9上24.9《直线和圆的位置关系》课堂实录
直线与圆的位置关系课堂实录
直线与圆的位置关系(第一课时)(课堂实录)课上：多媒体演示太阳从地平线升到空中的过程。
师：请同学们思考一下太阳从地平线升起的过程中，太阳与地平线有哪些位置关系？生：太阳刚好开始从地平线出来，太阳有一部分出来，太阳全部看见。
师：还有吗？生：太阳在地平线底下，看不见。
生：太阳刚好全部出现在地平线上。
师：很好。
现在我们把实际问题数学化，将太阳看成一个圆，将地平线看成一条线，那么哪个同学能说出直线和圆有哪些位置关系？生：直线和圆相交，直线和圆相切，直线和圆相离。
师：非常好，请坐。
说明我们同学课前都经过了充分的预习。
那么太阳和地平线的位置中哪些对应着相交，哪些对应着相切，哪些对应着相离？生：太阳在地平线底下，太阳全部脱离地平线对应着相离；刚好开始从地平线出来和太阳刚好全部出现在地平线上对应着相切；太阳有一部分看见对应着相交。
师：好。
我们把同学们刚才分析的过程在演示一遍：直线和圆的位置关系：（图形特征）师：我们再请一个同学叙述一下直线和圆的三种位置关系。
生：直线和圆相交，直线和圆相切，直线和圆相离。
师：刚才我们从直观的图形来判断直线和圆的三种位置关系，那么直线和圆可不可以通过其他方法来判断它们的位置关系呢？（学生讨论，教师引导）师点拨：比如说我们可不可以通过线段之间的比较来确定它们的位置关系。
师：有哪一组的同学讨论到的，大胆的站出来说一说。
生：可以将圆的半径和圆心到直线的距离进行比较，如果圆的半径大于圆心到直线的距离则说明相交；如果圆的半径等于圆心到直线的距离则表示相切；如果圆的半径小于圆心到直线的距离则说明相离。
师：如果我们把圆的半径表示为r，圆心到直线的距离表示为d，哪个同学能够站起来用r与d之间的不等关系表示三种位置关系。
生：当r>d时相交，r=d相切，r<d时相离。
（师总结，多媒体演示：）1、d>r => 直线与圆相离2、d=r => 直线与圆相切3、d<r => 直线与圆相交师：反过来，我们已知直线和圆的位置关系，能够确定d与r的不等关系吗？生：能。
直线与圆的位置关系讲课实录
《直线与圆的位置关系》第一课时课堂实录一课题引入师：同学们登过泰山，看过日出吗？如果把地平线看成一条直线，太阳看作一个圆，你能想象出什么样的几何图形，你能说出直线和圆的位置关系吗？（教师用教具演示太阳升起的过程）今天，老师和同学们一起走进《直线与圆的位置关系》。
让学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆公共点个数的变化，同时让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三种位置关系．二明确学习目标师：仔细阅读本节课的学习目标。
（明确本节课的学习目标，提高课堂学习效率。
）三梳理任务项师:课前老师把学案提前发给大家，相信同学们进行了充分的预习，接下来让我们进一步梳理未完成的任务项。
（大约5-6分钟）通过几分钟的梳理，学生课前没完成的继续完成，完成的看看哪些问题需要在小组内进行互助交流。
四、互助交流师:小组之间逐个任务项进行互助交流。
学生以小组为单位，本着弱者优先的原则，进行兵教兵，对同学不会的问题进行互助交流，讲解，小组长不会的向其他的小组寻求帮助。
为小组展示作准备。
教师在教室内走动，巡视学生，对有问题的小组第一时间内进行点拨。
同时查看学生们的交流的进度。
时间大约10分钟）四．分配任务项师:每个小组派一名代表到讲台上抽取各自的任务项。
每个小组领取一个任务项，给小组3-4分钟的时间，对抽到的题目进行精心准备。
组长进行合理的分工，人人有事干，比如有讲解的，有写的，人人都有任务。
同时每组选出小组代言人，大家对他们再进行集中培训，为小组展示作最后的准备。
五．成果展示师：相信同学们已经做好了精心准备，接下来是是同学们展示你们的风采的时候了，为了小组的荣誉，同学们加油吧。
小组展示任务一主持人：任务一由我们五组为大家讲解。
S1：通过动手操作我们发现直线和圆有三种位置关系，相交、相切、相离。
相交时直线和圆有两个交点，这条线叫割线。
相切时，直线和圆只有一个公共点，这个点叫圆的切点。
《直线和圆的位置关系》教案及说明
《直线和圆的位置关系》教案及说明一、内容及内容解析（一）内容：本节课是人教版教材九年级上册第二十四章第二节第二课时“直线和圆的位置关系”。
本节课的核心内容是直线和圆的三种位置关系。
（二）内容解析：圆是常见的几何图形之一，也是平面几何中最基本的图形之一，不仅在日常生活中的许多物体是圆形的，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都看以看到圆，圆的许多性质集中反映了事物内部量变与质变之间的关系，一般与特殊的关系，矛盾的对立统一的关系等等，在生活中也有着广泛的应用。
教材第24章是让学生比较系统的研究圆的概念、性质、与圆有关的位置关系、正多边形和圆的关系以及一些与圆有关的计算问题。
结合圆的有关知识，可以对学生进行辩证唯物主义世界观的教育，所以这一章的教学，在初中的学习中占有重要地位。
本节课的内容是“直线和圆的位置关系”，是与圆有关的三种位置关系的第二种位置关系。
这种位置关系在生活中的应用比较广泛，它的探索是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的。
在这节课中，利用直线到圆心的距离和半径的大小关系判断直线和圆的数量关系的方法为学习切线的性质和判定提供了依据，本节课学习方法的形成、数形结合思想的渗透为后续的探索圆与圆的位置关系打下了坚实的基础，有着承前启后的重要作用。
基于以上分析，本节课的重点应是探索直线和圆的位置关系。
二、目标及目标解析：（一）目标：1、知识技能：探索并理解直线和圆的三种位置关系，能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系，能够用圆心到直线的距离和半径的数量关系判断直线和圆的位置关系。
2、数学思考：经历观察、猜想、操作、发现、总结的过程，提高观察、比较、概括的逻辑思维能力以及用数学语言表述问题的能力；在探索直线和圆的位置关系的过程中，运用类比的方法，体会转化、数形结合的数学思想。
3、解决问题：能够利用直线和圆的位置关系解决有关的几何问题。
4、情感态度：体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美。
“直线与圆的位置关系”教学实录与思考
师： 直线和圆的三种几何关系 ， 我们都可以通过不同 程度的代数计算来刻画 ． 三、 依据典型例题 ， 搭建探究实践的问题阶梯 例 1 （ 课本例题改编 ） 已知直线 l ： 3 x + y － 6 = 0 和 2 2 圆心为 C 的圆 x + y － 2 y － 4 = 0 ， 判断直线 l 与圆的位置 关系 ； 如果相交 ， 求它们的交点坐标及弦长 ． 2 2 生 1 ： 圆方程为 x + （ y － 1 ） = 5 ， 计算点到直线距离 5 ＜槡 5， 为d= 可知直线和圆相交 ． 10 槡 3x + y － 6 = 0， 生 2 ： 联立方程 { 2 得关于 x 的方程 x + y2 － 2 y － 4 = 0 ， 2 x － 3x + 2 = 0， 解得直线和圆交于两点 ， 两点坐标分别为 A（ 2 ， 0） ， B（ 1 ， 3） ． 师（ 追问 ） ： 你能求出弦 | AB | 的长吗 ？ 10 ． 生： 两点坐标已知 ， 易得 | AB | = 槡 师（ 追问 ） ： 在不求出交点坐标的情况下 ， 能否求出弦 | AB | 的长呢 ？ 5 ， | AB | = 2 生 1 ： 通过垂径定理 ， 弦心距已知 d = 10 槡 r2 － d2 = 槡 10 ． 槡 2 生 2 ： 联立方程得关于 x 的方程 x － 3 x + 2 = 0 ， 利用 x1 x2 = 2 ， 1 + 3 2 | x1 － x2 | 韦达定理 x1 + x2 = 3 ， 得 | AB | = 槡 （ 1 + 32 ） ［ （ x1 + x2 ） 2 － 4 x1 x2］ = 槡 10 ． = 槡 师： 当直线和圆相交时 ， 我们在研究交点 、 弦长的过 程中 ， 使用了两种方法 ， 能否请同学们谈谈这两种方法在 解决问题时的特点吗 ？ 生 1 ： 方法一简单 ， 计算量也小 ， 解决问题时应充分利 用圆的几何性质 ． 生 2 ： 求交点坐标的方法可以不依赖图形 ． 师： 充分利用圆的几何性质 ， 抓住圆心与弦中点构成 的直角三角形 ， 可以简化计算过程 ， 通过计算点到直线距 离， 并与半径大小作比较 ， 将几何问题进行了代数刻画 、 定量分析 ． 另一位同学将直线与圆联立方程 ， 通过消元 ， 方程的根即图形交点的横坐标 ， 通过方程的意义来刻画 几何问题中的交点情况 ． 师（ 总结） ： ⑴求弦长的主要步骤： 把直线方程化为一般 B 不同时为零） 由圆的标准方程求 式 Ax + By + C = 0（ 其中 A、 出圆心和半径， 利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距 | aA + bB + C | ， r2 － d2 ； 利用勾股定理求弦长 AB = 2 槡 离d= 2 2 A +B 槡 y = kx + b， | AB | = （ 2 ） 联立方程 { 2 消元 ， x + y2 + Dx + Ey + F = 0 （ x1 － x2 ） 2 + （ y1 － y2 ） 2 = 槡 1 + k2 | x1 － x2 | = 槡 2 2 （1 +k ） ［ （ x1 + x2 ） － 4 x1 x2］将韦达定理代入求解 ． 槡 设计意图 ： 该例题选取课本例 1 ， 通过对例 1 的解决 和探究 ， 使学生进一步掌握判断位置关系的方法 ， 获得弦 长公式 ． 在求交点坐标时需要联立方程求解 ， 求弦长则可
人教版数学九年级上册第24章圆24.2.2直线与圆的位置关系优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活实例：通过引入生活中常见的圆和直线的情景，如圆形的桌面、自行车的轮胎等，让学生直观地感受直线与圆的位置关系。
2.故事引导：讲述与直线与圆相关的故事，如圆与直线之间的冒险之旅，激发学生的学习兴趣和想象力。
3.问题情境：创设问题情境，如在圆形操场上建一个灯塔，要求灯塔到操场的距离最短，引导学生思考直线与圆的位置关系。
针对这一情况，我设计了本节优秀教学案例，旨在通过生活实例、小组合作、自主探究等教学方法，引导学生深入理解直线与圆的位置关系，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。同时，通过本节课的学习，使学生能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的学习兴趣和积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解直线与圆的位置关系的概念，掌握直线与圆相切、相交、相离的判断方法。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例：展示一个圆形桌面，然后在桌面上放置一根直线，让学生观察直线与圆的位置关系。
2.问题提出：引导学生思考，直线与圆的位置关系有哪些可能性？直线与圆相交、相切、相离的情况分别是什么？
3.预期目标：告诉学生本节课将学习直线与圆的位置关系的知识，并能够运用这些知识解决实际问题。
五、学评价
1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2.练习题完成情况：检查学生完成练习题的数量和质量，评估学生对知识的掌握程度。
3.小组合作：评价学生在小组合作中的表现，包括讨论、交流、解决问题等。
4.情感态度：观察学生在学习过程中的态度和价值观，了解学生对数学学科的兴趣和热爱。
2.新课导入：讲解直线与圆的位置关系概念，引导学生掌握判断方法。
3.实例分析：分析直线与圆的位置关系所涉及的角度和距离的求解。
直线和圆的位置关系课堂实录记录
直线和圆的位置关系课堂实录记录杨梅中学梁宽坚1．问题情境问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？设计意图：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案．通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义．师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船受不受影响？生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交．师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系．学生解决方法一：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为港口位置，在OAB中，O到AB的距离=，因此受影响．2．探究直线与圆的位置关系问题2．前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题．请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解．师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．与的关系3．直线与圆位置关系的判断问题3：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法．师生活动：通过教师追问，引起学生思考．师：要求圆与直线的方程，首先要建立坐标？那如何建立坐标？生：以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系．师：（追问）坐标系还可以有其他建法吗？生：以港口所在位置为原点，……以轮船所在位置为原点．（选择一种，师生共同完成）方法二：如图，以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，圆心O（0，0），半径5，轮船航线所在的直线的方程为，，直线与圆相交．问题4：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“法”）．请问用“法”的一般步骤如何？设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．问题5：对于平面直角坐标系中的直线和，联立方程组，我们有如下一些结论：①与相交，方程组有唯一解；②与平行，方程组无；③与平行，方程组有无穷组解．你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？设计意图：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作用．并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法．师生活动：教师提出问题，引导学生得出：联立方程组，我们有如下一些结论：①圆与直线相切，方程组有唯一解；②圆与直线相交，方程组有两组解；③圆与直线相离，方程组有无解．方法三：联立方程组，消去，得，因为．所以，方程组有两组解，直线与圆相交．问题6：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析、归纳：（1）将直线方程与圆方程联立成方程组；（2）通过消元，得到一个一元二次方程；（3）求出其判别式△的值；（4）判断△的符号：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．问题7：我们研究了判断直线与圆的位置关系的方法，可以用平面几何知识定性刻画，也可以用解析几何的知识，根据直线与圆的方程来刻画．如果要求轮船在哪个具体位置开始受到台风影响，如何刻画？设计意图：体验平面几何与解析几何的各自解法．平面几何可以定性刻画，解析几何可以精确刻画，体验坐标法的优越性．师生活动：教师引导，师生共同解决．生：求出交点，就是开始受影响的位置．解出：x=3,y=4或x=4,y=3．即，在台风中心的东30，偏北40处，开始受到影响．师：一般来说，平面几何可以定性的刻画直线与圆的位置关系，但在精确刻画它们位置关系时，解析几何就显得“得心应手”，显示出它的优越性．4．例题示范例1如图，已知直线：和圆心为的圆，（1）判断直线与圆的位置关系；（2）如果相交，求它们交点的坐标．设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系．使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．师生活动：教师引导学生分析解答．分析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系．问题8在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？设计意图：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法．师生活动：学生讨论选择．5．弦长问题设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法．师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一：因为两个交点坐标分别是，所以用两点距离公式．方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长．6．课堂小结问题9判断直线与圆的位置关系有哪些方法?设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：直线和圆的位置关系及其判定》公开课获奖教案_0
《直线与圆的位置关系及其判定》教学设计一、教材分析1、教学内容：本节课主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。
2、教材的地位和作用：直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．二、教法与学法分析蔡旗中学“四双五环”高效导学模式在课堂上充分体现学生的主体地位和教师的主导作用，课堂大部分时间留给学生自主探究、合作释疑和展示交流，教师只用很少时间进行引导和点拨。
这种导学模式下的课堂气氛热烈融洽，学生自觉投入，在此种课堂模式下，课堂就成了学生展示自我、张扬个性、快乐成长的舞台。
课堂教学的高效性就是通过课堂教学活动，学生在学业上有超常收获，有超常提高，有超常进步。
具体表现在：学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。
蔡旗中学“四双五环”高效导学模式要求课堂教学要充分体现以学生发展为本的精神，因此，在本节课的教学设计中，我采用了“情景问题——学生体验——合作交流”教学模式，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识和基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。
三、教学设计思路：本节课我首先通过现实生活中的例子，激发学生对探索直线与圆的位置关系是兴趣。
然后让学生动手操作，参与学习活动，用运动变化的观点观察直线与圆的位置关系的变化及它们之间的公共点个数的变化情况，在共同合作利用数形结合的方法量化了直线与圆的位置关系的性质和判定。
接着通过小组探讨、交流、发现，和老师的引导，点拨，让学生利用所学知识判断直线和圆的位置关系。
在整个活动中，学生是实践者、探索者、发现者，老师是引导者、启发者、帮助者，把发现的主动权交给学生，让学生成为学习的主人。
四、教学目标：知识技能1.探索并掌握直线与圆的三种位置关系，知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
人教版九年级数学上册24.2点和圆、直线和圆的位置关系优秀教学案例
1.利用生活实际问题，如确定篮球场上的罚球线是否公平，引出点和圆、直线和圆的位置关系；
2.展示实物模型或图形软件，让学生直观地感受到点和圆、直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣；
3.引导学生提出问题，如“如何判断一个点是否在圆上？”、“直线与圆的位置关系有哪些？”；
4.创设情境，引导学生思考，为新课的学习做好铺垫。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活实际问题，如篮球场上的罚球线问题，引出本节课的学习内容，使学生能够直观地感受到数学与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.直观展示和操作：利用实物模型、图形软件等教学工具，直观地展示点和圆、直线和圆的位置关系，帮助学生建立正确的空间观念，使抽象的数学概念变得具体形象，有利于学生理解和掌握。
1.引导学生对学习过程进行反思，总结经验，提高学生的思维品质；
2.设计具有针对性和指导性的评价指标，对学生的学习过程和结果进行评价，帮助学生找到不足，促进学生的全面发展；
3.鼓励学生自我评价，培养学生的自我监控和自我调整能力；
4.对学生的评价结果进行反馈，引导学生正确对待评价，培养学生的自信心。
四、教学内容与过程
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，培养学生的提问能力和思维能力；
2.设计具有逻辑性和连贯性的问题链，引导学生进行层层递进的思考，提高学生的思维深度；
3.鼓励学生通过讨论、交流等方式，解决问题，培养学生的合作意识和沟通能力；
4.引导学生对解决问题的过程进行反思，总结经验，提高学生的思维品质。
（三）小组合作
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的实用性和魅力，激发学生学习数学的内在动机；
人教版九年级数学上册《第二单元_课时2_直线与圆的位置关系》学历案
第二十四章圆《第二单元课时2 直线与圆的位置关系》学历案【学习主题】第二单元课时2 直线与圆的位置关系【学习课时】1课时【课标要求】了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.【学习目标】1.知道直线与圆的三种位置关系，并能通过圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系.2.知道切线的判定定理，并能利用切线的判定定理证明已知直线是圆的切线.3.知道切线的性质定理，并能利用切线的性质定理解决相关问题.4.能综合利用切线的判定定理、性质定理解决相关问题.【评价任务】【资源与建议】1.前面已经学习了圆的概念和基本性质、点和圆的位置关系，具备了学习直线与圆的位置关系的知识基础.本节课中运用到的分类讨论、类比、数形结合等数学思想在前面的课时中也有渗透，学生具备学习本节课的数学思想方法.但是切线的判定定理和性质定理的结论和条件容易混淆，是学生学习的难点.2.本主题的学习流程：生活情景探究→观察探究，直线和圆的位置关系→类比探究，判断直线和圆的位置关系→切线的判定定理及应用→切线的性质定理及应用→综合利用切线的判定定理、性质定理解决相关问题.3.重点：直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系.难点：运用切线判定定理和性质定理解决相关问题.一、学习准备1.类比点与圆的位置关系，想一想，直线与圆的位置关系.试着举例说明.2.通过预习，你提出了哪些问题？二、学习新知活动一生活情景（指向目标1）观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样变化的？作一个圆，把直尺边缘看成一条直线. 固定圆，平移直尺，观察直线和圆有哪几种位置关系？直线l和⊙O相交⇔直线l与⊙O有________交点；直线l和⊙O相切⇔直线l与⊙O有________交点；直线l和⊙O________⇔直线l与⊙O没有交点.活动二思考探究（指向目标2、3）问题1：用点到圆心的距离判断点和圆的位置关系，那么是否可以用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系呢？尝试作图总结.通过作图，总结归纳：直线和圆相交⇔d_______r；直线和圆相切⇔d_______r；直线和圆相离⇔d_______r；综上所述，目前我们有两种方法判断直线与圆的位置关系：（1）圆心到直线的___________，（2）直线与圆交点的_________.问题2：如图，画一个⊙O，作出其半径OA，过半径OA的外端点A作一条直线l，使l⊥OA，这条直线与圆有几个交点？它与圆的位置关系是什么？切线判定定理：经过半径的___________________这条半径的直线是圆的切线.问题3：将上面“问题2”的问题反过来，如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？切线性质定理：圆的切线____________________________的半径.活动三典型例题（指向目标2、3、4）例1 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，以C为圆心、r为半径作⊙C，判断下列条件下AB与⊙C的位置关系.（2）如图，已知∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D，E 两点，设AD=x.当x取何值时，⊙O与AM相切？例2 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E.求证：DE是⊙O的切线.例3 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AB与⊙D相切于E.求证：AC与⊙D相切.例4 如图，P为正比例函数y=32x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）.求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标.活动四总结归纳回顾本节课的内容，总结梳理本节知识重点：【达标检测】1.（检测目标1）如图，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5 cm，以P为圆心、r为半径作⊙P，根据下列条件判断OA与P的位置关系.（1）r=2 cm；（2）r=2.5 cm；（3）r=4 cm.2.（检测目标3）如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB.若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长.3.（检测目标2）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，以点D 为圆心、BD长为半径作⊙D，求证：AC是⊙D的切线.4.（检测目标3）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，EF∥AB.若∠EDC=30°，求EF的长.5.（检测目标4）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.【学后反思】1.本节课学习的知识要点是：2.我的达标情况：3.自己需要求助的困惑或分享自己如何学会的经验：。
《直线和圆的位置关系》优秀教学设计
《直线和圆的位置关系》优秀教学设计作为一名为他人授业解惑的教育工作者，时常需要用到教学设计，教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。
那么你有了解过教学设计吗？下面是小编精心整理的《直线和圆的位置关系》优秀教学设计，仅供参考，欢迎大家阅读。
《直线和圆的位置关系》优秀教学设计1教学目标：(一)教学知识点：1.了解直线与圆的三种位置关系。
2.了解圆的切线的概念。
3.掌握直线与圆位置关系的性质。
(二)过程目标：1.通过多媒体让学生可以更直观地理解直线与圆的位置关系。
2.通过让学生发现与探究来使学生更加深刻地理解知识。
(三)感情目标：1.通过图形可以增强学生的感观能力。
2.让学生说出解题思路提高学生的语言表达能力。
教学重点：直线与圆的位置关系的性质及判定。
教学难点：有无进入暗礁区这题要求学生将实际问题转化为直线与圆的位置关系的判定，有一定难度，是难点。
教学过程：一、创设情境，引入新课请同学们看一看，想一想日出是怎么样的?屏幕上出现动态地模拟日出的情形。
(把太阳看做圆，把海平线看做直线。
)师：你发现了什么?(希望学生说出直线与圆有三种不同的位置关系，如果学生没有说到这里，我可以直接问学生，你觉得直线与圆有几种不同的位置关系。
)让学生在本子上画出直线与圆三种不同的位置图。
(如图)师：你又发现了什么?(希望学生回答出有第一个图直线与圆没有公共点，第二个图有一个公共点，而第三个有两个公共点，如果没有学生没有发现到这里，我可以引导学生做答)二、讨论知识，得出性质请同学们想一想：如果已知直线l与圆的位置关系分别是相离、相切、相交时，圆心O到直线l的距离d与圆的半径r有什么关系设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r让学生讨论之后再与学生一起总结出：当直线与圆的位置关系是相离时，dr当直线与圆的位置关系是相切时，d=r当直线与圆的位置关系是相交时，d知识梳理：直线与圆的位置关系图形公共点d与r的大小关系相离没有r相切一个d=r相交两个d三、做做练习，巩固知识抢答，我能行活动：1、已知圆的`直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为(1)d=4.5cm(2)d=6.5cm(3)d=8cm，那么直线和圆有几个公共点?为什么?(让个别学生答题)师：第一题是已知d与r问直线与圆之间的位置关系，而下面这题是已知d与位置关系求r，那又该如何做呢?请大家思考后作答：2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值?(1)相交;(2)相切;(3)相离。
24.2.2直线与圆的位置关系复习课听课记录
3.想一想：判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
4.切线的性质有哪些？
小结：
切线的判定定理：
必具两个条件：，。
常添的辅助线：，。
切线的性质定理：
常添辅助线：。
5.内心与外心的不同：
名称
确定方法
图形
性质
外心
三角形外接圆的圆心
内心
三角形内切圆的圆心
二、例题精讲
三、拓展延伸：
四、巩固练习
五、布置作业
《课课通》两道大题，事先布置两位同学下次课前写在黑板
评价建议
1、用举例的办法，可以更好的让学生理解接受.
2、用硬卡片演示，直接明了，学生更容易集中精神
3、有数学听课记录
课题
24.2.2直线与圆的位置关系复习课
授课教师
听课人
听课班级
初三1班
听课时间
2015年4月18日
教学内容
一、评讲《每课一练》作业
一、知识要点：
1.直线和圆的三种位置关系:；；.
2.判定直线与圆的位置关系的方法有_ ___种：
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
直线与圆的位置关系课堂实录
直线与圆的位置关系课堂实录第三环节探索新知，引导归纳直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P 在⊙O 内d<r ； （2）点P 在⊙O 上d=r ； （3）点P 在⊙O 外d>r ． 2、引导、分组讨论师：类比点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样进行数量分析呢?提出问题，让学生思考。
学生分成三组画直线与圆的三组位置关系，教师引导学生观察图，发现：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.因此，只要画出圆心到直线的距离，探索圆心到直线的距离与圆半径的关系。
1组：圆心到直线的距离用d 来表示，半径用r 来表示， d ＞r ，直线与圆相离. 2组：d=r ，直线与圆相切.3组：d ＜r ，直线与圆相交.3、概括：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么直线l 和⊙O 相交 d<r ；直线l 和⊙O 相切 d=r ；直线l 和⊙O 相离 d>r ． 师：不错，总结得非常好（板书）师：我们现在可以通过比较d 与r 的数量关系来判断直线与圆的位置关系，反之，也能由直线与圆的位置关系，来判断d 与r 的数量关系。
师：我们已经学习了直线与圆相离、相切、相交的概念。
那么，现在有几种方式可以去判断它们之间的关系呢？学生思考。
l d r O生1：我们可以看看直线与圆公共点个数来判断。
生2：我们可以从d 与r 的数量关系来判断。
师：不错，你们考虑得很全面。
如果题目直接给出我们直线与圆的图，那我们直接就可以通过观察直线与圆的公共点个数来判断；或是直接告诉我们公共点个数，我们可以确定直线与圆的位置关系。
但是，往往我们需要从d 与r 的数量关系来判断。
第四环节：例题分析在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=8cm ，AC=4cm ，(1)以点C 为圆心，当半径的长为多少时，AB 与⊙ C 相切(2)以点C 为圆心,分别以2 cm ，4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆分别与直线AB 有怎样的位置关系？学生画图，思考，判断位置关系。
直线与圆的位置关系的课堂实录
《直线与圆的位置关系》的课堂实录“铃——”伴着清脆铃声的响起，我踏上了讲台。
请看大屏幕：1、点与圆有几种位置关系？有许多同学都要回答这个问题（有选择的叫起1名同学回答）：有三种(1) 点在圆外（2）点在圆上（3）点在圆内。
我又追问了一句，点和圆有几种位置关系？学生齐答有三种，在圆内、在圆上、在圆外。
我在大屏幕上又提出了第二个问题：2、怎样判定点和圆的位置关系？（一名学生站起来说）点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于半径时，点在圆内。
学生看大屏幕，给出点和圆的三种位置关系：（1）点到圆心的距离大于半径时，点在圆外。
（2）点到圆心的距离等于半径时，点在圆上。
（3）点到圆心的距离小于半径时，点在圆内。
我又追问了一句这是判定还是性质？同学们说这是判定。
咱们能不能对照点和圆的位置关系，探究一下直线和圆的位置关系？大屏幕上播放：海上日出。
问题1：通过刚才的视频，我们在数学的角度看到的是怎样的几何图形？教室里鸦雀无声，学生盯着大屏幕投入思考中。
（出示学案）你们在学案上用直尺或铅笔试着画一下直线与圆有几种位置关系。
学生都在学案上认真地边思考边画，老师在黑板上用圆规划了一个圆，然后下去观察学生的画法，并拿起几个学生具有典型画法的进行展示，其间对有些学生的画法进行追问，这是直线吗？我从学生中走出来顺手在讲台上拿起一个直直的教鞭说：“我把它作为一根直线”（学生看黑板）在刚才画的那个圆上进行探究，我边推教鞭边让学生回答：“直线和圆有公共点吗？”学生说：“没有”。
在往上推说：“有公共点吗？”学生说：“有”。
我马上问有几个？“有一个”，学生回答。
在往上推圆心在直线上了，我顺势说：“有几个公共点”？学生马上回答：“有两个，圆心在直线上，并没有在圆上”。
接着推，再问：“直线和圆有几个公共点？” “有一个”，再问“有吗？”，“没有”。
由公共点的个数回答直线和圆有几种位置关系？“直线和圆有三种位置关系”，学生马上回答出来。
直线与圆的位置关系教学实录
直线与圆的位置关系教学实录李飞一、教学目标:( 1) 深刻理解直线和圆的三种位置关系与相应二元二次方程组的解的对应关系, 掌握根据给定直线和圆的方程来判断其位置关系的两种方法;( 2) 能依据直线和圆的方程熟练求出它们的交点坐标, 能利用题设条件解答涉及直线与圆的位置关系的简单综合题;( 3) 通过合作交流、推理探究, 提高学生的思维能力, 体验数学创新的快乐, 激发学生的求知欲.教学重点: 直线和圆的三种位置关系的判断方法及其运用.教学难点: 合理选择方法准确解答直线与圆的位置关系问题.二、教学过程师：上课！生：老师好！师: 上节课我们学习了圆的一般方程, 请同学们回答下面的问题:( 幻灯片) 引例: 若x 2 + y2 - 2mx + 2my + 2- m2 = 0 表示一个圆的方程, 试求实数m 满足的条件, 并写出该圆的圆心坐标和半径.生A: 实数m 满足的条件是m X 0, 圆心坐标为(m, - m) , 半径为m.师: 是否需要完善一下?生A: ( 轻声地) 半径应该是| m | .师: 很好! 我们在解题时首先要做到细心, 其次需要认真思考. 现在请大家想想看, 从该题的结果中你能发现该圆有什么特殊性?( 短暂停顿, 提问学生讲出自己的发现. )生B: 该圆的圆心在直线y = - x 上.生C: 该圆圆心的两坐标的绝对值都等于半径.师: 生B 的发现说明该圆与直线y = - x 相交, 生C 的发现说明该圆与两坐标轴都相切. 这正是我们今天要研究的内容: 直线与圆的位置关系( 板书课题) .师: 对我们来说, 直线与圆的位置关系并不陌生, 因为我们在初中平面几何中就已经学习过. 大家说, 共有哪几种位置关系?学生( 齐) : 相离、相切、相交.师: 哪位同学能告诉大家, 如何判断直线与圆的位置关系?生D: 可利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.师: 请你说得具体些.生D: 当圆心到直线的距离大于半径时, 直线与圆相离; 等于半径时, 直线与圆相切;小于半径时, 直线与圆相交.师: 讲得很清楚. 生D 所说的方法是从几何特点即“形”的方面来加以判断的. 在解析几何中,当我们已知圆心坐标与直线方程时, 圆心到直线的距离是可求的, 因此我们能将该距离“数量化”具体的就是( 板书) :设直线l : Ax + By + C = 0, 圆C:()()-+-=( r > 0) , 则圆心C( a, b) 到直线l 的距离x a y b r方法1 当d > r 时, 直线l 与圆C 相离; 当d = r 时, 直线l 与圆C 相切; 当d < r 时,直线l 与圆C 相交.师: 上述方法将初中的几何判断方法与我们刚学习的点到直线距离公式结合起来了, 它在一定程度上体现了”数”与”形” 的统一. 如果我们再从形的方面分析不难得到: 当直线l 与圆C 相离时, 直线l 与圆C 没有公共点; 当直线l 与圆C 相切时, 直线l 与圆C 有且只有一个公共点; 当直线l 与圆C 相交时, 直线l 与圆C 有两个公共点.( 在教师的叙述过程中, 部分学生附和. )师: 请同学们思考: 类比两条直线的交点知识, 直线l 与圆C 的公共点坐标应满足什么条件?生E: 其坐标既满足直线方程, 又满足圆的方程, 即是这两个方程的公共解.师: 既然如此, 我们完全可以从研究联立直线方程与圆的方程所得的方程组的解的个数出发来判断直线与圆的位置关系, 此时方程组解的个数就等价于直线l 与圆C 公共点的个数. 为研究方便, 我们可考虑用圆的一般方程.( 板书) 设圆C:220x y Dx Ey F ++++=联立方程组2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩ 方法2 当方程组无解时, 直线l 与圆C 相离;当方程组有且只有一组解时, 直线l 与圆C 相切;当方程组有两组不同解时, 直线l 与圆C 相交.师: 我们所得到的两种判断方法, 都是从” 形”的视角出发, 用”数量”关系来加以呈现, 将几何问题有效地” 数量化”, 体现了”数形结合”思想方法的重要性.师: 现在就让我们用上述方法具体判断直线与圆的位置关系.( 幻灯片) 例1 判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系:( 1) l : 4x + 3y = 40, C: x 2 + y 2 = 36;( 2) l : y = - x + 1, C: x 2 + y 2 = 25;( 3) l : 4x - 3y - 8 = 0, C: x 2 + y 2 + 2y = 0;( 4) l : x - y - 5 = 0, C: x 2 + y2 - 2x + 4y +4 = 0.. 巡视中发现学生多数用方法1 判断.师: 请大家用两种方法分别进行判断.提问检查答案是: 题( 1) 相离, 题( 2) 相交, 题( 3) 相切, 题( 4) 相离.师: 请同学们告诉我, 题( 2) 的交点坐标和题( 3) 的切点坐标.生F: 题( 2) 的交点坐标分别是(- 3, 4) 和( 4, - 3) .生G: 题( 3) 的切点坐标是(45, -85) .师: 这些点的坐标是我们通过解联立直线与圆的方程组而得到的.生H 忽然举手发言: 老师, 我在知道题( 3) 中直线和圆相切后, 是先求出过圆心且与直线l 垂直的直线方程3x + 4y + 4 = 0, 再解方程组4x - 3y - 8 = 0,3x + 4y + 4 = 0, 得切点坐标(45, -85) , 我觉得这样求切点坐标要简单些.( 听了生H 独特的解法, 我投去了赞许的目光, 并给予了肯定. )师: 生H 的方法是利用切线的性质, 避免了解二次方程, 这表明恰当分析题设条件是解答题目的前提, 尤其是在解答具有隐含条件的题目时更显得重要. 下面, 就请同学们一起来求解例2.( 幻灯片) 例2 设m ∈ R, 试判断直线l: mx- y + 1 - m = 0 与圆C: x2+ ( y - 1)2= 5 的位置关系.( 学生纷纷动手, 部分邻座的同学在小声议论, 教者认真巡视. )由于有了教者之前的暗示, 部分学生在认真审视该题的结构特点后,发现了动直线l 过圆C 内点P ( 1, 1) ( 图1) , 迅速地判断出直线与圆相交. 但也有学生仍然用距离方法d =| m |m2 + 1<| m |m2= 1< 5 进行判断, 或通过方程组mx - y + 1 - m= 0,x2+ ( y - 1)2= 5 从而判断直线与圆相交.( 教者用实物投影将有关学生的上述三种解法的主要部分一一展示. )师( 点评) : 若直线方程改为mx - y+ 2- m=0, 则用距离d =| 1 - m |_________m2+ 1来解, 一时难以比较它与半径的大小, 用解方程组的方法又因含参变量m 而显得繁琐, 因此能发现该直线过圆内一点( 此时点为P ( 1, 2) ) 而作出判断无疑是最佳方法.( 话锋一转) 给大家一项新任务, 请快速求出例2中直线l 被圆C 截得的弦长的最大值与最小值.由于有了前面的讨论, 学生很快知道当l 过圆心C 时, 弦长最大为2 5, 当l L PC 时, 弦长最小为4.师: ( 引出新的问题) 过圆内一点的直线与圆相交, 过圆上一点的直线与圆的位置关系如何呢?过圆外一点呢?( 在得到学生的正确回答后给出下面的例题)( 幻灯片) 例3 自点A( - 1, 4) 作圆( x -2) 2 + ( y - 3) 2 = 1 的切线l , 求切线l 的方程.该题是课本第102 页的例2, 考虑到学生课前已预习过, 初步了解课本上的两种解法( 解法1 和解法2) , 因此我将课本的解答过程用幻灯片呈现出来( 略) , 和学生一起对照稍作简单分析说明( 图2) , 然后提出下面问题:师: 本题中点A 在圆外, 应该有两条切线, 课本的两种方法都强调说明与x 轴垂直的直线和圆不相切, 而后求出的结果是两条切线的斜率都存在. 但若改点A 的坐标为( 1,52) 呢?结果如何?生I: 直线x = 1 是其中的一条切线, 即切线仍有两条x = 1 和3x + 4y - 13 = 0.师: 显然, 用直线的点斜式方程求解只能得到其中的一条3x + 4y- 13 = 0. 因此我们在设出斜率求解时一定要注意斜率不存在的直线是否符合题设, 不可漏解, 确保完善性. ( 教者继续引导学生开始新的探究) 本题除了课本的两种方法外, 还有其他方法吗?( 很多学生在窃窃私语, 寻求新的方法. )生J: 我想设出切点坐标, 利用/ 切线垂直于过切点的半径0 这一性质来解.师: 你的想法很好!你说, 我来写.( 板书) 解法3 设切点为B( x 0 , y 0 ) , 圆心为C( 2, 3) , 则由切线性质得kAB . k BC = - 1, 即y 0 – 4 y 0 - 3------ . _________=-1x 0 + 1x 0 - 2 化简得x20+ y20- x 0 - 7y0+ 10 = 0 ¹ . 又B 点在圆C 上, 可得( x 0 - 2)2+( y0 - 3) 2 = 1, 即x20+ y20- 4x 0- 6y 0+ 12 = 0 º .¹ - º得3x 0 - y 0 - 2 = 0, 回代到方程¹可解得x 0 = 2,y 0 = 4或x 0 =75,y 0 =115.因此, 所求切线l 的方程是y = 4 或3x + 4y - 13 = 0.( 生J 面带喜色地说出了自己的解法, 颇有成就感. )师: 生J 的方法新颖自然, 虽然也用了直线斜率, 但结果却是对的. 大家帮他看看, 其解题过程有没有问题?生K: 得到的x 0 = 2,y0 = 4虽然满足题意, 但不满足kAB . kBC = - 1, 因此过程不够严谨.师: 能否用我们学过的知识来变通一下, 使其严谨?生K: 用向量的方法, 即AB L BC.师: 你说得太好了! 由AB L BC 可得( x 0 +1) ( x 0 - 2) + ( y0 - 4) ( y 0 - 3) = 0, 也就是x20+y20- x 0 - 7y0 + 10 = 0.( 学生能想到用向量的方法, 说明思路开阔.一种新颖的解法在师生的共同探讨下得到完善.在此基础上教者及时给出下面变式题,引导学生进一步探究. )变题1 点A(- 1, 4) 发出的光线l 射到x 轴上, 被x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆( x - 2)2+ ( y - 3) 2 = 1 相切, 求光线l 所在直线的方程.让学生思考片刻后, 陈述解法思路.生L: 根据光学知识, 点A(- 1, 4) 关于x 轴的对称点A c(- 1, - 4) 必在反射光线上, 这样就把问题转化为/ 自点A c(- 1, - 4) 作圆( x- 2) 2 +( y - 3) 2 = 1 的切线, 求切线的方程0.师: 好!你的转化手段用得很好, 但这样求出的切线是光线l 所在直线吗?生L: 不是, 但可由光线l 所在直线的斜率与所求切线的斜率互为相反数而得解.师: 对, 要注意准确. 你是着眼于点的对称性,能否从圆的对称性考虑呢?( 此话一出, 学生恍然大悟. )生L: 对呀, 圆C 关于x 轴的对称圆必与入射光线相切, 同样可达到转化的效果.( 学生尝到分析的甜头, 很是高兴, 教者要求学生自选其中一种方法求解. )变题2 变题1 中,若其反射光线所在直线被圆( x - 2) 2 + ( y - 3) 2= 1 截得的弦长为2 155, 求光线l 所在直线的方程.师: 弦长条件怎么用?生M: 我想可以用弦长公式( 听了生M 的发言, 有的学生感到茫然) .师: 显然, 你是受参考资料的影响, 可以作为一种思路求解. 但我现在要求大家从/ 形0 入手分析, 看能否得到其他方法. ( 教者恰当的定向引导有利于学生的思维深入) 设弦为EF , 那么EF 与圆心C 之间有什么联系呢?在教者的启发引导下, 学生很快发现Rt v EGC( G 是弦E F 的中点, 如图3) , 因而题设条件转化为已知圆心到直线的距离为105( 因受时间制约, 变题2 和下面的变题3 的解答过程要求学生课后完成. )变题3 自直线x+ y = 2 上任一点P ( x , y)作圆C: ( x - 2) 2 + ( y- 3) 2 = 1 的两条切线, 切点分别为A, B, 求四边形PACB 面积的最小值.师: 今天, 我们从已掌握的知识出发, 归纳得到了判断直线与圆的位置关系的两种方法, 它们都体现了数与形的有机结合, 但我们在具体解题时不能机械地运用, 而应针对题目实际灵活选用方法.课后书面作业: 课本第105 页习题2. 2( 2) 第2、3、4、5 题.思考题: 变题3中( 1) 四边形PACB 能否为正方形?若能, 求出正方形面积; 若不能, 说明理由;( 2) 你能否求出切点弦AB 所在直线的方程?师：下课！生：老师再见！。
直线和圆的位置关系实录
直线与圆的位置关系(课堂实录)
师:同学们都骑过自行车,即时没有骑过自行车的,也做过汽车.无论是奇自行车的还是做汽车的,我们都会有共同的感受,当车在凸凹不平的路面上行驶时,就有颠波的感觉,这除了有物理因素而外,还可以用数学知识来解释.今天我们就来学习有关的知识.
板书:直线与圆的位置关系
师:出示某山地车在凸凹不平的山地上行驶时的图形.
同学们观察小车在运动过程中,车轮与水平线有几种不同的位置?
生1:有三种:第一种是地面与车轮挨着,第二种是车轮在凸的山上时,与水平面没有挨着,第三种是水平直线通过了这个圆.
师:圆在不同的位置时,水平直线与圆的公共点的个数情况怎样?
O
A oOOO。
人教版数学九年级上册教案24.2.2《直线和圆的位置关系》
人教版数学九年级上册教案24.2.2《直线和圆的位置关系》一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的内容，本节课主要探讨直线和圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
通过本节课的学习，学生能够理解直线和圆的位置关系的概念，掌握判断直线和圆位置关系的方法，并能够运用这一知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、圆的基本概念和性质，具备了一定的几何思维能力。
然而，对于直线和圆的位置关系的理解和运用，仍需要通过本节课的学习进行深化。
此外，学生对于实际问题的解决能力也需要在本节课中得到提升。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解直线和圆的位置关系的概念，掌握判断直线和圆位置关系的方法。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的概念，判断直线和圆位置关系的方法。
2.教学难点：直线和圆位置关系的实际应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、操作、思考，自主探索直线和圆的位置关系。
3.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直线和圆的位置关系的图片和动画。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.板书设计：设计板书，突出直线和圆的位置关系的判断方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如自行车轮子与地面的关系，引出直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示直线和圆的位置关系的图片和动画，引导学生观察和思考，初步理解直线和圆的位置关系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，通过观察和操作，探索直线和圆的位置关系。
听课记录直线与圆的位置关系太阳从升起来
听课记录：直线与圆的位置关系，太阳从升起来前言
近日，本人有幸参加了一场以数学为主题的线下讲座，别出心裁的主题吸引了许多数学爱好者的到场，更令人兴奋的是，所有听众都可以在讲座结束后获得一份实用的讲课手记。
在这篇文档中，我将通过Markdown文本格式，概括并记录这次讲座的核心内容和重点，分享给更多喜欢数学的同好。
直线与圆的关系
讲师从生活中的例子入手，引出了圆和直线的应用场景，告诉我们圆和直线之间有着不可替代的联系和重要的数学含义。
首先，讲师阐述了直线与圆的一些基础概念，“切线。
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切线的性质、内切圆
【预习反馈】
师：（微笑）判断直线与圆相切有哪些方法？
生：（抢着站起来）有两种方法：①利用圆心到直线的距离等于圆的半径；②利用切线的判定定理．
师：（赞许地点点头）还有谁补充吗？
生：（赶紧补充）还可以利用切线的定义来判定．
【情境导入】
师：（投影问题并读题）如图，直线AP与⊙O相切于点A，连结OA，∠OAP等于多少度？
在⊙O上再任意取一些点，过这些点作⊙O的切线，连结圆心和切点，半径与切线所成的角为多少度？由此你发现了什么？
（学生很感兴趣，赶紧动手操作）
〖评析〗教师深入到小组，重点关注：①学生是否有动手操作的好习惯；②学生在活动中发表个人见解的勇气；③学生能否找到解决问题的方法．
【探索新知】
师：（稍等片刻后）哪一组同学汇报你们的发现？
生：（很有把握地）我们发现所有的半径与切线所成的角都是直角．
生：（赶紧补充）这个说法不准确，应该是说成过切点的半径与切线所成的角是直角．师：（微笑着追问）过切点这个条件能不能省？
生：（肯定地）不能省．因为每条切线都只与过切点的这条半径垂直，与其他半径不一定垂直．
师：（赞许地点点头）你说得太好了．谁能用准确的几何语言描述这个事实？
生：（略作思考后）圆的切线与过切点的半径垂直．
师：（归纳、板书）切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线；
我们还可得出两个推论：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
师：（边说边打开准备好的题目）利用切线的性质定理你能解决以下问题吗？
师：（试探）学习过切线的性质定理后，看到已知条件中含有切线时，你有什么想法呢？ 生：（思考片刻）过切点的半径与切线垂直．
师：（试探说道）在已知切线的前提下，通常连接切点和圆心得到半径与切线垂直．现在
这道题你能解决了吗？
生：（自信地）CD 是⊙O 的切线，可考虑连结CO ，利用切线的性质定理可知OC ⊥CD ，
由AD ⊥CD ，易知OC ∥AD 。
由OC 、OA 是两条半径，可知∠OCA ＝∠
OAC ，再由OC ∥AD ，得到∠OCA ＝∠DAC ，所以∠OAC ＝∠DAC ，从而得AC 平分∠DAB ． 师：（小结）在解有关圆的切线的问题时，常常需要作出过切点的半径。
请同学们完成解
题过程．
师：请同学们想一想过平面内圆外一点作圆的切线，可以作几条？
生：（脱口而出）两条．
师：很好，请同学们动手画一画．
师：（稍等片刻）过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的
切线长．想一想切线长和切线和区别吗？
生：切线是直线，不能度量；而切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点
和切点，可以度量．
师：那么这两条切线长可能存在什么数量关系呢？
生：（赶紧补充）可能相等．
师：（微笑）你能验证吗？
生：能。
连结OA 、OB 、OP ，△OAP ≌△OBP ，所以PA ＝PB ．
师：（板书）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，再连结AB，图中有哪些垂直关系？
生：OA⊥P A，OB⊥PB，AB⊥PO．
师：除半径外图中又有哪些线段相等呢？
生：P A＝PB，AC＝BC．
师：又有哪些劣弧相等呢？
生：弧AD和弧BD相等，弧AE和弧BE相等．
师：请同学们想一想，从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
生：（略作思考）当所截的圆与三角形三边都相切的时候，圆的面积最大．
师：应该怎样画出这个裁剪图呢？
生：（感觉十分茫然，不知如何入手）
师：想一想，作圆的关键是什么？
生：（脱口而出）确定圆心和半径．
师：想一想，若圆与三角形的两边都相切，圆心的位置有什么特点？
生：圆心在这两边所夹角的平分线上．
师：那画出这个三角形一个内角的角平分线，能确定圆心的位置吗？
生：（齐）不能．
生：（赶紧补充）老师，我知道．圆心应该是三角形两个内角的平分线的交点．
师：很好．现在你能画出这个裁剪图了吗？
生：（急着摇头）还不能．
师：为什么呢？
生：还不知道半径．
师：（追问）你说得真好．如何确定半径呢？
生：圆心到一边的垂线段就是圆的半径．
师：请同学们动手任意画一个三角形，再画出与这个三角形三边都相切的圆．（学生动手画，教师巡视。
当所有学生把圆画出来后，教师可打开计算机给同学们作演示）
师：（口述并板书）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．
师：（边说边打开准备好的题目）现在我们一起加深三角形内切圆的理解．
生：设AF为x cm，则AE、CE、CD、BF、BD都可用含x的代数式表示，根据BD＋CD ＝14cm可列方程解决问题．
师：（口述并板书）
解：设AF＝x（cm），则AE＝x，
CD＝CE＝AC－AE＝13－x，
BD＝BF＝AB－AF＝9－x，
由BD＋CD＝BC可得（13－x）＋（9－x）＝14。
解得x＝4．
因此AF＝4（cm），BD＝5（cm），CE＝9（cm）．
师：（边说边打开准备好的题目）现在我们再一起加深对三角形内切圆的理解．
学生练习，教师巡视。
师：相信大家一定做好了，我们来一起看看。
生：∠BOC的度数是100°，∠BIC的度数是115°．
师：说说你是怎么思考的？
生：因为O 为△ABC 的外心，∠BOC 与∠A 分别是弧BC 所对的圆心角和圆周角，所以
∠BOC ＝2 ∠A ＝100°．因为I 是BI ，CI 两条对角线的交点，
所以∠BIC ＝90°＋2
1∠A ＝115°． 师：很好，完成正确．
〖评析〗在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径．几条切线与同一圆相切，
应注意出现几条切线长，从而发现必要的等量关系．由三角形内心可构造角平分线，产生角的等量关系．
师：最后谈谈本节课你有哪些收获？
生：我知道了圆的切线的3个性质，知道了切线和切线长定理．
生：（补充）我知道了三角形的内切圆和内心．
……
【课堂测试】
师：好样的！接下来我们一起做3道题
学生练习。
教师批改。
教师有重点讲评．
【课后提升】
请大家记好今天的作业：。