【附加15套高考模拟】【全国百强校】重庆市第一中学2020届高三下学期期末考试数学(文)试题含答案

【全国百强校】重庆市第一中学2020届高三下学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()20,0f x x ax b a b =++<>有两个不同的零点1x ，2x ，-2和1x ，2x 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()254f x x x =--B ．()254f x x x =++C ．()254f x x x =-+ D ．()254f x x x =+-2．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．23．设0.40.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()()123g x g x ⋅=-，则12x x -的值可能为（ ）A ．2πB ．34πC ．πD ．3π5．2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（ ）①每年市场规模量逐年增加； ②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳 A ．1B ．2C ．3D ．46．设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．()4,2-- B ．()1,0-C ．()2,1-- D ．()()4,11,0--⋃-8．已知1e u r，2e u u r是两个单位向量，且夹角为3π，t R ∈，则12e te +u r u u r 与12te e +u r u u r 的数量积的最小值为（ ） A ．32-B．-C ．12 D．9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，实轴长为4，渐近线方程为121,42y x MF MF =±-=，点N 在圆2240x y y +-=上，则1MN MF +的最小值为( )A．2+B ．5C ．6D ．710．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan FAM ∠=（ ） A ．25 B ．52 C ．54 D ．4511．等差数列{}n a 中，12019a =，2019201516a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．504B ．505C ．506D ．50712．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．2log 101-B ．22log 31-C ．92 D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知三棱锥A BCD -中， ,2,1,3BC CD AB AD BC CD ⊥====为__________．14．已知点(1,0),(1,0)A B -，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r ,则实数a 的取值范围是_____.15．已知等差数列{}n a ，若点()()*,n n a n N ∈在经过点()4,8的定直线l 上，则数列{}n a 的前7项和7S =______．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min ）进行统计，按照[)[)[)[)55,65,65,75,75,85,85,95进行分组，得到下列统计图.()I 分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min 的人数()II 分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？ ()III 从第一组生产时间少于75min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65min 的工人人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.18．（12分）已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈.当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x=+-恰有一个零点，求a 的取值范围；当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m的取值范围. 19．（12分）若函数．讨论函数的单调性；若在上存在两个零点，求的取值范围． 20．（12分）的内角，，所对的边分别为，，.已知.试问，，是否可能依次成等差数列？为什么？当取得最小值时，求.21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .证明：PA //平面EDB ；证明：PB ⊥平面EFD ；求二面角--C PB D 的大小.22．（10分）已知()221f x x x =-++．求不等式()6f x <的解集；设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．A 9．B 10．D 11．B 12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．43π 14．[2,1]- 15．5616．3三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．()I 60，300；()II 乙车间工人生产效率更高；()III 见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由图表分别计算出两个车间生产一件产品时间少于75min 的人数； （Ⅱ）分别计算两个车间工人生产一件产品时间的平均值，从而得到结果； （Ⅲ）X 可取值为0,1,2.计算出相应的概率值，得到分布列与期望. 【详解】（Ⅰ）由题意得，第一组工人20人，其中在75min 内（不含75min ）生产完成一件产品的有6人∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min 的人数为61060⨯=（人）第二组工人40人. 其中在75min 内（不含75min ）生产完成一件产品的有()400.0250.051030⨯+⨯=人∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min 的人数为3010300⨯=（人）（Ⅱ）第一组平均时间为()602704801090478min 20x ⨯+⨯+⨯+⨯==甲.第二组平均时间为()600.25700.5800.2900.05=70.5min x =⨯+⨯+⨯+⨯乙.x x >Q 甲乙，∴乙车间工人生产效率更高；（Ⅲ）由题意得，第一组生产时间少于75min 的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间少于65min 的有2人.X 可取值为0,1,2.()032436410205C C P X C ====. ()1224361231205C C P X C ====，()212436412205C C P X C ====， X 的分布列为：数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查统计图表的处理，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题 18． (1) 2a e =-或0a > (2) []1,0- 【解析】 【分析】(1)先求导数，再根据a 讨论导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后结合零点存在定理确定只有一个零点的条件，(2)先求导数并分解因式，根据m 讨论导函数零点情况，再根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性确定函数最值，列不等式解得m 的取值范围． 【详解】（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞．当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()22'2a x a g x x x x+=+=．①当0a =时，()2g x x =，0x >时无零点．②当0a >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，取1ax e -=，则21110a a g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()0·10g x g <，此时函数()g x 恰有一个零点．③当0a <时，令()'0g x =，解得2a x =-． 当02ax <<-时，()'0g x <，所以()g x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2ax >-时，()'0g x >，所以()g x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增． 要使函数()f x 有一个零点，则ln 0222a a ag a ⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭即2a e =-． 综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >． （2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1x ∈+∞，时，()0h x <恒成立，又()()()()1211'221x mx h x mx m x x--=-++=． ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 且()12h x h a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以不符题意． ②若12m ≥时，则()1x ∈+∞，时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1+∞，上是增函数， 且()()()1h x h ∈+∞，，所以不符题意． ③当0m ≤时，则()1x ∈+∞，时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1+∞，上是减函数， 于是“()0h x <对任意()1x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤， 即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤． 综上，m 的取值范围是[]1,0-． 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a ＞0时，分别求解函数的单调区间即可； （Ⅱ）通过a≤0时，当a ＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）函数的定义域为，，当时，，在单调递减．当时，令，，其中舍去则当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在单调递减，当时，所以在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，在单调递减，不合题意，舍去．当时，由于在上有两个零点，又因为，所以是的一个零点．因此问题等价于：在存在一个零点，又由（Ⅰ）得，当时，存在一个极值点，故，即．因此问题等价于：．因为，令，在恒成立，所以在单调递减，，所以成立，所以存在，．取，，，所以在存在一个零点．综上所述，．另解：当趋近于时，趋近于正无穷大，则．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的零点的求法，考查分析问题解决问题的能力．20．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 假设，，依次成等差数列，推导得到矛盾，从而不可能；(2)利用余弦定理及均值不等式可得，从而得到.【详解】（1）∵，∴，∴.假设，，依次成等差数列，则，则，即，又，从而假设不成立，故，，不可能依次成等差数列.（2）∵，∴.∵，∴.∴，当且仅当，即时，取等号.∵，∴.【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，证明//OE PA ，问题得解。