2013届高三一轮复习数学精品资料：2[1].6_指数与指数函数
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§2.6 指数与指数函数
基础自测
1.已知a ＜41
，则化简
4
2
)
14(-a 的结果是 （ ）
A .
1
4-a B .-1
4-a C .a
41- D .-
a
41-
答案 C
2.设指数函数f (x )=a x
(a ＞0且a ≠1)，则下列等式不正确的是（ ） A .f (x +y )=f (x )·f (y ) B .f ((xy )n
)=f n (x )·f n
(y )
C .f (x -y )=
)
()(y f x f D .f (nx )=f n
(x )
答案 B
3.函数
f (x )=a x-b
的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是
（ ）
A .a ＞1,b ＞0
B .a ＞1,b ＜0
C .0＜a ＜1,b ＞0
D .0＜a ＜1,b ＜0 答案 D
4.关于函数f (x )=2
x
-2-x
(x ∈R )，有下列三个结论：
①f (x )的值域为R ；
②f (x )是R 上的增函数；
③对任意x ∈R ,有f (-x )+f (x )=0成立.
其中全部正确的结论是 （ ） A .①②③ B .①③ C .①② D .②③ 答案 A 5.已知集合M ={-1,1},N ={x |
2
1
＜2x +1
＜4,x ∈Z },则M ∩N 等于 （ ） A .{-1,1} B .{-1} C .{0} D .{-1,0} 答案 B
例1已知a =9
1,b =9.求：
（1）
;3
15
3
8
33
2
7
a
a
a
a
⋅
÷
--
（2）
1
1
1
)
(---+ab b
a
.
解 （1）原式=3
127⨯a .3
123⨯-a
÷［a
2
1)3
8(⨯
-
·2
1315⨯a
］
= 2
167-a )
2534(+-
-=a 2
1
-.
≧a =9
1，≨原式=3.
（2）方法一 化去负指数后解.
.
1111
)
(1
1
1
b a ab
ab b a ab
b a
ab b
a
+=+=
+=+---≧a =1/9b=9≨a +b =82/9
方法二 利用运算性质解.
.11)
(1
1
1
1
11
1
11
1
1
a b a
b
b a b
b
a a
ab b
a
+=+
=
+
=
+-----------
≧a =,9,9
1
=b ≨a +b =
.9
82
例2 函数f (x )=x
2
-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则f (b x
)与f (c x
)
的大小关系（ ）
A .f (b x
)≤f (c x
) B .f (b x
)≥f (c x
)
C .f (b x
)＞f (c x
) D .大小关系随x 的不同而不同 答案 A
例3 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f (x )=3
4
52
+-x x ;
（2）g (x )=-(5)21(4)41
++x x
. 解 （1）依题意
x 2
-5x +4≥0, 解得x ≥4或x ≤1,
≨f （x ）的定义域是（-≦，1］∪［4，+≦）. 令u =
,
4
9)2
5(452
2
-
-
=
+-x x x ≧x ∈（-≦，1］∪［4，+≦），
≨u ≥0，即
4
52
+-x x ≥0，而f (x )=3
4
52
+-x x ≥30
=1, ≨函数f (x )的
值域是［1，+≦）. ≧u =
4
9)25(2
-
-
x ,≨当x ∈（-≦，1］时，u 是减函数，
当x ∈［4，+≦）时，u 是增函数.而3＞1,≨由复合函数的单调性可知， f （x ）=3
4
52
+-x x 在（-≦，1］上是减函数，在［4，+≦）上是增函数.
故f （x ）的增区间是［4，+≦），减区间是（-≦，1］.
（2）由g (x )=-(,
5)2
1(4)21(5)21(4)4
12++-=++x
x x x
≨函数的定义域为R ，令t =()2
1x (t ＞0),≨g (t )=-t 2+4t +5=-(t -2)2
+9, ≧t ＞0,≨g (t )=-(t -2)2+9≤9,等号成立的条件是t =2,
即g (x )≤9,等号成立的条件是(x
)2
1=2，即x =-1，≨g （x ）的值域是（-≦，9］.由g (t )=-(t -2)2
+9 (t ＞0),而t =(x
)2
1是减函数，≨要求g (x )的增区间实际上是求g (t )的减区间，求g (x )的减区间实际上是求g (t )的增区间. ≧g （t ）在（0，2］上递增，在［2，+≦）上递减，
由0＜t =(
x
)
21≤2,可得x ≥-1, 由t =(
x
)
2
1≥2,可得x ≤-1.
≨g （x ）在［-1，+≦）上递减，在（-≦，-1］上递增， 故g (x )的单调递增区间是（-≦，-1］，单调递减区间是［-1，+≦）.