12-10高斯定理应用与环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
高斯定理和环路定理
高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。
它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。
本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。
一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。
高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。
高斯定理的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。
通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。
高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。
二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。
环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。
具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。
环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。
环路定理的应用也非常广泛。
例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。
通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。
环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。
三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。
虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。
例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。
《高斯定理环路定理》课件
环路定理的应用
总结词：广泛适用
VS
详细描述：环路定理在电磁学、电动 力学、麦克斯韦方程组等多个领域都 有广泛应用。它可以用来计算磁场穿 过任意封闭曲线的线积分，从而解决 一系列实际问题，如电磁感应、磁场 分布、电磁波传播等。
03 高斯定理与环路定理的比较
定理表述的比较
总结词
高斯定理和环路定理的表述形式各有特点，高斯定理强调空间区域内的电荷分布 ，而环路定理则关注磁场的变化。
应用。
02 环路定理
环路定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：环路定理表述为“磁场穿过一个封闭曲线的线积分等于零”，即磁场在封闭曲线上的线积分与路径无关，只与起 点和终点的磁通量有关。
环路定理的证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过引入矢量场和微分同胚等概念，利用矢量场的散度和旋度的性质，经过严谨的数学推 导，证明了环路定理的正确性。
复杂模型应用
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分析一个通电螺线管的磁场分布，通过环路定理确定磁 场方向和大小，展示环路定理在实际问题中的应用。
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对比验证
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通过对比环路定理和传统积分方法的计算结果，验证环 路定理的正确性和高效性，强调环路定理在电磁学中的重 要地位。
05ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ总结与展望
环路定理是电磁学中的基本定理之一 ，它表述了磁场沿闭合路径的线积分 等于穿过该闭合路径所围成的面积的 磁通量。环路定理反映了磁场沿闭合 路径的线积分与磁通量之间的关系， 是计算磁场分布、磁通量、磁感应线 和磁力等方面的重要工具。
比较与联系
高斯定理和环路定理都是电磁学中的 基本定理，它们之间有着密切的联系 。通过高斯定理可以推导出环路定理 ，反之亦然。它们在描述电场和磁场 分布方面具有不同的侧重点，但都是 描述电磁场性质和行为的重要工具。
高斯定理和环路定理
E
++
+ o+
++
P
dSE
S +e S
E S E dS 左 E dS 右 E dS 2ES
高斯面所包围的电量为
q eS
由高斯定理可知 2ES e S / 0
由此可知，电场强度为 电场强度的方向垂直于带电平面。
E e 2 0
e 0 电场强度方向离开平面 e 0 电场强度方向指向平面
（2）对于闭合曲面
约定：闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。
出发点：一条穿过闭和曲 面的电场线对这个闭和曲
/2
n
面的电通量的贡献为零
E
电场线穿出闭合面为正通量，
电场线穿入闭合面为负通量。 n 0 / 2 E
二、高斯定理
1. 高斯定理的内容 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，
3、关于高斯定理的说明
1、通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷 的代数和，与闭合曲面内的电荷分布无关,闭合曲面外的电荷 对其电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处 的场强大小和方向；
2、高斯面上电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定；
3、 q 是电荷的代数和, qi 0 并非高斯面内一定无
电荷,E有d可s 能 是面内0正负电并荷非数高目斯相面同上;场强一qi 定处0处为也零只若是；表明,
s
e
Φ 0 4、 e
只能说明高斯面内电量的代数和为零,并非一定没
有电力线穿过;可能是穿进和穿出的一样多而以净电场线数目为零。
三、高斯定理的应用举例
磁场的高斯定理和安培环路定理
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
《高斯定理环路定理》课件
本课件将深入浅出地讲解高斯定理和环路定理，为您揭开物理学的神秘面纱。 通过实例和推导，让您轻松理解这两大重要定理。
高斯定理
定义
应用
推导过程
高斯定理是描述电场、磁场与它 们的源之间关系的基本定理之一。
高斯面积定理可用于计算电场的 强度；高斯电场定理可用于计算 电场在任意分布情况下的总电通 量；高斯磁场定理可用于计算磁 场在任意分布情况下的总磁通量。
高斯定理与环路定理的联系
1
电场情况下的关系
高斯面积定理和环路定理可以在描述电场问题时相互转化，即可以利用高斯面积定理 来得出它们的应用环路定理，也可以利用安培环路定理来得出它们的应用高斯电场定 理。
2
磁场情况下的关系
对于静态磁场问题，磁场的旋度为0，因此环路定理不适用，但它可以通过高斯定理类 推出高斯磁场定理；当磁场有变化时，环路定理可以应用于计算磁场的涡旋，高斯定 理则无法使用。
3 可能存在的问题和研究方向
在使用高斯定理和环路定理进行研究的过程中，也可能会面临一些问题，例如精度不够、 误差较大等。为此，我们需要不断开展相关的研究，以求对问题有更好的解决。考文献1 23
Wang, S. Z., &Liang, Z. W. (2017). 高等物理学教程 第二卷 珍珠岩版. 高等教育出版社.
我们将通过详实的推导过程，让 您逐步理解高斯定理的计算原理。
环路定理
定义
环路定理是描述电流与磁场 之间关系的基本定理之一， 它也被称为安培环路定理或 法拉第电磁感应定律。
应用
我们可以利用安培环路定理 来计算磁场的强度，利用法 拉第电磁感应定律来分析发 电机的工作原理等。
推导过程
环路定理的推导过程相对简 单，通过本节内容，您将轻 松地掌握环路定理的应用。
高二物理竞赛课件：磁场的高斯定理和安培环路定理
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平 面平行，则有
dB' dB
dB''
dl'
l pd c
o dl''
ab
方向如图所示。
结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
14
是与环共轴的一系列同心圆。
11
设螺绕环的半径为
，共有N 匝线圈。
以平均半径 作圆为安培回路 L得：
R
L
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。 同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：
12
例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，
其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流
密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。
其方向与电流满足右手螺旋法则。
10
例3： 求载流螺绕环内的磁场。 解：设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I。
磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线 (即每一个圆线圈过圆心的垂线)
根据对称性知，在与环共轴的
圆周上磁感应强度的大小相等，
p
方向沿圆周的切线方向。磁感线
表达式
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的，I 为正，否则为负。
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
3
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。
r
4
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路
12磁场的高斯定理和安培环路定理解读
穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
磁通量单位：韦伯，Wb
2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r
磁介质中的高斯定理和安培环路定理.
B 0(H M ) 0(H mH) 0(1 m)H
在各B向0H同r0H性r H介质r中H10B.rH为m磁相关导对系 率磁：B导 率。0D r电H介0质rHE中
E
在真空 中 r 1, B0 0H
3.明确几点：
①. H 是 一辅助物理量，描述磁场的基本物理量仍然
是 B。H是 为消除磁化电流的影响而引入的，
B 和H 的名字张冠李戴了。
4
②. H 既与磁感应强度B 有关，又与磁化强度M 有
关，所以H 又是混合物理量。
③.磁场强度 的单 位与磁化强度相同，安培/米，A/m
④.若 H dl 0不一定环路内无电流。
或由 I s (r 1)I c
求 Is；
9
例1：长直螺线管半径为 R ，通有电流 I，线圈密度 为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质， 求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。
解： 由螺线管的磁场分布 可知，管内的场各处均匀
R
r
a Bb
一致，管外的场为0；
H
1.介质内
10
H dl H dl 0
bc
da
因为 cd 段处在真空中，真
a
B ab H b
空中的 M = 0；B = 0 ，
有 H dl 0
d
c d
Ic
cd H dl
H dl
Hdl cos H dl H ab I c
§12.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理
1
一、磁介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中，磁介质受到磁场的作用要产
磁场的高斯定理和 安培环路定理.ppt
B d S B d S
S1
磁通量仅由 的共同边界线所决定
S2
能否找到一个矢量A，它沿L作 线积分等于通过S的通量？
A dl B dS (a)
L
S
数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对
于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的
分布也构成矢量场，简称矢势。
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
§3 §4 磁场的高斯定理和安培环路定理
第二章 恒磁场
例5 无限长圆柱电缆的磁场(两空心圆筒)
解 0 r R1, B d l 0 B 0
第二章 恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1）对称性分析 2） 选取回路
RR
rR
Bdl l
0I
L
2π rB 0I
B 0I
2π r
r B
0 r R
l
B
d
l
0
π π
r2 R2
I
2π rB 0r2 I
R2
B
0Ir
2π R2
I . dB
ABLCDLA
B dl
AB B dl，
BLC
B dl
CD
DLA
B dl， B dl
B dl
AB
CD
BLC
CLB
DLA
L
B dl B dl 0，即 B dl B dl
磁场的高斯定理和安培环路定律
0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的
静电场的高斯定理和环路定理
静电场的高斯定理和环路定理
静电场是指电荷分布静止不动的情况下所产生的电场。
在静电场中，高斯定理和环路定理是两个非常重要的定理。
高斯定理是描述电场通量的定理，它表明：在任何闭合曲面内，电场的通量等于该曲面内的电荷总量除以介质常数。
即：ΦE = ∫E · dS = Q/ε0
其中，ΦE表示电场的通量，E表示电场强度，dS表示曲面元素的面积，Q表示该曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的介电常数。
环路定理则是描述电场中电势的变化的定理，它表明：沿着任意闭合回路的线积分等于该回路内的电荷的代数和除以电容。
即：∮Edl = 0
其中，∮Edl表示沿着回路的电场强度的线积分，E表示电场强度，dl表示回路的微元长度，如果回路内有电荷则其代数和为Q。
电容则是电荷和电势之间的比值。
高斯定理和环路定理是静电学中的基本定理，对于研究静电场的性质和计算电场强度、电势等都具有重要的意义。
- 1 -。
磁场中的高斯定理及安培环路定理
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS
磁场的高斯定理和安培环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
磁场中的高斯定理及安培环路定理
0
l
l
μI
Ñl 2π0R dl
R
l
v B
r
μI 0
2πR＝μ
I
2πR
0
若l 绕行方向与图示方向相反，则
B 0I 2R
dl
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
π＝μ 0
(
I
)
Ñ l
l
赋予电流代数含义，则
v B
dlv＝μ
I
0
l
2. 无限长直电流通过垂直平面内的任一回路
r
Ñ B
r dl
Ñ B
cosθdl
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
d
c
讨论
关于安培环路定理的应用
BdS
0 I
adx
d x
2 x
通过矩形线圈的磁通量为:
dx
d
d b
0I adx
0Ia ln d b
d 2 x
2 d
15.4 安培环路定理
rv
一. 引言：稳恒磁场的环流 Ñl B dl ?
二. 定理推导
1. 无限长直电流通过圆形回路圆心且垂直于该回路
I
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
电场的高斯定理和环路定理的成立条件和物理内涵
高斯定理（Gauss’s Theorem）和环路定理（The Ampere-Maxwell Law）是物理学上电场中重要的两个定理，描述了电流的流动以及电荷的影响。
高斯定理提供了一种描述电场的方法，即在宏观尺度上，电荷的总量决定其受影响的范围。
它可以通过一个球面的贴片来表示，每一贴片上的电荷量为零。
具体来说，它定义了任何内测面内电荷的累加值就可以表示外部电场，也就是高斯定理说明电荷就等于外部电场。
这个定理让人可以方便地描述一个电荷四周的电场，并且可以很容易地计算出电荷外围的电场强度和朝向。
环路定理中，它指出电流可以通过一个环形路径，以及流入和流出环形路径的电荷量之和，就可以反映该环形路径上的电场强度和方向。
也就是说，环路定理表明，电流的和就可以表示其所环绕的某个空间电场。
总之，高斯定理和环路定理在电学中都有重要的地位，它们不仅让我们更好地描述电场，也给出了电荷对外部电场的影响，极大地促进了理解电场的发展。
电磁学_09_稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
第九讲 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理01 磁感应线为描述空间磁场的分布，人为引入一系列假想的曲线(1831年法拉第首次引入)。
曲线的疏密反映磁感应强度的大小，曲线每一点切线方向表示磁感应强度的方向。
这些假想的曲线称为磁感应线。
如图XCH003_106所示，在磁场分布的空间一点选取一面积元dS ，面积元法线方向用单位矢量n表示，该面积元在磁感应强度方向上的投影大小dS ⊥。
磁感应强度大小： m d B dS ⊥Φ= —— 通过垂直B 方向上单位面积的磁感应线条数，也称为磁感应线密度 磁感应强度方向沿该点磁感应线的切线方向，即小磁针放在该点静止时，N 所指的方向。
02 磁通量如图XCH003_106所示，通过dS 的磁通量：m d B dS Φ=⋅02πθ≤< —— m d Φ为正；2πθπ<≤ —— m d Φ为负穿过曲面S 的磁通量：m S B dS Φ=⋅⎰ —— 如图XCH003_097所示规定面元法线方向由里向外为正，如图XCH003_107所示，通过一个闭合曲面S 的磁通量：Sm B dS Φ=⋅⎰ —— 穿过闭合曲面S 的磁通量为净穿过闭合曲面磁感应线的总条数 03 磁场的高斯定理0SB dS ⋅≡⎰ —— 无源场 由于磁感应线是闭合线，因此，对于一个闭合曲面S ，穿入的磁感应线的总数必然等于穿出的磁感应线总数，即通过任一闭合曲面的磁通量总是零。
稳恒磁场的高斯定理是电磁场理论的基本方程之一。
04 安培环路定理1安培环路定理在恒定电流产生的磁场中，磁感应强度沿任一闭合回路L 的线积分，等于闭合回路包围的所有电流代数和的0μ倍。
0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ —— 安培环路定理的数学表达式 安培环路定理的证明1) 无限长载流直导线 —— 平面闭合回路L 垂直于导线，回路绕行方向和电流满足右手螺旋关系 导线周围的磁感应强度：02I B rμπ=，如图XCH003_126所示。
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d1 d2 0 E dS 0
S
dS1
q
E2
E1
+
dS 2
点电荷系的电场
E dS E1 dS E2 dS En dS
S S S S
Φe1 Φe 2 Φen
U
dq 4 0 r
1
参考点的选择 方
参考点的选择
电场强度已知或可求 电荷的分布已知
先算场强 带电体划分dq
法 选择合适的路径 l 计算积分
dq dU
dU U dU
例5.正电荷q 均匀分布在半径为R 的细圆环上,求圆 环轴线上距环心为x 处P 点的电势。 解：利用叠加原理
qdl dq dl 2πR
电通量
电量
q 0
i
s1
用高斯定理求解
+ r R + + + + + +
+
+ +
+ q + + + + +
E
E1 4 r 0
2
E1 0
（2） rR
2 e E d S E d S E 4 r 2 2 2
s2
qi q
E2
C.F.Gauss
点电荷位于球面中心
e
S
S
E dS
q 4 0 r
2
dS
+
r0 dS
R
q 4 0 r
q
2
dS
S
0
点电荷在任意闭合曲面 S内
S
以点电荷 q 为球心， 作半径任意的球面S1
+
S1
q S S1 ε0 点电荷在闭合曲面外
E dl 0
l
在静电场中，静电场中电场强度沿任意闭合路 径线积分（环流）为零。
三、电势能
试验电荷在电场中某点的电势能，在数值上等
于把它从该点移到零势能处电场力所做的功。
Wab Aab q0 E dl
b
（b 点为零势能点）
说明：
a
静电势能属于系统 静电势能的大小是相对量 静电势能是状态函数
E
Φ 0
1 in Φ qi ε0 1 n in qi E dS ε0 i 1
in ei
out 述：真空中通过任一闭合曲面的电场强度 通量等于该面所包围电荷的代数和除以0。
数学表达：
qi s E dS 0
2 e E d S E d S 4 r E
S S
r
R Q
O
E
4 Qr q r3 3 4 3 3 R R 3
Q
3
Qr E＝ 4 0 R3
Q
E
当r>R时
q Q
E＝
Q 4 0r 2
o
R
r
第三节 电势
一、静电场力的功
b
dE
习题： P139
2，3，5, 6
计算电势的方法
1.点电荷场的电势及叠加原理
U
i
计算场强的方法
1.点电荷场的场强及叠加原理
Qi r E 3 i 4 0 r i
E dQ r Q 4 r 3 0
4 0 ri
Qi
（分立） （连续）
（分立） （连续）
dQ U Q 4 r 0
环路定理
Aab
a
qq0 r dl q0 E dl 3
4π 0r
r dl rdl cos rdr
qq0 rb dr A 4π 0 ra r 2 qq0 1 1 ( ) 4π 0 ra rb
b dl dr E rb
3.高斯定理的意义及应用
高斯定理的意义 反映了静电场是有源场的基本性质 为建立电磁场理论提供了重要的理论基础 为场强的计算提供了一种简便方法
源于库仑定律，但应用更为普遍
计算场强步骤：
1. 对称性分析
电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性 球对称性、轴对称性、面对称性等
2. 场强分布的特点，作适当的高斯面
R
R
o
A
rA
rB
B
r
Q U E dr rB 4 πε0 rB
U
Q 4 π 0 R
Q 4 π 0 r
o
R
r
七、等势面 场强与电势的关系
1.等势面
电场中电势相等的点组成的曲面。
特征：
电场线与等势面处处正交，并指向电势降低的方向
疏密程度反映着电场的强弱 电荷沿等势面移动时电场力不作功
r
q
ra
a
q0
结论：A 仅与q0 的始末位置有关，与路径无关
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
E Ei
i
A q0 E dl q0 l Ei dl
l
i
结论：静电场力做功与路径无关，静电场是保守场 二、静电场的环路定理（circuital theorem）
2.电势与电场强度的关系
1）积分关系 2）微分关系
U ab
b
U U U E （ i j k ) gradU x y z
a
E dl
电偶极子的电场线和等势面
作心电图时人体的等势面分布
真空中静电场小结
1.两个物理量 E
2.两个定理
U
qi内 i E d s S 0
z
+ +
（1）r R
S ( 侧面）
en
+ + +
E dS
S ( 上底）
E dS
S (下底）
E dS
E
h 2πrhE 0
E 2 π 0 r
h
r
o y
e n en
x
（2）r R
2 E 2 rh r h 2 0 R
U ab Wab U a Ub q0
b
a
E dl
a、b两点的电势差等于把单位正电荷由点从a
点移到b时，电场力作的功。
将电荷q 从ab电场力的功
Wab q0
b
a
E dl q0 (U a U b )
说明： 电势能是描述电荷与电场相互作用的能量，属于 系统 电势是描述电场能量性质的物理量，与试验电荷 无关，只由电场决定 当试验电荷为单位电荷时，两者量值相等，但物 理意义、单位各不相同
待求场强的场点应在所选高斯面上
穿过该高斯面的电通量要容易计算
3. 计算电通量和高斯面内所包围电荷的代数和，最
后由高斯定理求出场强
例1. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0
解: 对称性分析
E 具有球对称 作高斯面—球面
（） 1 rR
e E1 dS
2 E1 d S E 4 r 1
E r 2 2 0 R
r 2 R 2 (r R） 0 E （r R） 2 0 r
例3. 均匀带电无限大平面的电场，已知
解: 假设面电荷为正电荷
E S S
E 具有面对称性
S1
E
e E dS E dS E dS
Electrostatic Field
高斯定理
高斯定理的应用
环路定理
电势
重点：高斯定理、环路定理、电势 难点：高斯定理应用与电势的计算
三、高斯定理及应用
1.高斯定理的导出 德国数学家、天文学家和物理学
家，有“数学王子”美称。 研究思路： 在点电荷q 的电场中，通过计算电场强度通量， 应用库仑定律，电场强度叠加原理导出。
E3 E2
E1
qi U P U Pi i i 4 π 0 ri
电荷连续分布
dq UP 4 π 0 r
d q d V d q r dE
q P
2.电势的计算
Ua
b
a
E dl
思考：高斯面上的
E 与哪些电荷有关？
说明
s
E dS
q
0
i
1.电通量只与曲面包围的电荷有关,与外部电荷及
内电荷的分布无关。
2.等式右侧为零，只能确定电通量等于零,但不能
确定高斯面内无电荷，更不能确定高斯面内场强
处处为零。
3.高斯面的场强包括内外电荷的贡献；电通量则是
由内部的电荷来贡献。
例7 真空中有一电荷为Q半径为R 的均匀带电球面。 试求：(1)球面内任意点的电势； (2)球面外任意点的电势。
解:
分段进行积分
R
Q
0 r R E Q r R 2 4ε r 0
o
A
rA
rB
B
r
（ 1） r R Q R U E dr E dr rA R 4 πε0 R （ 2） r Q
Wab Ua q0
SI： 1V 1J C
-1
六、电势叠加原理 电势的计算
Ua
a
E dl
q 4 0r
q1
1.电势叠加原理 点电荷系
U P E dl