2013年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目

2013年高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目 1.（2013北京卷18题）(本小题共13分)

设l 为曲线C ：ln x

y x

=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方

2.（2013安徽卷20题）（本小题满分13分）

设函数22222()1(,)23n n

n x x x f x x x R n N n

=-+++++∈∈ ，证明：

（Ⅰ）对每个n

n N ∈，存在唯一的2[,1]3

n

x ∈，满足()0n n f x =； （Ⅱ）对任意n

p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足1

0n n p

x x n

+<-<。 【解析】 （Ⅰ）

2

24232224321)(0n

x x x x x x f n x y x n

n n +++++++-=∴=> 为单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数.

011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.

010)(,321>>>≥=⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一

x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅

++-<--⋅++-=++++++-≤∈-114111412

2221)(,).1,0(2122232322 时当)1,3

2

[0)23)(2(1141)(02

∈⇒≥--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f

综上，对每个n n N ∈，存在唯一的2

[,1]3

n x ∈，满足()0n n f x =；(证毕)

（Ⅱ） 由题知

4321)(,012242322=++++++-=>>≥+n

x x x x x x f x x n

n

n n n n n n p

n n

)

()

1(4

3

2

1)(2

2

12

2

4

2

3

2

2

=++

+++

+

++

+

+

+-=+++++++++++p n x n x n

x x x x x x f p n p

n n p

n n

p n p n p n p n p n p n p n 上式相减：

2

2

1

224

23

22

2242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p

n p

n n p

n n

p

n p

n p

n p

n p n n

n

n n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（

）（2

2

12

2

4

4

2

3

32

2

2)

()

1(-4

-3-2

--p n x n x n

x x x x x x x x x x p n p

n n p

n n

n

n p n n

p n n

p n n

p n p n n ++

++++

++

+

=+++++++++

)1

11()111()

(1)1(1)()1(2

22

2

1

p n p n n n p n n p n x n x p

n p

n n p

n +--++++-<++++<

++

++<++++ n

x x n p n n p n n 1

-111<⇒<+-=+ 3.（2013福建卷17题）（本小题满分13分）已知函数

()ln ()f x x a x a R =-∈

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．

本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．

解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x

． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2

()1(0)'=->f x x x ，

(1)1,(1)1'∴==-f f ，

()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，

即20+-=x y ． （Ⅱ）由()1,0-'=-=

>a

x a

f x x x

x

可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；

(0,)∈ x a 时，()0'f x

()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．

综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值

当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．

4.（2013广东卷21题）．（本小题满分14分）

设函数()()2

1x f x x e kx =--(其中k ∈R ).

(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；