2020年湖南省株洲市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年湖南省株洲市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A. {-1，0，1，2，3}B. {-1，0，1}C. {1，2}D. {1，2，3}2.复数z=2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A. 2-iB. 2+iC. 4-iD. 4+i3.如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3335，6665，则图形Ω面积的估计值为（）A. B. C. D.4.已知向量=（1，1），=（-1，2），=（k，1），且（2），则实数k=（）A. -4B. 4C. 0D.5.等差数列{a n}的公差为1，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前10项和S10=（）A. 110B. 90C. 55D. 456.执行如图的程序框图，则输出x的值是A. 2018B. 2019C.D. 27.某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示．则该物质含量的众数和平均数分别为（）A. 83和84B. 83和85C. 85和84D. 85和858.已知命题p：∀x＞0，e x＞x+1，命题q：∃x∈（0，+∞），ln x≥x，则下列命题正确的是（）A. p∧qB. （￢p）∧qC. p∧（￢q）D. （￢p）∧（￢q）9.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）A. 96B. 120C. 144D. 18010.已知函数，给出下列四个结论：函数的最小正周期是函数在区间上是减函数函数的图象关于点对称函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 411.已知抛物线y2=4x与双曲线-=1的一条渐近线的交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=2，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.12.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，F为棱AA1上的点，且满足A1F：FA=1：2，点F，B，E，G，H为过B，E，F三点的面BMN与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的交点，则下列说法错误的是（）A. HF∥BEB. 三棱锥的体积V=4C. 直线MN与面A1B1BA的夹角是45°D. D1G：GC1=1：3二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.曲线y=x2+ln x+1在点（1，2）处的切线方程为______．14.若x，y满足条件，则z=2x+y的最大值为______．15.设直线l：，与圆C：交于A，B，且，则a的值是______．16.数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n=（1-）a n+1，b n=log2a n，则数列{}的前n项和T n=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若D为BC的中点，AB=2，AD=，求△ABC的面积．18.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，AB=10，AE=6，BE=8（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）若线DE与平面ABCD的夹角正弦值为，求几何体ABCDE的体积．19.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了人口规模相当的4个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价：x（单位：元/月）和购买总人y定价x（元/月）20305060年轻人（40岁以下）101578中老年人（40岁以及40201532岁以上）购买总人数y（万人）30301010（Ⅰ）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的回归方程；并估计10元/月的流量包将有多少人购买？（Ⅱ）若把50元/月以下（不包括50元）的流量包称为低价流量包，50元以上（包括50元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？定价x（元/月）小于50元大于或等于50元总计年轻人（40岁以下）中老年人（40岁以及40岁以上）总计参考公式：其中=x，==，=．K2=，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得的线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若=，判定四边形OADB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．21.已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x，g（x）=a ln x--ln（x+1）-ax2+2x（Ⅰ）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）-h（x2）的最小值．（注：其中e为自然对数的底数）22.在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设P，Q是圆C上的两个动点，且∠POQ=，求|OP|+|OQ|的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．（Ⅰ）若a=-2，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵M={-1，0，1，2}，N={x|1≤x≤3}；∴M∩N={1，2}．故选：C．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=2=，∴，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为z=a+bi的形式，再求其共轭复数即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：设图形Ω的面积为S，因为由电脑随机从正方形中抽取10000个点，落在Ω图形内和图形Ω外的豆子分别3335，6665，所以=，故选：A．根据几何槪型的概率公式进行估计即可得到结论．本题主要考查几何槪型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4.答案：A解析：解：∵向量=（1，1），=（-1，2），=（k，1），∴=（1，4），∵（2），∴（2）=k×1+1×4=0，解得k=-4．故选：A．先求出向量2的坐标，由（2），利用向量垂直的性质能求出k的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：解：∵a2，a4，a8成等比数列，∴a42=a2a8，可得（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），又等差数列{a n}的公差为1，化简得：a1=1，a10=10，则{a n}的前10项和S10==55．故选：C．由a2，a4，a8成等比数列，列出关系式，通过公差，解得：首项，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=2019 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0．满足条件y＜2019，执行循环体，x=-1，y=1；满足条件y＜2019，执行循环体，x=，y=2；满足条件y＜2019，执行循环体，x=2，y=3；满足条件y＜2019，执行循环体，x=-1，y=4；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于2019=673×3，可得：满足条件y＜2019，执行循环体，当x=2，y=2019，不满足条件y＜2019，退出循环，输出x的值为2．故选：D．7.答案：C解析：【分析】本题考查考查频率分布直方图中众数和平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数．【解答】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组[80，90）内，所以众数为=85，含量在[60，70）之间的频率为0.1，含量在[70，80）之间的频率为0.2，含量在[80，90）之间的频率为0.4，根据概率和为1，可得含量在[90，100）之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为：65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84．故选：C．解析：解：令f（x）=e x-x-1，则f′（x）=e x-1，当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）＞f（0）=0，∴∀x ＞0，e x＞x+1，p真；令g（x）=ln x-x，g′（x）=-1=，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=-1＜0，所以g（x）≤0在（0，+∞）恒成立，则q为假命题；则p∧（￢q）为真命题，故选：C．利用导数和函数零点分别判断命题p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，构造函数利用导数研究函数最值是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，故柱体的底面面积S=4×4+×2×4=20，柱体的高即为三视图的长，即h=6．故柱体的体积V=Sh=120，故选：B．由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，难度不大，属于基础题．10.答案：B解析：【分析】先利用两角和与差的三角函数公式对函数f（x）化简，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y=sin x的对称中心判断③的正误；利用函数的图象的变换判断④的正误；本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的周期性、对称性、单调性以及图象平移问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），①因为ω=2，则f（x）的最小正周期T=π，结论正确．②当时，，y=sin x在[0，π]上不是单调函数，结论错误．③因为f（）=0，则函数f（x）图象的一个对称中心为结论正确．④函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到，结论错误．故正确结论有①③，11.答案：D解析：解：设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+1=2，∴m=1，∴n2=4，∴n=±2，点M（1，±2）代入双曲线的渐近线方程，∴，∴==5，∴，故选：D．设出M坐标，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出a，c关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：C解析：解：A项：因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；B项：A1F：FA=1：2，MA1：AB=1：2，MA1=1，同理可得C1N=BC=2，B1N=4，V=V N-MBB1=S△BMB1•B1N=••2•3•4=4，B正确；C项：∵B1N⊥面A1B1BA，所以∠NMB1即为所求线面角，tan∠NMB1=≠1，即∠NMB1≠，C错；D项：==，MB1=3，∴C1G=，∴D1G=，D1G：GC1=1：3，D对．故选：C．利用平面与平面平行的性质判断A正误；通过等体积转换求解三棱锥N-BMB1的体积判断B的正误；通过作面的垂线求线面角判断C的正误；通过三角形相似判断D的正误．本题考查面面平行的性质定理，等体积转换求解三棱锥的体积，线面角的求法，以及利用平行关系推导三角形相似进而利用相似比求线段长，比较综合，属于中档题．13.答案：y=3x-1解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义，应用导数求切线方程．先对原函数求导，再令x=1解出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：曲线f（x）=x2+ln x+1，可得f′（x）=2x+，f′（1）=2+1=3，所以k=3，切线方程为：y-2=3（x-1），即y=3x-1．故答案为：y=3x-1．14.答案：4解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过（2，0）时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y得z=2×2+0=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4，故答案为：4．先作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合是解决此类问题的基本方法．15.答案：10或-30解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线距离公式的应用．首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可．【解答】解：根据题意，圆C：（x-2）2+（y-1）2=25，其圆心C（2，1），半径为r=5，又由|AB|=6，则d===4，即圆心到直线l的距离为4.则有d==4，解得a=10或-30.故答案为：10或-30．16.答案：解析：解：a1=2，S n=（1-）a n+1，n≥2时，S n-1=（1-）a n，两式作差，得a n=（1-）a n+1-（1-）a n，化简得=2，检验：当n=1时，S1=a1=a2，即a2=4，=2，所以数列{a n} 是以2为首项，2为公比的等比数列；a n=2n，b n=log2a n=n，==-，前n项和T n=1-+-+…+-=1-=．故答案为：．由题意可得S n=（1-）a n+1，n≥2时，S n-1=（1-）a n，两式作差，得=2，经过检验得出数列{a n} 的通项公式，进而求得==-，裂项相消求和即可．本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．17.答案：解：（Ⅰ）∵，∴sin A cos B=sin B sin A，∵A，B∈（0°，180°）∴tan B=，∴B=60°．（Ⅱ）设BD=x，在△ABD中，由余弦定理：x2+22-2×2x cos60°=7，解得：x=3或-1（舍去），∴BC=6，∴S△ABC==3．解析：（Ⅰ）利用正弦定理把边化角，利用B的正切值求角；（Ⅱ）先利用余弦定理解出BD，求出BC，再利用面积公式即可求解．本题考查正余弦定理综合应用，利用正弦定理边角互化达到化简的目的，利用余弦定理求三角形的边，以及面积公式的应用，属于基础题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，DA平面ABCD，∴DA⊥平面ABE，又BE平面ABE，∴DA⊥BE，又∵AB=10，AE=6，BE=8，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥BE，又DA∩AE=A，AE平面ADE，DA平面ADE，∴BE⊥平面ADE，又BE平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．（Ⅱ）作EF⊥AB于F，连接DF，∵平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD平面ABE=AB，EF⊥AB，EF平面ABCD，即EF⊥平面ABCD,则∠EDF为DE与平面ABCD的夹角，∵DE与平面ABCD的夹角正弦值为，∴sin∠EDF==，∵EF=，∴DE=8，∴DA==2，∴几何体ABCDE的体积：V E-ABCD===32．解析：本题考查面面垂直判定定理的应用，已知线面角的三角函数值求线段长，以及锥体体积公式，作出面的垂线是解题关键，属于中档题.（Ⅰ）由已知条件推导出DA⊥BE，AE⊥BE，由此能证明BE⊥平面ADE，从而得到平面ADE⊥平面BCE．（Ⅱ）作EF⊥AB于F，连接DF，通过DE与平面ABCD夹角的正弦值求得EF，进而得到DA的值，再利用锥体体积公式求出体积即可．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，计算===-0.6，==20-（-0.6）×40=44；所以：y关于x的回归方程是：=-0.6x+44，当x=10时，=-0.6×10+44=38，所以估计10元/月的流量包将有38万人购买；（Ⅱ）由题意填写列联表如下；定价x（元/月）小于50元大于或等于50元总计年轻人（40岁以下） 2515 40中老年人（40岁以及40岁以上）355 40总计 60 20 80由表中数据，计算K2=≈6.667，且6.667＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关．解析：（Ⅰ）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令x=10 代入即可求出此时y的估计值；（Ⅱ）根据流量包的定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，计算K2的值，比较它与6.635的大小即可．本题考查了线性回归方程的求法应用问题，也考查了独立性检验的应用问题和计算能力，属于基础题．20.答案：解：（Ⅰ）由，，a2=b2+c2．解得a=2，b=c=．得椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x=-1或x=1，此时四边形OADB的面积为．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y=kx+m，联立椭圆方程消y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0．△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-4）=8（4k2+2-m2）＞0，则m2＜4k2+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），，．y1+y2=k（x1+x2）+2m=|AB|=．点O到直线AB的距离d=由=，得，y D=．因为点D在曲线C上，所以有（）2+2（）2=4整理得1+2k2=2m2．由题意四边形OADB为平行四边形，所以四边形OADB的面积为∴S平行四边形OAPB=|AB|•d=×=由1+2k2=2m2得S OADB=，故四边形OADB的面积是定值，其定值为．解析：（Ⅰ）根据椭圆C截直线y=1所得的线段的长度为2，可得椭圆过点（，1），结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l的斜率不存在时，四边形OADB的面积为；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由=，得，y D=．代入曲线C，整理出k，m的等量关系式，再根据S平行四边形OAPB=|AB|•d，写出面积的表达式整理即可得到定值．本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．21.答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（-1，+∞），f′（x）==．①当时，f（x）在（-1，0），（-1，+∞）单调递增；f（x）在（0，-1）单调递减．②当a=时，f′（x）=≥0，f（x）在（-1，+∞）单调递增．③当a时，f（x）在（-1，-1），（0，+∞）单调递增；f（x）在（-1，0）单调递减．（Ⅱ）h（x）=x-+a ln x，h′（x）=1++=，由题意得方程x2+ax+1=0的两根分别为x1，x2，且x1+x2=-a，x1x2=1．∴x2=，a=-x1-．则h（x1）-h（x2）=h（x1）-h（）=2[（-x1-）ln x1+x1-]设u（x）=2[（-x-）ln x+x-]，则u′（x）=2（-1）ln x=ln x，当x∈（0，]时，u′（x）＜0恒成立，∴u（x）在x∈（0，]上单调递减，∴u（x）min=u（）=，即h（x1）-h（x2）的最小值为．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、一元二次方程的根与系数，考查学生的运算推理能力，属于难题．（Ⅰ）对函数f（x）求导，对a的值分情况讨论即可确定f（x）的单调区间；（Ⅱ）先对h（x）求导，令导数式等于0，结合根与系数的关系整理h（x1）-h（x2），构造关于x1的函数，求导根据单调性确定最值即可．22.答案：解（Ⅰ）圆C直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，x2+y2-2x=0C：ρ2-2ρcosθ=0，ρ=2cosθP（ρ1，θ），Q（ρ2，）|OP|=ρ1=2cosθ，|OQ|=ρ2=2cos（θ+），|OP|+|OQ|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ-sinθ=2cos（θ+）∵，∴-＜θ＜∴θ=-时，|OP|+|OQ|取得最大值2．解析：（Ⅰ）先由参数方程写出直角坐标方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到圆的极坐标方程；（Ⅱ）先根据∠POQ=设出P，Q的极坐标，再对|OP|+|PQ|化为辅助角的形式，求出θ的范围进而求出|OP|+|OQ|的最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解（Ⅰ）a=-2时，不等式为|2x+2|+|x-1|≤5①当x≤-1 时，不等式化为-2x-2-x+1≤5，x≥-2，此时-2≤x≤-1②当-1＜x＜1 时，不等式化为2x+2-x+1≤5，x≤2时，-1≤x＜1；③当x≥1时，不等式化为2x+2+x-1≤5，x≤，此时1综上所述，不等式的解集为{x|-2}（Ⅱ）法一：函数f（x）=|2x-a|+|x-1|，当a＜2，即＜1时，f（x）=所以f（x）min=f（）=-+1=3，得a=-4＜2（符合题意），故a=-4．法二：f（x）=|2x-a|+|x-1|=|x-|+|x-|+|x-1|≥|x-|+|x-1|≥|（x-）-（x-1）|=|-1|所以f（x）min=|-1|=3，又a＜2，所以a=-4．解析：（Ⅰ）a=-2时，f（x）=|2x+2|+|x+1|，f（x）的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论x≤-1，-1＜x＜1，x≥1，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）法一：a＜2 时，＜1，化简f（x）为分段函数，根据函数的单调性求出f（x）在x=处取最小值3，进而求出a值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f（x）最小值，进而求a．本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．属中档题．。