定积分的背景——面积和路程问题 课后练习

第四章 定积分

§1 定积分的概念

1．1 定积分的背景——面积和路程问题

一、基础过关

1． 把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为

( ) A.1

n

B.2n

C.3n

D.12n 2． 把区间[a ，b ] (a

( ) A ．[i －1n ，i n

]

B ．[i －1n (b －a )，i

n (b －a )]

C ．[a ＋i －1n ，a ＋i

n

]

D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n

(b －a )]

3． 当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i

n

]上的值，可以近似替代为

( )

A ．f (1

n )

B ．f (2n )

C ．f (i n

)

D ．f (0)

4． 对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是

( )

A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值

B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值

C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高

D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值

5． 一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为( )

A.1

3

B.12

C ．1

D.32

二、能力提升

6． 由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形

面积的的近似值(取每个区间的右端点)是

( )

A.1

19 B.111256 C.11

27

D.2564

7． 直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区

间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.

8． 已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处

的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．

9． 试估计由曲线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的平面图形的面积，并写出估计值的误差． 10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为：F (x )＝3x (x 是伸长量，单位：m ，力的

单位：N)．试估计弹簧从平衡位置拉长5 m 所做的功，并写出估计值的误差． 11．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v (t )＝10t,0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间走过

的路程，并写出估计值的误差． 三、探究与拓展

12．设力F 作用在质点m 上，使m 沿x 轴正方向从x ＝0运动到x ＝10，已知F ＝F (x )＝

1

x ＋1

且和x 轴正向相同．求F 对质点m 所做的功．

答案

1．B2．D3．C 4．C5．B6．D7．3.92 5.52 8．55

9．解首先画出图像：

将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；

若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的过剩估计值为

S1＝(0.2＋0.4＋0.6＋0.8＋1)×0.2≈0.75.

若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的不足估计值为

S2＝(0＋0.2＋0.4＋0.6＋0.8)×0.2≈0.55.

无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.20.

10．解将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功；

若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m，2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为

W1＝[3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5]×1＝45(J)；

若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m，2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为

W2＝[3×0＋3×1＋3×2＋3×3＋3×4]×1＝30(J)

无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.

11．解将区间[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个路程分成5个时间段内的路程．若用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的过剩估计值为

S＝(10×1＋10×2＋10×3＋10×4＋10×5)×1＝150.

若用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的不足估计值为

s＝(10×0＋10×1＋10×2＋10×3＋10×4)×1＝100.

无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过50 m.

12．解(1)将[0,10]10等分，即插入9个分点，

则将整个功分成10个小位移段内的功．