第十九章 二次函数和反比例函数
九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》二次函数图象变换秘诀 (新版)北京课改版-北京
二次函数图象变换1. 二次函数图象关于x轴对称变换变形：特点：a、b、c符号都改变；依据：点关于x轴对称，该点的横坐标不变，纵坐标变为相反数；图例：2. 二次函数图象关于y轴对称变换变形：特点：a、c符号不变，b符号改变；依据：点关于y轴对称，该点横坐标变为相反数，纵坐标不变；图例：3. 二次函数图象关于原点中心对称变换变形：特点：a、c符号改变，b符号不变；依据：点关于原点对称，该点的横纵坐标都变为相反数；图例：4. 二次函数图象关于顶点中心对称变换变形：特点：变为顶点式后a符号改变；依据：变换后顶点坐标不变，开口大小不变，只改变开口方向；图例：例题1（某某）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，43），M是OA的中点。
（1）求此二次函数的解析式。
（2）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A，B′为B关于x轴的对称点，在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D。
若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。
解析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）假设存在满足条件的点C ，由△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，可得点C 纵坐标是点D 纵坐标的3倍，由此列方程求出点C 的坐标。
答案：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y ＝ax 2＋bx ∵抛物线经过点A （4，0），B （2 ，43） ∴16a 4b 034a 2b 3+⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，解得3a 43b 3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴二次函数解析式为：2343y x =- （2）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：2343y x x 33=-+ 假设存在这样的点C ，∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍， ∴CD＝2MD ，∴CM＝3MD如下图所示，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，则有DE∥CF∴DE ME MDCF MF MC＝＝MD CM 3=∴CF＝3DE ，MF ＝3ME 令0=y ，则x x y 334332-=的图象与x 轴的交点坐标分别为)0,4(A ，)0,0(O ∵M 为OA 中点)0,2(M ∴ 设C2343x -（，）， 则MF ＝x －2，11ME MF x 233==-（），14OE ME OM x 33=+=+ ∴D2143144314x x x 333333+++（，（）（）） ∵CF＝3DE ， ∴223433144314x x 3[x x ]33333333-=-+++（）（）， 整理得：x 2－4x －8＝0，解得：12x 223,x 223=+=- ∴128383y y 33== ∴存在满足条件的点C ，点C 的坐标为：838322323+-（，，）点拨：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、翻折变换等知识点。
九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》利用二次函数求最值 (新版)北京课改版-北京课
二次函数求最值二次函数求最值的一般步骤：（1）找等量：分析题目中的数量关系， （2）列式：列出函数关系式， （3）求最值的方法： ①配方法， ②公式法。
方法归纳：二次函数求最值的注意事项：①若自变量的取值X 围是全体实数，则函数在顶点处取得最值，即当x ＝－b 2a 时，y 最值＝4ac －b24a；②若自变量的取值X 围是x 1≤x ≤x 2，当－b 2a 在x 1≤x ≤x 2内时，有一个最值4ac －b 24a 在x ＝－b 2a时取得，另一个最值在两端点处取得；当－b2a 不在x 1≤x ≤x 2时，函数的最值在x ＝x 1和x ＝x 2时取得。
总结：1. 能根据实际问题的情境建立二次函数模型。
2. 会利用二次函数某某际问题的最值。
例题1在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝a2x －y ＝1中。
（1）若a ＝3，求方程组的解；（2）若S ＝a （3x ＋y ），当a 为何值时，S 有最值。
解析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到3x ＋y ，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答。
答案：（1）a ＝3时，方程组为⎩⎨⎧x ＋2y ＝32x －y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1。
（2）方程组的两个方程相加得，3x ＋y ＝a ＋1，所以S ＝a （3x ＋y ）＝a （a ＋1）＝a 2＋a ，所以，当a ＝－12×1＝－12时，S 有最小值。
点拨：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x ＋y 的表达式是解题的关键。
例题2便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足y ＝－2x 2＋80x ＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x ≤22，那么一周可获得的最大利润是多少？解析：先将二次函数变形，或利用公式求出此抛物线的顶点，再判断顶点是否在15≤x ≤22X 围内，最后根据二次函数的性质求出最大值。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数和反比例函数是初中和高中数学中经常涉及的函数。
它们在数学上有着重要的应用，同时也具有一定的难度。
下面我们来详细介绍二次函数和反比例函数的知识点。
一、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的性质：(1) 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2 + bx + c。
(2)对称轴：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))的直线称为二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。
(3)开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
(4) 判别式：二次函数ax^2 + bx + c的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，无实根。
4.二次函数的平移：二次函数的横向平移和纵向平移可以通过对函数的自变量和因变量进行平移操作实现。
5.二次函数的解析式：通过给定的定点和顶点坐标，可以确定一条与x轴相交的二次函数。
6.二次函数的应用：二次函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，如碰撞问题、抛物线运动等。
二、反比例函数1.定义：反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数。
2.变化规律：反比例函数的特点是随着x的增大，y的值会逐渐减小；反之，随着x的减小，y的值会逐渐增大。
3.反比例函数的性质：(1)零点：当x≠0时，y=0称为反比例函数的零点。
(2)渐近线：反比例函数y=k/x的图像有两个渐进线x=0和y=0。
(3)对称性：反比例函数的图象关于坐标轴对称。
(4)奇函数：反比例函数是一个奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k|值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
九年级数学上册19二次函数和反比例函数反比例函数的图象和性质课件
-4
-3 -2
-1 0
5
x 0，图象无限接近x、y轴
但永不相交，所以有两个 分支.
-1 -2 -3 -4
y
4
3
2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 3 4 5
y= x (k ≠0)中，当k＞0 时，x、y同号，所以图象 位置在一、三象限内. x y= x (k ≠0)中，当k＜0 时，x、y异号，所以图象 位置在二、四象限内.
反比例函数的图象和性质
反比例函数图象会是什么形状的呢？ 请你思考
y
4
3 2 1
-4
-3 -2
-1 0
1
-1 -2 -3 -4
2
3
4
5
x
双曲线，有两个分支.
为什么反比例函数图象是双曲线呢？
请你思考
y 4 3 2 1
x、y值的变化情况不是
均匀变化的，图象为曲 线， x、y值又都不能为
1 2 3 4
x 设函数y=（m-2）
m2 5m5
，当m取何值时，它是反比例函数？
1 ≤x≤2时函数值y的变化范围． 2
它的图象位于哪些象限？求当 ∴解得：m=3
解： ∵ m2-5m+5=-1，m-2≠0
（m 2）x ∴当m=3时，函数 y
m2 5m5
是反比例函数；
当m=3时，代入函数式可得：y= ∵k=1＞0， ∴它的图象位于第一、第三象限． 1 ∵ ≤x≤2； 2 1 1 ∴ ≤ ≤ 2； 2 y 1 解得： ≤y≤2． 2
k
k
-3
-4
y
· 3·
4 2 1
-4
-3 -2
-1 0
4 3 比较函数y= , y= 中， x x
函数值的大小比较
二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2 【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞a b -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜a b -，得221x x +＜a b 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1） 4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
1、 同一象限时，利用函数的增减性比较大小。
K ＞0时，y 随x 的增大而减小；K ＜0时，y 随x 的增大而减大；2、不同象限时，用图象法，利用y 轴“上大下小”的特点进行比较。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=，最值为纵坐标.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向对称轴 顶点坐标 2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x (y 轴)(0,0) k ax y +=20=x (y 轴) (0, k ) ()2h x a y -= h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=c bx ax y nkx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=44422212212212113．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15. 解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等． 反比例函数1.反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
在工程学中，反比例函数、一次函数和二次函数可以用来描 述各种工程问题的数学模型，如结构优化、路径规划等。利 用这些函数的性质和图像，可以进行工程设计和优化，提高 工程质量和效率。
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顶点
二次函数的顶点坐标为 $left(frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
04
图像特征
01
02
03
04
形状
二次函数的图像是一条抛物线 。
位置
根据 $a$、$b$、$c$ 的取值 ，抛物线的位置会有所不同。
与坐标轴的交点
令 $y = 0$ 可求得与 $x$ 轴 的交点，令 $x = 0$ 可求得
05
函数图像比较
图像的平移与伸缩
平移
函数图像在平面直角坐标系中的位置可以通过平移来改变。对于一次函数和二次函数，图像可以沿x轴或y轴进 行平移，而对于反比例函数，图像可以沿原点进行平移。
伸缩
函数图像的形状可以通过伸缩来改变。对于一次函数，图像的伸缩表现为斜率的改变；对于二次函数，图像的 伸缩表现为开口大小或方向的改变；对于反比例函数，图像的伸缩表现为离原点的远近。
单调性
反比例函数
反比例函数的单调性取决于其定义域。在每个象限内，反比例函数都是单调的，但在整个 定义域内不是单调的。
一次函数
一次函数的单调性取决于其斜率。当斜率大于0时，函数在整个定义域内单调递增；当斜 率小于0时，函数在整个定义域内单调递减。
二次函数
二次函数的单调性取决于其二次项系数的正负和对称轴的位置。当二次项系数为正时，函 数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当二次项系数为负时，函数在对称轴 左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
九年级数学上册专题突破19《二次函数和反比例函数》解密二次函数与一次函数的交点问题(新版)北京课改版【
解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体（1）一次函数解析式:y =mx +n （m 、n 为常数且m ≠0） （2）二次函数解析式:y =ax 2+bx +c （a ,b ,c 为常数且a ≠0） 2. 解题思想数形结合（把交点问题转化为方程问题求解） 3. 解题方法求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组2y mx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩ ，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数： （1）△＞0⇔一次函数与二次函数有两个交点； （2）△=0⇔二次函数与一次函数有一个交点； （3）△＜0⇔二次函数与一次函数没有交点。
注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。
例 抛物线解析式为：221y x x =-- ，直线解析式为：y x n =+ ，分析两图象的交点个数。
例题1 （历下区二模）已知二次函数y =x 2﹣2mx +m 2﹣4的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D 。
当m =﹣1时，将函数y =x 2﹣2mx +m 2﹣4的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Q 。
当直线与图象Q 有两个公共点时，求实数b 的取值范围。
答案：令y =0得x 2﹣2mx +m 2﹣4=0，解得x 1=m ﹣2，x 2=m +2， ∴A （m ﹣2，0），B （m +2，0），D （0，m 2﹣4），当m =﹣1时，y =x 2+2x ﹣3，则A （﹣3，0），B （1，0），顶点为（﹣1，﹣4） 因为直线b x y +=21与图象Q 有两个公共点， 则当直线b x y +=21过A 点时23=b ，当直线b x y +=21过B （1，0）时，21=b ， 当直线b x y +=21与y =﹣x 2﹣2x +3只有一个公共点时，1673=b ， 根据图象，可得﹣21＜b ＜23或b ＞1673。
九年级数学上册19二次函数和反比例函数二次函数与一元二次方程的关系课件
-2a= a-3 a=1 a=1 ∴ ，解得 或 ． 2 b= 0 b= 2 -2b+1 =1-b 当a＝1，b＝0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴a＝1，b＝0舍去； 当a＝1，b＝2时，二次函数为y＝x2＋2x-3和y＝-x2-2x＋3符合题意， ∴a＝1，b＝2．
【2】
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• • • •
解析：
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5； 如果设ax2+bx+c=0的两根为α 、β(α ＜β)， 那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α 或x＞β， 故③错误；
y
④若(-2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2． ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象
与x轴有两个交点 a＞0 a＜0
y
y
x1
O
x2 x
x1
O
x2 x
b2-4ac＞0
两个不相等的实数根
-b b2 - 4ac x1、 2= 2a
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
二次函数y=ax2+bx+c的图象
与x轴有一个交点 a＞0 a＜0
2．深入理解抛物线与坐标轴的交点、一元二次方 程的解、一元二次不等式的解集之间的关系．
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标
分别为x1、x2，且x1≤x2，
若抛物线开口向上， 则ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜x1或x＞x2， ax2＋bx＋c＜0的解集为x1＜x＜x2；
京改版九年级上册数学第十九章 二次函数和反比例函数 含答案
京改版九年级上册数学第十九章二次函数和反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A.t≥﹣1B.﹣1≤t＜3C.﹣1≤t＜8D.3＜t＜82、已知二次函数y=x2-4x+3的图象是由y=x2+2x-1的图象先向上平移一个单位，再向( )A.左移3个单位B.右移3个单位C.左移6个单位D.右移6个单位3、反比例函数y= （a＞0，a为常数）和y= 在第一象限内的图象如图所示，点M在y= 的图象上，MC⊥x轴于点C，交y= 的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y= 的图象于点B，当点M在y= 的图象上运动时，以下结论：①S△ODB =S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③4、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（）A. 、异号B. 、同号C. >0，<0D. <0，>05、已知函数图象如图，以下结论，其中正确有（）个：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b（﹣x，﹣y）也在图象上．④若P（x，y）在图象上，则点P1A.4个B.3个C.2个D.1个6、如图，已知二次函数y=ax +bx+c(a>0)与一次函数y=kx+m的图象相交于A(-1，4)、B(6，3)两点，则能使关于x的不等式ax +bx+c-kx-m<0成立的x 的取值范围是( )A.x<-1B.-1<x<6C.x>6D.x<-1或x>67、对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（）A.最大值B.最小值C.最大值y =D.最小值y =8、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象.下列结论：①b＞0；②a ﹣b+c＜0；③ax2+bx+c＝1有两个实数根.其中正确的个数是（）A.0B.1 C.2D.39、如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A.a＞0B.b＞0C.c＜0D.b 2﹣4ac＞010、若函数y=（m+1）x|m|-2是反比例函数，则m等于（）.A.2B.-2C.1D.±111、已知反比函数，下列结论中错误的是（）A.图象必经过点B.图象位于第二、四象限C.若则D.在每一个象限内，随值的增大而减小12、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b ＜0；②c＞0；③b2-4ac＞0；④a-b+c＜0，其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13、如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）A.4B.﹣4C.﹣6D.614、若抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为﹣4D.抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）15、如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是（）A.①②④B.③④C.①③④D.①②二、填空题(共10题，共计30分)16、关于x的反比例函数y=（k﹣1）（k为常数），当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的值为________17、如图，点P是反比例函数图象上任意一点，PA⊥x轴于A，连接为________.PO，则S△PAO18、如图，是y=x2、y=x、y= 在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出＜x＜x2时x的取值范围是________．19、若A（x1， y1），b（x2， y2）是双曲线上的两点，且x1＞x2＞0，则y1________y2.20、已知函数y＝x m-1是关于x的二次函数，则m＝________.21、已知抛物线y=a(x－h)²＋k与x轴交于(－2，0)、(3，0)，则关于x的一元二次方程：a(x-h＋6)²＋k=0的解为________.22、如图，过原点的直线与反比例函数y= (k>0)的图象交于点A，点B，已知点C的坐标是(6，0)，且AC⊥BC，连结AC，交反比例函数图象于点D，若AD=CD，则k的值为________。
第十九章 二次函数和反比例函数总结提升课件2024—2025年京改版数学九年级上册
于点 C .
Hale Waihona Puke 第15题12
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（1） 求直线 AB 对应的函数表达式及点 C 的坐标.
解：（1） 由 y ＝－ x2＋4 x ，得当 y ＝0时，－ x2＋4 x ＝
0，解得 x1＝0， x2＝4.∵ 点 A 在 x 轴的正半轴上，∴ 点
A 的坐标为（4，0）.设直线 AB 对应的函数表达式为 y ＝
BQ 与 OP 交于点 F ，连接 DF . 设四边形 FQED 的面积为 S ，求 S 关于 m
的函数表达式，并求出 S 的最大值.
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解：（2） ① ∵ 点 P 在第一象限内二次函数 y ＝－ x2＋4
日销售利润不低于8000元时，60≤ x ≤65.∴ 小红的说法错误
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11. （2023·邵阳）已知 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）是抛物线 y ＝ ax2＋
4 ax ＋3（ a 是常数， a ≠0）上的点，现有下列四个结论：① 该抛物线
（2） 当 x ≤0时， y 的最大值为2；当 x ＞0时， y 的最大值为3，求二次
函数的表达式.
解：（2） ∵ 当 x ≤0时， y 的最大值为2；当 x ＞0时， y
九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图象及性质课件(新版)北京课改版
x =b 2a
y=ax2+bx+c(a＜0)
y
O x
x =-
O x
b 时， 2a y随x的增大而减小， b 当x＞- 时， 2a y随x的增大而增大
当x＜ -
增减 性
b 时， 2a y随x的增大而增大， b 当x＞- 时， 2a y随x的增大而减小
b 2a
当x＜ -
函数
图象
y=ax2+bx+c(a＞0)
•
当A、B在对称轴的两侧时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的 距离，即得x0－(-5)＞3-x0，解得x0＞-1，
•
综上所得：x0＞-1．
【2】
在二次函数y＝-x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(A ) A．x＜1
• • • • • • 解析： 二次函数y＝-x2＋2x＋1的开口向下， 所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大， 二次函数y＝－x2＋2x＋1的对称轴是 所以x＜1． 答案：A
0 6
1 6
… …
从上表可知，下列说法正确的有( ②抛物线与y轴的交点为(0，6)；
①抛物线与x轴的交点为(－2，0)(2，0)；
1 ③抛物线的对称轴是：直线x＝ ； 2 ④在对称轴左侧，y随x增大而减少．
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
①抛物线与x轴的交点为(－2，0)(2，0)；
②抛物线与y轴的交点为(0，6)；
• 在对称轴同侧的点，y随x的增大而增大(或减小) ； • 不在对称轴同侧的点， y • 若a＜0，则到对称轴的距离大的点的函数值较小．
A3 A2 A1 O x
A4
抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y … … －3 －2 －6 0 )
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编写特点
(2) 教材注重体现学习过程
教材注意内容的呈现方式，通过 “知识产生——知识形 成——揭示联系”的过程，让学生参与知识的发生、发展 过程. 注重在具体二次函数的研究中理解知识的关联，掌握 方法，理解原理（如图象的平移变换）. 探究活动设计符合学生的认知过程，教材在考虑到二次 函数的内容特征下，结合学生思维水平设计适合的探究学 习活动，让学生通过操作、观察、概括、猜想、归纳等活 动获得对学习内容的认识，为学生提供了积极思考、动手 实践、自主探索、合作交流的平台，在学习活动中获得对 一般性方法的认识，并最终形成解决问题的方法.
数学课程标准 （2011年版）
（三）函数 4．二次函数 （3）会用配方法将数字系数的二次函 数的表达式化为y=a (x-h )2+ k 的形式， 并能由此得到二次函数图象的顶点坐标， 说出图象的开口方向，画出图象的对称 轴，并能解决简单实际问题。
数学教研室
教材变化
P55
内容变化-- 知识点（淡公式重配方） 注重配方法
P47
淡化公式法
配方
公式
由对称轴及顶点无法画出示意图
加(2) 求抛物线与x轴交点坐标 并画出示意图 数学教研室
教材变化
内容变化--删掉一节（解析式的确定） 原版 原版 新版
20.2 二次函数……的图象 整合原例3
20.2 二次函数……的图象 例1，例2，例3 20.3 二次函数解析式的确定 例1，例2源自数学教研室教学建议
比较、概括、归纳
引导思考，分析变化
讨论交流，明晰共性 归纳抽象，形成定义
随堂练习，巩固概念 反例辨析，强化定义
数学教研室
教学建议
概念教学的方式
概念的获得有两种基本方式
概念形成：
同类事物的关键属性由学生从同 类事物的大量例证中独立发现
用定义的方式直接揭示概念，学 生利用已有认知结构中的有关知 识理解新概念
2.在知道自变量和因变量的对应关系特点的基础上， 能画出二次函数和反比例函数图象；初步认识抛物线 的顶点坐标和对称轴的意义. 3.会运用配方的方法将二次函数的表达式由 y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，能由此得 出抛物线的顶点坐标和对称轴的表达式，会描点作出 函数图象的示意图. 数学教研室
数学教研室
编写特点
(3)教材注重信息技术与数学课程的整合
教材注重了现代信息技术这一有效的认知工具，倡导 用信息技术改进教与学的方式， 在学习函数的图象与性质 的过程中， 提倡利用计算机技术通过观察、实验、探究、 猜想、概括、交流等多种方式认识问题、解决问题.为学生 数学素养的全面提升提供有力支持.
提升:新增3(原P54例3）
拓展:新增3
数学教研室
课时安排
本章教学约需26课时，具体分配如下（仅供参考）： 20.1二次函数2课时 20.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象10课时 20.3二次函数的性质3课时 20.4二次函数的一些应用4课时 20.5反比例函数1课时 20.6反比例函数的图象、性质和应用3课时 小结与复习3课时
意义 判定
画图象
配方 转化
教学目标
关键词 4.会根据二次函数的表达式求出图象和坐标轴交点的坐 图像 标；能根据反比例函数的表达式正确了解它的图象分布 特征 规律以及图象与坐标轴的位置关系. 5.认识抛物线的顶点坐标的意义，知道二次函数的最大 值和最小值的意义，会判定二次函数是否存在最大值或 最值 最小值，并能求出二次函数的最大值和最小值. 6.会运用待定系数法，根据不同的条件确定二次函数或 待定系 数法 反比例函数的表达式. 7.继续提高数学知识的应用意识，会把相关的实际问题 归结为二次函数或反比例函数问题，并会运用二次函数 或反比例函数的性质加以解决，以及会把某些实际生活 数学教研室 中的最大、最小问题运用二次函数的知识加以解决 . 应用 教学目标
数学教研室 逻辑思维能力 .
xa
教学建议
概念理解有三种不同水平：
例1改为例4 只留第一问（两点求表达式） 删去第二问（顶点及一点求表达式/理 由：解法为公式法） 例2全删掉 第一问：对称轴及两点坐标求表达式 第二问：求抛物线与x轴交点坐标及与 y轴交点坐标，求三点围成三角形面积
改原20.3例1为例4，删原20.3例2
加思考栏目
原练习2改习题，新增练习2（灵 活选用方法）数学教研室 ,3（三点一般式） 课标加了三元一次方程组解法
数学教研室
编写特点
(1)教材注重贴近学生现实
首先二次函数概念的引入,以及二次函数的应用,联系学 生的生活现实, 让学生感受其实际意义，起到了激发学生的 学习兴趣,并在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的 理解和认识的作用; 其次二次函数是在学生学习了一次函数之后学习的,教材 的先画函数图象再数形结合研究函数的方法,贴近学生学习 的数学现实,教材的编排潜移默化的教给学生学习研究函数 的方法,对其高中的后续学习也是非常有益的; 此外由于九年级学生已经学习了物理,教材在反比例的学 习素材中,适当的联系物理中的一些知识,体现了数学学科的 基础性特征,也符合学生的其它学科学习现实,有利于学生进 一步加深对数学的理解与应用,促进学生对数学是其它科学 的语言和工具的认识与理解.
在解决实际问题时 广泛应用的数学工具
数学教研室
地位作用
通过对本章二次函数的图象和反比例函数性质的学习，进 一步丰富了研究函数的内容和方法. 所以，搞好二次函数和 反比例函数的图象和性质的教学，对将来进入高中后对初 等函数全面深入的学习有重要的奠基意义.
二次函数 的图象 反比例函数 的性质
进一步丰富研究函数 的内容和方法
义务教育教科书 · 数学 （2013年审定通过） 九年级 第十九章
二次函数和反比例函数
北京教育学院石景山分院 吴京涛
1
教学目标及重点难点
2 知识内容及其地位作用
要 点
3
编写特点与主要变化
4
教学策略与教学建议
教学目标
教学目标 关键词
1.在对函数表达式的结构的共同特征进行分析、归纳 的基础上，初步认识二次函数和反比例函数的意义， 并会根据函数表达式的结构特征判定一个函数是否是 二次函数或反比例函数.
数学教研室
概念同化：
教学建议
建议二：二次函数与反比例函数采用两种不同方式进行学习 §19.1 二次函 数 §19.5 反比函数
概念形成：同类事物的 关键属性由学生从同类 事物的大量例证中独立 发现
优势：概念形成的教学 方式比较耗费时间，但 有利于培养学生观察、 发现的能力；
利用已 掌握的 概念 概念同化：用定义的方 (正比 式直接揭示概念，学生 例函数) 利用已有认知结构中的 去对比 有关知识理解新概念 并理解 新概念 的本质 优势：概念同化的教学 以及与 形式可以节约教学时间， 旧概念 有利于培养学生抽象及 的区别.
重点难点
重点关键 重点是二次函数和反 比例函数的概念、图 象和性质，以及它们 的应用. 能画出函数的图象， 熟悉表达式的参数和 图象形状、位置特征 的关系是教学的关键. 难点 通过初步认识函数表达式y=a(x-h)2+k中 的参数a、h、k对图象特征的影响，认识 并能用配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的对称轴和顶点坐标的方法. 用数学的眼光观察、分析要解决的问题， 会把某些非数学问题归结为数学问题， 会把某些相关的数学问题归结为二次函 数问题，提高用二次函数的知识解决问 题的能力.
数学教研室
教学建议
本章“二次函数、反比 例函数”的学习与一次 函数的学习一样，都是 从以下几个方面展开的：
（1）通过具体实例认识 一种函数； （2）探索这种函数的图 象和性质，并利用图象、 性质解决问题； （3）探索这种函数与相 应方程、不等式的关系 （4）利用这种函数解决 实际问题. 对二次函数和反比例函 数的学习是学生再一次 认识函数的过程 ◆定义----通过比较、 概括、归纳得出来 ◆图象----通过理性 思考，自己画出来 ◆性质----通过思考、 分析自己探究出来 ◆应用----通过理解、 联系实际，学会应用 , 数学教研室 x培养应用意识 a
概念教学 （§19.1 二次函数 §19.5 反比例函数 ） 建议一：与一次函数的学习一样，学生 根据实际问题建立表达式，再对表达 式的结构特征进行归纳认识函数. 引导学生侧重从表达式的特征思考， 透过“引用不同字母”的表层现象， 看到表达式的“结构一致”的本质， 敞开思想，广泛议论，实现对二次函 数（反比例函数）的本质的认识. 让学生在列表达式中，从对比的角度 全面了解判定二次函数（反比例函数） 的方法，进一步了解不同函数的差异， 从而对函数本质有更深入的理解. 正确认识二次函数表达式中a、b、c （反比例函数表达式中k）的意义.
数学教研室
教材变化
P1
第二十章
内容变化--整合单元（三变二） 原版 原版 新版
P1
二次函数和反比例函数
一 二次函数和它的图象 20.1 二次函数 20.2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象 20.3 二次函数解析式的确定 ● 阅读材料 抛物线和速降线 习题20-1 二 二次函数的性质和应用 20.4 二次函数的性质 20.5 二次函数的一些应用 ● 课题学习 一元二次不等式解法的探究﹡ 习题20-2 三 反比例函数 20.6 反比例函数 20.7 反比例函数的图象、性质和应用 习题20-3 ●小结 ●复习题
教学建议
比较、概括、归纳
（1）通过联系生活实际，培养学生进一步感受变量、 常量和它们之间的对应关系，进一步提高列函数表 达式的能力，并会对表达式进行观察归纳，认识二 次函数和反比例函数的存在，使得对函数的理解进 一步深入，使学习函数的方法和应用函数知识的技 能得到进一步的发展.