人教版九年级数学上册 22.1 二次函数的图像与性质 课件
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九年级数学上册 22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=ax-h2+k的图象和性质一导学课件
14．已知二次函数y＝ax2＋3(a≠0)与直线y＝2x－3 交于点(1，b)． (1)求a和b的值； (2)写出抛物线y＝ax2＋3的解析式，并求二 次函数y＝ax2＋3的最大值．
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象和性质（一）
1 …核…心…目…标…..…
2 …课…前…预…习…..… 3 …课…堂…导…学…..… 4 …课…后…巩…固…..… 5 …能…力…培…优…..…
核心目标
了解二次函数y＝ax2 ＋k与y＝ax2的联系，掌握二 次函数y＝ax2＋k的性质．
也在此抛物线上的是( )
A．(2，1)
B．(－2，1)
C．(1，－2)
D．(－1，2)
课后巩固
10．如下图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax ＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )
A
B
C
D
课后巩固
11．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移3个单位，那么
所得新抛物线＝
1 2
x2；③y＝－2x2＋1；
④y12＝
x2－3.其中形状相同的是
__________，形状相同、开口方向也相同的是
13．二__次__函__数_(y填＝序mx号2＋)．m－2的图象的顶点在y轴的负 半轴上，且开口向上，则m的取值范围为 __________．
课后巩固
课前预习
1．如右图,在同一直角坐标系中, 画出二次函数y＝x2＋1，y＝ x2－1的图象，并填空： (1)抛物线y＝x2＋1的开口向 ______________，对称轴是 ______________，顶点坐标 是_______________； (2)抛物线y＝x2－1的开口向_____________， 对称轴是____________，顶点坐标是
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象和性质（一）
1 …核…心…目…标…..…
2 …课…前…预…习…..… 3 …课…堂…导…学…..… 4 …课…后…巩…固…..… 5 …能…力…培…优…..…
核心目标
了解二次函数y＝ax2 ＋k与y＝ax2的联系，掌握二 次函数y＝ax2＋k的性质．
也在此抛物线上的是( )
A．(2，1)
B．(－2，1)
C．(1，－2)
D．(－1，2)
课后巩固
10．如下图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax ＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )
A
B
C
D
课后巩固
11．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移3个单位，那么
所得新抛物线＝
1 2
x2；③y＝－2x2＋1；
④y12＝
x2－3.其中形状相同的是
__________，形状相同、开口方向也相同的是
13．二__次__函__数_(y填＝序mx号2＋)．m－2的图象的顶点在y轴的负 半轴上，且开口向上，则m的取值范围为 __________．
课后巩固
课前预习
1．如右图,在同一直角坐标系中, 画出二次函数y＝x2＋1，y＝ x2－1的图象，并填空： (1)抛物线y＝x2＋1的开口向 ______________，对称轴是 ______________，顶点坐标 是_______________； (2)抛物线y＝x2－1的开口向_____________， 对称轴是____________，顶点坐标是
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
最新人教版初中数学九年级上册《22.1.4(第1课时)》精品教学课件
次函数的性质填空：
x=0时， y=c.
x b1
2a1 y
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0
c2_＝__ 0
对称轴在y轴 左侧，x＜0
O
x 开口向上，a＞0
x b1 ＜0 2a1
x b2 ＞0
2a2 对称轴在y轴 右侧，x＞0
探究新知 【思考4】 如何画二次函数y 1 x2 6x 21的图象？
2
x
…3 4 5 6 7 8
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5
y
方法一：描点法
10
1. 利用图象的对称性列表
9… 7.5 …
2.然后描点画图，得到 图象如右图.
5
y
1 2
x2
-
6x
21
O
5
10 x
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
探究新知
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
人教版九年级上册数学课件二次函数优秀ppt课件
课后巩固
9．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
解：(1)函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m， 若这个函数是二次函数，则m2－m≠0， 解得：m≠0且m≠1；
22.1 二次函数的图象和性质
1 …核…心……目…标..… 2 …课…前……预…习..… 3 …课…堂……导…学..… 4 …课…后……巩…固..… 5 …能…力……培…优..…
核心目标
理解二次函数的概念， 会根据实际问题列出二次函数 关系式．
课前预习
1．阅读教材，并填空： (1)形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的 函数叫做_____二__次__函__数________________； (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，自变量x的取值范 围是_____任__意__实__数_______________．
一次项系数为____－__4____，常数项为___－__1_____．
人教版九年级上册数数学学课件课二件次2函2.数1.优1二秀次pp函t 课数件(共18张PPT)
人教版九年级上册数数学学课件课二件次2函2.数1.优1二秀次pp函t 课数件(共18张PPT)
课堂导学
知识点2：列二次函数关系式 【例2】如下图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜
课后巩固
10．一经销商按市场价收购某种海鲜1 000千克放养 在池塘内(假设放养期内每个海鲜的重量基本保持 不变)，当天市场价为每千克30元，据市场行情推 测，此后该海鲜的市场价每天每千克可上涨1元， 但是平均每天有10千克海鲜死去．假设死去的海 鲜均于当天以每千克20元的价格全部售出．
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
课件_人教版数学九年级二次函数y=ax的图像和性质PPT课件_优秀版
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
-3 -6 -9
探究新知 知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
探究新知
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
探究新知
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
解②得:m1=－2, m2=1
（1） 你们喜欢打篮球吗？
y
利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
顶点（ 0 ，0 ）;
9
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
在已对知称 ：轴如的图左，侧直线, yy随＝x3的x增＋大4与而抛物线y＝, x2交于A、B两点，求出A6、B两点的坐标，并对求称出两轴交与点与抛原物点所线围的成的交三角形的面积．
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
探究新知
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
人教版九年级数学上册22.1：二次函数的图象和性质 课件(共20张PPT)
对接中考 1
将抛物线 y＝x2＋1先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个 单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是 y＝(x＋2)2－2 .
当 -2≤x≤1 时，二次函数 y=-(x-m)2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为( C )
已知二次函数 y=(x-m)2+2，当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 m≥3 .
-1.5 -3 -5.5
…
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
知识点1
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
y
再描点、连线：
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
直线x=－1
-8 -9
课堂导入
向上平移3个单位 把y=−2x2的图象
向左平移2个单位
y=−2x2+3 y=−2(x+2)2
知识点1 画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴. 2
先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5
-3
-1.5 -1
22.1.3
二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质
知识回顾
说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
(1) y=ax2
y
Ox
y
O
x
(2) y=ax2+k
y
22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
人教版九年级数学上册22.1二次函数的图像与性质课件
已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0)
a【<0例开1】口说向出下下，列并抛向物下线无的限开延1口伸.方。二向次、函对称数轴y和＝顶x点2＋坐标1的. 图象大致是（
）
． a④>0若开（口向-1上，，y并1）向，上（无限5，延Ay伸2．）； 是抛物线上的两点，则By1＜y2。
待定系数法求解二次函数解析式
第四页，编辑于星期一：一点 十六分。
图像与性质(y=ax2)
ax2
x
O
a>0 y
O x
二次函数
开口方向及其大小：
a>0开口向上，并向上无限延伸； a<0开口向下，并向下无限延伸。
|a|越大，开口越小；
|a|越小，开口越大。
对称轴：直线x=0(y轴) 顶点坐标：（0，0）
ax2
a<0
第五页，编辑于星期一：一点 十六分。
）
A．-6 或1
B.-3或2 C.6或-1 D.3或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐标 __________ _
第十六页，编辑于星期一：一点 十六分。
二次函数
图像与性质 一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线 x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式ax2+bx+c>0的解 集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2。 其中正确的是（ ）
第九页，编辑于星期一：一点 十六分。
图像与性质
y x=h
人教版数学九年级上册第二十二章二次函数课件22.1.1二次函数(共32张ppt)
∴点P(2
020a,2
020-a)的坐标为
2
1 020
,2
020,∴点P关于y轴的对称点是 -
2
1 020
,2
020
.
故选B.
3.(2019湖北荆门沙洋期中)如图,用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园ABCD,墙长为18 m,设AD的长为x m,菜园ABCD的面积为y m2,则y关于自变量x
资源拓展
1.(2020广东阳江江城期中,4,★★☆)对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的
是( )
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
答案 D 选项A,当m=0时,不是二次函数;选项B,当m=1时,m-1=0,不是二次函数; 选项C,当m=1时,(m-1)2=0,不是二次函数;选项D,当m取任意实数时,-m2-1≠0,是二次 函数.故选D.
2.函数y=(a-1) xa21+x-3是二次函数时,点P(2 020a,2 020-a)关于y轴的对称点是 ( )
A.
2
1 020
,2
020
C.
2
1 020
,-2
020
B.
-
2
1 020
,2
020
D.(2 019,2 020)
答案 B ∵y=(a-1)xa21 +x-3是二次函数,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,
人均可支配收入为y万元,平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为
x,则y与x之间的函数表达式是
.
答案 y=0.75(1+x)2
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A．①②
B．①④
C．①③ D．②③④
待定系数法求解 二次函数解析式
形式 一般式
顶点式
交点式
二次函数
解析式（a≠0） y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
适用条件 已知抛物线上任意三点 坐标时
当一直抛物线的顶点坐 标或对称轴或最大（小） 值时
已知抛物线与x轴的两交 点坐标
【例1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) (1) (1)
(2)
【例2】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ a(x＋c)2的图象大致为()
A．
B．
C．
D．
图像与性质
二次函数
【练习1】下列关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是 （ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是(2,3)
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最 低点为（0，0）
【a<0】 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最 高点为（0，0）
二次函数
概念
【例题】下列函数是二次函数的是（ ） A．y=2x+1 B． y=-2x+1 C．y=x2 +1 D．1/2x+1
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次 函数，则m=_____．
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
ax2 a<0
二次函数
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
增减性： 【a>0】 x<h，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 x>h，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<h，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 x>h，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
二次函数的图像与性质
所学过的函数
正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的 函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数:一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)， 那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx， 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
什么样的函数叫做二次函数呢？
C．当x<-1时，y 随x的增大而增大
D．当x=0时， 有最小值是3
【练习2】若 A(-4,y1)，B(-1,y2) ，C(2,y3) 为二次函数 y=-(x+2)2+3 的图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的关系是（ ）． A．y1<y2<y3 B． y3<y1<y2 C． y3<y2<y1 D． y2<y1<y3
开口方向及其大小： a>0开口向上，并向上无限延伸； a<0开口向下，并向下无限延伸。 |a|越大，开口越小； |a|越小，开口越大。
对称轴：直线x=0(y轴) 顶点坐标：（0，0）
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
增减性： 【a>0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
待定系数法求解 二次函数解析式
二次函数
【例题】 已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0) (1)求抛物线的解析式 (2）求抛物线的顶点坐标
作业
1.二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
ax2 a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
开口方向及其大小： a>0开口向上，并向上无限延伸； a<0开口向下，并向下无限延伸。
|a|越大，开口越小； |a|越小，开口越大。
对称轴：直线x=h(y轴) 顶点坐标：（h，k）
二次函数
概念
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别 是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意： ①自变量的最高次数必须是2（也就是说在y=ax2+bx+c中，a≠0，
而b，c可以为0）
②含自变量的代数式是整式，而不是分式
【a<0】 x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小Leabharlann 图像与性质y x=h
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
x O a>0
y O
x
x=h
a<0
二次函数
图像与性质 一般式
【例题】点 （a,5)在 y=x2+5x-1的图象上，则a为（
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=h时，y最小值=0， 此时最低点为（h，k）
【a<0】 二次函数有最大值，即当x=h时，y最大值=0， 此时最高点为（h，k）
图像与性质
二次函数
）
A．-6 或1 B.-3或2 C.6或-1 D.3或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐 标__________ _
二次函数
图像与性质 一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是 直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线 上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（ ）
图像与性质
y x=h
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
x O a>0
y O
x
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
增减性： 【a>0】 x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大