初一数学寒假课程(完整版)

初一数学寒假课程

第一讲整式的概念

概念总汇

1、代数式的有关概念

（1）代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

（2）代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。 说明：当系数是1或－1时，1省略不写，如－ab ，2

a 等。 2、整式的有关概念

（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．

说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如

x y 2就不是一个单项式，因为2y 与x 之间是除法运算．但是，21 ab 2是单项式，因为2

1

是一个数．a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，

35 ，x ，2

x

等都是单项式 （2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和．如单项式3x 2、2xy 、3

1

x 2y 、

2

1

x 的次数分别是2、2、3、1．特别地，单独的一个数字，如3，－９等，可以当做0次单项式来看待．

（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．

说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．

（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x 2＋2x －1是由单项式x 2，2x 和－1相加而得到的

（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．

说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4． （6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。 说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2． （7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．

（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如：

x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ① ＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ② ＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③ ＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4 ④

其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．

（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．

说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．

方法引导

1. 对单项式、多项式、整式进行判断

例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式． 难度等级：A (1)－3xy 2；

(2)2x 3＋1；

(3)

2

1

(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0；

(6)

y

x 2； (7)

32xy

； (8)

x

21； (9)x 2＋

x 1－1； (10)1

1+x ； 【知识体验】只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x 即x 2,或x ÷2即2x 这样的式子，那么2x ,x

2

是整式吗？2

x

可以写成2

1

·x ,所以

2x 是单项式，而2

x

是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)y x 2；(8)x 21；(9)x 2＋x 1－1；(10)1

1

+x ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。

【易错提示】 (6)

y x 2 和 (7)3

2xy 这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成xy •32，所以是单项式，而（6）是2x ÷y ，所以不是单项式也不是整式。(3)2

1

(x ＋y ＋1)；会误以为是单项式，其实21 (x ＋y ＋1)＝21x +21y +2

1

，所以是三个单项式的和，是一个多项式。

2、说出单项式、多项式的次数和项 例2 指出下列各单项式的系数与次数： 难度等级：A

（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3

43

2y

x π （4）－3； 【知识体验】单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm 3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：

3432y x π的系数是34π，次数是5。另外，像－3，2

1，0等这样的常数，是零次单项式． 【易错提示】-nm 3的系数是-1；3432y x π的系数是34π，次数是5，如写成系数是4

3

，次数是6就不对了.

例3、 填空： 难度等级：A

（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是

次

项式，最高次项的系数是

，四次

项的系数是

，常数项是

，补足缺项后按字母x 升幂排列得

；

（2）多项式a 3-3ab 2+3a 2b -b 3是 次

项式，它的各项的次数都是

，按字母b 降幂排列得

.

【应用体验】－2π4是常数项，不是4次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.

【解题技巧】多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项