拟线性p—Laplace方程周期边值问题的上下解方法

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laplace变换的原理和方法

其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]

s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有

'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)

t t t
L [ dt

dt
n

f ( t ) dt ]
m

C m 1 ( s s1 )
m 1

C1 s s1

C m 1 s s m 1

Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )

具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程

具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程
来描述
p-Laplace方程是一个有趣而有用的数学方程，它提供了一种解决不同类型问题的通用方法。

p-Laplace方程通常应用于小波和数据降维应用，也可用于解决具有吸附和非线性边
值条件的问题。

p-Laplace方程的数学表达式是u_p (x) = div (P)，其中P是微分向量积分变量，P(x) =
|∇u(x)|^p-2 ∇u(x)。

p-Laplace方程的好处在于它包含了一个可调的参数p，这可以用来控
制边界条件的形式和不同的实现情况。

上述的p-Laplace方程也可以用来表达不同种类的方程，例如非线性边值问题和吸附问题。

例如，对于一个具有非线性边值条件的多元方程组，我们可以利用p-Laplace方程来解决：u_p [x] = div (P (x))，其中P (x) = |∇u(x)|^p-2 ∇u(x)，∇u(x)表示梯度算子，这样就可以利
用具有不同边界条件的p-Laplace方程来求解。

此外，p-Laplace方程还可以用于解决吸附方程。

在这种情况下，p-Laplace方程的一般形
式可以写成：|∇u(x)|^p-2 ∇u(x) = |f(x)|^p，其中f (x)代表吸附系数。

这个方程可以帮助我们求解复杂的吸附问题，例如是否存在可以克服吸附的有效解决方案。

总而言之，p-Laplace方程是一个有趣而强大的数学方程，它可以用于处理不同类型的问题，特别适用于具有吸附和非线性边值条件的问题。

它可以帮助我们更好地理解问题，并得出有效解决方案。

一类p—laplace方程边值问题解的存在性

一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

几类p-laplace算子型微分方程边值问题的解

ϕq(s) =| s |q−2 s,
1 p
+
1 q
=
1, η
∈
(0, ρ(T ))T.
Þ µ Û £Ù¬ Í¤Â Ä Î¨Ê¾ »Ù Avery-Peterson
[1] Hong [1]
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℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
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Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
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p-Laplacian论文：带Hardy项的拟线性方程的正解性

p-Laplacian论文：带Hardy项的拟线性方程的正解性【中文摘要】本文讨论下面方程的可解性,其中Ω是RN中具有光滑边界(?)Ω的有界区域,Δpu=div(|▽u|p-2▽u)为p-Laplacian,1<p<N,λ>0是一个参数,0≤μ<((N-p))/p)pμ,非线性项h:Ω×R→[0,∞)是一个非负连续函数,且在原点附近为p-渐进线性增长,在无穷远处为p-超线性增长并满足其他一些适当的条件.本文利用变分技巧、上下解方法、山路引理和比较原理证明了在情况0<λ<λ1,6和λ=λ1,b下,问题(ρλ)至少存在一个正解；在λ>λ1,b情况下,问题(ρλ)至少存在两个正解,其中λ1,b是非线性特征值问题关于某个权函数b(x)∈L∞(Ω)的第一特征值.并且本文还讨论了最后所获得的解关于λ→0和λ→λ1,b+的渐近性态.【英文摘要】In this thesis, we will be concerned with the existence of solutions for the following eqautions whereΩis a domain of RN with the smooth boundary (?)Q,Δpu= div(|▽u|p-2▽u) is the p-Laplacian, 1< p< N,λ>0 is a parameter,0≤μ< ((N-p)/p)p(?)μ, the nonlinear term h:Ω×R→[0,∞) is a nonnegative function, h has a p-asymptotically linear growth near zero and has a p-superlinear growth at infinity, and h satifies some other conditions.In this thesis, by using the variational techniques, sub and super solution method, the mountain pass lemma and the comparison principle, we obtianthat the equation(Pλ) has at least one positive solution under both cases of 0<λ<λ1,b andλ=λ1,b, and the equation (Pa) hasat least two positive solutions in the case ofλ>λ1,b, whereλ1,b is the first eigenvalue of the following eigenvalue problem for some weight function b(x)€L∞(Ω). Moreover we discuss the asymptotic behavior of the solution whenλ→0 andλ→λ1,b+.【关键词】p-Laplacian 山路引理上下解方法比较原理正解【英文关键词】p-Laplacian mountain pass theorem sub and super solution method comparison principle positive solution【备注】索购全文在线加好友：1.3.9.9.3.8848同时提供论文写作一对一指导和论文发表委托服务【目录】带Hardy项的拟线性方程的正解性摘要4-5Abstract5引言7-11第一章预备知识11-19§1.1 基本定义和引理11-12§1.2 两个引理及其证明12-19第二章主要结果及证明19-27结论与问题展望27-28参考文献28-32致谢32。

非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解

非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题是指求解一个具有非线性分数阶p-laplacian算子的边值问题，其中p是一个正实数，它的形式如下：$$\begin{cases}(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=f(x,u) & \text{in}\\Omega \\ u=g(x) & \text{on}\ \partial\Omega\end{cases}$$其中，$\Omega$是一个有界域，$f(x,u)$是一个非线性函数，$g(x)$是边界条件，$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u$是p-laplacian算子，它的定义为：$$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$$求解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解，可以采用函数空间的方法，即将问题转化为一个有界线性系统，然后求解该系统的解。

首先，我们将上述问题转化为一个有界线性系统，即：$$\begin{cases}Au=F & \text{in}\ \Omega \\ u=g & \text{on}\\partial\Omega\end{cases}$$其中，$A$是一个线性算子，它的定义为：$$Au=(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u-f(x,u)$$$F$是一个函数，它的定义为：$$F=-f(x,g)$$接下来，我们可以采用Galerkin方法求解上述线性系统，即：$$Au_n=F_n$$其中，$u_n$是一个有限维的函数空间，它的定义为：$$u_n=\sum_{i=1}^{n}c_i\phi_i$$其中，$\phi_i$是一组基函数，$c_i$是一组系数，它们的定义为：$$c_i=\int_{\Omega}u\phi_i\,dx$$最后，我们可以将上述线性系统转化为一个矩阵形式，即：$$A_{ij}c_j=F_i$$其中，$A_{ij}$是一个矩阵，它的定义为：$$A_{ij}=\int_{\Omega}\phi_iA\phi_j\,dx$$最后，我们可以采用数值方法求解上述矩阵形式，从而得到非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解。

《高等数学教学资料》第四节.laplace变换的性质小结

《高等数学教学资料》第四节 .laplace变换的性质小结
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的一种积分变换，记作L[f(t)]。
THANK YOU
感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入，Laplace变换的应用领域将不断拓展，例如在人工智能、机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入，Laplace变换的应用领域将不断拓展，例如在人工智能、机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入，Laplace变换的应用领域将不断拓展，例如在人工智能、机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足一定的条件，例如在某个区间内单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。

微分方程的Laplace变换解法

微分方程的Laplace变换解法微分方程在数学和工程领域中是一种常见的数学工具，用来描述物理现象和自然规律。

在解微分方程时，Laplace变换是一种非常有用的转换方法。

通过将微分方程转换为代数方程，我们可以更容易地求解微分方程的解。

Laplace变换的定义Laplace变换是一种线性积分变换，用来将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)。

其定义如下： \[F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)dt\]其中，s是一个复变量，t是实数。

Laplace变换在工程中的应用非常广泛，能够有效地解决很多常见的微分方程问题。

Laplace变换的性质在求解微分方程时，我们需要了解一些Laplace变换的基本性质：1.线性性质：\[L(a_1f_1(t) + a_2f_2(t)) = a_1F_1(s) + a_2F_2(s)\]2.积分性质：\[L\left(\int_0^t f(u)du\right) = \frac{F(s)}{s}\]3.微分性质：\[L\left(\frac{d n}{dt n}f(t)\right) = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -s^{n-2}f’(0) - \ldots - f^{(n-1)}(0)\]掌握这些性质对于有效地应用Laplace变换解微分方程至关重要。

Laplace变换解微分方程的步骤利用Laplace变换解微分方程的一般步骤如下：1.应用Laplace变换将微分方程转换为代数方程。

2.解代数方程得到F(s)。

3.对F(s)进行逆变换，得到原方程的解f(t)。

在解微分方程时，我们通常遵循这些步骤，并注意一些常见的Laplace变换对应表。

实例分析让我们以一个示例来说明Laplace变换解微分方程的过程。

考虑一个简单的线性微分方程： \[ \frac{d}{dt}y(t) + 2y(t) = 3e^{-t}, \quad y(0) = 1\]我们首先应用Laplace变换将方程转换为代数方程： \[ sY(s) - y(0) + 2Y(s) =\frac{3}{s+1}\] \[ (s+2)Y(s) = 1 + \frac{3}{s+1}\]解出Y(s)为： \[ Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)(s+1)}\]进一步求解反变换，我们得到微分方程的解为： \[ y(t) = e^{-2t} + 2e^{-t}\] 通过以上实例，我们展示了如何利用Laplace变换解一个简单的微分方程。

《高等数学下教学资料》第四节.laplace变换的性质

反变换的求解方法
01
02
03
04
表格法
通过查阅Laplace反变换的表格，找到相应的反变换结果。
间接法
利用已知的Laplace反变换的性质和公式，通过代数运算求解反变换。
直接法
对于简单的Laplace变换，可以通过直接求解微分方程得到原函数。
数值法
对于无法通过直接法或间接法求解的反变换，可以使用数值方法近似求解。
《高等数学下教学资料》第四节.laplace变换的性质
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace反变换 • Laplace变换的应用 • 习题与解答
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是对于一定条件下的实变量函数f(t)，在复平面上的一个复变量s的函数F(s)的一种变换。
3、题目
已知 F(s) = (s + 1)^2，求 f(t) = t^2e^(-t)。
解答
1、答案
f(t) = t + 1，其 Laplace 变换为 F(s) = 1/(s - 1)^2。
01
2、答案
f(t) = (2t + 3)e^(-2t)，其 Laplace 变换为 F(s) = (s^2 + 4s + 3)e^(-s)。
频移性质
频移性质
对于任意实数ω，有L[f(ω*t)]=F(s*ω)，其中F(s)是f(t)的Laplace变换。
频移性质的应用
频移性质在处理与频率有关的函数时非常有用，可以用来将频率域的函数转换为时间域的函数。

P-laplacian算子型奇异边值条件的上下解方法

ｔ ∈（０，１）
ｉｌｉｍ￣ｂｐ（＝）＋Ｏ（ … ｌｉｍｄ）ｐ（）））＝０
其中咖（ｓ）＝ｌｓｓ，ｐ＞１在Ｍ＝Ｏ，ｔ＝Ｏ，１可以有奇性．
对于边值问题
ｊ．ｑｂＰ（））＋ｇ（，）＝０ｔＥ（０，１）
ｌ（０）＝Ｍ（１）＝ｏ
（２）
其中在＝０，ｔ＝Ｏ，１处可以有奇性，文献［１］利用上下解方法，给出边值问题（２）正确的存在性．本文的不同主要是将边值条件复杂化，然后在此条件下给出正解的存在性证明．
［中图分类号］０１７５．８［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７２— ２５９０（２０１６）０６—００４２— ０５
１预备知识
考虑Ｐ — ｌａｐｌａｃｉａｎ算子型奇异边值问题ｒ（（，））＋ｑ（ｔｔ，）＝０
［作者简介］李洪梅（１９８２一），女，山东泰安人，泰山学院数学与统计学院讲师．
第６期
李洪梅等：Ｐ— ｌａｐｌａｃｉａｎ算子型奇异边值条件的上下解方法
４３
（０，＋ ∞）上＾（） ≥０是连续的，且在（Ｏ，＋ ∞）上鱼不减，
２问题（１）的正解存在性
考虑问题ｒ（币（））＋ｑ（），（ｔ， “ ）＝０ｔ ∈（０，１）
ｉ姆））＝（１）＋Ｏ（ … ｌｉｍｑｂ，（ｕ）））＝０

具有p-Laplace算子微分方程边值问题的变分法

具有p-Laplace算子微分方程边值问题的变分法本文利用变分原理,特别是对偶极小化原理,研究了具有p-Laplace算子微分方程和系统的可解性问题,包括周期解,调和解和次调和解的存在性.全文共分为四章.第一章介绍了具有p-Laplace算子微分系统的研究背景和本文的主要工作.第二章研究了具有p-Laplace算子的二阶非自治微分方程周期边值问题：利用对偶极小化原理,扰动原理和推广的Wirtinger不等式,得到了微分方程周期解存在性的充分条件,要求非线性项F为次P次型增长条件.本章工作不仅扩展了对偶极小化原理的研究范围,同时还减弱了已有研究成果中周期解存在的判别条件.第三章讨论了具有p-Laplace算子微分方程组的调和解与次调和解的存在性问题.利用对偶极小化原理和扰动技巧,给出了kT-周期解的存在性.在对kT-周期解进行先验估计后,进一步给出了次调和解存在性的充分条件.第四章进行了总结展望.。

拉普拉斯(Laplace)方程

+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情：复变函数论中的解析函数由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
数，f (x1, · · · , xn)是一给定的已知函数。它们具有广泛的应用背景。下面我们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
(1.13)
实例三：膜平衡方程在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
u|∂Ω = g.
(1.16)
边界条件(1.16)称为:第::一:::类:::边::界:::条:::件::，也称为:D::ir:i:c:h::le:t:边:::界:::条::件:: 。第二边值问题(也称为Neumann问题) 设有一光滑的闭曲面Γ并在其上给一连续函
数g，求解这样的一个函数u = u(x1, · · · , xn)使得它在Γ 所围成的区域Ω的内部满足方

考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)

1 , 所以 2 s 1
0

sin t dt t

0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s

t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)

p(t)-Laplace 常微分方程的 Dirichlet 边值问题

Vu′(t),u(t) ′ ≥ 0.
(2.5)
∴
[(1 | u(t) |2)′]′ = [1 Vu(t),u(t) ′]′
2
2
= 1 [ Vu′(t),u(t) + Vu(t),u′(t) ]′ 2
= 1 [ Vu′(t),u(t) ′ + Vu(t),u′(t) ′] 2
≥0
(2.6)
若存在 t1 ∈[a,b], 使得 | u(t1) |> R. 由于 | u(a) |=| u(b) |= 0 < R, 由 t ∈[a,b] 上 u(t) 的连续性，可以找到 τ 和 σ > τ 使得
The Dirichlet Boundary-value Problems of p(t)-Laplacian Ordinary Differential Equations
⎧−(w(t) | u′(t) |p(t)−2 u′(t))′ + w(t) f (t,u(t)) = 0, ⎨ ⎩u(a) = u(b) = 0,
t ∈(a,b) a < b.
在一定条件下证明了解的存在性。关键词：加权常微分方程；解的存在性
1．引言
设 N ≥ 1, f :[a,b]× RN → RN 连续，
∫ 定义 T : X → X ∗ 为 T (u),v = | u′ |p(t)−2u′v′dt, ∀v ∈ X .
∫ F : X → X ∗ 为 F (u),v = f (t,u)vdt, ∀v ∈ X .
引理 1.3.：(见 6] ) T : X → X ∗ 是一有界，连续且严格单调算子。引理 1.4.：(见 [2] ) F : X → X ∗ 满足当 X 中的 un → u 时，对应 X ∗ 中的 F (un ) → F (u). 引理 1.5.： (见 [2] ) W 1, p(t) (I , RN , wdt) a C(I , RN ).

Laplace方程边界元数值解法研究

目录目录1绪论 (1)1.1课题的研究背景和意义 (1)1.2边界元法研究现状和进展 (3)1.3本文的主要工作 (4)2二维Laplace方程的边界元解法 (7)2.1Laplace方程简介 (7)2.1.1基本概念 (7)2.1.2二维Laplace方程与解析函数的关系 (8)2.2边界元法 (9)2.3数值模拟 (11)2.4本章小结 (16)3基于位势理论的边界元法 (17)3.1边界积分方程的推导 (17)3.2单层位势和双层位势 (18)3.3本章小结 (22)4线性方程组求解的GMRES算法 (23)4.1线性方程组求解的Galerkin原理 (23)4.2Krylov子空间 (23)4.3GMRES算法 (27)4.4本章小结 (31)5数值模拟 (33)5.1边界积分方程的离散 (33)5.2数值算例 (36)5.3本章小结 (39)6结论与展望 (41)致谢 (43)参考文献 (45)附录 (49)I西安理工大学硕士学位论文II1绪论1绪论1.1课题的研究背景和意义如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，就把这个方程叫做常微分方程，简称为微分方程；如果多元函数的偏导数在一个微分方程中出现了，或者说如果未知的函数和若干个变量相关，并且方程中出现的未知函数对应多个变量的导数，我们把这样的微分方程称为偏微分方程。

在很多科学领域当中，都可以用偏微分方程[1]进行描述数学模型。

在微积分理论形成的初期，学者们对许多自然现象的描述、解释或预见就开始使用偏微分方程，并且将其得到的各种研究方法及优良结果运用到各个科学领域和工程技术中去，逐渐地取得了明显的成效，显示出了对于人们认识自然界基本规律的过程中，偏微分方程的重要地位。

椭圆型偏微分方程，也简称为椭圆型方程[2]，它是一类重要的偏微分方程。

希尔伯特于1900年提了著名的23个问题，在这些问题中有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。

自开始研究椭圆型方程至现在的八十多年来，其获得了丰硕研究的成果。

Laplace讲解(全)

∞ ∫−∞ δ (t )dt
=1
它不是一个普通函数，是一个普通函数序列极限。 1 例： ,0 < t < ε δ ε (t ) = ε ε ε →0 0, others
lim δ (t ) = δ (t )
∞ t=0 lim δ ε (t ) = ε →0 0 t≠0
∞ lim ∫−∞ δ ε i →0
− st ∞ 0
= f (t )e
+
∞ 0
∞ s ∫0
f (t )e − st dt
= − f (0) + s
∫
f (t )e − st dt
= sF ( s ) − f (0)
推论：
L[ f (n) (t)] = S n F(s) − S n−1 f (0) − S n−2 f ' (0) − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − f (n−1) (0)
f (0) = −2 s 2 + 22
对上式两边取L变换： ( s ) − sF
2
1 −2 Q f (t ) = cot t , f (0) = 1. ∴ F ( s ) = [ + 1] s s 2 + 22
s2 + 2
=
s( s 2 + 2 2 )
常会用到下面性质
L−1 [ f ' ( s )] = −tf (t )
下面讨论控制理论中常见函数的Laplace变换一．单位阶跃函数 u (t )
1, t > 0 u (t ) = 0, t < 0
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = e
∞ − st 0 − st ∞ 0
1 = s
（Re(s)>0）

Laplace变换法

Sec. 8.4 Laplace 变换法在上一节中, 我们已经用Laplace 变换求解了常微分方程的初值问题. 我们更感兴趣的是, 用Laplace 变换求解偏微分方程的混和问题. 下面举例说明.例1 求解半无界弦的振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<≤==≥==>∞<<=→∞)0( 0)0,( ,0)0,()0( 0),(lim ),()0()0,0( x 2x x u x u t t x u t f ,t u t x u a u t xx tt 解: 对方程两边关于变量t 作Laplace 变换, 并记⎰∞-==0),()],([),(dt e t x u t x u L p x U pt则 2222),()0,()0,(),(dxp x U d a x u x Pu p x U p t =--代入初始条件得:0),(2222=-p x U a p dx U d (1) 再对边界条件关于变量t 作Laplace 变换, 并记)]([)(t f L p F =, 则有⎪⎩⎪⎨⎧==→∞0),(lim )(),0(p x U p F p U x (2) 常微分方程(1)式的通解为apxapxep C ep C p x U )()(),(21+=-代入边界条件(2), 得0)(2=p C )()(1p F p C =故 )(),(p F e p x U apx⋅=-而由位移定理有)]([)(axt f L p F ea xp-=-所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-==--a x t a x t f ax t a x t f L L p x U L t x u ),( ,0)]}([{)],([),(11 (Laplace 变换的定义)例2 求解长为l 的均匀细杆的热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≥==><<=)0( ,)0,()0( ),( ,0)0()0,0( 012l x u x u t u t l u ,t u t l x u a u x xx t 解: 对方程两边和边界条件(关于变量t )作Laplace 变换, 记),()],([p x U t x u L =, 并考虑到初始条件, 则得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+-)4( ),(0),0()3( 0120222p up l U p U a u U a pdx U d x (3)式的通解为x ap ch p C x a p sh p C P u p x U )()(),(210++=由边界条件(4)定出)(1p C 和)(2p C 便得lapch xa pchp u u P u p x U 010),(-+= 由上节知 1]1[1=-pL∑∞=------+=14)12(122222)12(cos 12)1(41][k tl k a k e lx k k lappch xa p chL πππ故 ∑∞=-------+==14)12(011122222)12(c o s 12)1(4)()],([),(k tl k a k e lx k k u u u p x U L t x u πππ可见, 用Laplace 变换求解数理方程的定解问题时, 无论方程与边界条件的齐次与否,都采取同样步骤.。