第3章 随机变量的数字特征(答案)

第3章 随机变量的数字特征 一.填空题
1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布2
2{},0,1,2...!
k P X k e k k −===则随机变量3Z X 2=−
的数学期望E (Z)= (4)
()()()()~(2),
2,32323224X P E X E Z E X E X ==−=−=×−=
解: 2.设随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧+=0
)(B Ax x f 则且其它,127
)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)
解:
1()112f x dx A B +∞
−∞
=⇒+=∫
, 7117()123212EX xf x dx A B +∞
−∞
==⇒+∫=, 11,2A B ∴==
3.(95-1-3)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，
则2x 的数学期望 ()2
E X
= (18.4)
解:()()()()()()2
2
2
~(10,0.4), 100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E X
D X
E X =×==−=×−==+=+=
4. (99-4-3)设~(),X P λ已知,则[(1)(2)]1E X X −−=λ= (1) 解:()()()()()2
2
~(),,,X P E X D X E X
D X
E X 2
λλλλ===+=λ
+−0,
222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ−−=−+=+=−+=⇒= 5. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1, 1()1, 010,x x f x x x +−≤≤⎧⎪
=−<≤⎨⎪⎩,则方差为 DX (1/6)
解:()()0
1
1
1
23231100
10
1111
(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞
−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫=
()()0
1
1
1
2
2
2
2
3434110010
1111(1)(1)3434E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞
−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫1
6=
()()()221/601/6D X E X E X =−=−=
6.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独立,,则~(3,1),~(2,1)X N Y N −27, Z ~Z X Y =−+ (0,5)N 解:
()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =−+=−−×+==+=+=∴7.设两个相互独立的随机变量和Ｙ均服从,若随机变量X (1,1/5)N X aY −满足条件， 2
()[(D X aY E X aY −=−)]则a = . (1) 解:()0,()()0110E X aY E X aE Y a a ⇒−=⇒−=⇒−⋅=⇒=1
8.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =−则Y 与Z 的相关系数为 (0.9)
解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =−==−==,
,
0.9YZ ρ=
==
9.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ===，=2
，试求E X Y +（）
= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，
()()()2
2
2,D X E X E X ∴=−= ()()()2
2
2D Y E Y E Y =−=
0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ=
===⇒===26
222
222)2()()22E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（
二.选择题
1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协方差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ; (B ) ; (C ) X 与Y 独立; (D ) X 与Y 不独立 ()()(D XY D X D Y =))()D X Y DX DY +=+
2.若随机变量X 与Y 的协方差，则下列结论必正确的是( ). 解C (,)0Cov x y =(A ) X 与Y 独立; (B ); (C )()()(D XY D X D Y =()D X Y DX DY +=+; (D ). ()D X Y DX DY −=−
3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则的值( ). 解B ,n p (A ); (B ) ; (C ) 4,0.6n p ==6,0.4n p ==8,0.3n p ==; (D ) . 24,0.1n p ==解:
()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====−==⇒==4.(97-1-3)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差为4和2,则随机变量32X Y −的方差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析:
()329()4()944244D X Y D X D Y −=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独立同分布,记,则U 和V 必然( ) 解D ,U X Y V X Y =−=+(A )独立; (B)不独立; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独立同分布,()(),D X D Y =
cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00
U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=−+=+−−=−=⇒=
6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=∼∼，则（ ）. 解D (A). (B). (C)(21)P Y X =−−=111(21)P Y X =−=(21)P Y X =−+=. (D).
(21)P Y X =+=1
0分析:,1,XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+⇒=⋅+⇒=∵,选D
三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1
x x F x x x <−−≤<=≤<≥⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩，求EX ， （0.3，0.61）
DX X -1 0 1
解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律
1/3 0.2 0.3 0.5
（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）
()10.210.50.3EX =−×+×=，，
()2
2210.210.50.7EX =−×+×=2220.70.30.61DX EX E X =−=−=2. 若已知是分布函数，求()0, 10
, 011, 1x F x x x x −≤<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
EX ， （1/2，1/12）
DX (思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)
解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，，
()1, 01
'()0, x F x f x ≤<⎧==⎨
⎩其他
1
120 011122EX x dx x =⋅==∫， 112230 011133EX x dx x =⋅==∫，2
22111
321DX EX E X ⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠2
3.(89-4-3)设随机变量2
123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独立，令32132X X X X +−=,求EX , (12, 46) DX 解:12306
()()2()3()2033122
E X E X E X E X +=−+=
−×+×= 2
2123(60)()()4()9()42934612
D X D X D X D X −=++=+×+×=
4、设[]~2,6X U ，
对进行20次独立观测，Y 表示20次观测值中事件X {}5X >发生的次数，求()2
Y E （115/4）.
解：[]~2,6X U ，()1
, [2,6]
40, x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 ，(,)Y B n p ∼120,4n p ==
13154
205,544EY np DY npq ==×
===×=()，222153
528
E Y DY E Y =+=+=
5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,
求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)
解:
0.6,EX =2
0.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =−=−=,
()10.1510.350.2EY =−×+×=
(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy −=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴=
6、已知随机变量服从区域),(Y X ()}{,01,D x y x x y x =
<<−<<上的均匀分布，求(),,,EX DX Cov X Y .
解：依题意，()11, (,),0, x y D
f x y d ⎧=∈⎪=⎨⎪⎩其他
（注意，函数区间利用二重积分计算）
2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−−∞
===−==∫
∫
∫
∫
∫
()(
,EXY xyf Cov X Y EXY +∞
∞
+∞
+∞
−∞
−∞
==−∫
∫
∫
7. (05-1,3,4-9)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,
x y x
f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他
1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独立性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01x <<，()()20
,12x
X f x f x y dy dy x +∞
−∞
=
=∫
∫=2, 01
()0, X
x x f x <<⎧∴=⎨⎩其他 02y <<,()()1
/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞
−∞
=
==−∫
∫,1, 02
()20, Y y
y f y ⎧−<<⎪∴=⎨⎪⎩其他
2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅,X Y ∴，不独立.
3) 1
21
1
2200
2
()(,)23
x
x
E X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞
−∞−∞=
===∫∫∫
∫
∫∫=
, 1
21122200
0012
()(,)223
x
x E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞
−∞−∞
=
===∫∫∫∫
∫∫=
1
211223
00
0011()(,)222
x
x E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞
−∞−∞
=
==
=∫∫∫
∫
∫∫=
1
显然相关.
(,)()()()0
Cov X Y E XY E X E Y =−≠∴Y X ,8. (07-1,3,4-11)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,0,0,
x y x y f x y −−<<<⎧=⎨
⎩其他<}
1) 求, 2)判断X,Y 的独立性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独立.相关) {2P X Y >解1) ()1/2
1
/2
2
000
1
{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >=
−−=−−∫∫∫
1
20
515()822424x x dx =−=−=
∫7
1
1
20013
01()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞
−∞
≤≤==−−=−−=−∫∫，3/2, 01()0, X x x f x −≤⎧≤2),∴=⎨⎩其他
1
1
200
13
01,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞
−∞
≤≤=
=−−=−−=−∫
∫3/2, 01()
Y y y f y −≤⎧≤∴=⎨
显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅, X Y ∴，不独立
3)1
1
2300
331()()()()243X E X xf x dx x x dx x x +∞−∞==−=−∫∫5
12=,
1
1
2300
331()()()()2435
Y E Y yf y dy y y dy y y +∞
−∞==−=−=∫∫12
1
1
1
1
12
22320
00001121()(,)(2)()()2332E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞−∞−∞
=
=−−=−−=−∫∫∫
∫∫∫1
6= (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设且2
2
~(1,3),~(0,4)X N Y N ,1,2XY ρ=−设32
X Y
Z =+， 1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,
(1/3,3, 0)
解:1) 2
2
~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=−
32X Y Z =+11()()()32E Z E X E Y ⇒=+=13 1
(,)3462
XY Cov X Y ρ==−××=−,
111111
()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+−=
2)111111
(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232
X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=⋅+−=
cov ,0XZ X Z ρ∴=
=。