2015年三年高考数学(文)真题精编——专题03 导数(选择填空)
2015年(陕西版)高考数学分项汇编专题03导数(含解析)理
专题03 导数一．基础题组1. 【2006高考陕西版理第题】n→∞lim 12n(n 2+1－n 2－1) 等于( ) A. 1 B. 12 C.14 D.0【答案】考点：求极限.2. 【2007高考陕西版理第13题】=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→11212lim 21x x x x x .【答案】13考点：求极限.3. 【2008高考陕西版理第13题】(1)1lim 2n a n n a∞++=+→，则a = ．【答案】1考点：求极限.4. 【2014高考陕西版理第3题】定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -【答案】C 【解析】 试题分析：1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰，故选C .考点：定积分. 二．能力题组1. 【2007高考陕西版理第11题】f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足x ()f x '+f(x)≤0,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有 A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)【答案】A考点：导数的概念.2. 【2007高考陕西版理第20题】设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数.(Ⅰ)04a <<;(Ⅱ) 当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，；当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，．【答案】(Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 考点：导数的应用.3. 【2009高考陕西版理第16题】设曲线1n y x +=*()n ∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 ．4. 【2009高考陕西版理第20题】已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++，0x ≥，其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．5. 【2011高考陕西版理第11题】设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【答案】1 【解析】 试题分析：考点：分段函数、定积分.6. 【2012高考陕西版理第7题】设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为 ()f x 的极小值点【答案】D考点：导数的应用.7. 【2014高考陕西版理第10题】.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+【答案】A考点：函数的解析式.三．拔高题组1. 【2006高考陕西版理第22题】已知函数f(x)=x 3－x 2+x2 + 14 , 且存在x 0∈(0,12 ) ,使f(x 0)=x 0.（I ）证明：f(x)是R 上的单调增函数；设x 1=0, x n+1=f(x n ); y 1=12, y n+1=f(y n ), 其中 n=1,2,……（II ）证明：x n <x n+1<x 0<y n+1<y n ; （III ）证明：y n+1－x n+1y n －x n < 12.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析; （III ）详见解析 .(2)假设当n =k (k ≥1)时有x k <x k +1<x 0<y k +1<y k ．考点：导数的应用.2. 【2008高考陕西版理第21题】已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-． （Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1x =；（Ⅱ）(2)[2)-∞-+∞，，．（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．考点：导数的应用，拔高题.3. 【2010高考陕西版理第21题】已知函数f (x )，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，求a 的值和该切线方程；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； (3)对(2)中的φ(a )和任意的a ＞0，b ＞0，证明：φ′()()2()()2a b a b abx a bϕϕϕ+'+'≤≤'+． 【答案】（Ⅰ）a=2e ，()212y e x e e-=- ；（Ⅱ）()h x 的最小值 ()a ϕ的解析式为 ()2(1ln 2)(0).a a a a ϕ=->（Ⅲ）详见解析.当x ＞4a 2时，h ′(x )＞0，h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．考点：导数的应用，拔高题.4. 【2011高考陕西版理第21题】设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(0,1) 是()g x 的单调减区间， (1,)+∞ 是()g x 的单调增区间，最小值为(1)1g =；（2）当01x <<时 ， 1()()g x g x > 当1x > 时， 1()()g x g x<； （3）满足条件的0x 不存在，证明详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设易知()ln f x x = ，1()ln g x x x =+21()x g x x-'∴=，令()0g x '= 得1x =，当01|()()|g x g x x-<对任意0x > 成立。
2015最新高考文科数学真题专题分类汇编03导数
（ 2）已知函数 f ( x) 在 [ - 1,1] 上存在零点， 0 b 2a 1 ，求 b 的取值范围 .
17.【 2015 高考重庆，文 19】已知函数 f (x)
ax3
x2 （ a
R ）在 x=
4
处取得极值 .
3
(Ⅰ ) 确定 a 的值，
(Ⅱ ) 若 g( x) f (x)ex ，讨论的单调性 .
（ I ）讨论 f x 的导函数 f x 的零点的个数；
（ II ）证明：当 a 0 时 f x
2 2a a ln .
a
16.【 2015 高考浙江，文 20】（本题满分 15 分）设函数 f (x) x2 ax b,( a, b R) .
（ 1）当 b = a2 +1时，求函数 f ( x) 在 [ - 1,1] 上的最小值 g(a) 的表达式； 4
（ I ）求 f x 的单调区间和极值；
（ II ） 证明：若 f x 存 在零点，则 f x 在区间 1, e 上仅有一个零点．
( x 1)2
9.【 2015 高考福建，文 22】已知函数 f ( x) ln x
．
2
(Ⅰ ) 求函数 f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当 x 1 时， f x x 1；
则a
.
5.【2015 高考天津，文 11】已知函数 f x axln x, x 0,
,其中 a 为实数 , f x 为 f x 的导函数 ,
若 f 1 3 ,则 a 的值为
．
6. 【 2015 高考陕西，文 15】函数 y xex 在其极值点处的切线方程为 ____________.
ax
7.【 2015 高考安徽，文 21】已知函数 f ( x)
2015年全国高考数学试题分类汇编§3.1 导数的概念及运算
3.1导数的概念及运算考点一 导数的概念及几何意义3.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax 3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .答案 14.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= .答案 85.(2015四川,15,5分)已知函数f(x)=2x ,g(x)=x 2+ax(其中a ∈R).对于不相等的实数x 1,x 2,设m=f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2,n=g (x 1)-g(x 2)x 1-x 2.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m>0;②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m=-n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).答案 ①④10.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x 2e x .已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a 的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q 中的较小值),求m(x)的最大值. 解析 (1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,所以f '(1)=2,又f '(x)=ln x+a x +1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x 2e x ,当x ∈(0,1]时,h(x)<0.又h(2)=3ln 2-4e 2=ln 8-4e 2>1-1=0, 所以存在x 0∈(1,2),使得h(x 0)=0.因为h'(x)=ln x+1x +1+x (x -2)e x ,所以当x ∈(1,2)时,h'(x)>1-1e >0,当x ∈(2,+∞)时,h'(x)>0,所以当x ∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x∈(0,x0)时,f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x),所以m(x)=(x+1)ln x,x∈(0,x0], x2e x,x∈(x0,+∞).当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;若x∈(1,x0),由m'(x)=ln x+1x+1>0,可知0<m(x)≤m(x0);故m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=x(2-x)e,可得x∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,可知m(x)≤m(2)=4e,且m(x0)<m(2).综上可得函数m(x)的最大值为4e2.考点二导数的运算1.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.答案3。
三年高考高考数学真题分项汇编专题导数及其应用选择题填空题文含解析.doc
专题03导数及其应用（选择题、填空题）1.[2019年高考全国II卷文数】曲线尸2sinx+cosx在点（“，T）处的切线方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】则在点处的切线方程为，即.故选C.【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养•采取导数法，利用函数与方程思想解题.学生易在非切点处直接求导数而岀错，首先证明己知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列岀切线方程.2.[2019年高考全国III卷文数】已知曲线在点（1, ae）处的切线方程为y=2x+b,则A. B. a=e,戻1C. D.,【答案】D【解析】T•••切线的斜率，，将代入，得.故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b的等式，从而求解，属于常考题型.3.[2018年高考全国I卷文数】设函数•若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数（）是奇函数，所以—Z=O,解得 =/,所以（）=口，/（） = 3菩厶所以'（0 = /, （0） = 0,所以曲线=（）在点（0,6处的切线方程为 - （0= z（0 ，化简可得 =•故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线=（）在某个点（。
，（°））处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'（），借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4.[2017年高考浙江】函数y=f3的导函数的图象如图所示，则函数yhd）的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D.【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间.5.[2018年高考全国II卷文数】函数的图像大致为【答案】B【解析】为奇函数，舍去A；,舍去D；时，，单调递增，舍去C.因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.6.[2018年高考全国III卷文数】函数的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点，排除A, B；令，贝y,由得，得或，此时函数单调递增，由得，得或，此时函数单调递减，排除C.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7.[2017年高考山东文数】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质. 下列函数中具有M性质的是A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A,在R上单调递增，故具有性质；对于B,,令，则,当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，故不具有性质；对于C,在R上单调递减，故不具有性质；对于D,易知在定义域内有增有减，故不具有性质.故选A.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.&【2019年高考浙江】已知，函数.若函数恰有3个零点，则A. a< - 1, ZKOB. a< - 1, Z)>0C. a>-l, /KOD. a> - 1, b>0【答案】C【解析】当x<0 时，(x) -ax- b= x- ax- b= (1 - a) x- b=0,得——，则y=f(x) - ax - b最多有一个零点；当时，y—f (x) - ax - b=(a+1) x+ax- ax - b=(a+1) x - b,当a+IWO,即日W - 1 时，y' MO, y=f(x) - ax - b在［0, +°°)上单调递增，则y=f(x) - ax - b最多有一个零点，不合题意；当計1>0,即日> -1时，令尸>0得(a+1, +8),此时函数单调递增，令V0得［0,計1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f(x) - ax - b恰有3个零点o函数尸_f(x) - ax - b在(-上有一个零点，在［0, +8)上有2个零点，如图：(一>0-— V0 且｛1 q 1 夕,J- b( +0'-彳(+0( + 驴一<°解得b<0, 1 - a>0, b>-- (a+1) 3,6则a>-l, ZKO.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当/V0时，y=f Cx) 一ax 一b= x - ax - b= (1 -日)/ -方最多有一个零点；当心0时，y=f(x) - ax - b= 1 (a+1) / - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.9.【2019年高考全国I卷文数】曲线在点处的切线方程为____________ •【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即.【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.10.[2019年高考天津文数】曲线在点处的切线方程为____________ •【答案】【解析】•••，• •,故所求的切线方程为，即.【名师点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(/, /•(%))为切点的切线方程的求解步骤：%1求出函数/U)的导数戶(方；%1求切线的斜率f U)；%1写出切线方程y~f^=f'并化简.(2)如果已知点(山，必)不在曲线上，则设出切点5,必)，解方程组得切点5,必)，进而确定切线方程.11.【2018年高考夭津文数】已知函数f(x)=e»lnx, f (^)为f(x)的导函数，则f (1)的值为 ________________ •【答案】e【解析】由函数的解析式可得()=e X In + e x — = e (in +上)，则(7) = e; X (in/ + j) = e.即'(/)的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.[2018年高考全国II卷文数】曲线在点处的切线方程为 ____________ .【解析】由=（）=辺11 ，得（）=二.则曲线=Nn在点（/,0处的切线的斜率为 ='（I） = 2, 则所求切线方程为一0= 2（-1）, B卩=2 -2.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写岀切线的点斜式方程；③化简整理.13.[2017年高考全国I卷文数】曲线在点（1, 2）处的切线方程为__________________ .【答案】【解析】设，贝y,所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是.若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为.14.[2017年高考天津文数】已知，设函数的图象在点（1,）处的切线为厶则/在y轴上的截距为__________ .【答案】【解析】由题可得，则切点为，因为，所以切线/的斜率为，切线1的方程为，令可得，故在轴上的截距为.【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，切线方程为.解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解.15.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点。
2015届高考数学(文科)一轮总复习导数及其应用
2015 届高考数学（文科）一轮总复习导数及其应用第三篇导数及其应用第 1 讲导数的观点及运算基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．(2014 ?深圳中学模拟 ) 曲线 y ＝x3 在原点处的切线方程为 ________．分析∵ y′＝ 3x2 ，∴＝ y′ |x ＝ 0＝ 0，∴曲线 y＝ x3 在原点处的切线方程为y＝ 0.答案y＝ 02 ．已知 f(x)＝xlnx，若f′ (x0)＝2，则x0＝________.分析f(x)的定义域为(0，＋∞ )，f′ (x)＝lnx＋1，由 f ′ (x0) ＝ 2，即 lnx0 ＋ 1＝ 2，解得 x0＝ e.答案 e3 ．(2014 ?辽宁五校联考 ) 曲线 y＝ 3lnx ＋x＋ 2 在点 P0 处的切线方程为 4x－ y－ 1＝ 0，则点 P0 的坐标是 ________．分析由题意知 y′＝ 3x＋1＝ 4，解得 x＝ 1，此时 4× 1 －y－ 1＝0，解得 y＝ 3，∴点 P0 的坐标是 (1,3) ．答案 (1,3)4 ．(2014 ?烟台期末 ) 设函数 f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点 (t ，f(t))处切线的斜率为，则函数＝g(t)的部分图象为 ________．分析函数 f(x)的导函数为 f ′ (x) ＝(xsinx＋cosx)′＝xcosx ，即＝ g(t) ＝ tcost ，则函数 g(t) 为奇函数，图象对于原点对称，清除①，③ . 当 0＜ t ＜π 2 时， g(t) ＞ 0，因此清除④，选② .答案②5．曲线 y＝ sinxsinx ＋ cosx － 12 在点π 4， 0 处的切线的斜率为 ________．分析y′＝ cos2x ＋ sin2x sinx ＋ cosx2＝ 11＋sin2x ，故所求切线斜率＝＝12.答案126．(2013 ?广东卷 ) 若曲线 y＝ ax2 － lnx 在点 (1 ，a) 处的切线平行于 x 轴，则 a＝ ________.分析y′＝ 2ax－ 1x ，∴ y′ |x ＝ 1＝2a－ 1＝ 0，∴a＝12.7 答案12．已知 f(x)＝x2＋3xf′ (2)，则f′ (2)＝________. 分析由题意得 f ′ (x) ＝ 2x＋ 3f ′ (2) ，∴f ′ (2) ＝ 2× 2＋ 3f ′(2) ，∴ f ′ (2) ＝－ 2.答案－ 28 ．(2013 ?江西卷 ) 若曲线 y＝xα＋ 1( α∈ R)在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点，则α＝ ________.分析y′＝α xα－ 1，∴斜率＝ y ′ |x ＝ 1＝α＝ 2－ 01－0＝ 2，∴α＝ 2.答案 2二、解答题9．求以下函数的导数：(1)y＝ex?lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.解(1)y ′＝ (ex ?lnx) ′＝ exlnx ＋ ex ?1x ＝ exlnx ＋1x.(2)∵ y＝ x3 ＋1＋ 1x2，∴ y ′＝ 3x2－ 2x3.(3)先使用三角公式进行化简，得y ＝x－ sinx2cosx2 ＝ x－ 12sinx ，∴ y′＝x－ 12sinx ′＝ x′－12(sinx) ′＝ 1－ 12cosx.(4)先化简， y ＝ x?1x－x＋ 1x － 1＝，∴y′＝ n＝－ 12x1＋ 1x.10 ．(2014 ?南通二模 )f(x)＝ax－1x，g(x)＝lnx，x＞0，a∈ R 是常数．(1)求曲线 y ＝ g(x) 在点 P(1 ， g(1)) 处的切线 l.(2)能否存在常数 a，使 l 也是曲线 y＝ f(x) 的一条切线．若存在，求 a 的值；若不存在，简要说明原因．解 (1) 由题意知， g(1) ＝ 0，又 g′(x) ＝ 1x， g′ (1)＝1，因此直线 l 的方程为 y＝ x－ 1.(2)设 y＝f(x) 在 x＝ x0 处的切线为 l ，则有ax0 － 1x0＝ x0－ 1， a＋1x20 ＝ 1，解得 x0＝ 2，a＝ 34，此时 f(2)＝1，即当 a＝34 时， l 是曲线 y＝ f(x)在点Q(2,1)的切线．能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．(2014 ?盐城一模 ) 设 P 为曲线 c ：y＝ x2＋ 2x＋ 3 上的点，且曲线 c 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是0，π 4，则点 P 横坐标的取值范围是________．分析设 P(x0 ， y0) ，倾斜角为α，y′＝ 2x＋2，则＝tan α＝ 2x0＋ 2∈ [0,1]，解得x0∈－1，－12.答案－ 1，－ 122 ．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′ (x)，f2(x)＝f1′(x) ，， fn(x)＝f′ n－1(x)，n∈ N*，则f2013(x)＝________.分析f1(x) ＝ f0 ′ (x) ＝ cosx ， f2(x) ＝ f1 ′ (x) ＝－4 / 6sinx ，f3(x) ＝f2 ′(x) ＝－cosx ，f4(x) ＝f3 ′(x) ＝sinx ，，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)f1(x) ＝ cosx.答案cosx3 ．(2014 ?武汉中学月考) 已知曲线f(x) ＝ xn＋ 1(n ∈ N*)与直线 x＝ 1 交于点轴交点的横坐标为P，设曲线y＝ f(x)xn ，则log2013x1在点 P 处的切线与x＋ log2013x2 ＋＋log2013x2012 的值为________．分析 f ′ (x) ＝ (n ＋ 1)xn ，＝f ′(1) ＝ n＋1，点 P(1,1) 处的切线方程为y－ 1＝ (n ＋ 1)(x － 1) ，令 y＝ 0，得 x ＝ 1－ 1n＋ 1＝ nn＋1，即 xn＝ nn＋ 1，∴ x1 ?x2 ? ? x2012 ＝ 12 × 23 × 34 × × 20112012 ×20122013 ＝ 12013 ，则log2013x1＋log2013x2＋＋log2013x2012＝log2013(x1x2x2012) ＝－ 1.答案－ 1二、解答题4 ．设函数处的切线方程为f(x)＝ax－bx，曲线7x－ 4y－ 12＝ 0.y＝ f(x) 在点(2 ，f(2))(1)求 f(x) 的分析式；(2)证明：曲线 y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝ 0和直线 y＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程 7x－4y－ 12＝0 可化为 y＝ 74x－3，当 x＝ 2 时， y＝ 12. 又 f ′(x) ＝ a＋ bx2，于是 2a－ b2＝12， a＋b4＝ 74，解得 a＝1， b＝ 3. 故 f(x)＝x－3x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f ′ (x) ＝ 1＋ 3x2 知曲线在点 P(x0 ，y0) 处的切线方程为 y－ y0＝ 1＋ 3x20(x － x0) ，即 y－ (x0 － 3x0) ＝ 1＋3x20(x － x0) ．令 x＝0，得 y＝－ 6x0，进而得切线与直线x＝ 0 交点坐标为0，－ 6x0.令 y＝ x，得 y＝ x＝ 2x0，进而得切线与直线 y＝ x 的交点坐标为 (2x0,2x0) ．因此点 P(x0 ，y0) 处的切线与直线x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为12－ 6x0|2x0| ＝ 6.故曲线y＝ f(x) 上任一点处的切线与直线x＝ 0 和直线y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.。
2015年高考数学(文)试题分类汇编：专题03 导数
1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k <时，s i nc o ss i n 22kk x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则s i n c o s k x x x <； 当1k =时，不等式s i n c o s k x x x <等价于1s i n 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师指点】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师指点】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 350002015年5月15日 48 35600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B . 【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．4.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师指点】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心. 5.【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师指点】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心. 6.【2015高考陕西，文15】函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e-=-函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e=- 【考点定位】：导数的几何意义.【名师指点】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 7.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f（Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值. 【解析】（Ⅰ）由题意可知r x -≠ 所求的定义域为()()r r -∞--+∞ ，，.2222)()(rxr x axr x ax x f ++=+=，422222)())(()2()22()2()(r x r x x r a r xr x r x ax r xr x a x f ++-=+++-++=' 所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减. 因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值；综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值. 【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识. 【名师指点】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ⎤⎦上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )()2k k f k -=；（II ）证明详见解析.2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x k =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值(1ln )()2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e =， 所以x e =是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<， 所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．9.【2015高考福建，文22】已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) 150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】（I ）()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得1502x +<<．故()f x 的单调递增区间是150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意． 当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得()2111402k k x ---+=<，()2211412k k x -+-+=>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 【考点定位】导数的综合应用．【名师指点】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式'()0f x >或'()0f x <求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ， 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上，所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()40f x x +=，即xx f 4)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．11.【2015高考湖北，文21】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12xxxx g x --=+>=，即()1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()(h x g x c g x c x f x c '=----(1)[()1]c g x c x f x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师指点】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决. 12.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e . 【解析】（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln 8110,h e e =-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >， 所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩.当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e ≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师指点】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II ）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.其次是根据（II ）的结论，确定得到()m x 的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值. 本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.13.【2015高考四川，文21】已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (Ⅰ)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a ) 所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增(Ⅱ)由f '(x )＝2(x －1－lnx －a )＝0，解得a ＝x －1－lnx令Φ(x )＝－2xlnx ＋x 2－2x (x －1－lnx )＋(x －1－lnx )2＝(1＋lnx )2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e )＝2(2－e )＜0 于是存在x 0∈(1，e )，使得Φ(x 0)＝0令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－lnx (x ≥1) 由u '(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e )＝e －2＜1 即a 0∈(0，1)当a ＝a 0时，有f '(x 0)＝0，f (x 0)＝Φ(x 0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x )在区间(1，＋∞)上单调递增 当x ∈(1，x 0)时，f '(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 当x ∈(x 0，＋∞)时，f '(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2xlnx ＞0故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师指点】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a 消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a ∈(0，1)，f (x )的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f (x )的单调性，进一步说明对于找到的a ，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题. 14.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 【解析】（I ）由3()44f x x ¢=-,可得()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）()()()00g x f x x x '=-,()()()F x f x g x =- ,证明()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412ax '=-+,由()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,得()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '= ,由()4h x x = 在在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,可得11,x x '≤ 所以13212143a x x x x ''-≤-=-+ .试题解析:（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x ¢=-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.（III ）由（II ）知()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412a x '=-+,因为()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,又由（II ）知()()()222g x f x a g x'≥== ,所以22x x '≤ .类似的,设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 可得()4h x x = ,对任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤ 即()()f x h x ≤ .设方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,因为()4h x x = 在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,因此,11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师指点】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.15.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数()2ln xf x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a+，即证明了所证不等式. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .由于0202=0x aex -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?.故当0a >时，2()2lnf x a a a?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师指点】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.16.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,945]--【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数b 的取值情况，利用并集原理得到参数b 的取值范围.试题解析：(1)当214a b =+时，2()()12af x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++. 当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+. 综上，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩(2)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则s t ast b+=-⎧⎨=⎩.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和21294532t t t --≤≤-+， 所以29453b -≤≤-.当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<. 综上可知，b 的取值范围是[3,945]--.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.【名师指点】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力. 17.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()x g x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数()f x 的导函数2()32f x ax x ¢=+，由已知有4()03f ¢-=可得关于a 的一个一元方程，解之即得a 的值，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x xe 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性．试题解析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师指点】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.。
2015高考理科数学试题分类解析之专题三导数.doc
专题三 导数 试题部分1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111fk k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1） 5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．6.【2015高考天津，理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .7.【2015高考湖南，理11】20(1)x dx ⎰-= .8.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 9.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.10.【2015高考福建，理20】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >； (Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．11.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为 ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 12.【2015高考山东，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围. 13.【2015高考安徽，理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.14.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性； (II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+- M2P15.【2015高考重庆，理20】 设函数()()23xx axf x a R e +=∈（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。
2015年全国高考数学试题分类汇编3导数(文)
一、选择题：1.（安徽10）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <2.（福建12）“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：1.（新课标1）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1(1))f ，处的切线过点(27)，，则a = .2.（陕西15）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.3.（新课标2，16）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则=a .4.（天津11）已知函数()ln f x ax x =，()0,x ∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为 ．三、解答题：1.（重庆）已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在43x =-处取得极值. （1）确定a 的值；（2）若()()x g x f x e =⋅，讨论()g x 的单调性.2.（安徽）已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x ax x f （1）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（2）若400=ra ，求)(x f 在),0(+∞内的极值。
3.（北京）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．4.（新课标1）设函数2()ln x f x e a x =-.（1）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+.5.（新课标2）已知()()ln 1f x x a x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.6.（四川）已知函数22()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. （1）设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（2）证明：存在(01)a ∈，，使得()()f x g x ≥.7.（湖北）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()x f x g x e +=，其中e 为自然对数的底数.（1）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（2）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.8.（陕西）设2()1n n f x x x x =++⋅⋅⋅+-，0x ≥，n N ∈，2n ≥（1）求()n f x '.9.（福建）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．10.（山东）设函数()()ln f x x a x =+，2()x x g x e=，已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行。
-2015全国高考卷文科-导数专题汇编(带答案)
导 数 专 题题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________.2. (2015全国I 文14)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则a = .3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = .4.(2009，全国卷1) 已知函数42()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。
【解】（1）3'()464(f x x x x x x =-=-当(,)2x ∈-∞-和(0,2x ∈时，'()0f x <；当(x ∈和)x ∈+∞时，'()0f x >因此，()f x 在区间(,2-∞-和(0,2是减函数，()f x 在区间(2-和)+∞是增函数。
（Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =，即 4230000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 2200(1)(2)0x x +-=解得 0x = 或 0x =因此切线l 的方程为 y =- 或 y =。
题型2 判断函数的单调性、极值与最值5.（2013全国II 文11）.已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ∃∈，0()0f x =B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =6.（2013全国I 文20）已知函数()()2e 4x f x ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为44y x =+. （1）求a b ，的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.7（2013全国II 文21）已知函数2()e xf x x -=. （1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围. 【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝－e －xx(x －2)．① 当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x)＜0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2. (2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f ′(t)(x －t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝2x x+(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[，＋∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)． 8. (2015全国II 文21)已知函数()()=ln +1f x x a x -.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.题型3 函数零点和图像交点个数问题9.（2011全国文10）在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）. A.1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,4⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭10.（2011全国文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）.A.10个B.9个C.8个D.1个11. (2014全国I 文12)已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (1,)+∞C. (,2)-∞-D. (,1)-∞-12. （2014新课标Ⅱ文21）已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）求证：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【解】（1）1,200-2),0(),0,2-()2,0()0(6-3)(∴23-)(223==+′==′+=′++=a a f k B x A af a x x x f ax x x x f AB 所以即则轴交点为，切线与设切点， （2）仅有一个交点与时，当所以图像如图所示仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；，在时，当上递减；，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .)(,0)()1,0(∈∴)1-(66-6)(4-3-2)(.4-3-24-3-2)(.413-)(0≠,413-.04-3-2-)(122322322223kx y x f y k k x g k x g x g x g x x g x g x h x x g x g x h x h h x h x h x x h x h x x x x x x h x x x h x x x x x x g x x x x g x k xx x kx x x x kx x f k ==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<题型4 不等式恒成立与存在性问题13. (2010，全国卷1) 已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围 【解】（Ⅰ）()()()241331f x x ax ax '=-+- 当16a =时，()22(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在2-+∞（，）内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值.所以(2)12f -=-是()f x 的极小值.14.（2012全国文21）设函数()f x 满足()e 2xf x ax =--. （1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.【解】（I ）函数f （x ）=e x﹣ax ﹣2的定义域是R ，f′（x ）=e x﹣a ，若a≤0，则f′（x ）=e x ﹣a≥0，所以函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f′（x ）=e x ﹣a ＜0；当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x ﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增． （II ）由于a=1，所以，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1=（x ﹣k ） （e x ﹣1）+x+1故当x ＞0时，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1＞0等价于k ＜（x ＞0）①令g （x ）=，则g′（x ）=由（I ）知，函数h （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）=e x﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x ∈（0，α）时，g′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g′（x ）＞0；所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g′（α）=0，可得e α=α+2所以g （α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2.15.（2013全国II 文12）.若存在正数x 使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是（ ） .A.(,)-∞+∞B.(2,)-+∞C.(0,)+∞D.(1,)-+∞ 16. （2014新课标Ⅰ文21）设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-()1a ≠，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为0.（1）求b ；（2）若存在01x ≥，使得()01af x a <-，求a 的取值范围.17. （2014新课标Ⅱ文11）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞题型5 利用导数证明不等式18.（2011全国文21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a ，b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解】（Ⅰ）221(ln )()(1)x a x b x f x x x+-'=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=x x x 11ln ++，所以)1ln 2(111ln )(22xx x x x x f x ---=--，考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='，所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得ln ()1x f x x >-，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得ln ()1x f x x >-，从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-.19.（2015，全国卷1）设函数()2ln xf x e a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.【解】（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.题型6 导数在实际问题中的应用。
2015年上海高考数学(文科)填空选择真题解析
n
n (n N* ) 与圆 x 2 y 2 2 在第一象限的交点，则极 n 1
yn 1 （ xn 1
） B.
A. 1
1 2
；
3 2 a a 16 3 ，解得 a 4 4
；
资料整理
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FunshineMaths 峰行数学
8. 方程 log 2 (9
x 1
5) log 2 (3x 1 2) 2 的解为
；
【解析】 log 2 (9 x 1 5) log 2 (3x 1 2) 2 log 2 (4 3x1 8) ，即 9 x 1 5 4 3x1 8 ， 设 3 t ，化简得 t 12t 27 0 ，即 t 3 或 t 9 ，解得 x 1 （舍）或 x 2 【答案】 x 2
2
；
3 1 2 2 cos 2 x ， T 2 2 2
1 1 1 1 ， b ，∴ z i 4 2 4 2
1 1 i 4 2
x 的反函数，则 f 1 (2) ； 2x 1 x 2 2 【解析】即 2 ，解得 x ，即 f 1 (2) 2x 1 3 3 2 【答案】 3 2 3 c1 x 3 5. 若线性方程组的增广矩阵为 ，则 c1 c2 ，解为 0 1 c2 y 5
大值是 ；
【解析】平方后可知 c 与 a b 同向时，取最大， 情况不是很多，列举法，如图可得 3 5
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2015年三年高考数学(文)真题精编——专题10 立体几何(选择填空)
一、选择题2.【2013高考北京文第8题】如图，在正方体ABCD－AB1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到1各顶点的距离的不同取值有()．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示．4.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B C D．2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面CD AB ，S A 是四棱锥最长的棱，SA ===，故选C .【考点定位】三视图.5. 【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ,满足12l l ⊥,23//l l ,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC .1l .4l 既不平行也不垂直D .1l .4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,取1AA 为2l ,1BB 为3l ,取AD 为1l ,BC 为4l ,【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定,属于中等题.6. 【2013高考广东卷.文.6】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是().A .16 B .13 C .23D .1 【答案】B【考点定位】本题考查立体几何中的三视图与体积,属于基础题9. 【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A【考点定位】空间点、线、面的位置关系．10. 【2013高考广东卷.文.8】设l 为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是().A .若l ∥α,l ∥β,则α∥βB .若l ⊥α,l ⊥β,则α∥βC .若l ⊥α,l ∥β,则α∥βD .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β 【答案】B【解析】如图,在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中,【考点定位】本题考查立体几何中线,面之间的平行垂直关系,属于能力题13.【 2014湖南文8】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱14. 【2013湖南，文7】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积( )．A B ．1 C 【答案】D【解析】如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的俯视图为ABCD ，侧视图为BB 1D 1D ，故该正方体的正视图应为AA 1C 1C ．又因AC .15. 【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827πC D【答案】A【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体16. 【2013山东，文4】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．A ．45，8B ．45，83C ．4(5+1)，83D ．8,8 【答案】B【解析】由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：由图可知PO ＝2，OE ＝1，所以PE 22215+=， 所以V ＝13×4×2＝83，S ＝1425=452⨯20. 【2014高考陕西版文第5题】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）.4A π .3B π .2C π .D π【答案】C考点：旋转体；几何体的侧面积.21. 【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.24. 【2014全国2，文6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.31【答案】C【解析】由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 25. 【2013课标全国Ⅱ，文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A.27. 【2014全国2，文7】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )（A ）3 （B ）32 （C ）1 （DD A 1C 1AB 1BC【答案】C30. 【2013四川，文2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）（A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台31. 【2014四川，文4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3B 、2CD 、1侧视图俯视图11222211【答案】D【考点定位】空间几何体的三视图和体积.35. 【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式36. 【2014全国1，文8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．38. 【2013课标全国Ⅰ，文11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 【答案】：A【解析】：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.40. 【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式41. 【2014年.浙江卷.文3】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(90343216433cm V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B. 考点：根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题.42. 【2014年.浙江卷.文6】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m【答案】C考点：空间中的线线、线面、面面的位置关系，容易题.43.【2013年.浙江卷.文4】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【答案】：C【解析】：A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C.44.【2013年.浙江卷.文5】已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()．A．108 cm3B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm3【答案】：B49. 【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m 【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.50. 【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm【答案】C【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.51.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α上的动点P∠PAB= ，则点P的轨迹是（）满足30A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.54.【2013高考重庆文第8题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A．180 B．200 C．220 D．240【答案】D【解析】试题分析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，考点：三视图.55.【2014高考重庆文第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30 【答案】C考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积.56. 【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A)123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B. 【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.57. 【2014，安徽文8】一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是 （ ）A.233 B.476C.6D.7【答案】A．考点：1.多面体的三视图与体积.59.【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）1+（B）1+（C）2+（D）【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.61.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】在如图所示的空间直角坐标系xyzO-中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图的面积，容易题.62. 【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.63. 【2014福建,文3】以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （ ）.2..2.1A B C D ππ【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为为1，所以圆柱的侧面积为2π，选A . 考点：旋转体的侧面积.66. 【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．8+B ．11+C ．14+D ．15 【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为所以该几何体的表面积为11+B ． 【考点定位】三视图和表面积．二、填空题1．【2013高考北京文第10题】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．【答案】32. 【2014高考北京文第11题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图11122【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的正三角形，棱锥的高为2=考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014山东.文13】一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12考点：正六棱锥的几何特征，几何体的面积与体积.5. 【2013高考陕西版文第12题】某几何体的三视图如图所示，则其表．面积为__________．【答案】3π 【解析】试题分析：三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为12×4π×12＋π×12＝3π. 考点：三视图，容易题.6.【2013课标全国Ⅱ，文15】已知正四棱锥O －ABCD ，底面边长为，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__________．【答案】：24π【解析】：如图所示，在正四棱锥O －ABCD 中，V O －ABCD ＝13×S 正方形ABCD ·|OO 1|＝13×2×|OO 1|9. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.【答案】1 24【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.11.【2013课标全国Ⅰ，文15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．【答案】：9π2【解析】：如图，15. 【2013，安徽文15】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =④当314CQ <<时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S 【答案】①②③⑤．（2）1CQ=，S=，⑤正确，图如下：（3）34CQ=，画图如下：113C R=，③正确；（4）314CQ<<，如图是五边形，④不正确；（5）12CQ<<，如下图，是四边形，故①正确．【考点】1．立体几何中线面位置关系；2．正方体的截面．19.【2013天津，文10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________．【解析】由题意知349ππ32V R==球，32R=.设正方体的棱长为a＝2R，a.20.【2014天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m.【答案】20.3π 【解析】试题分析：几何体为一个圆锥与一个圆柱的组合体. 圆锥的高为2，底半径为2；圆柱的高为4，底半径为1，所以体积为221202241.33V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=考点：三视图21. 【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.22. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷16】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】试题分析：由题意盆内所盛水的上底面直径为28122+＝20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V ＝13·9·(π·102＋π·62＋π·10·6)＝588π，而盆上口面积为π·142＝196π，故平地降雨量为588π196π＝3(寸)． 24. 【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324⨯-⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积..25. 【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr＝______.【解析】由题知，tan6r l π==⇒l r =三、解答题2.【2013高考北京文第17题】(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD ＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.3. 【2014高考北京文第17题】（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE C BA【答案】(3)【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.试题解析：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC . （2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ，考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．5. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （III ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（I ）证明详见解析；（II ）证明详见解析；（III .试题解析：（Ⅰ）因为,O M 分别为AB ，V A 的中点， 所以//OM VB .又因为VB ⊄平面C MO ， 所以//VB 平面C MO .（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB 的面积VAB S ∆=. 又因为OC ⊥平面V AB ，所以三棱锥C V -AB 的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等，所以三棱锥V C -AB . 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.6. 【2014高考广东卷.文.18】(本小题满分13分)如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==,作如图3折叠,折痕//EF DC .其中点E .F 分别在线段PD .PC 上,沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M CDE -的体积.图3图2MFEPDCBA PDCB A【答案】(1)详见解析；(2.(2)CF ⊥ 平面MDF ,CF DF ∴⊥,又易知60PCD ∠= ,30CDF ∴∠= ,从而1122CF CD ==, //EF DC ,DE CEDP CP ∴=,122=,DE ∴=,PE ∴=,12CDE S CD DE ∆∴=⋅=,MD ====,1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅==. 【考点定位】本题以折叠图形为考查形式,考查直线与平面垂直的判定以及利用等体积法计算三棱锥的体积,属于中等题.8. 【2013高考广东卷.文.18】(本小题满分14分)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 上的点,AD ＝AE ,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥A －BCF ,其中BC .图(1) 图(2) (1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时,求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3(2)证明：在等边三角形ABC 中,∵F 是BC 的中点,BC ＝1,∴AF ⊥CF ,BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A －BCF 中,BC , ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ,∴CF ⊥平面ABF .(3)由(1)可知GE ∥CF ,结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE ＝1111132333⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝【考点定位】本题考查立体几何中的线面平行,垂直和椎体体积,属于拔高题10. 【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，PE ===DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.11. 【 2014湖南文18】如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60 ，菱形ABCD 在面β内，,A B两点在棱MN 上，60BAD ∠= ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.【答案】(1)详见解析 (2) 34【解析】试题解析:(1)如图,因为DO α⊥,AB α⊆,所以DO AB ⊥,连接BD ,由题可知ABD ∆是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE AB ⊥,而DO DE D = ,故AB ⊥平面ODE .(2)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即ADO ∠是BC 与OD 所成的角,由(1)可知,AB ⊥平面ODE ,所以AB OE ⊥,又DE AB ⊥,于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而060DEO ∠=,不妨设2AB =,则2AD =,易知DE =,在Rt DOE ∆中,03sin 602DO DE ==,连接AO ,在Rt AOD ∆中,332cos 24DO ADO AD ∠===,所以异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34. 【考点定位】异面直线的夹角 二面角 线面垂直12. 【2013湖南，文17】如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC，AA 1＝3，D 是BC的中点，点E 在棱BB 1上运动．(1)证明：AD ⊥C 1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．15. 【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。
2015年高考数学导数真题与答案
导数目录1.【2015高考，理10】.................................................. - 2 -2.【2015高考，理12】.................................................. - 2 -3.【2015高考新课标2，理12】.......................................... - 3 -4.【2015高考新课标1，理12】.......................................... - 4 -5.【2015高考，理16】.................................................. - 5 -6.【2015高考天津，理11】.............................................. - 5 -7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）.......................... - 6 -8.【2015高考，19】（本小题满分16分）.................................. - 8 -9.【2015高考，理20】................................................. - 10 -10.【2015高考，17】（本小题满分14分）................................ - 13 -11.【2015高考，理21】................................................ - 14 -12.【2015高考，理21】................................................ - 17 -13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）........................... - 19 -14.【2015高考，理20】................................................ - 21 -15.【2015高考，理21】................................................ - 22 -16.【2015高考，理22】................................................ - 24 -17.【2015高考新课标1，理21】........................................ - 26 -18.【2015高考北京，理18】............................................ - 27 -19.【2015高考，理19】................................................ - 29 -20【2015高考，理21】................................................. - 31 -1.【2015高考，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k>，即11()1f k k ->-，11()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ． 【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．2.【2015高考，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U【答案】A 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值围是（ ） (A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1） 【答案】D 【解析】设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.5.【2015高考，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403=，所以答案应填：1.2． 【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()ba f x dx ⎰． 6.【2015高考天津，理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . O xy【答案】16【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2015高考，理11】20(1)x dx ⎰-= .【答案】0.【解析】试题分析：0)21()1(22200=-=-⎰x x dx x . 【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'()(1)2mx f x m e x =-+，根据m 的围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）12()()1f x f x e -≤-恒成立，等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量，故可求研究()f x 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =，最大值可能是(1)f -或(1)f ，故只需(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，从而得关于m 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．8.【2015高考，19】（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． （2） 1.c =当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． （2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而304027a ab >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U ，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此1c =． 此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根， 所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠，解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U U ． 综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间的符号，根据符号判定函数在每个相应区间的单调性． 已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.9.【2015高考，理20】已知函数f()ln(1)x x =+，(),(k ),g x kx R =?(Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．【解析】解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x F x x x¢=-=- 当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减；故当0x >时，()(0)0,F x F <=即当0x >时，x x f()<．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x -+-¢=-= 当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=(3)当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >， |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x +-¢=--++故当0x Î（时，M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时，由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x Î（时，N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增，故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+，令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+，则有21-2H ()12=,11x xx x x x-¢=--++ 当0x >时，H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减，故H()(0)0x H <=, 故当0x >时，恒有2|f()()|x g x x -<,此时，任意实数t 满足题意. 综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),x "违+()f()g x x x >>，， 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-，令2(k 1),01x x x k -><<-解得，从而得到当1k >时，(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时，取11k+1=12k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得，此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有，【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10.【2015高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]，②min ()t f t ==千米【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得1000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 2则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()f t ==，[]5,20t ∈．②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l 的长度最短，最短长度为千米． 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值.11.【2015高考，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值围.【答案】（I ）：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；（II ）a 的取值围是[]0,1.（2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以，1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时，0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）由（I ）知， （1）当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00f =所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （2）当819a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤ 所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()00f =，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x > 所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减； 又()00f =所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意； （4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时，()11011x h x x x '=-=>++当11x a>-时，()210ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意. 综上所述，a 的取值围是[]0,1【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解.12.【2015高考，理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.【答案】（Ⅰ）极小值为24a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，22x ππ-<<.因为22x ππ-<<，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22ππ-存在唯一的0x ，使得02sin x a =. 02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时，函数(sin )f x 单调递增.因此，22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.（Ⅱ）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立，由此可知，函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.（Ⅲ）D 1≤，即||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a z b =-≤. 取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=. 由此可知，24a zb =-满足条件D 1≤的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 单调递增，在0(,)x +∞单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.14.【2015高考，理20】设函数()()23xx axf x a R e+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值围。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(上海卷)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I. 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ， 所以}4,1{)(=B C A U I . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a z -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z 2141+=. 【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛02 13 ⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则=a . 【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 【答案】240【解析】由r r r r rrr x C xx C T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 . 【答案】53+【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c 的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为. 【答案】8二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 【答案】B17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数； 当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ， 所以此时)(x f 是非奇非偶函数.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆1222=+yx ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=； （2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-=由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ， 由⎩⎨⎧=+=1222y x kx y ，的221211k x +=， 同理2222222)(211m k k km x +=+=，由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ， 由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021640182222m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S .所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，0n a ≠，且1(,6)6m na a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(aa a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=--- λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n nλλ+=n 2，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ， 由题意，nma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。
2015高考数学(新课标I版)分项汇编专题3导数(含解析)文
专题3 导数一．基础题组1. 【2008全国1，文4】曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】B2. 【2005全国1，文3】函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5【答案】D3. 【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．4. 【2011全国1，文20】已知函数32()3(36)124f x x ax a x a =++---，a R ∈. (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围。
5. 【2010全国1，文21】已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1) x 2＋4x . (1)当a ＝16时，求f (x )的极值； (2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．6. 【2009全国卷Ⅰ,文21】已知函数)(x f =x 4-3x 2+6. (1)讨论)(x f 的单调性;(2)设点P 在曲线y=)(x f 上,若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点,求l 的方程.7. 【2007全国1，文20】（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
2015年高考数学真题分类汇编：专题(03)导数(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题03 导数 文1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则'()cos 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】 函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．4.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = . 【答案】1 【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.5.【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.6.【2015高考陕西，文15】函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【解析】()()(1)xxy f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e-=-函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=- 【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 7.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2>>+=r a r x axx f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=ra，求)(x f 在),0(+∞内的极值. 【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r ,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.【解析】（Ⅰ）由题意可知r x -≠ 所求的定义域为()()r r -∞--+∞ ，，. 2222)()(r xr x axr x ax x f ++=+=，422222)())(()2()22()2()(r x r x x r a r xr x r x ax r xr x a x f ++-=+++-++=' 所以当r x -<或r x >时，0)(<'x f ，当r x r <<-时，0)(>'x f因此，)(x f 单调递减区间为),(),,(+∞--∞r r ；)(x f 的单调递增区间为(),r r -. （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知0)('=r f )(x f 在()r ,0上单调递增，在()+∞,r 上单调递减.因此r x =是)(x f 的极大值点，所以)(x f 在),0(+∞内的极大值为()100440042)(2====r a r ar r f ，）在（+∞,0)(x f 内无极小值； 综上，）在（+∞,0)(x f 内极大值为100，无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求0)(>'x f 和0)(<'x f 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析.2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =处取得极小值(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =是()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02e kf e -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．9.【2015高考福建，文22】已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) ⎛ ⎝；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<．故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式'()0f x >或'()0f x <求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ， 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==.(i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f令()40f x x +=，即xx f 4)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．11.【2015高考湖北，文21】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题. 【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.12.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e. 【解析】（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln 8110,h e e=-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩. 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II ）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.其次是根据（II ）的结论，确定得到()m x 的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥. 13.【2015高考四川，文21】已知函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (Ⅰ)设g (x )为f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(Ⅱ)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a )所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增(Ⅱ)由f '(x )＝2(x －1－lnx －a )＝0，解得a ＝x －1－lnx令Φ(x )＝－2xlnx ＋x 2－2x (x －1－lnx )＋(x －1－lnx )2＝(1＋lnx )2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e )＝2(2－e )＜0 于是存在x 0∈(1，e )，使得Φ(x 0)＝0令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－lnx (x ≥1) 由u '(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e )＝e －2＜1即a 0∈(0，1)当a ＝a 0时，有f '(x 0)＝0，f (x 0)＝Φ(x 0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x )在区间(1，＋∞)上单调递增 当x ∈(1，x 0)时，f '(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 当x ∈(x 0，＋∞)时，f '(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0 又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2xlnx ＞0 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a 消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a ∈(0，1)，f (x )的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f (x )的单调性，进一步说明对于找到的a ，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.14.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 【解析】（I ）由3()44f x x ¢=-,可得()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）()()()00g x f x x x '=-,()()()F x f x g x =- ,证明()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412ax '=-+,由()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,得()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,由()4h x x = 在在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,可得11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .试题解析:（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x ¢=-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.（III ）由（II ）知()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412a x '=-+,因为()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,又由（II ）知()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .类似的,设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 可得()4h x x = ,对任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤ 即()()f x h x ≤ .设方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,因为()4h x x = 在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,因此,11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解. 15.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数()2ln xf x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22ln a a a+，即证明了所证不等式.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a ex -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++?.故当0a >时，2()2lnf x a a a?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.16.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数b 的取值情况，利用并集原理得到参数b 的取值范围.试题解析：(1)当214a b =+时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2ax =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩(2)设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则s t ast b +=-⎧⎨=⎩.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+，所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b的取值范围是[3,9--.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想. 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.17.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数()f x 的导函数2()32f x ax x ¢=+，由已知有4()03f ¢-=可得关于a 的一个一元方程，解之即得a 的值，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数321g()2x x x x e 骣琪=+琪桫，利用积的求导法则可求出g ()x ¢=1(1)(4)2x x x x e ++，令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或.从而分别讨论-4x <，41x -<<-，-10x <<及0x >时g ()x ¢的符号即可得到函数g()x 的单调性．试题解析： (1)对()f x 求导得2()32f x ax x ¢=+因为()f x 在43x =-处取得极值，所以4()03f ¢-=， 即16416832()09333a a ??=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222x x x x x x e x x e x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数. 【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的x 的区间的确定.。
四川省2015高考数学(文)专项练习试题 文函数与导数课内题
学必求其心得，业必贵于专精第一课时 感悟2013年四川卷中函数与导数题 时间:25分钟1．【13四川卷7】函数331x x y =-的图象大致是（）解析：图象选择题一般用排除法。
由定义域排除A ；由x →-∞→∞时,y +排除B ；300,(,3xx y x x →+∞>→→+∞时,y 且因时的增长速度远大于的增长速度),排除D 点拔：定义域中自变量若可趋近±∞，也是端点，函数趋近值“符号”优先。
2．【13四川卷10】设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若存在0[0,1]y ∈使得0(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）(A ）[1,]e （B ）1[,1]e - (C)[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+2．解析：()f x =00(())f f y y =的根至多一个，观察（前提是有单调性)得()f y y =0y =，又由已知得0[0,1]y ∈,可平方。
方法1：化为0200ya e y y =+-有解（优先尝试分离参数）,令2(),[0,1].x g x e x x x =+-∈()120[0,1],()[1,],x g x e x g x e A '=+-≥在上恒成立值域为选方法2：化为0200,ye y y a =-+有解,令2(),(),[0,1].x g x e h x x x a x ==-+∈1(),[0,1],2h x x a a A =∈对称轴为为纵截距,由图象有公共点得选 3．【13四川卷14】已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________．学必求其心得，业必贵于专精 02,052()45()55,525,(7,3){t x t t f t t t f t t x ≥+=≤<=-<∴-<<-<+<-3.解析:令由得为偶函数,即答案点拔:对复合函数、复合不等式、复合方程可尝试换元法。
2015年高考数学真题分类汇编：专题(03)导数(理科)及答案
专题三 导数1.【2015高考福建、理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- 、其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> 、则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件、构造函数()()g x f x kx =-、则''()()0g x f x k =->、故函数()g x 在R 上单调递增、且101k >-、故1()(0)1g g k >-、所以1()111k f k k ->---、11()11f k k >--、所以结论中一定错误的是C 、选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-、则''()()10h x f x =->、所以函数()h x 在R 上单调递增、且10k >、所以1()(0)h h k>、即11()1f k k ->-、11()1f k k >-、选项A,B 无法判断、故选C ．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论、构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法、解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题、设法建立起目标函数、并确定变量的限制条件、通过研究函数的单调性、最值等问题、常可使问题变得明了、属于难题．2.【2015高考陕西、理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数）、四位同学分别给出下列结论、其中有且仅有一个结论是错误的、则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时、选项B 、C 、D 正确、()2f x ax b '=+、因为1是()f x 的极值点、3是()f x 的极值、所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩、即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩、解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩、因为点()2,8在曲线()y f x =上、所以428a b c ++=、即()42238a a a +⨯-++=、解得：5a =、所以10b =-、8c =、所以()25108f x x x =-+、因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠、所以1-不是()f x 的零点、所以选项A 错误、选项B 、C 、D 正确、故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值、属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”、否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心、除了作理论方面的推导论证外、利用特殊值进行检验、也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2、理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数、(1)0f -=、当0x >时、'()()0xf x f x -<、则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论、构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法、解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题、设法建立起目标函数、并确定变量的限制条件、通过研究函数的单调性、最值等问题、常可使问题变得明了、属于难题．4.【2015高考新课标1、理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1、若存在唯一的整数0x 、使得0()f x 0、则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e 、1） (B)[-32e 、34） (C)[32e 、34） (D)[32e、1）【答案】D【解析】设()g x =(21)xe x -、y ax a =-、由题知存在唯一的整数0x 、使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+、所以当12x <-时、()g x '＜0、当12x >-时、()g x '＞0、所以当12x =-时、max [()]g x =12-2e -、当0x =时、(0)g =-1、(1)30g e =>、直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a 、故(0)1a g ->=-、且1(1)3g e a a --=-≥--、解得32e≤a ＜1、故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路、思路1：参变分离、转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数）、则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合、利用导数先研究函数的图像与性质、再画出该函数的草图、结合图像确定参数范围、若原函数图像不易做、常化为一个函数存在一点在另一个函数上方、用图像解；思路3：分类讨论、本题用的就是思路2.5.【2015高考陕西、理16】如图、一横截面为等腰梯形的水渠、因泥沙沉积、导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）、则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系、如图所示：O xy原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=、设抛物线的方程为22x py =（0p >）、因为该抛物线过点()5,2、所以2225p ⨯=、解得254p =、所以2252x y =、即2225y x =、所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰、故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=、所以答案应填：1.2． 【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义、属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”、否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义、即由直线x a =、x b =、0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()baf x dx ⎰．6.【2015高考天津、理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范、既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2015高考湖南、理11】20(1)x dx ⎰-= .【答案】0. 【解析】 试题分析：0)21()1(2220=-=-⎰x x dx x . 【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算、意在考查学生的运算求解能力、属于容易题、定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015高考新课标2、理21】（本题满分12分） 设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减、在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-、都有12()()1f x f x e -≤-、求m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-． 【解析】(Ⅰ)'()(1)2mxf x m ex =-+．若0m ≥、则当(,0)x ∈-∞时、10mx e -≤、'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时、10mx e -≥、'()0f x >．若0m <、则当(,0)x ∈-∞时、10mx e ->、'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时、10mx e -<、'()0f x >．所以、()f x 在(,0)-∞单调递减、在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知、对任意的m 、()f x 在[1,0]-单调递减、在[0,1]单调递增、故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-、12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m me m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①、设函数()1t g t e t e =--+、则'()1t g t e =-．当0t <时、'()0g t <；当0t >时、'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减、在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =、1(1)20g e e --=+-<、故当[1,1]t ∈-时、()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时、()0g m ≤、()0g m -≤、即①式成立．当1m >时、由()g t 的单调性、()0g m >、即1m e m e ->-；当1m <-时、()0g m ->、即1m e m e -+>-．综上、m 的取值范围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用． 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数'()(1)2mxf x m ex =-+、根据m 的范围讨论导函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可；（Ⅱ）12()()1f x f x e -≤-恒成立、等价于12max ()()1f x f x e -≤-．由12,x x 是两个独立的变量、故可求研究()f x 的值域、由(Ⅰ)可得最小值为(0)1f =、最大值可能是(1)f -或(1)f 、故只需(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩、从而得关于m 的不等式、因不易解出、故利用导数研究其单调性和符号、从而得解． 8.【2015高考江苏、19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数）、当函数)(x f 有三个不同的零点时、a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ 、求c 的值.【答案】（1）当0a =时、 ()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时、 ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭、()0,+∞上单调递增、在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时、 ()f x 在(),0-∞、2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增、在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c =当0a <时、()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时、()0f x '>、20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时、()0f x '<、 所以函数()f x 在(),0-∞、2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增、在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2）由（1）知、函数()f x 的两个极值为()0f b =、324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭、则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-、所以当0a >时、34027a a c -+>或当0a <时、34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+、因为函数()f x 有三个零点时、a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、则在(),3-∞-上()0g a <、且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立、从而()310g c -=-≤、且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭、因此1c =． 此时、()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦、因函数有三个零点、则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根、所以()()22141230a a a a ∆=---=+->、且()()21110a a ---+-≠、 解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)、令f′(x)＝0、解此方程、求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来、然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号、根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像、数形结合求解．已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 9.【2015高考福建、理20】已知函数f()ln(1)x x =+、(),(k ),g x kx R =? (Ⅰ)证明：当0x x x ><时，f()；(Ⅱ)证明：当1k <时、存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有f()()x g x >；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值、使得存在0t >、对任意的(0),x Î，t 恒有2|f()()|x g x x -<．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．【解析】解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x x x x x =-=+-??则有1()11+1+x F x x x¢=-=- 当(0,),x ?? ()0F x ¢<,所以()F x 在(0,)+?上单调递减； 故当0x >时、()(0)0,F x F <=即当0x >时、x x f()<． (2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x =-=+-??则有1(1k)()1+1+kx G x k x x-+-¢=-=当0k £ G ()0x ¢>,所以G()x 在[0,)+?上单调递增, G()(0)0x G >=(3)当1k >时、由（1）知、对于(0,),x "违+()f()g x x x ，>>故()f()g x x >、 |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+、令2M()k ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+、则有21-2+(k-2)1M ()k 2=,11x x k x x x x+-¢=--++故当0x Î（时、M ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增、故M()M(0)0x >=,即2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在.当1k <时、由（2）知存在00x >,使得对任意的任意的0(0),x x ，Î恒有f()()x g x >． 此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x -=-=+-, 令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x =+--违，+、则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x-+=--++故当0x Î（时、N ()0x ¢>,M()x 在[0上单调递增、故N()(0)0x N >=,即2f()()x g x x ->,记0x1x 、则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有、故满足题意的t 不存在.当=1k 、由（1）知、(0,),x 违当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x -=-=-+、令2H()ln(1),[0)x x x x x =-+-违，+、则有21-2H ()12=,11x x x x x x-¢=--++ 当0x >时、H ()0x ¢<,所以H()x 在[0+¥，）上单调递减、故H()(0)0x H <=, 故当0x >时、恒有2|f()()|x g x x -<,此时、任意实数t 满足题意. 综上、=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k >时、由（1）知、对于(0,),x "违+()f()g x x x >>，、 故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x -=-=-+>-=-、 令2(k 1),01x x x k -><<-解得、从而得到当1k >时、(0,1)x k ?对于恒有2|f()()|x g x x ->,所以满足题意的t 不存在. 当1k <时、取11k+1=12k k k <<，从而 由（2）知存在00x >,使得0(0),x x Î任意，恒有1f()()x k x kx g x >>=. 此时11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k x x --=->-=, 令21k 1k ,022x x x --><<解得、此时 2f()()x g x x ->, 记0x 与1-k 2中较小的为1x 、则当21(0)|f()()|x x x g x x ?>，时，恒有、【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化、探究这类问题的根本、从本质入手,进而求解、利用导数研究函数的单调性、再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点、解题技巧是构造辅助函数、把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值、从而证得不等式、注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价、min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例、但是也可以利用它来证明、在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中、就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象、这是利用研究基本初等函数方法所不具备的、而是其延续． 10.【2015江苏高考、17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路、为进一步改善山区的交通现状、计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路、记两条相互垂直的公路为12l l ，、山区边 界曲线为C 、计划修建的公路为l 、如图所示、M 、N 为C 的两个端点、测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米、点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米、以12l l ， 所在的直线分别为x 、y 轴、建立平面直角坐标系xOy 、假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a 、b 为常数）模型. （1）求a 、b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点、P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t②当t 为何值时、公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t =定义域为[5,20]、②min ()t f t ==千米【解析】（1）由题意知、点M 、N 的坐标分别为()5,40、()20,2.5．M2P将其分别代入2a y x b =+、得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩、解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知、21000y x =（520x ≤≤）、则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫⎪⎝⎭、 设在点P 处的切线l 交x 、y 轴分别于A 、B 点、32000y x'=-、 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--、由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭、230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭． 故()f t ==、[]5,20t ∈． ②设()624410g t t t ⨯=+、则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=、解得t =当(t ∈时、()0g t '<、()g t 是减函数；当()20t ∈时、()0g t '>、()g t 是增函数．从而、当t =()g t 有极小值、也是最小值、所以()min 300g t =、 此时()min f t =答：当t =l的长度最短、最短长度为千米． 【考点定位】利用导数求函数最值、导数几何意义【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系、初步选择数学模型、然后将自然语言转化为数学语言、将文字语言转化为符号语言、利用数学知识、建立相应的数学模型；本题已直接给出模型、只需确定其待定参数即可.求解数学模型、得出数学结论、这一步骤在应用题中要求不高、难度中等偏下、本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率、然后再利用导数求极值与最值. 11.【2015高考山东、理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-、其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数、并说明理由；（Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立、求a 的取值范围.【答案】（I ）：当0a < 时、函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时、函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时、函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）a 的取值范围是[]0,1.（2）当0a > 时、 ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时、0∆≤ 、()0g x ≥ 所以、()0f x '≥、函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时、0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以、1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以、当()11,x x ∈-时、()()0,0g x f x '>> 、函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时、()()0,0g x f x '<< 、函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时、()()0,0g x f x '>> 、函数()f x 单调递增；因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时、0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时、()()0,0g x f x '>> 、函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时、()()0,0g x f x '<< 、函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：当0a < 时、函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时、函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时、函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （II ）由（I ）知、 （1）当809a ≤≤时、函数()f x 在()0,+∞上单调递增、 因为()00f =所以、()0,x ∈+∞时、()0f x > 、符合题意； （2）当819a <≤ 时、由()00g ≥ 、得20x ≤ 所以、函数()f x 在()0,+∞上单调递增、又()00f =、所以、()0,x ∈+∞时、()0f x > 、符合题意； （3）当1a > 时、由()00g < 、可得20x > 所以()20,x x ∈ 时、函数()f x 单调递减； 又()00f =所以、当()20,x x ∈时、()0f x < 不符合题意； （4）当0a <时、设()()ln 1h x x x =-+ 因为()0,x ∈+∞时、()11011x h x x x '=-=>++当11x a>-时、()210ax a x +-< 此时、()0,f x < 不合题意. 综上所述、a 的取值范围是[]0,1【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用、着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法、意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力、其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015高考安徽、理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值、有极值时求出极值； （Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+、求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中、取000a b ==、求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.【答案】（Ⅰ）极小值为24a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+、22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-、22x ππ-<<.因为22x ππ-<<、所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时、函数(sin )f x 单调递增、无极值. ②当2,a b R ≥∈时、函数(sin )f x 单调递减、无极值.③当22a -<<、在(,)22ππ-内存在唯一的0x 、使得02sin x a =. 02x x π-<≤时、函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时、函数(sin )f x 单调递增.因此、22a -<<、b R ∈时、函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-. （Ⅱ）22x ππ-≤≤时、00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-、当00()()0a a b b --≥时、取2x π=、等号成立、当00()()0a a b b --<时、取2x π=-、等号成立、由此可知、函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值为00||||D a a b b =-+-.（Ⅲ）D 1≤、即||||1a b +≤、此时201,11a b ≤≤-≤≤、从而214a z b =-≤.取0,1a b ==、则||||1a b +≤、并且214a z b =-=.由此可知、24a zb =-满足条件D 1≤的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法、在含有参数的试题中、分类与整合思想是必要的、由于是函数问题、所以函数思想、数形结合思想也是必要的、把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等、转化与化归思想也起着同样的作用、解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用. 13.【2015高考天津、理20（本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈、其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P 、曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x 、都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，、求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时、()f x 在(,1)-∞-、(1,)+∞上单调递减、在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时、()f x 在(,1)-∞-上单调递增、()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时、当()0f x '>、即1x <时、函数()f x 单调递增； 当()0f x '<、即1x >时、函数()f x 单调递减.所以、()f x 在(,1)-∞-上单调递增、()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x 、则110n x n-=、20()f x n n '=-、曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-、即()00()()g x f x x x '=-、令()()()F x f x g x =-、即()00()()()F x f x f x x x '=--、则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减、故()F x '在()0,+∞上单调递减、又因为0()0F x '=、所以当0(0,)x x ∈时、0()0F x '>、当0(,)x x ∈+∞时、0()0F x '<、所以()F x 在0(0,)x 内单调递增、在0(,)x +∞内单调递减、所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=、即对任意的正实数x 、都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤、由(II)知()()20()g x n n x x =--、设方程()g x a =的根为2x '、可得202.ax x n n'=+-、当2n ≥时、()g x 在(),-∞+∞上单调递减、又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的、设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =、可得()h x nx =、当(0,)x ∈+∞、()()0n f x h x x -=-<、即对任意(0,)x ∈+∞、()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '、可得1ax n'=、因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增、且111()()()h x a f x h x '==<、因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥、所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=、故1102n nx -≥=、所以2121ax x n-<+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性、体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法、体现数学中的构造法在解题中的重要作用、是拨高题.14.【2015高考重庆、理20】 设函数()()23xx axf x a R e+=∈ （1）若()f x 在0x =处取得极值、确定a 的值、并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数、求a 的取值范围。
专题03导数(第01期)-决胜高考全国名校试题文数分项汇编(北京特刊)(原卷版).doc
第三章导数一.基础题组1・(北京市丰台区2015届高三5月统一练习(二)文10)曲线)，=疋一 + —兀+1在点(0,1) 处的切线方程是—.*x + —, x>0,2. (北京市西城区2015届高三一模考试文13)设函数= i X则—f — 4x,兀v 0./[/(-1)1=—:函数/(X)的极小值是—.3. (北京市丰台区2015届高三5月统一练习(二)文19)已知函数/(X)= X2e v .(I )求/(兀)的单调区间；4(II)证明：X2G(-OO,0], /(和―广(无)5匚；e_(III)写出集合{xeR\f(x)-b = 0} (b为常数且beR)小元素的个数(只需写出结论).4. (北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)文20)已知函数f(x) = x3+-x2+ax + b f7g(x) = x3 +—A:2 +lnx+Z?, ( a, b 为常数).2(I)若gd)在x = l处的切线过点(0,-5),求b的值；(II)设函数/•(“)的导函数为/©),若关于x的方程f(x)-x = xf\x)有唯一解，求实数b的取值范围；(III)令F(x) = /(x)-g(x),若函数F(x)存在极值，且所有极值之和大于5 + ln2, 求实数a的取值范围.5. (北京市延庆县2014-2015学年度高二第二学期期末考试文20)己知函数1 3 ， 1/(x)= —工-a^x^ — a(ae R).3 2(I)若a = \,求函数/(x)在[0,2] ±的最大值；(II)若对任意XG[0,+oo),有/(x) > 0恒成立，求G的取值范围.二.能力题组1. (2015年北京市昌平区高三二模文20)已知函数/(x) = 6/(x-2)2 + 21nx.(I)若a = \t求函数/(兀)的单调区间；(II)若/(%)在区间［1,4］上是增函数,求实数a的取值范围；(III)己知函数g(兀)=/(兀)一4°+丄@工0),当XG ［2,+oo)时，函数g(兀)图象上的点均4a(x>2在不等式4 一所表示的平面区域内，求实数。
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一、选择题1. 【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 【答案】B【考点定位】平均变化率.2. 【 2014湖南文9】若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln x x ee x x ->-B.2121ln ln x x ee x x -<-C.1221xx x e x e >D.1221xx x e x e <【答案】C【解析】设函数()ln x f x e x =-且()xe g x x =,求函数求导可得()1'x f x e x=-,()()21'x x e g x x -=,因为()0,1x ∈,所以()'f x 符号不确定且()'0g x <,所以函数()f x 单调性不确定,函数()g x 在()0,1上单调递减,则()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x <⇒<⇒<,所以选项C 是正确的,故选C. 【考点定位】导数 单调性3．【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A【考点定位】利用导数研究函数的性质4. 【2014全国2，文11】若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞【答案】D 【解析】'1()f x k x=-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞．5. 【2013课标全国Ⅱ，文11】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是()．A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】：C【解析】：若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．6. 【2014全国1，文12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a的取值范围是( )()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-【答案】C得：3222()3()10aa a⨯-+>，可解得：24a>，则2(,2a a><-舍去）．7.【2013年.浙江卷.文8】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()．【答案】：B【解析】：由导函数图象知，函数f(x)在[－1,1]上为增函数．当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.8.【2013年.浙江卷.文8】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()．【答案】：B9. 【2013，安徽文10】已知函数32()f x xax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）（A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【答案】A ．如图则有3个交点，故选A ．【考点】1．函数零点的概念；2．嵌套型函数的理解．10. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】B二、填空题1. 【2014高考广东卷.文.11】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.【答案】52y x =--或520x y ++=.【解析】53xy e=-+ ,5x y e '∴=-,故所求的切线的斜率为055k e =-=-,故所求的切线的方程为()25y x --=-,即52y x =--或520x y ++=.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.2. 【2013高考广东卷.文.12】若曲线y ＝ax 2－ln x 在(1,a )处的切线平行于x 轴,则a ＝__________.【答案】12【考点定位】本题考查导数中的切线,属于能力题3. 【2015高考陕西，文15】函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1y e=- 【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e-=-函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=- 【考点定位】：导数的几何意义.4. 【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；5. 【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.三、解答题1. 【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）已知函数3()23f x x x =-.（1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】;(2) (3,1)--;(3)详见解析.【解析】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出x ，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果..试题解析：(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0fx =，得x =或x =，因为(2)10f -=-，(f =，f =，(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =. （2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，'()g x =21212x x -=12(1)x x -， ()g x 与'()gx 的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞'()g x+-+()g xt+31t +（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.2. 【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（I ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（II ）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）先对()f x 求导，令'()0f x =解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =时，函数取得极小值，同时也是最小值；（II ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点. 试题解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得 2'()k x kf x x x x-=-=.由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.3. 【2014高考广东卷.文.21】(本小题满分14分)已知函数()()32113f x x x ax a R =+++∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.(2)()3232000011111111233222f x f x x ax a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅++⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦323200011113222x x a x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20000001111113224222x x x x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20000111236122x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()200011414712122x x x a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭,若存在11 0,,1 22x⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()012f x f⎛⎫= ⎪⎝⎭,【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.4.【2013高考广东卷.文.21】(本小题满分14分)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R).(1)当k＝1时,求函数f(x)的单调区间；(2)当k＜0时,求函数f(x)在[k,－k]上的最小值m和最大值M.【答案】(1)详见解析 (2)详见解析【解析】f′(x)＝3x2－2kx＋1,(1)当k＝1时,f′(x)＝3x2－2x＋1,Δ＝4－12＝－8＜0,∴f′(x)＞0,即f(x)的单调递增区间为R.(2)(方法一)当k ＜0时,f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1,其开口向上,对称轴3kx =,且过(0,1).(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13,x 1＋x 2＝23k ＞k ,从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断) ∴m ＝min {f (k ),f (x 1)},M ＝max {f (－k ),f (x 2)}. ∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0, ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0, ∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述,当k ＜0时,f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ,最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时,对∀x ∈[k ,－k ],都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0,故f (x )≥f (k ).f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0. 故f (x )≤f (－k ).∵f (k )＝k ＜0,f (－k )＝－2k 3－k ＞0, ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ,f (x )min ＝f (k )＝k . 【考点定位】本题考查导数的应用,属于拔高题5. 【2013湖南，文21】已知函数f (x )＝211x x-+e x .(1)求f (x )的单调区间； (2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.【解析】(1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝211x x -⎛⎫'⎪+⎝⎭e x ＋211x x -+e x＝2222211e 11xx x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦ ＝222[12]e 1xx x x -(-)+(+). 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即 (1－x )e x －1e xx+＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )． 而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)， 从而f (x 1)＜f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.6. 【2014山东.文20】（本题满分13分)设函数.,11ln )(为常数其中a x x x a x f +-+=（1）若0=a ，求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性. 【答案】（1）210x y --=.（2）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.试题解析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+， 此时'22()(1)f x x =+， 可得'1(1)2f =，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2'222(22)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +++=+=++，当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，所以1(0,)x x ∈时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，'()0,()0g x f x >>，函数()f x 单调递增， 2(,)x x ∈+∞时，'()0,()0g x f x <<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.7. 【2013山东，文21】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．(1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小．【答案】(1) 当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b＞0时，函数f(x)的单调递减区间是10,b⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b⎛⎫+∞⎪⎝⎭；当a＞0时，函数f (x)的单调递减区间是⎛⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎭.(2) ln a＜－2b.所以函数f(x)的单调递减区间是⎛⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎭.综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b＞0时，函数f(x)的单调递减区间是10,b⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间是1,b⎛⎫+∞⎪⎝⎭；当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间是⎛⎝，单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎭.(2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值，由(1)是f(x)的唯一极小值点，＝1，整理得2a＋b＝1，即b＝1－2a. 令g(x)＝2－4x＋ln x，则g′(x)＝14xx-，令g ′(x )＝0，得x ＝14.8. 【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e. 【解析】（I ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （II ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln 8110,h e e=-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,xx x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >， 所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.9. 【2013高考陕西版文第21题】已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点； (3)设a ＜b ，比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与f b f a b a ()-()-的大小，并说明理由． 【答案】(1) y ＝x －1；(2)详见解析；(3) 2f b f a a b f b a ()-()+⎛⎫< ⎪-⎝⎭．【解析】试题分析：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1， 于是在点(1,0)处切线方程为y ＝x －1. (2)解法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1， 当x ＜0时，h ′(x )＜0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减． 当x ＞0时，h ′(x )＞0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x )在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的，∴φ(x )在R 上有唯一的零点， 故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)2f b f a a b f b a()-()+⎛⎫-⎪-⎝⎭＝222e ee e e ee a b a b a b babab a b ab a+++---+-=--＝222e[e e ()]a b b a a bb a b a+------． 设函数u (x )＝e x －1ex －2x (x ≥0)， 则u ′(x )＝e x ＋1ex－2≥2＝0， ∴u ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令2b ax -=， 则得22e e ()>0b a a b b a -----， ∴2f b f a a b f b a ()-()+⎛⎫< ⎪-⎝⎭.考点：导数的应用，拔高题.10. 【2014高考陕西版文第21题】设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数；（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞.（3）对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，等价于()()f b b f a a -<-恒成立，则()()ln (0)m h x f x x x x x x =-=+->在(0,)+∞上单调递减，即21()10mh x x x'=--≤在(0,)+∞恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+ 易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上是减函数；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)e 上是增函数；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e f e e e=+=∴函数()h x 的图像如图所示：由图知： ① 当23m >时，函数y m =和函数()y h x =无交点； ②当23m =时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； ③当203m <<时，函数y m =和函数()y h x =有两个交点；④0m ≤时，函数y m =和函数()y h x =有且仅有一个交点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点.考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.11.【2013课标全国Ⅱ，文21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．【解析】：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e－x x(x－2)．①当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(0,2)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.12. 【2014全国2，文21】（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【解析】：（Ⅰ）2'(x)3x 6x a f=-+，'(0)f a =．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为y 2ax =+．由题设得，22a-=-，所以1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，32()32f x x x x =-++．设32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+．由题设得1k 0->．当0x ≤时，2'()3610g x x x k =-+->，g()x 单调递增，g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则 ()()(1k)x ()g x h x h x =+->．2'()3x h x =-63(x 2)x x =-，()h x 在(0,2)单调递减；在(2,)+∞单调递增.所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.。