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(天津专用)2020届高考数学一轮复习考点规范练37直线与方程(含解析)新人教A版

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高中数学《直线与方程》练习题(含答案)

高中数学《直线与方程》练习题(含答案)

高中数学《直线与方程》同步练习（含答案）1. 经过点P(−1, 2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A.0条B.1条C.2条D.3条2. 已知直线l:y=3x−2的纵截距是（）A.−3B.−2C.3D.23. 动点P(cosθ, sinθ)(θ∈R)关于直线y=x−2的对称点是P′，则|PP′|的最大值（）A.2√2−2B.√2+1C.2√2D.2√2+24. 若直线y=0的倾斜角为α，则α的值是（）A.0B.π4C.π2D.不存在5. 下列命题中真命题为（）A.过点P(x0, y0)的直线都可表示为y−y0=k(x−x0)B.过两点(x1, y1)，(x2, y2)的直线都可表示为(x−x1)(y2−y1)=(y−y1)(x2−x1)C.过点(0, b)的所有直线都可表示为y=kx+bD.不过原点的所有直线都可表示为xa +yb=16. 过点(2, 4)可作在x轴，y轴上的截距相等的直线共（）A.1条B.2条C.3条D.4条7. 直线3x−√3y+1=0的倾斜角是( )A.30∘B.60∘C.45∘D.150∘8. 经过两点M(6, 8)，N(9, 4)的直线的斜率为（）A.4 3B.−43C.34D.−349. 过两直线l1:2x−y+1=0，l2:x+3y−2=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为（）A.7x+7y+4=0B.7x+7y−4=0C.7x−7y+6=0D.7x−7y−6=010. 若不论m取何实数，直线l:mx+y−1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为（）A.(−2, 1)B.(2, −1)C.(−2, −1)D.(2, 1)11. 设直线y=2x−1交曲线C于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，（1）若|x1−x2|=√2，则|AB|=________；（2）|y1−y2|=√2，则|AB|=________．12. 已知点M(1, 1)平分线段AB，且A(x, 3)，B(3, y)，则x=________，y=________．13. 设复数z=x+yi(x, y∈R)且|z+i|+|z−i|=4，则点(x, y)的轨迹方程是________．14. 直线2x−3y−12=0与坐标轴围成的三角形的面积为________．15. 已知ab<0，bc<0，则直线ax+by=c的图象一定不过第________象限．16. 直线y=−x+b与5x+3y−31=0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．17. 若三点A(−2, 3)，B(3, −2)，C(12, a)共线，则a的值为________．18. 过点A(2, −1)和B(4, 5)的直线方程是________．19. 已知直线l1:ax+2y+6=0，直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0．当a________时，l1与l2相交；当a________时，l1⊥l2；当a________时，l1与l2重合；当a________时，l1 // l2．20. 已知θ∈R，则直线x|sinθ|−√3y+1=0的倾斜角的取值范围是________．21. 求m为何值时，这三条直线l1:4x+y=4，l2:mx+y=0，l3:2x−3my=4，不能构成三角形．22. 已知直线l经过两条直线l1:3x+y−5=0和l2:x+y−3=0的交点M.(1)若直线l与直线2x+y+2=0垂直，求直线l的方程；(2)求经过点M并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.23. 已知点A(−1, 2)，B(2, 1)在y轴上，求点Q，使|QA|=|QB|，并且求|QA|值．24. 已知：A(2, 5)，B(6, −1)，C(9, 1)，求证：AB⊥BC．25. 直线l经过两直线2x−y+4=0与x−y+5=0的交点，且与直线l1:x+y−6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P(a, 1)到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．26. 求经过点(5, 10)且与原点的距离为5的直线方程．27. 根据条件写出直线的方程（1）经过点A(8, −2)，斜率是−12．（2）经过点P1(3, −2)，P2(5, −4)．28. 求过点P(0, 1)的直线l，使它包含在两已知直线l1:2x+y−8=0和l2:x−3y+10=0间的线段被点P平分．29. 已知直线l1:ax+3y+1=0，l2:x+(a−2)y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1 // l2时，求直线l1与l2之间的距离．30. 已知直线l1:x+my+1=0和l2：(m−3)x−2y+(13−7m)=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1 // l2，求l1与l2之间的距离d．参考答案一、 选择题1.D2.B3.D4.A5.B6.B7.B8.B9.B 10.A 二、 填空题11.解：（1）K AB =y 1−y2x 1−x 2=2，即(y 1−y 2)=2(x 1−x 2)，|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√5|x 1−x 2|=√5×√2=√10， （2）由（1）可得，(y 1−y 2)=2(x 1−x 2)， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√55|x 1−x 2|=√2×√55=√105． 12. 1,1 13.y 24+x 23=114. 12 15. 二 16. 315<b <31317. 1218. 3x −y −7=019. a ≠−1且a ≠2,=23,a =2,a =−1 20. [0∘, 30∘] 三、 解答题21.解：①当直线l 1:4x +y −4=0平行于l 2:mx +y =0时，m =4． ②当直线l 1:4x +y −4=0平行于l 3:2x −3my −4=0时，m =−16， ③当l 2:mx +y =0平行于l 3:2x −3my −4=0时，−m =23m ，m 无解．④当三条直线经过同一个点时，把直线l 1与l 2的交点(44−m , −4m4−m )代入l 3:2x −3my −4=0得 84−m −3m ×−4m4−m −4=0，解得m =−1或23， 综上，满足条件的m 为4、或−16、或−1、或23． 22.解：(1)解方程组{3x +y −5=0,x +y −3=0,得x =1,y =2,M(1,2).与2x +y +2=0垂直的直线为x −2y +c =0, M(1,2)点代入得c =3.直线l 的方程为x −2y +3=0. (2)当截距为0时，设y =kx ，过点M(1,2), 则得k =2，即y =2x ；当截距不为0时，设x a +y a =1，或x a +y−a =1，过点M(1,2)，则得a =3或a =−1，即x +y −3=0，或x −y +1=0，这样的直线有3条：y =2x, x +y −3=0，或x −y +1=0. 23.解：设Q(0, y)，∵ |QA|=|QB|， ∴ √1+(y −2)2=√22+(y −1)2， 化为y =0． ∴ Q(0, 0)， |QA|=√5．24.证明：∵ A(2, 5)，B(6, −1)，C(9, 1)， ∴ AB →=(4, −6)，BC →=(3, 2)， ∴ AB →⋅BC →=4×3+(−6)×2=0，∴ AB →⊥BC →， ∴ AB ⊥BC ．25.解：（1）由{2x −y +4=0x −y +5=0，解得{x =1y =6．即两直线的交点为(1, 6)，∵ 直线l 1:x +y −6=0的斜率为−1， ∴ 直线l 的斜率为−1，∴ 直线l 的方程为y −6=−(x −1)，即x +y −7=0； （2）由题意知，√2=√2整理得：|a −6|=1．解得：a =7或a =5．26.解：当直线无斜率时，方程为x −5=0，满足到原点的距离为5；当直线有斜率时，设方程为y −10=k(x −5)，即kx −y +10−5k =0， 由点到直线的距离公式可得√k 2+(−1)2=5，解得k =34， ∴ 直线的方程为：3x −4y +25=0综合可得所求直线的方程为：x −5=0或3x −4y +25=0 27.解：（1）由题意得：直线方程为y +2=−12(x −8)， 整理得：x +2y −4=0；（2）由题意得：直线方程为y +2=−2−(−4)3−5(x −3)，整理得：x +y −1=0．28.解：根据题意，直线l 1:2x +y −8=0可化为 y =−2x +8；设直线l 1上的一点P 1(x 1, −2x 1+8)，则P 1关于点P 的对称点是P 2（−x 1, 2−(−2x 1+8)）； P 2在直线l 2:x −3y +10=0上，即−x 1−3(2x 1−6)+10=0， 解得x 1=4， ∴ y 1=0；∴ 所求的直线方程是x4+y =1，即x +4y −4=0． 29. 解：（1）由l 1⊥l 2可得：a +3(a −2)=0，…4分 解得a =32；…6分（2）当l 1 // l 2时，有{a(a −2)−3=03a −(a −2)≠0，…8分解得a =3，…9分此时，l 1，l 2的方程分别为：3x +3y +1=0，x +y +3=0即3x +3y +9=0， 故它们之间的距离为d =√32+32=4√23．…12分．30.解：（1）∵ 直线l 1:x +my +1=0和l 2：(m −3)x −2y +(13−7m)=0， ∴ 当l 1⊥l 2时，1⋅(m −3)−2m =0，解得m =−3；（2）由l 1 // l 2可得m(m −3)+2=0，解得m =1或m =−2， 当m =2时，l 1与l 2重合，应舍去，当m =1时，可得l 1:x +y +1=0，l 2:−2x −2y +6=0，即x +y −3=0， 由平行线间的距离公式可得d =√12+12=2√2。

高考数学理一轮复习-7-1直线的方程精品课件

高考数学理一轮复习-7-1直线的方程精品课件
(1)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2)过点 A(2,1)，它的倾斜角是直线 l1：3x＋4y＋5＝0 的倾斜角的一半；
(3)过点 A(2,1)和直线 x－2y－3＝0 与 2x－3y－2＝0 的交点；
(4)过点 A(－2,4)分别交 x 轴、y 轴于点 B、C，点 A 内分B→C成 1∶2.
第七章 直线和圆的方程
第一节 直线的方程
知识自主·梳理
1.理解直线的倾斜角和斜率的 概念．
2．掌握过两点的直线的斜率 公式． 最新考纲 3．掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式．
4．能根据条件熟练地求出直 线方程．
以选择题、填空题的形式考查 高考热点 直线的基本概念及直线方程的
1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对
[规律总结] 在解决直线的截距、斜率以及 直线是否经过第几象限等问题时，通常需要 将直线的一般式转化为直线的特殊形式，在 转化过程中，一定要注意转化的条件．忽视 了条件，易出现错误，导致题目解错.
备考例题3
过点P(－1，－2)的直线l分别交x轴和y轴的负 半轴于A、B两点． (1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
[分析] 根据题目的不同特征，选择恰当的方 程形式求解．
(3)
方
法
一
：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
方
程
组
x－2y－3＝0， 2x－3y－2＝0，
得
x＝－5， y＝－4.
∴两条直线的交点为(－5，－4)． 由两点式得－y－4－11＝－x－5－22，即 5x－7y－3＝0. 方法二：用直线系方程来解．
设经过两已知直线交点的直线系方程为
于一条与x轴相交的直线交，点如果逆把时x针轴绕着

高中数学总复习知识点讲解与练习第37讲 直线与圆锥曲线

高中数学总复习知识点讲解与练习第37讲 直线与圆锥曲线

两 点 的 横 坐 标 ， 故 x1 + x2 = 5 ， 因 为 抛 物 线 y2 = 4x 的 焦 点 为 F(1,0) ， 所 以
uuur uuur FA + FB = (x1 +1) + (x2 +1) = 7
答案：7
三、解答题
8.设椭圆C :
过点 ，离心率为 ． x2
a2
+
y2 b2
= 1( a
x2 − 3x − 8 = 0
x1
=
3
− 2
41
x2
=
3+ 2
41
3 / 31
的中点坐标 ， ， ∴ AB
x = x1 + x2 = 3 22
y
=
y1
+ 2
y2
=
2 5
(
x1
+
x2
− 6)
=
−6 5
即所截线段的中点坐标为
3 2
,
−
6 5
．
所以线段 AB 的长度是| AB |=
(x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 =
解法二：设 ，则 ， .设直线 P(x1, y1), B(x2 , y2 ) x1 > 0, x2 > 0, x1 ≠ x2 A(−x1,− y1),C(x1,0)
PB，AB
的斜率分别为 k1,k2
。因为
C
在直线
AB
上，所以 k2
=
0 − (− y1 ) x1 − (−x1 )
=
y1 2x1
=
−
1 k
解：由题意知， a = 2,b = ，故 2 M (−2,0), N(0,− 2) ,所以线段 MN 的中点的坐标为

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练42直线与圆锥曲线含解析新人教A版

天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练42直线与圆锥曲线含解析新人教A版

授课资料范本天津专用 2020届高考数学一轮复习考点规范练 42直线与圆锥曲线含剖析新人教 A版编辑： __________________时间： __________________考点规范练 42直线与圆锥曲线.抛物线 y=x2上的点到直线 x-y-一、基础牢固= 的最短距离为()1 2 0A.设A x1y1B. D..,B x2,y2是抛物线y= x2上的两点,直线 l 是 AB的垂直均分线 . 当直线 l2(),()2的斜率为时 , 直线 l在 y 轴上的截距的取值范围是 () A. B.C.(2,+∞ )D.( -∞, -1).已知椭圆 C= a>b>的左、右极点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线3:1(0)bx-ay+ab= 相切则 C的离心率为() 20,A.已知椭圆 ax B.b>C. D.A B两点过原点与线段 AB中点的.2+by2= a>与直线 y= -x 交于41(0,0)1,,直线的斜率为 , 则的值为 ()A.已知斜率为B. C. D.则|AB| 的最大值为.1的直线 l与椭圆 +y2=订交于 A B两点()51,,B.2=x C.过D.l 2直线 l 1与 C 交于.已知 F 为抛物线 C y的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l 1,6直线:4 D E,则|AB|+|DE| 的最小值为,A B两点l 2与 C交于两点,(),,,7.已知过抛物线 y=x2的焦点 F 的直线 l 分别与抛物线和圆 x2 +( y- 1) 2=1 交于 A, B, C, D 四点, 则=.8. 如图 , 椭圆 E: =1( a>b>0) 经过点 A(0, - 1), 且离心率为 .(1)求椭圆 E 的方程 ;(2)经过点 (1,1), 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于 P, Q( 均异于点 A) 两点 , 证明 : 直线 AP 与 AQ的斜率之和为定值 .9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l : y=t ( t ≠ 0) 交 y 轴于点 M, 交抛物线 C: y2=2px( p>0) 于点 P, M关于点 P 的对称点为 N, 连接 ON并延长交 C于点 H.(1)求 ;(2)除 H 以外 , 直线 MH与 C 可否有其他公共点 ?说明原由 ..设直线 l二、能力提升x-2+y2=r 2r>相切于点M 且 M 与抛物线 y2= x 订交于 A B 两点与圆(5)(0)104,,,为线段 AB的中点 . 若这样的直线l 恰有 4 条,则 r的取值范围是 ()A.(1,3)x2-=B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)且△ F1PF2为锐角三.设双曲线1的左、右焦点分别为F1 F2. 若点P 在双曲线上,11,角形 , 则|PF1|+|PF 2 | 的取值范围是.12.(20xx 浙江 ,17) 已知点 P(0,1),椭圆 +y2=m( m>1) 上两点 A, B 满足 =2, 则当 m=时 ,点 B 横坐标的绝对值最大 .曲线 C y=与直线 l y=kx+a a>交于 MN两点..在平面直角坐标系 xOy 中:13,:( 0),(1)当 k=0 时 , 分别求 C 在点 M和 N 处的切线方程 ;(2)y 轴上可否存在点 P, 使适合 k 变动时 , 总有∠ OPM=∠OPN?说明原由 .三、高考展望14. (20xx 北京 , 理 19) 已知抛物线 C: y2=2px( p≠0) 经过点 P(1,2) . 过点 Q(0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同样的交点 A, B, 且直线 PA交 y 轴于点 M, 直线 PB交 y 轴于点 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围 ;(2)设 O为原点 , =λ =μ, 求证 : 为定值 .. 考点规范练 42直线与圆锥曲线B 剖析设抛物线上一点的坐标为x, y), 则 d=1( ,因此当 x=时, d min =.b 则直线 l 的方程为 y=x+b. 过点 A B 的直线可.A 剖析设直线 l 在 y 轴上的截距为2 x+m 联立方程得 x 2+ x-m= , = + m> m>-. , 设为 y=-从而有 x 1+x 2=-1,2 , 2 2 0, 48 0,又 AB 的中点在直线 l 上, 即 m+1=-+b , 得 m=b-. 将 m=b-代入 4+8m>0, 得 b>, 因此直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是 .3. A 剖析以线段 A 1 A 2 为直径的圆的方程是x 2+y 2=a 2.222因为直线 bx-ay+ 2ab=0 与圆 x +y =a 相切 ,22222整理 , 得 a =3b , 即 a =3( a -c ), 4. B 剖析设 A( x 1, y 1), B( x 2, y 2), 则 a+b=1, a+b=1,两式相减得 a-a=- ( b-b ), 即=-1,∴×( -1) ×=-1, ∴ ,应选 B.5. C 剖析设 A, B 两点的坐标分别为 ( x 1, y 1),( x 2, y 2 ), 直线 l 的方程为 y=x+t. 由消去 y,得 5x 2 +8tx+ 4( t 2- 1) =0. 则 x 1+x 2=-t , x 1x 2=. 因此 |AB|=|x 1-x 2 |===, 当 t= 0 时 , |AB| max =.6. A 剖析由题意 , 易知直线 l 1, l 2 斜率不存在时 , 不合题意 . 设 A( x 1, y 1), B( x 2, y 2 ), D( x 3, y 3 ), E( x 4, y 4), 直线 l 1 方程为 y=k 1( x- 1),与抛物线方程联立 , 得2消去 y, 得 x - 2x- 4x+=0,同理 , 直线 l 2 与抛物线的交点满足 x 3 +x 4=.由抛物线定义可知 |AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+ p=+ =+ ≥2+ =或- 时 2 48816, 当且仅当 k 1=-k 2=1) 获取等号 .1(, .- 1 剖析不如设直线 AB 的方程为 y=71,联立解得 x=± 2, 则 A - D( 2,1), (2,1), 因为 B( - 1,1), C(1,1),因此 =(1,0), =( - 1,0),因此 =- 1.8. (1) 解由题意知 , b=1,又 a2=b2+c2, 得 a=,因此椭圆 E 的方程为 +y2=1.(2) 证明设直线 PQ的方程为 y=k( x- 1) +1( k≠ 2),2得 (1 +2k2) x2- 4k( k- 1) x+2k( k- 2) =0.由题意知>0,设 P( x1, y1), Q( x2 , y2), 且 x1x2≠0,则 x1+x2=, x1x2=.因此直线 AP与 AQ的斜率之和为k AP+k AQ===2k+(2 -k ) =2k+(2 -k ) =2k+(2 -k )=2k- 2( k- 1) =2.故直线 AP与 AQ的斜率之和为定值 2.9. 解(1) 由已知得 M(0, t ), P.又 N为 M关于点 P 的对称点 ,故 N, ON的方程为 y=x, 代入 y2=2px 整理得 px2- 2t 2x=0, 解得 x1=0, x2 =.因此 H.因此 N 为 OH的中点 , 即=2.(2)直线 MH与 C 除 H 以外没有其他公共点 .原由以下 :直线 MH的方程为 y-t=x ,即 x=( y-t ) .222代入 y =2px 得 y - 4ty+ 4t =0, 解得 y1 =y2=2t ,因此除 H 以外直线 MH与 C 没有其他公共点 .10. D剖析以下列图,设A( x1, y1), B( x2, y2), M( x0, y0),则两式相减 , 得 ( y1+y2 )( y1-y 2 ) =4( x1-x 2) .当 l 的斜率不存在 , 即 x1=x2时, 吻合条件的直线 l 必有两条 .当 l 的斜率 k 存在 , 即 x1≠x2时, 有 2y0( y1-y 2) =4( x1 -x 2), 即 k=.由 CM⊥ AB, 得 k CM==- , 即 x0 =3.因为点 M在抛物线内部 ,因此 <4x0=12,又 x1≠x2, 因此 y1+y2≠0,即 0<<12.因为点 M 在圆上 , 因此 ( x 0- 5) 2 +=r 2,即 r 2=+4.<r2 <即 <r<4, 应选 .因此 416,2 D11 .(2,8) 剖析由题意知 a=b= c=1,,2, 则 e== . 2设 P( x, y) 是双曲线上任一点 , 由双曲线的对称性不如设 P 在右支上 , 由△ F 1PF 2 为锐角三 角形 ,可知 1 <x< 则|PF 1 |== x+ 1, |PF 2|== x- .2, 2 2 1 由△ F 1PF 2 为锐角三角形 , 知∠ F 1PF 2 为锐角 ,则 |PF 1| 2+|PF 2| 2>|F 1F 2| 2,即 (2 x+1) 2+(2 x- 1) 2 >42,解得 x>, 因此 <x<2,因此 |PF 1|+|PF 2|= x ∈ (2,8) .4 y 1 y 2 .. 剖析设 A x 1,B x 2, )12 5 ( ), (.∵ P∴ = -x 1-y 1 = x 2 y 2 -1)(0,1), ( ,1), ( ,∵ =2, ∴即又 =m, ∴+(3 - 2y 2) 2=m, 即 +4- 12y 2+9=m.又 =m, ∴4m-12y 2+9=m, 即 12y 2=3m+9,4 y 2=m+3. ∴ =m,即 =4m, 即 =-m-.∴ 当 m=5 时, 的最大值为 4, 即点 B 横坐标的绝对值最大 . 13. 解 (1) 由题设可得 M(2, a), N( - 2, a) 或 M( - 2, a), N(2, a) .又 y'= , 故 y=在 x=2 处的导数为 , C 在点 (2, a) 处的切线方程为 y-a= ( x- 2), 即 x-y-a= 0.y=在 x=- 2 处的导数为 - , C 在点 ( - 2, a) 处的切线方程为 y-a=- ( x+2), 即 x+y+a=0.故所求切线方程为 x-y-a= 0 和 x+y+a=0.(2) 存在吻合题意的点 , 证明以下 :设 P(0, b) 为吻合题意的点 , M( x 1, y 1), N( x 2, y 2), 直线 PM, PN 的斜率分别为 k 1, k 2 . 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x 2 - 4kx- 4a=0. 故 x 1+x 2=4k, x 1x 2=- 4a. 从而 k 1+k 2==.当 b=-a 时, 有 k 1 +k 2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 , 故∠ OPM=∠OPN, 因此点 P(0, -a ) 吻合题意 ..解因为抛物线y 2= px经过点P14 (1)2(1,2),y 2= x.因此 4 = p 解得 p=因此抛物线的方程为2 , 2,4由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l的方程为 y=kx+k ≠ 0).1( 由得 k 2x 2+ k- 4) x+ = .(2 1 0依题意 , = k- 4)2- × k 2 × >(2 4 1 0,解得 k<0 或 0<k<1.又 PA, PB 与 y 轴订交 ,故直线 l 但是点 (1, - 2), 从而 k ≠- 3.因此直线 l 斜率的取值范围是 ( - ∞, - 3) ∪( - 3,0) ∪(0,1) . (2) 证明设 A( x 1, y 1), B( x 2, y 2) . 由 (1) 知 x 1+x 2=- , x 1 x 2=.直线 PA 的方程为 y- 2=( x- 1) .令 x=0, 得点 M 的纵坐标为 y M =+2=+2. 同理得点 N 的纵坐标为 y N =+2. 由 =λ =μ , 得 λ=1-y M , μ=1-y N . 因此 =2. 因此为定值 .。

(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.1直线方程与圆的方程精练

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9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。

2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-直线与方程

2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-直线与方程

一、自我诊断知己知彼1．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．2. 若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】A【解析】由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3．线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于() A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3 【答案】C【解析】直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.4．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 【答案】0或1【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1. 5．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A. 2 B．2－ 2 C.2－1 D.2＋1【答案】C【解析】由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.二、温故知新夯实基础1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式4(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 5．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.三、典例剖析 思维拓展 考点一 倾斜角与斜率例1 直线0133=++y x 的倾斜角是（ ） （A ）6π（B ）3π（C ）23π （D ）56π【答案】D【解析】化直线0133=++y x 为斜截式可得3133--=x y ，所以直线的斜率为33，设直线的倾斜角为,0180αα︒≤<︒，则6533tan παα=∴-=． 【易错点】正切值易混【方法点拨】我们平时在解题时能遇到的与斜率有关的公式如下： )(tan 01212x f x x y y k '=--==α.本题利用直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角. 考点二 直线方程例1 求过点P （2，3），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 （ ） A ．10x y -+= B ．10x y -+=或320x y -= C ．50x y +-= D ．50x y +-=或320x y -= 【答案】B 【解析】设1=-+a y a x 或kx y =，将()32，P 代入求出1-=a ，或23=k ． 【易错点】容易忽视截距为零的情况,此时直线过原点.【方法点拨】牵涉到横纵截距问题可以考虑设直线的截距式方程,但是要注意当直线过原点时,横纵截距同时为0,也满足要求. 考点三 直线位置关系例1过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为（ ） A ．2x +y －1=0 B ．2x +y －5=0 C ．x +2y －5=0 D ．x －2y +7=0 【答案】A【易错点】易遗忘两直线垂直斜率成绩-1条件【解析】设与直线x -2y +3=0垂直的直线为2x +y +c =0，把点（-1,3）代入，可得c =-1，所以所求直线方程为2x +y -1=0，故选A【方法点拨】解决此题的关键是掌握简单的直线系方程，即: 与直线ax +by +c =0平行的直线为ax +by +n =0;与直线ax +by +c =0垂直的直线为bx -ay +m =0, 考点四 距离及综合问题 例1点P （m -n ,-m ）到直线1x ym n+=的距离等于（） 22.n m A +22.n m B -22.m n C -22.n m D ±【答案】A【解析】点P （m -n ,-m ）到直线1x y m n +=的距离22d 选A 。

高三数学高考一轮复习资料： 直线与方程

高三数学高考一轮复习资料： 直线与方程

直线与方程[最新考纲]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1 x2－x1.2．直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．辨 析 感 悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点A (2,3)，B (a,1)，C (0,2)共线，则a 的值为－2.(√) 2．对直线的方程的认识(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)直线l 过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0.(×) [感悟·提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)．2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)； 二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一 直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )． A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )．A.13B ．－13C ．－32D.23解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.故选B.(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 (1)B (2)B规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【训练1】 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围． 解 法一 如图所示，k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.法二 由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0.∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4. 考点二 求直线的方程【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14.(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且 |AB |＝5.解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ， 由已知3－2k ＝2－3k ， 解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线 根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S △ABO ⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4. △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1. 即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决； (2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】 在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程． 解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0， ∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－2k ＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ≥5＋26，当且仅当k ＝－63时，等号成立． ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小， 此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程． 解 (1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12. (2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)．所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k AG ·k ＝－1，1a k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为G (－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12.折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12.∴k ＝0时，y ＝12；k ≠0时，y ＝kx ＋k 22＋12.[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．【自主体验】1．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )．A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32 C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k＝－34，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.答案 D2．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，则直线AB的方程为________．解析当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)，即y＝1m＋1x＋1m＋1＋2.答案x＝－1或y＝1m＋1x＋1m＋1＋2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()．A．30°B．60°C．150°D．120°解析直线的斜率为k＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝60°. 答案 B2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34.则直线l的方程为()．A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析由点斜式，得y－5＝－34(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.答案 A3．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是()．A．1 B．2 C．－12D．2或－12解析由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－32，在x轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12. 答案 D4．(·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )．A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－ca >0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 A5．(·郑州模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 D 二、填空题6．(·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 47．(·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3.则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24.答案 －248．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0三、解答题9．(·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )．A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.答案 B2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B二、填空题3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 12三、解答题4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

高考数学专题《直线与方程》训练试题含答案

高考数学专题《直线与方程》训练试题含答案

高考数学专题《直线与方程》一、单选题1．已知点(3,4)A ，(1,1)B -，则线段AB 的长度是（ ）A ．5B ．25CD ．292．已知直线l 经过点()1,0P ，且与直线21y x =-平行，那么直线l 的方程是（ ） A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x =-+ D ．21y x =-+ 3．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩B ．2x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t=⎧⎨=-⎩ 4．倾斜角为45，在y 轴上的截距为1-的直线的方程是（ ）A ．1y x =+B ．1y x =-C ．1y x =-+D ．1y x =--5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．下列命题错误的是（ ）①y =2y x =表示的是同一条抛物线②所有过原点的直线都可设为y kx =；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->④椭圆2248x y +=A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①②④ 7．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(2)(1)1x y -+-=8．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是A ．12 B ．35 C ．1 D ．3109．若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．210．如图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则A ．123k k k <<B ．231k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 11．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．直线1y ax a =+-()a R ∈所过定点的坐标为（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,113．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则=a A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．414．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 15．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 16．已知ABC ∆的顶点坐标为()7,8A ，()10,4B ，()2,4C -，则BC 边上的中线AM 的长为A ．8B ．13C ．D 17．已知直线l 经过点()0,1，且与直线210x y -+=的倾斜角互补，则直线l 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．210x y +-= D ．210x y ++=18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线l 与直线g ：20++=ax by b 平行，则直线l ，g 间的距离为（ ）A B C D19．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3020．直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．⎝D ． 21．已知两条直线1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则m 为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．022．已知椭圆：22143x y +=，直线l ：y x =+P ，则点P 到直线l 的距离的最大值（ ）A ．B ．C ．D ．23．若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-24．已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ） A ．(0,2) B ．(1,0) C ．(1,1)a + D ．(,1)e25．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）A B C D 26．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．227．经过点()0,1且与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．220x y +-=B ．220x yC ．210x y -+=D ．210x y +-=28．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ）A B C D 29．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 30．已知抛物线2x y =上的点P 到直线240x y --=的距离最小，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,1- B ．()1,1 C ．()2,2 D ．()0,031．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7432．“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分也非必要 33．已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2与直线x ﹣y ＝0交于A ，B 两点，若以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C ，则圆C 的半径r 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．434．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A ．B ．C ．1D ．235．以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点(1,2)A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆上②圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2③圆22120C :x y x ++=与圆222:4840C x y x y +--+=外切④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④36．已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（ ） A ．﹣1或0B ．﹣1C ．0D ．﹣1或0 或3二、填空题37．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 38．直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，则a 的值为______．39．设点p 为y 轴上一点，并且点P 到直线3460x y -+=的距离为6，则点P 的坐标为_________.40．直线3y x =-+与坐标轴围成的三角形的面积是_________.41．若在平面直角坐标系内过点P ，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________.42．已知直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行，则a =___________.43．若点(),a b 在直线10x -=上，则22a b +的最小值为_____________________. 44．设△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，0），B （﹣1，3），C （3，﹣2），则AB 边上的高线CD 所在直线的方程为_____．45．已知函数()243f x x x =-+的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，则ABC 的外接圆E 的方程是________．46．设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.47．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.48．已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是___________.49．已知两直线与平行，则___ 50．已知函数2()1f x og x =，a b >且1223b ≤≤，()()f a f b k ==，设k 值改变时点(,)a b 的轨迹为C ，若点M ，N 为曲线C 上的两点，O 为坐标原点，则MON ∆面积的最大值为__.51．点(3,2)P 关于直线1y x =+的对称点P '的坐标为__________．52．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为__________． 53．已知直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则124a b+的最小值是__． 54．若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数(),f m n ()229m n n ⎫=-+⎪⎭，则此函数的最小值为__________．三、解答题55．设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A .（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程.56．已知：ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,2),(4,1),(6,5)A B C -．求AB 边上的高所在直线的点法向式方程．57．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点．（1）若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程；（2）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．58．已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为()2,0-.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若直线:250l x y --=与坐标轴交于MN 两点，求PMN 面积的取值范围.59．在平面直角坐标系中，已知点(2,0),(1,3)A B -.（1）求AB 所在直线的一般式方程；（2）求线段AB 的中垂线l 的方程.60．求满足下列条件的直线方程：（1）直线l 过点A （2,-3），并且与直线13y x =的倾斜角相等； （2）直线l 经过点P (2,4),并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12.61．已知两直线1l ：240x y -+=，2l ：4350x y ++=．()1求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；()2设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 62．矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）若直线:10l ax y b +++=平分矩形ABCD 的面积，求出原点与(,)a b 距离的最小值．63．已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求：（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．64．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （1）点P 的坐标为1(1,)3P ，若MP PN =，求直线l 的方程； （2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围．65．已知直线()()222:11310l a a x a a y a a -+-++-+-=，a R ∈（1）求证，直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当1a =和1a =-时对应的两条直线的夹角.66．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(20)A ，、3(5)B ，，经过原点O 的直线l 将OAB ∆ 分成面积之比为1:2的两部分，求直线l 的方程．67．已知直线:120l kx y k -++=（1）求证：直线l 经过定点．（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．（3）若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围．68．已知圆C:x 2+(y −3)2=4，直线m:x +3y +6=0，过A(−1，0)的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点.（1）当l 与m 垂直时，求出N 点的坐标；（2）当|PQ|=2√3时，求直线l 的方程.69．已知圆P 过点1,0A ，()4,0B .（1）若圆P 还过点()6,2C -，求圆P 的标准方程；（2）若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的标准方程.70．已知(),4A m ，()2,B m -，()1,1C ，()2,3D m +四点.（1）当直线AB 与直线CD 平行，求m 的值；（2）求证：无论m 取何值，总有90ACB ∠=.71．已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.（1）求ABC 的面积；（2）求圆M 的方程.72．已知过原点O 的直线:40l x y -=和点(6,4)P ，动点(Q m ,)(0)n m >在直线l 上，且直线QP 与x 轴的正半轴交于点R ．（1）若QOR 为直角三角形，求点Q 的坐标；（2）当QOR 面积的取最小值时，求点Q 的坐标．73．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)F ，直线:3l y =-，动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小2.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为2的直线与曲线C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），过点B 作x 轴的平行线m ，问在坐标平面xOy 中是否存在定点P ，使直线PA 交直线m 于点N ，且PB PN =恒成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.74．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．75．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1,AB OB AB OB ==⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k .（1）用k 表示出直线MN 的方程，并求出点,M N 的坐标；（2）求出k 的取值范围及其所对应的倾斜角α的范围；（3）求AMN ∆面积的取值范围.76．求满足下列条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.77．过圆222:C x y r +=上一点()2,2A -作圆的切线，切线与x 轴交于点B ，过点B 的直线与圆C 交于不同的两点M 、N ，MA 、NA 分别交直线4x =-交于点P 、Q ．（1）求点B 的坐标；（2）求PBQB 的值．78．已知点()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足条件2PM PN -=，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若P 是W 上任意一点，求2PMPN 的最小值.79．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=与x 轴的正负半轴的交点分别是M ，N .（1）已知点(2,4)Q ，直线l 过点Q 与圆O 相切，求直线l 的方程；（2）已知点P 在直线：4x =上，直线PM ，PN 与圆的另一个交点分别为E ，F . ①若(4,6)P ，求直线EF 的方程；②求证：直线EF 过定点.参考答案1．A【分析】根据两点之间的距离公式，即可代值求解.【详解】因为(3,4)A ，(1,1)B -，故可得5AB ==.故选：A.【点睛】本题考查平面中两点之间的距离公式，属基础题.2．B【分析】由平行关系可得直线l 斜率，由直线点斜式方程可求得结果.【详解】l 与21y x =-平行，∴直线l 的斜率2k =，l ∴方程为：()2122y x x =-=-.故选：B.3．D【分析】由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,由22x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得24y x =-+,故A 不正确;由2x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 得122y x =-+,故C 不正确;由22x ty t=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题. 4．B 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由倾斜角为45可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截式方程可得1y x =-. 故选：B. 5．A 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A. 6．D 【分析】①利用曲线中变量的范围来判断；②利用点斜式的适用条件来判断；③利用圆的一般式方程的系数关系来判断；④利用椭圆几何性质来判断. 【详解】解：①y =0y >，其仅表示抛物线的一部分，与2y x =表示的不是同一条抛物线，故错误；②所有过原点的直线中，0x =不可设为y kx =，故错误；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->，故正确；④椭圆2248x y +=标准方程为22182x y +=，2b =.故选：D. 【点睛】本题考查学生对圆锥曲线的基础知识的掌握情况，是基础题. 7．D 【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 8．A 【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可. 【详解】两条直线1:3420l x y +-=与2:6810l x y ++=，化为直线1:6840l x y +-=与2:6810l x y ++=，则1l 与2l 12=，故选A. 【点睛】本题主要考查两平行线之间的距离，属于简单题.解析几何中的距离常见有：（1）点到点距离，AB =（2）点到线距离，d =，（3）线到线距离d 9．D 【分析】由平行可得()120m m --=，解之，排除重合的情形即可. 【详解】解：∵直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行， ∴()120m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，经验证当1m =-时，直线重合应舍去， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题. 10．B 【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为123,,ααα， 由图可知，12302παααπ<<<<<，由直线的倾斜角与斜率的关系可得231k k k <<，得解. 【详解】解：由图可知,直线1l 的倾斜角为锐角,所以10k >,而直线2l 与3l 的倾斜角均为钝角,且2l 的倾斜角小于3l 的倾斜角,故230k k <<.所以231k k k <<. 故选B.本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题. 11．C 【详解】试题分析：直线20ax y +=平行于直线1x y +=122aa -⇒=-⇒=，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 考点：充要条件. 12．A 【分析】提取公因数a ，得()11y a x =+-，即得1x =-时，1y =-，即得定点. 【详解】直线1y ax a =+-，整理得()11y a x =+-，故对于a R ∈，恒有1x =-时，1y =-.故直线恒过点()1,1--. 故选：A. 13．B 【分析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值. 【详解】因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单. 14．A 【详解】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，=解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A.【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系. 【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 16．D 【分析】利用中点坐标公式求得()6,0M ，再利用两点间距离公式求得结果. 【详解】由()10,4B ，()2,4C -可得中点()6,0M又()7,8A AM ∴=本题正确选项：D 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标. 17．A 【分析】根据题意求出直线l 的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可. 【详解】因为与直线210x y -+=的倾斜角互补，而直线210x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为112y x =-+，即220x y +-=．故选：A 18．D 【分析】由题可得渐近线方程，利用直线平行可得a =，再利用平行线间距离公式即得. 【详解】根据题意，双曲线C 的渐近线l 的方程为0bx ay +=，该直线与直线g 平行，所以2-=-b aa b，所以a ，此时直线l 的方程为0x +=，直线g 的方程为02+=x ，所以直线l ，g=故选：D . 19．B 【分析】求出斜率后可得直线的倾斜角 【详解】=，故直线的倾斜角为120︒. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，注意倾斜角的范围为0,.本题属于基础题.20．B 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项. 【详解】直线的倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则斜率为tan α，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.由于直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以其斜率的取值范围为tan ,tan 43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题. 21．A 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m 的值． 【详解】解：两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则()213m m -=⨯且()2162m m ⨯≠⨯-，由()213m m -=⨯解得1m =-或3m =， 当3m =时()2162m m ⨯=⨯-故舍去，所以1m =-； 故选：A ． 22．C 【解析】设椭圆上点的坐标为()()2cos P R θθθ∈ ，由点到直线距离公式可得：d ==，则当()sin 1θϕ+=- 时，点P 到直线l 的距离有最大值max d =.本题选择C 选项.点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式.23．B 【详解】试题分析：点(3,2)A -关于x 轴的对称点为()3,2A '--．因为点(,0)P m 在x 轴上，由对称性可知PA PA =',所以PA PB PA PB +='+,所以当,,A P B '三点共线时此距离和最短． 因为8+2223A B k '==+，所以直线A B '方程为()822y x -=-，即24y x =+，令0y =得2x =-，即,,A P B '三点共线时()2,0P -．所以所求m 的值为2-．故B 正确． 考点：点关于直线的对称点，考查数形结合思想、转化思想． 24．A 【分析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2) 故选：A 【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题 25．D 【分析】利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d = 故选：D 26．B 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //． 当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行，∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 27．C 【分析】与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，结合点斜式即可求解直线方程． 【详解】直线210x y +-=的斜率为12-所以与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，又过点()0,1， ∴所求直线方程为：21y x =+ 即210x y -+= 故选：C 28．D 【分析】根据直线方程可知直线l 恒过定点()2,0P -，过A B ，分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，得到点B 为AP 的中点，连接OB ，进而可知||||OB BF =，由此求得点B 的坐标，最后利用直线上的两点求得直线l 的斜率． 【详解】抛物线2:8C y x =的准线2x =-，直线l ：(2)y k x =+恒过定点()2,0P -， 如图过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，则||2||AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =，OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(，又(2,0)P -，所以k =故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，直线斜率的计算，考查了数形结合，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 29．A 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以e ⎛ ⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题. 30．B 【分析】 设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，求出点200),(A x x 到直线240x y --=的距离，利用配方法，由此能求出抛物线2x y =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标． 【详解】 解：设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，点200),(A x x 到直线240x y --=的距离2201)3d x -+，∴当01x =时，即当()1,1A 时，抛物线2yx 上一点到直线240x y --=的距离最短．故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++ 22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+ 34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C 32．B 【解析】2a =-时，两条直线分别化为：610,430y y -+=--=，此时两条直线相互垂直，满足条件；由“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”，可得，()()[]22320a a a a +-+⨯+=，解得12a =或2a =-，∴“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的充分非必要条件，故选B. 33．C 【分析】转化以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C 为AC ⊥BC ，可得弦心距2d =，再用圆心到直线距离表示d ，即得解 【详解】由题意，AC ⊥BC ，则C （0，2）到直线x ﹣y ＝0的距离2d =，2=，即r ＝2． 故选：C34．B 【分析】由已知得到12l l ⊥，1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，作线段CD AB ⊥，先求得CD ，求得PD 的最小值，再由||2||PA PB PD +=可得答案.【详解】设圆C 的半径为1r ，直线1:310l mx y m --+=与2310l x my m +--=∶ 垂直， 又1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，设圆心为M ，半径为2r ，作垂直线段CD AB ⊥，则CDmin 12||||PD CM r r ∴=--=2PA PB PD +=∴||PA PB + 的最小值为故选：B35．B 【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为125r r =+，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案. 【详解】将点代入圆方程，222242110++-⨯+=满足，故①正确；圆22:28130C x y x y +--+=的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=1=，②错误；圆()221:11C x y ++=，圆心为()1,0-，半径11r =，圆()()222:2416C x y -+-=，圆心为()2,4，半径为24r =125r r =+，故③正确；两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程相减得到24120x y -+=，即公共弦方程为：260x y -+=，④错误. 故选：B. 36．A 【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解. 【详解】解：因为l 1与l 2平行，所以2213(2)0,(23=0m m m m m m ⨯-⨯-=∴--）， 所以(3)(1)=0,0m m m m -+∴=或1m =-或3m =.当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去. 当0m =或1-时，符合题意. 故选：A 37．10x y -+= 【详解】圆：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C(－1,0)，因为直线0x y +=的斜率为1-，所以与直线0x y +=垂直的直线的斜率为1，因此所求直线方程为+1y x =，即x －y ＋1＝038．2 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值. 【详解】解：直线20x y +-=的斜率为1-，和10ax y -+=的斜率为a ，直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，∴()()1tan311a a π--==+⋅-，求得2a ==，或2a ==，故答案为：2【点睛】本题考查两直线的夹角公式，是基础题. 39．()0,6-或()0,9 【分析】设P 点坐标，由点到直线距离公式求解． 【详解】设(0,)P a 6=，解得a =6-或9.所以P 点坐标为(0,6)-或(0,9)． 故答案为：(0,6)-或(0,9)． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握点到直线距离公式是解题关键．40．92【分析】根据直线方程求其与坐标轴的交点坐标，再应用三角形面积公式求直线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】令0y =，则3x =；令0x =，则3y =， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积193322S =⨯⨯=. 故答案为：9241．(0,2) 【分析】先计算原点与点P 的距离，此时过点P 与原点的距离最大且仅有一条，过原点和点P 时，距离最小，最小为0，可得与原点的距离为d 的直线有两条时d 的取值范围. 【详解】过点P 的直线中，与原点的距离最大为||2OP ，最小为0， 当02d <<时，与原点的距离为d 的直线有两条. 故答案为：(0,2). 【点睛】本题考查了过定点的直线与定点的距离的范围问题，属于基础题. 42．3 【分析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解. 【详解】因为直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行， 所以()()2324(3)0a a a -----=，解得3a =或5a =， 又因为5a =时，1:210l x y -+=，2:4220l x y -+=， 所以直线1l ，2l 重合故舍去，而3a =,1:10l y +=,2:220l y -+=，所以两直线平行. 所以3a =， 故答案为：3. 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．43．14【分析】由题意，可得22a b +表示直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，根据点到直线距离公式，即可求出最小值.【详解】因为22220(()0)+-+=-a b a b 表示点(),a b 到原点距离的平方，又点(),a b 在直线10x -=上，所以当点(),a b 与原点连线垂直于直线10x -=时，距离最小，即22a b +最小；因为原点到直线10x +-=的距离为12==d ， 所以22214≥=+d a b . 即22a b +有最小值14.故答案为：14【点睛】本题主要考查直线上的点与原点距离最值的问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 44．x-y -5=0 【分析】利用两条直线垂直的条件，求得AB 边上的高线CD 所在直线的斜率，再用点斜式求得AB 边上的高线CD 所在直线的方程． 【详解】AB 直线的斜率为3012AB k -=--＝﹣1，故AB 边上的高线CD 所在直线的斜率为1， 故AB 边上的高线CD 所在直线的方程为y +2＝1（x ﹣3），即 x ﹣y ﹣5＝0， 故答案为：x ﹣y ﹣5＝0． 45．22(2)(2)5x y -+-= 【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求. 【详解】令2()430f x x x =-+=，得1x =或3x =， 则(1,0)A ，(3,0)B∴外接圆的圆心E 的横坐标为2，设()2,E m ，半径为r ，由(0)3f =，得(0,3)C ，则||||EA EC =r ， 得2m =，r =∴ABC 的外接圆E 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 故答案为：22(2)(2)5x y -+-=.46．【详解】试题分析：由12l l ⊥，那么，解得：.考点：两条直线在一般式下垂直的充要条件的应用. 47．0或83【分析】利用已知条件得(1)0a b a +-=⎧⎪=，求解检验即可得解. 【详解】由题意得(1)0a b a +-=⎧⎪， 解得22a b =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.故答案为：0或83.【点睛】方法点睛：形如直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=， 当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0；当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0.48． 【详解】令(),P x y ,而点P 关于直线y x =的对称点为P '，所以(),P y x ',(),OP y x '=;而AQ OP '=,所以(),AQ y x =;而()1,1A ,所以()1,1Q y x ++;所以()1,1PQ y x x y =-+-+,2PQ =()222y x -+;而动点P 在圆221x y +=上,所以()202y x ≤-≤,所以()22226y x ≤-+≤,6PQ ≤,所以PQ 的取值范围是.故答案为. 49．7- 【详解】试题分析：由题意可知系数满足()()()()3542{38532a a a a ++=⨯+⨯≠-⨯，解方程得7a =-考点：两直线平行的判定 50．724【分析】由2()1f x og x =，()()f a f b k ==，得到1ab =，然后根据a ，b 范围画出其图像，找到MON∆面积最大的情况，求出此时MN 长度，及O 点到MN 的距离，从而计算出MON ∆面积的最大值. 【详解】 由题意，可知：1223b ≤≤，()f b ∴2211og b og b ==-． 又()()f a f b k ==，1a ∴>，()2211f a og a og a ∴==．()()f a f b =，2211og a og b ∴=-，即：2221110og a og b og ab +==，1ab ∴=．∴曲线C 的轨迹方程即为：1ab =．1223b≤≤，1ab=．∴322a≤≤，则曲线C的图象如图：MON∆面积要取最大值，∴当M、N为曲线C的两个端点时，MON∆面积最大，M∴点坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭，N点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭．则直线MN的直线方程为：23323122223yx--=--，化简，得：2670x y+-=．MN⎛==⎝原点O到直线MN的距离d==MON∴∆面积的最大值为：1172224MN d⋅⋅==．故答案为724．【点睛】本题考查对数函数的图像与性质，两点间距离，点到直线的距离，题目涉及到的知识点较多，比较综合，属于中档题.51．()1,4【详解】设(,)P x y ' ，则21113(1,4)423122y x x P y y x -⎧⋅=-⎪=⎧⎪-⇒∴⎨⎨=++⎩⎪+⎩'=⎪ 52．3-或2 【详解】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行． 53．32 【分析】根据题意，由直线经过点(1,2)-，分析可得28a b -=，即82a b =+；进而可得824111224444a b bb b b+++=+=+，结合基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则有28a b -=， 即82a b =+；则82441112242432444a b bb b b b ++++=+=+⨯=，当且仅当2b =-时等号成立； 即124ab +的最小值是32；故答案为：32． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题． 54．22-【详解】因为点(m 在圆224x y += 上,点9(,)n n 在曲线9y x= 上,所以本题转化为求圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间的最小值,如下图，作直线y x = 与它们的图象在第一象限交于A,B 两点，显然圆224x y +=与曲线9y x=的图象都关于直线y x =对称，所以AB 就是圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间距离的最小值,求出(3,3)A B ,所以222(3(322AB =+=-所以。

(天津专用)2020届高考数学一轮复习考点规范练34直线、平面垂直的判定与性质(含解析)新人教A版

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考点规范练34 直线、平面垂直的判定与性质一、基础巩固1.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.45.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么()A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).8.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有;与AP垂直的直线有.9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).10.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.11.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点.(1)证明:平面PCD⊥平面PDE;(2)若PD=√3AD,求点E到平面PBC的距离.12.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36√2,求a的值.二、能力提升13.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n14.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部15.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1与DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2√7,E为棱PD的中点.(1)求证:PD⊥平面ABE;(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.三、高考预测18.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体(S'+√S'S+S)h,其中S',S分别为台体上、下底面的面中,AB=AD,A1B1=A1D1.(台体体积公式:V=13积,h为台体的高)(1)证明:直线BD⊥平面MAC;,求该组合体的体积.(2)若AB=1,A1D1=2,MA=√3,三棱锥A-A1B1D1的体积V'=2√33考点规范练34直线、平面垂直的判定与性质1.B解析对于A,若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,故A错;易知B正确;对于C,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;对于D,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系不确定,故D 错.选B.2.B解析如图(1),β∥α,知A错;如图(2),知C错;如图(3),a∥a',a'⊂α,b⊥a',知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.3.C解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.4.B解析命题①,若α∥β,又m⊥α,所以m⊥β,因为l⊂β,所以m⊥l,正确;命题②,l与m可能相交,也可能异面,错误;命题③,α与β可能平行,错误;命题④,因为m∥l,又m⊥α,所以α⊥β,正确.5.C解析∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.6.C解析∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.7.DM⊥PC(或BM⊥PC)解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.AB,BC,AC AB 解析∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.9.①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.10.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB ⊥AD ,BC ∩AB=B ,AB ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面ABC.又因为AC ⊂平面ABC ,所以AD ⊥AC. 11.(1)证明因为PD ⊥底面ABCD , 所以PD ⊥AB ,连接DB ,在菱形ABCD 中,∠DAB=60°, 所以△DAB 为等边三角形. 又因为E 为AB 的中点, 所以AB ⊥DE.因为PD ∩DE=D , 所以AB ⊥平面PDE.因为CD ∥AB ,所以CD ⊥平面PDE.因为CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PDE. (2)解因为AD=2, 所以PD=2√3.在Rt △PDC 中,PC=4,同理PB=4, 易知S △PBC =√15,S △EBC =√32.设点E 到平面PBC 的距离为h ,连接EC , 由V P-EBC =V E-PBC ,得13S △EBC ·PD=13S △PBC ·h , 所以h=√155. 12.(1)证明在题图①中,因为AD ∥BC ,AB=BC=12AD=a ,E 是AD 的中点,∠BAD=π2,所以BE ⊥AC ,四边形BCDE 为平行四边形.所以在题图②中,BE ⊥A 1O ,BE ⊥OC ,BE ∥CD , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 且平面A 1BE ∩平面BCDE=BE , 又由(1)知,A 1O ⊥BE ,所以A 1O ⊥平面BCDE , 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高.由题图①知,A 1O=√22AB=√22a ,平行四边形BCDE 的面积S=BC ·AB=a 2. 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V=13×S ×A 1O=13×a 2×√22a=√26a 3, 由√26a 3=36√2,得a=6.13.B 解析A 中m 与α的位置关系不能确定,故A 错误;∵m ⊥α,m ∥n ,∴n ⊥α,又n ∥β,∴α⊥β,故B 正确;若m ⊥n ,m ⊂α,n ⊂β,则α与β的位置关系不确定,故C 错误; 若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m 与n 平行或异面,故D 错误.选B . 14.A 解析由BC 1⊥AC ,又BA ⊥AC , 则AC ⊥平面ABC 1, 因此平面ABC ⊥平面ABC 1,因此C 1在底面ABC 上的射影H 在直线AB 上.15.D 解析由题意知,在四边形ABCD 中,CD ⊥BD ,在三棱锥A-BCD 中,平面ABD ⊥平面BCD ,两平面的交线为BD ,所以CD ⊥平面ABD ,因此有AB ⊥CD ,又因为AB ⊥AD ,且CD ∩AD=D ,所以AB ⊥平面ADC ,于是得到平面ADC ⊥平面ABC ,故选D .16.12 解析设B 1F=x ,因为AB 1⊥平面C 1DF ,DF ⊂平面C 1DF ,所以AB 1⊥DF.由已知可得A 1B 1=√2.设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ,则DE=12h ,因为2×√2=h ×√22+(√2)2,所以h=2√33,DE=√33.在Rt △DB 1E 中,B 1E=√(√22)2-(√33)2=√66. 由面积相等得√66×√S 2+(√22)2=√22x ,得x=12,即线段B 1F 的长为12.17.(1)证明∵PA ⊥底面ABCD ,AB ⊂底面ABCD ,∴PA⊥AB,∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD,又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.∵AD=AP,E为PD中点,∴AE⊥PD.又AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.(2)解四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O, 由已知BD=√SS2+SS2=√(2√7)2+22=4√2,设M为BD中点,AP=1,∴AM=2√2,OM=12∴OA=√SS2+SS2=√(2√2)2+12=3,∴四棱锥P-ABCD外接球的体积是4πOA3=36π.318.(1)证明由题意可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱,∴AD⊥平面MAB,∴AD⊥MA.又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴MA⊥平面ABCD,∴MA⊥BD.又AB=AD,∴四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.又MA∩AC=A,MA⊂平面MAC,AC⊂平面MAC,∴BD⊥平面MAC.(2)解设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h,11 则三棱锥A-A 1B 1D 1的体积V'=13×12×2×2×h=2√33, 解得h=√3.故该组合体的体积V=12×1×√3×1+13×(12+22+√12×22)×√3=√32+7√33=17√36.。

(天津专用)2020届高考数学一轮复习考点规范练33直线、平面平行的判定与性质(含解析)新人教A版

(天津专用)2020届高考数学一轮复习考点规范练33直线、平面平行的判定与性质(含解析)新人教A版

考点规范练33 直线、平面平行的判定与性质一、基础巩固1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m∥nD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③B.②③C.①④D.②④3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定4.平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是()A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n与α相交,那么m,n是异面直线C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α6.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若m∥l,且m∥α,则l∥α;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.8.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为.9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ∥平面PAO.10.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:MA∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.二、能力提升12.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. B. C. D.13.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH所在四边形的面积为定值;③棱A1D1始终与水面所在平面平行;④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.414.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BC⊥AC,∠BAC=,AC=4,M为AA1的中点,点P为BM的中点,Q 在线段CA1上,且A1Q=3QC,则PQ的长度为.15.如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.三、高考预测16.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD, PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.考点规范练33直线、平面平行的判定与性质1.D解析对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.C解析对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.A解析如图,由,得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.4.D解析若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.选D.5.C解析如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.∵n∥α,∴n与α无公共点,∵m⊂α,∴n与m无公共点,又m,n共面,∴m∥n,故选C.6.B解析对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,直线l可能在平面α内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故③错误;对④,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上①④正确.故选B.7.6解析过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.8.1解析设BC1∩B1C=O,连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形,∴O为BC1的中点,∴D为A1C1的中点,则A1D∶DC1=1.9.Q为CC1的中点解析如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.10. (1)证明如图,记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m.证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM.同理,AM∥平面BDE,又AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.11.解法一当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=A1C1.又因为AF∥A1C1,且AF=A1C1,所以AF EG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG.又因为EF⊄平面A1ABB1,AG⊂平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1.解法二当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证明如下:在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,所以EG∥平面A1ABB1.因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,所以FG∥AB.又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,所以FG∥平面A1ABB1.又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面A1ABB1.因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面A1ABB1.12.A解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.13.C解析由题图,显然①是正确的,②是错误的;对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,∴A1D1∥FG,且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,∴A1D1∥平面EFGH(水面).∴③是正确的;对于④,∵水是定量的(定体积V),∴S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.∴BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C.14.解析由题意知,AB=8,过点P作PD∥AB交AA1于点D,连接DQ,则D为AM的中点,PD=AB=4.又因为=3,所以DQ∥AC,∠PDQ=,DQ=AC=3,在△PDQ中,PQ=-.15.(1)证明如图,设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EF∥AD,且EF=AD,又因为BC∥AD,BC=AD,所以EF∥BC,且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.因此CE∥平面PAB.(2)解分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ, 因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD= 得CE=,在△PBN中,由PN=BN=1,PB= 得QH=,在Rt△MQH中,QH=,MQ=,所以sin∠QMH=.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.16.(1)证明∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA.又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.∵CN∩MN=N,CN,MN⊂平面CMN,∴平面CMN∥平面PAB.(2)解由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.由已知得,AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=,∴三棱锥P-ABM的体积V=V三棱锥M-PAB=V三棱锥C-PAB=V三棱锥P-ABC=×1××2=.。

2020版高考数学一轮(新课改省份专用)复习(讲义)第八章解析几何第一节直线与方程

2020版高考数学一轮(新课改省份专用)复习(讲义)第八章解析几何第一节直线与方程

第一节 直线与方程突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 二、填空题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________．答案：343．(2019·湖南百所中学检测)若直线l 1：ax ＋y －1＝0与l 2：3x ＋(a ＋2)y ＋1＝0平行，则a 的值为________．答案：14．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[全析考法]考法一 直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)(2019·江西五校联考)已知直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32(2)(2019·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4[解析] (1)设P (a,1)，Q(b ，b －7)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q(4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－－－2－4＝－23，故选C.(2)直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．考法二 两直线的位置关系 两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A (－3，m )，B (m,5)的直线与直线3x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．3B ．7C ．－7D ．－9(2)(2019·安徽六安四校联考)设m ∈R ，则“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题可知，5－mm ＋3＝－3，解得m ＝－7，故选C.(2)由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )·(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[集训冲关]1.[考法一]已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－1解析：选A ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.2.[考法一、二]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos 2θ的值为( )A.35 B ．－35C.15D ．－15解析：选B 由题意得－12·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B. 3.[考法二]若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( )A ．3B ．0C ．－3D ．0或－3解析：选D ∵直线l 1与直线l 2垂直，∴2a ＋a (a ＋1)＝0，整理得a 2＋3a ＝0， 解得a ＝0或a ＝－3.故选D.4.[考法二]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0的斜率都是－12，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或a ＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.突破点二 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝02．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 斜率的－14的直线方程为____________．答案：3x ＋4y ＋15＝03．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝0[全析考法]考法一 求直线方程[例1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程． [解] (1)k BC ＝－5－－6－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)， 即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－5－76－－＝－65.∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56.∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二 与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( )A ．0B ．2 C. 2D ．1(2)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)[解析] (1)直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D.(2)令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．[答案] (1)D (2)C [方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y ； (2)将问题转化成关于x (或y )的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[集训冲关]1.[考法一]已知直线l 过点P (1,3)，且与x 轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：选A 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.故选A.2.[考法一]过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________． 解析：当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1(a ≠0)， 即x －y ＝a (a ≠0)，把(－3,5)代入，得a ＝－8， 所以直线方程为x －y ＋8＝0.故所求直线方程为y ＝－53x 或x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝03.[考法二]已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154.当a ＝12时，面积最小．答案：12突破点三 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、填空题1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． 答案：2－12．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．答案：8233．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为______________．答案：2x －y －3＝0[全析考法]考法一 距离问题[例1] (2019·北京西城期中)已知直线l 经过点P (－2，1)． (1)若点Q(－1，－2)到直线l 的距离为1，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．[解] (1)当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为x ＝－2，符合要求； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 整理得kx －y ＋2k ＋1＝0，Q(－1，－2)到直线l 的距离d ＝|－k ＋2＋2k ＋1|k 2＋－2＝|k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43，所以直线l 的方程为4x ＋3y ＋5＝0.(2)由题知，直线l 的斜率k 一定存在且k ≠0，故可设直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋1＝0，当x ＝0时，y ＝2k ＋1，当y ＝0时，x ＝－2k ＋1k，∴2k ＋1＝－2k ＋1k ，解得k ＝－1或－12，即直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0. [方法技巧]1．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．2．求两条平行线间的距离要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二 对称问题[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[方法技巧]1．中心对称问题的两种类型及求解方法2．轴对称问题的两种类型及求解方法[集训冲关]1.[考法一]“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋32＝3，解得C ＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.[考法二]直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.3.[考法一]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04.[考法二]若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则直线l 的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x －y－2＝0上取一点A (1,0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b a －1＝1，a ＋12＋b 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，即点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l 的方程为y －23－2＝x －24－2，整理得x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝0。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷解析几何直线的方程

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷解析几何直线的方程

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷解析几何直线的方程 创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【高考数学全程总复习】过点M (3,2)-,N (2,3)-的直线的倾斜角是( )(A)34π (B)4π (C)6π (D)3π 2. 【-清流一中高一下学期第一阶段】直线10x y --=不经过的象限是( ) A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3. 【-资阳市高一下学期期末】直线134x y +=与两坐标轴围成的三角形的周长为（ ） A ．6B ．7 C ．12D ．144.【-清流一中高一下学期第一阶段】过点(3,3)P -且倾斜角为45°的直线方程为（ ）A ．433y x +=B ．3y x =-C ．23y x =-D ．33y x -=5. 【新疆师范大学附属高三12月月考】在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 （ ）A ．43B ．52C ．25D ．34 6.【-三明一中高一下学期期中】下列说法的正确的是 （ ）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 7. 【高考数学全程总复习】直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是( )(A)40° (B)50° (C)130° (D)140°8. 【百强校】【福州市三中高三模拟】在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点)21,(-a P 的所有直线中（ ）A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有()2≥n n 条直线，每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点D ．每条直线至多过一个有理点9.【高考前30天】点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．010. 【高考名师推荐】设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.B. C. D. 11.【改编自高考数学总复习考点引领】直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为（ ）．A ．8x －5y ＋20＝0 或 2x －5y+10＝0B ．2x －5y －10＝0C ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0D ．8x －5y ＋20＝012.【改编自·全国卷3文理】已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是（ ）.A ．9B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.1 直线的方程 Word版含答案.docx

2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.1 直线的方程 Word版含答案.docx

§9.1 直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ ) 题组二 教材改编2．[P86T3]若过点M (－2，m )，N (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3．[P100A 组T9]经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1 D ．x ＋y ＝2或x ＝y答案 D解析 若直线过原点，则直线为y ＝x ，符合题意， 若直线不过原点，设直线为x m ＋ym ＝1，代入点(1,1)，解得m ＝2，直线方程整理得x ＋y －2＝0，故选D. 题组三 易错自纠4．(2018·石家庄模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．6．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 ． 答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．跟踪训练 已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.题型二 求直线的方程典例 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题典例 (2018·济南模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.命题点2 由直线方程解决参数问题典例 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小． 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.求与截距有关的直线方程典例 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a .错解展示：现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， 直线方程可写为x a －2a ＋1＋ya －2＝1，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. 综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)，得a －2＝0或a ＋1＝－1，∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．1．在直角坐标系中，直线x －3y ＋3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析 因为直线x －3y ＋3＝0的斜率是k ＝tan θ＝33， 所以倾斜角θ为30°，故选A.2．(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合． 5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7．(2017·黑龙江大庆实验中学模拟)与直线x ＋3y ＋2＝0垂直的直线的倾斜角为 ． 答案 π3解析 直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为－33，所求直线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，故所求直线斜率为3，故倾斜角为π3.8. 不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 ． 答案 (－2,1)解析 直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，∴x＝－2，y ＝1，∴直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1)．9．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为 ． 答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5， 即x ＋13y ＋5＝0.10．经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为 ． 答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.13．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0 D ．4x －3y －4＝0答案 D解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 ． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距， 如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值范围是[－2,2]．15．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.16．(2018届江西新余第一中学模拟)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是 ．(写出所有正确命题的编号) ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； ④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 答案 ①③⑤解析 对于①，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y ＝2x ＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1,0)，⑤正确．故答案为①③⑤.。

高三数学一轮复习直线与方程知识点

高三数学一轮复习直线与方程知识点

高三数学一轮复习直线与方程知识点直线与方程就是直线的方程，在几何效果的研讨中，我们经常直接依据几何图形中点，直线，平面间的关系研讨几何图形的性质。

以下是直线与方程知识点，请考生学习。

(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规则它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜水平。

事先，。

事先，;事先，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：留意下面四点：(1)事先，公式左边有意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与P1、P2的顺序有关;(3)以后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率失掉。

(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点留意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距区分为。

⑤普通式：(A，B不全为0)留意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(4)直线系方程：即具有某一共异性质的直线(一)平行直线系平行于直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。

(5)两直线平行与垂直当，时，;留意：应用斜率判别直线的平行与垂直时，要留意斜率的存在与否。

(6)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。

2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第一节直线与方程讲义含解析

2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第一节直线与方程讲义含解析

第一节直线与方程突破点一直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系．直线的倾斜角()定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线之间所成的角叫做向上方向直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合.时，规定它的倾斜角为()范围：直线倾斜角的范围是[，π)．．直线的斜率公式α≠()定义式：若直线的倾斜角.α，则斜率＝()两点式：(，)，(，)在直线上，且≠，则的斜率＝.．两条直线平行与垂直的判定一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )()坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )()直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )()当直线和斜率都存在时，一定有＝⇒∥.( )()如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定等于－.( )答案：()√()×()×()×()×二、填空题．过点(－，)，(＋)的直线的斜率等于，则的值为．答案：．若直线：(－)＋－＝和直线：＋＋＝垂直，则实数的值为．答案：．(·湖南百所中学检测)若直线：＋－＝与：＋(＋)＋＝平行，则的值为．答案：．直线＋(＋)＋＝的倾斜角的取值范围是．答案：考法一直线的倾斜角与斜率．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数＝α的单调性，如图所示：()当α取值在内，由增大到时，由增大并趋向于正无穷大；()当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，由负无穷大增大并趋近于.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例] ()(·江西五校联考)已知直线与两条直线＝，－－＝分别交于，两点，线段的中点坐标为(，－)，那么直线的斜率是( )．－．－()(·张家口模拟)直线经过()，(，－)(∈)两点，则直线的倾斜角α的取值范围是( )[解析] ()设()，(，－)，则(\\((＋)＝，,(＋－)＝－，))解得(\\(＝－，＝，))所以(－)，(，－)，所以直线的斜率＝＝－，故选.()直线的斜率＝α＝＝＋≥，所以≤α＜.[答案] () ()[方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率∈[，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率∈(－∞，)．考法二两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法()已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－.()已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例] ()(·武邑中学月考)已知过两点(－，)，()的直线与直线＋－＝平行，则的值为( )．．．－．－()(·安徽六安四校联考)设∈，则“＝”是“直线：(＋)＋(－)－＝与直线：(－)＋(＋)＋＝垂直”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件[解析] ()由题可知，＝－，解得＝－，故选. ()由直线与垂直可得(＋)(－)＋(－)·(＋)＝，解得＝或＝.所以“＝”是“直线：(＋)＋(－)－＝与直线：(－)＋(＋)＋＝垂直”的充分不必要条件．故选.[答案]()()[方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意，的系数不能同时为零这一隐含条件．已知直线过()，(，)两点，且倾斜角为°，则＝( )．－．．－．解析：选∵直线过()，(，)两点，∴直线的斜率为＝－.又∵直线的倾斜角为°，∴直线的斜率为，即－＝，∴＝.故选.已知倾斜角为θ的直线与直线＋－＝垂直，则θ的值为( )．－．－解析：选由题意得－· θ＝－，∴θ＝，θ＝＝＝－，故选.若直线：－(＋)＋＝与直线：－－＝垂直，则实数＝( )．．．或－．－解析：选∵直线与直线垂直，∴＋(＋)＝，整理得＋＝，解得＝或＝－.故选.设∈，则“＝”是“直线：＋－＝与直线：＋(＋)＋＝平行”的( )．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．充分不必要条件解析：选当＝时，直线：＋－＝与直线：＋＋＝的斜率都是－，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得＝≠，解得＝－或＝，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选.突破点二直线的方程直线方程的五种形式一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示．( ) ()经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．( )()不经过原点的直线都可以用＋＝表示．( )答案：()×()√()×二、填空题．过点(，－)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为．答案：＋＝或＋＋＝．(·开封模拟)过点(－，－)，斜率是直线＝斜率的－的直线方程为．答案：＋＋＝．已知三角形的三个顶点(－)，(，－)，()，则边上中线所在的直线方程为．解析：由已知，得的中点坐标为，且直线边上的中线过点，则边上中线的斜率＝－，故边上的中线所在直线方程为＋＝－，即＋＋＝.答案：＋＋＝考法一求直线方程[例] (·湖北十堰模拟)已知菱形的顶点，的坐标分别为(－)，(，－)，边所在直线过点(，－)．求：()边所在直线的方程；()对角线所在直线的方程．[解] ()＝＝，∵∥，∴＝.∴边所在直线的方程为－＝(＋)，即－＋＝.()＝＝－.∵菱形的对角线互相垂直，∴⊥，∴＝.∵的中点()，也是的中点，∴对角线所在直线的方程为－＝(－)，即－＋＝.[方法技巧]求直线方程的注意事项()在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．()对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二与直线方程有关的最值问题[例] ()已知直线＋－＝(是正常数)，当此直线在轴，轴上的截距和最小时，正数的值是( )．．．()若直线－＋＝与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于，那么的取值范围是( )．(－∞，－]∪[，＋∞)．[－]．[－)∪(]．(－∞，＋∞)[解析] ()直线＋－＝(是正常数)在轴，轴上的截距分别为和，此直线在轴，轴上的截距和为＋≥，当且仅当＝时，等号成立．故当直线＋－＝在轴，轴上的截距和最小时，正数的值是，故选. ()令＝，得＝，令＝，得＝－，所以所求三角形面积为－＝，且≠，因为≤，所以≤，所以的取值范围是[－)∪(]．[答案] () ()[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路()借助直线方程，用表示或用表示；()将问题转化成关于(或)的函数；()利用函数的单调性或基本不等式求最值．已知直线过点()，且与轴，轴的正半轴所围成的三角形的面积等于，则直线的方程是( )．＋－＝．＋－＝．－＋＝．－＝解析：选设直线的方程为＋＝(＞，＞)．由题意得(\\(()＋()＝，,()＝，))解得＝，＝.故直线的方程为＋＝，即＋－＝.故选.过点(－)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．解析：当直线过原点时，直线方程为＝－；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝(≠)，即－＝(≠)，把(－)代入，得＝－，所以直线方程为－＋＝.故所求直线方程为＝－或－＋＝.答案：＝－或－＋＝已知直线：－＝－，：＋＝＋，当＜＜时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数＝.解析：直线可写成(－)＝(－)，直线可写成(－)＝(－)，所以直线，恒过定点()，直线的纵截距为－，直线的横截距为＋，所以四边形的面积＝××(－)＋××(＋)＝－＋＝＋.当＝时，面积最小．答案：突破点三直线的交点、距离与对称问题．两条直线的交点．三种距离一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )()点(，)到直线＝＋的距离为.( ) ()直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) ()若点，关于直线：＝＋(≠)对称，则直线的斜率等于－，且线段的中点在直线上．( )答案：()√()×()√()√二、填空题．已知点()(＞)到直线：－＋＝的距离为，则的值为．答案：－．若直线：＋＋＝与：(－)＋＋＝平行，则与间的距离为．答案：．当＜＜时，直线：－＝－与直线：－＝的交点在第象限．答案：二．(·忻州检测)在平面直角坐标系中，点()与点()关于直线对称，则直线的方程为．答案：－－＝考法一距离问题[例] (·北京西城期中)已知直线经过点(－，)．()若点(－，－)到直线的距离为，求直线的方程；()若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．[解] ()当直线的斜率不存在时，即直线的方程为＝－，符合要求；当直线的斜率存在时，设直线的方程为－＝(＋)，整理得－＋＋＝，(－，－)到直线的距离＝＝＝，解得＝－，所以直线的方程为＋＋＝.()由题知，直线的斜率一定存在且≠，故可设直线的方程为－＋＋＝，当＝时，＝＋，当＝时，＝－，∴＋＝－，解得＝－或－，即直线的方程为＋＝或＋＋＝.[方法技巧]．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．．求两条平行线间的距离要先将直线方程中，的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二对称问题[例] 已知直线：－＋＝，点(－，－)．求：()点关于直线的对称点′的坐标；()直线：－－＝关于直线的对称直线′的方程；()直线关于点(－，－)对称的直线′的方程．[解] ()设′(，)，由题意知×(－)－×(－)＋＝，))解得(\\(＝－()，＝().))所以′.()在直线上取一点()，则()关于直线的对称点′必在直线′上．设′(，)，则)×()＝－.))解得′.设直线与直线的交点为，则由(\\(－＋＝，－－＝，))得()．又因为′经过点()，所以由两点式得直线′的方程为－＋＝.()设(，)为′上任意一点，则(，)关于点(－，－)的对称点为′(－－，－－)，因为′在直线上，所以(－－)－(－－)＋＝，即－－＝.[方法技巧]．中心对称问题的两种类型及求解方法．轴对称问题的两种类型及求解方法“＝”是“点(，)到直线＋＋＝的距离为”的( )．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件．必要不充分条件解析：选若点(，)到直线＋＋＝的距离为，则有＝，解得＝或＝－，故“＝”是“点(，)到直线＋＋＝的距离为”的充分不必要条件，故选.直线－＋＝关于轴对称的直线的方程是( )．＋－＝．＋＋＝．－＋＋＝．－＋－＝解析：选在所求直线上任取一点(，)，则点关于轴的对称点′(，－)在已知的直线－＋＝上，所以－(－)＋＝，即＋＋＝，故选.已知，是分别经过()，(，－)两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，则直线的方程是．解析：当直线与，垂直时，，间的距离最大．因为()，(，－)，所以＝＝，所以两平行直线的斜率为＝－，所以直线的方程是－＝－(－)，即＋－＝.答案：＋－＝若直线与直线－－＝关于直线＋－＝对称，则直线的方程为．解析：由(\\(－－＝，＋－＝，))得(\\(＝，＝，))即两直线的交点坐标为()，在直线－－＝上取一点()，设点关于直线＋－＝的对称点的坐标为(，)，则(\\((－)＝，,(＋)＋()－＝，))解得(\\(＝，＝，))即点关于直线＋－＝的对称点的坐标为()，则直线的方程为＝，整理得－＋＝.答案：－＋＝。

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考点规范练37 直线与方程
一、基础巩固
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()
A. B.- C.- D.
2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()
A.7
B.0或7
C.0
D.4
3.若直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()
A.-3或-1
B.3或1
C.-3或1
D.-1或3
4.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点()
A.(0,4)
B.(0,2)
C.(-2,4)
D.(4,-2)
5.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0的图象可能是()
6.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()
A.2
B.2
C.4
D.2
7.已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()
A.-
B.-∪(1,+)
C.(-,1)∪
D.(-,-1)∪
8.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.
9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.
(1)直线l经过定点P(2,-1);
(2)直线l在y轴上的截距为6;
(3)直线l与y轴平行;
(4)直线l与y轴垂直.
10.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:
(1)相交?
(2)平行?
(3)垂直?
二、能力提升
11.若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则该对称直线l的方程为()
A.6x+5y-1=0
B.5x+6y+1=0
C.5x-6y-1=0
D.6x-5y-1=0
13.在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为()
A. B. C.5 D.10
14.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.
15.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,求当a为何值时,四边形的面积最小?
三、高考预测
16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且 ≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()
A. B. C. D.
考点规范练37直线与方程1.B解析设点P(a,1),Q(7,b),
则有
-解得
-
-
从而可得直线l的斜率为--=-.
2.B解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,
∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.
3.C解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=
-
,k2=-.由k1k2=-1,得k=-3.
综上k=1或k=-3,故选C.
4.B解析直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).
5.B解析直线l1的方程可化为y=-ax-b,直线l2的方程可化为y=-bx-a.
当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,选项B符合.
6.C解析(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,
所以4m+3n-10=0.
欲求m2+n2的最小值可先求--的最小值.
而--表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.
当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2.
故m2+n2的最小值为4.
(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,
在Rt△OAB中,|OA|=,|OB|=,|AB|=,
斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,
∴S△OAB=·|OA|·|OB|=|AB|·h,
∴h=· =2,
∴m2+n2的最小值为h2=4.
7.D解析设直线的斜率为k,如图.当过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;当过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=.故所求的直线的斜率的取值范围是(-,-1)∪.
8.[0,10]解析由题意得,点P到直线的距离为---.
又-≤ 即|15-3a|≤ 解得 ≤a≤ 故a的取值范围是[0,10].
9.解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,
把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,
解得m=.
(2)令x=0,得y=-
-
,
根据题意可知-
-
=6,
解得m=-或m=0.
(3)直线与y轴平行,
则有--
-
解得m=.
(4)直线与y轴垂直,
则有--
-
解得m=3.
10.解(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;
当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=-,b2=.由k1≠k2,得-≠-,
即m≠-7,且m≠-1.
则当m≠-7,且m≠-1时,l1与l2相交.
(2)由
得---
解得m=-7.
则当m=-7时,l1与l2平行.
(3)由k1k2=-1,得--=-1,解得m=-.
则当m=-时,l1与l2垂直.
11.A解析由log6m=-1,得m=.若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,
则直线斜率相等或斜率不存在,
解得m=0或m=,
则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.
12.D解析由题意可得,直线l是线段AB的垂直平分线.因为A(7,-4),B(-5,6),所以k AB=
--
=-,所以k l=.又因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以直线l的方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0.
13.D解析由题意知P(0,1),Q(-3,0).
∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,
∴点M位于以PQ为直径的圆上.
∵|PQ|=,
∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.
14.4解析由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥ · =2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.
15.解由--
得
所以直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).
易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,连接OA,
则S四边形OBAC=S△AOB+S△AOC=×2(a2+2)+×2(2-a)=a2-a+4=-,a∈(0,2),
所以当a=时,四边形OBAC的面积最小.
16.D解析依题意得|a-b|=--,当 ≤c≤时,≤|a-b|=-≤.因为两条直线间的距离等于,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是.。

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