3.4 解析函数的高阶导数

∫C
i −i ez (1 − i )e − (1 + i )e dz = π+ π 2 2 ( z + 1) 2 2
π = (1 − i )(e i − ie − i ) 2 π = (1 − i )2 (cos 1 − sin 1) 2 π = iπ 2 sin 1 − . 4
y
C1
z
1
ez ( z + i )2 dz 2 (z − i)
i
C1
y
i
2πi e (1 − i )e = π, ( z + i )2 = ( 2 − 1)! 2
z =i
′
C
x
o
C2
−i
2
−i ez − (1 + i )e π, 2 2 dz = ( z + 1) 2
i
C
x
o
C2
−i
7
5
在 C 内以 i 为中心作一个正向圆周 C1 , 以 − i 为中心作一个正向圆周 C 2 , e 则函数 2 2 在由 C , C1 , C 2 ( z + 1)
z
C1
y
i
C
x
o
C2
−i
围成的区域内解析 ,
5
根据复合闭路定理
∫C ∫C
ez ez ez dz = ∫ dz + ∫ dz 2 2 2 2 2 2 C1 ( z + 1) C 2 ( z + 1) ( z + 1) ez dz = ∫ 2 2 C1 ( z + 1)
但 cos πz 在 C 内处处解析 ,
根据公式 f
( n)
n! f (z) ( z0 ) = ∫C ( z − z0 )n+1 dz 2πi
4
πi cos πz 2πi (4) ∫C ( z − 1)5 dz = (5 − 1)! (cos πz ) z =1 = − 12 ; z e ( 2) 函数 2 在 C 内的 z = ± i 处不解析 , 2 ( z + 1)
不在于通过积分来求导, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分. 来求积分.
3
三、典型例题
例1 计算下列积分 , 其中 C 为正向圆周 : z = r > 1.
ez cos πz (1) ∫ d z; ( 2) ∫ dz . 5 2 2 C ( z − 1) C ( z + 1) cos πz 在 C 内 z = 1 处不解析 , 解 (1) 函数 5 ( z − 1)
3.4 解析函数的高阶导数
一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题
一、问题的提出
问题: 问题: 解析函数是否有高阶导数? 解析函数是否有高阶导数
回答: 回答: 解析函数有各高阶导数. 解析函数有各高阶导数 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积 分来表示
2
二、主要定理
定理
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 n! f (z) (n) 导数为 : f ( z0 ) = ∫ ( z − z0 )n+1 dz (n = 1,2,L) 2π i C 其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于 D.