高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数学案北师大版4教案

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数学必修四北师大版《两角和与差的三角函数》教学设计-最新教学文档

高一《两角和与差的三角函数》教学设计【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章两角和与差的正弦、余弦函数，本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。

本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。

【学情分析】学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。

本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。

【课程资源】高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪；【教学目标】1、知识与技能：掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，回顾已学过的诱导公式以及其应用，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础。

2、过程与方法：让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力。

3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

【教学重点和难点】教学重点：两角和与差的余弦公式以及正弦公式的推导及运用教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课“两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。

又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。

高中数学第3章三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数(教师用书)教案北师大版必修4-北

2.3 两角和与差的正切函数学习目标核心素养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T (α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T (α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养．两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切 T (α＋β)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )且tan α·tan β≠1 两角差的正切T (α－β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )且tan α·tan β≠－1tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan 〔α＋β〕.(2)公式的特例 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ [提示]tan (α＋β)＝sin 〔α＋β〕cos 〔α＋β〕＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．1．假设tan α＝3，tan β＝43，那么tan (α－β)＝( )A ．13B ．12C ．－13 D ．－3A [因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]2．设α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，那么α－β等于( ) A ．π3B ．π4C ．3π4D ．－π4D [tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.∵－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝－π4.]3.1＋tan 15°1－tan 15°的值为( )A ． 2B ．－ 2C ． 3D ．－3C [原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.]4.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________．3[tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan (82°－22°)＝tan 60°＝ 3.]化简求值[例1] 求以下各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°. [解](1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan (60°＋15°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°， ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角〞的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．1．(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. [解](1)∵tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1 ＝2－3－12－3＋1＝1－33〔3－1〕＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.给值求值(或求角)[例2](1)tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2 2.求： ①tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4；②tan (α＋β). (2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0＜|α|＜π2，0＜|β|＜π2，求α＋β的值．[解](1)①tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan (α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tanπ4＝－2＋11－〔－2〕×1＝22－3.(2)由，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α＜0，tan β＜0，所以－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－23π.1．“给值求值〞即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向转化．解题过程中须多加注意角的X 围，必要时实行拆分角．2．某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中名称和X 围确定)；(2)根据角的X 围确定角，必要时可利用值缩小角的X 围．2．tan α＝13，tan β＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan (α－β)的值； (2)角α＋β的值．[解](1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.正切公式的综合应用 [探究问题]1．假设α＋β＝π，那么tan α与tan β存在怎样关系？ [提示]tan α＝tan (π－β)＝－tan β.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 与tan A tan B tan C 有何关系？ [提示]∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan (A ＋B )＝－tan C ， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C ，∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 3．在△ABC 中，A ，B ，C 三个角有什么关系？[提示]A ＋B ＋C ＝π或A 2＋B 2＝π2－C2.[例3] 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究]可先求出tan (B ＋C )和tan (A ＋B )的值．再由诱导公式分别求tan A 和tan C 的值，从而可得A ，B ，C ，即可判断三角形形状．[解]tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C ) ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，又0°<A <180°，∴A ＝120°，而tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B3tan A ＋3tan B ＝33.又0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．将例3中的条件变为“△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233〞，试求tan A ·tan B的值．[解] 因为A ＋B ＋C ＝180°，∠C ＝120°，所以tan (A ＋B )＝tan 60°＝ 3.又tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B，所以2331－tan A ·tan B ＝3，解得tan A ·tan B ＝13.1．等式中同时出现tan A ±tan B 与tan A ·tan B 时，一般是构造tan (A ±B )，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A ＋B ＋C ＝π这一隐含条件．1．公式T (α±β)的适用X 围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)tan αtan β，tan (α＋β)，tan α＋tan β三者知二，即可表示或求出第三个． ( )(2)tan ⎝⎛⎭⎫π2＋π3能用公式tan (α＋β)展开． ( )(3)存在α，β∈R ，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (4)公式T (α±β)对任意α，β都成立．( ) [答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．A ＋B ＝45°，那么(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定B [(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan (A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.]3．A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，那么A ＋B ＝________．π4[∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.]4．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值．[解]∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120° ＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1.。

高中数学第三章三角恒等变形 2.3 两角和与差的正切函数学案北师大版必修4

2.3 两角和与差的正切函数学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理两角和与差的正切公式知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan αtan β＝________________________.(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝________________________.类型一正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角． (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． ③根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.类型二正切公式的逆用例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.反思与感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．跟踪训练2 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.类型三正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βα±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( ) A.π3 B.2π3C.π6D.π41．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 2．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．－17B ．－7 C.17D ．73．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．不确定4．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.5．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．答案精析问题导学知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βα＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βα－β－1题型探究例1 (1)3 (2)π4跟踪训练1 －43例2 (1) 3 (2)－1 跟踪训练2 (1)－33 (2)33例3 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°·tan 37°＝ 3. 方法二∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37° ＝tan 23°＋tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°. 跟踪训练3 A 当堂训练1．A 2.D 3.B 4.π4 5.43。

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数教案北师大版必修4

⾼中数学第三章三⾓恒等变换3.3⼆倍⾓的三⾓函数教案北师⼤版必修41.3 ⼆倍⾓的三⾓函数整体设计教学分析“⼆倍⾓的三⾓函数”是在研究了两⾓和与差的三⾓函数的基础上，进⼀步研究具有“⼆倍⾓”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，⼜为以后求三⾓函数值、化简、证明提供了⾮常有⽤的理论⼯具.通过对⼆倍⾓的推导知道，⼆倍⾓的内涵是：揭⽰具有倍数关系的两个三⾓函数的运算规律.通过推导还让学⽣加深理解了⾼中数学由⼀般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学⽣运算和逻辑推理能⼒的重要内容，对培养学⽣的探索精神和创新能⼒、发现问题和解决问题的能⼒都有着⼗分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和⾓公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学⽣在探究中既感到⾃然、易于接受，还可清晰知道和⾓的三⾓函数与倍⾓公式的联系，同时也让学⽣学会怎样发现规律及体会由⼀般到特殊的化归思想.这⼀切教师要引导学⽣⾃⼰去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学⽣在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得⼀些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充⼀些⾼技巧、⾼难度的练习，更不要再补充⼀些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理. 三维⽬标1.通过让学⽣探索、发现并推导⼆倍⾓公式,了解它们之间、以及它们与和⾓公式之间的内在联系,并通过强化题⽬的训练,加深对⼆倍⾓公式的理解，培养运算能⼒及逻辑推理能⼒,从⽽提⾼解决问题的能⼒.2.通过⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式的运⽤，会进⾏简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这⼀基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作⽤.使学⽣进⼀步掌握联系变化的观点，⾃觉地利⽤联系变化的观点来分析问题，提⾼学⽣分析问题、解决问题的能⼒.3.通过本节学习，引导学⽣领悟寻找数学规律的⽅法，培养学⽣的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：⼆倍⾓公式推导及其应⽤.教学难点：如何灵活应⽤和、差、倍⾓公式进⾏三⾓式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(复习导⼊)请学⽣回忆上两节共同探讨的和⾓公式、差⾓公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学⽣默写这六个公式.教师引导学⽣：和⾓公式与差⾓公式是可以互相化归的.当两⾓相等时,两⾓之和便为此⾓的⼆倍,那么是否可把和⾓公式化归为⼆倍⾓公式呢?今天,我们进⼀步探讨⼀下⼆倍⾓的问题，请同学们思考⼀下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导⼊)出⽰问题，让学⽣计算，若sin α=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学⽣会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课新知探究提出问题①还记得和⾓的正弦、余弦、正切公式吗？(请学⽣默写出来，并由⼀名学⽣到⿊板默写) ②你写的这三个公式中⾓α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表⽰形式吗？④细⼼观察⼆倍⾓公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中⾓的含义吗？思考过公式成⽴的条件吗？⑥让学⽣填空：⽼师随机给出等号⼀边括号内的⾓，学⽣回答等号另⼀边括号内的⾓，稍后两⼈为⼀组，做填数游戏：sin()=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆⽤吗？想⼀想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α吗？活动：问题①,学⽣默写完后，教师打出课件，然后引导学⽣观察正弦、余弦的和⾓公式，提醒学⽣注意公式中的α,β，既然可以是任意⾓，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并⿎励学⽣⼤胆试⼀试.如果学⽣想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进⼊下⼀个问题，如果学⽣没想到这种特殊情况，教师适当点拨进⼊问题②，然后找⼀名学⽣到⿊板进⾏简化，其他学⽣在⾃⼰的坐位上简化.教师再与学⽣⼀起集体订正⿊板上的书写，最后学⽣都不难得出以下式⼦，⿎励学⽣尝试⼀下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学⽣去思考、去探究，并初步地感受⼆倍⾓的意义.同时开拓学⽣的思维空间，为学⽣将来遇到的3α或3β等⾓的探究附设类⽐联想的源泉. sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β?sin2α=2sin αcos α（S 2α）; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β?cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α);tan(α+β)=a aa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=?-+ββ(T 2α).这时教师适时地向学⽣指出，我们把这三个公式分别叫作⼆倍⾓的正弦，余弦，正切公式，并指导学⽣阅读教科书，确切明了⼆倍⾓的含义，以后的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”.教师适时提出问题③，点拨学⽣结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此⼆倍⾓的余弦公式⼜可表⽰为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍⾓公式（⽤多媒体演⽰）.倍⾓公式给出了α的三⾓函数与2α的三⾓函数之间的关系.问题④,教师指导学⽣，这组公式⽤途很⼴，并与学⽣⼀起观察公式的特征，⾸先公式左边⾓是右边⾓的2倍；左边是2α的三⾓函数的⼀次式，右边是α的三⾓函数的⼆次式，即左到右→升幂缩⾓，右到左→降幂扩⾓.⼆倍⾓的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应⽤，对公式中的含义学⽣可能还理解不到位，教师要引导学⽣观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这⾥的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”,遇到“三倍⾓”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过⼆倍⾓公式,可以⽤单⾓的三⾓函数表⽰⼆倍⾓的三⾓函数； (Ⅲ)⼆倍⾓公式是两⾓和的三⾓函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的⾓α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠2πk +4π和α≠k π+2π(k∈Z )时才成⽴，这⼀条件限制要引起学⽣的注意.但是当α=k π+2π,k∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能⽤此公式，但tan2α是存在的,故可改⽤诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学⽣明了⼆倍⾓的相对性，即⼆倍⾓公式不仅限于2α是α的⼆倍的形式,其他如4α是2α的⼆倍,2α是4α的⼆倍,3α是23α的⼆倍,3α是6α的⼆倍，2π-α是4π-2α的⼆倍等,所有这些都可以应⽤⼆倍⾓公式. 例如:sin 2α=2sin 4αcos 4α,cos 3α=cos 26α-sin 26α等等. 问题⑦,本组公式的灵活运⽤还在于它的逆⽤以及它的变形⽤，这点教师更要提醒学⽣引起⾜够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2(2sin 4αcos 4α)=2sin 2α,40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α(1-tan 2α)等等.问题⑧,⼀般情况下:sin2α≠2sin α,cos2α≠2cos α,tan2α≠2tan α.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=k π(k∈Z ). 若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去).若tan2α=2tan α,则αα2tan 1tan 2-2tan α,∴tan α=0.结合tan α≠±1,∴α=k π(k∈Z ).解答：①—⑧（略）. 应⽤⽰例思路1例1 已知tan α=21,求tan2α的值.解:tan2α=34tan 2tan 22=-αα. 例2 设α是第⼆象限⾓,已知cos α=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值.解:因为α是第⼆象限⾓,所以sin α＞0,tan α＜0. 由于cos α=-0.6,故sin α=α2cos 1-=0.8. 可得sin2α=2sin α2cos α=-0.96, cos2α=2cos 2α-1=23(-0.6)2-1=-0.28, tan2α=7242cos 2sin =αα.例3 在△ABC 中,已知AB=AC=2BC(如图1),求⾓A 的正弦值.图1解:作AD⊥BC 于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ. 因为BD=21BC=41AB, 所以sin θ=AB BD =41. 因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜2π,于是cos θ=415, 故sinA=sin2θ=815. 4.要把半径为R 的半圆形⽊料截成长⽅形(如图2),应怎样截取,才能使长⽅形⾯积最⼤?图2解:如图2,设圆⼼为O,长⽅形⾯积为S,∠AOB=α,则 AB=Rsin α,OB=Rcos α, S=(Rsin α)22(Rcos α) =2R 2sin α2cos α =R 2sin2α.当sin2α取最⼤值,即sin2α=1时,截⾯⾯积最⼤.不难推出α=4π时,长⽅形截⾯⾯积最⼤,最⼤截⾯⾯积等于R 2.例5 已知sin2α=135,4π＜α＜2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学⽣分析题⽬中⾓的关系，观察所给条件与结论的结构，注意⼆倍⾓公式的选⽤，领悟“倍⾓”是相对的这⼀换元思想.让学⽣体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的⼆倍⾓,因此可以考虑⽤倍⾓公式.本例是直接应⽤⼆倍⾓公式解题，⽬的是为了让学⽣初步熟悉⼆倍⾓的应⽤，理解⼆倍⾓的相对性，教师⼤胆放⼿，可让学⽣⾃⼰独⽴探究完成. 解:由4π＜α＜2π,得2π＜2α＜π.⼜∵sin2α=135,∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312.于是sin4α=sin[23(2α)]=2sin2αcos2α=231353(-1312)=-169120;cos4α=cos[23(2α)]=1-2sin 22α=1-23(135)2=169119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)3119169=-119120.点评：学⽣由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学⽣注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应⽤是⾼考的热点. 变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ . 点评：本题在两⾓和与差的学习中已经解决过，现⽤⼆倍⾓公式给出另外的解法，让学⽣体会它们之间的联系，体会数学变化的魅⼒. 2.(2007⾼考海南,宁夏卷,9)若22)4sin(2cos -=-παα,则cos α+sin α的值为( ) A.-27 B.-21 C.21D.27 答案:C3.(2007⾼考重庆卷,6)下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215°C.2sin 215°-1D.sin 215°+cos 215° 答案:B例6 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tan θ.活动：教师先让学⽣思考⼀会，⿎励学⽣充分发挥聪明才智，战胜它，并⼒争⼀题多解.教师可点拨学⽣想⼀想，到现在为⽌，所学的证明三⾓恒等式的⽅法⼤致有⼏种：从复杂⼀端化向简单⼀端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利⽤分析综合法解决，有时⼏种⽅法会同时使⽤等.对找不到思考⽅向的学⽣，教师点出：可否再添加⼀种，化倍⾓为单⾓？这可否成为证明三⾓恒等式的⼀种⽅法？再适时引导，前⾯学习同⾓三⾓函数的基本关系时曾⽤到“1”的代换，对“1”的妙⽤⼤家深有体会，这⾥可否在“1”上做做⽂章？待学⽣探究解决⽅法后，可找⼏个学⽣到⿊板书写解答过程，以便对照点评给学⽣以启发.点评时对能够善于运⽤所学的新知识解决问题的学⽣给予赞扬；对暂时找不到思路的学⽣给予点拨,⿎励.强调“1”的妙⽤很妙，妙在它在三⾓恒等式中⼀旦出现，在证明过程中就会起到⾄关重要的作⽤，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明:⽅法⼀:左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+ )cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tan θ=右边,所以,原式成⽴. ⽅法⼆:左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边.所以，原式成⽴. ⽅法三:左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+?++--?++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin ?+?+=-+++-+++=tan θ=右边. 所以，原式成⽴.点评：以上⼏种⽅法⼤致遵循以下规律：⾸先从复杂端化向简单端；第⼆，化倍⾓为单⾓，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙⽤，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常⽤的⼏种⽅法都⽤到了，不论⽤哪⼀种⽅法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是⼀道灵活应⽤⼆倍⾓公式的经典例题，有⼀定难度，但也是训练学⽣思维能⼒的⼀道好题.本题需要公式的逆⽤，逆⽤公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运⽤公式.教学中教师可让学⽣充分进⾏讨论探究，不要轻易告诉学⽣解法，可适时点拨学⽣需要做怎样的变化，⼜需怎样应⽤⼆倍⾓公式,并点拨学⽣结合诱导公式思考.学⽣经过探索发现，如果⽤诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊⾓,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆⽤⼆倍⾓公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===??.点评：⼆倍⾓公式是中学数学中的重要知识点之⼀，⼜是解答许多数学问题的重要模型和⼯具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细⼼体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后⼀个例题，结合三⾓形，具有⼀定的综合性,同时也是和与差公式的应⽤问题.教师可引导学⽣注意在三⾓形的背景下研究问题,会带来⼀些隐含的条件,如A+B+C=π,0＜A ＜π,0＜B ＜π,0＜C ＜π,就是其中的⼀个隐含条件.可先让学⽣讨论探究，教师适时点拨.学⽣探究解法时教师进⼀步启发学⽣思考由条件到结果的函数及⾓的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产⽣不同的解题思路,所以学⽣会产⽣不同的解法，不过它们都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤，本质上没有区别.不论学⽣的解答正确与否，教师都不要直接⼲预.在学⽣⾃⼰尝试解决问题后,教师可与学⽣⼀起⽐较各种不同的解法，并引导学⽣进⾏解题⽅法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值. 解：⽅法⼀:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A , tanA=724)43(1432tan 1tan 222=-?=-A A , ⼜tanB=2, 所以tan2B=342122tan 1tan 222-=-?=-B B . 于是tan(2A+2B)=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-?--=-+BA B A . ⽅法⼆:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A .⼜tanB=2, 所以tan(A+B)=2112 431243tan tan 1tan tan -=?-+=-+B A B A .于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---=+-+B A B A . 点评：以上两种⽅法都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤,本质上没有区别,其⽬的是为了⿎励学⽣⽤不同的思路去思考,以拓展学⽣的视野. 变式训练1.(2007⼴东东莞)设向量a =(cos α,21)的模为22,则cos2α等于…( )A.-41B.-21C.21D.23解析:由|a |=41cos2+α=22,得cos 2α+41=21,cos 2α=41,∴cos2α=2cos 2α-1=2341-1=-21. 答案:B 2.化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++.解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot2α.知能训练(2007四川卷,17)已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0＜β＜α＜2π, (1)求tan2α的值; (2)求β. 解:(1)由cos α=71,0＜α＜2π,得sin α=734)71(1cos 122=-=-α. ∴tan α=3471734cos sin =?=αα.于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-?=-αα (2)由0＜β＜α＜2π,得0＜α-β＜2π.⼜∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα. 由β=α-(β-α),得cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=7131413+7343211433=. ∴β=3π.点评:本题主要考查三⾓恒等变形的主要基本公式,三⾓函数值的符号,已知三⾓函数值求⾓以及计算能⼒. 作业课本习题3—2 A 组1—4. 课题⼩结1.先由学⽣回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前⾯学过的两⾓和公式有什么新的认识？对三⾓函数式⼦的变化有什么新的认识？怎样⽤⼆倍⾓公式进⾏简单三⾓函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握⼆倍⾓公式及其推导，明⽩从⼀般到特殊的思想，并要正确熟练地运⽤⼆倍⾓公式解题.在解题时要注意分析三⾓函数名称、⾓的关系，⼀个题⽬能给出多种解法，从中⽐较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想⽅法之⽬的.设计感想1.新课改的核⼼理念是：以学⽣发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应⽤，充分体现了“学⽣主体、主动探索、培养能⼒”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学⽣探究和⾓公式的特殊情形中得到了⼆倍⾓公式，在这个活动过程中，由⼀般化归为特殊的基本数学思想⽅法就深深地留在了学⽣记忆中.本节课的教学设计流程还是⽐较流畅的.2.纵观本教案的设计，学⽣发现⼆倍⾓后就是应⽤，⾄于如何训练⼆倍⾓公式正⽤，逆⽤，变形⽤倒成了次要的了.⽽学⽣从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，⼜发现了怎样逆⽤公式及活⽤公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终⽬的.3.教学⽭盾的主要⽅⾯是学⽣的学，学是中⼼，会学是⽬的，根据⾼中三⾓函数的推理特点，本节主要是教给学⽣“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应⽤”的探索创新式学习⽅法.这样做增加了学⽣温故知新的空间，增强了学⽣的参与意识，教给了学⽣发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学⽣真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学⽣会体会到数学的美，产⽣⼀种成功感，从⽽提⾼了学习数学的兴趣.第2课时导⼊新课思路1.我们知道变换是数学的重要⼯具，也是数学学习的主要对象之⼀，三⾓函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引⼊辅助⾓的变换.前⾯已经利⽤倍⾓公式进⾏了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利⽤⼆倍⾓公式的逆⽤推导出半⾓公式,并⽤它来解决⼀些三⾓函数式的化简,求值等.思路2.先让学⽣写出上节课学习的⼆倍⾓公式,接着出⽰课本例5让学⽣探究,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①α与2α有什么关系? ②如何建⽴cos α与sin22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式⼦有什么共同特点？④通过上⾯的三个问题，你能感觉到代数变换与三⾓变换有哪些不同吗?活动：教师引导学⽣联想关于余弦的⼆倍⾓公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α⽤2α代替,解出sin22α即可. 教师对学⽣的讨论进⾏提问，学⽣可以发现：α是2α的⼆倍⾓.在倍⾓公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α, 所以sin 22α=2cos 1α-①在倍⾓公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22α=αtanααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2+=??==;④tanαααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2-=??==.⑤这样我们就得到另外两个公式: tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半⾓三⾓函数的公式,称之为半⾓公式. 在这些公式中,根号前⾯的符号由2α所在象限相应的三⾓函数值的符号确定,如果2α所在象限⽆法确定,则应保留根号前⾯的正,负两个符号.教师引导学⽣观察上⾯的①②③④⑤式，可让学⽣总结出下列特点： (1)⽤单⾓的三⾓函数表⽰它们的⼀半即是半⾓的三⾓函数;(2)由左式的“⼆次式”转化为右式的“⼀次式”(即⽤此式可达到“降次”的⽬的).2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半⾓公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定. 教师引导学⽣通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三⾓变换,由于不同的三⾓函数式不仅会有结构形式⽅⾯的差异，⽽且还有所包含的⾓，以及这些⾓的三⾓函数种类⽅⾯的差异.因此，三⾓恒等变换常常先寻找式⼦所包含的各个⾓间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三⾓恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式⼦结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的⼆倍⾓. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）.应⽤⽰例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半⾓公式的应⽤，利⽤半⾓公式进⾏化简解题.教师提醒学⽣注意半⾓公式和倍⾓公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对⽴统⼀的关系.解:sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+4532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学⽣理解倍⾓公式与半⾓公式的内在联系.变式训练(2005北京东城)已知θ为第⼆象限⾓,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54解析:∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. ⼜θ为第⼆象限⾓,∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, ⽽2θ在第⼀,三象限,∴cos2θ=±53.答案:C例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜23π,求tan α. 解:因为π＜2α＜23π,故2π＜α＜43π,α是2α的⼀半,运⽤半⾓公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a , 所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=1,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学⽣利⽤⽴⽅差公式进⾏对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学⽣深挖本例的思想⽅法,由sinx2cosx 与sinx±cosx 之间的转化,提升学⽣的运算,化简能⼒及整体代换思想.本题也可直接应⽤上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此⽅法往往适⽤于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41, ∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运⽤和化简的⽅法. 变式训练(2007⾼考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是___________. 答案:-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证:ABA B 2424sin sin cos cos +=1.活动：此题可从多个⾓度进⾏探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式⼀致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式⼊⼿,⽽条件等式中含有A,B ⾓的正、余弦,可利⽤平⽅关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利⽤三⾓代换.∴cos 4A2sin 2B+sin 4A2cos 2B=sin 2B2cos 2B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A2cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴A B A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B+sin 2B=1. 证法⼆:令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的⾓度来观察问题,本例从⾓与函数的种类两⽅⾯观察,利⽤平⽅关系进⾏了合理消元. 变式训练在锐⾓△ABC 中,A,B,C 是它的三个内⾓,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S ＜1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++⼜A+B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tanA＞tan(90°-B)=cotB ＞0. ∴tanA2tanB＞1.∴S＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21=- . ⼜1 005°=23360°+285°是第四象限的⾓,所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=- ,cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+ ,tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-=.例2 证明x x cos sin 1+=tan(24x+π). 活动：教师引导学⽣思考，对于三⾓恒等式的证明，可从三个⾓度进⾏推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以⿎励学⽣试着多⾓度的化简推导.注意式⼦左边包含的⾓为x,三⾓函数的种类为正弦，余弦，右边是半⾓2x，三⾓函数的种类为正切.解：⽅法⼀：从右边⼊⼿，切化弦，得tan(24x +π)=2sin2cos 2sin2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的⾓之间的关系，想到分⼦分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. ⽅法⼆：从左边⼊⼿，分⼦分母运⽤⼆倍⾓公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sinx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三⾓函数的种类差异，想到弦化切，即分⼦分母同除以cos2x,得 )24tan(2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x x xx x +=-+=-+πππ点评：本题考查的是半⾓公式的灵活运⽤，以及恒等式的证明所要注意的步骤与⽅法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满⾜:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法⼀:3sin 2α+2sin 2β=1?3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0?3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,∴sin 2α=91∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α23sin 2α+cos α23sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3331=1.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法⼆:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α23sin 2α-sin α23sin αcos α=0. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23πsin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α＞0.∴tan(2π-2β)＞0. ⼜∵β∈(0,2π),∴-2π＜2π-2β＜2π.结合tan(-2β)＞0,得0＜2π-2β＜2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例3 求证:aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三⾓恒等式,⼀般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三⾓式的变换中经常使⽤的⽅法. 证明:证法⼀:左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成⽴. 证法⼆:右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+=ββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成⽴.点评：此题进⼀步训练学⽣三⾓恒等式的变形,灵活运⽤三⾓函数公式的能⼒以及逻辑推理能⼒.变式训练求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运⽤⽐例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.⽽上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成⽴,即原等式得证.知能训练1.若sin α=135,α在第⼆象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜27π,则tan 2θ=__________________.答案:1.A3.-3 课堂⼩结1.先让学⽣⾃⼰回顾本节学习的数学知识:和、差、倍⾓的正弦、余弦公式的应⽤,半⾓公式、代数式变换与三⾓变换的区别与联系.三⾓恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使⽤,换元法,⽅程思想,等价转化,三⾓恒等变形的基本⼿段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半⾓公式,积化和差,和差化积公式以及如何利⽤已有的公式进⾏简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三⾓式的结构进⾏分析，根据结构特点选择合适公式，进⾏公式变形.还要思考⼀题多解、⼀题多变，并体会其中的⼀些数学思想，如换元、⽅程思想，“1”的代换，逆⽤公式等.2.在近⼏年的⾼考中，对三⾓变换的考查仍以基本公式的应⽤为主，突出对求值的考查.特别是对平⽅关系及和⾓公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地⽅，同时要注意结合诱导公式的应⽤，应⽤诱导公式时符号问题也是常出错的地⽅.考试⼤纲对本部分的具体要求是：⽤向量的数量积推导出两⾓差的余弦公式，体会向量⽅法的作⽤.从两⾓差的余弦公式进⽽推导出两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式，⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运⽤上述公式进⾏简单的恒等变换.备课资料备⽤习题 1.已知cos α=135(23π＜α＜2π),则tan 2a 等于( ) A.32 B.23 C.-23 D.-322.已知α为钝⾓,β为锐⾓,且sin α=54,sin β=1312,则cos 2βα-等于( ) A.7 B.-7 C.-65657 D.65657 3.(2005江苏,10)若sin(6π-α)=31,则cos(32π+2α)等于( )A.-97 B.-31 C.31 D.974.(2006北京崇⽂)已知θ是第⼆象限⾓,sin θ=54,则tan(2θ-4π)的值为( ) A.7 B.-31 C.31 D.-34参考答案: 1.D 由3π＜α＜2π可知,⾓α是第四象限的⾓, ∴sin α=-1312)135(1cos122-=--=-α. ∴tan 3213121351sin cos 12-=--=-=ααα. 2.D 由已知,得cos α=-53,cos β=135. 于是cos(α-β)=cos α2cos β+sin α2sin β =-653313125413553=?+?. ∵α为钝⾓,β为锐⾓,∴2βα-为锐⾓.∴cos2βα-=6565721653321)cos(=+=+-βα.3.A cos(32π+2α)=cos ［π-2(6π+α)］=-cos ［2(6π+α)］=2sin 2(6π-α)-1=-97.4.C由已知sin θ=54,cos θ=-53,∴tan (2θ-4π)=tan 21(θ-2θ)=31sin 1cos )cos(1) 2sin(=+-=-+-θθπθπθ.。

高中数学北师大版必修4第3章2两角和与差的的正切函数w

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》2两角和与差的的正切函数导学案北师大版必修4【学习目标】1．能按照两角和与差的正弦、余弦公式得出两角和与差的正切公式，提升转化能力与分析问题的能力．2．能熟练应用公式解决简单的三角函数式的化简、求值问题. 【重点难点】重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．难点：公式的变形及“1”的灵活利用．【利用说明】认真阅读讲义P118～120，尝试利用两角和与差的正弦及余弦公式推导两角和与差的正切公式，并注意公式成立的条件，勾画出有疑惑的地方与同窗交流探讨，最后结合讲义基础知识和例题，完成导学案．【自主学习】1．知识链接（1）在同角三角函数大体关系中，tan _______,α=其中角α的范围是．（2）两角和与差的正弦、余弦公式（其中α，β为任意角）：①=+)cos(βα_________________； ②=-)cos(βα__________________； ③=+)sin(βα ； ④=-)sin(βα___________________；2．公式推导当cos()0αβαβαβ+++≠时，将S 与C 两边分别相除，就有sin cos cos sin ().()a βαβαβ++===tan (T αβ+) 在上式中,以-β替换β,就取得 (-)αβ=tan .(T αβ-) 其中,αβ应该知足条件：___________________________________________.3．公式变形：【合作探讨】1．已知.2,20,2tan ,31tan πβππαβα<<<<-== （1）求tan()αβ-；（2）求βα+的值．2．求下列各式的值：（1） 75tan 175tan 1+-；（2）︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .3．已知tan()2,tan()3,αβαβ+=--=-求tan 2,tan 2.αβ的值【课堂检测】1．求值：（1）17tan 43tan 117tan 43tan -+ ；（2）.50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++2．已知1tan()2,tan .42παβ+== （1）求tan α的值；（2）求sin()2sin cos .2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值【课后训练】。

北师大版高中数学必修四陕西省西安第三章两角和与差的三角函数教案

第三章三角恒等变形3.1两角和与差的三角函数（两课时）3.1.1两角差的余弦函数 3.1.2两角和的正、余弦函数一.教学目标：1.知识与技能（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.过程与方法通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点重点: 公式的应用.难点: 两角差的余弦公式的推导三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】思考:如何求cos （45-30）0的值.【探究新知】1．思考:如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示cos(α-β)？你认为会是cos(α-β)=cos α-cos β吗?[展示课件]在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3.1）. 学生思考：以上推导是否有不严谨之处？教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况，但α与β为任意角时上述过程还成立吗？当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cos θ=cos(α-β) 若θ∈[0，π ]，则∙−→−OA −→−OB = cos θ=cos(α-β)若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且∙−→−OA −→−OB =cos(2π-θ)=cos θ=cos(α-β).结论归纳: 对任意角α与β都有cos )(βα-=cos α·cos β+sin α·sin β这个公式称为：差角的余弦公式 βα-C注意：1.公式的结构特点2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β)[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.利用差角余弦公式求cos 015的值分析: cos 015= cos 0)3045(-= cos 0)4560(-= cos 0)120135(- 思考：你会求sin 075的值吗? 例2.已知cos 53-=α , ),2(ππα∈,求cos )4(απ-的值.【巩固深化，发展思维】1.cos 0175·cos 055+sin 0175·sin 055= .2.cos )21(0+θ·cos )24(0-θ+sin )21(0+θ·sin )24(0-θ= .3.已知sin α-sin β=-21，cos α-cos β=21，α∈(0, 2π),β∈(0, 2π),求cos(α-β)的值.[展示投影]思考：如何利用差角余弦公式导出下列式子：cos )(βα+= cos α·cos β- sin α·sin βsin )(βα+=sin α·cos β+ cos α·sin βsin )(βα-=cos α·cos β－cos α·sin β(可让学生自己讲解，教师只是适当点拨而已)[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例3.已知sin 54=α，),2(ππα∈，cos),23,(,135ππββ∈-=求cos )(βα+，sin )(βα-的值.思考题：已知α、β都是锐角, cos54=α，cos ,135)(-=+βα求cos β.[学习小结] ①.两角差的余弦公式：cos )(βα-=cos α·cos β+sin α·sin β βα-C②.两角和的余弦公式：cos )(βα+= cos α·cos β- sin α·sin β βα+C两角和的正弦公式： sin )(βα+=sin α·cos β+ cos α·sin β βα+S两角差的正弦公式： sin )(βα-=cos α·cos β－cos α·sin β βα-S③.注意公式的结构特点五、评价设计1．作业：习题3.1 A 组第1,2,3题．2．（备选题）：求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α)证一：左边=2(21cos α+23 sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6π sin α) =2sin(6π+α)=右边（构造辅助角）证二：右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23 sin α) = cos α+3sin α=左边3、进一步理解这四个公式的特点．六、课后反思：。

数学必修四北师大版《两角和与差的三角函数》教学设计

数学必修四北师大版《两角和与差的三角函数》教学设计高一《两角和与差的三角函数》教学设计【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章两角和与差的正弦、余弦函数，本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。

本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。

2、过程与方法：让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力。

3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角

3.2 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cosα±cosβ.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ. ③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠kπ+2π，β≠kπ+2π，α+β≠kπ+2π或α-β≠kπ+2π，以上k∈Z .当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tanα+tanβ. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2kπ+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2kπ-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2kπ(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2kπ+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cosθ=22b a a +，sinθ=22b a b +,则tanθ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcosθ+cosxsinθ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C。

高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案北师大版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案北师大版必修4整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.推进新课新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?③分析观察公式T α-β、T α+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cosαcosβ讨论如下:当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同除以cosαcosβ,得 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”. tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠2π+kπ(k∈Z ),β≠2π+kπ(k∈Z ),α±β≠2π+kπ(k∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义.教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义,且1±tanαtanβ≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T α±β处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理.讨论结果:①—④略.应用示例例1 已知tanα=2,tanβ=-31,其中0＜α＜2π,2π＜β＜π. (1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.解:(1)因为已知tan α=2,tanβ=-31, 所以tan(α-β)=321312tan tan 1tan tan -+=•+-βαβα=7. (2)因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan •-+=321312+-=1, 又因为0＜α＜2π,2π＜β＜π,所以2π＜α+β＜43π. 在2π与43π之间,只有45π的正切值等于1,所以α+β=45π. 例2 计算15tan 115tan 1+-的值. 活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与T α-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为15tan 45tan 115tan 45tan +-,再逆用公式T α-β即可解得.解:因为tan45°=1, 所以 15tan 115tan 1+-=15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan(45°-15°)=tan30°=33. 点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1.不查表求tan105°的值.解:tan105°=tan(60°+45°) =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+ . 2.不查表,计算:(1)tan22°+tan23°+tan22°tan23°;(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°ta n30°.解:(1)原式=tan(22°+23°)·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=tan45°·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=1.(2)原式=tan17°tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan60°(1-tan17°tan43°)=1.例3 若tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,求tan(α+4π)的值. 活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破. 解:因为α+4π=(α+β)-(β-4π), 所以tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα. 点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=-43,β∈(π,23π). 求tan(α+β).解:由cosβ=-43,β∈(π,23π),sinα=32,α∈(2π,π), ∴sinβ=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47, cosα=-35)32(1sin 122-=--=-a ∴tanβ=37,tanα=-552. ∴tan(α+β)=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα. 4．(1)已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值.(2)已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求βαtan tan . 活动:对于问题(1),教师可与学生一起观察分析已知条件.通过分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在问题(2)中,我们欲求βαtan tan ,若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值有一定的困难,但细心观察公式S α+β、S α-β发现,它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ,而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能地让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --, ∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. (2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21.①sinαcosβ-cosαsinβ=31.② ①+②,得sinαcosβ=125, ①-②,得cosαsinβ=121, ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5. 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),这个变形式子对我们解题很有用处.而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,解完后留出一定的时间让学生认真总结反思,熟练掌握其变化的思想方法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能训练课本练习1、2、3、4.课堂小结本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.作业1.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的值.解:由韦达定理,得tanα+tanβ=-a b ,tanαtanβ=a c , ∴tan(α+β)=a c b c a b ac a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ. 2.课本习题3—1 A 组6,7.设计感想1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.备课资料备用习题1.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A=1.2.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tanα与tanβ,求tan(α+β)的取值范围.3.求tan70°+tan50°-3tan50°tan70°的值.4.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=m m-+11tan α.5.化简A B A sin )2sin(+-2cos(A+B).6.已知5sin β=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tan α.参考答案:1.解:(1)∵A、B 、C 是斜△ABC 的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A 、B 、C 都不为2π,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC. ∴B A BA tan tan 1tan tan -+=-tanC,去分母,移项,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. (2)∵2A +2B +2C =2π,∴2A +2B =2π-2C. ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C). ∴2tan 12tan 2tan 12tan 2tan CB A BA=-+.去分母,移项,整理可得 tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A=1.2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m -1)2-4m(m+1)≥0.①由①解得m∈(-∞,0)∪(0,81］. 根据韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++=•,2112tan tan ,1tan tan m mm m mm βαβα则tan(α+β)=m m m m 1121tan tan 1tan tan +--=-+βαβα=2m-1. ∵m∈(-∞,0)∪(0,81］,∴2m -1≤2×81-1=-43,且2m-1≠-1. ∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-43］. 3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70°=-3(1-tan70°tan50°)-3ta n50°tan70°=-3+3tan70°tan50°-3tan50°tan70°=-3.∴原式的值为-3.4.证明:由sinβ=ｍsin(2α+β)⇒sin ［(α+β)-α］=ｍsin ［(α+β)+α］⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=ｍ［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］⇒(1-ｍ)·sin(α+β)cos α=(1+ｍ)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm -+11tanα. 点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明. 5.解:原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(])sin[(+-+=+-++ AB A A B A sin sin sin ])sin[(=-+= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］, 即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα. ∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2.2 两角和与差的正、余弦函数教案北师大版必修4

1.2.2 两角和与差的正、余弦函数整体设计教学分析本节课是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式.以两角差的余弦为基础,推导后面其他公式的过程是一个逻辑推理的过程,也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变形特点的过程,我们不仅要重视对推出的公式的理解、应用,而且还应重视推导过程的教育功能.在这些公式的推导中,教科书把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点.例如:比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦,只是角的形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,如α+β=α-(-β)的关系.又如:比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式即可建立角的正弦与余弦的联系.通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导,揭示了两角和与差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,使学生加深了对数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容对培养学生的运算能力\,逻辑思维能力\,创新能力及发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节的公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领悟它们的这种联系,加深对公式的理解和记忆.本节教案设计的几个例子较课本例子要丰满广阔,主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对具体问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等,这些都是培养学生三角恒等变形能力所不能忽视的.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正、余弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,并通过公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题\,解决问题的能力.2.通过本节公式的推导,不仅使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察\,分析问题的能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.而且要在推导公式的逻辑结构熏陶下,升华学生的理性思维,以数学自身的美去吸引学生,让学生更有效地抓住问题的本质,并从中获得研究方法的有益启示.重点难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并让一学生把公式默写在黑板上,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察思考:公式cos(α-β)中α、β既然是任意角,你能把它转化为cos(α+β)、sin(α-β)吗？由此展开一系列公式的推导及应用.思路2.(问题引入)教师提出问题,先让学生计算以下几个题目:若sinα=55,α∈(0,2π),cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.这样既复习回顾了上节所学公式,又为本节新课作铺垫.学生利用公式C α-β很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值却有困难了,需要想法转化为公式C α-β的形式来求,怎样转化呢？从而引出新课题,并由此展开联想,推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①回忆两角差的余弦公式及推导过程,其他两角和与差的公式也用此法吗？你是否考虑过:在公式C α-β中,因为角β是任意角,所以将角α-β中β换成角-β后用诱导公式? ②观察C α+β的结构有何特征,并与公式C α-β进行比较,你有哪些发现?③你能否利用诱导公式从余弦的两角和公式推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?并观察思考公式的结构特征与和差的余弦公式有什么不同？活动:先让学生默写两角差的余弦公式,教师适时地打开课件,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法吗？并鼓励学生大胆猜想,引导他们比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕,这样就很自然地得到:cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 观察以上公式的结构特征可知:两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生对比公式C α-β进行记忆.由上面推得两角和与差的余弦公式的方法,教师引导学生思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们自然想到利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生在课下试一试),因此有: sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中β用-β代之,则有:sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 根据以上探究,我们得到以下公式:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.上述结论我们分别称之为两角和的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正弦公式.对以上公式教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征以便于整体记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式的变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美以及这种逻辑结构的内在魅力.这种逻辑结构的熏陶是我们中学数学的灵魂,是培养学生的理性思维的特有载体.因此要深刻理解它们之间的内在联系,并借以理解\,灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用,在例题及练习训练中要注意领悟.讨论结果:①—③略.应用示例思路1例1 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=-135,β∈(π,23π), 求cos(α+β),cos(α-β)的值.活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,应先求出cosα的值,才能利用公式得解.本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立探究完成,必要时给以点拨. 解:由已知sinα=54,α∈(2π,π),得cosα=α2sin 1--=-53. 又由已知cosβ=-135,β∈(π,23π),得sinβ=β2cos 1--=-1312. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-53)×(-135)+54×(-1312)=-6533; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-53)×(-135)-54×(-1312)=6563. 点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.已知sinα=-53,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α)的值. 解:由sinα=-53,α是第四象限角,得 cos α=α2sin 1--=2)53(1--=54 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α =22×54-22×(-53)=1027; cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=22×54-22×(-53)=1027. 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ). A.57 B.51 C.27 D.4 答案:A例2 在△ABC 中,sinA=53(0°＜A ＜45°),cosB=135(45°＜B ＜90°),求sinC 与cosC 的值.活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的,同时也加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意三角形内角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°＜A ＜45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°＜B ＜90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评:本题是利用两角和差公式来解决三角形问题的基础性典型例子,培养了学生的应用意识,也使他们更加认识了公式的作用.变式训练在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案:C思路2 1.若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=43π,且0＜α＜4π＜β＜43π,求cos(α+β)的值. 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当地点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定角的范围,判断好准确的三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值. 解:∵0＜α＜4π＜β＜43π, ∴43π＜43π+α＜π,-2π＜4π-β＜0. 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,∴cos(43π+α)=-1312,sin(4π-β)=-54 ∴cos(α+β)=sin［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β)=135×53-(-1312)×(-54)=-6533. 变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解:∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312, ∴23π＜α+β＜2π,2π＜β-4π＜43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=-135, ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =(-135)×54+(-53)×1312=-6556. 例2 化简αθαθθβθββαβαsin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(-+-+-. 活动:本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地做完,然后进行讲评反思,也可以把它改编为三角证明题.解:原式=αθαθαβθβθβθββαβαβαsin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin -+-+- =θβαθβαθβαθβαθβαθβαsin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin -+- αβθαβθαβθsin sin sin sin sin cos cos sin sin -+=αβθsin sin sin 0=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简:)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+. 解:原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+-+ βαβαβαβαcos cos sin sin cos sin sin cos +-=)cos()sin(αβαβ--==tan(β-α). 知能训练课本练习3、4、5.课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与三角等式的证明,本节公式推导的逻辑结构如何？2.教师提纲挈领:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式及其推导,明白怎样从已知推得未知,理解数学当中重要的数学思想——“转化与化归”以及由逻辑结构编织的公式体系,并正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系.一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.作业已知0＜β＜4π,4π＜α＜43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解:∵4π＜α＜43π, ∴-2π＜4π-α＜0. ∴sin(4π-α)=2)53(1--=-54. 又0＜β＜4π, ∴43π＜43π+β＜π,cos(43π+β)=2)135(1--=-1312. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(-1312)×53-135×(-54)=6556. 设计感想1.本节课可以说是公式推理及其应用的理性特别强的课时,是培养学生理性精神的特有载体,因此教案设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”,这个过程的重点是转化推导,它充分展示了公式推导教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题.从而使学生领会了数学当中重要的数学思想——“转化与化归”,并培养他们主动利用“转化与化归思想”探索解决数学问题.2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量很大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律,探索推导,获取新知的方法,让他们真正尝到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.备课资料一、备用习题1.计算οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值.2.利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).3.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.4.已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值.5.求证:cos α+3sin α=2sin(6π+α).参考答案:1.解:原式=οοοοοοοοοοοοοοοοοοοο8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =οοοο8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=+-οοοο.2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.(2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cos α.4.解:∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-6556.5.证明:方法一:右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α) =2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二:左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=2222sin ,b a b b a a+=+ϕ,从而得到tanφ=b a ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.二、三角函数知识歌诀三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数教案北师大版必修4

1.2.1 两角差的余弦函数整体设计教学分析本节教材的安排是从复习向量引入,直接利用向量的知识推导了两角差的余弦公式,并单独作为一节.这样安排的用意是想突出两角差的余弦函数,从逻辑关系上来看,本章的其他所有公式都是以两角差的余弦为基础变化而来的,这对学生来说,学习本章就有一个清晰的逻辑关系.同时也突出体现了向量这一工具的强大威力,使第二章的向量有了用武之地.本节作为全章的重要课时,对于如何推导两角差的余弦公式可做多方面的设计探讨,因为凭直觉得出cos(α-β)=cosα-cosβ是学生经常出现的错误.因此在教学中,也可引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假,这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出推导证明“两角差的余弦公式”的方案.这对发展学生的思维有一定的好处.由此可得两种推导思路:一是引导学生利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索,联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的.但学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难,教师要作恰当地引导.二是引导学生充分利用向量数量积探究两角差的余弦公式,但要抓住三个要点:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,注意联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则),其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节主要是对数学公式的发现探究的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的来龙去脉;②使学生认识公式的结构特征加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明过程;④通过应用举例使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题,也为推导其他和差公式作准备.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与差角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习兴趣,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和善于运用数形结合等数学思想方法的能力.重点难点教学重点:探索两角差的余弦公式,理解其推导过程,并会用两角差的公式进行简单的化简、求值等.教学难点:两角差的余弦公式的探索与证明.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们猜想:能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的！那么究竟是个什么关系呢?cos(α-β)=?这时学生急于想知道这究竟是怎么回事,由此展开新课:我们是利用熟悉的单位圆呢？还是利用刚刚学过的重要工具——向量呢？思路2.(单刀直入)直接提出向量的主要作用之一就是解决几何度量问题,如长度、夹角的问题.教师让学生利用单位圆及向量的数量积的知识,并结合课件直接进行差角的余弦公式探究的学习.推进新课新知探究提出问题(实际教学可按一种思路即可,这里按两种思路设计)①让学生猜想cos(α-β)=?你认为cos(α-β)=cosα-cosβ对吗？举例验证.②回忆前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？③回忆向量的数量积的知识及向量方法的作用,结合单位圆能找到两个单位向量其夹角是α-β吗？④得到cos(α-β)公式后,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围是任意的吗？⑤类比前面学过的诱导公式及同角的基本关系式的应用,如何正用、逆用、灵活运用两角差的余弦公式进行求值、化简与证明呢？思路一:提出问题后,教师大胆放开,不要以担心学生找不到方向或花费过多时间为由而包揽一切,要让学生充分发挥想象能力,自主探究.学生很容易想到cos(α-β)=cosα-cosβ？的问题,也会马上由特殊角来验证它的正确性,如:α=60°、β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=231 ,这一反例足以说明了cos(α-β)≠cosα-cosβ(当然它也不是对任意角α、β都不成立的),从而进一步明确了“恒等”的意义,统一对探索目标的认识,也为后面以此公式为基础去推导其他和差公式作了准备.图1既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,即α-β这个角的余弦问题,学生会迁移前面学过的知识与方法,很自然地联想到利用单位圆上的三角函数线来探究(如图1).设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β,过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=c os(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.那么,OA 表示cosβ,AP 表示sinβ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 以上等式还需说明角的任意性问题,因此教师适时地引导学生进一步思考:在以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较烦琐,可由同学们课后动手试一试.由此我们得到两角差的余弦公式,即对任意角α、β,以下等式恒成立: cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 思路二:在第二章我们已经学习了向量的知识.向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度的问题.从向量数量积的定义:a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π),我们知道:任何向量与自身的数量积为向量长度的平方;两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值,反映了它们之间夹角的大小.向量的方法为我们探索三角函数关系提供了一种非常重要的思想方法.图2在直角坐标系中(如图2).以原点为中心,单位长度为半径作单位圆,又以原点为顶点,x 轴非负半轴为始边分别作角α、β,且α>β.我们首先研究α、β均为锐角的情况.设它们的终边分别交单位圆于点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,sinβ),即1OP =(cosα,sinα),2OP =(cosβ,sinβ),∠P 1OP 2= α-β,这样,我们就得到两个单位向量1OP ,2OP 由于这两个向量的夹角为α-β,所以我们可以得到:1OP ·2OP =|1OP ||2OP |cos(α-β)=cos(α-β).①另一方面,向量数量积可以用坐标表示,因此我们又可以得到:1OP ·2OP =(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ.②由①②两式,我们就可得到一个非常重要的三角函数公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.通过以上利用向量数量积的推导,我们发现,运用向量工具进行探索,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确.由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就需探究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π］,使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则1OP ·2OP =cosθ=cos(α-β),若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且1OP ·2OP =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ推导完两角差的余弦公式后,教师要留给学生一定的时间进行回顾反思,以理顺并领悟探究过程与思想方法.如两种思路都让学生探究了,要对这两种方法进行比较反思,教师不要怕在这里浪费时间.然后再引导学生细心观察公式C α-β的结构特征,与学生一起归纳发现:公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.结合推导过程及公式特征进行记忆.对于公式的正用是比较容易的,有时要用到“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧,可在练习运用中得以掌握提高.如:cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23,cosα=cos［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ等.讨论结果:①—⑤略.应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,教师可对有困难的学生点拨指导,思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如:15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接应用公式C α-β计算求值.教师不要包办替代学生的探究活动,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构.公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45° =42623222221+=⨯+⨯. 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,但是仍需要学生对这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式作进一步探究,提高学生灵活运用公式求值的能力.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯. sin15°=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45sin30° =42621222322-=⨯-⨯. 点评:本题是例题的变式,学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°+sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C α-β的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°)的值.这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性\,发散性.例2 计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°;(3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y).活动:教师完全可以放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°等,当然也可以先变形,即cos(-15°)=cos15°,然后应用公式再求值.解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯. (2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.(3)原式=cos ［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养了学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例3 已知cosα=71,cos(α+β)=1411-,且α,β∈(0,2π),求cosβ的值. 活动:先让学生自己探究观察已知条件的角及所求的角,寻找已知条件中的角与所求角的关系,适时点拨学生如何用α,α+β表示β,学生不难观察到:β=(α+β)-α的关系式,但应提醒学生注意由α,β的取值范围求出α+β的取值范围,从而判断sin(α+β)的符号,三角函数符号是学生易忽视的薄弱地带. 解:∵α,β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π). 又∵cosα=71,cos(α+β)=1411-, ∴sinα=α2cos 1-=734, sin(α+β)=)(cos 12βα+-=1435. 又∵β=(α+β)-α,∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =(1411-)×71+1435×734=21 点评:本题相对于例1难度有所提高,但通过学生的探究,再加教师的适当引导,则不难得到β=(α+β)-α的关系式,继而运用公式解决.应特别提醒学生注意的是α+β取值范围的确定,这是本题第二个关键所在,也是我们以后解题当中需特别留心的问题.变式训练 1.已知sinα+sinβ=53,co sα+cosβ=54,求cos(α-β)的值. 解:∵(sinα+sinβ)2=(53)2,(cosα+cosβ)2=(54)2, 以上两式展开两边分别相加,得2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=-21. 点评:本题又是公式C α-β的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C α-β中cosαcosβ和sinαsinβ的值,即可求得cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.2.已知锐角α,β满足cosα=54,tan(α-β)=-31,求cosβ. 解:∵α为锐角,且cosα=54, ∴sinα=53.又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π,∴-2π＜α-β＜2π. 又∵tan(α-β)=-31＜0, ∴cos(α-β)=10103103=. 从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=-1010101-=-. ∴cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =50109)1010(531010354=-⨯+⨯. 知能训练课本练习1、2.课堂小结1.先由学生自己回顾本节课公式的探究过程与方法,然后教师引导学生进一步整合:①怎么联系有关知识进行探索的？在探索方法方面有什么启示？②在利用差角余弦公式方面:对公式结构和作用的认识,三角式变形的特点及变形过程的感悟.2.教师画龙点睛:本节课我们探究了两角差的余弦公式,要求正确灵活地运用公式进行解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.尽可能地一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达优化解题过程\,规范解题步骤\,领悟变形思路\,强化数学思想方法之目的.作业课本习题3—1 A 组1、2(1)(2)(3)(4).设计感想1.本节教案设计思想主要体现“教为主导,学为主体,以人为本”的理念,因此本节课的设计流程是“背景设计→猜想→探索推导→反思→应用”.这符合课标要求,目的是让学生在探究公式的过程中,逐步学会分析问题、解决问题,培养学生学会合作交流的能力.特别是使学生经历了探究、发现、猜想、论证的数学探索过程,增强学生的应用意识.2.纵观本教案的设计,学生探究出公式后就是应用,同时加强了公式的正用、逆用、变形用,为后面学习其他公式打下了坚实的基础,这个目标可说是很容易达到的.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.因为学生所学的知识可能会很快忘掉,但所学到的解决问题的方法却会使学生受益终生.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题,猜想探索公式,验证特殊情形,推导公式,学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律,探索推导,获取新知的途径.让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体,体会到数学的内在美、统一美、简洁美,会产生一种成功感.备课资料备用习题1.(2006上海八校联考试题)若-2π＜α＜β＜2π,则α-β一定不属于的区间是( ). A.(-π,π) B.(-2π,2π) C.(-π,0) D.(0,π)2.不查表求值:(1)sin80°cos55°+cos80°cos35°;(2)cos80°cos20°+sin100°sin380°.3.已知sin θ=51,θ∈(2π,π),求cos(θ-3π)的值. 4.已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=-43,β∈(π,23π),求cos(α-β)的值. 5.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求证:cos(α-γ)=-21. 参考答案:1.D2.(1)原式=sin80°sin35°+cos80°cos35°=cos(80°-35°)=cos45°=22. (2)原式=cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=21. 3.解:∵sinθ=51,θ∈(2π,π), ∴cosθ=-5622511sin 12-=--=-θ. ∴cos(θ-3π)=cos θcos 3π+sin θsin 3π =-10623235121562-=⨯+⨯. 4.解:∵sinα=32,α∈(2π,π),∴cosα=-35941sin 12-=--=-a . ∵cosβ=-43,β∈(π,23π), ∴sinβ=-471691cos 12-=--=-β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-127253)47(32)43(35-=-⨯+-⨯.5.证明:∵sinα+sin β+sin γ=0,∴sinα+sin γ=-sin β.①∵cosα+cos β+cos γ=0,∴cosα+cos γ=-cos β.②①2+②2,得sin 2α+cos 2α+sin 2γ+cos 2γ+2cos αcos γ+2sin αsin γ=sin 2β+cos 2β. ∴2(cosαcos γ+sin αsin γ)=-1,即cos(α-γ)=-21.。

高中数学第三章三角恒等变形 323 两角和与差的正切函数学案(无答案)北师大版必修4 学案

两角和与差的正切函数
班级姓名组号【学习目标】
1、通过学习，理解两角和与差的正切公式与两角和与差的正、余弦公式间的关系，并能推导两角和与差的正切公式；
2、能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明。

【学习重点】两角和与差的正切公式及其应用【学习难点】公式中角的范围的理解【学习过程】
一、预习自学（掌握基础） 1、试用sin ()
tan ()cos ()
αβαβαβ++=+推导公式)tan(βα+，其中，βα.应该满足什么条件？
2、你能利用)tan(βα+推导公式)-tan(βα？其中，βα.又应该满足什么条件？
二、合作探究（深化理解）
1、已知其中,3
1tan ,2tan -==βα.2,
20πβπ
πα<<<
<
（1）求)tan(βα-；（2）求βα+的值。

2、计算:
15
tan 115tan 1+-
3、若)4
(tan ,41)4tan(,52)tan(π
απββα+=-=+求的值。

三、达标检测（巩固提高） 1\求
105tan ,15tan 的值。

2、求下列各式的值：（1）
17
tan 43tan 117tan 43tan -+ （2）12
5tan
1125tan
1ππ
-+
3、已知βαβα，,17
15
sin ,51cos -
=-=分别是第二、第三象限角，求)tan(),(cos βαβα+-的值。

四、学习体会。

2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变形3.2.13.2.2两角和与差的正弦、余弦函数学案北师大版必修4

2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)[基础·初探]教材整理两角和与差的正弦、余弦函数阅读教材P 118～P 120练习以上部分，完成下列问题． 1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) 2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C α＋β) 3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S α＋β)， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( ) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.( ) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( ) 【解析】 (1)√.(2)×.如当α＝π6，β＝－π6时，则sin(α＋β)＝0.sin α＋sin β＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴当α＝π6，β＝－π6时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(3)×.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]给角求值求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.【精彩点拨】解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．【自主解答】 (1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45° sin 30°＋cos 45°cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29° cos 1°＋cos 29° sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．[再练一题]1．求值：(1)cos(x ＋27°)·cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)· sin(x －18°)；(2)cos 105°＋sin 195°的值．【解】 (1)cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)] ＝cos 45° ＝22. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos 105°－sin 15° ＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°·sin 45°－sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45° ＝12×22－32×22－32×22＋12×22 ＝2－62. 给值求值已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.求sin 2α的值．【精彩点拨】由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解．【自主解答】 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513， cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－5665.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．[再练一题]2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值.【导学号：66470067】【解】 ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.[探究共研型]给值求角问题探究1 【提示】给值求角即求该角的某种三角函数值．探究2 给值求角的关键是什么？【提示】关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．探究3 常用的角的变换技巧有哪些？【提示】互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与34π－α互补等．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α. 【精彩点拨】先计算sin α后再根据α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2确定角α大小．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝22，可能就会导致α＋β＝π4或3π4.[再练一题]3．已知α，β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010.求α＋β的值．【解】因为α，β都是锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，0<α＋β<π，又sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝31010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.1．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为( ) A ．0 B ．12 C.32D ．－12【解析】 cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54° ＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36° ＝cos(66°－36°)＝cos 30° ＝32. 【答案】 C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 【解析】 a ·b ＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°) ＝cos 45° ＝32. 【答案】323．cos 345°的值为________.【导学号：66470068】【解析】 cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝2＋64. 【答案】2＋644．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 【解析】因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin α·cos π4＋cos α·sin π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－710 2. 【答案】－71025．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，求cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.【解】 cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos α－sin αcos α＋sin α22cos α＋sin α＝2(cos α－sin α) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

高中数学第三章三角恒等变形 2.3 两角和与差的正切函数学案北师大版必修4-北师大版高一必修4

2.3 两角和与差的正切函数内容要求能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．知识点两角和与差的正切公式【预习评价】 1．tan 105°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－1－ 3 C.－3－33D ．－2＋ 3答案 A2.tan 49°＋tan 11°1－tan 49°tan 11°＝________. 答案3题型一化简求值【例1】求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．【训练1】 (1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 解 (1)∵tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－333－1＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°·tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°·tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.【探究1】若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________．解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·ta n π4＝16＋11－16＝75.答案 75【探究2】已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又∵tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.【探究3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3. 【探究4】已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，且tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，求tan C .解因为tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π.所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.规律方法 “给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．题型三给值求角【例2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－β·tan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan α－β＋tan α1－tan α－β·tan α＝12＋131－13×12＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)．又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，故2α－β＝－3π4.规律方法在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．【训练2】已知tan α，tan β是x 2＋33x ＋4＝0的两根，－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，求α＋β的值．解 ∵tan α＋tan β＝－33＜0，tan α·tan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0， ∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜α＜0，－π2＜β＜0.∴－π＜α＋β＜0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.课堂达标1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B ．－13C ．3D ．－3 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 A2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2. 答案 B3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.答案π44．在△ABC 中，tan A ＝34，tan B ＝513，那么tan C 的值等于________．解析 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34＋5131－34×513＝－5937.答案－59375．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.课堂小结1．公式T α±β的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.基础过关1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7C ．－17D ．－7解析已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A.答案 A2.1＋tan 75°1－tan 75°＝( ) A.33 B. 3C ．－33D ．－ 3解析原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. 答案 D3．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值为( )A ．－34B.98 C ．－98D.112解析 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－251－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案 D4．已知tan(α＋β)＝13，tan α＝－2，则tan β＝________.解析 ∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝7.答案 75．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α＝________.解析由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－7， ∴tan α＝－34＜0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.答案 356．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 (1)原式＝sin 15°－8°＋cos 15°sin 8°cos 15°－8°－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α的值．解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，∴1＋tan α1－tan α＝12.∴tan α＝－13. (2)原式＝2tan α－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝－56.能力提升8．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1)D.3(a ＋1)解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )．答案 B9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1B ．2C ．tan 10°D.3tan 20°解析原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 答案 A10．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________.解析sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－3＝－32. 答案－3211．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 答案 112.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解 (1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos 2α＝7210. 同理可得sin β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－3×12＝－1. 又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2. 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4. 13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β＝2－3，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解解法一：由①得α2＋β＝π3.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 将②代入得tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根．解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则与α为锐角矛盾． ∴tan β＝1，tan α2＝2－3， ∴β＝π4，代入①得α＝π6，满足tan α2＝2－ 3. 解法二：由①得α2＝π3－β，代入②得： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－β·tan β＝2－3⇒3－tan β1＋3tan β·tan β＝2－3⇒tan 2β－(3－3)tan β＋2－3＝0，tan β＝1或2－ 3.若tan β＝1，则β＝π4，α＝π6. 若tan β＝2－3，代入②得tan α2＝1.不合题意．故存在α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2.3 两角和与差的正切函数学案(含解析)北师大版必修4-北师大

2．3 两角和与差的正切函数知识点两角和与差的正切公式[填一填](1)两角和的正切：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)．(2)两角差的正切：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T α－β)．公式T α±β的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即tan(α±β)，右侧是分式，分子是tan α与tan β的和或差，分母是1与tan αtan β的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”．[答一答]1．在公式T α±β中，α，β的使用范围是什么？公式的变形有哪些？提示：(1)从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )，例如tan 3π4，tan π4都有意义，但tan(3π4－π4)无意义．(2)两角和与差的正切公式的常见变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β)；③tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； ④tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tan α±tan β和tan αtan β，就要有灵活运用公式T α±β的变形形式的意识．2．为什么tan(α＋β)＝tan α＋tan β不恒成立？提示：可以举反例，例如，tan(30°＋120°)＝tan150°＝－33，而tan30°＝33，tan120°＝－3，所以tan30°＋tan120°＝33－3＝－233. 所以tan(30°＋120°)≠tan30°＋tan120°. 因此tan(α＋β)＝tan α＋tan β不恒成立．公式T α＋β的结构特征和符号规律(1)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.类型一公式正用和逆用【例1】求下列各式的值． (1)tan105°；(2)3－tan15°1＋3tan15°；(3)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°；(4)tan62°＋tan148°1－tan118°tan32°. 【思路探究】熟练掌握T α±β的公式，能够对公式进行正用和逆用．【解】 (1)原式＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60·tan45°＝1＋31－3＝－2－ 3. (2)原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan45°＝1.(3)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3. (4)原式＝tan62°－tan32°1＋tan62°tan32°＝tan30°＝33.规律方法利用两角和与差的正切公式求值，关键是弄清公式的结构特点．(1)已知tan x ＝14，tan y ＝－3，求tan(x ＋y )的值；(2)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，且a ≠c )的两根为tan α，tan β，求tan(α＋β)的值．解：(1)tan(x ＋y )＝tan x ＋tan y1－tan x tan y＝14－31－14×(－3)＝－117.(2)由a ≠0和一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－ba ，tan αtan β＝ca，又∵a ≠c ，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－b a 1－c a＝－b a －c ＝b c －a .类型二变形应用公式【例2】 (1)若α＋β＝π3，tan α＋3(tan αtan β＋c )＝0(c 为常数)，则tan β＝________；(2)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°的值是________．【思路探究】在三角函数中同时出现tan α＋tan β(或tan α－tan β)和tan αtan β，或在和、差的形式与积的形式之间进行互化时，可以考虑公式T α＋β与T α－β的变形．【解析】 (1)∵α＋β＝π3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan α＋3tan αtan β＋3c ＝3－tan β＋3c ＝0， ∴tan β＝3(c ＋1)．(2)∵tan60°＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°， ∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝ 3. 【答案】 (1)3(c ＋1) (2) 3规律方法化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．求下列各式的值．(1)tan74°＋tan76°1－tan74°tan76°；(2)tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°.解：(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－33. (2)原式＝tan (10°＋50°)(1－tan10°tan50°)＋tan120°tan10°tan50°＝3(1－tan10°tan50°)－3tan10°tan50°＝－ 3.类型三利用公式进行三角等式的证明【例3】已知△ABC 不是直角三角形，求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 【思路探究】利用等角关系，在两边同时取同名的三角函数，将角的等式转化为三角恒等式．【证明】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又△ABC 不是直角三角形，则A ＋B ＝π－C ≠π2，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，即tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝tan A tan B tan C －tan C ，故tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .规律方法应用两角和与差的三角函数解决三角形中的问题时，应创设条件使之能运用两角和与差的三角函数公式．注意下列结论：(1)三角形的内角和等于180°.(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2，tan(A ＋B )＝－tan C .求证：tan(x －y )＋tan(y －z )＋tan(z －x )＝tan(x －y )tan(y －z )tan(z －x )．证明：证法一：左边＝tan[(x －y )＋(y －z )][1－tan(x －y )tan(y －z )]＋tan(z －x )＝tan(x －z )[1－tan(x －y )tan(y －z )]＋tan(z －x )＝tan(z －x )[1－1＋tan(x －y )tan(y －z )]＝tan(x －y )tan(y －z )tan(z －x )＝右边．证法二：tan(z －x )＝tan(z －y ＋y －x ) ＝tan (z －y )＋tan (y －x )1－tan (z －y )tan (y －x ).∴tan(z －y )＋tan(y －x )＝tan(z －x )－tan(z －x )tan(z －y )tan(y －x )． ∴tan(x －y )＋tan(y －z )＋tan(z －x )＝tan(z －x )tan(z －y )tan(y －x )．类型四利用公式求角【例4】设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<π2，0<|β|<π2，求α＋β的值．【思路探究】本题主要考查由两角和的正切值求解．先求出tan(α＋β)的值，再根据α与β的具体范围与tan α，tan β的符号确定出α＋β的具体范围，最后求α＋β的值．【解】由已知，得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α<0，tan β<0， ∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0， ∴α＋β＝－23π.规律方法求角问题中应特别关注的问题： (1)角的变换前面学习S α±β，C α±β的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式T α±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法．(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数． (3)角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，求α＋β的值．解：∵tan α＝12，tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝12＋131－12×13＝1.∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π. ∴α＋β＝5π4.——易错警示—— 给值求角中的易错误区【例5】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.【错解】 π4或5π4【正解】由于tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β＝12－171＋12×17＝13，所以α∈(0，π4)①，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，而β∈(π2，π)①，所以2α－β∈(－π，0)②，故2α－β＝－3π4.【错解分析】没有依据题设条件进一步缩小角α，β的范围(如①处所示)，导致②处的范围过大．【答案】－3π4【防范措施】 1.树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T α±β较方便快捷，且不易产生增解．2．注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．若tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，α，β∈(π2，π)，则α＋β＝74π.解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∵tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan(α＋β)＝tan αtan β－11－tan αtan β＝－1.∵α＋β∈(π，2π)，又tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝74π.一、选择题1．若tan(π4－α)＝3，则tan α等于( B )A ．－2B ．－12C.12D ．2解析：tan α＝tan[π4－(π4－α)]＝tan π4－tan (π4－α)1＋tan π4tan (π4－α)＝－12.2.3tan23°tan97°－tan23°－tan97°＝( C ) A ．2 B ．2 3 C. 3D ．0解析：原式＝3tan23°tan97°－tan(23°＋97°)(1－tan23°·tan97°)＝3tan23°tan97°－tan120°(1－tan23°tan97°)＝3tan23°tan97°＋3－3tan23°·tan97°＝ 3.二、填空题 3.sin15°＋cos15°sin15°－cos15°的值是－ 3.解析：原式＝tan15°＋1tan15°－1＝－1＋tan15°1－tan15°＝－tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15°＝－tan(15°＋45°)＝－tan60°＝－ 3.4．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为－3.解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3. 三、解答题5．在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan C 的值．解：∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.∴tan A ＝34. tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－34＋21－34×2＝112.。

高中数学第三章三角恒等变形3.2.3两角和与差的正切函数学案北师大版必修4

2.3 两角和与差的正切函数1．能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点) 2．掌握公式T α±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)[基础²初探]教材整理两角和与差的正切公式阅读教材P 121例4以上部分，完成下列问题．两角和与差的正切公式1.tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β .2．公式的特例tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)tan αtan β，tan(α＋β)，tan α＋tan β三者知二，可表示或求出第三个．( ) (2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋π3能用公式tan(α＋β)展开．( )(3)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (4)公式T(α±β)，对任意α，β都成立．( ) 【解析】由T (α±β)知，(1)对，(2)错，(4)错．对于(3)，存在α＝π6，β＝－π6.此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝0. 【答案】 (1)√ (2)³ (3)√ (4)³[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23 °tan 37°.【精彩点拨】解决(1)题可考虑3＝tan 60°，再逆用公式，解决(2)题注意到23°＋37°＝60°，而tan 60°＝3，故联想tan(23°＋37°)的展开形式，并变形，即可解决．【自主解答】 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋636＝2＋ 3.(2)∵tan(23°＋37°)＝tan 60° ＝tan 37°＋tan 23°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“ta n αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的正切公式的结构形式，然后逆用公式求值．[再练一题]1．(1)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°；(2)(3＋tan 30°²tan 40°＋tan 40°²tan 50°＋tan 50°²tan 60°)²tan 10°. 【解】 (1)tan 15°＋tan 30°＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°²tan 30°) ＝tan 45°(1－tan 15°²tan 30°) ＝1－tan 15°²tan 30°，所以原式＝1－tan 15°²tan 30°＋tan 15°²tan 30° ＝1.(2)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)²tan10°，因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝tan 40°－tan 30°1＋tan 40°tan 30°，所以1＋tan 40°tan 30°＝tan 40°－tan 30°tan 10°.同理，1＋tan 40°tan 50°＝tan 50°－tan 40°tan 10°，1＋tan 50°tan 60°＝tan 60°－tan 50°tan 10°.所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 40°－tan 30°tan 10°＋tan 50°－tan 40°tan 10°＋tan 60°－tan 50°tan 10°²tan 10° ＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50° ＝－tan 30°＋tan 60°＝－33＋3＝233.已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17.求(2α－β)的值.【导学号：66470070】【精彩点拨】先由α＝(α－β)＋β，求出tan α，再由2α－β＝(α－β)＋α求出tan(2α－β)，然后根据α，β的范围，求出2α－β的值．【自主解答】 ∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17.∴tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β tan β＝12－171＋17³12＝13.∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan α－β ＋tan α1－tan α－β tan α＝12＋131－12³13＝1.∵0<α<π4，又0<β<π，tan β＝－17>－1.∴3π4<β<π， ∴－π<－β<－3π4，∴－π<α－β<－π2，∴－π<2α－β<－π4，∴2α－β＝－3π4.1．本题中隐含着角α，β的范围，需通过tan α，tan β的值缩小其范围． 2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．[再练一题]2．已知tan α，tan β是方程x 2＋3 3x ＋4＝0的两根，－π2<α<π2，－π2<β<π2，求α＋β的值．【解】 ∵tan α＋tan β＝－3 3<0，tan αtan β＝4>0， ∴tan α<0，tan β<0. ∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3 31－4＝3，∴α＋β＝－2π3.[探究共研型]探究1 β与【提示】 β＝α－(α－β)．探究2 若α＋β＝π，则tan α与tan β存在怎样关系？【提示】tan α＝tan(π－β)＝－tan β.探究3 在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？【提示】A＋B＋C＝π或A2＋B2＝π2－C2.在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．【精彩点拨】可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tan A和tan C的值，从而可得A，B，C可判断三角形形状．【自主解答】tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－3，又0°<A<180°，∴A＝120°，而tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan Btan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33.又0°<C<180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．1．等式中同时出现tan A±tan B与tan A²tan B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．[再练一题]3．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝233.求tan A²tan B．【解】因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，所以tan(A＋B)＝tan 60°＝ 3.又tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A²tan B，所以2331－tan α²tan β＝3，解得tan A ²tan B ＝13.1．若tan α＝12，tan β＝13，则tan(α＋β)＝( )A ．12 B ．1 C.22D ． 2【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12³13＝1.【答案】 B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．17 B ．7 C ．－17D ．－7【解析】由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α²tanπ4＝－34＋11＋34＝17.【答案】 A3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则tan α等于________．【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝2，解得tan α＝－3. 【答案】－34．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α²tan β＝________.【导学号：66470071】【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan α²tan β＝12.【答案】 125．已知tan α＝13，cos β＝－55.若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值．【解】 ∵cos β＝－55，90°<β<180°， ∴sin β＝1－cos 2β＝255，∴tan β＝sin βcos β＝－2，又tan α＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∵0°<α<90°<β<180°， ∴90°<α＋β<270°，∴α＋β＝135°.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数学案北师大版4教案

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