随机现象及其统计规律性解剖

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王松桂、程维虎等-概率论与数理统计(第三版)科学出版社第1章

再如:
测量一件物体的长度，由于仪器或观测者受到环境的影响，每次测量的结果可能有差异，但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值大多落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的可能性越小。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律性”。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值—— 概率。
特别地，称Ω-A为 A 的对立事件(或 A的逆事件、补事件)等，记成 A 。
A就是 A不发生。
例1(续)：A1={1}, B ={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同)
交换律: A∪B=B∪A，AB=BA；结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，
随机现象的特点
• 对随机现象进行观察、观测或测量，每次出现的结果是多个可能结果中的一个， “每次结果都是不可预知的”；但“所有可能的结果是已知的”。
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生具有统计规律性。
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)，但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。如：命中率等。

概率论与数理统计第一章1.1随机事件

事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一个事件，它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重其每种可能的结果出现的频率具有复出现时，
稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象

随机现象的变化趋势

随机现象的变化趋势汇报人：日期:•随机现象概述•随机现象的变化趋势分析•随机现象的预测方法目录•随机现象的决策支持•随机现象的变化趋势对未来发展的影响01随机现象概述定义与特点定义随机现象是指在一定条件下，某一事件的发生与否、出现次数、出现时间、持续时间等结果是不确定的，无法通过一次观察或实验得到确定结果的现象。

特点随机现象具有不确定性、不可预测性、统计规律性等特点。

在一定条件下，随机现象的发生概率是一定的，可以通过大量重复实验来观察其统计规律。

如掷硬币、掷骰子等，其取值是离散的，可以用计数方法来描述。

离散型随机变量如人的身高、体重等，其取值是连续的，可以用概率密度函数来描述。

连续型随机变量随机现象的分类在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，许多现象都是随机现象，如放射性衰变、分子运动等。

自然科学在通信、电子、计算机等领域中，随机现象也经常出现，如信号传输中的噪声、计算机中的随机错误等。

工程与技术在经济学、心理学、社会学等领域中，随机现象也起着重要作用，如股票价格的波动、人类行为的不确定性等。

社会科学随机现象的应用领域02随机现象的变化趋势分析通过拟合一条直线来描述数据的变化趋势，适用于数据呈线性关系的情况。

线性回归分析非线性回归分析时间序列分析通过拟合非线性函数来描述数据的变化趋势，适用于数据呈非线性关系的情况。

通过分析时间序列数据的变化规律，预测未来的趋势。

030201趋势分析方法趋势预测根据拟合的模型，预测未来的趋势。

趋势拟合根据识别的趋势，选择合适的函数或模型进行拟合。

趋势识别通过观察数据的变化情况，识别出数据的趋势。

数据收集收集需要进行分析的数据。

数据预处理对数据进行清洗、整理、变换等处理，以便进行后续分析。

股票价格趋势分析通过对股票价格的历史数据进行趋势分析，可以预测未来的股票价格走势。

气温变化趋势分析通过对气温的历史数据进行趋势分析，可以预测未来的气温变化趋势。

人口增长趋势分析通过对人口的历史数据进行趋势分析，可以预测未来的人口增长趋势。

随机现象及其统计规律性

◎从一个混装有黑白两种颜色球随机现象及其统计规律性
随机试验结果外在表现为随机现象或偶然现象．
的盒子中随机摸球，可能摸出任何随机试验至少有两个可能结果．
务系统(例如超市、火车站、
黑球，也可能摸出白球； 1随机现象及其统计规律性
1、确定性试验和随机试验 ◆随机现象是本门课程的研究对象． ◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动的物体继续作等速直线运动； ◎新生婴儿的性别，可能是男孩，也可能是女孩； ◎将一笔资金用于，其收益分为好、
◆随机现象是本门课程的研究对象．
*
14
二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不担心将来某一天男女比例会严重失调．
*
10
◎将一笔资金用于，其收益分为好、一般、差，出现各种结果皆有可能；
◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2， …，还可能掷出点6；
◎未来一段时间内来到一个服
务系统(例如超市、火车站、
取款机等)的顾客数，可能是0
个，也可能是1个，…，还可能是1000个， …；
*
11
◎射击时弹着点与靶心的距离； ◎某种型号电视机的寿命．
*
15
举例2 一个地区的年降雨量虽然是随机的，有旱涝之分，但能够几乎肯定的是，如果连续考察若干年，其年均降雨量只能在某一个较小范围内变化．
*
16
随机现象是不是没有规律可言? 否！
任何随机试验至少有两个可能结果．
在随机试验的所有可能结果中，单就一次随机试验而言，可能出现这种结果，也可能出现那种结果，但“大数次”地重复这个试验，其结果会遵循某种规律性．也就是说，偶然中蕴藏着必然．

概率论与数理统计

一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质：频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子，如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”，掷一骰子，则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并）事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然，显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An，构成一个 L 类似地，完备事件组，完备事件组，如果满足：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律事件运算满足下列运算：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取颜色全不同” = 三次抽取相容颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取颜色全同” = 三次抽取颜色不全同” 颜色不全同” 不相容，不相容，对立三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取无红色球” = 三次抽取无黄色球” 无黄色球” 相容三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立三次抽取, = 三次抽取无白色球” 不相容，

专升本高数第一轮--第五章--概率论初步

解设A {一级品}, B {合格品} 80 (1) P( B) 0.8 100 (2)因凡是一级品必是合格品, 所以AB A, 则P( AB) P( A)
0.3, 故
P( AB) 0.3 P( A | B) 0.375 P( B) 0.8
例3 假设我国人口中能活75岁的概率为0.8,活到100岁以上的概率为0.2.有一个已经活到75岁的老人,问能活100岁以上的概率.
定理1 若事件A与B相互独立, 则事件 A与B, A与B, A与B相互独立.
例3 某企业招工时需要进行三项考核,这三项考核的通过率分别为0.6,0.8,0.85,求招工时的淘汰率.
解设A, B, C分别表示通过一, 二, 三项考核, 它们是相互独立的, 事件
ABC表示被录取, 而 ABC表示被淘汰, 则有
概率并无影响,即
P( B | A) P( B)
一般地, 事件A, B满足条件 P( AB) P( A) P( B) 那么称事件A与事件B是相互独立的事件 . A与事件B相互独立, 则有 P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
可以把两个事件的相互独立怀推广到有限个事件的情形,即如果事件A1 , A2 ,, An相互独立, 则有P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) (!反之不成立)
第五章概率论初步
第一节随机事件
一、随机现象与随机试验在自然界和生活中发生的种种现象,按其发生的可能性来划分,大体上可分为两类:一类称为必然现象,即在一定条件下某种结果必然会发生;另一类称为随机现象,即在一定条件下,某种结果可能会生,也可能不发生.
例1 用手向上抛一块石子,必然下落. 例2 纯水在一个大气压下,100C时必然沸腾. 例3 向桌面上抛掷一枚硬币,可能性(有国徽的一面)向上,也

究随机现象的统计规律性的数学理论和方法-随机数学简介

随机数学简介随机数学是描述和研究随机现象的统计规律性的数学理论和方法随机现象是最早被关注的一种不确定现象。

数学家在400多年前开始研究赌博现象，由此形成了概率的早期概念乃至古典概率论(大部分同学在本科学过古典概率论)，一批数学家对此作出了贡献。

到19世纪末，数学的发展要求对古典概率论的逻辑基础（象微积分一样）作出严格化。

做出概率严格化第一步的有伯恩斯坦，布雷尔等人，尤其是布雷尔，作为测度论的奠基者，首先指出将测度论方法引入概率论的重要性。

布雷尔的工作激起了数学家沿着这一新方向探索的行动。

其中，原苏联数学家哥尔莫戈罗夫在上世纪30年代前后的工作最杰出，他推导了弱大数定理和强大数定理的最一般的结果，在这些研究中，与可测函数论的类比起了极重要的作用，这成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。

由此，现代概率论与随机过程理论建立在一个坚实的基础上。

直到上世纪60年代，第二种不确定现象——模糊现象才被认识到并系统地加以研究，形成了模糊数学。

不确定数学和确定数学（又称为经典数学）在逻辑上存在两大区别：一是经典数学属于{0， 1}二值逻辑，而不确定数学则属于[0，1]无限逻辑；二是确定数学满足形式逻辑的四大定律，而不确定数学不满足其中的排中律。

随着数学和整个科学的现代化进程，具有种种不确定性的现象不断发现，从而发展成有关的理论。

例如，混沌理论，耗散理论，非线性理论，计算复杂性中的P = ？NP问题等，它们的共同逻辑特征都不属于典型的形式逻辑范畴，“四大定律”不完全满足。

现在统称这些领域为复杂性数学。

这样，不确定数学现在包括随机数学，模糊数学和复杂性数学。

我们在研究生数学课程体系中集中安排了随机数学的几门重要课程。

随机数学一般被认为由概率论，随机过程，数理统计，时间序列分析，多元统计分析等分支组成（它们自己分成程度不同的课程），这些分支还与其它学科结合，构成了很多应用性很强的学科，如随机运筹学等，包括排队论，Markov 决策论，库存论等。

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.

大数定律与中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币正面出现频率
生产过程中的字母使用频率废品率
……
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi)
近于1.
请看演示切比雪夫不等式和大数定律
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2， i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi

| } 1
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0， lim P{| Sn p | } 1
n
n
或 lim P{| Sn p | } 0
n
n
任给ε>0， lim P{| Sn p | } 0
n
n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数
≤K，i=1,2, …，则对任意的ε>0，
切比雪夫
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi

1 n
n i1
E(Xi)
|
}1
证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 2，
则对于任给 >0,
P{|
X

第一章--随机事件及其概率PPT课件

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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件）随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规律性).
或：随机试验结果的一种描述或：关于试验结果的一个命题用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件事件必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃李以泉丁碧文杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊，他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次事试件验m 中次 ,则发比生
m称为随机事 A的件相对频率(简称频率). n

第一章随机事件及其概率

2017年3月4日 19
Ａ∩Ｂ是由Ａ与Ｂ中公 3. 事件的交（积）共的样本点构成. “ 两事件Ａ与Ｂ都发生 ” 这一事件称为事件Ａ与Ｂ的交（积）.
样本空间 A
记为：Ａ∩Ｂ或ＡＢ.
A ∩ B
B
例如：掷一枚骰子，A ={奇数点}，B={点数小于4}.
则Ａ∩Ｂ={1, 3, 5}∩{1, 2, 3} ={1， 3} 注意Ａ∩ＢA，Ａ∩A=A，Ａ∩ Φ = Φ ，Ａ∩ =A .
2017年3月4日
20
*事件的并的推广 “n个事件 A1,A2,,An 中至少有一个发生” 这一事件称为事件A1,A2,,An的并.记为： A1∪A2∪∪An 或 *事件的交的推广 “n个事件 A1,A2,,An 都发生” 这一事件称为事件 A1,A2,,An的交.记：A1∩A2∩∩An或
25
注（1）对立事件是相互的:A是A 的对立事件，A也是A 的对立事件，即： A A （2）一般 A – B = A-AB = A B （3）对立事件与互不相容事件的联系与区别两事件对立，必互不相容，反之不然. A与B对立 AB= Φ且 A∪B=Ω 如 : 掷一枚骰子 ,A={ 偶数点 },B={ 奇数点 },C={小于 5 的奇数点}. A与B对立
试验1的结果是确定性现象，试验2的结果就是随机现象.
2017年3月4日 9
确定性现象与随机现象
确定性现象:在给定条件下一定发生或一定不发生的现象. 随机现象:在给定条件下可能发生也可能不发生的现象. 例1 (1)早晨，太阳从东方升起； (2)边长为a的正方形的面积为a2 ； (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球；
2017年3月4日 13
随机事件的分类：
（1）基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果. （2）复合事件：由若干个基本事件构成的事件. （3）必然事件：每次试验中一定发生的事件，用Ω表示. （4）不可能事件：每次试验中一定不发生的事件，用Φ表示.

随机现象与统计规律

其概率意义是：事件 A1,A2,,An 至少发生一个。
同理：
Ak
称为可列个事件
A1,A2,, 的和事件。
k 1
3 事件的交 AB xx A 且 x B
称为事件 A 与事件 B 的交事件, 记作AB.
n Ak
称为n个事件 A1,A2, ,An 的积事件.
k 1
Ak
k 1
称为可列个事件 A1,A2,, 的积事件.
Ω 4：{0，1，2，3，... ，} E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
Ω 5：{t t 0} E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
Ω 6：{x (,y)T 0xyT 1}
x 表示最低温 y 表度示，最高温度
设这一地区的小温于度 T0 ，不不会会大 T1 于
E7：记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 Ω 7：{n i i0,1,2,..,.10n0 },其 n 中为小班
例： E1：抛一枚硬币，观察正面H（有币值的一面）反面T出现的情
况。 Ω 1：{H，T}
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况。 Ω 2：{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
E3：抛一枚骰子，观察出现的点数。 Ω 3：{1，2，3，4，5，6} E4：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。
§2 样本空间与随机事件
一、随机试验
随机试验（试验）:
为了对随机现象加以研究所进行的观察或实验（记作：E）。
特点：
1 在相同条件下重复地进行；
2 试验的结果不止一个，并且试验所有可能的结果
3
事先是确定的；
3 进行一次试验, 试验之前不能确定哪一个结果会出现。

概率论与数理统计第1章

17
例5：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令A、B、C分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖事件，试用A、B、C表示下列事件： (1) 第三次未中奖； (2) 只有第三次中了奖； (3) 恰有一次中奖； (4) 至少有一次中奖； (5) 不止一次中奖； (6) 至多中奖两次。
18
§1.3 概率的古典意义
例2： A1 ＝“2个样品中有一个次品”； A2 ＝“2个样品全是次品”； B ＝“2个样品中至少有一个次品”, 求 A2 , B。
16
例3：p.11，第3题。
例4：掷骰子，A=“掷出奇数点”；B=“点数不
超过3”；C=“点数大于2”；A D=“A C掷出5点”。
求 A∪B；B∪C；AB；BD；；； A－B；B－A。
26
2、具体例子 ⑴ 设有20个某种零件，其中16个为一级品， 4个为二级品，现从中任取三个，求： ① 只有一个一级品的概率； ② 至少有一个一级品的概率。
⑵ 从0、1、2、3这4个数字中任取3个进行排列，求“取得的3个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。
27
⑶ 一口袋中有5红2白7个球，从袋中任取一
2
例1：判断下列现象为随机现象还是决定性现象？ (1) 扔一枚分币； (2) 从93个产品（其中90正3次）中抽取一个产品； (3) 在标准大气压下将水加热至100℃必沸腾；
(4) 火箭速度超过第一宇宙速度就会摆脱地球引力而飞出地球。
3
二、随机试验与样本空间定义：概率论中将对随机现象的观察或为观察随机现象而进行的试验称为随机试验，它应具备以下三个特征： ⑴ 每次试验的可能结果不止一个，且事先明确知道试验的所有可能性结果。 ⑵ 进行试验之前不能确定哪一个结果会发生。 ⑶ 试验可以在相同条件下重复进行。随机试验简称试验，用英文字母E表示。 4

概率论第一章概率论的基本概念 PPT

试验者
n
nA
fn (A)
德.摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
K.皮尔逊
12000
6019
0.5016
K.皮尔逊
24000
12012
0.5005
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有
放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。
事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。
如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。
两个特殊的事件
必然事件：Ω；不可能事件：φ.
既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。
如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差；
E6: 在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。
1.1.3 随机事件与样本空间
v样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间, 记为Ω. v样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
例1-2：
分别写出例1-1各试验 Ek 所对应的样本空间

1.1 随机现象与统计规律性

举例
随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具
有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象
统计规律性的一门数学学科.
概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，产品的抽样调查，例如天气预报、地震预报、在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 概率论在生活中的应用？？？
第一章随机事件与概率
第一节随机现象及其统计规律性
一、概率论研究的对象及应用二、随机现象三、随机试验
概率论研究什么？
确定性现象
自然界和社会非确定性现象（偶然现象）（随机现象）
上的现象
1.确定性现象
2.随机现象
为随机现象.
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
举例
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称
10个10分----100分
4个10分，6个5分----70分
3个10分，7个5分----65分 2个10分，8个5分----60分
9个10分，1个5分----95分
8个10分，2个5分----90分 7个10分，3个5分----85分
1个10分，9个5分----55分
10个5分----50分 0.178 85或65
免费摸奖
袋中装入20个乒乓球，10个乒乓球上贴上5分标志，
另10个贴上10分标志。从中摸出10个球出来，根据无奖分数总和领取奖品。
10个10分----100分 9个10分，1个5分----95分 8个10分，2个5分----90分 7个10分，3个5分----85分 6个10分，4个5分----80分 5个10分，5个5分----75分 4个10分，6个5分----70分 3个10分，7个5分----65分 2个10分，8个5分----60分 1个10分，9个5分----55分 10个5分----50分买产品其它都有奖！！

概率论与数理统计随机事件与概率随机事件

概率论与数理统计第1章随机事件与概率第1讲随机事件第一讲随机事件随机现象随机现象的统计规律性随机试验如何研究随机现象的规律性？概率统计的研究对象概率统计的研究内容全概率统计的研究方法本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算随机现象的规律性是通过大量试验呈现出来的，为了研究这种规律性，我们需要对随机现象进行调查、观察或试验.这类工作我们统称为“随机试验”，简称为“试验”，用E表示.随机试验具有下列三个特点：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有结果明确可知，并且不止一个；每次试验只能出现一个结果，事先不能确定.随机试验具有下列三个特点：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有结果明确可知，并且不止一个；每次试验只能出现一个结果，事先不能确定. 例1给微信好友发消息，观察对方是否回复；检验10件产品，记录其中的次品数；调查某收银台一天内使用移动支付的次数；研究某品牌电脑的使用寿命.随机试验E 所有可能的结果组成的集合,记为S 或Ω.E 1给微信好友发消息，观察对方是否回复.E 2检验10件产品，记录其中的次品数.1=S 2=S 样本空间例2{0,1,2,,10}E 4研究某品牌电脑的使用寿命.E 3调查某收银台一天内使用移动支付的次数.3=S 4=S 注研究随机现象时, 第一步就是建立样本空间.{0,1,2,3,}{|0}≥t t本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算随机事件样本空间的子集, 记为A ,B ,…基本事件仅由一个元素(样本点)组成的子集，每次试验必定生.发生且只可能发生一个的结果.复合事件由若干个基本事件组成的随机事件.每次试验必定不发生的事件，记为每次试验必定发生的事件，即样本空间S . 必然事件不可能事件∅=A =B =C =D 抛骰子例3.AS文氏图(Venn diagram)在一般情况下，事件的关系是怎样的呢？事件是样本空间的子集，因此，事件的关系和运算与01随机事件集合的关系和运算是完全相似的. 要学会利用概率论的语言来解释这些关系及其运算.这里需要强调的是，本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算A=BSAB它表示事件A 发生，则事件B 一定发生.它表示：事件A 与事件B 的样本点完全相同.().⊂⊃A B B A 包含关系如果事件A 的样本点都在事件B 中，则称事件A 包含于事件B .抛一枚骰子中的随机试验中=A例4相等关系=B{2}，A B⋃ 事件的和(并)考察某同学期末考试的成绩情况.=A 例5事件A 与事件B 的样本点合在一起构成的事件.它表示：“事件A 与事件B 至少有一个发生”.A B ⋃=BA ABS=B推广推广它表示英语、高数至少有一门及格.1=ni i A 至少有一个发生.表示12,,,n A A A 1∞=i i A 同时发生.表示12,,A A它表示英语、高数两门课都及格.A B AB⋂或事件的积(交)表示事件A 与事件B 共有的样本点构成的事件.考察某同学期末考试的成绩情况.A = 例5它表示：“事件A 与事件B 同时发生”.AB =B=推广推广1=ni i A 12,,n A A A 表示同时发生.1∞=i i A 12,,A A 表示同时发生.A B- 事件的差由属于A 但不属于B 的样本点构成的事件.A =考察电视机的使用寿命t (:h) 例4它表示：“事件A 发生而事件B 不发生”.B =A B -=SBA -A B{t |t 3000}.>{t |t 10000}≥，{t |3000t 10000}<<，互不相容（互斥）若事件A ，B 不能同时发生.即考察电视机的使用寿命t (:h)A = 例5B =ABS则事件A 与B 互不相容. 对立事件（逆事件）"A∩B=Φ".则称事件A 与B 互不相容.对于事件A ，由所有不包含在A 中的样SAB A=本点所组成的事件称为A 的对立件，{t |t 3000}>，{t |t 10000}≥，记对应事件运算集合运算()=A B C ()=A B C 03随机事件的关系和运算运算规律BA ，=AB =A B .BA ()ABC ，()=A B C ().A B C ()().A CBC ()=A B C ()().A B A C (1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：逆交和差=A B 1==ni i A 03随机事件的关系和运算运算顺序括号优先AB ，.A B =A B 1=ni i A ， 1.=ni i A 1==ni i A(4)对偶律：(D.Morgan 律)CAB ABCABC A B C利用事件的关系和运算可表达复杂事件01随机事件的关系与运算例6设A 、B 、C 表示三个事件，利用A 、B 、C 表示下列(1)A 发生, B 与C 不发生.(2)A 与B 发生, C 不发生.(3)A 、B 、C 中至少有一个发生.(4)A 、B 、C 都发生.事件ABC =ABACBCC B A CB AC B A C B A C B A ——A ,B ,C 不都发生.=ABC ⋃⋃A B C03随机事件的关系和运算设A 、B 、C 表示三个事件，利用A 、B 、C 表示下列事件(5)A 、B 、C 都不发生.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生.(7)A 、B 、C 中不多于两个个发生(8)A 、B 、C 中不至少有两个发生.D 如右图所示的电路中,设事件A 、B 、C 分别表示开关a 、b 、c 闭合，用A 、B 、C 表示事件“指示灯亮”及事件“指示灯不亮”. 例701排列及其逆序数解=D设abc=D ().A B C =D ,,则D 发生当且仅当A 及B ∪C 都发生A 发生当且仅当发生或 BC 发生=ABC =ABCABCABCABC A B C ABCABCABC设A ，B ，C 分别表示第1，2，3个产品为次品，例8A B C AB BC CA用A ，B ，C 的运算可表示下列各事件(1)至少有一个次品(2)没有次品(3)恰有一个次品(4)恰有两个个次品()()()ABCABCABC ABCABCABC ABC ABC=(5)至多有两个次品(考虑其对立事件)ABC =第1讲随机事件这一讲我们学习了随机事件以及事件间的关系与运算，利用这些关系与运算，我们可以用简单事件去表示复杂事件，从而利用简单事件的概率得到复杂事件的概率.下一讲我们介绍一类简单概率模型——古典概型.学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

202随机现象生物统计学

样本 Sample 总体中随机抽取的部分观察单位集合
样本含量样本包含的观察单位数统计量描述样本数字特征的指标样本的要求来自同质总体
随机抽样足够的样本含量
火烧辨别真假钱
真-黑；假-灰
抽样研究目的用有限的样本信息去推断总体特征! 抽样方法随机抽样
➢ 建立在概率论与数理统计基础上的样本获取方法 ➢ 保证推断结果具备确定的把握程度/准确程度抽样误差因抽样研究所引起的误差 ➢ 由于变异的存在，从同一总体中抽取的随机样本，
0-2
随机现象
绪论
特征与规律
（1）自然界的两类现象必然来自现象➢在一定条件下必然发生
条件给定，结果确定！ ➢在地球上，上抛的石子必然下落！
随机现象
✓抛掷一枚硬币徽面 /币额面? 某一次抛掷：究竟出现什么结果，抛掷前无法预先确定！
✓同种疾病患者统一治疗方案下的疗效：痊愈/显效/无效?
（2）随机现象的特征
同质基础同地区、同年龄、同为健康儿童
总体的类型
• 无限总体 infinite population 特定时空范围内的同质观察单位数无限不可能直接研究每个观察单位
• 有限总体 finite population 不可能/不必要研究所有观察单位
抽样 Sampling
从总体中抽取部分观察单位进行研究！
相同条件下重复试验每次的结果不尽相同某一次试验事先无法确定究竟出现哪种结果？大量重复试验结果呈现一定规律性
随机现象在大量重复试验/观察中呈现统计规律性
（3）同质与变异
相同条件下的试验结果不尽相同
➢ 随机现象的基本属性
➢ 同质基础上各观察单位间存在差异变异 Variation
➢ 同性别/年龄/民族/地区健康儿童身高/体重 ➢ 同病种/病程患者使用同一疗法的疗效 ➢ 变异是统计研究的前提无差别，分析一个就够！

概率论f(x)和f(x)_解释说明以及概述

概率论f(x)和f(x) 解释说明以及概述1. 引言1.1 概述概率论是数学中一门重要的分支学科，研究的对象是随机现象及其规律性。

概率论作为一种量化风险与不确定性的工具，被广泛应用于统计学、金融工程、物理学、生物学等领域。

其中一个核心概念就是概率密度函数f(x)和累积分布函数F(x)。

1.2 文章结构本文将会探讨概率论中的f(x)和其解释说明，并对其进行概述。

文章将分为五个部分：引言、概率论f(x)、f(x)解释说明、概述f(x)以及结论。

以下将逐步展开对这些部分的内容进行详细介绍。

1.3 目的本文旨在深入了解和解释概率论中f(x)的相关知识和应用场景。

通过阐述基本定义和性质，我们可以更好地理解f(x)在数学中的作用和重要性。

同时，我们还将探讨常见数学函数分类并举例说明，在实际问题中如何运用f(x)进行建模和预测。

此外，我们还将回顾f(x)在历史上的发展轨迹以及它对经典与现代概率理论的影响。

最后，我们将总结文章的主要观点、展望未来相关研究，并归纳出本文的意义和价值。

以上是对文章“1. 引言”部分的详细内容进行清晰撰写的回答。

2. 概率论f(x)2.1 定义和基本概念概率论中的f(x)是指一个随机变量X的概率分布函数或者密度函数。

这里，X代表了某个随机事件的结果，而f(x)则描述了X取特定值x的概率。

在概率论中，我们定义了两种类型的随机变量：离散型和连续型。

对于离散型随机变量X，其概率分布可以由一个概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）来表示，记作P(X = x)，其中x为可能的取值。

对于连续型随机变量X，其概率分布可以由一个概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来表示，记作f(x)。

2.2 概率分布函数与密度函数2.2.1 概率分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）对于一个随机变量X，它的概率分布函数F(x)定义为X ≤x 这一事件的概率：F(x) = P(X ≤x)CDF是一种累积性质的函数，在任意实数点x上单调不减且右连续。

1-1古典概率

结论：占星术是伪科学.
课堂练习：p28. 8
解答: n 64 1296
1 p 1 1296
2 n2 P64,
p P64 5 1296 18
第一章随机事件与概率
概率论: 研究随机现象的统计规律性的一个数学分支. 评价: 生活的真正指南. 例: 亲子鉴定. 若鉴定为无血亲关系, 正确率100%. 若鉴定为有, 则为99.93%.
确定性现象: 有确定的变化规律, 重复一组相同的条件, 其结果是肯定的, 事前是可以预言的.
如: 抛掷一枚硬币必定下落.
每次试验中可能发生也可能不发生.
在所有的事件中, 有两个特殊的事件, 分别称为必然事件和不可能事件.
必然事件 certain event 不可能事件 impossible event
注: 严格来讲, 必然事件与不可能事件反映了确定性现象, 可以说它们不是随机事件. 但是把它们作为随机事件的两个极端情形而加以考虑, 则不但合理, 也为今后的研究提供了方便. 从集合论角度理解, 全集与空集也是子集.
不相同的概率就可以从上面的公式中得以计算.此时取
N 365, 相应的概率为 P C33n6655nn!.
反之, 班中至少有两个人同一天生日的概率为
P 1 C33n6655nn!.
下表给出了当 n取不同值时的概率分布情况:
n 20 30
40
50
64
100
P 0.441 0.706 0.891 0.970 0.997 0.99999
随机现象: 事前不可预言, 重复一组相同的条件, 每次结果未必相同, 事前不能预言将出现哪一个结果. 就一次试验而言, 时而出现这个结果, 时而出现那个结果, 呈现出一种偶然性.

医学统计工作的基本步骤

*医学统计工作的基本步骤1设计主要指统计设计，是影响研究能否成功的最关键环节，是提高观察或实验质量的重要保证。

内容包括对资料搜集，整顿和分析全过程的设想与安排。

实验设计的三大原则：随机化，重复，对照。

2搜集资料：目的指应采取措施使能取得准确可靠的原始数据。

来源：统计报表，工作记录，专题调查或实验研究，统计年鉴和统计数据专辑。

要求：随机性和样本含量足够大3整顿资料：将原始数据净化，系统化和条理化，为下一步计算和分析打好基础过程。

4分析资料：在表达数据特征的基础上，阐明事物的内在联系和规律性，包括两方面：统计描叙和统计推断17均数的可信区间与参考值范围的区别均数的可信区间与参考值范围的区别主要体现在含义，计算公式和用途三个方面的不同。

（1）意义：均数的可信区间是按预先给定的概率，确定的未知参数的可能范围。

实际上一次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数，要么不包含。

但可以说：该区间可多大（如当a=时为95%）的可能包含了总体均数。

而参考值范围是指'正常人’的解剖，生理生化某项指标的波动范围。

均数的可信区间计算公式（1）。

未知：X土指均数可信区间的用途：估计总体均数，参考值范围是指判断观察对象的某项指标是否正常。

7.假设检验与区间估计的关系：置信区间具有假设检验的主要功能；置信区间在回答差别有无统计学意义的同时，还可以提示差别是否具有实际意义；假设检验可以报告确切的P值，还可以对检验的功效做出估计。

1.标准差与标准误的区别：标准差是衡量观察值的离散趋势，描述正态分布资料的频数。

标准误是样本均数的变异程度，表示抽样误差的大小，用于总体均数区间估计。

两者联系：两者都是变异指标。

在样本含量一定时，S越大标准误也越大，即在抽取相同例数的前提下，标准差越大，抽到的样本均数的抽样误差也越大。

值和a：P值时从样本求得H0条件下随机抽样得到目前的统计量以及更极端统计量的概率，反映样本信息是否支持H0,也反映做出拒绝或不拒绝H0决定的理由充分程度。