第讲正规子群与群论的基本课题第讲正规子群与群论的基本
第10讲正规子群与群论的基本课题.ppt
空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
如果有, 问: 有多少个? 这个问题叫群的扩张问题,也是群论的基本课题之一.
8
第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
第10讲 正规子群与群论的基本课题 第10讲 正规子群与群论的基本课题
1
第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
2
第10讲 正规子群与群论的基本课题
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
3
第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
代数学基础课件群和子群的基本概念
课件群的概念
课件群是指在特定运算下满足群运算性质的集合。
课件群的例子
常见的课件群包括整数集合和实数集合。
子群
1 子群的定义
子群是群的一个子集，且在相同的运算下也构成一个群。
2 子群的性质
子群继承了群的运算性质，同时具有自身的特性。
3 子群的例子
在整数集合中，偶数集合是一个子群。
直积群
直积群的概念
代数学基础课件群和子群 的基本概念
代数学基础课件群和子群的基本概念。探索代数学定义、代数系统、群的概 念、群运算性质以及课件群和子群的例子。
代数学基础
代数学的定义和代数系统的介绍。
课件群
群的定义
群是一种代数结构，包含一组操作和一组运算规 则。
群运算的性质
群运算满足封闭性、结合律、单位元、逆元等性 质。
结论
本节课的总结
学习了代数学基础、课件群和子群的定义以及直积群和同构的概念。
拓展阅读
深入了解群论的应用以及其他高级代数学概念。
问题与讨论
探讨群的运算性质和子群的判定方法。
直积群是由多个群的元素按照一 定方式组合而成的群。
直积群的性质
直积群的运算满足封闭性、结合 律等性质。
直积群的例子
两个整数集合的直积可构成一个 直积群。
群的同构
1
同构的定义
同构是指两个群之间存在一一对应的映
同构的性质
2
射，保持群运算。
同构保持群的基本性质，如单位元和数乘法群是同构的。
北大群论讲义
北大群论讲义群论作为数学中的一个重要分支，对于数学和其他领域都具有重要的影响。
北大群论讲义作为一份权威的讲义资料，系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是学习群论的重要参考资料之一。
首先，群论的基本概念是群的定义，群的运算，群的性质等。
群论讲义详细介绍了群的定义，即满足封闭性、结合律、单位元、逆元四个性质的代数结构。
讲义还介绍了群的运算，包括群的加法和乘法运算，以及群的性质，如群的阶、子群、同态等重要性质。
其次，群论讲义还介绍了群的基本定理，如拉格朗日定理、群的同态基本定理、群的同态基本定理等。
这些定理是群论的基础，对于理解群的结构和性质至关重要。
拉格朗日定理是群论中的重要定理之一，它说明了群的子群的阶必须能整除群的阶。
群的同态基本定理则说明了群的同态的核和像的性质，是群同态的基本定理之一。
另外，群论讲义还介绍了群的群同态、群的同构、群的正规子群等概念。
群的群同态是群论中的重要概念，它描述了群之间的映射，保持群的结构和运算的映射。
群的同构是群的同态的特殊情况，即群之间的双射同态。
群的正规子群是群的特殊的子群，它的左陪集和右陪集相等，具有重要的性质和应用。
总的来说，北大群论讲义系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是群论的重要参考资料之一。
群论作为数学的一个重要分支，对于数学的发展和应用有重要的影响。
群论的概念和定理不仅在数学中具有重要的地位，还在物理、化学、计算机等领域有着广泛的应用。
希望学习群论的同学可以通过学习北大群论讲义，深入理解群论的基本概念和定理，为将来的学习和研究奠定坚实的基础。
群论的学习不仅可以提高学生的抽象思维能力，还可以培养学生的逻辑推理能力，是数学学习的重要内容之一。
浅谈正规子群与理想毕业论文
浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义：定义：一个群G 的一个子群N 叫做一个正规子群，假如对G 的每一个元a 来说，都有N a aN =.例1、交换群G 的任意子群H 都是G 的正规子群。
因为对任意a G ∈,有{|}{|}aH ah h H ha h H Ha=∈=∈=.由于正规子群仅要求G 的两个形如aH 与H a 的子集相等，这与G 中任何两个元素a ,b 可交换，即ab ba =，是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设I 是环R 的一个非空子集，如果 (1)对任意,a b I ∈,有a b I -∈(2)对任意a I ∈,任意r R ∈,有,ar ra R ∈ 则称I 是环R 的一个理想.由于（1），一个理想是一个加群。
由于（2），I 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环，但（2）不仅要求I 的两个元的乘积必须在I 里，而且进一步要求，I 的一个任意元同R 的一个任意元的乘积都必须在I 里.例1、 在整数环Z 中1{2|}2I n n Z Z =∈=，2{|}I an n Z aZ =∈=, ()a Z ∈,则1I ,2I 是Z的理想.二、下面我们给出正规子群与理想性质的比较（一）性质1：设H 是G 的子群，则以下几个命题是互相等价的： (1)对任意a G ∈,有aH H a = (2)对任意a G ∈,任意的h H ∈,有1aha H -∈ (3)对任意a G ∈,有1aHa H -⊆ (4)对任意a G ∈有1aHa H -=. 证明：(1)⇒(2)：对任意a G∈,任意的h H ∈,有111ah H a ah h a ahah H-∈⇒=⇒=∈(2)⇒ (3):1aha H -∈，推出1aha H -⊆(3)⇒ (4) 由对任意的a G ∈，有1aha H -⊆，因而也有，即1a Ha H -⊆.故对任意的h H ∈，有11a ha h -=,所以111h ah a aH a --=∈，得1H aha -⊆，故1aHa H -= (4) ⇒(1) 所以11()aH a H aH a a H a aH H a --=⇒=⇒=.例：设{|,,0}01rs G r s Q r⎛⎫=∈≠⎪⎝⎭，则G 对于矩阵的乘运算做成一个群，且1110101r s r r s ---⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1{|}01t H t Q ⎛⎫=∈⎪⎝⎭,容易验证H 是G 的一个子群。
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
_
_
G ~ G，
_
例 令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通 乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法 作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！ 负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的 代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习 设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作 业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习 二、 群同态基本定理 三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的 集合，叫做 ϕ的核 ，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合， 叫做
ϕ的象集 ，记为 Im ϕ .
结论： 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
代数学基础课件群和子群的基本概念
a*b=b*a=e，其中e为单位元 。
群的例子
01
02
03
整数加法群
整数集合和加法运算，单 位元为0，逆元为-a。
矩阵乘法群
n阶矩阵集合和乘法运算 ，单位元为单位矩阵，逆 元为矩阵的逆。
置换群
n个元素的集合和所有可 能的置换，单位元为恒等 置换，逆元为元素的逆置 置换。
要点一
总结词
向量表示法是将群中的元素表示为向量，利用向量的加法 、数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质。
要点二
详细描述
向量表示法适用于连续群或无限群，通过将群中的元素表 示为向量，可以更好地描述群的连续性和无穷性。这种方 法在物理学、工程学等领域有广泛应用。
符号表示法
总结词
符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法，通过 符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质。
群具有单位元和逆元，满足结合 律、交换律和幺半群的定义。
群的基本性质
01
02
03
04
封闭性
群中的任意两个元素通过二元 运算得到的仍然是群中的元素
。
结合律
群中的任意三个元素按照任意 顺序进行二元运算，结果都相
等。
单位元存在
存在一个元素e，使得对于群 中的任意元素a，都有 e*a=a*e=a。
逆元存在
单位元
群中存在一个单位元e，使 得对于群中任意元素a，都 有ea=a和ae=a。
逆元
群中任意元素a都存在一个 逆元a'，使得aa'=e和 a'a=e。
子群的运算规则
子群必须是封闭的
子群必须具有逆元
子群中的元素按照群中的运算规则进 行组合时，结果仍属于子群。
近世代数--正规子群与商群
1 1
三、例题分析
例1 证明
设H G, N G, 证明: HN G
e ee HN HN h1 , h2 H , n1 , n2 N
第八节
• • • •
正规子群与商群
正规子群的定义 正规子群的等价性命题 商群 小结
设H G, 若
一、正规子群的定义
定义
设N G , 若a G , 有aN Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1
任意一个群G都有两个正规子群e与G , 这两个正规子群称为G的平凡正规子群. 若N G , 且N e, N G , 称N是G的非 平凡正规子群
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana n1 N
1
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a 1 Na N n N , a 1na N 于是n a (a na)a aNa
1 1 1
N aNa1 aNa1 N
二、正规子群的等价性命题
定理
设 N G, 则下述命题等价
(1) N G, (aN Na, a G (2)ana N , a G, n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右陪集.
1
( h1n1 )( h2 n2 ) 1 h1n1n2 1h2 1 ( h1h2 1 )( h2 n1n2 1h2 1 ) HN
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
正规子群和商群
性质1 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群.
证明：首先由前面可知它是子群；而且
a H I N , H , N是G的不变子群，则x G, xax1 H且xax1 N xax1 H I N 因此H I N是G的不变子群.
性质2 不变子群与子群的乘积是子群；
h1n1 1 h2n2 n11 h11h2 n2
n11h3n2
h3n3n2
h3 n3n2 HN
这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H的一个右陪 集 Ha 未必等于 H的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
伽罗华在180年多前发现，对任意群G， H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与 Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子 群H则具有特别重要的意义，他把这类子群
叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以 定义一种和G相关的新群—商群.
定义 1 N G, a G, 都有aN Na， 则称 N 是群 G 的一个正规子群（或不变子群）
记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是正规子群.
{e}: a G, a{e} {a} {e}a G : a G, aG G Ga
问：H G ，SL {aH | a G} 关于子集乘法做成群吗？
定理：N G，G / N {aN | a G} 关于乘法 aN bN (ab)N 做成群.
且称 G / N {aN | a G} 为 G 关于N 的商群.
证明：① N =eNG / N ，故非空；
② 乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）： aN aN ,bN bN ,(aN )(bN ) (ab)N ,(aN )(bN ) (ab)N n1, n2 N , a an1, b bn2 ab a(n1b)n2 a(bn3 )n2 abN abN abN
第三章正规子群和群的同态与同构
Taishan University
山东省成人高等教育品牌专业网络课程
抽象代数
复习回顾:
当 又是满射时,则称群 G与 G同态,
记为 G ~ G.
当是一个双射时, 称为群G到G
的一个同构映射.如果群G到 G 存在同构 映射,就称群 G与G同构,记为 G G.
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抽象代数
定理5 设G是一个 pn阶有限交换群,其中 p是一个素数,则 G 有 p阶元素,从而有p 阶子群.
提示:对n用数学归纳法可证.
推论 pq ( p, q为互异素数) 阶交换群必为
循环群.
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抽象代数
三 哈密顿群和单群
定义2 设 G 是一个非交换群.如果G 的每个子群都是的正规子群,则称 G是一个 哈密顿群.
C(G) G . 例2 设 H S3 , 其中H ((123)) {(1),(123),(132)}
易知 H S3 .但是 S3 的.三个子群
H1 {(1),(12)}, H2 {(1),(13)}, H3 {(1),(23)}
都不是 S3 的正规子群.
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但 G是群,故由 e 2 e 可知，e 是G的单位元.
至于(a1) (a)1 可由定理1直接得到.
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抽象代数
定理2 设 是群G 到群G的一个同态映射
(不一定是满射), 则 1）当 H G时,有(H) G,且H ~ (H );
抽象代数
证 1)设 NG, H G,任取nh NH,(n N,hH), 由于hN Nh ,故 nh Nh hN HN, 从而NH HN. 同理可得 NH HN. 因此 NH HN ,从而 NH G.
群论正规化子引理
群论正规化子引理
群论中的正规化子引理（也称为拉格朗日定理）是一个非常重要的结果。
它描述了群的子群和正规子群之间的关系。
正规化子引理陈述如下：
设$G$是一个有限群，$H$是$G$的一个子群。
则$H$在$G$中的左陪集的个数（记作$[G:H]$）等于$G$的阶数除以$H$的阶数，即$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$。
简言之，正规化子引理告诉我们，对于一个有限群$G$的子群$H$，左陪集的个数与$H$的阶数成正比。
特别地，如果
$H$是$G$的正规子群，则左陪集的个数是相同的，即$[G:H]=|G/H|$。
正规化子引理的证明比较简单，可以使用群的等价关系（左陪集的等价关系）和乘法原理来进行推导。
正规化子引理在群论中有广泛的应用。
例如，它可以用来证明某些群的阶数必须是特定形式的等结果。
另外，正规化子引理还可以用来推导群的同构定理，即如果存在一个群同构，那么它们的较小子群和正规子群之间的关系也是对应的。
总之，正规化子引理是群论中的一个基本结果，它揭示了子群和正规子群之间的重要关系，对于研究群结构和性质非常有价值。
课程思政教学设计-《群论》
课程思政教学设计-《群论》1. 课程简介本课程旨在引导学生深入了解群论的基本概念、原理和应用，培养学生的逻辑思维和抽象推理能力，以及加强学生的团队合作和沟通能力。
2. 教学目标- 熟悉群论的基本概念和术语- 掌握群论的基本性质和操作方法- 能够运用群论解决实际问题- 培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学大纲第一章：群论基础- 群的定义- 群的性质和基本运算- 子群和陪集第二章：群同构和同态- 同构和同态的概念和性质- 同构定理和同态定理第三章：正规子群和商群- 正规子群的定义和性质- 商群和商映射- 商群定理第四章：群的生成和循环群- 子群的生成- 循环群的定义和性质- 循环群的分类第五章：群的作用和置换群- 群的作用和轨道- 置换群的定义和性质- 置换群的分类第六章：有限群和群的分类- 有限群的性质和分类- 有限单群的定理- 素数阶群和有限循环群4. 教学方法本课程将采用以下教学方法：- 讲授理论知识，结合具体例子进行解释和演示- 引导学生进行小组讨论和合作实践- 布置作业和课堂练，检验学生的理论掌握情况- 设计案例分析和实际应用任务，培养学生的问题解决能力5. 教学评估- 平时成绩：包括出勤情况、课堂表现、小组合作等因素，占总评成绩的30%- 作业和课堂练：包括理论题和计算题，占总评成绩的40% - 期末考试：综合考核学生对群论理论和应用的掌握情况，占总评成绩的30%6. 参考书目- 高等数学（第七版），北京师范大学出版社- 群论导论（第三版），清华大学出版社- Abstract Algebra, David S. Dummit and Richard M. Foote, Wiley以上为《群论》的课程思政教学设计，旨在提供学生全面掌握群论基本知识和方法的机会，并培养学生的逻辑思维和团队合作能力。
希望学生通过本课程的学习，能够拓展思维视野，运用群论解决实际问题，并在日常生活中体现出对共同社会价值的思考和追求。
第三章 正规子群和群的同态与同构
H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中 的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
S3，
但是H1 = {(1), (12)} ≤ S3，(13)H1 ≠ H1(13)，所以H1不是
命题1 如果H ≤ G且[G : H ] = 2，则H
G。
更一般地，在S n中， n : An ] = 2 ⇒ An [S
Sn
3．正规子群的判定
定理1 设G是一个群，N ≤ G，则 N 注： 定理1可改为：设G是一个群，N ≤ G，则 N G ⇔ ∀a ∈ G, ∀x ∈ N , axa −1 ⊆ N G ⇔ ∀a ∈ G, aNa −1 ⊆ N
H ≤G
事实上，设H ≤ G，则下面条件等价：
(1) aH = Ha, ∀a ∈ G； −1 ( 2 ) aHa = H ∀a ∈ G； ( 3) aHa −1 ⊆ H ∀a ∈ G； 4 ) aha −1 ⊆ H ∀a ∈ G, ∀h ∈ H (
例2 考虑：∀a ∈ S n , ∀x ∈ An , axa −1是一个偶排列，所以 axa −1 ∈ An，于是An Sn
已知子群的概念具有传递性的一个正规子群和一个子群之积仍是的子群两个正规子群之积仍是正规子群也就是说若都有进一步若还有xhhx那么叫做abnnabbnab称上述二式为陪集的乘法
不变子群之间相互对易,群与其所有不变子群同态
不变子群之间相互对易,群与其所有不变子群同态一、不变子群（正规子群）的概念1. 定义- 设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，如果对于任意的 g∈ G，都有 gHg^-1=H，则称 H 是 G 的不变子群（正规子群），记作 Hleft G。
- 这里 gHg^-1={ghg^-1h∈ H}。
2. 不变子群的一些性质- 对于交换群（阿贝尔群）G，G 的任意子群都是不变子群。
因为对于任意 g∈G，h∈ H（H 是 G 的子群），有 ghg^-1=gg^-1h = h∈ H。
二、不变子群之间相互对易1. 对易的含义- 在群论中，这里说不变子群之间相互对易，可能是指对于群 G 的两个不变子群 H_1 和 H_2，满足某种交换性相关的性质。
2. 证明示例（假设一种简单情况）- 设 G 是一个群，H_1left G，H_2left G。
- 考虑 h_1∈ H_1，h_2∈ H_2，因为 H_1left G，对于任意 g∈ G，gH_1g^-1=H_1，同理 gH_2g^-1=H_2。
- 由于 H_1 和 H_2 都是不变子群，我们可以通过一些群的运算和不变子群的性质来推导 h_1h_2 = h_2h_1。
（具体的推导可能因群的结构和已知条件而不同，这里只是一个思路框架）三、群与其所有不变子群同态1. 同态的定义- 设 G 和 G' 是两个群，φ:G→ G' 是一个映射，如果对于任意的 a,b∈ G，都有φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是从 G 到 G' 的一个同态映射。
2. 群 G 与其不变子群 Hleft G 同态的证明思路- 定义一个自然的映射π:G→ G/H（其中 G/H 是 G 关于 H 的商群），π(g)=gH。
- 首先证明π是一个映射，即对于任意 g∈ G，π(g) 的定义是唯一的。
- 然后证明π满足同态的性质，即对于任意 a,b∈ G，π(ab)=(ab)H=aHbH=π(a)π(b)。
群论-群论基础
群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。
正规子群
定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 定理 到 的 的子群， 态，并且 H是( G, ∘)的子群，则 H的像 f (H)是群 是 的子群 的像 是群 ( G’, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, ∘)的正规子 的子群； 是满同态， 的子群 的正规子 是群( 的正规子群。 群N的像 f (N)是群 G’, *)的正规子群。 的像 是群 的正规子群 定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, ∘)到群 ( G’, *)的一个同 定理 到 的 并且H’和 分别是 分别是( 态，并且 和N’分别是 G’, *)的子群和正规子群 的子群和正规子群 的原像H= f -1(H’)和N = f -1(N’)分别是 则H’和N’的原像 和 的原像 和 分别是 ( G, ∘)的子群和正规子群。 的子群和( G, ∘)是一个群，令 是一个群 Cg={ c |c ∈ G, c ∘g = g ∘c, ∀g ∈ G }， ， 的正规子群。 则Cg是G的正规子群。 的正规子群
的非空子集。 证 由 e ∈ Cg知， Cg是G的非空子集。 的非空子集 对a, b ∈ Cg, g ∈ G, 因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)， ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ， 又 a-1∘g = (g-1∘a)-1= (a∘g-1)-1= g∘a-1，所以 a∘b, a-1 ∈ Cg， ∘ ∘ ∘ 故Cg是G的子群。 的子群。 对a ∈ G，由于 aCg={ a∘c |c ∈ Cg }={ c∘a |c ∈ Cg } = Cga , ， ∘ ∘ 因此C 的正规子群。 因此 g是G的正规子群。 的正规子群
定理7.5.3 任意一个群 ( G, ∘)的商群 (G/H, ⊙)都是 定理 的商群 都是 ( G, ∘)的满同态像。 的满同态像。 的满同态像 自然同态 f : G → G/H, g →Hg 是一个满同态。 是一个满同态。 满同态 • 研究子群 的一个作用就是可以通过H来推测整个 研究子群H的一个作用就是可以通过 来推测整个 的一个作用就是可以通过 的性质。 群G的性质。如果现在是一个正规子群 的话， 的性质 如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 以及商群 那么就有两个群，正规子群 以及商群 可以 利用了。 利用了。
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
定理1.8.2 如果H是群G的正规子群,则陪集空间{G/H}关于运算 aH bH＝(ab)H
构成一个群,称为G对H的商群,记为 G/H. 证明: 结合律显然,有单位元 eH=H, 有逆元
(bH)1 = b1 H. ■ 如果H是群G的正规子群,则问题２的答案是肯定的：
aH ={ah: h∈H}
即 ahbl =abt b1hb(=tl1)∈H.
(*)
注意: 1、c =ah ∈aH的任意性等价于h∈H的任意性;
2、运算对象是所有的左陪集，要求运算与代表元的选择无关, 故(*)应对b∈G都对.
结论：运算aH bH＝(ab)H与代表元的选择无关当且仅当
h∈H, b∈G有 b1hb∈H.
例3 设n∈N, 在整数加群(Z,+)中,由 n 生成的子
3)
(b) b1 Hb=H
群是
nZ= {kn: k∈Z}.
4) (b◁Z,商群 Z nZ {0+ nZ, 1+nZ ,…, (n1)+nZ}.
Z对nZ的陪集称为模 n 的同余类或剩余类.
设m是|G|的任一正因数,由有限循环群的性质知,|G|有m
阶子群H. 由H◁G H={e}或G m =|H|=1或|G|.
所以, |G|是素数. ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 作业
P53 1, 3, 10, 11
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空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
(b∈G) HbHb1 (当b遍历G时, b1也遍历G )
(b∈G) Hb1 Hb
3) (b∈G) H=b1 Hb, (两边左乘b)
2) (b∈G) bH = Hb,
(b∈G,h∈H) 由 hb∈Hb = bH 有k ∈H 使 hb=bk
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
aH bH＝ a(Hb)H=a(bH)H= (ab)H. 例1 G/G是单位元群; G/{e} ≌G.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 如果H是群G的正规子群,就可以得到与G密切相关的两个
群:子群H和商群G/H. 如果H或G/H也有非平凡的正规子群,则将得到与G密切相
关的一些更小的群. 如此等等,就可将群G化简为相对很小的一些群来研究. 但是,如果G没有非平凡的正规子群, 则如此美好的研究
1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
设Ｈ是群Ｇ的一个子群，I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例4 交换群G是单群|G|是素数, 或者|G|=1.
证明 设交换群G是单群,且|G| ≠1, 则有a∈G, a≠e. 即a≠{e}. 由例2知a◁G. 而G是单群 a=G. 如果 a2 =e, 则|G|=2. 如果 a2≠e, 同理有a2=G. 于是有 a=(a2)k =a2k G是有限群.
(*)
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 定义1.8.1 设H是群G的子群,如果
(*) b1 hb∈H. (h∈H, b∈G) 则称H是G的正规子群(也叫不变子群),记H◁G。
每个群都有两个正规子群:{e}和G,这两个称为G的平凡正规子群.
定理1.8.1 设H是群G的子群,则 (1) H◁G (2) (b∈G) bH=Hb (因此,对正规子群不区分左右陪集) (3) (b∈G) b1 Hb=H (4) (b∈G) b1 HbH