第3讲效用最大化与支出最小化

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第三章价格变化对消费者的配置效应与福利分析

劳动的供给问题*
• 问题的扩展：收入来源是：劳动和非劳动收入消费商品：一般商品和闲暇新问题：在时间有限情况下，如何选择劳动与闲暇，使总效用最大？
模型
l代表闲暇，w代表闲暇的价格， x代表一般商品， p代表x的价格， L 代表总时间，（ L l）代表工作时间， m代表非劳动收入 , M代表总收入。基本模型： maxU ( x, l ) s.t. px w( L l ) m px wl wL m 使用拉格朗日乘数法，可得：
– 补偿性变化（CV,comprehension variation） – 等值性变化（EV,equivilent variation）
衡量消费者福利变化
P1
净福利损失
p1 '
消费者剩余减少
p10
x1 ( p, m)
X1
补偿性变化（CV）
• 假设考虑收入m不变，p1下降的情形。
x1商品价格从p10下降到p1' , 如果在u0水平上按照p1' 来消费，与原来的 m收入相比，
将其代入上式，可得： dxi ( p, pw) hi ( p, u ) xi ( p, pw) (w j x j ) dp j p j m
结论
当i j , 且为正常商品，如果w j x j (即是该商品的净消费者)，则价格上涨，对该商品需求是下降的。如果w j x j (即是该商品的净拥有者)，则结果是不确定的。至少引起的对该商品的需求的减少程度是较小的，甚至可能会增加。即财富的收入效应。

第三讲间接效用函数与支出函数

n v(a ) g ( x(a ), a ) xi (a) f ( x(a), a) (a ) － ....(3) a j xi a j a j i 1
再返回一阶条件公式(1), 并对方程组的第二个恒等式g ( x(a), a) 0 求关于a j的微分 : g ( x(a), a) xi (a) g ( x(a), a) 0 x a j a j i 1 i 再整理得到 :
p
y
• 现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较，价格补贴发放办法比较。 • 问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些? • 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ • 商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者更为有利？ • 为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。
性质2的证明
v(tp, ty ) [max u ( x), 受约束于tpx ty ]，它显然等价于[max u ( x), px y ] 用t>0去除约束条件两边，得到v(tp, ty ) [max u ( x), tpx ty ] v( p, y )

03--第3章效用函数

0..........(2)
L
I P1x1 P2 x2 0.........(3)
（1）式
a
（2）式 x1P1 b x2 P2
代入（3）式也可求得P.59结果
Chapter 1效用函数
19
凹效用函数和凸无差异曲线
最优化问题的一阶条件通常只是必要条件，而不是充分条件。
如果效用函数是凹的，那么一阶条件不仅是最大化的必要条件，而且是充分条件。
Chapter 1效用函数
21
案例分析
案例说明
亚当•斯密200多年前提出著名的“价值悖论”，又称“价值之谜”，即有些东西效用很大，但价格很低，比如人的生命必不可少的水，而有些东西效用不大，但价值很高，如钻石
Chapter 1效用函数
22
案例分析
案例问题这是为什么呢？请用经济学原理加以解
max x1 , x2
U
x x a b 12
s.t. P1x1 P2 x2 I
Chapter 1效用函数
18
预算约束下的效用最大化
或构建拉格朗日方程
L x1a x2b ( I P1x1 P2 x2 )
L x1
ax1a1 x2b
P1
0.........(1)
L x2
bx1a x2b1 P2Baidu Nhomakorabea

高级微观练习题及答案

1．两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1。假设可投入的劳动量总共为48。

（1）写出生产可能集Z 的代数表达式；（2）写出生产（隐）函数；（3）在(),x y 平面上标示生产边界。

解：（1）由题意可知，总量为48，劳动L 是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：

848x y +≤ 因此，生产可能集Z 的代数表达式为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤。

（2）一单位x 产品需要的劳动投入量是8，一单位y 产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为8x y L +=。

（3）由（1）可得，生产可能集Z 为(){},,848Z x y L x y L =+≤≤，如图1-1所示。

2．试画出Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=的等产量线。

解：由Leontief 生产函数()}{1,21221min ,f x x x x ββ=表达式可知，当1221x x ββ=时，2121x x ββ=，由此可得到其等产量线如图1-2所示。

3．对Cobb-Douglas 生产函数()1,21

2f x x Ax x αβ

=()0,,0A αβ>> （1）证明11MP y x α=，22MP y x β=。

（2）求技术替代率12TRS 。

（3）当y 或21x x 变化时，12TRS 如何随之变化？（4）画出等产量曲线。

解：（1）已知生产函数()1,212f x x Ax x αβ=，即12y Ax x αβ=，所以有：

第3讲效用最大化与支出最小化

复习第2讲，消费者最优化

2.1预算

2.2偏好

2.3效用

2.4选择

消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。

2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性

预算线的斜率——机会成本。

2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好

无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序

2.3效用：更简便的排序是用效用函数

效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格

2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合

最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。

但是并非满足相切条件的解是最优解。偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。

最优选择模型ch5

买得到的组合：稀缺排序：偏好

无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率

边际效用

预算集预算线

预算约束Ch2 相切：选择ch5

预算线斜率：商品1机会成本（边际成本）

无差异曲线的斜率：商品1的主观价值（边际支付意愿。保留价格）

第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）

3.1效用最大化

3.2支出最小化

3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系

3.1效用最大化

Max U＝U(x1, x2)

S.t. P1 x1 + P2 x2 = M

L=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)

L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)

L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)

L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)

作业3-效用最大化和支出最小化

第3次作业：效用最大化和支出最小化

1. 消费者的效用函数为1212(,)u x x ax bx =+，预算约束为1122p x p x y +=，请求解两种商品的马歇尔需求函数。

2．已知效用函数为1212(,)ln ln u x x x x =+，商品价格分别为1p 和2p 。请写出消费者的支出最小化问题并求解希克斯需求函数。

3．当消费者的效用函数为12(,)u x x =

11p =，24p =，8I = （1）求消费者的需求量和效用水平

（2）当对消费者征收2元的总额税时，消费者的需求量变为多少？效用水平为多少？

（3）如果对第一种商品征收从量税，每单位商品征收1元，消费者的需求量变为多少？效用水平为多少？

（4）征收从量税时，税收总额为多少？与（2）问相比较，看有什么结论。

4．消费者的效用函数为1212(,)min(,4)u x x x x =，商品价格分别为1p 和2p ，请求解两种商品的马歇尔需求函数。

第三章经典需求理论2

max u ( x) s.t. p x w x0
命题3.D.2 假定u()是一个连续效用函数，代表定义在 X上的局部非饱和偏好关系，则瓦尔拉斯需求对应 X(p,w)具有下述性质： 1. 在(p,w)上具有零次齐次性； 2. 瓦尔拉斯定律 3. 凸性/惟一性。
Kuhn-Tucker条件
最优解满足的一阶条件
*
3.E.2 3.E.3
x * [ p u ( x * )] 0
对偶问题
UMP与EMP是对偶问题
命题3.E.1 假设u()是一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，且价格向量p>0，则有： 1.如果当财富水平w>0时，x*在UMP中最优，那么当要求效用水平为u(x*)时，x*在EMP中也是最优的。且在这一EMP中的最小支出水平是w，即
如果u()连续可微，最优解 x* x( p, w) 的一阶条件（KT）是：（必要？充分？）
u ( x* ) pl , l 1, xl
* l
,L
3.D.1
u ( x* ) if x 0, then pl xl
u( x* ) p 内点最优：边际替代率等于边际交换率。
希克斯（补偿）需求函数
命题3.E.3 假设u()是一个连续效用函数，它代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，则对任意p>0，希克斯需求对应 h(p,u)具有下述性质： 1.在p上零次齐次； 2.没有超额效用； 3.凸性/唯一性。

中微习题集

习题集：

1、对于线性技术的生产函数

1212(,)f x x x x y =+=，求对应的成本函数。

2、我们知道，如果一个人消费n 种商品，那么这n 种消费品的收入弹性按照其消费开支比例加权平均为1。

（1）证明该规则。

（2）当把所有商品分成两类，即农产品和非农产品时，如果农产品为必需品（necessity ），则非农产品一定是奢侈品。

3、某两企业之间存在着生产的外部性，企业1给与企业2造成外部不经济。企业1生产x 产品，企业2生产y 产品，各自生产的成本函数分别为：

212x c = xy y c 222+=

企业2的成本受企业1的产量x 的影响。x 、y 的市场价格分别为80、60。

（1）假设两个企业在生产的过程中对外部性不进行交涉，两个企业的产量分别为多少？

（2）假设两个企业在生产中对外部性进行交涉，交涉的成本为0，两个企业的产量为多少？

（3）在存在假设的情况下，对于企业1的外部不经济有法规和无法规时，两个企业将会如何分配利润，试通过计算说明。

4、试证明，当一个商品为吉芬品时，它一定是劣质品(inferior good)；而当一个商品为劣质品时，它不一定是吉芬品。

5、证明：若某家企业的生产函数为AL α，(0 < α < 1)，如果该企业的资本支出为一常数J ，则（1）其供给量q 随产品价格p 上升而上升。

（2）q 随工资率w 上升而下降。

6、一个人的效用函数为

11212(,)u x x Ax x αα-=，其中，01,0A α<<>。假定存在内点解，请导出其马歇尔效用函数。

中级微观经济学讲义--全文可读

二、效用最大化与支出最小化
（三）支出最小化
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）支出最小化－续（ 1）
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）支出最小化－续（2）
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（三）对偶同解
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
x2
0
练习：思考互补商品和离散商品下的最优解。
u0
u0
x1
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（ 1）
第二讲消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2）
第二讲消费者理论
（二）显示偏好的应用
x2
(p0 , x 0) (p1 , x 1)
x1
第二讲消费者理论
x2
四、显示偏好简介
（二）显示偏好的应用－续
x3 ●
● x0
B0
● x1 x2
B2
B1
x1
第二讲消费者理论
五、禀赋约束下的消费者行为
（一）收入和闲暇
第二讲消费者理论

中级微观经济学第三讲

需求束和需求函数
一定价格和收入水平下的商品1和商品 2的最优选择，称为消费者的需求束。
马歇尔需求函数
maxu( x)
s.t. px I
求解这一问题，可以获得需求函数
xi f ( p, I )
以柯布道格拉斯效用函数为例计算均衡点(x1*,x2*)
U( x1 , x 2 )
a b x1 x 2
消费者的理性行为是获得最大化效用。
最大效用水平间接地取决于购买商品的价格以及消费者的收入。
U ( x1x2 ) x1x2
这是直接效用函数
maxU ( x1x2 ) x1x2
s.t.
p1 x1 p2 x2 I
L x1 x2 ( p1x1 p2 x2 I )
1 L 1 1 2 x1 2 x2 p1 0 x1 2 1 1 L 1 2 2 x2 x1 p2 0 x2 2
预算线与无差异曲线相切
等边际原则
价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。
x ( P,U )
h i
举例：
min E( P,U ) p1 x1 p2 x2
x1x2 u0
s.t. U ( x1 , x2 )
求希克斯需求函数和支出函数
构建拉格朗日函数：
怎么得到需求曲线？ Fixed p2 and y. x2

3高级管理经济学——效用最大化

pi
i
0
则有
xi*

hi (P, u)

e( P ,u) pi
体现的是价格变化后，为了保持效用水平不变，需要通过
支出（收入水平）的变化来补充。
与效用最大化条件下的需求函数x (P,m)相对应， x (P,m)也称为马歇尔需求函数。
可观测性的比较
8.对偶关系的重要恒等式
基本对偶关系
6.支出最小化问题
支出最小化问题（Expenditure Minimization Problem， EMP）：实现某一给定效用的最小支出
e(P,u) minPX
s.t. u(X ) u
支出函数e(P,u)是间接效用函数的反函数。 e (p, u) 的性质：
关于 p 是一次齐次的；关于 u 严格递增，关于任何p非减；关于 p 是凹的。即 e(tp (1 t) p, u) te( p, u) (1 t)e( p, u) 关于 p ，u 是连续的。
x z，y z，则对所有的0≤t ≤1有tx+(1-t)y z
效用无差异的商品替代
凸性保证了边际替代率的递减边际替代率不取决于代表内在偏好的效用函数的形式
4.消费者的效用最大化行为
理性假设：理性消费者总是从可行消费集中选择使自己效用最大化的消费束

微观经济学2012第三讲

12
L x x ( I p1x1 p2 x2 ) • 构造拉格朗日函数： • 求关于x1、x2和λ的偏导，可得：
0.5 0.5 1 2
L x1 0.5 x
0.5 0.5 1 2
x p1 0 p2 0
L x2 0.5 x x
1
0 .5 0 .5 1 2
tPX＝tI PX＝I
V ( P, I )
9
V(P1,P2,I)关于Ｉ是严格递增的
• 证明：
V ( P, I ) maxU ( X ), s.t.PX I
L( X , ) U ( X ) ( I PX )
最优值条件： L( X , ) U ( X ) - Pi 0 xi xi 根据包络定理：
V ( p, I ) pi xi ( pi , I ) V ( p, I ) I
两边相除可得
17
上例
0 .5 max x10.5 x2 s.t. p1 x1 p2 x2 I
ν(p1,p2 ,I)
I
0 .5 2 p10.5 p2
从罗伊恒等式有 V I 1.5 0 .5 I p1 4 p1 p2 d1(p1,p2 ,I) V 1 2 p1 0 .5 I 2 p10.5 p2
( p1 , p2 , I )
2(0.5)

03--第3章效用函数

Chapter 1效用函数
4
基数效用和序数效用
基数效用(cardinal utility) 19世纪包括边沁（Benthem）在内的社会科学家都希
望开发出测量效用的设备。比如把电极接在头部读出幸福程度的器械等但这一直是一种空想
Chapter 1效用函数
5
基数效用和序数效用
效用理论发展
后来，帕累托（Vilfredo Pareto）提出消费理论可以建立在序数效用基础上。所谓序数效用就是指效用值的大小或者说效用程度的高低大致上可以用效用值大小的次序来表明，而效用值的准确的大小并没有任何意义。因为，他认为，效用次序对于消费中的偏好选择是有意义的，而效用值的具体大小程度却意义不大。
max x1 , x2
U
x x a b 12
s.t. P1x1 P2 x2 I
Chapter 1效用函数
18
预算约束下的效用最大化
或构建拉格朗日方程
L x1a x2b ( I P1x1 P2 x2 )
L x1
ax1a1 x2b
P1
0.........(1)
L x2
bx1a x2b1 P2
必须要求效用函数是凹的。效用函数的凹性正对应于无差异函数的凸性。
Chapter 1效用函数
20
对偶问题
消费者在预算约束下的效用最大化问题，实际上也可以看作是在效用一定下的支出最小化问题，这被称为对偶问题

中级微观经济学讲义-对偶性质和劳动供给

第二讲消费者理论
五、消费者福利
X2
v( p1 , y CV ) v( p0 , y )
CV
X1
补偿变化示意图
第二讲消费者理论
五、消费者福利
（三）等价变化
价格发生改变，引起消费者的福利改变。如果价格不变，可以通过改变（调整）消费者的名义收入使消费者的效用水平发生同样的变化。即名义收入的变化等价于效用水平的变化。
第二讲消费者理论
三、需求定律
（三）价格效应（续）【例子】
1 拟线性偏好（对第二种商品线性）
2
完全替代、完全互补偏好
第二讲消费者理论
三、需求定律
（三）价格效应（续）
1 x2 拟线性偏好：u（x1,x2）=x2+f（x1）
2 1
3
x1
第二讲消费者理论
三、需求定律
（三）需求定律
内容
正常商品自身价格的下降会引致其需求量的增加，如果一种物品其自身价格的下降引致需求量的下降，这种物品必为劣质品。
思考：价格发生微小变化时希克斯替代和斯勒茨基替代几乎是一样的。
第二讲消费者理论
五、消费者福利
Lead-in 方向问题间接效用函数能够度量福利水平的上升或下降。
wenku.baidu.com
数量问题
幸运的是无差异曲线不随效用函数变化

04 消费最优化

13
效用最大化
(五) 应用事例
两个实际问题问题1：销售税与所得税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另一种是征收所得税。 •假定不论采取哪种办法，居民纳税额一样。那么，哪一种征税办法对居民会更为有利些? 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ •商品涨价，政府发放补贴。一种办法是不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。 •哪一种补贴办法对消费者会更为有利些？假定：当前市场上，价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。 14
效用最大化：理性消费者正是在服从种种限制的情况下, 选择自己最满意的消费方案。
前提假设：消费集合 X
R ，价格体系

p R ，消费者收入 r。
3
效用最大化
(一) 预算约束
条件限制：客观条件限制、主观条件限制客观条件限制：是指政策法规、生理、环境等非经济因素对消费选择的制约。这些制约因素划出了消费者的消费集合 X 。因此，客观条件限制可表示为 xX 。经济条件限制：主要是价格与收入等经济因素对消费选择的制约，可表示为 px r。 •理性消费者不偷、不抢、不骗，可赊账或借款消费。但这不意味着可免费消费，天下没有免费的午餐。 •赊账和借款相当于收入扩大，然后在扩大的收入限制下进行消费选择，并没有没有摆脱经济条件的限制。

《微观经济学》第三章经典需求理论

命题3.E.3 假设u()是一个连续效用函数，它代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，则对任意p>0，希克斯需求对应 h(p,u)具有下述性质：
UMP的KT条件
u(x) p, 0
3.D.2
x (u(x) p) 0
3.D.3
命题3.D.2 假定u()是一个连续效用函数，代表定义在 X上的局部非饱和偏好关系，则瓦尔拉斯需求对应 X(p,w)具有下述性质： 1. 在(p,w)上具有零次齐次性； 2. 瓦尔拉斯定律 3. 凸性/惟一性。
例产品税和所得税对追求效用最大化的消费者征税。对物品1征收销售税后，预算约束为 ( p1 t)x1 p2x2 w 。所得税收为tx*。若对收入征收同样的税收。预算约束为
p1x1 p2 x2 w tx1*
间接效用函数－最优值函数
对于每个(p,w)>0，UMP的效用值表示为
作业
3.C.1, 3.C.6
3.D 效用最大化问题
假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏好关系，u(x)是代表偏好关系的一个连续效用函数。假定消费集为 X RL
消费者在给定价格p>0和财富w>0下选择她最偏好的消费束，可以表示成效用最大化问题(UMP)
max u(x) s.t. p x w
习题 3.D.3, 3.D.4, 3.D.8

第3讲效用最大化与支出最小化

第三章价格变化对消费者的配置效应与福利分析

第三讲 间接效用函数与支出函数

03--第3章效用函数

高级微观练习题及答案

第3讲效用最大化与支出最小化

作业3-效用最大化和支出最小化

第三章 经典需求理论2

中微习题集

中级微观经济学讲义--全文可读

中级微观经济学第三讲

3高级管理经济学——效用最大化

微观经济学2012第三讲

03--第3章效用函数

中级微观经济学讲义-对偶性质和劳动供给

04 消费最优化

《微观经济学》第三章经典需求理论

第三讲间接效用函数与支出函数

第三章经典需求理论2