关于构造法在解决数学问题中的应用

池州学院
本科毕业设计（论文）
题目：关于构造法在解决数学问题中的应用
学生姓名：姚江旋学号：090311125系（部）：数学计算机科学系专业：数学与应用数学入学时间：2009年10月导师姓名：李海燕职称/学位：讲师/ 硕士导师所在单位：池州学院
关于构造法在解决数学问题中的应用
摘要
构造法是数学解题中常用的一种方法，其构造出来的数学式灵活多样，有构造函数、构造方程、构造向量等。

本文根据问题不同而选择相应方法作了示范，阐述了构造法在解决数学问题中的应用，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，从而达到最简洁快速的解决问题。

关键词：构造; 函数; 解题; 应用
Constructor method in solving mathematical problems
Abstract
Constructor method is a method commonly used in mathematical problem solving mathematical formula constructed flexible, constructors, structural equation, constructed vector. This article on how to select the appropriate method depending on the issues made a demonstration of the constructor method in solving math problems, especially in addressing the troublesome mathematical problems, such as the specific issues the appropriate use of the constructor method, then it will anything easy to simplify, so as to achieve the most simple and fast solution to the problem.
Keywords: construction; function; solving problems; application
目录
第一章前言 (1)
第二章构造法在中学解题中的应用 (2)
2.1构造命题 (2)
2.1.1构造引理 (2)
2.1.2构造辅助命题法 (3)
2.2构造函数法 (4)
2.3构造方程法 (5)
2.4构造数列法 (6)
2.5构造复数法 (7)
2.5.1构造复数不等式 (7)
2.5.2构造复数证三角等式 (7)
2.6构造向量法 (8)
第三章构造法在高等数学解题中的应用 (9)
3.1构造函数法 (9)
3.1.1 在不等式证明中的应用 (9)
3.1.2在方程根的存在性和唯一性问题中的应用 (10)
3.2构造积分法 (10)
3.3构造伴随矩阵法 (11)
3.4构造级数法 (12)
第四章总结 (13)
主要参考文献： (14)
致谢 (14)
关于构造法在解决数学问题中的应用
第一章前言
从数学产生那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了。

但是构造性方法这个术语的提出，直到把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的。

直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的。

”这就是构造主义。

近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段：一是直觉数学阶段。

直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。

二是算法数学阶段。

算法数学的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不像直觉数学那样去挑战传统的证明规则。

其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。

三是现代构造数学阶段。

1967年，比肖泊书的出版宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。

实际上，构造法从数学产生之时就已经存在，在古代数学的建立与发展中起着重要的作用。

以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处。

我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，因此形成了丰富的术，这些术就是一个个构造性的机械式的计算程序，他们对推动古代数学的发展起到了重要的作用。

数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就。

由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响。

构造法是数学中的一种基本方法，它是指当某些数学问题使用通常办法，按定势思维去解决很难奏效时，根据问题的条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等关系的特征，构造出满足条件或结论的新的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象（或问题形式）中清楚地展现出来，从而借助该数学对象（或问题形式）简捷地解决问题的方法。

构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属
于非常规思维，其本质特征是构造，其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想、实施正确的转化。

这就要就主体具备良好的知识结构和发散性的直觉能力。

历史上不少著名的数学家都采用构造法成功地解决数学上的难题，如欧几里得在《几何原本》中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的范例。

现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。

构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。

本文从构造函数、构造方程、构造复数、构造向量等多种构造方法出发，谈谈构造法在数学解题中运用。

相信本课题不仅在理论上丰富了和发展构造法在数学领域中的应用，而且对社会的发展也将产生一定的影响。

第二章构造法在中学解题中的应用
2.1构造命题
当论证某些命题感到没有直接依据或比较困难时，可以通过构造其有关引理或辅助命题的办法，以求问题的解决。

2.1.1构造引理
例1：设椭圆方程为
222
(2)()
1
99
x t y t
-+
+=，试求它的中心轨迹关于点M（-1,1）
对称图形的轨迹方程。

引理：已知曲线方程),(y x f ，则它关于点M(a,b)对称的曲线方程
0)2,2(=--y b x a f 。

解：设椭圆中心为（x,y),根据题意，有
2x t =
2y t =-
消去参数的椭圆中心轨迹方程为：
2(,)40f x y x y =+=
由引理知，它关于M （-1,1）对称图形的轨迹方程为
(2,2)0f x y ---=
即：2(2)4(2)0x y --+-= 化为：2(2)4(2)x y +=-即为所求轨迹方程。

2.1.2构造辅助命题法
在解决某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为根据，只要证明了这个命题时真命题，原命题就迎刃而解。

这种解决数学问题的方法，称为构造辅助命题法。

例2：解方程 23235x x x --=+ (1) 分析：直接去原方程的绝对值符号得
23235x x x --=+ (2)
如果方程（1）与（2）同解，问题就容易解决。

但在初等数学中没有定理可用来直接判定这两个方程是否通解。

注意到方程（1）的定义域为R ，而对于任何x R ∈ 恒有22(32)(35)30x x x x --++=+>,于是可构造辅助命题：
“设方程 ()()f x x ϕ= (3)
的定义域为A,如果对于任何x A ∈,恒有
0)()(>+x g x f ,
那么方程（3）与方程
()()f x x ϕ= （4）
同解。

”
证明：先证（3）的解必是（4）的解，设1x 是（3）的任一解，则11()()f x x ϕ= 两边平方得[][]1111()()()()0f x x f x x ϕϕ-+=
∴ )()(11x x f ϕ=
再证（4）的解必是（3）的解，设2x 是（4）的任一解，则()22()f x x ϕ= 上式可改写为()()22f x x ϕ=，这表明2x 是方 程（3）的解，命题得证。

根据上述辅助命题，解例2中方程（1)只须解方程（2）。

解得：x=-1或x=7
下列方程也可根据这个辅助命题求解：
()1113;x x x ++-=-
()2215;x x x --=+
()23237x x x +-=-
2.2构造函数法
在解决某些数学问题时，运用函数概念和性质构造一个适当的辅助函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的解题方法叫做构造函数法。

函数是数学知识中心之一，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此，方程和不等式都是函数的特殊表现形式。

构造函数的前提和基础是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数性质。

构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质。

有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决问题；有些问题实质上与函数某个性质有关，可以归纳为研究相关的函数性质，便可构造辅助函数来解决问题。

例3：已知 ,,,,a b c d e R ∈，且满足：
222228,16a b c d e a b c d e ++++=++++= 试确定e 的最大值（美国第7届中数学竞赛题）
分析：根据2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++这两个式子构造以d c b a ,,,为系数的二次函数作为辅助工具手段，从中转化出e 的不等式。

解：由于222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=- 构造二次函数：
()()22222()42f x x a b c d x a b c d =++++++++
()2222()()()0x a x b x c x d =+++++++≥
由已知条件得:()()2
2481616e e -≤- 解得：160,5e ≤≤当a b c d ===时，有max 165
e =。

例4：已知(),,1,1,a b c ∈-求证2abc +>a b c ++。

分析：因为c b a bc c b a abc --+-=++-+2)1()()2(，所以构造一次函数b kx y +=的形式，根据k 的正负来判断函数的单调性。

解： ()()212,abc a b c bc a b c +-++=-+--
∴可构造函数 ()()()12,1,1f x bc x b c x =-+--∈-。

(),1,1b c ∈-∴1bc <即10bc -<
∴()f x 在R 上单调减函数
()1,1,a ∈-
∴ ()f a >()()(1)1110f b c bc b c =--+=-->,
∴ ()120bc a b c -+-->
即 2abc +>a b c ++。

2.3构造方程法
作为中学数学重要内容之一的方程，它与等式、函数等许多知识存在着密切的联系。

有时可根据题目条件中的数量关系和结构特征，构造出新的方程，将原问题转化为方程的求解式来讨论（常用判别式与韦达定理），从而使问题得到解决。

这种方法应用较广，如计算、求值、证明等都可以构造辅助方程求解（证）。

这时，等式可以理解为方程，恒等式的变形可以理解为方程变形，求值问题可以看成解方程，函数的许多性质也可以归纳为方程来研究。

例5：已知a b c >>，2221,1,a b c a b c ++=++=求证：103
c -<<。

分析：此数学问题不是方程问题，但是通过转化，可以用c 的表达式来表示ab b a ,+，这样可以根据韦达定理来构造一元二次方程。

证明：由题意得：2221,1a b c a b c +=-+=-
而()()22
22212a b a b ab c ab +=+-=--
即()2
2112c c ab -=-- 得2ab c c =-
因此可构造以a 、b 为根的一元二次方程
()2210x c x c c --+-= 令 ()22()1,f x x c x c c =--+-
得:012()0a b c c f c ∆>⎧⎪+=->⎨⎪>⎩
解得：103
c -<<。

例6：已知1sin cos ,05
ααα+=<<π，求tan α的值。

此题并不难，但如果解法不当会求出两个tan α值，而其中一个是不符合已知条件的却不易发现，稍一不注意很易出错，即使发现了还需要费脑筋排除，而采用构造的方法就可以避免上述错误，使tan α值唯一。

解：将1sin cos 5αα+=两边平方得12sin cos ,25
αα=- 根据韦达定理构造方程
21120525
x x --= 解得：1243,55
x x ==- 由已知0α<<π知sin 0α> 所以434sin ,cos ,tan 553
ααα==-=- 2.4构造数列法
在解题时根据题目已知条件通过构造适当的数列来解决问题的方法叫构造数列法。

利用构造数列法的前提是灵活运用数列的概念和性质，找到题目的已知条件或结论与数列的关系，再利用数列的知识解决问题。

例7：求证：211223(1)(1)2
n n n ++++<+ 证明：设211223(1)(1),2
n X n n n =++++-+ 22111(1)(2)(2)(1)22
n n X X n n n n +-=++-+++ 3(1)(2)()2
n n n =++-+
229
32304
n n n n =++-++
< 1n n X X +∴<，即}{n X 是递减数列，于是1220n X X <=-<
即21
1223(1)(1)2
n n n ++++<+
此题的巧妙之处在于恰当地构造了一个辅助数列}{n X ，再利用数列的自身性质，将直接难于证明的问题变易，使问题迎刃而解。

2.5构造复数法
由于复数具有代数、三角形等多种表示形式以及它的特定性质和运算法则，我们可以构造复数求解许多代数、三角方面的问题。

它不但可以提高综合运用知识解题的技巧，而且可激发发散思维，破思维定势，有效地培养学生的能力、发展智力。

2.5.1构造复数不等式
例8：求证
()
()()()
2
2
22
2222111122a b a b a b a b ++
-+++-+
-+-≥
分析：本题特点是左边为几个根式之和，因此可借助于复数的模来证。

证明：构造复数()()()()1234,1,1,11z a bi z a bi z a b i z a b i =+=-+=+-=-+-，则 左边=123412342222z z z z z z z z i +++≥+++=+=，即证。

2.5.2构造复数证三角等式
例9：已知cos cos cos 0sin sin sin 0
αβγαβγ++=++=
求证：（1）cos3cos3cos33cos()αβγαβγ++=++ （2）sin3sin3sin33sin()αβγαβγ++=++
分析：因题目的条件和结论都与复数的三角式有关，于是我们联想到构造复数的三角表达式解题。

证：构造三个复数：123cos sin ,cos sin ,cos sin z i z i z i ααββγγ=+=+=+
则()()123cos cos cos sin sin sin 0z z z i αβγαβγ++=+++++=
于是有33312
31233z z z z z z ++= 333
123(cos3cos3cos3)(sin 3sin 3sin 3)z z z i αβγαβγ++=+++++
12333cos()3sin()z z z i αβγαβγ=+++++ ()cos3cos3cos33cos αβγαβγ∴++=++，
s i n 3s i n 3s i n 33s i n (αβγαβγ
++=++ 2.6构造向量法
利用向量的性质解题可起到意想不到的效果。

例10：设a +∈、b 、c R ，试证：222111
a b c b c a a b c
++≥++。

分析：若能联想到不等式两边分解成两个向量的内积，然后再利用向量的性质化解问题。

证明：设111,,,.,a b c m n b c a a b c ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由()
2
22m n m n ≥ 得：
2
222111111a b
c b c
a a
b
c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222111
a b c b c a a b c
∴
++≥++。

例11：求224210y x x x =++-+的最小值。

分析：若用代数法求解比较困难，为此设法构造向量，利用向量模的性质。

解：()
2
222224210213y x x x x x =++-+=++
-+
设()(),2,1,3a x b x ==-
，则
()2
212326y a b a b =+≥+=++=
当且仅当
2
13
x x =-时，即25x =时等号成立
min 26y ∴=
第三章 构造法在高等数学解题中的应用
3.1构造函数法
3.1.1 在不等式证明中的应用
不等式是反映现实世界中各种复杂关系的最基本的形式之一，它在数学活动中有着独特的地位和作用，不等式的证明历来都受到数学家、数学工作者和数学爱好者的普遍关注和欢迎。

利用构造函数法证明不等式可以说是不等式证明中的一大亮点，也是分析学的主要成果之一。

问题模型:证明函数不等式D x x g x f ∈<),()(。

解决思路：根据函数不等式的特征构造函数)()()(x g x f x F -=，并利用)(/x F 的符号确定函数)(x F 单调性来证明相应的不等式，但若)(/x F 的符号不好确定，可考虑⋅⋅⋅),(),(/////x F x F 的符号依次来确定()()()x F x F x F //////,,的符号，进而使问题得到解决。

例12：证明：当02
x <<π
时，32cos 162x x x <-+。

证明:作函数()32
1cos 62
x x f x x =-+-，02x <<π，则()00f =，而
()()()()2
/
/////sin ,00;1cos ,002
x f x x x f f x x x f =-+==-+=
()()00f x f >=；
()///1sin 0,(02
f x x x =-><<π
）
且()()()///,,f x f x f x 在0x =处都连续，当02
x <<
π
时，推知()//f x 递增， 有()()////00f x f >=；()/f x 递增，有()()//00f x f >=；()f x 递增，有
即当02
x <<π
时，32cos 162x x x <-+。

3.1.2在方程根的存在性和唯一性问题中的应用
根的存在性定理（零点定理）：若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得0)(0=x f ，即方程0)(=x f 在()b a ,内至少有一个根。

例13：证明方程4
031
21x x e dt t =
++⎰在区间（0,1）内有唯一的实数根。

证明：构造函数4
031()21x x
f x e dt t =--+⎰，显然，函数()f x 在[]0,1上连续， 且1403131
(0)10,(1)2221f f e dt t
=-=-<=--+⎰。

当01x ≤≤时，12401111
112121dt t t
≤≤⇒≤≤++⎰所以 ()1403135
1102122
f e dt e e t =-->--=->+⎰。

由零点定理可知，函数()f x 在区间（0,1）内至少有一个零点。

又因为()/4
1
0,011x f x e x t
=-
><<+。

可见，函数()f x 在区间()0,1内严 格单调递增，所以函数()f x 在区间（0,1）内有唯一零点，即方程
4
031
21x x
e dt t =++⎰
在区间（0,1）内有唯一的实数根。

3.2构造积分法
19世纪初，数学家们在不借助无穷级数的情况下还不能计算如()1
2
ln 11x dx
x
++⎰
这样的定积分。

1844年，法国数学家、巴黎学院终生秘书贝特朗（J Bertrand ，1822—1900）通过构造二元函数解决了这个定积分计算的难题。

为了解决
0()x
x dx ϕ⎰
，贝特朗构造二元函数(),x ψα，使得()(),x x x ψϕ=，并设
()()()()()1120
,,,,,x
x
x x x dx x dx x ψαψαψαψαψαα
α
∂∂=⇒
==∂∂⎰
⎰。

可以推出下列公式：
()()()1
2
,,x
x
x dx x x x x dx C ϕψψ=-+⎰⎰
构造函数法在定积分的计算问题中有着重要的作用。

例14：计算定积分()1
2
ln 11x dx x
++⎰。

解：构造二次函数()()2
ln 1,1x x x αψα+=
+，则有
()()12
ln 1,1x
x x dx x
αψα+=+⎰
，
()()()
dx x
x x
x x
⎰
++=0
2
211,ααψ ()(
)()
x x x arctan 1121ln 1ln 112
222α
α
ααα+++++++-=。

令积分上限1x =得到：
()()
()()1
222
2
1ln 2ln 1114
1121x
dx x x αααααα=-
++++++++⎰π
两边对α在[]0,1上求积分可得：
()()1
1
2
2
ln 1ln 1ln 2114
x dx d x ααα++=-+++⎰
⎰
π
，
于是可得：
()1
2
ln 1ln 218
x dx x +=+⎰
π。

3.3构造伴随矩阵法
构造数学辅助问题的思维过程应当符合从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性这一认识规律，按照这一规律来构造某些数学问题往往容易奏效。

利用伴随矩阵求逆矩阵，关键在于构造伴随矩阵。

例15：求矩阵110101011A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵。

解：设逆矩阵11
121321222331
32
33x x x B x x x x x x ⎡⎤
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则AB E =。

11
121321222331
32
33110100101010011001x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因20A =-≠,所以由克莱姆法则解得：
131112112131111
,,222A A A x x x A A A =
=====- 232122122232111,,222A A A x x x A A A =
===-== 313233132333111,,222
A A A x x x A A A =
=-====- 所以11121321
222331
32
331
1
122211112221
112
2
2A A A B A A A A A A A ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥
==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
即为A 的逆矩阵。

3.4构造级数法
级数与函数、数列、导数、积分等诸多知识密切地联系在一起。

根据问题条件
中的数量关系和结构特征，构造出一个级数，然后依据级数的理论，使问题在新的关系下达到转化而获解。

例16：设}{n x 的定义如下：()()⋅⋅⋅=+===--4,321
,,2121n x x x b x a x n n n ，求n n x ∞→lim 。

解：构造级数()∑∞
=--11k k k x x （设00=x ）
()a b a b x x -⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=-∴0
1221
()()()a b x x x x x x x -⎪⎭⎫
⎝⎛-=--=-+=-1
1221223212121
()()()a b x x x x x x x -⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=-+=-22332334212121
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
()a b x x k k k -⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=---2
121
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
因此()()()b a a b a x x x k k k k k n n 23
1
21lim 2
211+=
⎪
⎭⎫
⎝
⎛--+=-=-∞
=∞=-∞→∑∑。

第四章 总 结
通过以上的探讨，可以发现，构造法在数学解题中有着意想不到的功效，它使问题很快得到解决。

构造法解题重在“构造”，它能启发多角度多渠道的广泛联想，获得许多构思巧妙、新颖独特、简洁有效的解题方法，加强知识的理解，培养思维的灵活性，提高人们分析问题时的创新能力。

因此研究构造法，研究数学方法，不仅对培养数学能力意义重大，它作为一种重要的“数学思想”还有着更深刻的内涵。

可以说，数学思想是人们数学科学研究的本质及规律的理性认识。

这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名无名的数学家，而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特征，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和互相支持的关系等。

事实上，世界各国都已经认识到，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪，以此去解决生活中所面临的实际问题。

更远一点来说便是：运用数学的思想培养生活中为人处事的方式和原则，利用数学家门的精神陶冶自己，培养艰苦奋斗和创新的能力，实现自己的人生价值和意义。

主要参考文献：
[1]张希来.构造法解题[J].南都学坛.自然科学版1990:114-120
[2]张鑫.构造法解题技巧及类型探微[J].新课程研究.2009(138):50-52
[3]王梅杰.构造法在解决数学问题中的应用[J].教育科学.2011(12):180
[4]刁成海.利用构造法解决数学问题.大连教育学院学报[J].2007(1):69
[5]李莉.构造法在解题中的应用.辽宁师专学报[J].2000:58-60
[6]姬小龙刘志平构造函数法在高等数学中的应用济源职业技术[J]2012:75-77
致谢
光阴似箭，岁月如梭，不知不觉我即将走完大学生涯的第四个年头，回想这一路走来的日子，父母的疼爱关心，老师的悉心教诲，朋友的支持帮助一直陪伴着我，让我渐渐长大，也慢慢走向成熟。

首先，我要衷心感谢一直以来给予我无私帮助和关爱的各位领导和老师，特别是指导老师李海燕老师，辅导员钱克仕老师。

谢谢你们这四年以来对我的关心和照顾，从你们身上，我学会了如何学习，如何工作，如何做人。

其次，我还要认真地谢谢我身边所有的朋友和同学，谢谢你们，你们对我的关心、帮助和支持是我不断前进的动力之一，我的大学生活因为有你们而更加精彩。

最后，我要感谢我的父母及家人，没有人比你们更爱我，你们对我的关爱让我深深感受到了生活的美好，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。