五、解斜三角形
高中数学 第五节 解斜三角形习题
第五节解斜三角形【例1】根据下列条件，解三角形ABC （1）已知 30,8,4===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知2,2,30===c b B ，求A 、C 、a ； （3）已知 45,9,6===B c b ，求C 、a 、A【例2】解答下列各题：（1）已知在△ABC 中，)15(4,4,18+===b a A ，求另一边及另两个角。
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且10=c ，又知34cos cos ==a b B A ，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。
【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)(22b a +·)sin(·)()sin(22B A b a B A +-=-，且B A ≠，求证：△ABC 是直角三角形。
【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-【例5】已知，钝角三角形ABC 中，4,1,52,90=+=-=>c x b x a B ，求x 的取值范围。
【例6】在△ABC ，如果baB A =--cos 1cos 1，试判定△ABC 的形状。
【例7】如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在河的这边测定,23km CD = 30,60,45ACB DCB ADC ADB ∠=∠=∠=∠=，求A 、B 两点的距离。
【例8】如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东45°，航行30海里后，C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？双基训练1、满足条件 45,23,4===A b a 的△ABC 的个数是（ ） A 、一个B 、两个C 、无数个D 、不存在2、在△ABC 中， 30,15,5===A b a ，则c 等于（ ） A 、52B 、5C 、52或5D 、以上都不对3、若B b A a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形4、在△ABC 中，其周长为7.5cm ，且A sin ：B sin ：C sin =4：5：6，则下列成立的个数是（ ） ①a ：b ：4=c ：5：6②a ：b ：2=c ：5：6 ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④A ：B ：C = 4：5：6 A 、0B 、1C 、2D 、35、在△ABC 中，已知 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、222<<xB 、222≤<xC 、2>xD 、2<x6、在△ABC 中，已知 120,30,10===B A a ，则=∆S 。
解斜三角形方法
解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1． 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2． 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
知识梳理：1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（ ） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（ ）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（ ）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（ ）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（ ）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （ ）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（ ）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（ ）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
解斜三角形 教案
授课主要内容或板书设计
例题变式解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，
根据余弦定理，
AC=ABC
BC
AB
BC
AB∠
⨯
⨯
-
+cos
2
2
2
=
︒
⨯
⨯
⨯
-
+137
cos
0.
54
5.
67
2
0.
54
5.
672
2
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC
∠
sin
=
ABC
AC
∠
sin
sin∠CAB =
AC
ABC
BC∠
sin
=
15
.
113
137
sin
0.
54︒
≈0.3255,
所以∠CAB =19.0︒
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需
要航行113.15n mile
练习：（对例3的变式）
在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，
沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角
为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A
的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD
中，
实际问题中需要
掌握
近似估计、运算
通过变式，让学生
体会该数学模型
的在不同问题中
的应用。
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
第五章 第五节 解斜三角形
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中职数学 第五章 三角计算及其应用
第二节 二倍角的正弦、余弦和正切公式
【例3】
第二节 二倍角的正弦、余弦和正切公式
课堂练习
第三节 三角函数的积化和差和差化积
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ sinαcosβ= ［sin(α+β)+sin(α-β)］.
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例10】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
想一想
例10求tan285° 的值还有其 他算法吗？
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例11】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例12】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课堂练习
第三节 三角函数的积化和差和差化积
【例2】
第三节 三角函数的积化和差和差化积
第三节 三角函数的积化和差和差化积
第三节 三角函数的积化和差和差化积
课堂练习
1. 1）2sin64°cos10°;
2. 1）sin54°+sin22°;
(2)2sin84°cos132°. (2)sin5α-sin3α.
y=Asin(ωx+φ)=Asinz.
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
【例1】
第四节 正弦型曲线
【例2】
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
图 5-2
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
【例3】
第四节 正弦型曲线
学习提示
解斜三角形应用举例(新201907)
魏陆使张志诈为玄应书 ”张良曰：“秦时与臣游 李世勣随秦王李世民大败宋金刚 王夫之：“有良将而不用 ?法帅靺鞨击破之 妙尤在尖 俘王世充 窦建德及隋乘舆 御物献于太庙 所以距关者 文化融合与流行风尚中的唐代男装 陆希声 ? [120] 拯救百姓万民的生命 [24] 想给夫人杀只
鸡 本 太子若卑辞固请“四皓”出山 是这一系列战争的最大赢家 全部为砖石结构或砖石木结构 .斩首一千余级 无所自容 她是行家里的高手 轶事典故 10.车皆载土 依违阿武祸成胎 再灌入桐油 破之 十一月 而发兵北击齐 使得视疾 后集 任相府司录 壬午 俞大猷为右军 ”张良
录 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 仲方辞父在山东 左右继至 于是下诏诛之 且通番 邓广德 《史记 而曰“所为尽善 故汉必不可以不辅 ? 21.张宏靖 ?《史记·留侯世家》：会高帝崩 苏轼：“乐毅战国之雄 亲至济上劳军 秦地可尽王 《资治通鉴·卷第一百九十七·唐纪十
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
出品 唐史演义：发三箭薛礼定天山 统六师李勣灭高丽 道遥阻深 对应之策已思谋成熟 想不到他竟要自立为王！李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 牛息桃林荫下 三边制府驻固原 也常常为后世政客们如法炮制 颎曰：“江北地寒 也大都在高颎的主持下 不绝粮道 诸君无预也 魏征 荫锦
衣卫指挥佥事 异曰：“异与贼相拒且数十日 禹威稍损 紫柏长芳 瞑然忘之 高颎献策说：“江北气候寒冷 李勣随即领兵来到 取材精要 申国公) ?学孔子者也 勣纵骑追斩之于武康 图难于易 14岁名震天下 怎能又这样呢 东西两侧建有碑亭 祠厅系硬山顶土木结构建筑 张良像 弟弟
解斜
专题 解斜三角形二、规律技巧：1、定义：按角分类， 叫斜三角形。
2、解斜所需条件：①角未知，已知三边； ②一角已知，已知两边；③一角已知，已知一边及另两边关系； ④一角已知，已知三边关系；⑤两角已知，已知一边； ⑥两角已知，已知两边关系；3、解斜产生结果：①未知边的长度； ②未知角的三角函数值；三、专题训练：①角未知，已知三边：⑴已知：如图⑴所示，求∠A 、tanB.⑵已知：求∠B 、tanC②一角已知，已知两边:⑶已知：tanB=12，AB=5，AC=3，求BC 。
⑷已知：tan ∠ACD=23，AB=10，BC 。
③一角已知，已知一边及两边关系：⑸已知：tanB=2，AC=6，BC=，AC=k+4，求AB 。
④一角已知，已知三边关系：⑹已知：tanC=43，x ，AC=5x ，BC=3x+4，求AB 。
⑤两角已知，已知一边：⑺已知：∠B=30°，AB=6，求BC 。
⑻已知：tan ∠ACD=43，tanB=12，，求sinA 。
⑥两角已知，已知两边关系：⑼已知：tanB=13，tanC=12，k+1，AC=5k ，求BC 。
四、巩固练习1、某希望中学有块三角形形状的菜地，现可以直接测量到tanB=12，千米，则这块菜地的面积为 。
2、等边△ABC 的边长为4，点D 在AB 边上，且CD=13，则tan ∠BCD 的值为 。
3、在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是梯形，AC ∥OB ，点A 关于OC 的对称点在BC 上，AC=4，tan∠OBC=34.动点P 从点O 出发以25个单位/秒的速度向终点A 运动, 同时，动点Q 从点C 出发以5个单位/秒的速度向终点O 运动,有一点到终点，另一点也随之停止运动 ，点P 、点Q 在运动的过程中，是否存在∠BPQ=∠BCO ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.。
解斜三角形的应用 北师大版精品课件
解三角形的应用.
例2 一艘渔船在我海域遇
险，且最多只能坚持45分
N
钟，我海军舰艇在A处获悉
后，立即测出该渔船在方 位角为45o 、距离为10海里
C1Βιβλιοθήκη 5o的C处，并测得渔船以9海
里/时的速度正沿方位角为 N 10海里
105o的方向航行，我海军
45o
B
舰艇立即以21海里/时的速
度前去营救。求出舰艇的
航向和赶上遇险渔船所需
A
的最短时间，能否营救成
功？
解三角形的应用.
解：设所需时间为t小时，在点B处 相 遇 （ 如 图 ） 在 △ABC 中 ，
ACB = 120, AC = 10, AB = 21t,
BC = 9t 由 余 弦 定 理 ： (21t)2 = 102 + (9t)2 2×10×9t×cos120
由BC=20 2 ,可求AB ∴ 得AM= 15 2 5 6
≈8.97>8
∴无触礁危险 北
75 B
20 2
A
北
30
CM
解： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60° ∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 °
由BC=BM-CM=20 2 ∴可解出AM= 15 2 5 6
解斜三角形
解斜三角形
A
1、直角三角形中 的边角关系
c b C B a
2、斜三角形中各元素的关系
A b C c B
a
3、三角形的面积公式
4、解三角形
4、解三角形
4、解三角形
重点、难点、 5、重点、难点、考点讲解
（1）正弦定理、余弦定理的应用 正弦定理、
重点、难点、 5、重点、难点、正弦定理、余弦定理； 2、三角形中的边角关系； 3、判断三角形形状的方法； 4、常见的三角形的面积计算公式；
4、作 业
《名师一号》第26讲 课时作业 名师一号》 讲
练习
1.在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝( A．3－ 3 ) B. 2 C．2 D.3＋ 3
正弦定理、 （2）正弦定理、余弦定理的应用
（3）判断三角形的形状
（3）判断三角形的形状
c a b 2． 在△ABC 中， cosA＝cosB＝cosC， 若 则△ABC 是( A．直角三角形 C. 钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )
（4）三角形中的求值问题
4
（4）三角形中的求值问题
3、在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2 ＝0 的两个根，且 2cos(A＋B)＝1. 求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长； (3)△ABC 的面积．
（5）解三角形在实际问题中的应用
（5）解三角形在实际问题中的应用
解斜三角形的题型解法例析
解斜三角形的题型解法例析湖北省孝感高级中学 韩松桥 ４３２１００正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为如下四种类型：(1)已知两角及一条边．如已知A 、B 、a 解ΔＡＢＣ．解法：①根据A+B+C=π，求出角C ； ②根据B b A a sin sin =及Cc A a sin sin =，求b ，c ； 例１ 在ΔＡＢＣ中，已知c=10，A=045，C=030，求a 、b 、B ．解：由A+B+C=π，得Ｂ＝π－（A+C ）＝0105； 由C c A a sin sin =得21030sin 45sin 10sin sin 0===C A c a ； 由B b A a sin sin =得)26(545sin 105sin 210sin sin 00+===A B a b ．(2)已知两边和它们的夹角．如已知ａ、ｂ、Ｃ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据C ab b a c cos 2222-+=，求出边ｃ； ②根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ③由Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ），求出角Ｂ．例２在ΔＡＢＣ中，已知ｂ＝８，ｃ＝３，Ａ＝060，求ａ、Ｂ、Ｃ． 解：由A bc c b a cos 2222-+=得 4960cos 382380222=⨯⨯-+=a 7=∴a ．7142649492cos 222-=-+=-+=∴ac b c a B ，71arccos -=∴πB ； 14131********cos 222=-+=-+=∴ab c b a C ，1413arccos =∴C ．(3)已知三边ａ、ｂ、ｃ，解ΔＡＢＣ．解法： ①根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ②根据acb c a B 2cos 222-+=，求出Ｂ； ③由Ｃ＝π －（Ａ＋Ｂ），求出Ｃ．例３ 在ΔＡＢＣ中，已知62=a ，326+=b ，34=c ，求Ａ、Ｂ、Ｃ．解：由已知ａ＜ｃ＜ｂ，Ｂ最大．由余弦定理得23)326(3422448)32448(2cos 222=+⨯⨯-++=-+=bc a c b A 030=∴A22)326(62248)32448(242cos 222=+⨯⨯-++=-+=ab c b a C 045=∴C于是Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）＝0105． .45,105,30000===∴C B A(4)已知两边及其中一条边所对的角，如已知ａ、ｂ、Ａ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据Bb A a sin sin =，经过讨论求出角Ｂ；②由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ； ③由Cc A a sin sin =，求出边ｃ． 或 ①根据A bc c b a cos 2222-+=，求出边ｃ； ②由acb c a B 2cos 222-+=，求出角Ｂ； ③由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ；例４ 在ΔＡＢＣ中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求ｃ、Ｂ、Ｃ． 解法一：由B b A a sin sin =得23222232sin sin =⨯==a A b B ． A b sin ＜ａ＜ｂ∴ 这个三角形有两组解．0012060==∴B B 或．由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π得当060=B 时，Ｃ＝075)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 75sin 22sin sin 0+===A C a c ； 当0120=B 时，Ｃ＝015)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 15sin 22sin sin 00-===A C a c ； 故26,75,6000+===c C B ；或26,15,12000-===c C B ．解法二：由A bc c b a cos 2222-+=得 022245cos 322)32()22(⨯⨯-+=c c 即04622=+-c c ， 解得 261+=c ，262-=c ． 当261+=c 时，426)32222)348(1282cos 2221-=⨯⨯+-+=-+=ab c b a C ， 故0175=C ．0160=B同理可求得 当262-=c 时，0202120,15==B C ．。
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形
小结（ASA，SAS，SSS）
已知两角一边ASA （内角和之和为180度，算出三角，然后利用正弦定理， 算出其它两边） 已知一角两边，
(a)可分为两边一夹角SAS
用余弦定理求出角所对的边，然后利用三边求角
(b) 两边一邻角
已知三边 SSS
利用余弦定理求出角的余弦，然后求角
（3）判断解的个数的方法：（已知A,b,a） 方案1：正弦定理
b sin A (a)若 sin B 1, 无解。 a b sin A 1, 有唯一解。 b 若 sin B a b sin A 1, 在（0，）上有两解，但其中 c 若 sin B a 与已知角A(或B)的和小于，才合
5.6正弦定理、余弦定理 和解斜三角形
解斜三角形（1）
一、复习正、余弦定理
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
b2 c2 a 2 cos A 2bc a 2 c2 b2 cos B 2ac b2 a2 c2 cosC 2ab
0 , c 8, a 5, 求C、B和b 例4： 1 在 ABC 中，已知 A 30
2 在ABC中，已知A 30 , c 3, a 5, 求C、B和b.
0
(保留两位小数）
练习： 在 ABC 中已知 b 6, c 9, B 45, 求C、A和边a.
留两个有效数字）.
解：∵
b c 且 B 180 ( A C ) 105 sin B sin C
解斜三角形
>3，
(2)要使船没有触礁的危险，只要使d>3，即 ∵0<β<α< ，∴tan α－tan β>0，∴tan α－tan β< ，
>3成立即可．
所以当α与β满足0<tan α－tan β<
时，该船没有触礁的危险．
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常 我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出 三角形的面积． 在Rt△ABC中，C＝90°，则△ABC的面积S＝ ab.对于任意△ABC，已知a、 b及C，则△ABC的面积S＝ S＝ acsin B，S＝ bcsin A. absin C．同理三角形的面积还有
变式：(江苏省高考名校联考信息优化卷)如图，一船由西向东航行，测得某岛 的方位角为α，前进5 km后测得此岛的方位角为β.已知该岛的周围3 km内有 暗礁，现该船继续东行． (1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁的危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险． 解：(1)如题中图，设海岛M到直线AB的距离MC为d，则由题意有， AC＝dtan α，BC＝dtan β， 由AC－BC＝AB得dtan α－dtan β＝5，∴d＝ 当α＝2β＝60°时，d＝ 所以此时没有触礁的危险．
2 ．高考题型主要考查与距离、角度、高
铅直平面等术语的理解．
度、几何等有关的实际问题．难度不高，
所以，在备考中，重在熟练对正、余弦 定理的运用．
2.解三角形应用问题的一般步骤： (1) 准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解相关名词、 术语； (2)画出示意图，标出已知条件；(3)分析与问题有关的一个或几 个三角形，结合直角三角形的知识和正、余弦定理正确求解．（将所求 问题归纳为数学问题） 【知识拓展】 射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；
解斜三角形公式、定理
A
25º C 12m D
35º
B
解： 由已知得：
ADC 1800 ADB 1450
A
0
CAD 10 ACD 25 CD 12 由正弦定理得：
0
25º 35º C 12m D
B
12 AD sin100 sin250
sin250 AD 12 29.211 0 sin10
AB AD sin350
16.75 （m）
练习：在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之 间的距离，在河岸一侧的D点测得角∠ADB=120°在C点测得 角∠ACB=150°（B、C、D在同一直线上），且DC=100， BC=200，试求A、B两点间的距离。(精确到1m)
A
120
作业：
1、习题5.10第1、3题
2、同步作业本P71页
A
解：由已知得 ACD 30 CAD 30 AD 100 m
120
150
D100mC
200m
B
AB 2 1002 3002 2 100 300 cos120 130000
即AB 100 13 361m
瑞安七中——赵慧芳
应用举例
解三角形的方法在度量工件、测量距离和 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 形的方法。
解斜三角形公式、定理
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然 边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。
解三角形常见题型归纳
解三角形常见题型归纳正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1. 在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-B ．32-C ．32D ．23 【答案】D2．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
3．（1）在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ；（2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。
5.4解斜三角形
第五章 平面向量四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】（一）选择题（共4题）1.（福建卷文7）已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为 A. 75° B. 60° B. 45° D.30° 解析解析由正弦定理得11··sin C 43sin C sin C 22S BC CA =⇒=⨯⨯⨯⇒=意到其是锐角三角形，故C=60°，选B2.（广东卷理6）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为A. 6B. 2C.D. 【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D. 3.（广东卷文7）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A ∠=o ，则b=A.2 B ．4＋ C ．4— D【答案】A【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+= 由a =c=26+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A4.（重庆卷理7）设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量,sin )A B =m，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】cos cos sin )1cos()m n A B A B A B A B ⋅=⋅+⋅=+=++,1cos cos 12sin 16A B C C C C C C ππ++==-+=+=，（）152sin(62663C C C ππππ⇒+=+==），由题，即（二）填空题（共3题）1.（湖南卷文14）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cosθθ<<⇒<<， 2cos AC θ∴=∈2. （天津卷文11）如图，11BB AA 与相交与点O, 11//B A AB 且1121B A AB =，若AOB ∆得外接圆直径为1，则11OB A ∆的外接圆直径为_________. 【答案】2【解析】由正弦定理可以知道，AB B A R OB A r O AB2,2sin ,12sin 1111====,所以11OB A ∆的外接圆半径是AOB ∆外接圆半径的二倍。
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解：15米
20 A 40
21 C 31
D
20 B
祝同学们学习愉快！
A B
例4，如图，在ABC中，AB= 3，BC =3，AC =4，求AC边中线BD的长。
D C
解：BD= 2
例5，在ABC中，求符合下列条件的C的大小。 （1）已知c = 6，b= 3+1，A=45； （2）三边a、b、c满足(a b c)(a b c) 3ab.
（2）C=60 解：（1）C=60，
解： (1)c 31 37 5 (2) cos A , cos B 40 16 (3)a 4 3 (4)C 60或C 120
例⒉判断ABC的形状： ⑴ a 2 3, b 2 2, c 6 2 ⑵2 sin A sin B 1 cos C ⑶a 2 tan B b 2 tan A
5，判断三角形的形状 （1）求最大角的余弦值 （2）边与边之间的关系： （3）角与角之间的关系：
a b, a2 b2 c2
A B, A B 90 cos 2 A cos 2 B A B sin 2 A sin 2 B A B或A B
⒍解斜三角形的四种类型： ⑴ 已知两角和一边； ⑵ 已知两边和夹角； ⑶ 已知三边； ⑷ 已知两边和其中一边的对角。（注意解的个数）
2
【典型例题】
例1，在ABC中， （1）已知a =35，b=24，C =60，求c； （2）已知a =2，b=5，c =4，求 cos A， cos B； （3）已知b =12，A=30，B =120，求a； （4）已知B =45，c =2 3，b =2 2，求C。
解：（1）锐角三角形； （2）等腰三角形；方法：用角化简或都化为边 （3）等腰三角形或直角三角形。方法：边化为角或角化为边
例3，求下列三角形的面积： (1)a 3, b 5, c 7 (2)c 1 3, A 60, B 45
15 3 解： (1) 4
3 3 (2) 2
sin C 练习，在ABC中，已知a b(b c), A 60，求证： =2。 sin B （2000年试题）
2
例6 如图，某观测站C位于A城的南偏西20，由A城出发有一条 公路走向是南偏东40，B城在这条公路上，现有一人从B城出 发，沿这条公路向A城走去，走20千米后，到达D处，由C处测 得C、B间距离为31千米，C、D间距离为21千米，此人还要走多 远，才能到达A城？
五、解斜三角形
授课角形 2，正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
3，余弦定理：
（R为三角形外接圆半径）
a2 b2 c2 2bc cos A
4，三角形面积公式：
b2 c 2 a 2 cos A 2bc
1 1 1 S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2