随机现象及其统计规律性解剖

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概率论与数理统计第一章1.1随机事件

随机现象从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，但直到20世纪初，人们才认识到随即现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科，而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的
数学学科.
完
随机现象的统计规律性
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其满足：
用 S 的某一子集来表示，常用字母 A, B, 等表示. 某事件 A 发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本点，则
事件的集合表示某事件 A 发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本点，则事件 A 发生
s A.
样本空间 2. 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T 出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.

随机现象的变化趋势

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•随机现象概述

•随机现象的变化趋势分析

•随机现象的预测方法目录

•随机现象的决策支持

•随机现象的变化趋势对未来发

展的影响

随机现象概述

定义与特点

定义

随机现象是指在一定条件下，某一事

件的发生与否、出现次数、出现时间、

持续时间等结果是不确定的，无法通

过一次观察或实验得到确定结果的现

象。

特点

随机现象具有不确定性、不可预测性、

统计规律性等特点。在一定条件下，

随机现象的发生概率是一定的，可以

通过大量重复实验来观察其统计规律。

如掷硬币、掷骰子等，其取值是离散的，可以用计数方法来描述。

离散型随机变量

如人的身高、体重等，其取值是连续的，可以用概率密度函数来描述。

连续型随机变量

随机现象的分类

在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，许多现象都是随机现象，如放射性衰变、分子运动

等。

自然科学

在通信、电子、计算机等领域中，随机现象也经常出现，如信号传输中的噪声、计算机中的随机错误等。

工程与技术

在经济学、心理学、社会学等领域中，随机现象也起着重要作用，如股票价格的波动、人类行为的不确定性等。

社会科学

随机现象的应用领域

随机现象的变化趋势分析

通过拟合一条直线来描述数据的变化趋势，适用于数据呈线性关系的情况。

线性回归分析

非线性回归分析

时间序列分析

通过拟合非线性函数来描述数据的变化趋势，适用于数据呈非线性关系的情况。

通过分析时间序列数据的变化规律，预测未来的趋势。

趋势分析方法

趋势预测

根据拟合的模型，预测未来的趋势。

趋势拟合

根据识别的趋势，选择合适的函数或模型进行拟合。

趋势识别

随机现象及其统计规律性

试验，这些试验可分为两种类型：确定性试验和随机试验．确定性试验：其结果具有唯一性、必然性或
确定性．
◎早晨，太阳从东方升起；
*
6
◎太阳系中的地球绕太阳旋转；
◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动的物体继续作等速直线运动；
*
7
◎市场经济条件下，商品供过于求，其价格下降；
◎在一个标准大气压下，水在100℃时沸腾，在 0℃时开始结冰，在90℃时处于液态；
◆随机现象是本门课程的研究对象．
*
14
二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不担心将来某一天男女比例会严重失调．
小范围内变化． 1随机现象及其统计规律性任何随机试验至少有两个可能结果．
◎新生婴儿的性别，可能是 1、确定性试验和随机试验
说它古老，是因为早在公元前1400年，
男孩，也可能是女孩；以后进入相对快速发展的时期．
说它古老，是因为早在公元前1400年，随机现象及其统计规律性 ◎太阳系中的地球绕太阳旋转； ◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2，
*
10
◎将一笔资金用于，其收益分为好、一般、差，出现各种结果皆有可能；

统计学中的概率理论和数理统计

统计学中的概率理论和数理统计在统计学中，概率理论和数理统计是两个重要的概念和工具。概率

理论是研究随机现象以及其规律性的数学理论，而数理统计是应用概

率理论研究收集和分析数据的一门学科。本文将分别对概率理论和数

理统计进行介绍。

一、概率理论

概率理论是研究随机现象的数学理论。随机现象是指在一定条件下，不能精确预测其结果的现象。概率理论主要研究以下几个方面：

1.1 随机事件和概率

在概率理论中，将随机现象的每一个可能结果称为随机事件。概率

是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

1.2 概率分布

概率分布是描述随机事件中各个结果发生的概率分布情况。常见的

概率分布包括均匀分布、正态分布等。通过分析概率分布，可以了解

随机事件发生的规律和可能的结果。

1.3 事件的独立性和相关性

在概率理论中，事件的独立性和相关性是重要的概念。事件的独立

性表示事件之间互不影响，事件的发生与否与其他事件无关。事件的

相关性表示事件之间存在某种关联，一个事件的发生与否可能会影响

其他事件的发生。

二、数理统计

数理统计是应用概率理论研究收集和分析数据的一门学科。数理统

计主要包括以下内容：

2.1 总体和样本

在数理统计中，将研究对象称为总体，而从总体中抽取得到的一部

分数据称为样本。通过对样本进行分析，可以推断总体的性质和规律。

2.2 参数估计

参数估计是数理统计中的重要内容。通过样本数据，利用概率理论

的相关方法，估计总体中的未知参数。参数估计可以帮助我们了解总

体的特征和规律。

2.3 假设检验

究随机现象的统计规律性的数学理论和方法-随机数学简介

随机数学简介

随机数学是描述和研究随机现象的统计规律性的数学理论和方法

随机现象是最早被关注的一种不确定现象。数学家在400多年前开始研究赌博现象，由此形成了概率的早期概念乃至古典概率论(大部分同学在本科学过古典概率论)，一批数学家对此作出了贡献。到19世纪末，数学的发展要求对古典概率论的逻辑基础（象微积分一样）作出严格化。做出概率严格化第一步的有伯恩斯坦，布雷尔等人，尤其是布雷尔，作为测度论的奠基者，首先指出将测度论方法引入概率论的重要性。布雷尔的工作激起了数学家沿着这一新方向探索的行动。其中，原苏联数学家哥尔莫戈罗夫在上世纪30年代前后的工作最杰出，他推导了弱大数定理和强大数定理的最一般的结果，在这些研究中，与可测函数论的类比起了极重要的作用，这成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。由此，现代概率论与随机过程理论建立在一个坚实的基础上。

直到上世纪60年代，第二种不确定现象——模糊现象才被认识到并系统地加以研究，形成了模糊数学。不确定数学和确定数学（又称为经典数学）在逻辑上存在两大区别：一是经典数学属于{0， 1}二值逻辑，而不确定数学则属于[0，1]无限逻辑；二是确定数学满足形式逻辑的四大定律，而不确定数学不满足其中的排中律。随着数学和整个科学的现代化进程，具有种种不确定性的现象不断发现，从而发展成有关的理论。例如，混沌理论，耗散理论，非线性理论，计算复杂性中的P = ？NP问题等，它们的共同逻辑特征都不属于典型的形式逻辑范畴，“四大定律”不完全满足。现在统称这些领域为复杂性数学。这样，不确定数学现在包括随机数学，模糊数学和复杂性数学。我们在研究生数学课程体系中集中安排了随机数学的几门重要课程。

高中生物学课程应提高基本科学素养要求

余自强

(温州市教研室浙江温州325000)

摘要　高中生物学课程改革应注意提高基本科学素养要求,一是要增进对科学知识的理解,构建更合理的知识体系;二是要增进对科学过程和方法的理解,重视模型方法和数学方法在探究中的运用;三是要增进对科学、技术、社会三者关系的理解,突出科技意识培养和系统分析能力的发展。

关键词　高中生物学　课程改革　基本科学素养

高中生物学课程改革的目标定位在提高学生的生物科学素养。生物学课程是科学教育领域的一门学科课程,生物科学素养包含着基本科学素养的要求,即对科学知识的理解,对科学过程与方法的理解,对科学、技术、社会三者关系的理解。课程改革应在这3个方面提高要求。

1　对科学知识的理解

从静态上分析,人们一般认为科学是反映客观事物本质和运动变化规律的知识体系,而且一个学科的基本理论体系是相对稳定的。因此,传统的高中生物学课程往往以普通生物学的框架来构建体系。但是,现在必须考虑两个问题。一是现代课程论认为课程体系要反映学科体系,但不等同于学科体系。它除了考虑学科体系外,还要考虑学生的认知发展。课程体系是站在教育的角度看学科,要以提高学生的科学素养为出发点,来开发课程资源,体现教育的价值。二是20世纪后半期发生的“生物学革命”,使生物学的“范式”发生了改变。库恩(T・S・Kuhn)在《科学革命的结构》一书中说:“科学革命以后,教科书和它们提出的历史传统必须重写”(上海译文出版社,1980年,第113页)。科学革命是由科学前沿的新发现和崭新的科学基本概念与理论的确立而导致的科学知识体系的根本变革,应从新的基本概念出发来理解生物学知识。上述两个方面都对高中生物学课程提出了构建更合理的知识体系的要求。

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.

近于1.
请看演示切比雪夫不等式和大数定律
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2， i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi

| } 1
似值.
下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.
定理3（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
辛钦
分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
i=1,2,…，则对任给ε >0 ，
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi

| } 1
请看演示辛钦大数定律
辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.
请看演示定积分的概率计算法
这一讲我们介绍了大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
休息片刻继续下一讲
例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.

概论与统计第一章随机事件及概率

1 两事件对立，必定互不相容，反之不然。
互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念
只适用于两个事件。
这是因为：Ａ＝－Ａ。
样本空间Ｂ
A Ｃ
样本空间
AA
3 两事件互不相容只表明不能同时发生（即：至多只能发生其中之一），但可以都不发生；而对立则表示有且仅有一个发生（即：肯定了至少有一个发生）。
整理课件
件A1,A2,,An的交。记为： A1∩A2∩∩An 或 ∩Ai。
i=1
** 类似地，也可定义无限多个事件的的交 ∩Ai。
整理课件
4.事件的差
事件Ａ发生而事件Ｂ不发生，这一新事件称为事件Ａ
与事件Ｂ的差，记为：Ａ－Ｂ。即：Ａ－Ｂ是把Ａ中属于Ｂ
的元素去掉
注意：一般Ａ－Ｂ=Ａ－ＡＢ
特别地：（1）ＡＢ=φ时，Ａ－Ｂ=Ａ
整理课件
2. 样本空间
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成的集合称为随机试验 E 的样本空间 , 记为 .
例:掷硬币——1={正面，反面}
2 : 0 , 1,2,3
掷骰子——3={1,2,3,4,5,6}
E4 : 呼唤台一分钟内接到的呼唤次数 . 4 : 0 , 1,2, 3,
某灯泡的寿命：Ω5 = {t ：t ≥0｝
了数理统计的基本概念和方法，主要有参数估计、参数假设检验、
回归分析基本知识和原理，使学生对统计学原理的作用有一深刻的

1-1节随机现象和随机试验

一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象随机现象
1.确定性现象
只要条件具备结果就能确定
的现象称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征条件完全决定结果
来自百度文库
2. 随机现象
在相同的条件下可以进行重复观测或试验,所有可能发生的结果已知,但事前不能预知究竟哪一个结果会出现,这类现象称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
确定性现象随机现象一随机现象在相同的条件下可以进行重复观测或试验所有可能发生的结果已知所有可能发生的结果已知但事前不能预知究竟哪一个结果会出现但事前不能预知究竟哪一个结果会出现这类现象称为随机现象
第一章
随机事件及其概率
§1.1 随机现象和随机试验
一、随机现象
二、随机试验
三、小结
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验： 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. 2.“从一批产品中,依次任选三件, 记录出现正品与次品的件数”.
3. 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等

概率论与数理统计第一章教案-知识归纳整理

教师备课纸

第一节随机事件

一、随机现象

在自然界和人类社会日子中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然闪现的现象，称为确定性现象。

例如：(1) 一物体从高度为h （米）处垂直下落，则经过t （秒）后必然落到地

面，且当高度h 一定时，可由公式22

gt h =得到，g h t /2=（秒）。

(2) 异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。…

另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。例如：(1) 在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将闪现正面还是反面。

(2) 未来某日某种股票的价格是多少。…

概率论算是以数量化想法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。

二、随机试验

为了对随机现象的统计规律性举行研究,就需要对随机现象举行重复观察，我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E 。例如，观察某射手对固定目标举行射击；抛一枚硬币三次,观察闪现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验。

随机试验具有下列特点：

(1) 可重复性；试验可以在相同的条件下重复举行； (2) 可观察性；试验结果可观察,所有可能的结果是明确的； (3) 不确定性：每次试验闪现的结果事先不能准确预知。

三、样本空间

虽然一具随机试验将要闪现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一具样本点, 记为e （或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S (或Ω).

知识归纳整理

教师备课纸

反面. 样本空间为S ={正面，反面}或==1

第一章概率论的基本概念

我们通过研究随机试验来研究随机现象
三、样本空间
概率论与数理统计
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成的集合称为随机试验 E 的样本空间 ,记为样本空间中的元素,即 E 的每个结果 ,称为样本点.
.
样本点
集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
概率论与数理统计
例如，试验是将一枚硬币抛掷两次，观察正面 H、反面T出现的情况：则样本空间 Ω={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
概率论与数理统计
概率论与数理统计
课程考核标准
概率论与数理统计
1 平时成绩：30%；期末成绩：70%； 2 考勤：10%；作业：20%
3 期末考试以所授内容为主要依据
பைடு நூலகம்
目录
第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章样本及抽样分析第七章参数估计第八章假设检验
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：
可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的结果进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
概率论与数理统计
例： E1: 抛一枚硬币，观察正面“H” 、反面“T” 的出现情况; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3: 某城市某月内发生交通事故的次数； E4: 掷一颗骰子，可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7: 任选一人，记录他的身高和体重。

概率论与数理统计随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.

第一节随机事件

内容分布图示

★随机现象★随机现象的统计规律性

★样本空间★随机事件

★事件的集合表示

★事件的关系与运算

★事件的运算规律

★例1 ★例2 ★例3

★例4 ★例5

★内容小结★课堂练习

★习题1-1 ★返回

内容要点：

一. 随机现象

从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.

二. 随机现象的统计规律性

由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.

为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.

统计学与现象的随机性问题

杨灿

本文以关于现象的随机性与确定性、客观现象的随机性与数据观测的随机性等范畴的辨析为基础，论述了统计学的对象和方法等问题。认为：现象的随机性是普遍存在的，但统计观测所得到的

数据是否带有随机性影响却与获取数据的方式有关；在统计研究中怎样使用带或不带随机性影响的

数据，又取决于问题的性质或分析的目的。因此，如果承认统计学就是“大统计学”，则其研究对

象就不能仅限于随机性数据，其方法体系也必然是多元的。

关键词随机性确定性统计学

研究统计学的基本理论问题不能回避现象的随机性。关于这个问题存在两种对立的见解：一种认为任何自然或社会现象都是随机的，统计学只须对随机性的数据进行研究，其理论基础是数学中的概率论，其研究手段则是数理统计方法，因而，统计学就是数理统计及其应用；另一种则认为社会经济现象大多是非随机的，社会经济统计学的理论基础不是概率论，数理统计方法也不是研究社会经济现象的主要方法，社会经济统计学与数理统计学之间存在根本性差异。那么，统计学的研究对象是否具有随机性？具有何种类型的随机性？统计观测的结果是否都属于随机性数据？在统计研究中又怎样看待和处理这种随机性？这些疑难问题颇值得深入研究，本文试图就此展开较为系统的探讨。

一、客观实在的随机性问题

所谓“随机性”通常是指某种不确定性(当然并非任何不确定性)。用概率论的语言来说，如果某个“事件”在一定的条件下可能发生、也可能不发生，那么它就是一个“随机的”事件。抛一枚硬币可能出现正面或反面；检验一批产品，其合格率可能是90％，也可能是95％；乘坐汽车从机场赶到火车站可能需用50分钟，也可能只用了35分钟；某企业或行业一年的产销率可能高达90％甚至100％，也可能只达到80％、70％、60％甚至更低；随着年景的不同，某农场种植某种作物的收获率(亩产)常常出现高低不同的水平，等等。诸如此类的现象，都是客观存在的随机事件的典型实例。与随机事件相对应的就是确定性事件，包括必然事件和不可能事件，而不可能事件实质上也是一种“必然不会发生的”事件。

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率

出现；
❖ 事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。
例：观察181路公交车汕大站候车人数。
={0,1,2,…}；
A={至少有10人候车}={10,11,12,…} A为随机事件，
A可能发生，也可能不发生。
◼ 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
◼ 如果将亦视作事件，则每次试验总是发生，故又称为必然事件。
P
(A)
=
3 8
(2)P(B)
=
C1C1 35 C2 8
=
15 28
53.6%
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N,n N)
解：
P(
Ak
)
=
Ck Cn−k D N −D Cn
,
k
=
0,1,,
n
N
（注：当L>m 或 L<0时，记 CmL=0 ）
例：向上抛出的物体会掉落到地上（确定）打靶，击中靶心（不确定）买了彩票会中奖（不确定）
偶然性
必然性在每次试验前，其结果呈现出不确定性，但在大量重复试验中Байду номын сангаас其结果又具有一定的量的规律性（统计规律性）。
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。

统计规律的特点及应用

统计规律是指在一定条件下，随机现象中存在的一种重复出现的模式或趋势。统计规律的特点包括：可重复性、有限性、数量关系和随机性。应用方面，统计规律在经济、社会、自然科学等领域都有广泛的应用，可以用来解释现象、预测趋势、支持决策等。

首先，统计规律具有可重复性，即在相同条件下，统计现象往往会呈现出相似的规律性。例如，同样的实验条件下，重复多次实验可以得到相似的结果。这种可重复性使统计规律成为一种科学且可验证的方法。在实际应用中，可重复性使得我们可以通过样本数据的观测和分析，推断出总体的特征和规律，从而为决策提供依据。

其次，统计规律具有有限性，即统计现象存在一定的范围和限制。例如，样本数据的抽样必须具有代表性和随机性，才能推广到整个总体。这种有限性使得统计规律具有一定的适用性和局限性。在实际应用中，我们需要注意样本数据是否具有代表性，以及是否符合抽样原则，以确保推断的结果有效和准确。

第三，统计规律存在数量关系，即统计现象的规律性可以用数学模型来描述和表达。例如，马尔可夫链模型可以描述随机过程的转移概率，回归模型可以描述变量之间的关系。这种数量关系使得我们可以通过建立数学模型来预测和解释统计现象，为决策提供科学的依据。

最后，统计规律具有随机性。虽然统计现象存在一定的规律性，但由于个体之间的差异和外部因素的干扰，统计结果往往具有一定的随机性。这种随机性使得我们需要采用概率和推断的方法来对统计规律进行估计和判断。例如，在调查时只能得到部分样本数据，我们通过概率方法可以对总体特征进行推断。