第讲正规子群与群论的基本课题第讲正规子群与群论的基本
学习群论后的体会
学习群论后的体会
群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用。这门课的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。这门课主要介绍了群论的基本理论及某些应用。主要内容有：首先介绍群、子群、 群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。然后对群论中某些重要的概念作详细讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理，从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。最后是群表示论的基本理论及应用。
利用群的子群研究群的性质与结构是群论研究的一个常用方法.正规子群是群论中的一个核心概念,它在群论研究中起着极其重要的作用,它的重要性在于由它及群G本身可得到阶比|G|小且与G的运算密切相关的一个新的群。
群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构。在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。另外，群的自同构和自同态也是研究群的重要手段。
群论群论基础课件
群的基本概念和基本性质
§1.1 集合与运算 §1.2 群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 §1.7 对称群 §1.8 置换群
§0 绪论
群论-群论基础-集合与运算
群论的发展历史 群论在数学中的作用 我们为什么要学习群论
f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
群论-群论基础-集合与运算
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§1.1 集合与运算
抽象代数的基本概念
1 集合
集合：抽象代数研究的对象 集合的势
集合的乘积： 直积 内积
2 映射
群论-群论基础-集合与运算
定义：设 A 与 B 是两个集合，若有一种规则 f ，使得A的每 一个元素在 B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 就称为 A 到 B 的一个映射，记为
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
抽象代数——精选推荐
抽象代数
⼀、课程⽬的与教学基本要求
本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上，进⼀
步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。
⼆、课程内容
第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时
复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。
1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)
2、集论(Set Theory)
3、映射(Mappings)
4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)
5、整数(The Integers)
6、数学归纳法(Mathematical Induction)
7、复数(Complex Numbers)
第2章群(Groups) 22课时
建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建⽴抽象概念，掌握群同态定理及其应⽤；了解有限阿贝尔群的结构。
1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)
2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)
3、⼦群(Subgroups)
4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)
5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)
6、商群(Factor Groups)
代数学基础课件群和子群的基本概念
直积群的性质
直积群的运算满足封闭性、结合 律等性质。
直积群的例子
两个整数集合的直积可构成一个 直积群。
群的同构
1
同构的定义
同构是指两个群之间存在一一对应的映
同构的性质
2
射，保持群运算。
同构保持群的基本性质，如单位元和逆
元。
3
wenku.baidu.com
同构的例子
整数加法群和整数乘法群是同构的。
课件群的概念
课件群是指在特定运算下满足群运算性质的集合。
课件群的例子
常见的课件群包括整数集合和实数集合。
子群
1 子群的定义
子群是群的一个子集，且在相同的运算下也构成一个群。
2 子群的性质
子群继承了群的运算性质，同时具有自身的特性。
3 子群的例子
在整数集合中，偶数集合是一个子群。
直积群
直积群的概念
结论
本节课的总结
学习了代数学基础、课件群和子群的定义以及直积群和同构的概念。
拓展阅读
深入了解群论的应用以及其他高级代数学概念。
问题与讨论
探讨群的运算性质和子群的判定方法。
代数学基础课件群和子群 的基本概念
代数学基础课件群和子群的基本概念。探索代数学定义、代数系统、群的概 念、群运算性质以及课件群和子群的例子。
《近世代数》复习
《近世代数》复习
一、群论：基本结构有循环群，对称群与商群。基本内容有：元素
的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。基本技术：o(a)=||;
o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|;
若H≤G,则|H| | |G|; 对称群S n中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群A n且是S n的非平凡的最大的正规子群; S n中的n-轮换σ的中心化子(即能与σ交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n-1)!个.
二、环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，
唯一分解环，多项式环，域与商环。基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中的因子分解，多项式的根，孙子定理（中国剩余定理），同余方程。基本技术: 特征; 在有单位元的交换环R中, 主理想
(a)=aR, (a)(b)=(ab); 设R是主理想整环, 则a是不可约元⇔a是
素元⇔(a)是极大的理想⇔R/(a)是域; 主理想整环是唯一分解环;
浅谈正规子群的判定条件
子群．
定理 ５ 设 为群 Ｇ的子群 ， 为 Ｇ中满足条件 ａ ＝Ｈ Ｈ ａ的所有元 素 ａ 作成的集 ， 则 是 的正规子 群． 证 明 因为 Ｈ是 Ｇ的子群 ， 日，Ｈ ＝ Ｈ ＝Ｈ， Ｖｈ∈ ｈ ｈ 于是有 ｈ∈ 日 ｋ ． Ｖ口 ｂ∈ Ｋ， ａ ＝Ｈ ，Ｈ ＝ Ｈ ， ， 即 Ｈ ａｂ ｂ 于是 有 ： （ ６ Ｈ ＝ 口 ｂ ＝ｎ Ｈ ） ＝ （ ｎ） 口） （Ｈ） （ｂ ａ ｂ＝ Ｈ（ ｂ ， ａ ａ ） 即 ｂ∈ Ｉ ｔ ． 由于 ａ ＝Ｈ ￣Ｈ ～ ＝ 口 １ Ｈ ａ ａ － 日 口 ∈ ～ 因此 Ｋ是 Ｇ的子群 ．
证 明 任 取 ｇ∈Ｇ， 固定 ｇ， 于是 ｇ 如 是 Ｇ的子群． 样 ＝ｎ 于 是 ＃ ｇ ｇ 设 Ｈ ， （ Ｈ ）＝ｎ 由题设 ， ～ ｇ ＝ ． ｇ Ｈ 日， 日是 Ｇ的正 规子 群． 则
定理 ３ 设 是 群 Ｇ的子 群 ， 且 的任意两 个左 陪集 的乘 积仍是 一个 左陪集 ． Ⅳ是 ｃ的一个正 规子 则
（． １ 黄冈师范学院数学 与信息科学学 院， 湖北 黄州 ４ ８０ ２ 贺州学院数学系 ， ３ ００；． 广西 贺州 ５ ２０ ） ４ ８０
群论中的群和子群
群论是数学中一个重要的分支，研究的是群及其性质与结构。而群则是具备代数结构的一个集合，其中包含了运算和运算规则。本文将介绍群论中的群和子群的概念以及一些重要性质和例子。
在群论中，群被定义为一个集合G和一个二元运算组成的代数结构，满足以下四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。具体地说，对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a和b也在G中。此外，群运算必须满足结合律，即(a b)c=a(b c)。群中必须存在一个单位元e，使得对于任意的元素a，
a e=e a=a。最后，对于每个元素a都必须存在一个逆元a^-1，使得a a-1=a-1*a=e。这些性质使得群成为一个具有一定代数结构的集合。
群的一个重要概念是子群。子群是指一个群G的一个非空子集H，其本身也构成一个群，且H中包含了G的运算。换句话说，子群是群中封闭的子集。子群的一个重要性质是它必须包含群G的单位元。此外，子群中的每个元素都必须同时是群G中元素的逆元。例如，对于一个群G，它的子集H如果同时满足封闭性、含有单位元以及对于每个元素a都有a^-1也在H中，则H是G的一个子群。
对于子群的性质，我们可以得到以下结论：首先，子群的运算是满足结合律的。这是因为子群是通过继承原群的运算所得到的，而原群的运算满足结合律。其次，子群的单位元是原群的单位元。这是因为子群必须包含原群的单位元，所以它的单位元一定与原群的单位元相同。最后，子群的逆元也是原群的逆元。这是因为子群必须包含原群中每个元素的逆元，所以子群的逆元一定与原群的逆元相同。
北大群论讲义
北大群论讲义
群论作为数学中的一个重要分支，对于数学和其他领域都具有重要的影响。北
大群论讲义作为一份权威的讲义资料，系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是学习群论的重要参考资料之一。
首先，群论的基本概念是群的定义，群的运算，群的性质等。群论讲义详细介
绍了群的定义，即满足封闭性、结合律、单位元、逆元四个性质的代数结构。讲义还介绍了群的运算，包括群的加法和乘法运算，以及群的性质，如群的阶、子群、同态等重要性质。
其次，群论讲义还介绍了群的基本定理，如拉格朗日定理、群的同态基本定理、群的同态基本定理等。这些定理是群论的基础，对于理解群的结构和性质至关重要。拉格朗日定理是群论中的重要定理之一，它说明了群的子群的阶必须能整除群的阶。群的同态基本定理则说明了群的同态的核和像的性质，是群同态的基本定理之一。
另外，群论讲义还介绍了群的群同态、群的同构、群的正规子群等概念。群的
群同态是群论中的重要概念，它描述了群之间的映射，保持群的结构和运算的映射。群的同构是群的同态的特殊情况，即群之间的双射同态。群的正规子群是群的特殊的子群，它的左陪集和右陪集相等，具有重要的性质和应用。
总的来说，北大群论讲义系统地介绍了群论的基本概念、性质和定理，是群论
的重要参考资料之一。群论作为数学的一个重要分支，对于数学的发展和应用有重要的影响。群论的概念和定理不仅在数学中具有重要的地位，还在物理、化学、计算机等领域有着广泛的应用。希望学习群论的同学可以通过学习北大群论讲义，深入理解群论的基本概念和定理，为将来的学习和研究奠定坚实的基础。群论的学习不仅可以提高学生的抽象思维能力，还可以培养学生的逻辑推理能力，是数学学习的重要内容之一。
-判定正规子群的若干条件及方法
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2009年 1月 China Water Transport January 2009
收稿日期：2008-12-10
作者简介：王娜儿（1979-），女，浙江舟山人，浙江海洋学院数理与信息学院讲师，研究方向为群论。
判定正规子群的若干条件及方法
王娜儿
（浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004）
摘 要：本文给出了判定群的子群成为正规子群的若干条件，并应用这些条件解决某些实际问题，本文的结论对如何寻找正规子群有一定的启示。 关键词：正规子群；可解群；单群
中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2009）01-0264-02
一、前言
正规子群是群论中非常重要的子群，它在研究群可解性、同构分类等方面扮演尤为重要的角色。事实上，对于群G ，如何确定子群H 是否为G 的正规子群对于判定G 是否可解起到关键作用。所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，本文从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件，并应用部分条件解决实际问题。
二、判定正规子群的已知结果
定义1：G 是群，≤H G 。若g G ∀∈，有=gH Hg ，则称H 是G 的正规子群．记为H G 。
关于正规子群的可解性
关于正规子群的可解性
乔启发;薛胜利;尼亚孜别克
【摘要】探讨了H￠M,M为G的极大子群,当H ∩ M满足一定条件时,正规子群H是可解的.
【期刊名称】《湘南学院学报》
【年(卷),期】2011(032)002
【总页数】2页(P26-27)
【关键词】正规子群;可解群
【作者】乔启发;薛胜利;尼亚孜别克
【作者单位】伊犁师范学院,数学系,新疆,伊犁,835000;伊犁师范学院,数学系,新疆,伊犁,835000;伊犁师范学院,数学系,新疆,伊犁,835000
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
有限群论是近年来研究比较活跃的一个数学分支.关于有限群的研究,基本上都是对其性质的研究,而群的可解性是群的一个非常重要的性质.对于子群的可解性研究更是一个新的课题.设G是一个有限群,H为G的正规子群,当 H⊄M,利用H∩M来研究正规子群的可解性非常方便.其中M为G的极大子群.
本文所用符号与文献[1]相同.
定义1.1[1]设G是一个群,G的一个正规子群N≠1称为G的极小正规子群,如果1和N是仅有的包含在N中的G的正规子群.
定义1.2[1]称群G的子群H为G的极大子群,如果H<G,并且由H≤K≤G,可推出
H=K或K=G.
定义1.3[2]如果G的Sylow-p子群P在G中正规,且P是G的所有p元素的集合,这样的群称为p闭的.
引理1.1[1]如果群G有一个可解正规子群H,并且商群 G/H是可解的,那么G也是可解的.
引理1.2[1](Feit-Thompson)奇数阶群必可解.
引理1.3[2](Frattini论断)设 N◁G,P∈sylp(N),则 G=
[理学]群论群论基础
![[理学]群论群论基础](https://img.taocdn.com/s3/m/917951d425c52cc58bd6bec7.png)
物理学中的群论
——群论基础
主讲翦知渐
教材
教材：自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用
（徐婉棠）
物理学中的群论
（马中骐）
物理学中的群论基础
（约什）
群的基本概念和基本性质
1.1
1.2
1.3
13
1.4
1.5
1.6
16
1.7
1.8
1.1抽象代数的基本概念
1
抽象代数研究的对象
什么都不是，所以什么都是
集合的直乘：
C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的
C A表示“
一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：
, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a
A}B b b}则集合
1
C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2
定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为
就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B
f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数
满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射
：
体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质：
f f -1= f -1f = e
3
定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为
代数学基础课件群和子群的基本概念
公钥密码体系是现代密码学的重要分支，其基础理论就是基 于大数因数分解和离散对数问题，这些都是群论中的重要概 念。
在物理中的应用
晶体结构
晶体结构是物理学中一个重要的概念，而晶体结构的描述和分类正是基于群论的。通过群论，我们可以对晶体结 构进行系统的分类和描述，从而更好地理解和研究其物理性质。
单位元
群中存在一个单位元e，使 得对于群中任意元素a，都 有ea=a和ae=a。
逆元
群中任意元素a都存在一个 逆元a'，使得aa'=e和 a'a=e。
子群的运算规则
子群必须是封闭的
子群必须具有逆元
子群中的元素按照群中的运算规则进 行组合时，结果仍属于子群。
子群中任意元素a都存在一个逆元a'， 使得aa'=e和a'a=e。
要点一
总结词
向量表示法是将群中的元素表示为向量，利用向量的加法 、数乘和向量的模等性质来描述群的结构和性质。
要点二
详细描述
向量表示法适用于连续群或无限群，通过将群中的元素表 示为向量，可以更好地描述群的连续性和无穷性。这种方 法在物理学、工程学等领域有广泛应用。
符号表示法
总结词
符号表示法是一种简洁的表示群和子群的方法，通过 符号的组合和运算规则来描述群的结构和性质。
群具有单位元和逆元，满足结合 律、交换律和幺半群的定义。
群论讲课提纲
群论讲课提纲
第一章 抽象群理论
1.1 群的基本概念
1、群的定义 实例分析； 群的定义。
2、基本概念
有限群与无限群（群的阶）； 连续群与分立群； 阿贝群（交换群），例题；
对称群，例题（234444{,,,,,,,}x y C E C C C m m νμνσσ=）
；
循环群（生成元）
1.2 有限群的基本性质 1、群的乘法表（群乘表） 群乘表构造方法（SL2群，4C ν群） 群乘表的性质（重排定理及推论） 2、元素的阶 例题分析
定义（元素的阶）
几点结论 3、元素的共轭 定义（共轭元素）
共轭的性质（自反、对称、传递） 4、共轭类
等价关系与集合的划分 共轭类的定义
关于类的几个结论（7条，例题）
类的积（i j ijk k k
C C a C =∑，例题）
1.3 子群与商群
1、子群的概念 定义、判别条件、平凡子群
2、陪集（旁系） 定义 例题与分析 陪集的性质
① 子群与它的任何一个陪集没有共同元素, 即
&,X G X H XH H HX H Φ∀∈∉⋂=⋂=
② 子群的任何两个左（右）陪集要么完全相同，要么完全不同。即
,:XH YH or XH YH Φ=⋂=
③ 子群与它的所有相异左（右）陪集定义群的一个划分*。 推论1：群的阶与子群的阶之比为整数，即G n
k H
m
=
=；
推论2：群阶与元素阶的商为整数。
3、共轭子群
定理：以群G 中任何元素为过渡元素对子群1H 作共轭变换得到的集合2H 仍然是G 的子群，称为1H 的共轭子群。
例题
4、正规子群（自轭子群、不变子群）
例题分析
正规子群的两种定义 正规子群的性质 ① 不变子群的任何两个陪集的积仍然是该子群的陪集；
第三章 正规子群和群的同态与同构
_
定理2 设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态满射，则 N = Ker ϕ < G ,
_
_
且G / N ≅ G .
证明思路： (1)
Kerϕ是G的一个正规子群 .
__
__
(2) 构造G / N与 G 之间的对应关系 σ : aN → a = ϕ (a ).
⎧σ为映射； ⎪ __ ⎪σ为满射； 进一步，证明σ为G / N到 G 的同构映射 ⎨ ; ⎪σ为单射； ⎪ ⎩σ为同态.
2、商群
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a( Nb) N = a(bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.
定理4 群G的正规子群N的全体陪集关于陪集的乘法 构成一个群，称为G关于N的商群，记为G / N . 注：(1) 正规子群的性质 aN = Na, ∀a ∈ G 在商群的定义中起着关键性的作用, 即如果N不是G的一个正规子群， (aN )(bN ) = ( ab) N , 并不定义N的全体左陪集的代数运算 （2）陪集N是单位元.
定义3 阶大于1且只有平凡正规子群的群，称为单群. 定理6 有限交换群G为单群的充要条件是, G 为素数.
定理6 有限交换群G为单群的充要条件是, G 证 设 G 为素数,则G是一个素数阶循环群， 从而G是一个单群. 反之，设 G是单群且 G = n > 1. 若 a < n，则由于 G是交换群，故 e < < a > < G, 与 G是单群矛盾 .
北大群论讲义
北大群论讲义
Title: Notes on Group Theory at Peking University
标题：北京大学群论讲义
Section 1: Introduction to Group Theory
第一部分：群论简介
In this section, we will provide a brief introduction to group theory, which is a fundamental area of mathematics.A group is a set together with a binary operation that satisfies certain axioms.These axioms ensure that the operation is associative, every element has an inverse, and the set is closed under the operation.The study of groups has applications in various fields, such as physics, chemistry, and computer science.
在本节中，我们将简要介绍群论，这是数学的一个基本领域。一个群是由一个集合和一种二元运算组成的，该运算满足某些公理。这些公理确保运算具有结合律，每个元素都有逆元，并且该集合在运算下是封闭的。群论的研究在各个领域都有应用，如物理学、化学和计算机科学。
《近世代数》教学大纲
《近世代数》课程教学大纲
第一部分大纲说明
一、课程概况
适用专业：数学与应用数学
课程名称：近世代数
课程编码：0741123090
教学时数：72
二、总则
1.本课程的目的和要求：
近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容：
本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点：
重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.
难点：商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系
集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
三、课程说明
1. 课程代码：
（中文）近世代数
（英文）Abstract Algebra
2. 课程类别：专业必修课
3.学分:4学分
4. 学时：72学时
5.适用专业：数学与应用数学
6. 适用对象：本科
7.首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。
二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。
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例3 设n∈N, 在整数加群(Z,+)中,由 n 生成的子
3)
(b) b1 Hb=H
群是
nZ= {kn: k∈Z}.
4) (b) b1 Hb H
由例2, 则 nZ◁Z,商群 Z nZ {0+ nZ, 1+nZ ,…, (n1)+nZ}.
Z对nZ的陪集称为模 n 的同余类或剩余类.
思路就成了天空中的雨后彩虹—--仅供欣赏! 于是,人们就把这样的群叫做单群. 研究单群就是群论的基本课题之一. (有限单群的分类问题)
6
第10讲 正规子群与群论的基本课题 反之,如果已知群G的正规子群H和相应的商群G/H≌N, 问: 能否由H和N来确定G的结构?
或者说: 已知两个群H和N,是否有一个群G使得 H◁G 且 G/H≌N?
aH bH＝{xy: x∈aH, y∈bH} 这样一个算式(称为群的子集的集合乘积). 上式右端一定是一个左陪集吗?
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
ຫໍສະໝຸດ Baidu
讨论问题1: c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
设c =ah, d=bl, h,l ∈H. 则 (ab)H=(cd)H 有t∈H使cd=abt.
1)(b∈G,h∈H) b1hb =k ∈H . ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例2 交换群的每个子群都是正规子群.
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h)
因为, bH={bh: h∈H}, 显然有bH = Hb.
b1h b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
设m是|G|的任一正因数,由有限循环群的性质知,|G|有m
阶子群H. 由H◁G H={e}或G m =|H|=1或|G|.
所以, |G|是素数. ■
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 作业
P53 1, 3, 10, 11
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空间｛Ｇ／Ｈ｝l ＝｛aH: a∈I｝上定义运算的自然方式是 问题1: 这个“运a算Hb”H是＝由(ab陪)H集. 的代(1表) 元来体现的，它必
须与代表元的选择无关，即 c∈aH, d ∈bH 有 (ab)H=(cd)H.
G的每个子群都满足这个要求吗？ 这叫“运算”(1)的定义的合理性. 问题2: 由陪集的意义: aH ={ah: h∈H}, 自然会想到
3) (b) b1 Hb=H 4) (b) b1 Hb H
(b∈G) HbHb1 (当b遍历G时, b1也遍历G )
(b∈G) Hb1 Hb
3) (b∈G) H=b1 Hb, (两边左乘b)
2) (b∈G) bH = Hb,
(b∈G,h∈H) 由 hb∈Hb = bH 有k ∈H 使 hb=bk
aH ={ah: h∈H}
即 ahbl =abt b1hb(=tl1)∈H.
(*)
注意: 1、c =ah ∈aH的任意性等价于h∈H的任意性;
2、运算对象是所有的左陪集，要求运算与代表元的选择无关, 故(*)应对b∈G都对.
结论：运算aH bH＝(ab)H与代表元的选择无关当且仅当
h∈H, b∈G有 b1hb∈H.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
例4 交换群G是单群|G|是素数, 或者|G|=1.
证明 设交换群G是单群,且|G| ≠1, 则有a∈G, a≠e. 即a≠{e}. 由例2知a◁G. 而G是单群 a=G. 如果 a2 =e, 则|G|=2. 如果 a2≠e, 同理有a2=G. 于是有 a=(a2)k =a2k G是有限群.
(*)
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 定义1.8.1 设H是群G的子群,如果
(*) b1 hb∈H. (h∈H, b∈G) 则称H是G的正规子群(也叫不变子群),记H◁G。
每个群都有两个正规子群:{e}和G,这两个称为G的平凡正规子群.
定理1.8.1 设H是群G的子群,则 (1) H◁G (2) (b∈G) bH=Hb (因此,对正规子群不区分左右陪集) (3) (b∈G) b1 Hb=H (4) (b∈G) b1 HbH
如果有, 问: 有多少个? 这个问题叫群的扩张问题,也是群论的基本课题之一.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
证明 1) 设H◁G,则
定理 设HG,则
1) H◁G [ (b,h) b1h
b∈G, h∈H有 b1hb∈H
b ∈H ] 2) (b) bH=Hb
4) (b∈G) b1HbH
aH bH＝ a(Hb)H=a(bH)H= (ab)H. 例1 G/G是单位元群; G/{e} ≌G.
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第10讲 正规子群与群论的基本课题 如果H是群G的正规子群,就可以得到与G密切相关的两个
群:子群H和商群G/H. 如果H或G/H也有非平凡的正规子群,则将得到与G密切相
关的一些更小的群. 如此等等,就可将群G化简为相对很小的一些群来研究. 但是,如果G没有非平凡的正规子群, 则如此美好的研究
第10讲 正规子群与群论的基本课题
研究群论的基本思想
分解群Ｇ
子群Ｈ 陪集空间
｛Ｇ／Ｈ｝
弄清楚局部性质 组合
需要考察不同陪集的元素之 间的运算关系,最佳愿望是
怎样组 合？
１、能在陪集空间中建立运算； ２、运算具有继承性。
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
设Ｈ是群Ｇ的一个子群，I是G关于H的左陪集代表系, 在左陪集
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第10讲 正规子群与群论的基本课题
定理1.8.2 如果H是群G的正规子群,则陪集空间{G/H}关于运算 aH bH＝(ab)H
构成一个群,称为G对H的商群,记为 G/H. 证明: 结合律显然,有单位元 eH=H, 有逆元
(bH)1 = b1 H. ■ 如果H是群G的正规子群,则问题２的答案是肯定的：