【配套K12】高中数学 2.1.2指数函数及其性质同步测控优化训练 新人教A必修1

2.1.2 指数函数及其性质5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A.y=（-4）xB.y=πxC.y=-4xD.y=a x+2（a ＞0且a ≠1） 思路解析：从指数函数的定义出发解决此题. 由指数函数的定义知，选B. 答案：B2.右图是指数函数①y=a x ；②y=b x ；③y=c x ；④y=d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c思路解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ）、（1，d ），由图象可知纵坐标的大小关系. 答案：B3.函数y=a x-3+3（a>0且a ≠1）恒过定点_________.思路解析：a 3-3+3=a 0+3=4. 答案：（3，4）4.某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f （t ），（1）写出函数y=f （t ）的定义域和值域； （2）在所给坐标系中画出y=f （t ）（0≤t ＜6=的图象；（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z ）时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）?解：（1）y=f （t ）定义域为t ∈［0，+∞］，值域为{y|y=2n ，n ∈N *}. （2）0≤t ＜6时，为一分段函数y=.64,42,20,8,4,2<≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧t t t 图象如下图.（3）n 为偶数时，y=122+n ；n 为奇数时，y=1212+-n .∴y=⎪⎩⎪⎨⎧+-+.,2,,212112为奇数为偶数n n n n10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957 6，设质量为1的镭经过x 年后，剩留量是y ，则y 关于x 的函数关系是( ) A.y=100957.0x B.y=（1009576.0）xC.y=0.957 6100xD.y=1-1000424.0x思路解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x 、y 的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.957 6=1·（1-t%）100.∴t%=1-（0.957 61001).∴y=（1-t%）x=（0.957 6100)x .选A. 答案：A2.当x ＞0时，函数f （x ）=（a 2-1）x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A.1＜|a|＜2 B.|a|＜1 C.|a|＞1 D.|a|＞2思路解析：由指数函数的性质，可知f （x ）在（0，+∞）上是递增函数，所以a 2-1＞1，a 2＞2，|a|＞2.答案：D3.已知函数f （x ）=a x +a -x（a>0且a ≠1），f （1）=3，则f （0）+f （1）+f （2）的值为_________.思路解析：f （0）=a 0+a 0=2，f （1）=a+a -1=3，f （2）=a 2+a -2=（a+a -1）2-2=9-2=7, ∴f （0）+f （1）+f （2）=12. 答案：124.函数y=（2m-1）x是指数函数，则m 的取值是_________.思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=a x中的底数a 约定a ＞0且a ≠1.故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m ＞21且m ≠1. 答案：m ＞21且m ≠1 5.已知21a +21-a=3，求a 2+a -2的值.思路解析：本题考查指数的运算.从已知条件中解出a 的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件21a +21-a =3的联系进而整体代入求值.解：将21a +21-a=3两边平方得a 1+a -1+2=9，即a 1+a -1=7.再将其平方，有a 2+a -2+2=49，从而得到a 2+a -2=47. 6.已知f （x ）=131-x+a 为奇函数. （1）求a 的值；（2）求函数的单调区间. 思路解析：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义.解：（1）∵f （-x ）=131--x +a=xx313-+a=-1+a-131-x =-1+2a-f （x ），由f （-x ）=-f （x ），得-1+2a=0.∴a=21. （2）对于任意x 1≠0，x 2≠0，且x 1<x2.f （x 1）-f （x 2）=)13)(13(33131131211221---=---x x x x x x . 当x 1<x 2<0时，23x >13x ，13x <1，23x<1.∴f （x 1）-f （x 2）>0；当0<x 1<x 2时，23x >13x ，13x >1，23x>1.∴f （x 1）-f （x 2）>0.∴函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）.7.如果函数y=a 2x +2a x-1（a ＞0，a ≠1）在区间［-1，1］上的最大值是14，求a 的值. 思路解析：利用换元法、配方法及等价转化思想.解：设t=a x ，则y=f （t ）=t 2+2t-1=（t+1）2-2.当a ＞1时，0＜a -1≤t ≤a ，此时y max =a 2+2a-1，由题设a 2+2a-1=14，得a=3，满足a ＞1.当0＜a ＜1，t ∈［a ，a -1］，此时y max =（a -1）2+2a -1-1. 由题设a -2+2a -1-1=41，得a=31，满足0＜a ＜1.故所求的a 的值为3或31. 快乐时光传话Ａ对Ｂ说：“听说老王家的鸡刚生出的蛋落地便破壳，马上变出了小鸡.”Ｂ告诉Ｃ：“新鲜事，老王家的鸡生出的蛋，壳还没破，就变成了小鸡.”Ｃ又对Ｄ说：“真怪，老王家的鸡直接生出了小鸡！”Ｄ又对Ｅ说，Ｅ告诉了Ｆ，Ｆ告诉了Ｇ……恰好Ｇ巧遇Ａ，告诉Ａ：“奇迹，老王家的鸡生出一只小乌龟！”30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.若函数y=a x+b-1（a>0且a ≠1）的图象经过一、三、四象限，则一定有( ) A.a>1且b<1 B.0<a<1且b<0 C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0 思路解析：本题考查指数函数的图象.函数y=a x+b-1（a>0且a ≠1）的图象经过一、三、四象限，则必有a>1；进而可知⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧-<>⇒⎩⎨⎧<>.0,1110)0(1b a a b a f a 答案：D2.如果函数y=（a 2-4）x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是( ) A.|a|>2 B.|a|>5 C.|a|<5 D.2<|a|<5 思路解析：∵0<a 2-4<1，∴4<a 2<5. ∴2<|a|<5.答案：D3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A.10天B.15天C.19天D.2天思路解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y=2x，当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.故选C. 答案：C4.函数y=2|x|的值域是( )A.（0，1]B.［1，+∞)C.（0，1）D.（0，+∞）解法一：y=2|x|=,0,0,2,2<≥⎪⎩⎪⎨⎧-x x x x 作出图象观察得函数的值域为［1，+∞）.解法二：令u=|x|≥0，则y=2u ≥20=1.答案：B5.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为 3 150元（其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元），预计该地区自2004年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2005年该地区农民人均收入介于( )A.3 200元～3 400元B.3 400元～3 600元C.3 600元～3 800元D.3 800元～4 000元思路解析：本题考查指数函数的应用.设2005年该地区农民人均收入为y 元，则y=1 800×（1+6%）2+1 350+160×2≈3 686（元）. 答案：C6.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y （m 2）与时间t （月）的关系：y=a t，有以下叙述，其中正确的是( )①这个指数函数的底数为2②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月 ④浮萍每月增加的面积都相等⑤若浮萍蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1+t 2=t 3 A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤ 思路解析：本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.由图形得函数解析式应为y=2x（x ≥0）. 答案：D观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数；当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_________.思路解析：此题考查学生的观察能力、归纳总结能力.通过观察图表：二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.依次类推，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1.答案：26-18.求函数y=f （x ）=（41）x-（21）x +1，x ∈［-3，2］的值域. 思路解析：将（21）x看作一个未知量t ，把原函数转化为关于t 的二次函数求解. 解：∵f （x ）=［（21）x ］2-（21）x+1，x ∈［-3，2］，∴（21）2≤（21）x ≤（21）-3，即41≤（21）x≤8. 设t=（21）x ，则41≤t ≤8.将函数化为f （t ）=t 2-t+1，t ∈［41，8］.∵f （t ）=（t-21）2+43，∴f （21）≤f （t ）≤f （8）.∴43≤f （t ）≤57.∴函数的值域为［43，57］.9.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间t 后的温度T 将满足T-T α=（T 0-T α）·（21h t)，其中T α是环境温度.使上式成立所需要的时间h 称为半衰期.现有一杯用195°热水冲的速溶咖啡放置在75°的房间中，如果咖啡降温到105°需20 min ，问欲降温到95°需多少时间？思路解析：由所给公式知它是时间t 与温度T 的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h 值.再将T=95代入已求得的T=f （t ）中求得t.解：由题意，知T=T α+（T 0-T α）h t )21(.将有关数据代入，得T=75+（195-75）·h t)21(.这里h是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，此时，105=75+（195-75）·h 20)21(，解得h=10.∴T=75+（195-75）·10)21(t. （*）欲使T=95，代入（*）式，得95=75+（195-75）·10)21(t，即10)21(t=61.两边取对数，查表得10t=2.6，即t=26（ min ）.因此，在咖啡冲好26 min 之后降温至95°. 10.已知f （x ）=x （121-x +21）.（1）判断函数的奇偶性； （2）证明f （x ）>0.思路解析：本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式. （1）解：函数的定义域为{x|x ≠0}.f （-x ）=-x ·)12(212-+--x x =-x ·)21(221x x -+=x ·)12(221-+x x=f （x ），∴函数为偶函数.（2）证明：由函数解析式，当x>0时，f （x ）>0.又f （x ）是偶函数，当x<0时，-x>0. ∴当x<0时，f （x ）=f （-x ）>0，即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）>0.11.设函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且f （x ）≠0，对于任意x 1、x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2）. （1）求证：f （x 1-x 2）=)()(21x f x f ； （2）若f （1）=2，解不等式f （3x ）>4f （x ）.思路解析：由于函数y=a x具有本题中f （x ）的条件与结构，因而在解题时可以用指数函数y=a x（a>0且a ≠1）为模型类比. 本题考查抽象函数的性质.（1）证明：∵f （x 1）=f （x 1-x 2+x 2）=f （x 1-x 2）·f （x 2），又f （x ）≠0，∴f （x 1-x 2）=)()(21x f x f .（2）解：∵f （1）=2，∴2f （x ）=f （1）·f （x ）=f （1+x ），4f （x ）=2·2f （x ）=f （1）·f （1+x ）=f （2+x ）.那么f （3x ）>4f （x ）可化为f （3x ）>f （2+x ）. 又∵函数f （x ）是定义在R 上的增函数， 由f （3x ）>f （2+x ）得3x>2+x ，即x>1.故不等式f （3x ）>4f （x ）的解集是{x|x>1}. 12.定义在R 上的函数y=f （x ），f （0）≠0，当x>0时，f （x ）>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a+b ）=f （a ）·f （b ）. （1）证明f （0）=1；（2）证明对任意的x ∈R ，恒有f （x ）>0； （3）证明函数y=f （x ）是R 上的增函数.思路解析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.证明：（1）取a=b=0，则f （0）=f 2（0）. ∵f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）当x ≥0时，f （x ）≥1>0成立，当x<0时，-x>0，f （0）=f （x-x ）=f （x ）f （-x ）=1，∴f （x ）=)(1x f ->0. ∴x ∈R 时，恒有f （x ）>0.（3）法一：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0. ∴f （x 2）=f （x 2-x 1+x 1）=f （x 2-x 1）·f （x 1）. ∵x 2-x 1>0，∴f （x 2-x 1）>1. 又f （x 1）>0，∴f （x 2-x 1）·f （x 1）>f （x 1）. ∴f （x ）是R 上的增函数. 法二：设x 2=x 1+t （t>0），f （x 2）=f （x 1+t ）=f （x 1）·f （t ）>f （x 1）.或者设x 1<x 2，则)0()()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-∙-∙=>1. 又f （x 1）>0，f （x 2）>0， ∴f （x 2）>f （x 1）.。