2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第二课时 函数概念的应用练习
高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第一课时 函数的概念 新人教A
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.………………9 分
(4)y= x 12 - 1 x .
x 1
规范解答:(4)要 使函数有意义,
自变量
x
的取值必须 满足
x 1 1 x
0, 0,
………………10
分
解得 x≤1 且 x≠-1,……………………………… 11 分
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠-1}.………………12 分
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对
应.”
是集合M到集合N上的函数的有( A )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( A) (A)y=x2 (B)y2=x
(C)|y|=x (D)|y|=|x|
3.(定义域)函数y=
方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. (4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.
即时训练1-1:已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:
①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( )
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
课标要求:1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体 会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入一 初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直 观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运 动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来 解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认 识,就很有必要.
2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修120170801252
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0⊆{x|x<5，x∈N}．( ) ) )
(2)设 A 是一个集合，则 A A.(
(3)若集合 A 中有 3 个元素，则集合 A 共有 7 个真子集．(
【解析】 (1)×.“⊆”用来表示集合与集合间的关系，所以(1)错误． (2)×.集合A是它本身的子集，但不是真子集，故(2)错误． (3)√.若集合A的元素个数为n，则其真子集的个数为2n－1，(3)正确．
)
【解析】 满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅. 【答案】 B
教材整理3 子集的性质 阅读教材P7“思考”以下部分，完成下列问题． 子集的性质： (1)任何一个集合是它本身的 子集 ，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么 A⊆C .
对于集合 A，B，C，若 A⊆B，且 B C，那么 A 与 C 的关系是________．
【精彩点拨】 利用子集、真子集的定义逐一进行判断．
【自主解答】
(1)因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍，所以集
合B是集合A的真子集，故选D. (2)根据子集的定义，①正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的 菱形不是矩形，故②错误；③{x|x2＝0}＝{0}，故③正确；④中{(0,1)}的元素是 有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同，故④错误；⑤中两个集合之间使用了 “∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与 集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x|x>1} {x|x≥2}，故⑥错误． 因此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥.
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 空集 阅读教材P7第二段和第三段，完成下列问题． 1．定义： 不含任何 元素的集合，叫做空集． 2．符号表示为： ∅ . 3．规定：空集是任何集合的 子集 ．
2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第一课时函数的概念课件新人教A版必修1
题型三 求简单函数的定义域
[例 3] (12 分)求下列函数的定义域. (1)y= x 1 · 1 x ;
规范解答:(1)要使函数有意义,须
x 1 1 x
0, 0,
即 x=1,因此函数的定义域为{1}.………………4 分
即时训练 3-1:求下列函数的定义域. (1) y=3- 1 x;
2 (2)y=2 x - 1 7x ;
解:(1)函数 y=3- 1 x 的定义域为 R. 2
(2)由
x 0, 1 7x
0,
得
0≤x≤
1 7
,
所以函数 y=2 x - 1 7x 的定义域为{x︱0≤x≤ 1 }. 7
解:因为函数 y=f(x)的定义域为{x|-2≤x≤3},即 x∈{x|-2≤x≤3},函数 y=f(2x-3)中 2x-3 的范围与函数 y=f(x)中 x 的范围相同,所以-2≤2x-3≤
3,解得 1 ≤x≤3,所以函数 y=f(2x-3)的定义域为{x︱ 1 ≤x≤3}.
2
2
方法技巧
两类抽象函数的定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b], 则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域. (2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为 [a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定 义域.
(3)y= 2x 3 - 1 + 1 . 2x x
2x 3 0,
解:(3)要使函数有意义,需 2 x＞0, x 0,
高一数学必修①第一章 集合与函数概念讲义
心智家三优教育高一特训营数学教学进度表¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组{23211x y x y -=+=的解集是（ ）.A . {}51， B. {}15， C. (){}51， D. (){}15，3．给出下列关系：①12R ∈； Q ；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对 5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ ）.A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {}M π=, {,1,|N π= 6．已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . 7．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合； （2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合.9．已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合A .※探究创新10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠-3}； ②{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭且 ③{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭或 ； ④{(x ，y )|[(x -1)2+(y -1)2]·[(x -2)2+(y +3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 .A BB A A B A B A ． B ．C ．D ． ¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A = ，则A B ⊆；若A B A = ，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.第2练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 则A 与B 之间最适合的关系是（ ）. A.A B ⊆ B.A B ⊇ C. A ≠⊂B D. A ≠⊃B2．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（ ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥ 3．若2{,0,1}{,,0}a a b -=，则20072007a b +的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 1- D. 24．已知集合M ={x |x =2k +14,k ∈Z }, N ={x |x =4k +12, k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是（ ）. A. x 0∈N B. x 0∉N C. x 0∈N 或x 0∉N D.不能确定 5．已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是（ ）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－1 6．已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的真子集的个数是 . 7．当2{1,,}{0,,}b a a a b a=+时，a =_________，b =_________.※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3, 2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a 的值.9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.若B A ⊆，求实数m 的取值范围.※探究创新10．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求ð.【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C ð.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A = ，求实数m 的取值范围.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.※基础达标1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则U A =ð（ ）.A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,7 2．若{|0{|12}A x x B x x =<<=≤<，则A B = （ ）.A. {|x xB. {|1}x x ≥C. {|1x x ≤D. {|02}x x << 3．右图中阴影部分表示的集合是（ ）. A. U A B ð B. U A B ð C. ()U A B ð D. ()U A B ð4．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B = （ ）. A. {}1,2 B. {}0,1 C. {}0,3 D. {}35．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠ ，则k 的取值范围是（ ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k -> D ．12k -<≤6．设全集*{|8}U x N x =∈<，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =,则()U C A B = . 7．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N = . ※能力提高8．设全集*{|010,}U x x x N =<<∈，若{3}A B = ，{1,5,7}U A B = ð，{9}U U A B = 痧，求集合A 、B .9．设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-，求()U A B ð、()()U U A B 痧.※探究创新10．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （1）求A B ，A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的值；（3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()A B ≠⊂P ≠⊂()A B ，写出所有可能的集合P .A¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B = ,()()()U U U C A B C A C B = .2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+- .3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B = ，求实数a 的值.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉ 且”而拓展）※基础达标1．已知集合A = {}1,2,4, B ={}8x x 是的正约数, 则A 与B 的关系是（ ）.A. A = BB. A ≠⊂B C. A ≠⊃B D. A ∪B =∅2．已知,,a b c 为非零实数, 代数式||||||||a b c abc a b c abc +++的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是（ ）. A. 0M ∉ B. 4M -∉ C. 2M ∈ D. 4M ∈ 3．（08年湖南卷.文1）已知{}2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,7M =，{}2,4,5,6N =，则（ ）.A ．{}4,6M N = B.M N U = C ．()u C N M U = D. ()u C M N N =4．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）. A. {}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <6．已知集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足A B φ= ，则实数a 的取值范围是 . 7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 .※能力提高8．已知集合2{|0}A x x px q =++=， 2{|20}B x x px q =--=，且{1}A B =- ，求A B ．9．已知集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，求实数a 的值.※探究创新 10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m -n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合A ※B 中的所有元素之和为 （ ）A ．15B ．14C ．29D ．-14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于（ ）A ．AB ．BC ．()U A B ð∩D ．()U A B ð∪（3）已知集合A ={x |2x n ≠且3x n ≠，n ∈N ，x ∈N *，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和.第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()(f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)(()()234f f f f f f f ++++++.※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,xy y x==B. y y =C. ,y x y =D. 2||,y x y == 2．函数y =的定义域为（ ）.A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,(,1]22-∞--D. 11(,)(,1]22-∞--3．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.5．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)-6．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 7．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . ※能力提高 8．（1）求函数y =（2）求函数2113x y x+=-的定义域与值域.9．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.※探究创新10．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g g g 的值.A. B.C.D.¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．【例2】已知f (x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.※基础达标1．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.3．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）.A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q +4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）.A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数(),mf x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 . 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 ；若00()8,f x x ==则 .※能力提高8．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++； （2）2|23|y x x =-++.9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式※探究创新 10．（1）设集合{,,}A a b c =，{0,1}B =. 试问：从A 到B 的映射共有几个？（2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（ ）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞ 4．已知()f x 是R 上的增函数，令()(1)3F x f x =-+，则()F x 是R 上的（ ）.A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）. A. 2a ≥ B. 2b ≥ C. 4a ≤- D. 4b ≤- 6．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . ※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）3()1x f x x +=-；（2）2|23|y x x =-++9．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数.※探究创新10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 均有()()()1f m n f m f n +=+-，且1(22f =，又当12x >-时，有()0f x >. （1）求1()2f -的值； （2）求证：()f x 是单调递增函数.¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224(24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac ba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.【例3】求函数2y x =.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.※基础达标 1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是（ ）. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52．函数221y x x =-+的最大值是（ ）.A. 8B. 83C. 4D. 433．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ）.A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++则炮弹在发射几秒后最高呢（ ）.A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒5. 23()1,[0,2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值6．函数3y x =的最大值是 .7．已知3()3xf x x =-，[4,6]x ∈. 则()f x 的最大值与最小值分别为 .※能力提高8．已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？※探究创新10．已知函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值.¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点： 1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.※基础达标1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（ ）.A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数2．（08年全国卷Ⅱ.理3文4）函数1()f x x x=-的图像关于（ ）. A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称 3．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于（ ）. A. (1)x x -+ B. (1)x x + C. (1)x x - D. (1)x x --4．函数()11f x x x =+--，那么()f x 的奇偶性是（ ）.A ．奇函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数也是偶函数5．若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.A. 增函数且最小值是－1B. 增函数且最大值是－1C. 减函数且最大值是－1D. 减函数且最小值是－16．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,)+∞是增函数，且(1)0f =，则(1)0f x +<的解集为 .※能力提高8．已知函数211()()12f x x x =+-. （1）求函数()f x 的定义域； （2）判断函数()f x 的奇偶性并证明你的结论.9．若对于一切实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+：（1）求(0)f ，并证明()f x 为奇函数； （2）若(1)3f =，求(3)f -.※探究创新 10．已知22()()1xf x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.第10讲 第一章 集合与函数概念 复习¤复习目标：强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练. 深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用.¤例题精讲：【例1】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= .【例2】已知()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明.【例3】集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A B B = ，求实数m 的取值范围.【例4】设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x ∈R .（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）若x ≥a ，求()f x 的最小值.第一章 集合与函数概念 21 第10练 第一章 集合与函数概念测试※基础达标1．（06年陕西卷）已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤ {}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于（ ）.A. {}1,2,3B. {}2,3C. {}1,2D. {}22．（06年重庆卷.1)已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5,7}A =，{3,4,5}B =，则()()U U AB = 痧（ ）. A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7}3．（06年辽宁卷.文3理2）设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A. ()()f x f x -是奇函数B. ()()f x f x -是奇函数C. ()()f x f x +-是偶函数D. ()()f x f x --是偶函数 4．（06年辽宁卷. 文2理1）设集合{}12A =,，则满足{}123A B = ,,的集合B 的个数是（ ）.A. 1B. 3C. 4D. 85．（06年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则f (6)的值为（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 26．（06年上海卷.理1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B ⊆A ，则实数m ＝ .7．（06年上海春卷）已知函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数. 当(,0)x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当(0,)x ∈+∞时，()f x = .※能力提高8．已知全集*{|9,}U x x x N =≤∈，两个集合A 与B 同时满足： {2,4}A B = ，(){1,3,5}U A C B = ，且(){7,8}U C A B = . 求集合A 、B .9．已知函数2()8f x x x =-+，求()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t .※探究创新10．已知定义在实数集上的函数y =f (x )满足条件：对于任意的x 、y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y ).（1）求证：f (0)=0； （2）求证f (x )是奇函数，并举出两个这样的函数；（3）若当x ≥0时，f (x )＜0. （i ）试判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明之；（ii ）判断方程│f (x )│=a 所有可能的解的个数，并求出对应的a 的范围.。
2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1
第二课时函数的最大(小)值【选题明细表】1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为( B )(A)[-6,-2] (B)[-11,-2](C)[-11,-6] (D)[-11,-1]解析:函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,又x∈[0,5],所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11;所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.3.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是( A )(A) (B)- (C)-2 (D)2解析:因为f(x)=-x+在[-2,-]上为减函数,所以当x=-2时取得最大值,且为2-=.故选A.4.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( D )(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1解析:因为函数f(x)=2-在区间[1,3]上为增函数,所以f(x)max=f(3)=2-1=1.故选D.5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )(A)f(x)有最大值,无最小值(B)f(x)有最大值,最小值(C)f(x)有最大值,无最小值(D)f(x)有最大值2,最小值解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.6.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,1) (B)(-∞,1](C)(1,+∞) (D)[1,+∞)解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,所以函数的对称轴为x=a.若a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数,因为是开区间,所以没有最小值所以a<1,此时当x=a时取得最小值,故选A.7.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为.解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.答案:38.若函数f(x)=x2-2x+m,在x∈[0,3]上的最大值为1,则实数m的值为.解析:函数f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1,则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,则当x=3时,函数有最大值,即为9-6+m=1,解得m=-2.答案:-29.f(x)=2x4-3x2+1在[,2]上的最大值、最小值分别是( A )(A)21,-(B)1,-(C)21,0 (D)0,-解析:由f(x)=2x4-3x2+1,x∈[,2],可设t=x2,t∈[,4],所以f(x)=g(t)=2t2-3t+1,对称轴t=,g()=-,g(4)=21,g()=,所以最大值为21,最小值为-.故选A.10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,因为x∈[0,1],所以函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1.故选A.11.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.答案:612.已知函数f(x)=,x∈[3,5].(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数,证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)-f(x2)=-==,因为3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=在[3,5]上是增函数.(2)由(1)知f(x)min=f(3)==,f(x)max=f(5)==.13.已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解:因为f(x)=(x-a)2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,即-3≤a<-1.②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a, 解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.综上所述,实数a的取值范围为[-3,1].。
2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.1 集合 1.1.1 第一课时 集合
第一课时集合的含义【选题明细表】1.下列所给对象能构成集合的是( D )(A)某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合(B)《数学1(必修)》课本中所有的难题能组成一个集合(C)性格开朗的女生可以组成一个集合(D)圆心为定点,半径为1的圆内的点能组成一个集合解析:A、某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;B.《数学1(必修)》课本中所有的难题不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;C.性格开朗的女生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;D.圆心为定点,半径为1的圆内的点,元素确定,能构成集合,故本选项正确.故选D.2.若由a2,2 016a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( C )(A)0 (B)2 016(C)1 (D)0或2 016解析:若集合M中有两个元素,则a2≠2 016a.即a≠0且a≠2 016.故选C.3.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( D )(A)∈M (B)0∉M(C)1∈M (D)-∈M解析:>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-<1,故D正确.4.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含元素( A )(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解析:当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,当x<0时,=|x|=-x,-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素,故选A.5.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是( A )(A)P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合(B)P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合(C)P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合(D)P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集解析:由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.6.设A是方程x2-ax-5=0的解集,且-5∈A,则实数a的值为( A )(A)-4 (B)4 (C)1 (D)-1解析:因为-5∈A,所以(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4.故选A.7.集合A中含有三个元素0,-1,x,且x2∈A,则实数x的值为.解析:因为x2∈{-1,0,x},所以x2=0或x2=-1或x2=x,由x2=0,得x=0,由x2=-1得x无实数解,由x2=x得x=0或x=1.综上x=1,或x=0.当x=0时,集合为{-1,0,0}不成立.当x=1时,集合为{-1,0,1}成立.答案:18.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x= .解析:因为x2∈A,所以x2=1,或x2=0,或x2=x,所以x=±1,或x=0,当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1.答案:-19.(2018·徐州高一期中)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A,(1)若3∈A,求A;(2)证明:若a∈A,则1-∈A;(3)A能否只有一个元素,若能,求出集合A,若不能,说明理由.(1)解:因为3∈A,所以=-∈A,所以=∈A,所以=3∈A,所以A=（3,-,）.(2)证明:因为a∈A,所以∈A,所以==1-∈A.(3)解:假设集合A只有一个元素,记A={a},则a=,即a2-a+1=0有且只有一个解,又因为Δ=(-1)2-4=-3<0,所以a2-a+1=0无实数解.与a2-a+1=0有且只有一个实数解矛盾.所以假设不成立,即集合A不能只有一个元素.10.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有元素( B )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:对a进行分类讨论:①当a=0时,四个数都为0,只含有一个元素;②当a≠0时,含有两个元素a,-a,所以集合中最多含有2个元素.故选B.11.已知集合M={m|m=a+b,a,b∈Q},则下列元素中属于集合M的元素个数是( )①m=1+π②m=③m=④m=+(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①m=1+π,π∉Q,故m∉M;②m==2+∉M;③m==1-∈M;④m=+=∉M.故选B.12.已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.解:因为集合A含有两个元素a和a2,且1∈A,所以若a=1,此时a2=1,不满足元素的互异性,不成立.若a2=1,则a=1(舍去)或a=-1,当a=-1时,两个元素为1,-1,满足条件.故a=-1.13.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},已知5∈A且5∉B.求a的值. 解:因为5∈A,5∉B,所以即所以a=-4.。
【推荐精选】2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第二课时 函数概念
第二课时函数概念的应用【选题明细表】1.区间(2m-1,m+1)中m的取值范围是( B )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)[2,+∞)解析:由区间的定义可知2m-1<m+1,即m<2.故选B.2.下列各组函数中,表示同一函数的是( D )(A)y=x+1和y=(B)y=和y=()2(C)f(x)=x2和g(x)=(x+1)2(D)f(x)=和g(x)=解析:只有D是相同的函数,A与B中定义域不同,C是对应法则不同.3.已知函数f(x)=,则f()等于( D )(A)(B)(C)a (D)3a解析:f()==3a.4.函数y=x2-4x+1,x∈[1,5]的值域是( D )(A)[1,6] (B)[-3,1](C)[-3,+∞) (D)[-3,6]解析:对于函数y=x2-4x+1,它的图象是开口向上的抛物线.对称轴x=-=2,所以函数在区间[1,5]上面是先减到最小值再递增的.所以在区间上的最小值为f(2)=-3.又f(1)=-2<f(5)=6,所以最大值为6.故选D.5.若函数f(x)=()2与g(x)=x(x∈D)是相等函数,则D可以是( C )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)[0,+∞) (D)(-∞,0]解析:函数f(x)的定义域为[0,+∞),即D=[0,+∞).故选C.6.函数f(x)=+的定义域是( B )(A)[-3,](B)[-3,-)∪(-,)(C)[-3,)(D)[-3,-)∪(-,]解析:由题意得解得-3≤x<且x≠-,故选B.7.函数y=的值域是.解析:因为0≤16-x2≤16,所以∈[0,4].答案:[0,4]8.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为,值域为.解析:由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5] [-2,3]9.下列各组函数中,f(x)与g(x)表示相等函数的是( A )(A)f(x)=,g(x)=()2(B)f(x)=|x|,g(x)=(C)f(x)=2x,g(x)=(D)f(x)=x2,g(x)=（）-2解析:选项B中g(x)=x与f(x)的对应法则不同,选项C中对应法则不同,选项D中定义域不同,故选A.10.(2018·淄博高一期末)已知函数y=x2的值域是[1,4],则其定义域不可能是( B )(A)[1,2] (B)[-,2](C)[-2,-1] (D)[-2,-1)∪{1}解析:根据函数y=x2在[1,2]上单调递增,故函数的值域是[1,4],故选项A正确;根据函数y=x2在[-,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,故函数的值域是[0,4],故选项B不正确;根据函数y=x2在[-2,-1]上单调递减,故函数的值域是[1,4],故选项C正确;根据函数y=x2在[-2,-1)上单调递减,则函数在[-2,-1)∪{1}上的值域是[1,4],故选项D正确. 11.若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围是.解析:由题意知,解之得1<a<2.答案:(1,2)12.试求下列函数的定义域与值域:(1)f(x)=(x-1)2+1;(2)y=;(3)y=x-.解:(1)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}.(2)函数的定义域为{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y|y≠5}.(3)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域为{x|x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),于是y=t2-1-t=(t-)2-,又t≥0,故y≥-,所以函数的值域为{y|y≥-}.13.已知xy<0,并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.解:xy<0⇔或因为4x2-9y2=36,故y2=x2-4.又⇔x>3或⇔x<-3.因此能确定一个函数关系y=f(x).其定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),且不难得到其值域为(-∞,0)∪(0,+∞).。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.函数的概念课件 a必修1a高一必修1数学课件
2021/12/11
第二十三页，共四十九页。
[变式训练 1] 下列对应关系或关系式中，是 A 到 B 的函数 的是( B )
A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图
第一章
集合(jíhé)与函数概念
2021/12/11
第一页，共四十九页。
1．2 函数(hánshù)及其表示
2021/12/11
第二页，共四十九页。
1.2.1 函数(hánshù)的概念
2021/12/11
第三页，共四十九页。
第1课时(kèshí) 函数的概念
2021/12/11
第四页，共四十九页。
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第十三页，共四十九页。
结论：
区
左闭右开 左开右闭
闭区间 开区间
间
区间
区间
符 [a，b] (a，b) [a，b)
号
(a，b]
2.特殊区间的表示
定
义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
符 (－∞， [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
号 ＋∞)
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[答一答] 4．数集都能用区间表示吗？
提示：区间是数集的又一种表示方法，但并不是所有数集 都能用区间表示，如{1,2,3,4}，就不能用区间表示．
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5．“∞”是一个数吗？
2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 第二课
第二课时分段函数与映射【选题明细表】1.下列各对应中,构成映射的是( D )解析:选项A,C中集合A中的元素1,在集合B中有2个元素与之对应;选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应,所以都不是映射,只有D项符合映射的定义.故选D.2.下列给出的函数是分段函数的是( B )①f(x)=②f(x)=③f(x)=④f(x)=(A)①② (B)①④ (C)②④ (D)③④解析:对于②取x=2,f(2)=3或4,对于③取x=1,f(1)=5或1,所以②③都不合题意.故选B.3.a,b是实数,集合M={,1},N={a,0},映射f:x→x即将集合M中的元素x映射到N中仍是x,则a+b的值等于( A )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)±1解析:由已知得b=0,a=1,所以a+b=1.故选A.4.函数y=x|x|的图象是( D )解析:因为y=x|x|=根据二次函数图象可知D正确,故选D.5.(2018·德州高一检测)已知函数f(x)=则f(1)-f(3)等于( B )(A)-2 (B)7 (C)27 (D)-7解析:f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17,f(3)=32+1=10,所以f(1)-f(3)=7.故选B.6.下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( D )(A)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|(B)A={x|x≥0},B={y|y>0},f:x→y=(C)A=N,B=N*,f:x→y=|x-1|(D)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2-2x+2解析:A中当x=0时,y=0∉B.同理B错,C中,当x=1时,y=0∉B,故C不正确;由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故D正确.7.已知A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},从A到B的映射f:(x,y)→(x+y,x·y),A中元素(x,y)与B中元素(4,-5)对应,则此元素为 .解析:依题意可得所以或答案:(5,-1)或(-1,5)8.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是.解析:当x0≤0时,由-x0-1>1,得x0<-2,当x0>0时,由>1,得x0>1.所以x0的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)9.集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足 f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数是( B )(A)2 (B)3 (C)5 (D)8解析:(1)a,b都对应0时,f(a)+f(b)=0,有一个;(2)a,b两个一个对应1,一个对应-1时,f(a)+f(b)=0,有两个,所以共有3个.故选B.10.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是.解析:由题意得f(x)=结合函数f(x)的图象得值域是(-∞,1].答案:(-∞,1]11.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10 000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是.解析:设总利润为L(x),则L(x)=则L(x)=当0≤x<300时,L(x)max=10 000,当x≥300时,L(x)max=5 000,所以总利润最大时店面经营天数是200.答案:20012.已知函数f(x)=(1)求f(f(f(5)))的值;(2)画出函数的图象.解:(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,即f(f(f(5)))=-1.(2)图象如图所示.13.某村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.方案二:不收管理费,每度0.58元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x,当x>30时,L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1,所以L(x)=(注:x也可不取0)(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35得x=66,舍去.当x>30时,由L(x)=0.6x-1=35得x=60.所以老王家该月用电60度.(3)设按方案二收费为F(x)元,则F(x)=0.58x.当0≤x≤30时,由L(x)<F(x),得2+0.5x<0.58x,所以x>25,所以25<x≤30.当x>30时,由L(x)<F(x),得0.6x-1<0.58x,所以x<50,所以30<x<50.综上,25<x<50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.。
2018-2019学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念 新人教A版必修1
(2)y=(x-1)0+ 2 ; x 1
x 1 0,
规范解答:(2)函数有意义,当且仅当
x
2
1
0,
……………………………4
分
x 1 0,
解得 x>-1 且 x≠1,……………………………………………………………5 分
所以这个函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.………………………………6 分
【备用例2】 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么如图所示的4个 图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( ) (A)①②④ (B)①②③ (C)②③ (D)③④
解析:对于①,由于M中元素2在N中无元素与之对应,因而不是函数关系; 对于④,M中元素(除0外)在N中有两个元素与之对应,因而不是函数关系, 而对于②③,在集合M中任取一个元素,在集合N中都有唯一的元素与之 对应,故②③是函数关系.故选C.
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
解析:①M中有的元素在N中无对应元素,如M中的元素0;③M中的元素不 是实数,即M不是数集;只有②满足函数的定义,故选A.
题型二 函数图象的特征
【例2】 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象,其中能表示从集合 M到集合N的函数关系的是( )
排名 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
奖牌数 46 30 25 16 12 11 9 9 9 9
想一想1:表中奖牌总数排名与奖牌数这两个变量之间存在什么关系? (每一个奖牌总数排名都唯一对应着一个确定的奖牌数,即奖牌数是奖牌 总数排名的函数) 想一想2:奖牌总数排名是奖牌数的函数吗? (不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要 检验: ①定义域和对应关系是否给出; ②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯 一确定的函数值y与之对应)
2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.1 集合 1.1.3 第二课时 补集
第二课时补集及综合应用【选题明细表】1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A 等于( B )(A){1,2} (B){3,4,5}(C){1,2,3,4,5} (D)∅解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以∁U A={3,4,5}.2.已知集合A,B,全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁U B)等于( A )(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)∅解析:因为全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},因为B={1,2},所以∁U B={3,4},A={3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}.所以A∩(∁U B)={3}.故选A.3.设全集U={x|x>1},集合A={x|x>2},则∁U A等于( A )(A){x|1<x≤2} (B){x|1<x<2}(C){x|x>2} (D){x|x≤2}解析:画出数轴可知,∁U A={x|1<x≤2}.故选A.4.设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)的元素个数有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},所以∁U(A∩B)={1,2,5}.故选C.5.已知全集S={x∈N+|-2<x<9},M={3,4,5},P={1,3,6},那么{2,7,8}是( D )(A)M∪P (B)M∩P(C)(∁S M)∪(∁S P) (D)(∁S M)∩(∁S P)解析:因为S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁S M={1,2,6,7,8},∁S P={2,4,5,7,8},所以(∁S M)∩(∁S P)={2,7,8},选D.6.已知集合U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3},B={2,4,5},则图中阴影部分表示的集合是( D )(A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){2,6} (D){1,6}解析:阴影部分可表示为∁U(A∪B),因为A∪B={2,3}∪{2,4,5}={2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={1,6}.故选D.7.已知全集U=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N*},则( C )(A)U=A∪B (B)U=(∁U A)∪B(C)U=A∪(∁U B) (D)U=(∁U A)∪(∁U B)解析:由题意易得B A,画出如图所示的示意图,显然U=A∪(∁U B),故选C.8.已知U=R,A={x|a≤x≤b},∁U A={x|x<3或x>4},则ab= .解析:因为A∪(∁U A)=R,所以a=3,b=4,所以ab=12.答案:129.已知R为实数集,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(∁R A)=R,B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},求集合B.解:因为A={x|1≤x≤2},所以∁R A={x|x<1,或x>2}.又B∪(∁R A)=R,A∪∁R A=R,可得A⊆B.而B∩(∁R A)={x|0<x<1,或2<x<3},所以{x|0<x<1,或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1,或2<x<3}={x|0<x<3}.10.已知全集U={x|-2 016≤x≤2 016},A={x|0<x<a},若∁U A≠U,则( D )(A)a<2 016 (B)a≤2 016(C)a≥2 016 (D)0<a≤2 016解析:因为∁U A≠U,所以A≠∅,所以a>0,又A是全集U的子集,故还应有a≤2 016.所以0<a≤2 016.故选D.11.设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则∁Z(P∪Q)等于( A )(A)M (B)P (C)Q (D) ∅解析:集合M={x|x=3k,k∈Z}表示3的倍数构成的集合,集合P={x|x=3k+1,k∈Z}表示除以3余数为1的整数构成的集合,Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示除以3余数为2的整数构成的集合,故P∪Q表示除以3余数为1或余数为2的整数构成的集合,∁Z(P∪Q)=M.故选A.12.全集U=R,A={x|x<-3或x≥2},B={x|-1<x<5},则集合C={x|-1<x<2}= (用A,B或其补集表示).解析:如图所示,由图可知C⊆∁U A,且C⊆B,所以C=B∩(∁U A).答案:B∩(∁U A)13.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(∁R A)∩B={2},A∩(∁R B)={4},求实数a,b的值.解:由条件(∁R A)∩B={2}和A∩(∁R B)={4},知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B.将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得即解得a=,b=-即为所求.14.设全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若M∁U P,求实数a的取值范围.解:∁U P={x|x<-2或x>1},因为M∁U P,所以分M=∅,M≠∅两种情况讨论.(1)M≠∅时,如图可得或所以a≤-或≤a<5.(2)M=∅时,应有3a≥2a+5⇒a≥5.综上可知,a≥或a≤-.。
2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 第二课时 函数奇偶性的应用
第二课时函数奇偶性的应用(习题课)【选题明细表】1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )(A)y= (B)y=x2+1(C)y= (D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(2)等于( D )(A)6 (B)-6 (C)10 (D)-10解析:由于f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(2)=-f(-2),根据已知条件可得f(-2)=2×(-2)2-(-2)=10.故f(2)=-10.选D.3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( A )(A)4 (B)0 (C)2m (D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.4.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,则( C )(A)f(-2)<f(1)<f(3) (B)f(1)<f(-2)<f(3)(C)f(3)<f(-2)<f(1) (D)f(3)<f(1)<f(-2)解析:因为对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,故f(x)在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,且满足n∈N*时,f(-2)=f(2),由3>2>1>0,得f(3)<f(-2)<f(1).故选C.5.(2018·石家庄高一检测)已知x>0时,f(x)=x-2 013,且知f(x)在定义域上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是( A )(A)f(x)=x+2 013 (B)f(x)=-x+2 013(C)f(x)=-x-2 013 (D)f(x)=x-2 013解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2 013,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 013,故选A.6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有( D )(A)最小值-8 (B)最大值-8(C)最小值-6 (D)最小值-4解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,则F(x)在(-∞,0)上也有最小值-6+2=-4,故选D.7.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))= .解析:根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.答案:-158.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为.解析:由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2,所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+29.(2017·孟坝中学高一期中)f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m)成立,求实数m的取值范围.解:因为f(x)在[0,2]上单调递减,且f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,故f(x)在[-2,0]上单调递增,故不等式f(1-m)<f(m)可化为解得-1≤m<,即实数m的取值范围为[-1,)10.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时函数f(x)是减函数,则f(-3),f(π),f(-3.14)的大小关系为( B )(A)f(π)=f(-3.14)>f(-3)(B)f(π)<f(-3.14)<f(-3)(C)f(π)>f(-3.14)>f(-3)(D)f(π)<f(-3)<f(-3.14)解析:由题意函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).因为|-3|<|-3.14|<π,当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以f(|-3|)>f(|-3.14|)>f(π),所以f(π)<f(-3.14)<f(-3).故选B.11.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是( D )(A)f(1)<f()<f()(B)f()<f(1)<f()(C)f()<f()<f(1)(D)f()<f(1)<f()解析:函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,所以函数y=f(x+2)在(-2,0)上是增函数,又函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数y=f(x+2)在(0,2)上是减函数,即函数y=f(x)在(2,4)上为减函数;则函数y=f(x)的图象如图所示,由图知f(2)>f()>f(1)>f()成立.故选D.12.已知函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,则f(2x+1)>f(+1)的解集为.解析:根据函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,则由f(2x+1)>f（+1）,可得|2x+1|>|+1|, ①且|2x+1|≤1. ②把①平方可得x（x+1）>0,所以x<-,或x>0.由②可得-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0.综合可得,-1≤x<-.答案:[-1,-)13.定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)+f(a-b)= 2f(a)·f(b)成立,且f(0)≠0.(1)求f(0)的值;(2)试判断f(x)的奇偶性.解:(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),即f(0)=f2(0).因为f(0)≠0,所以f(0)=1.(2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x).所以f(x)=f(-x).所以f(x)是R上的偶函数.。
2018-2019学年度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 第一
第一课时函数的单调性【选题明细表】1.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.4.函数f(x)=|x|-3的单调增区间是( B )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)(-∞,3) (D)(3,+∞)解析:根据题意,f(x)=|x|-3=其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选B.5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.6.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是( D )(A)(,) (B)[,)(C)(,) (D)[,)解析:因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1)<f(),所以0≤2x-1<,解得≤x<.故选D.7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1). 答案:(-∞,1)8.函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是.解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)=x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.答案:(-∞,1]∪[2,+∞)9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.解:f(x)=在[1,+∞)上是增函数.证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-==.因为1≤x1<x2,所以x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.10.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )(A)(-∞,3) (B)(0,3)(C)(3,+∞) (D)(3,9)解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.11.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围是. 解析:由题意,得解得1≤x<,故满足条件的x的取值范围是1≤x<.答案:[1,)12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(x·y)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)证明f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().由于>1,故f()>0,从而f(x2)>f(x1).所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)解:由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),所以f(x)≥f[9(x-2)],所以x≤.又所以2<x≤.所以x的取值范围是(2,].13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.解析:由题意得解得-3≤a≤-2.答案:[-3,-2]。
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第二课时函数概念的应用
【选题明细表】
1.区间(2m-1,m+1)中m的取值范围是( B )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)
(C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
解析:由区间的定义可知2m-1<m+1,即m<2.故选B.
2.下列各组函数中,表示同一函数的是( D )
(A)y=x+1和y=
(B)y=和y=()2
(C)f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
(D)f(x)=和g(x)=
解析:只有D是相同的函数,A与B中定义域不同,C是对应法则不同.
3.已知函数f(x)=,则f()等于( D )
(A)(B)(C)a (D)3a
解析:f()==3a.
4.函数y=x2-4x+1,x∈[1,5]的值域是( D )
(A)[1,6] (B)[-3,1]
(C)[-3,+∞) (D)[-3,6]
解析:对于函数y=x2-4x+1,它的图象是开口向上的抛物线.
对称轴x=-=2,所以函数在区间[1,5]上面是先减到最小值再递
增的.
所以在区间上的最小值为f(2)=-3.又f(1)=-2<f(5)=6,所以最大值为6.故选D.
5.若函数f(x)=()2与g(x)=x(x∈D)是相等函数,则D可以是( C )
(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)
(C)[0,+∞) (D)(-∞,0]
解析:函数f(x)的定义域为[0,+∞),即D=[0,+∞).故选C.
6.函数f(x)=+的定义域是( B )
(A)[-3,]
(B)[-3,-)∪(-,)
(C)[-3,)
(D)[-3,-)∪(-,]
解析:由题意得
解得-3≤x<且x≠-,故选B.
7.函数y=的值域是.
解析:因为0≤16-x2≤16,所以∈[0,4].
答案:[0,4]
8.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为,值域为.
解析:由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.
答案:[-5,5] [-2,3]
9.下列各组函数中,f(x)与g(x)表示相等函数的是( A )
(A)f(x)=,g(x)=()2
(B)f(x)=|x|,g(x)=
(C)f(x)=2x,g(x)=
(D)f(x)=x2,g(x)=（）-2
解析:选项B中g(x)=x与f(x)的对应法则不同,选项C中对应法则不同,选项D中定义域不同,故选A.
10.(2018·淄博高一期末)已知函数y=x2的值域是[1,4],则其定义域不可能是( B )
(A)[1,2] (B)[-,2]
(C)[-2,-1] (D)[-2,-1)∪{1}
解析:根据函数y=x2在[1,2]上单调递增,故函数的值域是[1,4],故选项A正确;
根据函数y=x2在[-,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,故函数的值域是[0,4],故选项B不正确;
根据函数y=x2在[-2,-1]上单调递减,故函数的值域是[1,4],故选项C正确;
根据函数y=x2在[-2,-1)上单调递减,则函数在[-2,-1)∪{1}上的值域是[1,4],故选项D正确.
11.若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围是.
解析:由题意知,解之得1<a<2.
答案:(1,2)
12.试求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=(x-1)2+1;
(2)y=;
(3)y=x-.
解:(1)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|
y≥1}.
(2)函数的定义域为{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y|
y≠5}.
(3)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域为{x|
x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),于是y=t2-1-t=(t-)2-,又t≥0,故y≥-,所以函数的值域为{y|y≥-}.
13.已知xy<0,并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.
解:xy<0⇔或
因为4x2-9y2=36,故y2=x2-4.
又⇔x>3或⇔x<-3.
因此能确定一个函数关系y=f(x).其定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),且不难得到其值域为(-∞,0)∪(0,+∞).。