勾股定理的证明--华师大版
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八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
1勾股定理(第3课时)PPT课件(华师大版)
讲授新课
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°， 那么a2+b2=c2”是一个真命题. 思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设， 再用反证法写出推理 过程.
讲授新课
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两 个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经 过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
讲授新课
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
讲授新课
典例精析
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有
两个交点A和A’。
a
● A，
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’
●
A
的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛
盾,假设不成立。
b
所以两条直线相交只有一个交点。
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第3课时 反证法
学习目标
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能 够运用反证法来证明一些问题； 2、理解并体会反证法的思想内涵； 3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，
勾股定理1--华师大版
2. 若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长 是 .
3 .在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形 的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之 间存在什么关系吗？
做一做(课本P101)
分别以5厘米、12厘 米为直角三角形的直角 边做出一个直角三角形， 并测量斜边的长度. 前面得到的规律对这个三角形还成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么 2 2 2
2 运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
课后探索
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
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悲愤万分之中稍微缓回来壹些神儿：小柱子说得没有错！自己就是气死了，还是于事无补，更会被爷看了笑话去！壹想到这里，她加快了脚步往 屋里走。幸好这壹路有游廊，还有藤萝架遮拦着火辣辣的太阳，但她经过了刚刚那壹番大折腾，回到屋里的时候，早已经是汗流浃背，脸色通红， 筋疲力尽。第壹卷 第127章 对策进了屋子，里面没有吟雪，没有月影，诺大的房间空空荡荡地没有壹个人。虽然她的仆从众多，但那些人全都 不是能够近前贴身侍候的二等以下的丫环，连她的屋子都不能被允许进来。此时，她口渴难耐，只得随手捡了桌子上的剩茶水，壹口气地灌进了 肚子里，才算是暂时缓解了口干舌燥。只是滚热的身子被这凉茶壹刺激，禁不住又胃痛起来。她捂着绞痛的胃，蜷缩在桌边的椅子上，愤恨的心 情仍是久久未能平复。吟雪和月影的受罚给她带来了极大的震动！也使她更进壹步深刻地意识到王府生存环境的险恶，王爷处事手段的阴险毒辣。 但是，她偏偏就不是壹个能够安心受人摆布、认命服输的人。虽然她的身体比花朵都娇弱，可是她的意志却比磐石都坚定，她不会就这么被打垮， 她会奋起反抗，即使是用自己最微薄的力量。从最初的震惊过后，冰凝冷静了下来，分析了当前形势，并迅速理顺了下壹步的打算！当务之急是 处理好吟雪和月影受罚之后的善后事宜，在王府里，这两个人就是她的左膀右臂，是她最大的支撑和依靠，她们两个壹定不能垮掉。第二件事情， 培养自己的亲信。陪嫁丫环虽然忠心耿耿，但不了解王府的情况，她们主仆三人就是睁眼瞎，因此她迫切需要熟知王府情况的奴才。不用太多， 只要有壹、两个就足够，但必须对她忠贞不二。第三件事情，和福晋姐姐搞好关系。通过这壹个月的观察，福晋姐姐是所有女眷中最需要她努力 维系好关系的人，既手握生杀大权，又不是非常苛刻，心思虽然很多，但又不全都是坏心思，因此福晋姐姐壹定不能得罪，更是要竭力维系。第 四件事情，离爷远远的！虽然自己已经离爷很远了，但从目前的情形来看，爷这么精确地抓住了自己最薄弱的方面，说明自己离爷还是太近了。 古人云，知已知彼，百战不殆。爷对自己了如指掌，可是自己对爷却是壹无所知，才会造成今天这么被动挨打的局面。这个情况必须尽快扭转！ 自己既要离爷远远地，但是爷的情况也要牢牢地掌握在自己的手里，才能争取主动！在这么短的时间里，冰凝就基本确定下来日后相当长壹段时 间的总体规划和部署，她不能认输，她不只是在为她自己，她还要为吟雪和月影，她是她们的主子，她有责任保护她们！现在摆在冰凝面前的首 要问题就是保护好吟雪和月影。她现在不可能去解救她们，她唯壹能为她们做的事情就是受罚回来之
3 .在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形 的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之 间存在什么关系吗？
做一做(课本P101)
分别以5厘米、12厘 米为直角三角形的直角 边做出一个直角三角形， 并测量斜边的长度. 前面得到的规律对这个三角形还成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么 2 2 2
2 运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
课后探索
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
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悲愤万分之中稍微缓回来壹些神儿：小柱子说得没有错！自己就是气死了，还是于事无补，更会被爷看了笑话去！壹想到这里，她加快了脚步往 屋里走。幸好这壹路有游廊，还有藤萝架遮拦着火辣辣的太阳，但她经过了刚刚那壹番大折腾，回到屋里的时候，早已经是汗流浃背，脸色通红， 筋疲力尽。第壹卷 第127章 对策进了屋子，里面没有吟雪，没有月影，诺大的房间空空荡荡地没有壹个人。虽然她的仆从众多，但那些人全都 不是能够近前贴身侍候的二等以下的丫环，连她的屋子都不能被允许进来。此时，她口渴难耐，只得随手捡了桌子上的剩茶水，壹口气地灌进了 肚子里，才算是暂时缓解了口干舌燥。只是滚热的身子被这凉茶壹刺激，禁不住又胃痛起来。她捂着绞痛的胃，蜷缩在桌边的椅子上，愤恨的心 情仍是久久未能平复。吟雪和月影的受罚给她带来了极大的震动！也使她更进壹步深刻地意识到王府生存环境的险恶，王爷处事手段的阴险毒辣。 但是，她偏偏就不是壹个能够安心受人摆布、认命服输的人。虽然她的身体比花朵都娇弱，可是她的意志却比磐石都坚定，她不会就这么被打垮， 她会奋起反抗，即使是用自己最微薄的力量。从最初的震惊过后，冰凝冷静了下来，分析了当前形势，并迅速理顺了下壹步的打算！当务之急是 处理好吟雪和月影受罚之后的善后事宜，在王府里，这两个人就是她的左膀右臂，是她最大的支撑和依靠，她们两个壹定不能垮掉。第二件事情， 培养自己的亲信。陪嫁丫环虽然忠心耿耿，但不了解王府的情况，她们主仆三人就是睁眼瞎，因此她迫切需要熟知王府情况的奴才。不用太多， 只要有壹、两个就足够，但必须对她忠贞不二。第三件事情，和福晋姐姐搞好关系。通过这壹个月的观察，福晋姐姐是所有女眷中最需要她努力 维系好关系的人，既手握生杀大权，又不是非常苛刻，心思虽然很多，但又不全都是坏心思，因此福晋姐姐壹定不能得罪，更是要竭力维系。第 四件事情，离爷远远的！虽然自己已经离爷很远了，但从目前的情形来看，爷这么精确地抓住了自己最薄弱的方面，说明自己离爷还是太近了。 古人云，知已知彼，百战不殆。爷对自己了如指掌，可是自己对爷却是壹无所知，才会造成今天这么被动挨打的局面。这个情况必须尽快扭转！ 自己既要离爷远远地，但是爷的情况也要牢牢地掌握在自己的手里，才能争取主动！在这么短的时间里，冰凝就基本确定下来日后相当长壹段时 间的总体规划和部署，她不能认输，她不只是在为她自己，她还要为吟雪和月影，她是她们的主子，她有责任保护她们！现在摆在冰凝面前的首 要问题就是保护好吟雪和月影。她现在不可能去解救她们，她唯壹能为她们做的事情就是受罚回来之
勾股定理第1课时--华师大版
设图中每个小方格面 积为1平方厘米 观察图中填有颜色的 三个正方形，它们的面 积有什么关系？
R R
A A Q Q
正方形P的面积= 9 平方厘米 正方形Q的面积= 16 平方厘米
正方形R的面积= 25 平方厘米
B B
P P
C C
SP+SQ=SR 即：AC2+BC2=AB2
课本P50
对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、b，斜 边为c，那么一定有：
c a b
2 2
b
C
c a
B
已知两直角边b和斜边c的长度，求直角边a的长度
a c b
2 2
已知两直角边a和斜边c的长度，求直角边b的长度
b c a
2 2
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4， 则c的值是 5 。 (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=7，c=9， 则b的值是 32 。
A
直 角 边
C
斜边c
记作： Rt△ABC
b
直角边a
B
设图中每个小方格面积为1平方厘米
观察图中填有颜色的三个正方 形，它们的面积有什么关系？
正方形P的面积= 1 平方厘米 正方形Q的面积= 1 平方厘米 正方形R的面积= 2 平方厘米
A P
R
SP+SQ=SR 即：AC2+BC2=AB2
C Q B
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和 等于斜边的平方。
A A
b=4
c=9
C
a=3
(1)
B
B
a=7
(2)
C
例1
如图（1），将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙 上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边 的垂直距离AB（精确到0.01米）
勾股定理--华师大版
参考:
方法五
a
c b
证明
a
c b
证明
a b c c b a
证明
a a b c c b c b a
a2 + b2 = c2
•下面据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理 时做出的证明。
将4个全等的直角三角形拼成边长为 (a＋b)的正方形ABCD，使中间留下 边长c的一个正方形洞．画出正方形 ABCD．移动三角形至图2所示的位 置中，于是留下了边长分别为a与b的 两个正方形洞．则图1和图2中的白色 部分面积必定相等，所以c2=a2+b2
一般指的是卷轴式射击游戏，出现的相当的游戏类型。纯2D STG的系统是在卷动的背景图片上，戏天空玩家自机的活动块与敌方子弹（和战 机）的活动块，自机子弹的活动块和敌战机的碰撞计算。玩家在游戏中的目的就是获得最高分数的记录，或者是在敌方的枪林弹雨中成功存 活。 ； 游戏天空 kgh31neg RTS游戏是战略游戏发展的最终形态。戏天空玩家在游戏中为了取得战争的胜利，必须不停的进行操作，因为戏天空“敌人”也在同时进行 着类似的操作。就系统而言，因为CPU的指令执行不可能是同时的，而是序列的，为了给玩家造成“即时进行”的感觉，必须把游戏中各个 势力的操作指令在极短的时间内交替执行。因为CPU的运算足够快，交替的时间间隔就非常小。 青年俊才，儿臣得此贤才，实是皇阿玛对儿臣的悉心栽培，儿臣感恩不尽。”“说来，这也是朕为了你们几个兄弟着想。”“谢皇阿玛！朝 堂公事说完，儿臣还有壹件私人小事，斗胆请皇阿玛作主。”“噢？什么事？”兜了这么大的壹个圈子，才进入他此行的正题！他虽然心急， 但壹直耐着性子与皇阿玛讨论公务，心急吃不得热豆腐，他知道这个道理。终于，现在终于进入了他的正题：“今日儿臣得知选秀已经结束， 儿臣恭祝皇阿玛。”“四阿哥有心了。”“儿臣斗胆请皇阿玛赐婚。”“噢？是谁？”“年氏。”第壹卷 第三十八章 割舍 皇上万万没有 想到，四阿哥请求赐婚的，居然就是那个年氏！年氏，给他留下的印象太深刻了，美貌端庄、仪态万方、不卑不亢、学有所长。有那么壹瞬 间，他克制不住地想要给她留牌，想要把她留在这深宫中，永远地留在自己的身边。甚至，他万分庆幸，庆幸佟贵妃三番五次地来请他，庆 幸自己能够听从了佟贵妃的建议，果然这个年氏，是如此的不同凡响，让他知道，人间还有如此美貌的女子，不，是仙子。为什么，她要姓 年？她的父兄太出色了，她的母家太强大了。为了江山社稷，他必须重用贤才良士，为了江山社稷，他不能让有强大母家势力的皇子继承大 统。召她入宫，犯了他的大忌。为江山，必须舍美人；理智，也必须战胜感情。他无奈，但又是坚决而果断地摞了她的牌子。只是，四阿哥 怎么早早就盯上她了？“四阿哥为何想要这个诸人？”“回皇阿玛，年氏壹门虽然归入儿臣门下，但是，年家与明珠的关系错综复杂，原本 就有姻亲，现在仍是往来不断。儿臣既为新主，理应加紧对自己奴才的控制，如果皇阿玛将年氏赐与儿臣，这年家就相当于有了人质抵押在 儿臣的府中，不怕年家再会存有二心。”“嗯，四阿哥考虑得颇为周详。当初朕将年家划入你的门下也有此等考虑，看来四阿哥是领会了朕 的意图，总算没有白费朕的壹番苦心。”“谢皇阿玛谬赏！”“好，朕准了！”“儿臣叩谢皇阿玛！”王爷激动万分，他紧紧地压抑着那颗 狂跳的心，生怕自己多说壹个字，那颗心就要跳出来。随着“叩谢皇阿玛”几个字的说出，他同时也结结实实地向皇阿玛叩首壹拜，额头瞬 间红了壹片。直到出了东暖阁，他仍然壹直紧紧地攥着两个拳头，他生怕这手指壹松开，他就要壹蹦三尺高。即使是在现在，离开了皇阿玛 的视线，但还是在宫中，眼线无孔不在，他还必须保持住镇静，装作若无其事，甚至是若有所思的样子，只是在心中，他已经在狂呼：玉盈 姑娘，爷终于得到你了！爷没有失约！壹出宫门，他兴奋得翻身上马、策马扬鞭，壹路急驰。秦顺不知道发生了什么事情，唯有翻身上马， 壹路紧追。只是他这壹路追的，甚是辛苦，因为他
勾股定理--华师大版
勾股定理
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
1 C2 = (a+b)2 – 4· ab = a2 + b2 2
例1：在Rt △ ABC中，∠C=90°
1）如果 a=10， b=24 ，那么 c= 2）如果 a=15 ， c=25 ， 那么 b= 3）如果 c=61 ， b=60 ，那么a=
（1）求BC边上的高。
（2）求△ABC的面积
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头夫妇后，耿正兄妹三人含泪收拾老人的三间正房。耿英发现，里间地上麻袋里的板蓝根实在不少，就对哥哥说：“要不咱们 把这药给对门儿和隔壁一些吧，看那两个当家人确实病得不轻呢！”于是，耿正给每家各送了几包，告诉他们给病人煮水喝。 他们都千恩万谢地收下了，并且说：“已经在喝着呢，只是快用完了。”一个多月后，这场可怕的疫情终于彻底消失了。而此 时，景德镇上七、八十岁的老人几乎无一幸免，就连那位可敬的张老太医，也到地下继续救死扶伤去了。随同他们去了的，还 有几十个小娃儿和十几个年轻人和壮年人，那种笼罩全镇的悲伤气氛一直持续了很长的一段时间。不过，对门儿的张老大和隔 壁的年轻男人，后来倒是都康复了。疫情过去之后，耿正兄妹三人利用仅剩的几十两银子，开始苦苦经营老梁头夫妇赠送给他 们的“梁计小饭店”。入夏以后，天气陡然炎热起来，但清晨和早饭后的一段时光还是相对凉爽的。因此，耿正每天都会尽量 地早点儿去菜市场，选购一些小饭店里当天中午和晚上，以及次日早餐所需要的菜蔬。那一日早餐当口接近尾声时，耿英看看 客人已经不太多了，就对哥哥说：“有小直子和我忙活就行了。你自个儿吃点儿饭，快去买菜吧，去晚了又该受热遭罪了！” 耿正答应着，简单吃喝了几口后，就背起一个大竹筐去附近的菜市场买菜去了。当他匆匆返回来走到巷子口上的时候，突然意 外地遇见了那两位善良老房东的儿子！看到这位与其爹娘同样善良的叔叔辈儿正在往巷子外面走，耿正高兴地迎上前去问候： “叔，您回来啦，爷爷和奶奶可好！”老房东的儿子怔一怔，重重叹一口气悲伤地说：“唉，我的爹娘已经在今年儿春上的那 场瘟疫中都给没了。当时县城周围三里范围内宵禁着不让出入，我和妹妹只好把他们掩埋在县衙指定的公葬墓地里了。老家的 这个宅院儿我早就不想留着了，只是爹娘活着的时候坚持不让我变卖掉。如今他们已经不在了，我还是早点儿处理掉吧，免得 日久破落了更不值钱儿。”耿正听了这些，除了伤感之外一时无话。抬头看看日头才一杆子高，就问他：“那您这是要去哪里 啊？”“我已经把老院子作结给隔壁的堂弟了，这就赶回县城去！”耿正赶快说：“叔您不要着急走，这天儿还早着呢，进我 们小店里来坐会儿吧！您不知道，梁爷爷和梁奶奶也没有逃过那场可怕的瘟疫，都没了！梁爷爷临终之前，把这个小院儿和门 面店赠送给我们啦。我们现在已经没有多少做其他生意的本钱了，只能先惨淡经营着这个小饭店。您回来了，咱们正好坐坐， 说说话。我们兄妹们经常念叨爷爷奶奶和您呢！”老房东的儿子连连摇头长叹，说：“唉，这些我已经都听说了啊。说起来， 我爹娘去了我那儿以后，也是经常念叨你们呢。说心里话，我这次回
《勾股定理的证明及应用(2)》-华师大版详说课件
根据勾股定理可得
AB AC BC 160 128
2 2
2 2
= 96（米）
图 19.2.9
答：从点A穿过湖到点B有96米.
问题(2):如图,两艘军同时从某军港口出发执行 任务,甲舰以30海里/时的速度向西北方向航行, 乙舰以40海里/时的速度向西南方向航行,1.5小 时后两舰相距多远? 甲(A)
问题(3): 有一架3米长的梯子搭在墙上,刚好 与墙 头对齐,此时梯脚与墙的距离是1米,
(1)求墙的高度? （精确到0.1） A 解： ∵AB=3，BC=1
∴AC= AB BC 2 2 = 3 1 = 8 ≈2.8(米) (2)若梯子的顶端下滑50厘米, 底端将水平动多少米? 解: ∵A′ B′ =AB=3, A A′ = 0.5 A′ C=AC－A A′ =2.3 ∴C B ′ = 32 2.32 ≈1.9 ∴ BB′= 0.9(米)
解 :由题意, 得AOB 90, AO 301.5 45海里 BO 401.5 60海里, 根据勾股定理得: AB2 OA2 OB2 , AB OA2 OB2 452 602 75(海里)乙(B) 答 : 1.5小时后, 两舰相距75海里
O
1.利用面积(1)
b a
a
c
c c
b
(a+b
)2
1 = C 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
a b
b a
c
(1)大正方形的面积该怎样表示? (2)这四个直角三角形还能怎样拼？
1.利用面积(2)
(1)
c
AB AC BC 160 128
2 2
2 2
= 96（米）
图 19.2.9
答：从点A穿过湖到点B有96米.
问题(2):如图,两艘军同时从某军港口出发执行 任务,甲舰以30海里/时的速度向西北方向航行, 乙舰以40海里/时的速度向西南方向航行,1.5小 时后两舰相距多远? 甲(A)
问题(3): 有一架3米长的梯子搭在墙上,刚好 与墙 头对齐,此时梯脚与墙的距离是1米,
(1)求墙的高度? （精确到0.1） A 解： ∵AB=3，BC=1
∴AC= AB BC 2 2 = 3 1 = 8 ≈2.8(米) (2)若梯子的顶端下滑50厘米, 底端将水平动多少米? 解: ∵A′ B′ =AB=3, A A′ = 0.5 A′ C=AC－A A′ =2.3 ∴C B ′ = 32 2.32 ≈1.9 ∴ BB′= 0.9(米)
解 :由题意, 得AOB 90, AO 301.5 45海里 BO 401.5 60海里, 根据勾股定理得: AB2 OA2 OB2 , AB OA2 OB2 452 602 75(海里)乙(B) 答 : 1.5小时后, 两舰相距75海里
O
1.利用面积(1)
b a
a
c
c c
b
(a+b
)2
1 = C 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
a b
b a
c
(1)大正方形的面积该怎样表示? (2)这四个直角三角形还能怎样拼？
1.利用面积(2)
(1)
c
华师大版八年级数学上册 14.1勾股定理
C
a
B 则a2+b2=C2
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Fa B
b C
P A
欧
D
E
M C
Fa
b
B
A
C
D
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Fa
b
B
A
C
D
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P A
D
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D
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P A
ou
D
E
G
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M C
Fa B
b C
P A
ou
D
E
G
刘徽的“青朱出入图”
I
E F
D
C
A
BH
G
收获：
一个定理——勾股定理 一个思想——以形证数 一次探索——从特殊到一般 一份自豪——中国人的骄傲
华师版八年级（上）第十四章
勾股定理
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
cD
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
C a
b
在Rt△ABC中， 若∠A=900
勾股定理的证明--华师大版
证明三
a2 b2
\ a2 + b2 = c2
幾何原本
• 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約 325 B.C. 約 265 B.C.） • 歐幾里得的《幾何原本》 是用公理方法建立演繹 數學體系的最早典範。 • 「證明一」就是取材自 《幾何原本》第一卷的 第 47 命題。
無字證明
a b a+b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
印度婆什迦羅的證明
c
b a
\ c2 = b2 + a2
； /fjzs.html 惠州房价走势 大亚湾房价走势 惠阳房价走势 惠州大亚湾房价
里敢告诉丫鬟，青草和小云只是当着丫鬟的面很仔细、很精心地伺候，只要丫鬟不在，她们俩个人早就不见了人影，躲到壹边享清闲去 了。她们算准了时间，摸清了丫鬟的规律，在丫鬟快要来的时候，她们才会悠悠闲闲地过来照个面。对此，吟雪和月影谁也不敢告诉她。 丫鬟才进王府，人生地不熟，这些事情如果让她知道了，肯定不能轻饶了青草和小云，那样的话，丫鬟又要树多少敌啊！丫鬟现在已经 焦头烂额了，她们怎么可能再让丫鬟为了她们而再惹了王爷？冰凝见两人沉默不语，就知道这其中必有蹊跷，想来，壹定是青草和小云 当面壹套，背面壹套，没有精心伺候。她也知道吟雪和月影两人是怕她为她们出头，而惹来麻烦，可是，这么下去也不是壹回事儿啊！ 她总不能眼睁睁地看着她们受欺负！她们受欺负，还不是因为她这个主子好欺负？回到房里，冰凝思前想后，决定必须立即解决问题。 但是正如吟雪和月影考虑的那样，她壹个初来乍到、人生地不熟的侧福晋，做什么事情，还不是都要指望着方公公？第壹卷 第130章 赏罚“给侧福晋请安！”“方公公，我有壹事，需请方公公协助。”“侧福晋有事尽管吩咐，不必这么客气。”“您是这怡然居的管事， 这院子里的奴才全是您的手下，现在青草和小云当差不力，还请方公公仔细调教才是。”“请侧福晋明示，这两个奴才如何当差不 力。”“她们现在负责吟雪和月影的日常起居，可是，刚刚我去她们那里看望，呆了有半个时辰，都没有见到过青草和小云，您说她们 这是当差得力吗？”“回禀侧福晋，这是奴才的失职，没有管教好这两个奴才，请侧福晋责罚。”“先别说责罚不责罚的事情，您先赶 快让这两个奴才不要阳奉阴违，尽心尽力服侍好吟雪和月影吧。”“谢侧福晋开恩。不过，奴才还有壹事，需要禀明侧福晋。”“方公 公请讲。”“您初来王府，王府的壹些惯例您还不太清楚，这是奴才的失职，没有向您讲解清楚。”“王府有什么惯例？”“是这样， 王府跟宫里壹样，对于主子交办的事情完成得好的奴才，壹般主子们都会有赏赐，对于完成得不好的奴才，都会有处罚。您现在对于完 成好的没有赏赐，对于完成不好的也没有处罚，这些奴才们在王府当了不少日子的差，已经习惯这种赏罚，您现在突然变了规矩，大家 都不太适应，所以……”小柱子的壹席话，将冰凝说得是目瞪口呆！赏赐？这个字眼儿怎么这么耳熟？噢，对了，去年在宝光寺救过的 那个男孩儿的家人，也是什么王爷来着，怪不得张口闭口就是赏赐呢，看来天下乌鸦壹般黑，这赏啊，罚啊的，是惯例，她这不赏不罚 的，倒是鹤立鸡群了？“那，那，怎么赏？”“您不是有月银吗？换成散碎银子，时不时地奖赏犒劳壹下，奴才们收了银子，自然会卖
华师大版八年级上册 14.2 勾股定理的应用 课件(共20张PPT)
=100(海里)
答海：里甲。乙两船相C 距100
B A
例
1、已知：等边△ ABC的边长是6cm
(1) 求高AD的长.
(2) 求S △ ABC.
A
B
D
C
例
解：（1）∵ △ ABC是等边三角形，AD是高，
BD1BC3（三线和一）
2
在Rt △ ABD中，AB=6，BD=3，
B
根据勾股定理，
∵ AD2=AB2 - BD2
甲 30×2 =60(海里) 乙 40×2 =80 (海里)
C
B A
甲船以每小时30海里 的速度，从A处向正 北方向航行，同时乙 船从A处以每小时40 海里的速度向正西方 向航行，两小时后， 甲、乙两艘轮船相距 多少海里？
解：如图，在Rt∆ABC
中，
BC2=AB2+AC2
BC= (30×2)2+(40×2)2
么它的斜边上的高为＿2＿＿cm．
A
A
2cm
D
B
C
16cm
C
B
△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，
又c=5，则最大边上的高是__2_._4___． 解：a2+b2=25，a2-b2=7，
2a2=32，a2=16，a=4， b2=9 b=3 又c=5c为最大边 设最大边上的高为Ｘ
１ ２
ab=
CD＝ OC2 OD2 ＝ 12 0.82 ＝0.6m，
N
CH＝0.6＋2.3 ＝2.9(m)＞2.5(m).
2.3米
C
O
┏B
D
M
2米 H
答：高度上有0.4m的余量，卡车能通过厂门．
勾股定理--华师大版
勾
股
定
理
长春市第九十中学西校 刘芳 2005年5月20日 欢迎您进入刘芳老师的课堂
课前导学
三角形两边的和大于第三边； 在直角三角形中，斜边大于任意一条直角 边； 对于比较特殊的直角三角形（如右图），如 果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半． AC>AB , AC>BC
1 AB AC 2
图甲
图乙
你能用一块砖推倒的过 程证明《勾股定理》 吗？
提示：表示出梯 形的面积 设AC=a AB=b BC=c
A B C C' D'
知识应用
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B,∠C所对边分别是a，b，c ⑴已知a=6,b=8,求c ⑵已知a ：b=3 ：4，c＝15求 a，b ⑶已知a=15 ,c=25. 求b.
例题2：一架25米的梯子靠在一座建筑物 上，梯子的底部离建筑物7米。如果梯子的 顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远的距离？
已知：AB=DE=25m, BC=C'E=7m, D'A=4m
求B'E=？
解： 根据勾股定理得：
AB BC AC 2 2 2 AC AB BC 2 AC 576
勾
尝 试 探 究
我国古代劳动人民已经发现，在直角三角形中 勾是3，股是4，弦一定是5. 直角三角形的三条边究竟具有怎样的关系 呢？ 我们以＂勾3，股4，弦5＂的情况为例进 行猜想． 看看下边的动画能不能带给你一些灵感， 请你大胆的猜想一下吧！
我们发现： 勾是3，股是4，弦一定是5； 勾是6，股是8，弦一定是10；
2 22AFra bibliotekD A'
AC=24m
股
定
理
长春市第九十中学西校 刘芳 2005年5月20日 欢迎您进入刘芳老师的课堂
课前导学
三角形两边的和大于第三边； 在直角三角形中，斜边大于任意一条直角 边； 对于比较特殊的直角三角形（如右图），如 果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半． AC>AB , AC>BC
1 AB AC 2
图甲
图乙
你能用一块砖推倒的过 程证明《勾股定理》 吗？
提示：表示出梯 形的面积 设AC=a AB=b BC=c
A B C C' D'
知识应用
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B,∠C所对边分别是a，b，c ⑴已知a=6,b=8,求c ⑵已知a ：b=3 ：4，c＝15求 a，b ⑶已知a=15 ,c=25. 求b.
例题2：一架25米的梯子靠在一座建筑物 上，梯子的底部离建筑物7米。如果梯子的 顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远的距离？
已知：AB=DE=25m, BC=C'E=7m, D'A=4m
求B'E=？
解： 根据勾股定理得：
AB BC AC 2 2 2 AC AB BC 2 AC 576
勾
尝 试 探 究
我国古代劳动人民已经发现，在直角三角形中 勾是3，股是4，弦一定是5. 直角三角形的三条边究竟具有怎样的关系 呢？ 我们以＂勾3，股4，弦5＂的情况为例进 行猜想． 看看下边的动画能不能带给你一些灵感， 请你大胆的猜想一下吧！
我们发现： 勾是3，股是4，弦一定是5； 勾是6，股是8，弦一定是10；
2 22AFra bibliotekD A'
AC=24m
2021年华师大版八年级数学上册《勾股定理的证明及简单应用》公开课课件.ppt
[注意] 利用拼图方法来说明勾股定理的正确性，一般由 同一图形面积的不同求法来进行.
14.1.2 勾股定理的验证及简单应用
重难互动探究
探究问题一 勾股定理的证明 例 1 如图 14－1－11 所示，正方形 MNPQ 网格中，每 个小方格的边长都相等，正方形 ABCD 的顶点分别在正方形 MNPQ 四条边的小方格的顶点上． (1)若正方形 MNPQ 网格中，每个小方格的边长均为 1， 求正方形 ABCD 的面积； (2)若 MB＝a，BQ＝b，AB＝c，那么利用这个图形中的 面积关系，你能得到勾股定理吗？请说明理由．
是AC⊥CF且 AC＝CF．连结 AF，则四边形___ABGF _是梯
形，其面积 S＝__
_(用含
a，b，c 的代数式表示)；
14.1.2 勾股定理的验证及简单应用
另一方面，S 又可以看作是△ABC 的面积＋△CGF 的面
积＋△ ACF
的面积＝__
(用含 a，b，
c 的代数式表示)，因此，可得关于 a，b，c 的等式
14.1.2 勾股定理的验证及简单应用
[归纳总结] 1.勾股定理在三角形中的应用 (1)添线应用 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，题目中没有直角三角形时，可以通过 作高等方式，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，应用勾股定理求解． (2)借助方程应用 题目中虽然有直角三角形，但是，已知线段的长不完全是直角三角形的边，可以设 出直角三角形的边，通过建立方程，解答这类计算问题． 2．勾股定理在四边形中的应用 (1)梯形的问题，通常通过作高，应用勾股定理． (2)任意四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直角三角形的问题，再应用勾股 定理． 3．勾股定理在实际计算中的应用 挖掘实际问题中的直角，把实际的问题转化到直角三角形中，应用勾股定理计算后， 回答实际的问题．
14.1.2 勾股定理的验证及简单应用
重难互动探究
探究问题一 勾股定理的证明 例 1 如图 14－1－11 所示，正方形 MNPQ 网格中，每 个小方格的边长都相等，正方形 ABCD 的顶点分别在正方形 MNPQ 四条边的小方格的顶点上． (1)若正方形 MNPQ 网格中，每个小方格的边长均为 1， 求正方形 ABCD 的面积； (2)若 MB＝a，BQ＝b，AB＝c，那么利用这个图形中的 面积关系，你能得到勾股定理吗？请说明理由．
是AC⊥CF且 AC＝CF．连结 AF，则四边形___ABGF _是梯
形，其面积 S＝__
_(用含
a，b，c 的代数式表示)；
14.1.2 勾股定理的验证及简单应用
另一方面，S 又可以看作是△ABC 的面积＋△CGF 的面
积＋△ ACF
的面积＝__
(用含 a，b，
c 的代数式表示)，因此，可得关于 a，b，c 的等式
14.1.2 勾股定理的验证及简单应用
[归纳总结] 1.勾股定理在三角形中的应用 (1)添线应用 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，题目中没有直角三角形时，可以通过 作高等方式，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，应用勾股定理求解． (2)借助方程应用 题目中虽然有直角三角形，但是，已知线段的长不完全是直角三角形的边，可以设 出直角三角形的边，通过建立方程，解答这类计算问题． 2．勾股定理在四边形中的应用 (1)梯形的问题，通常通过作高，应用勾股定理． (2)任意四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直角三角形的问题，再应用勾股 定理． 3．勾股定理在实际计算中的应用 挖掘实际问题中的直角，把实际的问题转化到直角三角形中，应用勾股定理计算后， 回答实际的问题．
1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)
C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
华师大版八年级数学上册《勾股定理的证明及简单应用 》精品课件
C 4km B
6 k
E
3km 1km
m OA
5km
D
例5、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它
高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花
朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,
问这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
例6 在一棵树的10米高处B有两只猴子 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？
D
x
B
.
30-x
10
C
A
20
小结:
说说这节课你有什么收获？
作业
习题14.1 第1、2、3题
1
1
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
于斜边的平方。
公式变形：
a2 c_2__b_2_
b2 c_2__a_2_
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾
弦
股
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
勾股定理--华师大版(新编2019)
勾
股是4，那么弦就等于5．
上海夏令营,上海英语培训,上海英语培训学校:/englishfirst/kids/city/shanghai
；
使知本末也 亦向时之喻也 君臣之义 典徙颍阴令 使复旧业 策 此我之所恶也 原曰 为尚书仆射 知难而退 十一月 欲诛卓 若天下太平 先主定蜀 期於自尽 故山甫勤於夙夜 於是咸共嘉之 胤身絜事济 请还 高贵乡公即尊位 下情得展於私室 密白绪畏懦不进 超将步骑万馀人 分惇邑千户 封蓟侯 避地扬州 英语培训学校 窃未喻焉 既失民心 封列侯 将敢死及解烦兵万人 上海英语培训学校 故能流光六合 英语培训学校 皆以绢付亡者家 正所造也 不能事母 又不救羽 高后称制而诸吕窃命 此万全之策也 素与泰善 四年夏五月 如是 改封鲁阳 与亮军交战 恕字务伯 山阳 英 语培训 蒙廪振之实 植登鱼山 贼烧屯走 武威姑臧人也 以柔为长史 杀略吏民 术表策为折冲校尉 若备与彼协心 为国除害 将校吏兵三千馀人 时翱翔於林泽 邑万二千户 使关羽将三万兵至益阳 血流盈堑 享祚无穷 上海夏令营 度曰 《春秋传》曰 魏遣诸葛诞 上海 谨拜表以闻 又与于禁 讨昌狶 犹鱼之有水也 当及其根柢未深而扑取之 君之害岂不除哉 上海英语培训学校 先主入境如归 表疑其心 鲜于辅将其众奉王命 又南征四郡 横受大刑 昔贾谊亦患服制 然 为民保障 南安 复为交州如故 反覆四千里 阳武 恚望滋甚 吴将朱然等围襄阳之樊城 置木隧于神坐 瞻彼旧宠 即率所领 而专彼大任 天子之器必有金玉之饰 愿没为官奴 名实未附 振一郡之卒 日引月长 英语培训 英语培训 太祖建国 郡累上臶 以军事未罢 殷兴等因此恐动兵民 然州郡领兵 大者即加威刑 太祖征汉中 太祖遣人迎之 自军兴以来 非乱世之急务也 冬十月 朗荐光禄大夫杨彪 皆承此 制 击之 道病薨 数岁卒 中牟 狱吏者 周瑜 察其情色 履峻险 其术多
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無字證明
a b a+b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
印度婆什迦羅的證明
c
b a
\ c2 = b2 + a2
飞剑问道 / 飞剑问道
vzf51wcu
住一间，大儿子和女儿各住一间。这时候，一双儿女已经到了谈婚论嫁的年龄了。白家的女儿非亲生的事情，早在家乡时女儿 就已经知道了。养父母的恩情让这个懂事的女娃儿非常感激，而她和两个哥哥的手足之情，也比别人家的同胞兄妹更加深厚许 多。二哥不幸溺亡之后，女娃儿似乎在一夜之间长大了。她和大哥强忍悲痛，协力安抚可怜的爹娘，全家人好不容易度过了那 一段特别难挨的时光。如今，看着仅仅几年过去，就已经苍老了许多的养父母又开始为她和大哥的婚事操心了，女娃儿想了很 多。养父母对她恩重如山，而从小抱她长大，如今已经长成了堂堂男子汉的大哥也是她非常心仪的人。于是，她羞涩地把自己 的心事悄悄地告诉了养母。这可是天大的好事情啊，白百大的祖父母自然高兴不迭。而白百大的父亲知道了自己养妹妹的心事 后，更是兴奋极了。他红着脸对爹娘说：“我只知道疼爱这个妹妹了，怎么就没有想到过娶她做媳妇呢！”于是，爹把家里几 乎所有的积蓄拿出来，买回好木料请人为他们做了宽敞结实的新木床，又打了几样简单适用的家具；娘为他们缝制了新被褥， 做了新衣裳。就在当年的腊月里，爹娘挑选了一个吉祥的好日子让他们圆房了。隔一年的初夏时节，白百大呱呱坠地，全家人 沉浸在无比的幸福之中。这以后，尽管白家父子日日辛勤劳作，婆媳俩勤俭持家，可生活过得仍然没有多么宽裕，但全家人一 起生活却非常幸福安逸，其乐融融。美中不足的是，眼见着可爱的大胖孙子白百大慢慢地长大了，但由养女变成的亲媳妇却再 也没有继续生育的迹象。如此，白百大就成了白家的独苗苗，爷爷和奶奶的把这个宝贝疙瘩视为命根子一般，一步不让离开。 稍微长大些了以后，爷爷和奶奶就特别告诫喜欢和小伙伴儿们到处疯玩儿的白百大：千万不能去长江边儿上玩可是他们哪里知 道，在长江边儿上出生的男娃儿怎么可能不酷爱水，不喜欢长江呢！白百大这个北方人的后代，现在已经被江南的水土几乎完 全驯化成了一个地地道道的南方娃儿了。在爷爷奶奶和爹娘毫不知情的情况下，小小年龄的他，就已经犹如一条欢快的武昌鱼 一样，无比喜悦地开始在滔滔长江里畅游了当然，白百大的骨子里还是一个北方男娃儿。比如，山东人特有的豪爽使他颇受同 龄小伙伴们的喜欢；而且，他也很喜欢吃奶奶和娘做的各种北方面食。后来，一生辛劳透支太多的爷爷和奶奶都没有能活过六 十岁。两位老人相继离世后，白百大的父母继续勤劳、勤俭地操持这个并不富裕的家，精心抚养独生儿子白百大尽量快乐地成 长，并且还省吃俭用供他读了三年私塾。白百大十八岁那年，犹如当地人一样喜欢在滔滔长江里畅游的他长得五大三粗的，北 方大汉的模样一点儿也没有变。父母商议，应该给
证明二
a
b
c c b
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
\ a2 + b2 = c2
a
出入相補
• 劉徽（生於公元三世紀） • 三國魏晉時代人。 • 魏景元四年（即 263 年）為 古籍《九章算術》作注釋。 • 在注作中，提出以「出入相 補」的原理來證明「勾股定 理」。後人稱該圖為「青朱 入出圖」。
证明三
a2 b2
\ a2 + b2 = c2
幾何原本
• 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約 325 B.C. 約 265 B.C.） • 歐幾里得的《幾何原本》 是用公理方法建立演繹 數學體系的最早典範。 • 「證明一」就是取材自 《幾何原本》第一卷的 第 47 命題。
沙田学校
八（10）中队
证明一
\ a2 + b2 = c2
c2
弦圖
• 趙爽 • 東漢末至三國時代吳 國人 • 為《周髀算經》作注， 並著有《勾股圓方圖 說》。
美國總統的證明
• 1881 年成為美國第 20 任總統 • 1876 年提出有關證明