1.3 高斯定理

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Gauss定理应用 Gauss定理应用
定理反映了静电场的性质——有源场 有源场 定理反映了静电场的性质 分析静电场问题，求静电场的分布。 分析静电场问题，求静电场的分布。 特点： 特点：
Φ E = E1 cosθ1∆S1 + E2 cosθ 2 ∆S 2 = 0(管内无电荷）
E1 cosθ1 ∆S 2 or：－ ＝ E2 cosθ 2 ∆S1
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r v 若E ⊥ ∆S，
E1 ∆S2 则 = E 2 ∆S1
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即电场管膨胀的地方场较弱， 即电场管膨胀的地方场较弱，收缩的电方场较强

4π 3 3 ( R2 − R1 ) ρ = q ， • r > R2 ，q内 = 3
有
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r E=
q 4πε 0 r
2
r er （同点电荷的电场） 同点电荷的电场）
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讨论 1. E 的分布
E
q
2 4πε 0 R2
2. 特殊情况
0
R1
R2
r
1）令R1= 0，得均匀带电球的情形： ） ，得均匀带电球的情形： E r q ρ R2 ρ r = 2 球内） （球内） 3ε 0 4πε 0 R2 3ε r 0 r E= qer 球外） 2（球外） r 0 R2 4πε 0 r
设棒上线电荷密度为+η 设棒上线电荷密度为 ηe 作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长） 以细棒为对称轴的圆柱（ 长 作高斯面 以细棒为对称轴的圆柱 求出通过Gauss面的通量 求出通过 面的通量
ηel Φ E = ∫∫ E ⋅ d S = ∑ qi = ε 0 S内 ε0 S
1
∫∫ E ⋅ d S + ∫∫ E ⋅ d S + ∫∫ E ⋅ d S = 2πrlE
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r r E = E ( r )e r =
q内 4 πε 0 r
2
r er
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r < R1 ，q内 = 0 ，； E = 0 有
4π 3 3 • R1 < r < R2 ，q内 = ( r − R1 ) ρ ， 3
有
3 r ρ R1 r E = ( r − 2 )e r 3ε 0 r
的地方外， 除E=0的地方外，电场线的普遍性质 的地方外
电场线起自正电荷（或来自无穷远），止于负 电场线起自正电荷（或来自无穷远），止于负 ）， 电荷（或伸向无穷远），不会在没有电荷的地 电荷（或伸向无穷远），不会在没有电荷的地 ）， 方中断 若系统中正负电荷一样多， 若系统中正负电荷一样多，则正电荷发出的全 部电场线都集中到负电荷上去 两条电场线不会相交 静电场中的电场线不形成闭合线 静电场中的电场线不形成闭合线
结论： 结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大小 与场点到平面的距离无关 图示c板间场强为何 板间场强为何？ 图示 板间场强为何？
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讨论：
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
P dE 1
壳同心的球面， 壳同心的球面，有：
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（q）（dq2= dq1）
r ds
R1 r R2 O
•
r r r r ∫ E ⋅ d S = ∫ E ( r )er ⋅ d s
S S
= ∫ E (r ) d s
r
S
又
r q内 r ∫ E ⋅d S =
S
= 4π r 2 ⋅ E ( r )
S
ε0
∴
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无限大带电平板
σ E= ， 2ε 0
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高斯定理
高斯面
高斯定理的表述
在真空中的静电场内， 在真空中的静电场内， 通过任意闭合曲面的电通量， 通过任意闭合曲面的电通量， 闭合曲面的电通量 等于该曲面所包围电量的代 数和除以ε 0 ，与闭合面外的 电荷无关。 电荷无关。
1) 球对称（球体，球面）； 球对称（球体，球面）； 2) 柱对称（无限长柱体，柱面）； 柱对称（无限长柱体，柱面）； 3) 面对称（无限大平板，平面）。 面对称（无限大平板，平面）。
求电场分布的步骤： 求电场分布的步骤：
1) 对称性分析； 对称性分析； 2) 选合适的高斯面； 选合适的高斯面； 3) 用高斯定理计算； 用高斯定理计算； 4) 讨论。 讨论。
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无限大平面自身具有平 移不变性， 移不变性， Ez与场点的 坐标无关
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σ e ∆S Φ E = ∫∫ E ⋅ d S = ∑ qi = ε 0 S内 ε0 S
1
∫∫ E ⋅ d S + ∫∫ E ⋅ d S + ∫∫ E ⋅ d S = 2E∆S
上底 下底
E∆S
侧面
σe , 方向如图 ⇒E= 2ε 0
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分 布
作业： 作业：P90 16、19、20 、 、
本节完
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r 线分布的实验现象： 几种电荷的 E 线分布的实验现象：
r 1 Er =
q 2 ε 0 4π r
单个点 电 极
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均匀带电棒
讨论
场强大小与场点到棒的垂直距离成反比 适用性： 适用性：普遍适用 极限行为： 极限行为：
l → ∞,
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η E = Ey = 2πε 0 a
2
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荷厚度所致。 荷厚度所致。
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麦克斯韦方程
静电场的高斯定理是麦克斯韦方程组 积分形 静电场的高斯定理是麦克斯韦方程组(积分形 麦克斯韦方程组 式)的第一个方程 的第一个方程
定
麦克斯韦方程组(微分形式) 麦克斯韦方程组(微分形式)
量 描 述 场 的
泊松方程： 泊松方程： 哈密顿算符： 哈密顿算符：
通量要好算 注意选取合适的Gauss面 注意选取合适的Gauss面 Gauss
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用， Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算 定理可以和场强叠加原理结合起来运用 各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。 各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用， 上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的电场， 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的电场， 2012-4-9 26 可以分别求出场强再叠加
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轴对称的电场
求无限长均匀带电棒 外的场强分布
在柱坐标下分析 作平面П 作平面 1和П2
柱体对П 镜像反射变换是不变的——场分布也不变，但 场分布也不变， 柱体对П1镜像反射变换是不变的 场分布也不变 此变换下E 分量反向，只有E 此变换下 φ分量反向，只有 φ＝0 柱体对П 镜像反射变换是不变的——场分布也不变，但 场分布也不变， 柱体对 2镜像反射变换是不变的 场分布也不变 此变换下E 分量反向，只有E 此变换下 z分量反向，只有 z＝0 剩下唯一不可能等于0的分量只有E 剩下唯一不可能等于0的分量只有 r 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性——等r处Er 相 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性 等处 等——轴对称性 轴对称性 2012-4-9 22
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条件来证明高斯定理。 条件来证明高斯定理。
r ΦA ∇ ⋅ A ≡ lim = lim ∆V →0 ∆V ∆V →0
r r ∫∫ A ⋅ dS ∆V
Φ E = ∫∫ E ⋅ d S =
S
1
ε0
∑q
S内
i
r ΦE ∇ ⋅ E ≡ lim = lim ∆V →0 ∆V ∆V →0
对于电荷分布具有某种对称性的情况下， 对于电荷分布具有某种对称性的情况下，利 用高斯定理求E比较方便， 用高斯定理求 比较方便，即在高斯面上场强 比较方便 处处相等，方向与曲面正交或平行。 处处相等，方向与曲面正交或平行。
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常见的具有对称性的电荷分布： 常见的具有对称性的电荷分布：
点有电场线终止， 若P点有电场线终止， 点有电场线终止 同理， 同理，有 qp < 0。 。
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•
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点无电荷， 若P点无电荷， 则有： 点无电荷 则有：
•
P S
r r ∫ E ⋅d s = 0
S
即 N入 = N出
S→0
r P点处 E 线连续。 点处 线连续。
以上性质说明静电场是有源场。 以上性质说明静电场是有源场。 静电场是有源场 特别需要提醒的是：电场线的连续性是高 特别需要提醒的是： 斯定理的结果， 斯定理的结果，不能把电场线的连续性当作
r r ∫∫ E ⋅ dS ∆V
1 = lim
ε0
∑q
S内
i
∆V →0