第7章 立体表面相交
工程制图立体投影及表面交线课件
正投影法能够保持物体间的相对位置关系，不会改变物体的相对位 置。
易于理解和绘制
正投影法的投影面相对简单，易于理解和绘制。
立体投影图绘制方法
确定投影面和投影方向
首先确定要绘制的立体和投影面，以及投影 方向。
填充阴影
根据立体表面的光影效果，填充阴影，以增 强立体感。
绘制轮廓线
根据立体在投影面上的轮廓，绘制出轮廓线 。
虚拟现实技术在立体投影中的应用
虚拟现实技术是一种模拟真实环境的计算机技术，通过头戴式显示器等设备，使 用户沉浸在虚拟世界中。
在立体投影领域，虚拟现实技术可以用于创建逼真的立体投影效果，使用户能够 更加深入地了解和体验三维空间。
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绘制曲面立体投影图
总结词
掌握曲面立体投影图的绘制方法，包括 圆柱、圆锥和球等基本曲面的绘制技巧 。
VS
详细描述
曲面立体投影图是工程制图中另一种常见 的表达方式，主要用于表达曲面体的形态 和结构。在绘制曲面立体投影图时，需要 掌握圆柱、圆锥和球等基本曲面的绘制技 巧，以及如何将这些曲面进行组合和切割 。同时，需要注意曲面的连续性和光顺性 ，以确保投影的准确性和美观度。
绘制组合体三视图
要点一
总结词
掌握组合体三视图的绘制方法，包括组合体的构成、表达 方法和绘图步骤。
要点二
详细描述
组合体三视图是工程制图中最为复杂的一种表达方式，主 要用于表达由多个基本立体组成的复杂物体的形态和结构 。在绘制组合体三视图时，需要先对组合体的构成进行仔 细分析，选择合适的表达方法，并按照正确的绘图步骤进 行绘制。同时，需要注意各视图之间的投影关系和对应关 系，以确保三视图的一致性和完整性。
7. 平面立体
A′ a
立体表面取点的 步骤﹕ 步骤﹕ AA先由已知点的投性,分析判断该 点所属的表面 表面; 点所属的表面;若该面有 积聚投影, 积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影; 补出点的另一投影;若该 面无积聚投影, 面无积聚投影,则过点在 该面内作一条辅助线, 该面内作一条辅助线,再 于此线上定点, 于此线上定点,并判别可 见性。 见性。
例题
求直线KL与三棱锥的贯穿点 求直线KL与三棱锥的贯穿点 KL
l′
k′ l
k
求贯穿点的方法﹕
P
N M K
L
包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截 交线，而贯穿点是直线与截交线的交点。
作图过程： 作图过程： l′
(n′) m′ 1′ 2′ 3′
PV ① 包含直线作辅 助平面 ② 求辅助平面与 立体的截交线 ③ 求上述截交线 与被包含直线的交点 即贯穿点。
例题 求五棱柱的截交线
4′5′ 3′ 6′ 2′ 1′ 1〞 6″ 2″ 5″ 4″ 3″
分析图形
6 5 1 4 2 3
求截交线上的 转折点 依次连接转折点 完成图形
例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。 PV (5′) 3′ (6′) 2′ 1′
1、棱柱上截交线的求法
⑴ 分析
截平面P与六棱柱的六个 棱面都相交,截交线为一 个六边形;截平面P是正 垂面,其正面投影PV有积 聚性,截交线的正面投影 3〞 积聚在PV上,又因为六棱 柱的六个侧棱面都垂直 2〞于水平面,故截交线的水 平投影积聚在六棱柱各 棱面的水平投影上。所 以只需求截交线的侧面 投影。
求平面立体截交线的方法
• 交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再 按一定的连线原则将交点相连，即得截交线。 • 交线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即 得截交线。 • 交点连成截交线的原则是：位于立体的同一表 面的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。 位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线， 位于不可见平面的截交线为不可见线，画成细 虚线。
机械制图 同济大学 上海交大 第7章部分课件
分析: P面与三个面交,Q面与两 个面交,R面与三个面交.
作图: 一、截平面与棱面的交线. 1.P面(3条12,13,24) 2.Q面(2条35,46) 3.R面(3条57,68,78); 二、求截平面间交线2条 三、整理轮廓线。 2 P 4 8 6
8 6
4 2 1 3
7
5
R
7
Q
3
1
类似四棱锥，但棱线不交于点
2
4 1
3
3. 求截交线的步骤：
1）.求截平面与各棱面的交线（红色，即求各边顶点）。
2）.求相邻两截平面之间的交线（黄色）。
18
*例 求做三棱锥被切割后的投影
1.分析：两截平面分别与前后两个 面交，共一个边（两个三角形，， 134，234）。 2.作图： 求截平面与棱线的交点1、2，截 平面之间的交线端点34。 判断可见性连线并处理轮廓线。
2’
2”
1’ 3’(4’)
4”
1”
3”
4 1 2
2
4 1
3
3
整理图线时注意 补齐截平面之间 的交线和棱线
19
举例：P14-4:上下底面水平矩形，左右棱面正垂面， 前后棱面侧垂面，补全H、W面。
1’(2’) 2’’ 1’’
PV
RV
7’(8’)
QV
5’(6’)
4’’ 3’(4’) 8’’6’’
3’’ 5’’ 7’’
3 4 1 2
2.作图：先画出八棱柱的水平投影， 再求截交线（八边形——即求P面与棱 线的8个顶点——知二求三）。
3.判断可见性连线并处理轮廓线（棱线）
4.检查截交线的投影 类似形
30
例6：求正垂面截切五棱柱后的 投影，并求出断面真形。
画法几何与土木建筑制图 第7章 立体
a
3. 正棱锥体表面上取线
s
5 6 4
s
(5) 6
4
b
a c
b (c)
a
b
c
4s 5
6
a
二、 曲面立体投影特性与表面取点和线
（一）圆柱体
1. 圆柱体的形体特点
V
圆柱的上顶面及下底
面平行于水平面,水
平投影为圆。
侧面投影和正面投影
最右素线
为矩形。 最左（右）素线：正
最左素线
最前素线
面投影的分界线； 最前（后）素线：
（二）求解步骤 ⒈ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
★分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相
对位置。
●分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类似性 等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
◆先找特殊点（圆锥\圆柱外形素线、 球体转向线上的点和极限位置点 (最高\最低)）。
Ⅰ
问题:过球表面上
的点可作几个与投
影面平行的圆？
Ⅰ
a’
a”
a”
a
求圆球表面上
线的W和H面
投影。
a
7.2 立体的截交线
一、 平面立体的截交线
（一）基本概念
截断面 截交线 截断体
截平面 —— 用来截断形体的平面。 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 截断面 —— 由交线围成的平面图形。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
6
（5） 4
1
2 （3）
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ Ⅲ
ⅠⅡ
高考数学第七章立体几何第三节空间点线面之间的位置关系教案高三全册数学教案
第三节 空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．[小题体验]1．(2019·湖州模拟)已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α解析：选A 由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选A.2．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．[小题纠偏]1．(2018·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．2．(2019·杭州诊断)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题有( )A．①②B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选A ①可以根据直线与平面垂直的性质定理得出；②可以根据三垂线定理的逆定理得出；对于③，n可以在平面α内，故③不正确；对于④，反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故④错误．故选A.3．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D ①中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；④中这三个公共点可以在这两个平面的交线上．故错误的是①③④，正确的是②.所以正确命题的个数为1.考点一平面的基本性质及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．[由题悟法]1．点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．[即时应用]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[由题悟法][即时应用]1．上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB 是异面直线的有________条．解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④考点三异面直线所成的角重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C 法一：如图，将长方体ABCD A 1B 1C 1D 1补成长方体ABCD A 2B 2C 2D 2，使AA 1＝A 1A 2，易知AD 1∥B 1C 2，所以∠DB 1C 2或其补角为异面直线AD 1与DB 1所成的角．易知B 1C 2＝AD 1＝2，DB 1＝12＋12＋32＝5，DC 2＝DC 2＋CC 22＝12＋232＝13.在△DB 1C 2中，由余弦定理，得cos ∠DB 1C 2＝DB 21＋B 1C 22－DC 222DB 1·B 1C 2＝5＋4－132×5×2＝－55， 所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 法二：以A 1为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，则A (0,0，3)，D 1(0,1,0)，D (0,1，3)，B 1(1,0,0)， 所以AD 1＝(0,1，－3)，DB 1＝(1，－1，－3)，所以cos 〈AD 1，DB 1〉＝AD 1·DB 1|AD 1|·|DB 1|＝0×1＋1×－1＋－3×－32×5＝55.[由题悟法]1．用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．有关平移的3种技巧求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：(1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．[即时应用]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．242解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2.在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝22＋222－322×2×22＝78.答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n ⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行解析：选D 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2 AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75° D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C ⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ， 所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.答案：29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值．解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22，又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26，∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴VA 1ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863. (2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)．∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋262＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414， 即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小．解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ，∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3，∴PA ＝ 32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC .由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点，∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角．∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ，又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB . ∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°.故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12，32， 设异面直线PB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22， ∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ，所以平面PB Q ∥平面AEF .又因为B Q ⊂平面PB Q ，所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
两立体表面相交
动画
辅助平面法求锥面和球面的交线
4、相贯线的特殊情况 相贯线的特殊情况
两回转体共轴线相交: 两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是 平面曲线——圆。
圆柱与圆锥共轴
圆柱与球共轴
圆锥与圆球共轴
特殊情况下,相贯线为平面曲线或直线 特殊情况下 相贯线为平面曲线或直线. 相贯线为平面曲线或直线
相贯线为圆 相贯线为直线
a' • •3'4' c'd'
•
a"
•3" 4" • d" • •c" 2" • • •1" b" •
1'2'•• b' 2 d • •• 4 b• •a
• ••3 1c
动画
完成后的相贯线三视图
求一般点 作辅助水平面，与 求特殊点 由于圆柱和球下面 分析：圆柱轴线不能过球心， 圆柱交线的水平投影都积聚在 投影的转向轮廓线在同一平面 因此圆柱与球是偏交。圆柱的 3、圆柱与球相交 圆柱水平投影的圆周上，与球 例：求圆柱与球偏交相贯线的正面和侧面投影。 上，交点a'b'是最高和最低点的 轴线是铅垂线，则相贯线的水 交线的水平投影为不同直径的 圆，两个圆的交点为相贯线上 正面投影。作辅助侧平面求出 平投影必积聚在圆柱水平投影 的一般点。 a' 4" 最前、最后点的投影。 的圆周上。 c'd' • • •3" • •a" •c" •3'4' d"• • •1" 2" • b'• 1'2' • b"
内、外圆柱面相交
平面与立体相交PPT课件
垂直相交
总结词
当平面与立体垂直且相交时，称为垂直相交。
详细描述
垂直相交是指平面与立体在空间中垂直且有一个公共点。这个公共点是平面与立 体的交点，也是平面与立体边界线的起点和终点。垂直相交通常发生在平面与立 体的棱线或顶点相交时。
斜交
总结词
当平面与立体不平行也不垂直，且有一个公共点时，称为斜 交。
平面与立体相交ppt 课件
目 录
• 平面与立体的基本概念 • 平面与立体的相交类型 • 平面与立体相交的特性 • 平面与立体相交的应用 • 平面与立体相交的实例分析
01
CATALOGUE
平面与立体的基本概念
平面的定义与性质
定义
平面是指在空间中无限延展、没 有厚度的二维图形。
性质
平面具有无限延展性、无厚度、 可无限分割等特性。
当一个平面与一个立体垂 直时，它们在某个方向上 相互垂直，形成垂直线。
02
CATALOGUE
平面与立体的相交类型
平行相交
总结词
当平面与立体平行且不重合时，称为平行相交。
详细描述
平行相交是指平面与立体在空间中平行且不与立体接触，即平面与立体的边界 线平行且不相交。在这种情况下，平面与立体之间没有公共点。
详细描述
斜交是指平面与立体在空间中不平行也不垂直，有一个公共 点。这个公共点是平面与立体的交点，也是平面与立体边界 线的起点和终点。斜交通常发生在平面与立体在空间中形成 一定的角度时。
03
CATALOGUE
平面与立体相交的特性
相交线的性质
相交线是平面与立体接触的部 分，具有确定的长度和方向。
相交线的位置和数量取决于平 面和立体的形状、大小和相对 位置。
工程图学第7章立体的相贯线
交线为两条平面 曲线（椭圆）
例：补全正面投影
●
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● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
小 结：
无轮是两外表面相贯， 还是一内表面和一外表面 相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是 一样的。
外表面和内表面相交
外表面和内表面相交
挖孔后
切割后
内表面和内表面相交
两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对 大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小变 化时对相贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线(也可不垂 直)的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直 的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。
Pv
1’
2’
Qsvv
3’ (6’) (5’)
4’
1”
Pw
6”
2”
Qw
5”
3”
Sw
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
例4：求两轴线交叉圆柱的相贯线
RW
Y
作图：
4`` 3``
2``
(5``)
(6``) a``
1.求特殊点
垂直圆柱的水平投影中 标注特殊点。先确定转向
(7``) 1`` 轮廓线上的点。
垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线
水平圆柱较大
第7章立体表面相交
第7章立体表面相交
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㈠ 平面立体与曲面立体相贯线的性质
1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线， 相贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的 公有点；
2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成 的空间曲线。
第7章立体表面相交
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㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面 立体表面的截交线，这些截交线即围成所求平面 立体与曲面立体相贯线。
2、棱面交线法 将两平面立体上参与相交的棱面与另一平面立体各 棱面求交线，交线即围成所求两平面立体相贯线。
第7章立体表面相交
返回
㈢ 相贯线的可见性
相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的 可见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上， 则相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可 见，画成虚线。
第7章立体表面相交
相贯线上的转折点是平面立体上参与相交的棱 线与曲面立体的贯穿点。
第7章立体表面相交
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㈢ 相贯线的可见性
相贯线位于平面立体可见棱面上，且同时又位于 曲面立体可见曲面上，则相贯线可见，用实线绘制； 而其它情况下，相贯线均为不可见，用虚线绘制。
第7章立体表面相交
返回
例题
第7章立体表面相交
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【例题1】求两立体表面交线。
2
yy
4 " 3 1" 2 " y y"
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㈠ 两平面立体相贯线的性质
1、相贯线是两立体表面的公有线；相贯线上的点 是两立体表面的公有点。
2、相贯线的形状为封闭的空间多边形。
第7章立体表面相交
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㈡ 两平面立体相贯线的求法
1、棱线交点法 将两平面立体上参与相交的棱线和另一平面立体上 各棱面求交点，然后将位于甲形体同一棱面上，同时又 位于乙形体同一棱面上的两点依次连接起来，即为所求 两平面立体的相贯线。
精品文档-机械制图与CAD(含习题集)(杜淑幸)-第7章
第7章 组 合 体 图7－10 尺寸基准
第7章 组 合 体
3)尺寸标注的基本步骤 对组合体进行尺寸标注时，采用形体分析法可以较好地保 证尺寸标注的完整性。下面以图7－11(a）所示的轴承座为例 来介绍标注尺寸的基本方法步骤。 ①选择尺寸基准。由于轴承座左右对称，故将其对称面选 为长度方向主要尺寸基准，底端面为高度方向主要尺寸基准， 后端面为宽度方向的主要尺寸基准，如图7－11(a）所示。
HB或B 铅笔）。加深时，先加深曲线，再加深 直线段，后加深倾斜线段。加深直线段时应按照一个方向平行 逐步加深。
最后得到的轴承座三视图如图7－7(f）所示。
第7章 组 合 体 7.3 组合体的尺寸标注
1.尺寸标注要求 (1)正确:尺寸标注要符合国家标准有关规定（参见第1 章）； (2)完整:尺寸必须注写齐全，不遗漏，不重复； (3)清晰:尺寸的布局要整齐清晰，便于阅读； (4)合理:尺寸标注要保证设计要求，便于加工和测量。
第7章 组 合 体 图7－4 组合体表面的相对位置及表面连接关系
第7章 组 合 体
2．相交 相交是指两个基本立体表面相交，其交线是它们表面的分 界线，画图时应正确画出这些交线，如图7－4(b）、(d)所示。
第7章 组 合 体
3．平齐 平齐是指两个表面处于同一平面，画图时不应画出它们之 间的分界线。如图7－4(c）所示，该组合体可看成是由上、 下两部分组成，但前后表面处于平齐。 下面以图7－5(a）所示的组合体为例，进一步说明用形 体分析法绘制视图时应注意的问题。图7－5（a）所示组合体 可分解为三个基本形体（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）。形体Ⅱ与形体Ⅲ的上 表面平齐；形体Ⅰ前、后表面与形体Ⅱ的圆柱筒外表面相切， 在该表面连接处切记不应画线。具体画图时，可先画出相切面 有积聚性的视图（俯视图），确定出直线和圆弧的切点，再根 据切点的投影确定出其他的投影；形体Ⅲ的前、后、下表面与 形体Ⅱ（圆柱筒）表面相交，形体Ⅰ的上表面与形体Ⅱ表面相 交，绘制视图时应正确画出其交线。
第七章 平面立体与曲面立体
建筑工程学院 主讲人：许胜才、邱秀丽、韩晶晶
第7章 平面立体与曲面立体
第7章 平面立体与曲面立体
1 2
基本概念
平面立体 曲面立体
3
基本概念
平面立体 表面全是平面的立体。 棱面 平面立体的每个表面 是平面多边形
基本平面立体 棱柱、棱锥
棱线 棱面的交线
平面立体的投影，实 质上是各棱面、各棱 线及各顶点的投影。
画五条棱线 V、W投影
b’
d’ c’ d s c
e” (d”)
a” (c”)
b”
e
a
b
棱锥体投影图作图基本步骤均为底面投影、锥顶的VW投影、棱线的VW投影。
平面立体——棱台体
将棱锥体用平行于底面的平面切割后去上部，余下的部分称为棱台体。
棱台的两个底面为相互平行的相似的平面图形。
V
长
高
W
宽
四棱台的投影图
作平面立体表面上的点和线的投影时， 应遵循点、线 、面、体之间的从属性关系。
顶点 棱线的交点
平面立体——棱柱体
直棱柱
棱线垂直于 底面棱柱
底面
棱柱上平行的上下两个 表面
斜棱柱
棱线与底面 斜交的棱柱
棱柱
棱面
除底面以外的称为棱柱的 侧面或棱面
正棱柱
底面是正多边形的 直棱柱 上下底面平行 棱线互相平行的平面立体
e”(d”)
s”
s” a’ e’
a”(c”)
பைடு நூலகம்b’
d’ c’ d s c
e” (d”)
a” (c”)
b”
C s
e
d B c
b
b”
a H
《立体表面的交线》课件
特性
交线的复杂性、连续性和封闭性 取决于曲面的形状、组合立体的
构成和相对位置。
PART 04
组合立体表面之间的交线
两个平面立体之间的交线
总结词
两个平面立体之间的交线是一条封闭的平面折线或一系列封 闭的平面折线。
详细描述
当两个平面立体相交时，它们会在某些平面上形成交线。这 些交线可以是封闭的折线，也可以是一系列不封闭的折线。 封闭的折线意味着交线的起点和终点在同一点，形成了一个 封闭的图形。
作为交点。
平面与曲面相交
当一个平面与一个曲面在三维空间 中相交时，它们会在曲面上形成一 条曲线作为交线。
曲面与曲面相交
当两个曲面在三维空间中相交时， 它们会在某一点或某一直线上相交 ，形成一条曲线或一个点作为交点 。
PART 02
平面与立体表面的交线
平面与平面立体的交线
总结词
当一个平面与一个平面立体相交时，它们之间的交线是一个或多个平面曲线。
在产品设计中的应用
外观设计
在产品设计中，立体表面的交线用于 描述产品的外观轮廓。通过精确的交 线绘制，可以塑造出流畅、美观的外 观，提升产品的市场竞争力。
结构设计
交线在产品结构设计中起到关键作用 。它描述了各个部件之间的连接关系 ，确保产品在满足功能需求的同时， 具备良好的稳定性和可靠性。
在建筑领域中的应用
性质
立体表面的交线具有方向性、连 续性和几何特性，是立体几何中 的重要概念。
立体表面交线的分类
根据相交的立体表面类型分类：平面 与平面、平面与曲面、曲面与曲面等 。
根据交线的数量分类：单一交线、多 重交线。
根据交线的形状分类：直线段、圆弧 、抛物线等。
土木工程制图第七章截交线与相贯线
d
h
作图步骤：
a n
b
① 在V面投影上确定出控制
截交线的点的投影，a’、b’、
c’、d’’、e’、h’、m’、
n’。
② A、B、C、D、E、H 为特
殊点，可直接作出其另外两面 投影，如图所示。
③M、N 为棱面上的点，可 利用 BN、CM 平行于地面棱线
的性质，求出另两面投影。
土木工程制图
④ 依次连接截交线上各点的同名投影，并判断其可见性，整理如图所示。
土木工程制图
分的析截：交如线图为m 所椭示圆，，a 侧该垂椭n面圆与的圆W a柱投 mn 影积聚在c W 投影面上，其dH 投影 cd 与圆周重合，需要作的是V 面投 影。椭圆的e 投影一b 般仍f 是椭圆。 但长短轴的长度有变化。
a
m
n
c
d
e
f
b
土木工程制图
作图步骤：
① 先求特殊点，即椭圆长短
m c
1
4
② 圆柱面的W 面投影圆周，截交
线上各点的V 面投影，向右作连系线
3
68
直接可得1’’、2’’、3’’、 4’’、5’’、6’’、7’’、8’’
点。
③ 根据这8个点的V、W 投影求出
其H 面投影。
土木工程制图
④ 依次连接截交线各点的同名投影，并判断其均为可见，整理如图如图 所示。
1 3(2)
4 8(7)
7 93
5 1
6
482
1 4(5)
8(9) 2(3)
6(7)
7 93
5 1
6
482
土木工程制图
5 93 7
1 2 48
6
作图步骤：
两立体表面相交-机械制图课件
7
返回
[例题 例题1] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影 例题
解题步骤 1．分析 相贯线为一组闭合折线，相贯线 的正面投影未知，水平投影已知；相贯线 的投影前后、左右对称。
2' 1' 3'
2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等； 3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且 判别可见性； 4．整理轮廓线。
1
圆柱与圆柱（ 的相贯线； 圆柱与圆柱（孔）的相贯线； 与圆柱
圆柱与圆锥的相贯线； 圆柱 与圆锥的相贯线； 与圆锥的相贯线
用积聚性法可求: 用积聚性法可求:
圆柱与圆球的相贯线； 圆柱与圆球的相贯线； 与圆球的相贯线 圆柱与圆环的相贯线。 圆柱与圆环的相贯线。 与圆环的相贯线
24
（2）利用辅助平面法求相贯线
2
返回
3.相贯线的形式——随着立体形状、大小 和相对位置的不同而不同。
3
返回
4
§2 平面立体与平面立体相贯
一、两平面立体的相贯线 两平面立体的相贯线 二、求两平面立体相贯线的方法 三、相贯线可见性的判别原则 四、求两平面立体相贯线的示例
5
返回
二个立体相互贯穿时，其表面的交线称为相贯线。 二个立体相互贯穿时，其表面的交线称为相贯线。 相贯线： 相贯线：
两立体表面相交
§1概述 §2平面立体与平面立体相贯 §3平面立体与曲面立体相贯 §4曲面立体与曲面立体贯
1
§1 概述
1.相贯线——两立体表面的交线。相贯线是两 立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表 面的共有点。 2.相贯线的性质——是两立体表面的共有线， 相贯线上的点是两立体表面的共有点。相贯线 一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组 成）或空间曲线。
立体与立体相交
第7章 立体与立体相交Chapter 7 Intersection of Solids复杂零件往往是由两个或两个以上的立体组成，两立体表面的交线，称为相贯线。
因为立体分为平面立体和曲面立体，所以相贯线又有三种情况：1．平面立体与平面立体相交，如图7-1（a ）所示；2．平面立体与回转体相交，如图7-1（b ）所示；3．回转体与回转体相交，如图7-1（c ）所示。
（a ） （b ） （c ）图7-1 常见立体相贯类型本章主要通过实例介绍两平面立体相交、平面立体与曲面立体相交、两曲面立体相交及求相贯线的方法。
相贯线的性质：1．相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线也就是两立体表面的共有线，具有共有性；2．由于立体有一定的范围，所以相贯线一般是闭合的空间图形，具有封闭性。
既然相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线是两立体表面的共有线，即相贯线上的每一点，既在甲形体的表面上，也在乙形体的表面上。
求相贯线的一般步骤为：（1）根据两相交立体的表面形状不同（平面或曲面），分析相贯线的性质。
平面体与平面体或曲面体相交时的表面交线，组成相贯线的各截交线段都是平面曲线或直线；两曲面立体相交时的相贯线一般是闭合的空间曲线。
（2）选定合适的方法求相贯线上的特殊点和中间点。
（3）根据相贯线的性质依次连线。
（4）判断相贯线的可见性，并补全立体的投影。
本章主要学习任务：1．掌握立体表面相交时交线的作图方法。
2．灵活运用辅助平面法求相贯线。
3．熟练掌握相贯线特殊情况的画法。
117§7-1平面体与平面体表面相交［Intersections of Plane Solids］两平面立体的相贯线一般是空间闭合折线，相贯线上的每一线段是两平面体相应面的交线，而折点则是一个立体的棱线对另一立体的贯穿点。
求作两平面立体的相贯线，通常采用下面两种方法：（1）折点法 即求出甲立体上参与相交的各棱与乙立体表面的交点（即相贯线上的折点），再求出乙立体上参与相交的各棱与甲立体表面的交点，然后顺序地连接各交点，即可得到相贯线。
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二、按要求作图。(4X7分)
d' d' c' e' e'
b'
题号 1 得分
2
3
4
5
6
总分
b'
c'
b' a' a
a'
30°
一、判断题 （12分） a' b' a b c' d' d c d' d b' a b c a' c' b' b a d c
)
c' b' b
45°
a'
a' c' O b' d' b d a c
CDE(
e' e
b'
a' a c b e
a
c a
(5).AB上的C点到V.W (4).AB垂直 面的距离相等( )
b )
c
在ABC平面上取一点，使其距H面20， 距V面15。
已知直线DE平行 ABC,求ABC 平面的V面投影。
2005年下学期画法几何考试试卷（A）
（2）屋檐相交的两屋面必相交成倾斜的屋脊或天沟，称为斜脊和斜 沟。其H面投影为两屋檐的H面投影的夹角平分线。
（3）屋顶上如有两条交线交于一点，至少还有三条交线通过该交点。
P S Q
R
a P
c Q
b
两坡屋顶
四坡屋顶
8 18 78 7 6 67 12 23
1
56
5
2
3 34 4 45
完成同坡屋顶的平面图和立面图，屋面坡度为1：2。
c
在ABC平面上取一点，使其距H面20， 距V面15。
已知直线DE平行 ABC,求ABC 平面的V面投影。
三、已知 ABC为等腰三角形,BC为底边。用线面法和 换面法求 ABC的投影。(2X10分) a' a'
b' b'
五、完成工程形体的三面投影（尺寸由图中量取并 圆整）。(15分)
c' c
c' c b
适用年级及专业：2005级土木工程 考试时间：120分钟 闭卷
二、按要求作图。(4X7分)
d' c'
b'
题号 1 得分
2
3
4
5
6
总分 b' a' a
e' a'
一、判断题 （12分） a' b' a b c' d' d c d' d b' a b c a' c' b' b
) (3).BD属于
a
a'
d' c'
b 六、已知同坡屋顶的坡度为30°，完成同坡屋顶的平 面图和立面图。(15分)
四、求截交线,完成水平投影和侧面投影。(10分)
三、已知 ABC为等腰三角形,BC为底边。用线面法和 换面法求 ABC的投影。(2X10分) a' a'
b' b'
五、完成工程形体的三面投影（尺寸由图中量取并 圆整）。(15分)
试绘制该物体的三视图 相贯线
圆柱体
球体
第7章
立体表面相交
§7－1 两曲面立体相交
§7－2 相贯线的特殊情况
§7－1 两曲面立体相交
一、概
述
二、平面立体与平面立体相交 三、平面立体与曲面立体相交 四、曲面立体与曲面立体相交
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一、概
述
相贯线——两相交立体表面的交线。 相贯线的形状取决于参与相交的两立体的形状和两 立体之间的相对位置。 根据参与相交的两立体不同，相贯线又可分为：
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例
题
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【例题1】求两立体表面交线。
1、空间分析
——相贯线为3条圆
1′ 3′ 2′ 1〞2〞 3〞
弧组成的空间曲线。
2、投影分析
——相贯线的水平
投影落在三棱柱棱 面的积聚性投影上。
1 2
3、投影作图 4、整理轮廓线
3
浏览三维动画
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【例题2】求两立体表面交线
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【例题3】求两立体表面交线
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㈡ 两平面立体相贯线的求法
1、棱线交点法
将两平面立体上参与相交的棱线和另一平面立体 上各棱面求交点，然后将位于甲形体同一棱面上，同 时又位于乙形体同一棱面上的两点依次连接起来，即 为所求两平面立体的相贯线。 2、棱面交线法 将两平面立体上参与相交的棱面与另一平面立体各 棱面求交线，交线即围成所求两平面立体相贯线。
ABC(错 )
b
a' a e b
e
a
a'
d' c'
c d c d
一平面五边形ABCDE的CD边为正 平线，完成其H面投影。
(1).AB平行CD （错 ） （2）.AB垂直CD(错 ) (3).BD属于
已知直线AB为平面ABC对H面的最 大斜度线，且平面的角为30， 求作该平面。
a' a' b' b c' c a d
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㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲 面立体表面的截交线，这些截交线即围成所求平 面立体与曲面立体相贯线。 相贯线上的转折点是平面立体上参与相交的 棱线与曲面立体的贯穿点。
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㈢ 相贯线的可见性
相贯线位于平面立体可见棱面上，且同时又位 于曲面立体可见曲面上，则相贯线可见，用实线绘 制；而其它情况下，相贯线均为不可见，用虚线绘 制。
三、平面立体与曲面立体相交
㈠ 平面立体与曲面立体相贯线的性质 ㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
㈢ 相贯线的可见性
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㈠ 平面立体与曲面立体相贯线的性质
1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线， 相贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的 公有点； 2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成 的空间曲线。
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【例题4】求两立体表面交线
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【例题5】求两立体表面交线
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【例题6】求两立体表面交线
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【例题7】求两立体表面交线
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四、两曲面立体相交
㈠ ㈡ ㈢
两曲面立体相贯线的性质 相贯线的三种形式 两曲面立体相贯线的求法
㈣
㈤
相贯线的可见性
特殊相贯线
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㈠ 两曲面立体相贯线的性质
1、相贯线是两曲面立体表面的公有线，相贯线上的 点是两曲面立体表面的公有点；
2'
PV1 PV2 PV3
6"
5" PW1
4" 8"
2" y y
7"
PW2 3" PW3
1 求出相贯线上的 特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ（ Ⅴ、Ⅵ 点为最右 点）； 2 求出若干个一般 点 Ⅶ、Ⅷ ； 3 光滑且顺次地连 接各点，作出相贯 线，并且判别可见 性, 46153可见，1' 5' 3' 7' 2'可见；
6 5
Δy
7
8
2
1
4
3
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【例题3】求两立体相贯线
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【例题4】求两立体相贯线
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【例题5】求两立体相贯线
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【例题6】求两立体相贯线
P3V
P1V P2V
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【例题7】求两立体相贯线
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【例题8】求两立体相贯线
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【例题9】求两立体相贯线
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【例题10】求两立体相贯线
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【例题11】求两立体相贯线
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【例题3】求三棱锥被截去三棱柱孔后的相贯线。
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同坡屋顶
1、同坡屋顶 对水平面的倾角相同，且房屋四周的屋檐高度相同的屋面所构成的 屋顶，称为同坡屋顶。 已知同坡屋顶的屋檐的H面投影和屋面的倾角，求作屋面的交线来完 成同坡屋顶的投影图，可视为特殊形式的平面立体相贯。 2、屋面交线的投影特性： （1）屋檐平行的两屋面必相交成水平的屋脊，称为平脊。它的H面 投影，必平行于屋檐的H面投影，且与两屋檐的H面投影等距。
1、利用曲面的积聚性，用表面取点法
2、辅助平面法
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㈣ 相贯线的可见性
相贯线处于两个同时可见的曲面上，则相贯 线可见，用实线绘制。
相贯线处于两个不可见的或一个可见、一个 不可见的曲面上，则相贯线均为不可见，用虚线 绘制。
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[例题1]
a' d' c'
求两圆柱的相贯线
b' e' a" b" d" e" c"
分析 图中圆柱与圆锥的轴线正交，圆柱的侧面投影积聚为圆曲线，相贯线的侧面投影重合 在该圆上，由相贯线的侧面投影，作辅助的水平面（如P1面），截圆锥面为水平圆曲线，截圆 柱面为两素线，它们的交点即为相贯线上的点，从而求出相贯线的水平投影和侧面投影。这种 方法就是辅助平面法。
解题步骤
1' 5'6'
1"
4' 3' 8 7' '
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§7－2 相贯线的特殊情况
1、当两曲面体同时内切一个球时，相贯线为平面 曲线——椭圆。
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2、当两回转体同轴时，相贯线为平面曲线——圆
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3、当两曲面体表面为直纹面，且曲面体相交于直 素线时，相贯线为直线段。