第2课椭圆及其标准方程(2)
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的定义让我们可以从几何的角度来理解它，但更重要的是要掌握椭圆的数学性质和标准方程。
接下来，我们将详细介绍椭圆的数学性质和标准方程。
首先，我们来看椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
这个方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的位置、形状和大小。
其次，椭圆的离心率是一个重要的概念。
离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
另外，椭圆还有一个重要的性质是它的对称轴。
椭圆有两条对称轴，分别是x 轴和y轴，它们通过椭圆的中心，并且与椭圆的长轴和短轴垂直。
对称轴对于研究椭圆的性质和方程都有重要的作用。
除此之外，椭圆还与焦点、直径、引线等概念有着密切的联系，这些概念都是理解和研究椭圆的重要工具。
总之，椭圆是数学中重要的曲线之一，它有着独特的数学性质和几何特征。
通过掌握椭圆的标准方程和数学性质，我们可以更深入地理解和研究椭圆，为数学和科学的发展做出贡献。
希望本文对你对椭圆及其标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为 或 ．②在不能确定焦点位置的情况下也可设 ．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为 ．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。
2椭圆及其标准方程
2椭圆及其标准方程椭圆是平面几何中的一种特殊曲线，由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L（称为准线）上的所有点P的位置关系定义。
对于任意点P，它到焦点F和准线L的距离之和等于常数2a，即PF+PL=2a。
首先，我们来定义椭圆的标准方程。
一个椭圆的标准方程如下：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1其中，(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的半径（轴长）。
通过标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质和特征。
1.中心坐标：椭圆的中心（h,k）是标准方程的两个平方项的系数的相反数，即(h,k)=(0,0)或(h,k)=(h,k)。
2.长轴和短轴：对于椭圆的标准方程，如果a>b，那么轴长a是椭圆的长轴，轴长b是椭圆的短轴。
反之，如果a<b，则轴长a是椭圆的短轴，轴长b是椭圆的长轴。
3.焦点坐标：标准方程中的a和b决定了椭圆的焦点坐标。
假设椭圆的中心是（h,k），那么焦点坐标可以通过以下公式计算：F = (h ± ae, k)其中e是椭圆的离心率，e=c/a，c是焦距，c^2=a^2-b^24.坐标轴与方位角：椭圆的标准方程与X轴和Y轴平行。
通过坐标轴与椭圆的交点，我们可以确定椭圆的方位角α。
如果a是椭圆的长轴，则α是X轴与长轴之间的夹角。
如果a是椭圆的短轴，则α是Y轴与短轴之间的夹角。
5.离心率：椭圆的离心率e=c/a决定了椭圆的形状。
当e=0时，椭圆退化为一个圆。
当0<e<1时，椭圆是一个实心的闭合曲线。
当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。
当e>1时，椭圆是一个开放曲线，具有两个分离的曲线段。
6.曲率：椭圆上的曲率是指在其中一点的切线的弯曲程度。
在椭圆的两个焦点上，曲率最大；在椭圆的两个准线上，曲率最小。
7.相交角：两个椭圆可以相交，相交的部分被称为交点。
交点的个数和位置取决于两个椭圆的大小和位置相对于彼此。
总结起来，椭圆是一个具有特定形状和性质的图形。
椭圆及其标准方程二
第 8页
高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
椭圆的弦长 AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0)． (1)弦长 l＝|x 1－x2| 1＋k2＝|y 1－y2| b2x0 (2)kAB＝－ 2 . a y0 1 1＋ 2 . k
b2x0 (3)直线 AB 的方程：y－y0＝－ 2 (x－x0)． a y0 a2y0 (4)直线 AB 的垂直平分线方程：y－y0＝ 2 (x－x0)． b x0
基础知识
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
x2 y2 椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程为 a b x＝acosθ (θ是参数)． y＝bsinθ
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
x2 y2 点 P(x0，y0)和椭圆a2 ＋b2＝1(a>b>0)的关系： x02 y02 (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔ a2 ＋ b2 <1． x02 y02 (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔ 2 ＋ 2 ＝1． a b x02 y02 (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔ a2 ＋ b2 >1．
x2 y2 35)＝1 404>0 ，∴直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 相交． 9 4 方法二：∵直线方程 y＝2x－ 1 过点(1，1)，而 (1，1)在椭圆内部，故选 A.
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
解析 方法一：∵直线方程 y＝2x－1 过点 (1，1)，而(1，1)在椭 圆内部，故选 A. y＝2x－1， 方法二： 由 x2＋y2＝1 得 10y2＋2y－35＝0， Δ＝22－4×10×(－ 9 4 x2 y2 35)＝1 404>0，∴直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 相交． 9 4
说课：椭圆及其标准方程 (2) 公开课一等奖课件PPT
二、过程意识
3、练习巩固，感悟新知----知识的运用
（1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程（课本P40）
①a=4，b=1，焦点在x轴上
②a=4，c= 15 ，焦点在y轴上
如果该椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么P到
另一个焦点F2距离是---------------
（2）已知椭圆两个焦点的坐标分别为 (2,0),(2,0) ，并
图1
二、过程意识
现在请同学们将细绳的两端拉开一段距离，分别固 定在圆板的两点F1、F2处，移动笔尖一周，看看这时笔 尖画出的轨迹是什么图形？
这时候动点P满足的几何条件又是什么？学生不难说 出动点到两定点距离之和等于定长（常数）。
这时根据学生回答的情况结合
教具的演示让学生直观感知，假如 绳子的的长度（常数）小于或等于
36 16
36 16
D. x2 y2 1
64 4
二、过程意识
（4）如图：画出所给的椭圆的焦点的位 置，并说明理由。（补充练习）
y
x o
二、过程意识
说明：这个环节结合教学目标对教材例题、习 题进行了重组和加工，以学生的练习、感悟为 主，不预设例题，那个题目需要分析、讲解由 课堂实际而定，另外练习尽可能体现题形多样 性和层次性，以满足不同层次的学生的需要。 分析解答中注意发现学生思维的闪光点，注意 不同思维、方法的碰撞。 设计意图：不同于以往，这个环节通过放手让 学生自己练习、感悟，让学生在“游泳中学会 游泳”，以增强对学生能力培养的针对性和实 效性。
三、探究意识
y p
o
课外探究(2)
设计意图：通过创造性的使用 教材,一方面使针对教材内容所 开展的探究性活动成为一种真 x 实的可能；另一方面通过这样 的设计可逐渐培养学生自主学 习、自我探索的良好习惯，并 最终从根本上转变学生的学习 方式，同时为对学生数学学习 的过程性评价找到一种比较好 的形式和一个很好的落脚点。
椭圆及其标准方程(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
围是 (1,2.)
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
答案：(1)
(3)
x2 y2 1 6
x2
y2
1
16 12
y2 x2
(2)
1
25 16
(4) x2 + y2 =1 49
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
例3 ：将圆 x 2 y 2= 4上的点的横坐标保持不变，
纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，
则其焦距为（A） 8 m2
A.2 8 m2
B.2 2 2 m
C.2 m2 8
D. 2 m 2 2
4. a 6, c 1 ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程
是
y2 x2 1
__3_6___35____.
例24 已知圆A：(x＋3)＋y＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程．
并且CF1=2,则CF2=_8__.
变题： 若椭圆的方程为16 x2 9y2 144 ,试口答完成（1）.
x2 y2 1 9 16
探究: 若方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆， k 2 3k
求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
高二数学椭圆及其标准方程2
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和 （2a）等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）
思 考
当2a=2c或2a<2c时情况将有什么变化?
M直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)，F2(c,0). 设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定 义得：
练习：
(1)、如果方程
x2
2
y2
1
1 表示
的曲线为椭圆，则λ的取值范围是 _________；
若表示焦点在x轴上的椭圆，则 ____________。
1 (2)AB是过椭圆 x2
y2
9 25
的左
焦点F1的弦, 则△ABF2的周长是多少?
1 (3)椭圆
x2 25
y2 16
的焦点是
F1, F2，P在椭圆上,若PF1的中点在Y轴 上,则|PF1|:|PF2|=______?
1、b2+c2=a2 2、焦点坐标：F1(0，-c)，F2(0，c)
例1 写出适合下列条件的椭圆标准方程：
(1)两个焦点的坐标为(-4,0)、(4,0)，椭圆 上一点P到两焦点的距离和为10；
(2)两焦点坐标为(0，-2)，(0,2)，并且椭 圆过点( 3 , 5 )
22
(3) 2b=6，两个焦点间的距离为8。
求轨迹（曲线）方程的一般步骤 （1）建立适当的坐标系，并设轨迹上任一点M （x，y）
（2）写出适合条件P的点的集合P{M|p(M)}
（3）用坐标表示条件p(x),列出方程f(x,y)=0 （4）化简f(x,y)=0为最简形式
椭圆及其标准方程
25 x|， 解：设 M 到直线 l 的距离为 d ，则 d | 4 | MF | 4 T3 | MF | ( x 4) 2 y 2 对比P50 且 d 5 2 2 2 2 x y ( x 4) y 4 化简得 1 得 25 9 25 5 | x| 4
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程得： 1 25 16
又∵ A、B、 C 三点不共线，∴ y 0 .
x y 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
2 214ຫໍສະໝຸດ 作业P49 习题 A组 T6 T7
B组 T1 T2 T3
15
7
4．求焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 的椭圆的标准方程。
解法二：设椭圆的方程为 mx2 ny 2 1,(m 0, n 0) 由点 A( 3, 2) 和 B(2 3,1) 代入得 1 m 3m 4n 1 15 ，解得 ， 12m n 1 n 1 5 x2 y 2 1 故所求的椭圆方程 15 5
13
练习：3.已知 B 、C 是两个定点， BC 6 ，且 △ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图 ,以直线 BC为 x 轴 ,线段 BC 的中点为原点 ,建立 平面直角坐标系 ,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
8
2 2 x + y = 4 上的点的横坐标保持不变， 例1 将圆
纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程， 并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为M(x,y),圆上的 对应点的坐标P(x1,y1), y
2021年高中数学 2.2 椭圆及其标准方程(二)同步练习 理(普通班)新人教A版选修2-1
2021年高中数学 2.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( ) A ．相等的短轴长 B ．相等的焦距 C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )A.22 B.32 C.53 D.635．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 26＝1B.x 26＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率二、填空题7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．8．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．2.2.2 一、选择题 1．[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：2x2＋4y2＝1，从而得C 2：2x2＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 2．[答案] D[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2∴e ＝a c ＝a2c2＝4b23b2＝23.3．[答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝2＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2＝8，故答案为B. 4．[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝c ，∴e ＝a c ＝22.5．[答案] C[解析] ∵长轴长2a ＝12，∴a ＝6，又e ＝31∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，∵焦点不定，∴方程为36x2＋32y2＝1或32x2＋36y2＝1.6．[答案] D[解析] 椭圆a2x2＋b2y2＝1和a2x2＋b2y2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆a2x2＋b2y2＝1的离心率e 1＝a a2－b2，椭圆a2k x2＋b2k y2＝1(k >0)的离心率e 2＝a a2－b2＝a a2－b2.二、填空题7． [答案] 36x2＋9y2＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为a2x2＋b2y2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则3，∴3a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，∴椭圆G 的方程为36x2＋9y2＝1.8． [答案] a 2b2[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由＝1y2，得y 2＝a2b4，∴|y |＝a b2，故弦长为a 2b2. 三、解答题9． [解析] 椭圆方程可化为m x2＋m ＋3m＝1， ∵m －m ＋3m＝m ＋3m ＋2>0，∴m >m ＋3m.即a 2＝m ，b 2＝m ＋3m ，c ＝＝m ＋3m ＋2.由e ＝23得，m ＋3m ＋2＝23，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋41＝1，∴a ＝1，b ＝21，c ＝23.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－23，0)，F 2(23，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－21)，B 2(0，21)．10．[解析] 由e ＝a c ＝23，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知21×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组ab ＝2，a ＝2b ，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为4x2＋y 2＝1.21914 559A 喚 21021 521D 初21299 5333 匳26741 6875 桵35225 8999 覙39074 98A2 颢H B38628 96E4 雤36395 8E2B踫31653 7BA5 箥22276 5704 圄。
高二 10 椭圆的定义及标准方程(2)
“杂点” 可不要 忘了哟
椭圆及其标准方程应用
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定义的应用1
已知圆B : (x 1)2 y2 16及点A(1, 0), C为圆B上任一点，求线段AC的垂直 平分线与线段BC的交点P的轨迹方程.
【思路分析】分析条件发现 PA PB 4 2
定义的应用---三角形问题
已知椭圆 x2 9
y2 4
1的两个焦点F1、F2 ,
点P是椭圆上一点，当F1PF2 600 ,
则三角形F1PF2的面积是
y P
. 答案：4 3 3
【思路分析】
根据题意画出图形，观察图形，并将已知 信息在图中标出，转化为解三角形问题， 利用三角形中相关的知识进行求解.
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
椭圆及其标准方程应用
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1、已知F1、F2是定点，F1F2 =8，动点M 满足 MF1 MF2 8,则点M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
2、如下图，F1、F2分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2
设顶点A的坐标(x, y)
Q AB AC BC 16, BC 6
AB AC 10 6
由椭圆的定义可知
动点A的轨迹是以B, C为焦点的椭圆. 则 方 程 为 x2 y2 1
25 16 又Q A, B,C三点不共线， y 0.
所求点A的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0) 25 16
方 法
1、应对焦点的位置进行讨论：
一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b、c
的值.
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。
它是圆锥曲线之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程。
一、椭圆椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭圆形状。
在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为长轴的椭圆上。
椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其为“斜圆”。
二、标准方程椭圆的标准方程表示为：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。
这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。
如果a>b，那么椭圆的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。
三、椭圆的性质1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。
3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。
4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。
4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。
当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。
五、应用椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。
比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。
结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应用。
了解椭圆的标准方程和性质，对于数学和其他各个领域的学习和应用都有很大帮助。
椭圆及其标准方程(二)
2.2.1椭圆及其标准方程(二)学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点一椭圆标准方程的推导思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c F1(－c,0)，F2(c,0)方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.知识点二椭圆的焦点位置确定思考1已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得c ＝4,2a ＝10， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝9.∴所求的椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知： 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求的椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝y 02.因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个椭圆．反思与感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解 设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )， 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析 因焦点在x 轴上，故m >1，故选A.2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 答案 A解析 由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.由椭圆的定义可知，点A 的轨迹是椭圆的一部分，且2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1.当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A ，B ，C 三点不能构成三角形．因此，顶点A 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．3．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4， ∵|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________． 答案 4 3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a ，即4 3.5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4， ∴2a ＝4,2c ＝2， ∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)不同点图形焦点坐标F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹a、b、c的关系a2＝b2＋c2(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x2a2＋y2b2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.一、选择题1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析方程mx2＋ny2＝1，即x21m＋y21n＝1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧1n>0，1m>0，1n>1m，即m>n>0.故选C.2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是()A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对答案 B解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝4＝|F 1F 2|，∴M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段，故选B.3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 答案 C解析 不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)， ∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14. ∴|PF 1|＝12.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 答案 B解析 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆． 5．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 A解析 如图，依题意： |PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)． 又∵|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 答案 C解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．7.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 答案 B解析 设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12， 从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16， 所以椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.二、填空题8．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m＝________. 答案 25解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴a ＝5，∴a 2＝25，即m ＝25. 9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 6 2解析 将P ，Q 两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径，设Q (x ，y )，则圆心(0,6)到椭圆上点的距离d ＝x 2＋(y －6)2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝⎛⎭⎫y ＋232＋50≤52，所以P ，Q 两点间的最大距离为6 2.10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确． ∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12F PF S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确． 三、解答题11．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时， 则有5－2m >m ＋1>0，解得－1<m <43；(2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时， 则有m ＋1>5－2m >0，解得43<m <52.综上，m 的取值范围为(－1，43)∪(43，52)．12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．解 设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪|MF |d＝12， 由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12.将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48， 即点M 的轨迹方程为：x 216＋y 212＝1.13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程． 解 由题意知点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2. ∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.2.2.1椭圆及其标准方程(二)(学生版)学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点一椭圆标准方程的推导思考观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．梳理(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2cF1(－c,0)，F2(c,0)方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 焦点在y轴上F1(0，－c)，F2(0，c)方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.知识点二椭圆的焦点位置确定思考1已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．思考2 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？答案 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距． a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x 2，y 2的系数大小决定的． (2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论．类型一 椭圆标准方程的确定例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹．反思与感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．1．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)2．设B (－4,0)，C (4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0)3．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为________．5．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为________________．(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)不同点图形焦点坐标F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹a、b、c的关系a2＝b2＋c2(2)所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x2a2＋y2b2＝1与y2a2＋x2b2＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式xa＋yb＝1类比，如x2a2＋y2b2＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.一、选择题1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是()A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对3．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.32B. 3C.72D ．44．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线5．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个7.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1二、填空题8．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m＝________.9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题11．已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆，求实数m 的取值范围．12．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．13.如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求点M的轨迹方程．。
椭圆及其标准方程2
椭圆及其标准方程教学目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程；（2）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力；（3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法教学重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
教学难点:椭圆标准方程的推导以及椭圆方程的应用教材分析：本节课是圆锥曲线的第一课时。
它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。
教学过程一、新课引入2016年9月15日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的天宫二号升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。
这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。
“天宫二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。
在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。
由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。
今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。
那么什么是椭圆呢？二、新课讲解（一）认识椭圆，问题引出:1、对椭圆的感性认识，通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.（天体运行轨道；平面截圆锥等图片）2、对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。
如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？（二）动手实验，亲身体验指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.请三名同学上台画在黑板上.先在画板上点两点F 1、F 2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F 1、F 2两点处。
高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修
椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？ ［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）一、教学目标 （一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程. （二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程 （三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页. （2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： . 2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（ ）A.2213635x y +=B.2213635y x +=C.221365x y += D.以上都不对 【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量. 【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）A.44m -≤≤B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m << 【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<. 【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题. 【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.221259x y +=B.221(0)259y x y +=≠C.221(0)169x y y +=≠D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠. 【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A.10B.20C.D. 【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==. 【思路点拨】利用椭圆定义求解即可. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）椭圆的定义； （2）椭圆的标准方程. 2.新知讲解探究 如何求椭圆标准方程 ●活动① 双基口答练习①方程194522=+y x 表示到焦点1F （-6,0） 和2F __（6,0）_的距离和为常数____的椭圆；②求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）125,(3,0),(3,0)a F F =-,22+12516x y = （2）5,3a c ==2222+1+125161625x y x y ==，③如果方程2214x y m +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是(0,4). ●活动② 归纳提炼方法例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是12(2,0),(2,0)F F -，并且经过点53(,)22P -，求它的标准方程. 【知识点】椭圆的定义和标准方程. 【解题过程】 法一：定义法：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x由椭圆的定义知，,102232252322522222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a所以10=a .又因为2c =，所以.6410222=-=-=c a b因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x 法二：待定系数法：由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x 由已知，2c =，所以.422=-b a ①又由已知，得123252222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②联立①②解方程组，得6,1022==b a .因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x【思路点拨】先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解. 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.【答案】.161022=+y x同类训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦距为8，经过点(0,P ；（2）与椭圆22194x y +=有相同焦点，且过点(3,2)M -.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】（1）∵焦距是8，即28,4c c =∴=①若焦点在x轴上，则b =，222241640,a b c ∴=+=+=∴椭圆方程为2214024x y +=； ②若焦点在y轴上，则a =，22224168,b a c ∴=-=-=∴椭圆方程为221248y x +=.（2）由题意设所求方程为222215x y a a +=-，∵过点(3,2)M -∴229415a a +=-，解得215a =或23a =（舍） ∴椭圆方程为2211510x y +=.【思路点拨】牢记椭圆的标准方程【答案】（1）2214024x y +=；（2）2211510x y +=.例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，求线段'PP 的中点M 的轨迹. 【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x .即2214x y +=. 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x【思路点拨】这种利用未知点表示一个或几个与之相关的已知点，从而求解未知点轨迹方程的方法，即为相关点法，是解析几何中常用的求轨迹的方法.【答案】1422=+y x ●活动③ 强化提升 灵活应用例3. 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点,A B ，求该椭圆方程.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】由题意知24=BC ，设椭圆的另一个焦点为D . 以直线DC 为x 轴，线段DC 的中点为原点建立直角坐标系。
椭圆及其标准方程(第2课时)教案
2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案一、教学目标： 知识与技能：①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程;②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。
过程与方法：①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。
②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观：①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点与难点重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。
难点：掌握求椭圆方程的基本方法。
三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境：如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.（复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案）回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。
由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10的椭圆。
其标准方程是1162522=+x y 回顾旧知：1．椭圆的定义：我们把叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的,两个焦点之间的距离叫做椭圆的，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为。
2．椭圆的标准方程焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为:. 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充：（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义，a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距.有关系式 222c b a += 成立。
椭圆及其标准方程(2)
§2.1.1椭圆及其标准方程（第2课时）班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1． 在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。
训练案在自习或自主时间完成。
2． 重点预习：例1（通过该例题巩固用待定系数法求方程的步骤）3． 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问出处”。
【学习目标】1.根据焦点所在的坐标轴求椭圆标准方程中参数的范围，用待定系数法求椭圆的标准方程。
2. 通过引导学生观察椭圆标准方程的结构特征、寻找解决问题的方法。
3.通过“已知焦点所在的坐标轴求椭圆标准方程中参数的范围”，发展学生的逆向思维。
【学习重点】待定系数法求椭圆的标准方程【学习难点】待定系数法求椭圆的标准方程。
【知识链接】1． 椭圆的定义？2.椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程焦点在y 轴上的椭圆的标准方程 ．其中222b a c =-3. 判断焦点所在坐标轴的方法：【预习探究案】探究一：已知焦点所在的坐标轴求椭圆标准方程中参数的范围例1：方程110422=-+-ky k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的范围。
变式1：方程110422=-+-ky k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的范围。
★变式2：方程110422=-+-ky k x 表示椭圆，求实数k 的范围。
探究二：待定系数法求椭圆的标准方程例2: 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．（两种方法求方程）变式3：求焦点在x 轴上，焦距是4，并且过点)62,3(-P 的椭圆的标准方程。
变式4：求焦点在y 轴上，522=+b a ，并且过点)0,2(-P 的椭圆的标准方程。
小结：待定系数法求方程的步骤：（1）定轴，即确定焦点的位置（2）定型，即确定方程的形式（3）定量，即由已知条件求出方程中的参数。
★例3：已知椭圆过点)3,(36和点)1,(322求椭圆的标准方程。
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第2课 2.1.1椭圆及其标准方程（2）
类型四、与椭圆有关的轨迹问题
【课堂主体参与】
例1、（课本P34例2）在圆42
2=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 中点M 的轨迹是什么？为什么？
练习1、（课本P43 B 组第1）如图，x DP ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且2
3=DP DM
，当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 与上述例题相比，你有什么发现？
例2、（课本P35例3）设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-. 直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-
，求点M 的轨迹方程.
练习2、已知ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为()()0,5,0,5-，且BC AC ,所在直线斜率之积等于)0(<m m ，试探究顶点A 的轨迹.
练习3、课本P36练习4
例3、（课本P42第1题）如果点),(y x M 在运动过程中，总满足关系式
10)3()3(2222=-++++y x y x ，点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.
练习3、（课本P42第7题）
如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点. 线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？
【课堂检测反馈】 1、已知两定点)0,2(),0,2(21F F -，动点M 到两定点的距离之和为M
2、已知 ∆ABC 的周长为36，求∆ABC 的顶点C 的轨迹方程。
【拓展深化】
1、求过点)0,2(A 且与圆03242
2=-++y x x 内切的圆的圆心C 的轨迹方程.
2、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆81)3(:222=+-y x O 内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程. A P O
Q l。