华师大版九年级数学下册课件《圆的对称性》第2课时精品课件
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九年级数学下册 27.1.2 圆的对称性课件 (新版)华东师大版
（1）AB与CD在圆心的同旁，如下图所示： 作OF⊥CD，交CD于点F，交AB于点E。 在RT△AOE中，OA＝5cm，AE＝EB＝4cm，则OE=3cm； 在RT△COF中，OC＝5cm，CF＝FD＝3cm，则OF＝ 4cm； EF＝OF－OE＝4cm－3cm＝1cm。
A C
Oห้องสมุดไป่ตู้
E
B
F
D
（2）AB与CD在圆心的两旁，如下图所示： 同理可以示出OE＝3cm，OF＝4cm，则EF＝3cm+4cm ＝7cm； 答：AB与CD之间的距离为1cm或7cm。
一、圆的旋转对称性
小组合作学习
班级展示
圆心角定理及推论
• 圆心角定理：在同一圆中，如果圆心角相等，那么它们所 对的弧相等，所对的弦相等；
推论：在同一个圆中，如果弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
二、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴。
试试看，你还可以将圆多少等分？
小组合作学习 班级展示
证明垂径定理
垂径定理及推论
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧。
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
• 例2、已知AB和CD都是⊙O中的弦，且AB∥CD，AB＝8cm， CD＝6cm，⊙O的半径为5cm.求AB与CD之间的距离。
C
F
D
O
A
E
B
小结
圆 的 性 质
华师版九年级数学下册【课件三】27.1.2圆的对称性(2)N
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
合 法
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
B
如图∵ CD是直径, CD⊥AB。
提示: 垂径定理是圆
∴AM=BM,
中一个重要的
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运
用自如.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧. AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
CD是直径 CD⊥AB
可推得
AM=BM,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ ｛ （1）过圆心
（3）平分弦
知二得三
（4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
C
已知：在⊙O中，CD是直径， AAEB是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
●O
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
合 法
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
B
如图∵ CD是直径, CD⊥AB。
提示: 垂径定理是圆
∴AM=BM,
中一个重要的
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运
用自如.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧. AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
CD是直径 CD⊥AB
可推得
AM=BM,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ ｛ （1）过圆心
（3）平分弦
知二得三
（4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
C
已知：在⊙O中，CD是直径， AAEB是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
●O
华师版九年级数学下册课件：27.1.2 圆的对称性(第二课时)
r2=(r-2．4) 2+3．62， 解得r=3．9． 答：拱桥的半径为3．9m．
• (2)现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出 水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利 (2) 如图，设MN为拱桥所在圆的一条弦，且MN⊥CD 通过拱桥吗？
于点E，ED=2m,连结ON． ∵CD=2．4m， ∴CE=2．4-2=0．4(m)， ∴OE=r-CE=3．9-0．4=3．5(m)． 在Rt△OEN中， EN2=ON2-OE2=3．92-3．52=2．96(m2)，
即r2=32+(r-1) 2， 解得r=5， ∴OD=4．
∴AC=8．
• 10．如图27-1-30，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上， MD经过圆心O，连结MB． • (1)若BE=8，求⊙O的半径；
解：(1)设⊙O的半径为x，则OE=x-8． ∵CD=24， ∴DE=12． 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2， 即x2=(x-8) 2+122， 解得x=13．
• (2) 若∠M= ∠D，求线段OE的长． (2) ∵OM=OB ，
∴∠M=∠B，
∴∠DOE=2∠M．
又∵∠M=∠D，
∴∠D=30°． 在Rt△OED中， ∵DE=12，∠D=30°，
• 11．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O 的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M， 则AC的长 C • 为( )
• 2．如果圆内一条非直径的弦和一条直线满足 以下五个条件中的任意两个，那么它一定满 足其余三个： • ①过圆心； • ②垂直于弦； • ③平分弦； • ④平分弦所对的优弧； • ⑤平分弦所对的劣弧． • 这些结论可由圆的轴对称性来说明理由．
• 1．下列命题： • ①每条直径所在的直线都是圆的对称轴； • ②每条半径所在的直线都是圆的对称轴； • ③过圆心的每条直线都是圆的对称轴； • ④过直径上任意一点的直线都是圆的对称 轴． C ( • 其中，正确的有 ) • A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
• (2)现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出 水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利 (2) 如图，设MN为拱桥所在圆的一条弦，且MN⊥CD 通过拱桥吗？
于点E，ED=2m,连结ON． ∵CD=2．4m， ∴CE=2．4-2=0．4(m)， ∴OE=r-CE=3．9-0．4=3．5(m)． 在Rt△OEN中， EN2=ON2-OE2=3．92-3．52=2．96(m2)，
即r2=32+(r-1) 2， 解得r=5， ∴OD=4．
∴AC=8．
• 10．如图27-1-30，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上， MD经过圆心O，连结MB． • (1)若BE=8，求⊙O的半径；
解：(1)设⊙O的半径为x，则OE=x-8． ∵CD=24， ∴DE=12． 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2， 即x2=(x-8) 2+122， 解得x=13．
• (2) 若∠M= ∠D，求线段OE的长． (2) ∵OM=OB ，
∴∠M=∠B，
∴∠DOE=2∠M．
又∵∠M=∠D，
∴∠D=30°． 在Rt△OED中， ∵DE=12，∠D=30°，
• 11．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O 的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M， 则AC的长 C • 为( )
• 2．如果圆内一条非直径的弦和一条直线满足 以下五个条件中的任意两个，那么它一定满 足其余三个： • ①过圆心； • ②垂直于弦； • ③平分弦； • ④平分弦所对的优弧； • ⑤平分弦所对的劣弧． • 这些结论可由圆的轴对称性来说明理由．
• 1．下列命题： • ①每条直径所在的直线都是圆的对称轴； • ②每条半径所在的直线都是圆的对称轴； • ③过圆心的每条直线都是圆的对称轴； • ④过直径上任意一点的直线都是圆的对称 轴． C ( • 其中，正确的有 ) • A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识2圆的对称性课件华东师大版
【解析】∵OC⊥AB,根据垂径定理，得BC=3, 在Rt△OCB中，根据勾股定理，得OB BC2 OC2 2. 答案：2
7.(2011·佛山中考)如图,已知AB是⊙O的弦,半径OA=20 cm, ∠AOB=120°,求△AOB的面积.
【解析】作OC⊥AB于点C,则有AC=CB,∠AO1C=AOB 60,
3.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径_平__分__这条弦,并且_平__分__弦所对的 两条弧. (2)推论:①平分弦(不是直径)的直径_垂__直__于这条弦,并且_平__分__ 弦所对的弧. ②平分弧的直径_垂__直__平__分__这条弧所对的弦. 【点拨】圆心角、弧、弦三者之间的关系可由旋转对称性推 导；垂径定理及推论可由圆的轴对称性推导.
2.在条件中有弦AC与弦AD相等,根据圆心角、弧、弦三者之间的
关系可得∠AOC=∠AOD；
3.由图可以得出：∠COB+∠AOC=180°,∠AOD+∠BOD=180°；
结
BC BD.
合2可得出∠COB=∠BOD,从而证明
【规律总结】 运用圆心角定理时应注意的两个问题
1.圆心角、弧、弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能 成立； 2.一条弦所对的弧有两条,应用时应注意区分.
2.圆的对称性
1.圆的对称性 (1)圆是_旋__转__对__称__图形,无论绕_圆__心__旋转多少度,仍与自身重合, 对称中心是_圆__心__,因而圆也是中心对称图形. (2)圆是_轴__对称图形,它的任意一条_直__径__所在的直线都是它的对 称轴.
2.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)探究：如图，请完成下列问题：
3.如图,在⊙O中, AB AC, ∠A=40°, 则∠B=______度. 【解析】∵ AB AC, ∴AB=AC. ∵∠A=40°, ∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=70°. 答案：70
7.(2011·佛山中考)如图,已知AB是⊙O的弦,半径OA=20 cm, ∠AOB=120°,求△AOB的面积.
【解析】作OC⊥AB于点C,则有AC=CB,∠AO1C=AOB 60,
3.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径_平__分__这条弦,并且_平__分__弦所对的 两条弧. (2)推论:①平分弦(不是直径)的直径_垂__直__于这条弦,并且_平__分__ 弦所对的弧. ②平分弧的直径_垂__直__平__分__这条弧所对的弦. 【点拨】圆心角、弧、弦三者之间的关系可由旋转对称性推 导；垂径定理及推论可由圆的轴对称性推导.
2.在条件中有弦AC与弦AD相等,根据圆心角、弧、弦三者之间的
关系可得∠AOC=∠AOD；
3.由图可以得出：∠COB+∠AOC=180°,∠AOD+∠BOD=180°；
结
BC BD.
合2可得出∠COB=∠BOD,从而证明
【规律总结】 运用圆心角定理时应注意的两个问题
1.圆心角、弧、弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能 成立； 2.一条弦所对的弧有两条,应用时应注意区分.
2.圆的对称性
1.圆的对称性 (1)圆是_旋__转__对__称__图形,无论绕_圆__心__旋转多少度,仍与自身重合, 对称中心是_圆__心__,因而圆也是中心对称图形. (2)圆是_轴__对称图形,它的任意一条_直__径__所在的直线都是它的对 称轴.
2.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)探究：如图，请完成下列问题：
3.如图,在⊙O中, AB AC, ∠A=40°, 则∠B=______度. 【解析】∵ AB AC, ∴AB=AC. ∵∠A=40°, ∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=70°. 答案：70
华师大版圆的对称性第二精品PPT教学课件
日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，
利2020用年10月勾2日股定理求解．
5
当堂训练
Ｐ４９练习１、２
2020年10月2日
6
1.如图所示，直径为10cm的圆中，圆心 到弦AB的距离为4cm．求弦AB的长．
解：连结OA．
∵OM⊥AB，105，OM＝4，
2
AM O2 A OM 23
23.1圆的对称性
(第二课时)
2020年10月2日
1
学习目标
理解并掌握垂径定理：垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分这 条弦所对的两条弧。
2020年10月2日
2
自学指导
认真阅读P48例1后到P49页练习前的 内容.并思考下列问题：
1. 圆是轴对称图形吗?如果是,它的对 称轴是什么?
2. 通过完成P48页的试一试,你得到的 结论是什么?
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2. 在 ⊙O半径为10，弦AB＝12，CD＝ 16，且AB∥CD．求AB与CD之间的离．
分析：本题目属于 “图形不明确型”题 目，应分类求解． (如右图)
感谢你的阅览
Thank you for reading
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2020年10月2日
3
根据自学提示检查自学效果
2020年10月2日
4
教师点评
❖ 1. 圆也是轴对称图形，任意一条直径所 在的直线都是它的对称轴。
❖ 2.垂径定理： 注意：
(1)此性质必须具备两个条件：直径；此直
径垂直于弦，两者缺一不可．
新华师大版九下数学课件 圆的对称性(第2课时)
探究2、垂径定理的推论
如下图，若直径CD平分弦AB则 ①直径CD是否垂直且平分弦所对的两条 弧？如何证明？ ②你能用一句话总结这个结论吗？ ③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
【归纳结论】垂径定理的推论：平分弦的 直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧。平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
C E
F D
O
解析：利用垂径定理，解题过程中可以使 用列方程的方法
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
2
×600=300（m）
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m．
运用新知
1、如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足
为M，下列结论不成立的是（ ）
A.CM=DM
B.CB BD
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MD
解析：根据垂径定理得：CM=DM， CB BD
，AC=AD，由AC=AD得∠ACD=∠ADC， 而OM=MD不一定成立。 答案：D.
2、如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若 AB= ，0C=1，则半径OB的长为___2__3___．
O ACB
解析： 根据垂径定理“垂直于弦的直径平
分弦，并且平方弦所对的两条弧”，可知
B1 AC=B=
2
3，然后根据勾股定理，得OB=
3 2 12
=2。
答案：2。
3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦 （即图中CD，点O是CD 的圆心，•其中 CD=600m，E为 CD 上一点，且OE⊥CD， 垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
2022年华东师大版数学九下《圆的对称性》精品课件
关系又是什么？ 答：C⌒D=2A⌒B成立，CD=2AB不成立. 取CD 的中点E,连接OE.那么 ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB = CE = DE . CD=2 AB，弦AB=CE=DE,在
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
AB C
O
E
D
圆有无数条对称轴.
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，A⌒B与C⌒D，弦AB与
弦CD有怎样的数量关系？ 归纳 由圆的旋转不变性，我们发现： D 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
·
O
A
那么，AB CD ，弦AB=弦CD
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关
系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
ห้องสมุดไป่ตู้O ·′
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如 果∠AOB=∠COD，那么，AB⌒=C⌒D，弦AB=弦CD.
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
1.在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的
弧相等，所对应的弦相等.
①∠AOB=∠COD CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
（ D）
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °. 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D的关系是
（A）
⌒⌒ A. AB=2CD
B. ⌒AB>C⌒D
C. A⌒B<C⌒D
圆的对称性 第2课时 课件 2022—2023学年华东师大版数学九年级下册
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
∴ AE＝BE，CE＝DE。
∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
14
1.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的
动点，则线段OM的长的最小值为_3___.最大值为___5___.
DE
FC
A
B
O
2.如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，DE=1cm，
可以发现：通过对折将一个圆等分成两部分
结论： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
注意：直径不是圆的对称轴
3
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线
C
是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
⌒ ⌒⌒ ⌒
·O
弧:AC=BC,AD=BD
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D
半 AC圆,重⌒AD合分，⌒别点与AB与C点、⌒BB重D合重，⌒合A．E与BE重合，
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平 C 分弦所对的两条弧．
CD是直径 CD⊥AB
华东师大版《数学 ·九年级（下）》
§27.1.2圆的认识
--------圆的对称性
第二 课时
1
复习
圆是中心对称图形吗？
圆是中心对称图形. 如果是,它的对称中心是什么?
它的对称中心就是圆心.
你又是用什么方法解决这个问题的?
旋转的方法
●O
思考：如何将圆两等分？
九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性课件(新版)华东师大版
O
分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的 ⌒ ,读作“弧AB”. 弧. AB 记作
圆的相关概念
2.连接圆上任意两点间的线段叫做 B 弦(例如：弦AB). 3.经过圆心的弦叫做直 A 径(例如：直径AC). . O C
圆的相关概念
B
●
4.圆的任意一条直径的两个端 A O 点把圆分成两条弧，每一条 弧都叫做半圆. ⌒ 5.小于半圆的弧叫做劣弧,如图记作： AB
⌒
⌒
A
(O′)
●
O
B′
结论：
1.在同圆 （或等圆）中，如果两个圆心角相 等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相 2.. 在同圆 （或等圆）中，如果两条弧相等， 等 相等 相等 那么它们所对的圆心角 _____，所对的弦 3.在同圆 （或等圆）中，如果两条弦相等， ______. B 相等 相等 那么它们所对的圆心角_____，所对的弧 O′ A ______. O A′ B′
●
解：(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF.理由如 下： ∵∠AOB=∠COD， ∴AB=CD. ∵OE⊥AB 1 ，OF⊥CD,OA=OB,OC=OD, 1 AE AB , CF CD, 2 2 A C F ∴AE=CF. E D 又∵OA=OC， O B ∴Rt△OAE≌Rt△OCF. ∴OE=OF
理由： ∵半径OA和O′A′重合， ∠AOB＝ ∠A′OO ′B′， ∴半径 Ｂ和 O′Ｂ′重合． ∵点A和点A′重合，点B与点Ｂ′重合. ∴ AB与AB 重合,弦AB与弦A′B′重 合 ， ∴⌒ A B =⌒. A′B′
⌒ ⌒ A B =A′B′
圆心角、弧、弦之间的关系定理
• 在同圆 或等圆 中,相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等.
九年级数学下册 27.1.2 圆的对称性课件 (新版)华东师大版
（1）AB与CD在圆心的同旁，如下图所示： 作OF⊥CD，交CD于点F，交AB于点E。 在RT△AOE中，OA＝5cm，AE＝EB＝4cm，则OE=3cm； 在RT△COF中，OC＝5cm，CF＝FD＝3cm，则OF＝ 4cm； EF＝OF－OE＝4cm－3cm＝1cm。
A C
O
E
B
F
D
（2）AB与CD在圆心的两旁，如下图所示： 同理可以示出OE＝3cm，OF＝4cm，则EF＝3cm+4cm ＝7cm； 答：AB与CD之间的距离为1cm或7cm。
C
F
D
O
A
E
B
小结
圆 的 性 质
一、圆的旋转对称性
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圆心角定理及推论
• 圆心角定理：在同一圆中，如果圆心角相 等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相 等；
推论：在同一个圆中，如果弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
二、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴。
试试看，你还可以将圆多少等分？
小组合作学习 班级展示
证明垂径定理
垂径定理及推论
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分这条弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
• 例2、已知AB和CD都是⊙O中的弦，且 AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，⊙O的 半径为5cm.求AB与CD之间的距离。
圆的对称性(第2课时)精选教学PPT课件
敞开心胸，便会云蒸霞蔚，快乐将永远伴随着你！
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
华师大版数学九年级下册课件：27.1.2圆的对称性
一、圆的旋转对称性
小组合作学习
班级展示
圆心角定理及推论
• 圆心角定理：在同一圆中，如果圆心角相 等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相 等；
推论：在同一个圆中，如果弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
二、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴。
试试看，你还可以将圆多少等分？
C
F
D
O
A
E
B
小结
圆 的 性 质
小组合作学习 班级展示
证明垂径定理
垂径定理及推论
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分这条弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
• 例2、已知AB和CD都是⊙O中的弦，且 AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，⊙O的半径 为5cm.求AB与CD之间的距离。
（1）AB与CD在圆心的同旁，如下图所示： 作OF⊥CD，交CD于点F，交AB于点E。 在RT△AOE中，OA＝5cm，AE＝EB＝4cm，则OE=3cm； 在RT△COF中，OC＝5cm，CF＝FD＝3cm，则OF＝ 4cm； EF＝OF－OE＝4cm－3cm＝1cm。
A C
Байду номын сангаас
O
E
B
F
D
（2）AB与CD在圆心的两旁，如下图所示： 同理可以示出OE＝3cm，OF＝4cm，则EF＝3cm+4cm ＝7cm； 答：AB与CD之间的距离为1cm或7cm。
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圆心角定理及推论
• 圆心角定理：在同一圆中，如果圆心角相 等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相 等；
推论：在同一个圆中，如果弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
二、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴。
试试看，你还可以将圆多少等分？
C
F
D
O
A
E
B
小结
圆 的 性 质
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证明垂径定理
垂径定理及推论
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分这条弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦。
• 例2、已知AB和CD都是⊙O中的弦，且 AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，⊙O的半径 为5cm.求AB与CD之间的距离。
（1）AB与CD在圆心的同旁，如下图所示： 作OF⊥CD，交CD于点F，交AB于点E。 在RT△AOE中，OA＝5cm，AE＝EB＝4cm，则OE=3cm； 在RT△COF中，OC＝5cm，CF＝FD＝3cm，则OF＝ 4cm； EF＝OF－OE＝4cm－3cm＝1cm。
A C
Байду номын сангаас
O
E
B
F
D
（2）AB与CD在圆心的两旁，如下图所示： 同理可以示出OE＝3cm，OF＝4cm，则EF＝3cm+4cm ＝7cm； 答：AB与CD之间的距离为1cm或7cm。
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∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D． C E
O
D
B
例1 如图，两个圆都以点 为圆心，
小圆的弦 与大圆的弦 在同一条
直线上。你认为 与 的大小有什 么关系？为什么？
O
AC
G
DB
例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10， 水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．
谢谢观看！
CE
O
D
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
B
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重
合．
⌒⌒ ⌒⌒
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
新知垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
圆的对称性
第2课时
课堂导入
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么结果
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长 为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？
1．结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称 轴．
强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；
（2）圆的对称轴有无数条．
点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的
A
长．
M ．N O
思路、：由的垂中径点定，理所可以得MN=、12BC=分2．别是
B
C
课堂小结
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究 与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长AB 2 r 2 d 2 .
则这条弦的弦长等于 24 ．
2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不一定成立的是（ C ） A
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE
D．⌒BD=⌒BC
．O
C
E
D
B
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为
8cm，那么OM长为（ A ）
A．3 B．6cm C． 41 cm D．9cm
思路：
先作出圆心O到水面的距离 OC，即画 OC⊥AB， ∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，
．O
A
C
B
OC OB 2 BC 2 10 2 82 6
∴圆心O到水面的距离OC为6．
例3 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点， 且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
作OM⊥AB，垂足为M ∴CM=DM ∵OA=OB ∴AM=BM
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上
的动点，则OM的长的取值范围是（ A ）
A．3≤OM≤5 C．3<OM<5
B．4≤OM≤5 D．4<OM<5
．O
AM
B
5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，
CD=16，则AB和CD的距离为 2或14 ．
6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD； 2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E．
问题：把圆沿着直径CD所在的
A
直线对折，你发现哪些点、线
段、圆弧重合？
CE
O
D
B
新知识在你们动手实验中产生 A
得出结论： ⌒⌒ ⌒⌒
①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．
∴AC=BD．
AC
．O
M
DB
弦心距 圆心到圆的一条弦的距离叫做
．
小结： 1．画弦心距是圆中常见的 辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦心 A 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
O．
dr
C
B
随堂五练、习目标训练
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，