13.3_角平分线的性质(1)课件2

D
A
O E
P
证明： 作射线OP
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
∴
∵ PD ⊥ OA
PE ⊥ OB
B
∠ PDO = ∠ PEO = 90 °
∆ ∆ ∴ Rt∆PDO≌ Rt∆PEO （ HL） ∴ ∠AOP = ∠BOP （全等三角形的对应角相等） ∴ 点P在 ∠AOB 角的平分线上 在
O E
P
用途： 用途：证线段相等
B
定理 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。
∵ ∴
PD ⊥ OA PE ⊥ OB
PD = PE OP 是 ∠AOB 的平分线 用途： 用途：判定一条射线是角平分线
如图， 平分 平分∠ ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） （已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
A
O
B
A (1)工人师傅经常用角尺平分一个任 意角.做法如下: 如图, ∠AOB 是一个任意角,在边 O OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角 尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角 尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线. 为什么?请用三角形全等的知识来说明 画法的道理. M C N B A
√
角的两边的距离相等。 角的两边的距离相等。
B
A D
C
4、△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 、 平分∠ 中 平分 且 BC=8,BD=5,求点 到AB的距离是多少？ 求点D到 的距离是多少 的距离是多少？ 求点
C D
A
E
B
例题讲解：
已知：如图， 的角平分线BM、CN相交于点 相交于点P. 已知：如图，△ABC的角平分线 的角平分线 、 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边 证明：过点P PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D 分别垂直于AB 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∵BM是 ABC的角平分线， BM上 的角平分线 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB BC、 CA的距离相等 AB、 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
A
E D B
C
B 1 2 0
M D 34 P N A
小结： 小结：
（1）角平分线的性质定理及其逆定理及作用；
（2）用这两个定理，一定要具备两个垂直距离 （即点到直线的距离），证明过程中要直接应 用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这 样做实际是重新证了一次定理）。 （3）怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。 怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点。 A P B C
随堂练习3 随堂练习
已知：如图， 已知：如图，△ABC 的∠B的外角的平分 的外角的平分 线BD和∠C的外角平 和 的外角平 分线CE相交于点 相交于点P。 分线 相交于点 。 求证： 求证：点P在∠BAC的 在 的 平分线上。 平分线上。
A
B
C
E P
D
应用与拓展 1.在ABC中, ∠C=900,AD平分BAC交 BC于点D,若BC=8,BD=5,则点D到 AB的距离为多少? 2.能用尺规作出一个450的角吗? 3.已知：OD平分∠AOB，在OA， OB边上取OA=OB，PM⊥BD， PN⊥AD，求证：PM=PN
(2)如右图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB D 和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射 线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗? (3)你能由上面的探究得出作已知角的平分线的 方法吗?
B C
E
已知:∠ 已知 ∠AOB 求作： 求作：∠AOB的平分线 的平分线 做法： 做法： 为圆心， （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交 ） 为圆心 适当长为半径作弧， OA于M，交OB于N。 于 ， 于 。 2）分别以M、N为圆心 大于1／ 为圆心， （2）分别以M、N为圆心，大于1／2MN 的长为半径作弧，两弧在∠ 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交 的内部交 于点C。 于点 。 即为所求。 （3）作射线 ）作射线OC。射线 。射线OC即为所求。 即为所求 M 0
个角的两边的距离相等。 个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
如图， 已知） ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ⊥ ， ⊥ ∴ BD = CD ，(
在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。 个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
不必再证全等
平分∠ 已知） ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） 平分 ⊥ ， ⊥ ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； ）角的平分线； 点在该平分线上； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 ）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 证明线段相等。 E
推理的理由有三个， 推理的理由有三个， 必须写完全， 必须写完全，不能少 了任何一个。 了任何一个。
A
C N B
仔 细 观 察 步 骤
． Ｂ Ｎ Ｃ A Ｍ
O
折一折
A A D P O B O C
E B 将∠AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜 边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离, 这两个距离相等.
的应用书写格式： 定理 2的应用书写格式： 的应用书写格式 D
A
∵
PD ⊥ OA
PE ⊥ OB
O
P
PD= PE
∴OP 是 ∠ AOB 的平分线（到一个角的
E
B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ）
定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等。
A C
∵ ∴
OP 是 ∠AOB 的平分线 PE ⊥ OB PD ⊥ OA PD = PE
A P M C
N
B
1 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 如图， ⊥ ， ⊥ ， 分别是E， ， 分别是 ，F， DE =DF， ∠EDB= ， 60°，则 ∠EBF= 60 度， °
A E
C D
BE= BF 。
B F C
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， 如图， ABC中 C=90° DE⊥AB， 1=∠2， AC=6cm，那么线段BE BE是 ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= AC 。
到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， PD ⊥ OA ， 已知：如图，
D
A
PE ⊥ OB ，垂足分别是
A、B，PD=PE ，
O E
P
求证：点P在∠AOB 的角平分线上。 求证： 在 的角平分线上。
B
定理 2 到角的两边的距离相等的点 在角 的平分线上。
已知：如图， 已知：如图，PD ⊥ OA， ⊥ OB ， PE 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证： 的角平分线上。 求证：点P在 ∠AOB 的角平分线上。 在
11.3角的平分线的性质 11.3角的平分线的性质
复习提问 1、角平分线的概念 、
P
我的长度
一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2、点到直线距离的意义。 、点到直线距离的意义。 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。

A
O
P
C
B
应用定理的书写格式：
∵
∴ PD = PE
OP 是 ∠AOB 的平分线 PD ⊥ OA PE ⊥ OB
（角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。 到这个角的两边的距离相等。）
如图， 如图，由 PD ⊥ OA 于点 D ， PE ⊥ OB 可以得到什么结论 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？ ，