数学百大经典例题——棱锥(新课标)

典型例题一例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为60，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量．解：正六棱锥的底面周长为24． ∴正六棱锥的底面边长为4． 在正棱锥ABCDEF S -中，取BC 中点H ，连SH ，BC SH ⊥， O 是正六边形ABCDEF 的中心． 连SO ，则⊥SO 底面ABCDEF ∴BC OH ⊥．∴SHO ∠是侧面与底面所成二面角的平面角，即60=∠SHO ． （1）在Rt △SOH 中，3223==BC OH ， 60=∠SHO ， ∴660tan ==OH SO ．（2）同样在△SOH 中，斜高342==OH SH ， （3）Rt △SOH 中，6=SO ，4==BC OB ． ∴13222=+=OB SO SB ．（4）∵⊥SO 底面ABCDEF ，∴SBO ∠是侧棱与底面所成角， 同样在△SOB 中，23tan ==∠BO SO SBO ，∴23arctan =∠SBO ， 说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为a ，相邻两侧面所成二面角为120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为a 23，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为a 21，斜高为a 22． 典型例题二例2 如图所示，正四棱锥ABCD P -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且85：：：==ND BN MA PM ．（1）求证：直线//MN 平面PBC ；（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦． 分析：（1）要证明//MN 平面PBC ，只需证明MN 与平面PBC 内某一条直线平行．为此连AN 并延长交BC 于E ，连PE ．可考虑证明PE MN //．（2）若能证明PE MN //，则PEO ∠即为直线MN 与底面所成的角．解：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ． ∵AD BE //，∴ND BN AN EN ：：=， 又MA PM ND BN ：：=， ∴MA PM AN EN ：：=， ∴MN PE //，又⊂PE 平面PBC ，⊄MN 平面PBC ，∴//MN 平面PBC ．（2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则⊥PO 平面ABCD ．又PE MN //，则PEO ∠为直线MN 与平面ABC 所成的角．由85：：：==ND BN AD BE 及13=AD ，得865=BE ，在△PBE 中，60=∠PBE ，13=PB ，865=BE ，由余弦定理，得891=PE ．在Rt △POE 中，2213=PO ，891=PE ，则724sin ==∠PE PO PEP ． 说明：本题（2）若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE与底面所成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．典型例题三例3 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形， 90=∠C ，侧棱与底面成60角，点1B 在底面的射影D 为BC 的中点，cm 2=BC ．（1）求证11BC AB ⊥；（2）若C BB A --1为30的二面角，求四棱锥11-BCC B A 的体积．分析：证11BC AB ⊥关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得．解：如图所示，（1）∵⊥D B 1平面ABC ，⊂AC 底面ABC ，∴D B AC 1⊥． ∵BC AC ⊥， ∴⊥AC 平面BC B 1， ∴1BC AC ⊥．∵1B 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，侧棱与底面成60角， ∴四边形11B BCC 是菱形， ∴11BC CB ⊥， ∴⊥1BC 平面1ACB ， ∴11AB BC ⊥．（2）过C 作B B CE 1⊥，连结AE ． ∵⊥AC 平面C C BB 11，∴CE 是AE 在平面C C BB 11上的射影， ∴B B AE 1⊥，∴AEC ∠是二面角C B B A --1的平面角， ∴30=∠AEC ．在Rt △BEC 中，360sin =⋅=BC EC ，在Rt △ACE 中，由 90=ACE 可得130tan 3tan ==∠= AEC EC AC ．∴23312121=⨯⨯=⋅=∆CE AC S ACE ， ∴ACE B ACE B BC B A V V V ---11+= EB S E B S ACE ACE ⋅+⋅=∆∆31311()EB E B S ACE +=∆131131BB S ACE ⋅=∆22331⨯⨯=33=． ∴ 3322111--==BC B A BCC B A V V （体积单位）． 说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．典型例题四例4如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC =，D 、G 分别是PA 和AB 的中点，E 为PB 上一点，且PB BE 31=，21：：=AB AP ． （1）求证：⊥EG 平面CDG ；（2）求截面CDE 分棱锥ABC P -所成两部分的体积之比． 分析：由⊥PA 底面ABC ，可以判定平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB ，因为G 是AB 的中点，且AC BC =，所以AB CG ⊥，于是有⊥CG 平面PAB ，EG CG ⊥．若证⊥EG 平面CDG ，只需EG 与平面CDG 中的另一条直线垂直就可以了．为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系．平面CDE 把三棱锥ABC P -分成两部分，显然这两部分具有相同的高线CG ．所以，只要找到△PDE 和四边形ABED 的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了．证明：（1）∵⊥PA 平面ABC ，且⊂PA 平面PAB ∴平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB在△ABC 中，∵BC AC =，CG 是AB 边上的中线 ∴AB CG ⊥．∴⊥CG 平面PAB ∵⊂EG 平面PAB ，∴CG EG ⊥利用两个平面垂直的性质定理可以证明⊥CG 平面PAB 在Rt △PAB 和△GEB 中设x PA =，则x AB 2=，x PB 3=，x BE 33=，x BG 22=∵61322==x xPB BG ，61233==x x AB BE ∵PBA GBE ∠=∠，∴△PAB ～△GEB ∵90=∠PAB ，∴90=∠GEB ∴PB EG ⊥．∵PB DG //利用相似三角形的性质，得到90=∠GEB ∴DG EG ⊥∵G CG DG = ，∴⊥EG 平面CDG ． 解：（2）∵APB PD PE S PDE ∠⋅⋅⋅=∆sin 21APB PB PA S PAB ∠⋅⋅⋅=∆sin 21∵PA PD 21=，PB PE 32=∴13sin 21sin 21=∠⋅⋅⋅∠⋅⋅⋅=∆∆APB PE PD APBPB PA S S PDE PAB ∴133131--=⋅⋅⋅⋅=∆∆PDE PAB PDEC PAB C S CG S CG V V 三棱锥三棱锥∴12---=-PDE C PDE C PAB C V V V 三棱锥三棱锥三棱锥∴截面CDE 分棱锥ABC P -为两部分，三棱锥PDE C -与四棱锥ABED C -的体积之比为1：2．典型例题五例5四棱锥ABCD P -，侧面PCD 是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD 是面积为32的菱形，ADC ∠为菱形的锐角．（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角D AB P --的大小；（3）求棱锥ABCD P -的侧面积与体积．分析：取CD 中点H ，侧面⊥PC D 底面ABC D ，从而CD PA ⊥可利用三垂线定理转化为证明CD HA ⊥，线面垂直也为二面角D AB P --平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的特殊性来解决．证明：（1）取CD 中点H ，连PH 、AH ，∵△PCD 是等边三角形，∴CD PH ⊥，∵面⊥PCD 底面ABCD ，∴⊥PH 底面ABCD ， ∵等边△PCD 的边长为2，∴2=CD∴菱形ABCD 的边长为2，又菱形的面积是32，∴32sin 22=∠⨯ADC ，∴23sin =∠ADC ，又ADC ∠是锐角， ∴60=∠ADC ，∴△ADC 是等边三角形，∴CD AH ⊥，PA 在平面AC 上射影为HA ，∴CD PA ⊥． 解：（2）∵AB CD //，由（1）HA CD ⊥，PA CD ⊥， ∴AH AB ⊥，PA AB ⊥．∴PAH ∠是二面角D AB P --的平面角， 在Rt △PHA 中360sin 2===AH PH ， ∴45=∠PHA ，即二面角D AB P --的大小为45． （3）由（2）在Rt △PHA 中，可得6=PA ，在Rt △PAB 中，6=PA ，2=AB ，∴10=PB ，66221=⨯⨯=∆PAB S ，在△PDA 中，2==DA PD ，6=PA ，可得215=∆PAD S ， 在△PCD 中，2==BC PC ，10=PB ，可得215=∆PBC S ， 又正△PCD 边长为2，∴32432=⨯=∆PCD S ，∴3156321526++=+⨯+=侧S ， ∵3=PH ，∴23323131=⨯⨯=⨯=PH S V 菱形． 说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等．可以举一个类似的例子，四棱锥ABCD V -的高为1，底面为菱形，侧面VDA 和侧面VDC 所成角为120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成45角，求棱锥的全面积．这里由相交平面VDC 与VDA 都与底面垂直得到VD 垂直于底面，利用⊥VD 底面ABCD ，一方面落实了棱锥的高为1=VD ，另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为()22332+．典型例题六例6 已知三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等，90=∠CAB ，a PB AB AC ===，D 为BC 中点，E 点在PB 上且//PC 截面EAD ，（1）求AE 与底面ABC 所成角；（2）求PC 到平面EAD 的距离．分析：由PA 、PB 、PC 与底面所成角相等可得P 点在面ABC 上射影为△ABC 的外心，由于△ABC 是直角三角形，可以得到⊥PD 面ABC ，//PC 面EAD 可转化为DE PC //，E 是PB 中点，找出E 到面ABC 的垂线落实EA 与面ABC 所成角．C 到面EAD 的距离可从两方面得到，一方面直接找C 到面EAD 的垂线，另一方面，用等积法可求点到面的距离．解：（1）∵PA 、PB 、PC 与底面ABC 成相等的角，设P 在面ABC 上射影为O ，则有PCO PBD PAO ∠=∠=∠，∴△PAO ≌△PBO ≌△PCO ，∴PC PB PA ==且OC OB OA ==， ∴O 是△ABC 的外心．∵△ABC 是直角三角形，且O 是斜边BC 的中点， ∴O 点和D 点重合，即⊥PD 面ABC ，∵//PC 截面EAD ，过PC 的平面PBC 与平面EAD 交于ED ， ∴ED PC //，∵D 是BC 中点，∴E 是PB 中点， 取BD 中点F ，则PD EF //，∴⊥EF 平面ABC ， ∴EAF ∠为EA 与底面ABC 所成角．∵a PB PA AB ===，∴a AE 23=，∵a AC AB ==且90=∠BAC ，∴a BC 2=．又a PC PB ==，∴△BPC 也是等腰直角三角形， ∴a BC PD 2221==，∴a EF 42=， 在Rt △AEF 中，662342sin =÷=∠a a EAF ， ∴66arcsin=∠EAF ，即AE 与平面ABC 所成角为66arcsin ．（2）方法一：∵⊥PD 平面ABC ，∴AD PD ⊥． 又∵BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，∴PB AD ⊥．由（1）△PBC 是直角三角形，90=∠BPC ，∴PC PB ⊥，∵PC ED ⊥，∴ED PB ⊥，∴⊥PB 平面EAD ．∵a AB PB ==，∴a PE 21=． 即PC 到平面EAD 的距离为a 21．方法二：∵PD AD ⊥，BC AD ⊥，∴⊥AD 平面PBC ，∴DE AD ⊥，又a BC AD 2221==，a PB DE 2121==．∴282212221a a a S ADE =⨯⨯=∆， ∵24121a S S ABC ACD ==∆∆，a PD EF 4221==， 设C 到面EAD 的距离为h ， ∴EF S h S ACD AD E ⋅=⋅∆∆，∴a a h a 42418222⋅=． a h 21=，即PC 到平面EAD 的距离为a 21．典型例题七例7 如图所示，在三棱锥ABC S -中，SA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E ，又AB SA =，BC SB =．求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的度数．分析：从寻找二面角的平面角入手．二面角的平面角有时图形中没有给出，需要我们自己作出，有时平面角在图形中已经存在，只需要将其找出来．解：∵SA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴BD SA ⊥． ∵DE 是SC 的垂直平分线，∴SC DE ⊥，且E 是SC 的中点．又BC SB =，∴SC BE ⊥．又E DE BE = ，∴SC ⊥平面BDE ，∴BD SC ⊥．又S SA SC = ，∴BD ⊥平面SAC ，∴CD BD ⊥，DE BD ⊥． 从而EDC ∠为二面角C BD E --的平面角． 设a SA =，则a AB =．∵SA ⊥平面ABC ，∴AB SA ⊥，AC SA ⊥，从而a SB BC 2==．又BC AB ⊥，∴a AC 3=． 在SAC Rt ∆中，333tan ===∠aa AC SA SCA ，∴︒=∠30SCA ， 又SC DE ⊥，∴︒=∠60EDC ．因此所求的二面角的度数为︒60．说明：本题是通过三棱锥来考查直线与直线、直线与平面、二面角、解三角形等知识，并考查了空间想像能力和逻辑推理能力．解答本题的关键是认定EDC ∠是二面角C BD E --的平面角．这需要具有一定的观察能力和判断能力，而且要给出严格的证明．学生很可能发现不了EDC ∠即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使问题复杂化．本题所给条件较多，所以恰当地选择所需条件进行论证和计算也是解决本题的一个难点．典型例题八例8 P 是ABC ∆所在平面外的一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ．求P 到平面ABC 的距离．分析：利用三棱锥的性质、体积以及线面关系求解．解法一：∵3===PC PB PA ，∴P 在底面ABC 内的射影O 是ABC ∆的外心．又PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∴ABC ∆是等边三角形，∴O 是ABC ∆的重心．如图，在POA ∆中，3=PA ，623233260sin 32=⋅⋅=︒⋅⋅=AB AO∴3)6(32222=-=-=AO PA PO ．解法二：设P 点到平面ABC 的距离为h ．∵PA 、PB 、PC 两两垂直，3===PC PB PA ， ∴293332131=⋅⋅⋅⋅=-PBC A V ，23===AC BC AB ，329)23(432==∆ABC S ． 又ABC P PBC A V V --=， ∴h ⋅⋅=3293129，∴3=h ． ∴P 到平面ABC 的距离为3．解法三：取BC 的中点D ，连PD 、AD ．∵PC PB =，AC AB =，∴BC AD ⊥，BC PD ⊥， ∴BC ⊥平面PAD ，BC ⊂平面ABC ，ABC .ABC 平面于交作过平面平面平面平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥=⊥∴PO O AD AD PO P AD PAD ABC PAD ， ∴PO 就是P 到平面ABC 的距离． 在PAD ∆中，3=PA ，223=PD ， 263232323=⋅==AB AD ． 又∵︒=∠90APD ，∴36232233sin =⋅=⋅=∠⋅=AD PDPA PAD PA PO ．说明：本题难度并不大．但是这里所给出的三种方法非常典型．方法一利用PC PB PA ==确定P 在底面内射影为ABC ∆的外心；方法二利用体积转化的方法；方法三利用面面垂直的性质定理进行垂足定位．典型例题九例9 如图所示，在三棱锥ABC P -中，底面为直角三角形，两直角边3=AC ，4=BC 三棱锥侧面与底面所成二面角都为︒60．求此三棱锥的侧面积．分析：本题可利用面积射影定理求解．若一棱锥各侧面与底面所成二面角都为α，且已知底S ，则由面积射影定理知：αcos 底侧S S =． 解法一：过P 作底面ABC 的垂线，垂足为I ，过I 在底面ABC ∆内作AB 的垂线，垂足为D ，连结PD ．由三垂线定理知AB PD ⊥，∴PDI ∠为侧面PAB 与底面ABC 所成二面角的平面角，即︒=∠60PDI ．又可知I 为ABC Rt ∆的内心．∵3=AC ，4=BC ，5=AB ，从而12543=-+=ID ．在PID Rt ∆中，由︒=∠60PDI ，得2=PD ，从而各侧面三角形的高均为2．∴122)345(21=⨯++=++=∆∆∆PCA PBC PAB S S S S 侧． 解法二：PCA PBC PAB S S S S ∆∆∆++=侧1221432160cos 60cos 60cos 60cos =⨯⨯=︒=︒+︒+︒=∆∆∆底S S S S ICA IBC IAB ． 说明：本题考查了三棱锥的有关概念与性质．在三棱锥中，过一条侧棱和高的截面有许多重要性质，而这个截面又把棱锥的许多有线段、高、角都集中到同一个平面内，所以常常通过研究这个辅助平面来解决问题．解法二是求棱锥侧面积的一种简捷解法，用到了面积射影定理．典型例题十例10 三棱锥ABC P -中，AC AP =，2=PB ．将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形A P P P 321．如图所示．(1)求证：侧棱AC PB ⊥；(2)求侧面PAC 与底面ABC 所成的角θ的余弦值．分析：(1)折叠与展开是互逆过程，将直角梯形折成三棱锥时，B P A P 11⊥，B P C P 22⊥的关系不变，于是在三棱锥ABC P -中有PA PB ⊥，PC PB ⊥故PAC PB 平面⊥，从而AC PB ⊥．(2)由(1)可知PAC PB 平面⊥，∴在平面PAC 内作AC PD ⊥于D ，连BD ，则P D B ∠即是所求二面角的平面角，且PBD ∆为∆Rt ，∴只需求出两条边即可．而边长可以考虑在侧面展开图中求解．证明：(1)见上述思路分析．解：(2)作AC PD ⊥，则由三垂线定理知AC BD ⊥，于是PDB ∠是二面角B AC P --的平面角，即θ=∠PDB ．再作3CP AE ⊥于E ，则4=AE ，且E 是3CP 的中点，设x AC A P A P ===31，y EP CE ==3．在ACE Rt ∆中，2224=-y x ．且由C P C P32=，得y y x 2=-，解得23=x ，2=y ．由AE C P AC D P ⋅=⋅33，得38232243=⨯==D P PD ． 由2=PB ，38=PD ，310=BD ，知54cos ==BD PD θ． ∴所求二面角的余弦值为54．说明：折与展是一对互逆的过程．在处理这类问题时应充分注意折叠或展开前后各元素(主要是直线、线段、角)的相对位置和数量变化，注意哪些发生了变化，哪些不变．一般来说，位于同一半平面内的元素相对位置和数量关系不变．位于两个不同半平面内的元素，位置和数量要发生变化．这类问题常用的添辅助线方法是作棱的垂线．典型例题十二例12 下列命题中，真命题的个数是（ ）． (1)两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥． (2)两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (3)侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥． (4)侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个分析：有些同学错解的原因在于未能很好地理解正棱锥的定义以及正棱锥的性质，正棱锥的定义不同于正棱锥的性质，正棱锥的性质可以由其定义结合有关知识推导得到． 对照定义，构造反例．如图所示，ABC S -是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在SB 、SC 上分别取异于B 、C 的点1B 、1C ，连1AB 、1AC ，则三棱锥11C AB S -均满足命题(1)、(2)的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题(1)、(2)为假命题．命题(3)中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心．外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题(3)也是假命题．在命题(4)中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题(4)也是假命题． 综上可知应选D ．典型例题十三例13 .如图，已知三棱锥ABC P -中，PC PB PA ==，P 在底面ABC 上的射影为O ． 求证：O 为ABC ∆的外心．证明：连结PO 、OA 、OB 、OC ，则⊥PO 底面ABC ∵PC PB PA ==（斜线相等）， ∴CO BO AO ==（射影相等）， ∴O 为ABC ∆的外心．说明：(1)同理可证，如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影也是底面三角形的外心．(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心．典型例题十四例14 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心．如图，已知三棱锥ABC P -，三侧面PAB 、PAC 、PBC 与底面所成二面角都相等，P 点在底面上的射影为O ．求证：O 为ABC ∆的内心．证明：连结PO ，则⊥PO 平面ABC ．在底面上作AB OD ⊥、BC OE ⊥、AC OF ⊥，垂足分别为D 、E 、F ． 连结PD 、PE 、PF ．由三垂线定理可得AB PD ⊥、BC PE ⊥、AC PF ⊥．∴PDO ∠、PEO ∠、PFO ∠分别为二面角C AB P --，A BC P --，B AC P --的平面角．又∵PFO PEO PDO ∠=∠=∠，PO PO PO ==，∴PDO Rt ∆≌PEO Rt ∆≌PFO Rt ∆，∴OF OE OD ==， ∴O 为ABC ∆的内心．说明：(1)同理可证，如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心（若射影点在多边形内部的话）．(2)上述两结论对一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成之角均相等或棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内切圆的圆心（射影在多边形内部）．(3)不要误论为棱锥顶点在底面上的射影一定在底面多边形的内部，顶点在底面的射影可以在底面多边形的外部，也可以在多边形的一边上．典型例题十五例15 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心． 已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，O 为P 在底面ABC 上的射影．求证：O 为底面三角形ABC 的垂心．证明：如图，连结PO 、AO 、BO ．∵PB PA ⊥，PC PA ⊥，且P PC PB = ， ∴⊥PA 平面PBC ． ∴BC PA ⊥．又⊥PO 平面ABC ，由三垂线定理的逆定理知，BC AO ⊥． 同理，AC BO ⊥．∴O 点为ABC ∆的垂心．说明：同理可证：如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心．典型例题十六例16 三棱锥ABC V -的各面积分别为3=VAB S ，4=VBC S ，5=VAC S ，6=ABC S ，且各侧面与底面所成的二面角都相等，求侧面与底面所成二面角的平面角．分析：首先找出二面角的平面角α，转化到平面中去，然后利用已知条件列有关α的等式．解：如图，作⊥VO 平面ABC 于O ，连结AO 、BO 、CO ． ∵侧面与底面所成的角都相等，设者为α， ∴O 为底面ABC ∆的内心，∴过O 在底面ABC ∆内作AB OD ⊥，BC OE ⊥，AC OF ⊥， 垂足分别为D 、E 、F ；连结VD 、VE 、VF ．由三垂线定理可得AB VD ⊥，BC VE ⊥，AC VF ⊥． ∴α=∠=∠=∠VFO VEO VDO ． ∵AB OD S AOB ⋅⋅=∆21，AB VD S VAB ⋅⋅=∆21，而αcos =VDOD ， ∴αcos ==∆∆VDOD S S VAB AOB ，∴αcos ⋅=∆∆VAB AO B S S ． 同理αcos ⋅=∆∆VBC BO C S S ，αcos ⋅=∆∆VAC AO C S S ， ∴αcos )(VAC VBC VAB AO C BO C AO B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++， 即αcos ⋅=∆侧底面S S ABC ． ∴αcos )543(6++=， ∴21cos =α，∴3πα=． ∴侧面与底面所成的二面角为3π． 说明：(1)根据本题的推导过程不难得出如下结论：如果三棱锥的三个侧面与底面成等角θ，三棱锥的底面积为底S ，侧面积为侧S ，那么θcos ⋅=侧底S S ．(2)可以进一步证明：如果棱锥的各个侧面与底面成等角θ，那么θcos ⋅=侧底S S ．典型例题十七例17 如图，已知正三棱锥ABC S -的高h SO =，斜高l SM =．求经过SO 的中点平行于底面的截面'''C B A ∆的面积．分析：求出底面正三角形的边可得其面积，再利用棱锥截面性质，得截面面积． 解：连结OM 、OA ．在SOM Rt ∆中，22h l OM -=．因为棱锥ABC S -是正棱锥，所以点O 是正三角形ABC 的中心．223260tan 22h l OM AM AB -=︒⋅⋅==，)(33)(34434322222h l h l AB S ABC -=-⨯⨯==∆． 据一般棱锥截面的性质，有4122''''==∆∆h h S S ABCC B A ．∴)(43322'''h l S C B A -=∆． 说明：过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面．典型例题十八例18 如图，已知棱锥ABC V -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过O O 1的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．分析：顶点到已知截面的距离1h 与原棱锥高h 的关系，可由已知截面面积与底面积的量的关系得到，从而各截面对应的高与原棱锥的高的关系可以求出，再运用一般棱锥截面性质可以求得各截面面积．解：设棱锥的高为h ，其顶点到已知截面之距11h VO =，1OO 的三等分点为2O 、3O ，由已知得644221=h h ，∴411=h h ，∴h h 411=∴h h h VO VO O O 434111=-=-=， 而O O O O O O 33221==，则h h O O O O O O 41433133221=⋅===． ∴241412h h h VO =+=，h h h h VO 434141413=++=．设过2O 、3O 的截面面积分别为2S 、3S ，底面面积为S 则222)21(h h S S ∶∶=，∴16412==S S (2cm )．223)43(h h S S ∶∶=，∴36641693=⨯=S (2cm )．∴两截面的面积分别为216cm 和236cm ．说明：本题还可以求得以V 为顶点，分别以过1O 的截面、过2O 的截面、过3O 的截面为底面的棱锥，以及原棱锥的侧面积之比，这四个棱锥的侧面积之比依次为1694164361644321∶∶∶∶∶∶∶∶∶锥锥锥锥==S S S S ．典型例题十九例19 正三棱锥底面边长和高都是4，它的一个内接三棱柱的三个侧面都是正方形．求内接三棱柱的全面积．分析：如图所示．三棱柱的上底面'''F E D ∆与正三棱锥的底面ABC ∆相似，它们的相似比等于PO PO ∶'．设三棱柱的棱长为x ，则有444xx -=，得出2=x ，侧全S S S F E D +='''2．解：设三棱柱的棱长为x ，由于三棱柱的上底面'''F E D ∆∽ABC ∆，则有PAPD AB E D '''=，即444x x -=，∴2=x ，360sin 212'''=︒=x S F E D ，1232==x S 三棱柱侧， ∴12322'''+=+=三棱柱侧全S S S F E D ．典型例题二十例20 如图(1)设正三棱锥ABC P -的底面边长a ，侧棱长为a 2，过A 作与PB 、PC 分别交于D 和E 的截面，当截面ADE ∆的周长最小时，求截面的面积．分析：因为截面ADE ∆的三个顶点都在正三棱锥的侧面上，现若沿侧棱PA 将棱锥展开，则截面ADE ∆的周长为最小时，就是线段'AA 的长，如图(2)所示．解：将正三棱锥ABC P -沿侧棱PA 展开，当截面ADE ∆的周长为最小值时，其周长即是展开图中线段'AA 之长．在侧面展开图中，∵'CA BC AB ==，且CB A ABC '∠=∠．∴四边形'ABCA 是等腰梯形，BC AA //'，∴PAB BDA PBC ∠=∠=∠，∴BD A '∆∽'PBA ∆，PB BA BA BD ∶∶''=．∵'2BA PB =，∴BD BA 2'=．∵a BD PB PD 23=-=，又PB PD BC DE ∶∶=，∴a DE 43=． ∴a EA DE D A AA 411''=++=． 在三棱锥中，取截面ADE ∆的边DE 的中点为H ，∵AE AD =，∴DE AH ⊥，∴a a a HD AD AH 855)83(2222=-=-=， ∴26455321a AH DE S ADE =⋅=． 说明：本例中，求侧面展开图中'AA 之长时运用了平面几何知识，过程较为简明．若在三角形'PAA 中，由a PA PA 2'==，计算出'APA ∠的余弦后，再用余弦定理求'AA 之长，就麻烦得多了．典型例题二十一例21 已知正三棱锥ABC P -的底面边长为a ，过BC 作截面DBC 垂直侧棱PA 于D ，且此截面与底面成︒30的二面角，求此正三棱锥的侧面积． 分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱锥的一些线面关系，把要求的斜高转化到直角三角形中，解直角三角形．解：如图，作⊥PO 底面ABC 于O ． ∵ABC P -为正三棱锥，∴O 为底面正三角形ABC 的中心，连结AO 交BC 于M ，连结PM ， 则BC AM ⊥，BC PM ⊥，∴BC ⊥平面APM ，DM BC ⊥，∴AMD ∠为截面DBC 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴︒=∠30AMD ．∵⊥PA 平面DBC ，∴DM PA ⊥，︒=∠60PAM ． ∵正三角形ABC 的边长为a ，∴a AO 33=，a MO 63=． 在PAO Rt ∆中，a a AO PO 33360tan ⋅=︒⋅=．在POM Rt ∆中，∵a a a OM PO PM ==+=+=639)63(2222， ∴2439639321a a a S =⋅⋅=侧． 说明：(1)在多面体中，求边长、侧棱长、高和斜高等长度以及距离、角等等，要充分注意各多面体的概念，在多面体中首先画出所求元素，其次根据不同情况作出辅助线（注意经常用到三垂线定理），然后加以解决．典型例题二十二例22 棱锥的底面是等腰三角形，这等腰三角形的底边长为cm 12，腰长为cm 10，棱锥的侧面与底面所成的二面角都是︒45，求这个棱锥的侧面积．已知三棱锥ABC V -的底边是等腰三角形，cm AC AB 10==，cm BC 12=，侧面VAB 、VBC 、VCA 与底面ABC 所成的二面角都是︒45．求棱锥ABC V -的侧面积．解法1：作点V 在底面ABC ∆上的射影O ，如图，则O 是底面ABC ∆的内心，作AB OE ⊥于E 点，连接VE ， 则AB VE ⊥（三垂线定理），故VEO ∠是侧面与底面所成的二面角的平面角，︒=∠45VEO ，∵ABC ∆内切圆半径3)101012(21610122122=++-⨯⨯==∆l SOE ，其中)(21CA BC AB l ++=，∆S 是ABC ∆的面积．∴斜高232==OE VE ，∴248)(21=++⋅⋅=CA BC AB VE S 侧． 即棱锥ABC V -的侧面积为248cm ．解法2：还可用面积射影定理：由于棱锥的侧面与底面所成的二面角均为︒45，故24822610122145cos 22=-⨯⨯=︒=底侧S S高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网- 21 - 说明：(1)求棱锥侧面积，关键是求各个侧面三角形的高，即斜高，要熟悉三角形的面积公式．如ah S 21=∆；C ab S sin 21=∆；lr S 21=∆，)(21c b a l ++=． (2)在棱锥中，若侧棱相等或侧棱与底面的夹角相等，则该点在底面的射影是底面多边形的外心；若斜高相等或侧面与底面的夹角相等，则该点在底面的射影为底面多边形的内心．典型例题二十三例23 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4解：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，取四棱锥ABCD A -1，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．∴应选D ．说明：本题对给出的四棱锥没有带任何附加条件，只给出了思考、探索的方向，即思考、探索侧面为直角三角形的四棱锥应是怎样的模型，让人们展开充分的想象空间，让人们去思考、探索问题，确实是一道好题，也是今后命题的方向，对培养学生的能力大有裨益．。