2020版数学人教A版必修3学案：第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 Word版含解析

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．知识点一 众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数．思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示． s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ， mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a . (2)设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则 ①s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； ②数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； ③数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2；④数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差也为a 2s 2，标准差为as .1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( √ ) 4．一组数据的标准差不大于极差．( √ )题型一 众数、中位数、平均数的计算例1 (1)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( ) A ．85,85,85 B ．87,85,86 C ．87,85,85D ．87,85,90(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,8 答案 (1)C (2)C解析 (1)平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85.(2)结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ，所以x ＝5.又乙组数据的平均数为9＋15＋(10＋y )＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，所以x ，y 的值分别为5,8.反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)． 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m ，1.70m,1.69m. 题型二 标准差、方差的计算及应用例2 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 解 (1)x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， x乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)． (2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2. (3)x甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．又s 2甲＞s 2乙说明甲战士射击情况波动比乙大．因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛． 反思感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100； x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100； s 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定．频率分布直方图与数字特征的综合应用典例 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数． 解 (1)知众数为70＋802＝75.(2)设中位数为x ，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x －70)，所以x ≈73.3. 引申探究1．若本例条件不变，求数学成绩的平均分． 解 由题干图知这次数学成绩的平均分为40＋502×0.005×10＋50＋602×0.015×10＋60＋702×0.02×10＋70＋802×0.03×10＋80＋902×0.025×10＋90＋1002×0.005×10＝72.2．本例条件不变，求80分以上(含80分)的学生人数． 解 [80,90)分的频率为0.025×10＝0.25， 频数为0.25×80＝20.[90,100]分的频率为0.005×10＝0.05， 频数为0.05×80＝4.所以80分以上的学生人数为20＋4＝24.[素养评析] (1)利用频率分布直方图估计总体数字特征 ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．(3)在解决本题时，需要选择运算方法，掌握运算法则，求得运算结果，并根据结果进行合理推断，获得结论．这些都是数学核心素养的内含所在.1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A．19 B．20C．21.5 D．23答案 B解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是()A．中位数可以准确地反映出总体的情况B．平均数可以准确地反映出总体的情况C．众数可以准确地反映出总体的情况D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况答案 D3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 答案 D4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关 答案 B解析 由茎叶图知，a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，故选B.5．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________． 答案 16解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8， 可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16.1．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性． 3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.一、选择题1．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A．323432 B．334535C．344532 D．333635答案 B解析从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32,34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是35.2．某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：则次品数的平均数为()A．1.1B．3C．1.5D．2答案 A解析设数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.3．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为()A.65 B.65C．2 D. 2 答案 D解析∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴a＋65＝1，解得a＝－1.则样本的方差s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.故选D.4．设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a答案 A解析∵x1，x2，…，x10的平均数x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数y＝110·(y1＋y2＋…＋y10)＝110·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝110·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x＋a＝1＋a，其方差s22＝110·[(y1－y)2＋(y2－y)2＋…＋(y10－y)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.故选A.5．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为()A．62,62.5 B．65,62C．65,62.5 D．62.5,62.5答案 C解析∵最高的矩形为第三个矩形，∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∵0.5－0.4＝0.1，0.10.4×10＝2.5，∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5. 故选C.6．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a答案 D解析 由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b ＝12×(15＋15)＝15，c ＝17， ∴c ＞b ＞a .故选D.7．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 答案 D解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，①(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.8．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ．57.2,3.6 B ．57.2,56.4 C ．62.8,63.6 D ．62.8,3.6答案 D解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．9．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示．若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定答案 A解析 甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，所以x甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81， x 乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8. 所以x 甲＜x 乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定．二、填空题10．一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________．答案 2 2解析 ∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5，解得x ＝3，∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8， ∴此组数据的标准差s ＝2 2.11．如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________．答案 5 甲组解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a 5＝ 76＋85＋89＋98＋975＝89，解得a ＝5. 因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145，s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305， 所以s 2甲＜s 2乙，故成绩相对稳定的是甲组．12．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．答案 5 743解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，∴4＋x 2＝5，∴x ＝6. ∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5， 这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743. 三、解答题13．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？解 (1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得x ＝0.0075，故直方图中x 的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数为220＋2402＝230. ∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5，得a ＝224，即月平均用电量的中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.0125×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240,260)内的有0.0075×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]内的有0.0025×20×100＝5(户)，抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15， ∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户)．14．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s B答案 B解析 由题图知，A 组的6个数分别为 2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254， x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353. 显然x A ＜x B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A ＞s B .15．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．答案 50 1015解析 由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015(小时)．。