，那么1-<a 。
26吴清--第一轮复习--一次函数、反比例函数.docx
教导处签字：日期：年月日一、学生对于本次课的评价。
特别满意。
满意。
一般。
差学生签字：课后二、教师评定评价K学生上次作业评价：。
好。
较好。
一般。
差2、学生本次上课情况评价：。
好。
较好。
一般。
差教师签字：_____________ 作业布置教师家长家长签字：__________ 日期：年月曰、态度决定一切。
细节决定成败，习惯成就人生。
心灵鸡汤.入班即静，入座即学；决战中考志在必赢。
学生：吴清学科：数学教师：_教学步骤及教学内容包括的环节:一、作业检查。
检查学生的作业，及吋指点。
二、课前热身：①.复述上节课所学知识。
1、已知在AABC中，AB二AC二5, BC=6, AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形.(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积.2、已知：如图所示，在厶ABC '|b AB二AC, D, E, F分别是AB, BC,AC边上的中点.(1)求证：四边形ADEF是菱形；(2)若AB二24,求菱形ADEF的周长.②.问题导入本节：_ fc一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成:的形式，那么称y是x的反比例函数.1、下列函数中，哪些是反比例函数，其k值为多少？®y = -2-1⑦y = 2~l x⑧与=丄⑨ y二5-x ⑩ y = ^-' ' ‘ 4 x反比例函数的图象是由两支曲线组成的(通常称为双曲线). 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k〈0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y的值随X值的增大而减小; 当k〈0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而岀2、已•知y =(加?+2加)/+心(1)当m为何值时，y是x的正比例函数?(2)当m为何值时，y是x的反比例函数?33、已知正比例函数y = kx与反比例函数的图彖都过A(m 1)点.求:(1)正比例函数的解析式；(2)正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标.三、内容讲解：知识点一：反比例函数应用例：1、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I (A)是电阻R ( Q )的反比例函数，其图象如图所示.(1)求这个反比例函数的表达式；(2)当R二10Q时，电流能是4A吗？为什么？考点：反比例函数的应用.分析：(1)根据)电流I (A)是电阻R ( Q )的反比例函数，设(4,9)代入求得k值即可；(2)将R二10Q代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与4° 解答：解：(1)・・•电流I (A)是电阻R ( Q )的反比例函数 _T k. !_36 5・・・设巨(kHO), 把(4, 9)代入得：k=4X9=36 R(2)方法一：当R二10Q 时，I二3.6H4・•・电流不可能是4A方法二：V 10X4=40^36・••当R= 10 Q吋，电流不可能是4A(注：将I与R位置调换，用x, y表示反比例函数，计算正确)点评：木题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键._k例：2、如图，在平面直角处标系中，点0为原点，反比例函数尸匚的图象经过点（1, 4）,菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线0B在x轴上.（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写岀菱形OABC的面积. 考点：反比例函数综合题.k分析：（1）运用待定系数法，把（1, 4）代入"壬即可求解；（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，得菱形的两条对角线长分别是2和8,再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半进行计算.=k . k解答：解：（1）•・・”？的图象经过点（1, 4）, •• T即k二4._4_・•・所求反比例函数的关系式为吩匚‘（2）连接AC交x轴于点D,•・•四边形OABC是菱形,・・・AD二CD, AD±OB, OD=BD,£S AOAD— 2 X 4—2,点评：此题考查了待定系数法求函数解析式以及菱形的性质. 小三角形面积是2, —共4个全等三角形，所以面积为8.练习：1、如图所示，已知一次函数y二kx+b （kHO）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数尸云5H0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D.若0A二0B二0D二1.（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式.yn~52、如图，直线y二kx+k （kHO）与双曲线尸丁点A.（1）求m的取值范围和点A的坐标；（2）若点 B 的坐标为（3, 0）, AM二5, S A ABM=8,知识点二：一次函数例：1、在直角坐标系xOy屮，直线1过(1, 3)和(3, 1)两点，且与x轴，y轴分别交于A, B两点.(1)求直线1的函数关系式；(2)求AAOB的面积.考点：待定系数法求一次函数解析式.专题：数形结合；待定系数法.分析：(1)把两点坐标代入函数解析式得到关于k. b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；(2)求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即解答：解：(1)设直线1的函数关系式为y二kx+b (kHO),J3Z=1(3, 1), (1, 3)代入①得1氏方=3严=_1解方程组得1方="・・・直线1的函数关系式为y—x+4；(2 )当x 二0 时，y 二4, /. B ( 0, 4), 当y二0, -x+4二0,解得x=4,・・・A (4,0), ••• s AAOB=* BO=y X 4 X4=8点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式，在平而直角坐标系屮求三角形的而积，找出点的坐标或边的长度是解题的关键.［尸三在同一坐标系数中的大致图例：2、若ab> 0,则一次函数y二ax+b与反比例函数象是( )考点：反比例函数的图彖；一次函数的图彖. 专题：压轴题.分析：根据ab>0, 口J 得a 、b 同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可• 解答：解：A 、根据一次函数可判断a>0, b>0,根据反比例函数可判断ab>0,故符 合题意，本选项正确；B 、 根据一次函数可判断a<0, b<0,根据反比例函数可判断ab<0,故不符合题意，C 、 根据一次函数可判断a<0, b>0,根据反比例函数可判断ab>0,故不符合题意，D 、 根据一次函数可判断a>0, b>0,根据反比例函数可判断ab<0,故不符合题意， 本选项错误； 故选A.点评：本题考查了反比例函数的图彖性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的 性质才能灵活解题. 练习：1、如图，宜线AB 与x 轴交于点A (1, 0),与y 轴交于点B(1)求直线AB 的解析式；(2)求S EC_1 , 1 V — —X 十一 平面直角坐标系中，直线〉2 2与B, BC 丄x 轴丁•点C, OC=2AO.求双曲线的解析式.k3、如图，-直线y 二2x-6与反比例函数y=7(^>0)的图象交丁点 A (4, 2),与x 轴交于点B.(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)在x 轴上找一点C 使得AB=AC,写出C 点的坐标。
高考数学一轮复习 第7讲 二次函数课件 理 (浙江专版)
A．(－∞，3] B．[－1,3]
C．[－2,3]
D．(－3，＋∞)
【解析】因为 f(x)＝－(x－1)2＋3，x∈[0,3]， 所以[f(x)]max＝f(1)＝3，[f(x)]min＝f(3)＝－1， 所以 f(x)的值域是[－1,3]，故选 B.
3.设 abc>0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可 能是( )
【分析】(1)依题意，确定 α，β 与 m 的关系，代入 αf(α)＋βf(β) 化简计算；
(2)求 f′(x)，确定 f′(x)在区间(α，β)的符号，进行判断； (3)利用(1)、(2)所得结论，转化证明．
【解析】 (1)因为 α，β 是方程 x2－mx－1＝0 的两根， 则αα＋·β＝β＝－m1 . 又 f(α)＝2αα2－＋m1 ＝2αα－2－αα－ββ＝ααα－－ββ＝α1， 同理 f(β)＝1β，所以 αf(α)＋βf(β)＝2.
素材3
设关于 x 的方程 x2－mx－1＝0 有两个实根 α，β，且 α<β， 定义函数 f(x)＝2xx2－＋m1 .
(1)求 αf(α)＋βf(β)的值； (2)判断 f(x)在区间(α，β)上的单调性，并加以证明； (3)若 x1，x2∈(α，β)，求证：|f(x1)－f(x2)|<|α－β|.
方法 3：f(x)＝－3x2＋5x＋b＝－3(x－65)2＋b＋2152<0 恒成立， 所以 b＋2152<0，所以 b<－2152. (2)若 b＝3，则 f(x)＝－3x2＋(6－a)x＋3＝0 一根大于 1， 另一根小于 1，由其图象可知，f(1)>0，即 6－a>0， 所以 a<6，所以 a 的取值范围是(－∞，6)．
2．条件二次问题，注意一看开口方向，二看轴的位 置，三算端点数值．若盲目分类，“前途”将很渺茫．
人教全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总含详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D 的坐标为（-12，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2，则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x=2a-2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6），∵a ＜b ，即a ＜-2a ， ∴a ＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6），设△DMN 的面积为S ，∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ，（3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94，由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，∴G（-1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0，t=94，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝12；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【详解】(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A(﹣3，0)，B(1，0)．(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．∵M(m，0)，∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式y＝kx+b，∴303k b b -+=⎧⎨=⎩解得k ＝l ，b ＝3， ∴解析式y ＝x+3， 令x ＝﹣2，则y ＝1， ∴E(﹣2，1)， ∴EM ＝1，AM ＝1， ∴S ＝12AM×EM ＝12． (4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x ＝﹣l ， ∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合， ∴DQ ＝DC ，把x ＝﹣1代入y ＝﹣x 2﹣2x+3，解得y ＝4， ∴D(﹣1，4)， ∴DQ ＝DC∵FG ＝， ∴FG ＝4．设F(n ，﹣n 2﹣2n+3)，则G(n ，n+3)， ∵点G 在点F 的上方且FG ＝4， ∴(n+3)﹣(﹣n 2﹣2n+3)＝4． 解得n ＝﹣4或n ＝1， ∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m 表示出矩形PMNQ 的周长．3．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课后作业理(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4 二次函数与幂函数课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4 二次函数与幂函数课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．4 二次函数与幂函数［基础送分提速狂刷练］一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f(x）＝(m2－4m＋4)x错误!在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为（) A．1或3 B．1 C．3 D．2答案B解析由题意知m2－4m＋4＝1且m2－6m＋8〉0⇒m＝1，故选B.2．(2018·吉林期末）如果函数f(x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）A．a>－错误!B．a≥－错误!C．－错误!≤a<0 D．－错误!≤a≤0答案D解析①当a＝0时，函数f(x)＝2x－3为一次函数，是递增函数;②当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合;③当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－错误!≥4,解得a≥－错误!，又a<0,故－错误!≤a<0。
综合得－错误!≤a≤0.故选D。
3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x,都有f（1＋x)＝f(－x)，那么（）A．f(－2）〈f（0）〈f（2）B．f（0)<f(－2）<f（2）C．f（2）<f（0）<f（－2) D．f(0）<f（2)<f（－2）答案D解析由f（1＋x）＝f（－x）知f(x)图象关于x＝错误!对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)〈f(2)<f(－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f(x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x,且f（0)＝1,则f(x)的表达式为（)A．f(x)＝－x2－x－1 B．f（x)＝－x2＋x－1C．f（x)＝x2－x－1 D．f(x）＝x2－x＋1答案D解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得错误!故错误!解得错误!则f(x)＝x2－x＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,图象过点A（－3，0）,对称轴为x＝－1。
2021-2022年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第六节幂函数与二次函数习题理
2021年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第六节幂函数与二次函数习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(5)=f(1),则()A.f(4)>f(2)B.f(5)>f(2)C.f(4)>f(1)D.f(0)=f(5)1.C【解析】∵a<0,f(5)=f(1),∴函数f(x)的对称轴为x=3,且开口向下,数形结合得f(4)>f(1).2f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a的取值范围是() A.B.[1,2]C.D.[-1,1]2.D【解析】由题得方程a-x2=-x-1,x∈[1,2]有解,即求函数a=x2-x-1,x∈[1,2]的值域,易求得a∈[-1,1].3.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有()A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定3.A【解析】因为对称轴为x=-,由f(0)>0,可知f(-1)>0,由f(p)<0,数形结合可知f(p+1)>0,即选项A正确.4.(xx·上海静安区期末考试)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5)4.C【解析】二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时,f(x)=-5,结合图象可知m的取值范围是[-1,2].5.(xx·济宁模拟)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.4B.2C.1D.35.D【解析】由f(-4)=f(0),可得-=-2,解得b=4.又由f(-2)=4-8+c=-2,可求得c=2,∴f(x)=又f(x)=x,则当x≤0时,x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2.当x>0时,x=2,综上可知关于x的方程f(x)=x的解的个数为3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.6. 【解析】由题可知①当m=0时符合;②解得0<m≤,综合得0≤m≤.7.(xx·宿迁三校质检)已知函数f(x)=为奇函数,则不等式f(x)<4的解集为.7.(-∞,4)【解析】由题得b=-1,a=-3,所以f(x)=数形结合,令x2-3x=4,解得x=4,x=-1(舍),故不等式f(x)<4的解集为(-∞,4).8.设f(x)=x2-ax-a,若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则a的取值范围是.8.(-∞,-6]∪[2,+∞)【解析】由题得存在实数x,使得f(x)≤-3成立,即只需f(x)min≤-3,从而有-≤-3,解得a≤-6或a≥2.[高考冲关]1.(5分)(xx·湖南师大附中月考)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a的值为()A.B.C.2 D.91.C【解析】f(0)=20+1=2,f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a,所以4+2a=4a,解得a=2.2.(5分)(xx·湖北黄石二中模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(半径为1),则函数H(x)=|x e x|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为()A.5B.4C.3D.22.B【解析】由f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x)可知函数为偶函数,且f(2-x)=f(x)=f(-x),得T=2,H(x)=|x e x|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数即为f(x)图象与y=e x|x|图象的交点个数,而y=e x|x|=①当x≥0,g(x)=x·e x单调递增,且g(0)=0,g(1)=e>0,其图象与f(x)有一个交点;②当x<0时,g(x)=-x·e x,g'(x)=-(e x+x e x)=-e x(x+1).当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,所以当x=-1时,g(x)取得极大值且0<g(-1)=e-1<1,作出简图图象,易知g(x)与f(x)有3个交点,因此共有4个交点.3.(5分)(xx·福建莆田一中模拟)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=,f'(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是() A.B.C.D.3.C【解析】由定义可知=a2-a,而f'(x)=3x2-2x,所以题意转化为方程3x2-2x=a2-a在[0,a]上有两解,即方程3x2-2x-a2+a=0在(0,a)内有两解,必须满足解得<a<1.。
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第五节 二次函数与幂函数 Word版含答案
第五节二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x ＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象；(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 对于形如f (x )＝x nm (其中m ∈N *，n ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； (2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．2．二次函数(1)二次函数解析式的3种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点．(2)二次函数的图象和性质关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)，x ∈[p ，q ]的最值问题若h ∈[p ，q ]，则x ＝h 时有最小值k ，最大值是f (p )与f (q )中较大者；若h ∉[p ，q ]，则f (p )，f (q )中较小者为最小值，较大者为最大值．(2)根的分布问题设函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若对区间[a ，b ]有f (a )≥0，f (b )≤0，则曲线必与x 轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a ，b ]上)．设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根，根的分布对照y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象，知其等价不等式组的关系是：①若x 1＜x 2＜m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，f (m )>0，－b 2a ＜m ；②若m ＜x 1＜x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )>0，－b 2a >m ；③若x 1＜m ＜x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )＜0；④若x 1，x 2∈(m 1，m 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m 1)>0，f (m 2)>0，m 1＜－b2a ＜m 2；⑤若x 1，x 2有且仅有一个在(m 1，m 2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m 1)f (m 2)＜0. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)不可能是偶函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )(5)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、选填题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2解析：选C 设f (x )＝x α，∵图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴f (4)＝4α＝12，解得α＝－12， ∴f (2)＝2-12＝22.故选C. 2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c解析：选B 根据幂函数的性质及图象知选B.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C ∵函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a ＜0，解得a >120. 4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为________．解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m ＝2. 答案：25．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫m 8，＋∞，所以m8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]1．已知幂函数f (x )的图象经过点(9,3)，则f (2)－f (1)＝( ) A ．3 B ．1－ 2 C.2－1D ．1解析：选C 设幂函数f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1，故选C.2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B 因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1. 3.幂函数y ＝x2-2-3m m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．4．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [名师微点](1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[口诀记忆]幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象恒过点(1，1)，单调牢记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值y max＝8，即4a(－2a－1)－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[解题技法]求二次函数解析式的策略[过关训练]1．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为____________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x22．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a ＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋13．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考法(一) 二次函数的单调性问题[例1] (1)已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0](2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．与x 有关，不确定[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．(2)由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b ＝2，又f (0)＝3，∴c ＝3，则b x＝2x ，c x ＝3x .易知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )；若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )，即f (b x )≤f (c x )．故选A.[答案] (1)D (2)A考法(二) 二次函数的最值问题[例2] 若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[1,2]上有最大值4，则a 的值为________． [解析] f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a >0时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a ＜0时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.[答案] 38考法(三) 二次函数中的恒成立问题[例3]已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析]f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m＜－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．[答案](－∞，－1)[规律探求]1．[口诀第1、2、3句]若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，2)解析：选A 二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k ＜0时，2k ＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．2．[口诀第1、2句]已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 设x ＜0，则－x >0.有f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，又∵f (－x )＝f (x )， ∴当x ＜0时，f (x )＝(x ＋1)2，∴该函数在⎣⎡⎦⎤－2，－12上的最大值为1，最小值为0， 依题意，n ≤f (x )≤m 恒成立，则n ≤0，m ≥1，即m －n ≥1，故m －n 的最小值为1.3．[口诀第4、5句]设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.。
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学生吴清学校中山博文中学年级九年级学科数学教师日期时段13:00-15:00 次数28 课题二次函数2+模拟复习（人教版九年级数学下册）第一轮复习考点分析进一步理解掌握二次函数的意义及函数图象和性质，根据相关条件确定函数的解析式，解决相关的实际问题和几何问题.在中考里面，函数的出现一般都是在选择、填空及解答题里面，题的难度性成梯度性，主要考查的还是考生的细心；压轴出现阶段考（15-25分）或中考（3-12分）都占一定的分数教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、检查学生上次课内容2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二二、课前热身：①．复述上节课的主要内容的主要知识。
P3②．问题导入本节二三、内容讲解：①.教学内容知识点1、二次函数2 例P4知识点2、模拟复习例P5-P9②.教学辅助练习（或探究训练）练习1、P4-P5练习2、P5-P9③、知识的延伸和拓展(讲练结合) P9-P101、2、四四、课堂小结。
要求学生复述本节课重点内容。
五、作业布置。
教导处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差学生签字：二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：作业布置教师留言家长留言家长签字：日期：年月日心灵鸡汤\相信自己行，是一种信念，也是一种力量。
每个成功者都相信我能行。
每个人的能力都是一座待开的金矿。
\没有天生的信心，只有不断培养的信心。
讲义：课题—二次函数2+模拟复习（第28讲）学生： 吴清 学科： 数学教学步骤及教学内容包括的环节：一、 作业检查。
检查学生的作业，及时指点。
二、课前热身：①．复述上节课所学知识。
1、下列函数中，二次函数是（ ）A 、35--=x yB 、33)1(322--+=x x yC 、xy 2-= D 、)1(2+=x x y 2、将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y=3（x+2）2+3B ．y=3（x-2）2+3C ．y=3（x+2）2-3D ．y=3（x-2）2-33、已知二次函数y=x 2-4x+5的顶点坐标为（ ）A ．（-2，-1）B ．（2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，1） 4、已知：抛物线 y=x 2-2x-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；5、将抛物线y=x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）A ．y=（x+2）2+2B ．y=（x+2）2-2C ．y=（x-2）2+2D ．y=（x-2）2-26、已知二次函数.222++-=x x y 下列说法错误的是（ ） A ．图象关于直线x=1对称 B ．函数的最小值是-4 C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大②．问题导入本节：三、内容讲解：知识点一：求二次函数解析式 二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 例：1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换． 分析：（1）把点A 、B 、C 代入抛物线解析式y=ax2+bx+c 利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解． 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c 经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3），∴ 解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换， 练习：1、已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x 轴交于A 、B 两点． （1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．2、已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A （3，0），B （-1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．2、已知抛物线经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；知识点二：以题型现做现讲解2009年广东省中山市初中毕业生学业考试数 学一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 4的算术平方根是A.±2B.2C.±2D.2 2. 计算23)(a 的结果是A. 6a B. 9a C.5a D. 8a3. 如图所示几何体的主（正）视图是4. 《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是A. 7.26×1010元B.72.6×109元C.0.726×1011元D.7.26×1011元5. 方程组⎩⎨⎧=+=+10322y x y x 的解是A. ⎩⎨⎧==3111y x ⎩⎨⎧-=-=3122y xB. ⎩⎨⎧-==1311y x ⎩⎨⎧=-=1322y x C. ⎩⎨⎧==1311y x ⎩⎨⎧-=-=1322y x D. ⎩⎨⎧-==3111y x ⎩⎨⎧=-=3122y x二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.6. 分解因式：x 2-y 2-3x -3y =____________________.7. 已知⊙O 的直径AB =8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC =30º，则BC =______cm. 8. 一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为_______元.9. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同. 若从中随机摸出一个球，A B C DA C BO第7题图摸到黄球的概率是54，则n =_________. 10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）.三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11.（本题满分6分）计算()00330sin 921++-+-π.12.（本题满分6分）解方程11122--=-x x .13. （本题满分6分）如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE =CD . （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM =EM .14.（本题满分6分）已知：关于x 的方程0122=-+kx x . （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k 值.（1） （2） （3） ……A B C DE15.（本题满分6分）如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：732.13≈，414.12≈）16.（本题满分7分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？17.（本题满分7分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两副不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图.18. （本题满分7分）在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB =5，AC =6. 过D 点作DE //AC 交BC 的延长线于点E .（1）求△BDE 的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q .求证：BP =DQ .19.（本题满分7分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推.PA B E F30º45º 足球乒乓球 篮球 排球 人数项目 O 5040 3020 10图1A CB D O Q P E（1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20.（本题满分9分）（1）如图1，圆内接△ABC 中，AB =BC =CA ，OD 、OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G . 求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 面积的31. （2）如图2，若∠DOE 保持120º角度不变. 求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 面积的31.21.（本题满分9分）小明用下面的方法求出方程2x -3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.方 程换元法得新方程 解新方程检验求原方程的解032=-x令t x =，则032=-t23=t023>=t23=x ，所以49=x032=-+x x042=--+x x22. （本题满分9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值.达标练习：OC A B CDC AB A 1 BO DBA MCN1、二次函数()y ax bx c a =++≠20的图像经过点A （3，0），B （2，-3），并且以x =1为对称轴。