上海市十二校2016届高三数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理(含解析)苏教版
2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.【题文】已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U __．【结束】2.【题文】函数)12arcsin(-=x y 的定义域为 ．【结束】3.【题文】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）【答案】63【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转化为等差（或等比）数列，例如本题中由12n n a a +=，110a =≠，故数列{}n a 是等比数列，公比2q =，因此66126312S -==-．考点：等比数列的定义与前n 项和．【结束】4.【题文】计算：2(1)(13)lim (2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．222322213(1)(13)321lim lim lim 12(2)(1)21n n n n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞--++---+==-++-+++-+++0=． 考点：“∞∞”型极限问题． 【结束】5.【题文】集合{}12-<<=x x A ，{}0<-=a x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．【结束】6.【题文】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝ ． 【答案】83【解析】试题分析： 0128,,,,a a a a 中正负相间，当然我们可以通过令1x =±求出【结束】7.【题文】已知函数)(x f 有反函数)(1x f -，且[),,0,24)(1+∞∈-=+x x f x x 则=-)0(1f ．【结束】8.【题文】已知袋中有大小相同的红球和白球若干个，其中红、白球个数的比为4:3．假设从袋中任取2个球，取到的都是红球的概率为413．那么袋中的红球有 __个．【结束】9.【题文】已知函数32tan sin )(x x x x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ．【结束】10.【题文】已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为 ．【结束】11.【题文】设ω>0，若函数)(x f = sin 2x ω cos 2x ω 在区间[－3π，4π]上单调递增，则ω的范围是_____________． 【答案】3(0,]2【结束】12.【题文】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________.【结束】13.【题文】函数)(x f y =的图像与直线b x a x ==,及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在[]b a ,上的面积，已知函数nx y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡n π,0上的面积为)(2*∈N n n ，则函数1)3sin(+-=πx y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,3ππ上的面积为 ． 【答案】23π+【结束】14.【题文】（理）函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若)(x f 为单函数，则函数)(x f 在定义域上具有单调性．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③④【解析】试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中(1)1(1)f f -==，但11-≠，故)()(2R x x x f ∈=不是单函数；②指数【结束】二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.【题文】命题:p 1a =;命题:q 关于x 的方程20x a -+=有实数解,则p 是q 的( ).(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【结束】16.【题文】下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ） (A) )4cos()4sin(ππ++=x x y (B)xx y 2sin 2cos 1+= (C) x y 2tan 2= (D)x x y cos sin =【答案】A【结束】17.【题文】定义函数D x x f y ∈=),(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1,存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f y =在D 上的“均值”为C ．已知函数[]100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数)(x f y =在[]100,10上的均值为（ ） (A)101 (B)43 (C) 10 (D) 23【结束】18.【题文】某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.【结束】三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.【题文】(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1.(1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小；(2)若该直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为22，求点A 到平面A 1BC 的距离．（2）∵ABC S ∆=12，三棱柱111ABC A B C -的体积1ABC V S AA ∆=⋅=∴11AA AB （2分）∵CB ⊥平面11ABB A 1，∴190ABC ∠=︒，1A BC S ∆=, 设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，（4分） 三棱锥A 1-ABC 的体积V=113ABC S AA ∆⨯⨯=三棱锥A-A 1BC 的体积V=113A BC S h ∆⨯⨯,（6分）∴3h =.（8分） 考点：（1）异面直线所成的角；（2）点到平面的距离．20.【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分．已知以角B 为钝角的的三角形ABC 内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，)sin ,3(),2,(A n b a m -== ，且m 与n 垂直．（1）求角B 的大小；（2）求C A cos cos +的取值范围∵0sin ≠A ，∴23sin =B ，（6分） 又∵∠B 是钝角，∴∠B 32π= （7分） （2）)3sin(3sin 23cos 21cos )3cos(cos cos cos ππ+=++=-+=+A A A A A A C A （3分）由（1）知A ∈（0，3π），)32,3(3πππ∈+A , （4分） ]1,23()3sin(∈+πA ，（6分） ∴C A cos cos +的取值范围是]3,23( （7分） 考点：（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．21.【题文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分7分，第二小题满分7分）．某企业生产某种商品x 吨，此时所需生产费用为（100001002+-x x ）万元，当出售这种商品时，每吨价格为p 万元，这里b ax p +=（b a ,为常数，0>x ）（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求b a ,的值．当且仅当100=x 时等号成立，（6分）【结束】22.【题文】(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分，第,3小题满分8分. 已知函数R x b a x x x f ∈+-=,)(.（1）当0,1==b a 时，判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当1,1==b a 时，若45)2(=x f ，求x 的值； （3）若0<b ，且对任何[]1,0∈x 不等式0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围．试题分析：（1）0,1==b a 时，()1f x x x =-为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值()f m 与()f m -不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当1,1==b a 时，45)2(=x f 为（2）当1,1==b a 时，11)(+-=x x x f ， 由45)2(=x f 得451122=+-x x （1分） 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-<⎪⎩⎪⎨⎧=--≥0412)2(120412)2(1222x x x x x x 或 （3分） 解得212)(22122212=-=+=x x x ，或舍或 （5分） 所以1)21(log 221log 22-+=+=x 或1-=x （6分） （3）当0=x 时，a 取任意实数，不等式0)(<x f 恒成立，故只需考虑(]1,0∈x ，此时原不等式变为x b a x -<- （1分） 即xb x a x b x -<<+【结束】23.【题文】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时， 12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.【答案】(1) 0或2；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析．【解析】（3）由于1a 是正整数，要证明从某一项开始，数列各项均为0，这提示我们可首先证明n a 为非负（这可用数学归纳法加以证明），然后由于数列的关系，可见数列在出现0之前，是递减的，下面要考虑的是递减的速度而已．当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，1122n n n a a a +-=<，因此对所有正整数n ，都有12n n a a +≤，依此类推有112n n a a -≤，只要1112n a -≤，则有0n a =． 试题解析：（1）∵1a 为偶数，∴可设12()Z a n n =∈，故122a a n ==， 若n 为偶数，则32n a =，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+， 即522n n =，解得0n =，故10a =； （2分）若n 为奇数，则312n a -=，由123,,a a a 成等差数列，可知2132a a a =+， 即51222n n =-，解得1n =，故12a =； ∴1a 的值为0或2． （4分）（2）∵123(3,)N m a m m =+>∈是奇数，∴1121212m a a --==+， 223122m a a --==，33422m a a -==，依此类推， 可知341,,,m a a a +成等比数列，且有12m n n a -+=(31)n m ≤≤+，又0121m a +==，21102m a +-==，30m a +=，… ∴当1n m ≤+时，0n a >；当2n m ≥+时，都有0n a =． （3分）故对于给定的m ，n S 的最大值为121m m a a a a +++++123010(23)(21)222(222)4m m m m m m ----=+++++++=++++112142321m m ++-=+=+-，所以123m n S +≤+． （6分）。
上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7. 若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．9．已知2==b a ，a 与b 的夹角为3π，则b a +在a 上的投影为 ．10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 ． 12．已知函数()23sin()(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a 满足)4,3,2,1(1==i a i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则4321a a a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m <D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
2016届高三上学期12月联合调研考试数学试卷(理)
数学试卷（理工类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸大将姓名、座位号、准考据号等填写清楚。
2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有14 题，只需求直接填写结果，每题填对得4分，不然一律得零分 .1．函数f ( x) x( x) 的反函数是 f(x)_____________ .2、已知a, b, a 和 b 的夹角为，则 a b___________.3、幂函数y f ( x)的图象过点 (, ) ，则 f ( )_________ .4、方程log ( x)log(x) 的解为_______________.5、若直线l的一个法向量n( , ) ，若直线 l 的一个方向向量 d( ,) ，则 l 与 l的夹角 =.(用反三角函数表示 ).6、直线l : x y交圆 x y于 A、 B两点，则AB _______.7、已知,, 且tan()，则 cos.8、无量等比数列a n的前 n 项和为S n，若 S, S，则 lim S n_______ .n9、已知f ( x) kx x 有两个不一样的零点，则实数k 的取值范围是.10、已知a、b、c是ABC 中A、B、 C 的对边，若 a, A，ABC 的面积为，则ABC 的周长为.11 、奇函数f (x)的定义域为 R ，若f ( x)为偶函数，且 f ( )，则f () f () _______.___12、已知等比数列a n的前 n 项和为S n，若S , S , S成等差数列，且a a a，若 S n，则 n 的取值范围为.13、设m R, 过定点A的动直线 x my和过定点 B 的动直线mx y m交于点P，则PA PB 的最大值是.14、设x表示不超出x的最大整数，如,.. 给出以下命题：①对随意的实数x ，都有 x x x ；②对随意的实数x, y ，都有x y x y ；③ lglg lg lg lg；④若函数 f ( x)x x，当 x, n (n N * ) 时，令 f (x)的值域为A，记会合A中元素个数为 a n，则a n的最小值为. 此中全部真命题的序号为.n二．选择题( 本大题满分20个结论是正确的，选对得15、数列a n的前n项和为分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，此中有且只有一5 分，不然一律得零分.S n n ，则 a 的值为（）A 、B、C、D、 6416、a是直线ax y a和x(a) y a平行且不重合的（）A、充足非必需条件B、必需非充足条件C、充要条件D、既不充足又不用要条件17 、将f ( x)si n x 的图象右移 () 个单位后得到 g( x) 的图象.若满足f (x )g(x )的x , x，有x x 的最小值为，则的值为（）A、B、C、D、18、已知函数e x mx 、 x 、x R ，总有 f ( x )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为f ( x)，若对随意e x某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是（）A、,B、 ,C、 ,D、,三．解答题 (本大题满分74 分 ) 本大题共有 5 题，解答以下各题一定写出必需的步骤. 19．（此题共 2 小题，满分12 分。
数学-上海十二校高三联考(2016.12)
上海十二校联考高三数学试卷2016.12一. 填空题1. 已知集合{1,2,4}A =，{,4}B a =，若{1,2,3,4}AB =，则A B = 2. 已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k = 3. 复数12ai z i=+(0)a <，其中i 为虚数单位，||5z =a = 4. 已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则实数x =5. 已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为6. 已知(1,1)A 、(1,3)B 、(3,5)C ，则AB 在AC 方向上的投影是7. 已知函数212,0(),0x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩的反函数为1()f x -，则1(18)f -= 8. 已知点(1,0)A 、(1,1)B ，若直线1y kx =+与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围 是9. 函数22y x x a =-+R ，值域为[0,)+∞，则实数a 的取值集合为10. 已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42016f =，则(2016)f = 11. 命题:|1|3A x -<，命题:(2)()0B x x a ++<，若A 是B 的充分而不必要条件，则实 数a 的取值范围是12. 如图，直线OA 、AB 与x 轴正方向的夹角分别为θ和30︒，||||2OA AB ==， (0,)2πθ∈，则AB 的坐标是13. 如果函数()sin()4f x x πωπ=-(0)ω>，在区间(1,0)-上有且只有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的取值范围是14. 如图，在此表格中，每格填上一个数，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 并且所有公比相等，则a b c ++=二. 选择题15. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ） A. 22± B. 22- C. 22i ± D. 22i -16. “260x x --≠”是“3x ≠”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要17. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是它的前n 项和，且lim n n S →∞存在，这样的等差数列 （ ）A. 不存在B. 有且仅有一个C. 存在且不唯一D. 有无穷多个18. 若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反 函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ）A. 点1P 、2P 、3P 、4P 有可能都在函数1()y fx -=的图像上 B. 只有点2P 不可能在函数1()y fx -=的图像上 C. 只有点3P 不可能在函数1()y f x -=的图像上D. 点2P 、3P 都不可能在函数1()y fx -=的图像上三. 解答题19. 设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤； （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1111z z ω-=+，求证：ω为纯虚数；20. 已知向量13(,22a =-，(2cos ,2sin )b θθ=，0θπ<<； （1）若a ∥b ，求角θ的大小；（2）若||||a b b +=，求sin θ的值；21. 如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为120︒， AB 、AC 的长度均大于200米，现在边界AP 、AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆；（1）若围墙AP 、AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元，若造围墙用 了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？22. 已知椭圆2219x y +=； （1）若该椭圆的焦点为1F 、2F ，点P 是该椭圆上一点，且12F PF ∠为直角，求点P 坐标；（2）若椭圆方程2219x y +=同时满足条件0xy <，则由此能否确定y 关于x 的函数关系 式？若能，请写出()y f x =的解析式，并写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，只需写出结论；若不能，请写出理由；23. 已知{}n a 、{}n b 、{}n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S ++⋅⋅⋅+=， *n N ∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为d (0)d ≠的等差数列；（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），n nk b c +=（2n ≥，*n N ∈），求证：对任 意的2n ≥，*n N ∈，数列{}n nb a 单调递减；参考答案一. 填空题1. {4}2. 63. 5-4. 45. 26. 457. 48. [1,0]-9. {1} 10. 0 11. 4a <- 12. (3,1) 13.1544ω<≤ 14. 272二. 选择题15. C 16. A 17. B 18. D三. 解答题19.（1）1||1z =，1122a -≤≤；（2）略； 20.（1）23πθ=；（2153-； 21.（1）100AP AQ ==，25003S =（2）2007AP =，8007AQ =； 22.（1）3142(44，3142(44-，3142(,44-，3142(,44--； （2）22930903x x y x x --<<=⎨-⎪<<⎪⎩，定义域(3,0)(0,3)-，值域(1,0)(0,1)-，为奇函数，在(3,0)-和(0,3)上单调递增；23.（1）43n b n =-；（2）公差为32d ；（3）略；。
上海市十二校高三数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．计算： = ．3．方程9x=3x+2的解为．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k 恰有两个零点，则k的取值范围为．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4} ．【考点】并集及其运算．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．2．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．方程9x=3x+2的解为x=log32 ．【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题．【分析】由9x=3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，由此能求出方程9x=3x+2的解．【解答】解：∵9x=3x+2，∴（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，∴x=l og32．故答案为：x=log32．【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为∅．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次方程与对应二次函数和一元二次不等式的关系，即可得出解集．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，∴二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，且开口向上，与x轴无交点，∴一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为∅．故答案为：∅．【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数和一元二次不等式的应用问题，是基础题目．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n= 2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ﹣3 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求【解答】解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0∴m=﹣1∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用f（0）=0求出m．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ﹣2 ．【考点】反函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，故可得f（1+x）+f（1﹣x）=4，用引恒等式建立相关的方程即可解出f﹣1（4）的值．【解答】解：由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得 f（x+1）+f（1﹣x）=4，对任何x 都成立在上式中，取x=3，得到 f（4）+f（﹣2）=4，又f （4）=0∴f（﹣2）=4∴f﹣1（4）=﹣2故应填﹣2【点评】本题考查函数的对称性与反函数的性质，知识性较强．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x ﹣θ），即 cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ﹣+．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件求得∠α的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵两曲线y=和y=的交点为P（﹣1，），故∠α的终边经过点P（﹣1，），故cosα==﹣，sinα==，tanα=﹣，∴cos2α+cot（+α）=2cos2α﹣1﹣tanα=2•﹣1+=﹣+，故答案为：﹣ +．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题设条件可化为∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求出﹣在x∈（﹣∞，1]上的最大值即可．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t=﹣=﹣（）2x﹣（）x=﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了应用函数的性质将不等式恒成立转化为求函数值域的问题，是基础题．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．【考点】极限及其运算；等差数列的通项公式．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．【解答】解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，由余弦定理，cosC n=，整理得，cosC n=，又==，所以， cosC n=，若b n是最大的边，解法同上，结果一致，故填：．【点评】本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（1，2）．【考点】函数零点的判定定理；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；作图题；方案型；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简f（x）=（1+）⊗log2x=，从而作函数f（x）与y=k的图象，利用数形结合求解．【解答】解：由题意得，f（x）=（1+）⊗log2x=，作函数f（x）与y=k的图象如下，，结合图象可知，1＜k＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．【考点】归纳推理．【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】设第一行公差为d，第一列的公比为q，根据已知求出d，q利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；【解答】解：设第一行公差为d，第一列的公比为q，∵a11=，a24=1，a32=，∴，解出d=q=，则a ij==，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，∴当n=1时，f（1）=﹣2，f（2）=﹣1；∴f（1）+f（2）≤kf（1），即﹣3≤﹣2k，解得：k≤；当n=2时，f（3）=min{3，5﹣3，32﹣2×3﹣1}=2，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即﹣2﹣1+2+1≤k×（﹣1），解得：k≤0；当n=3时，f（5）=0，f（6）=﹣1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=﹣1≤kf（3）=2k，解得：k≥﹣；同理可得，当n=4时，f（7）=﹣2，f（8）=﹣3，依题意，可解得k≥﹣6；当n=5时，f（9）=﹣4，f（10）=﹣5，同理解得k∈R；当n=6时，f（11）=﹣6，f（12）=﹣7，依题意得k≤15；…∵对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，∴常数k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；正弦函数的图象．【专题】作图题；压轴题；分类讨论．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．故选A．【点评】本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．【解答】解：锐角△AB C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得： =b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选A【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．【分析】（1）分别解不等式，即可求集合A和B；（2）若A⊂B，结合（1）求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由≥1，可得A=[﹣，2）；由＞0，可得B=（﹣∞，a）∪（a2+1，+∞）；（2）∵A⊂B，∴a＞2．【点评】本题考查函数的定义域，考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b2=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．【解答】解：（1）法1：由f（x）=0，得sin cos+cos2=cos（sin+cos）=0，由cos=0，得=kπ+，∴x=2kπ+π（k∈Z）；由sin+cos=0，得tan=﹣，∴=kπ﹣，即x=2kπ﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ﹣（k∈Z）}；法2：f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，由f（x）=0，得sin（x+）=﹣，可得x+=kπ﹣（﹣1）k（k∈Z），即x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z）}；（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），∴由余弦定理得cosB==≥，又B为三角形的内角，∴0＜B≤，由题意得x=B，即x∈（0，]，f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵x+∈（，]，则此时函数f（x）的值域为[， +1]．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．【解答】解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，由300=30k解得，k=10；故P=10v，当30≤v≤36时，设P=mv2，由300=302m解得，m=；故P=；（2）当0＜v≤30时，Y=（10v+480）=1000+，当30≤v≤36时，Y=（v2+480）•=v+；故Y=；（3）当0＜v≤30时，Y=1000+是减函数，当30≤v≤36时，Y=v+在[30，36]上是减函数；故Y在（0，36]上是减函数，故当x=36时，Y有最小值为×36+=（元）．【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=，从而可判断出g（x）为奇函数；（2）由方程g（x）=x可以得到a2x2+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b2＞4a2，由a ＞0，便可得出b＞2a，或b＜﹣2a，进一步可以求出的范围，从而可判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先得到，可设α为x1，x2中的一个数，从而可以得到，而根据便可得到．这时可讨论a，从而可以化简：a＞0时会得到a﹣a2＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a﹣a2＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1；∴b=0；∴；g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）=g（x）；∴g（x）为奇函数；（2）由g（x）=x得，；整理得，a2x2+bx+1=0，该方程有两个不等实根；∴△=b2﹣4a2＞0，a＞0；∴b＞2a，或b＜﹣2a；∴；f（x）的对称轴为；∴b＞2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，b＜﹣2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）由得，；设α为x1，x2中的一个数，则：；∵；∴；①若a＞0，则；两式联立可得（a﹣a2）α2＞0；∴a﹣a2＞0；∴0＜a＜1；②若a＜0，则；联立两式得（a﹣a2）α2＜0；∴a﹣a2＜0；∴a＞1，或a＜0；∴a＜0；∴综上得，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）．【点评】考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）【考点】数列与函数的综合；归纳推理．【分析】（1）a n=p+（n﹣1）d，直角梯形A n A n+1B n+1B n的两底长度AnBn=f（a n），A n+1B n+1=f（a n+1）．高为A n A n+1 =d，利用梯形面积公式表示出s n．利用等比数列定义进行证明即可．（2）a n=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，bn=（）n﹣2，以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n考查次不等式解的情况作解答．（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=＞2010，探讨p的存在性．【解答】解：（1）由等差数列通项公式可得a n=p+（n﹣1）d，…，对于任意自然数n， =，所以数列{s n}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…（写成，得公比也可）（2）a n=p+（n﹣1）=n+p﹣1，，对每个正整数n，b n＞b n+1＞b n+2若以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n，即，令n=﹣1，得1+2＞4，这是不可能的．所以对每一个正整数n，以b n，b n+1，b n+2为边长不能构成三角形．…（3）（理科做，文科不做），所以=如果存在p使得，即两边取对数得：p＜﹣log21340，因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=﹣11等．…说明：通过具体的p值，验证也可．【点评】本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力。
上海市十二校联考高三(上)12月月考数学试卷(理科)(解析版)
上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．6．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是．7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．8．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．9．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为．10．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是．12．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．13．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为．14．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．数列{a n}中，已知S1=1，S2=2，且S n﹣3S n+2S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此+1数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列17．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n318．函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点三、简答题（本大题满分74分）19．（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．21．已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．22．（16分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每题4分）1．设集合A={x|﹣＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2} ．【分析】集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．解：B=x|x2≤1=x|﹣1≤x≤1，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8．【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．3．在行列式中，元素a的代数余子式值为﹣1．【分析】首先化去第一行第二列得到a的代数余子式，解余子式的值得a的值．【解答】在行列式中，元素a在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到a的代数余子式为：，解这个余子式的值为﹣1．故元素a的代数余子式的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了三阶矩阵，考查了行列式的解法，是基础题．4．如果函数f（x）=是奇函数，则f（﹣2）=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．5．设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．【分析】由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．6．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，} ．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．7．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为．【分析】过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC=××=，∴棱锥的高SO==，∴三棱锥的体积V=×××××=．故答案是．【点评】本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．8．函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1] ．【分析】利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=，由0≤x≤得﹣，∴﹣，∴﹣1≤2sin（2x﹣）≤2，∴﹣2≤2sin（2x﹣）﹣1≤1；函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．9．已知||=||=2，与的夹角为，则+在上的投影为3．【分析】根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为∴|+|=2×2×=2∵+与的夹角是，∴+在上的投影为|+|cos=2×=3故答案为：3【点评】本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．10．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=10，△ABC的面积为10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长为．【分析】根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，然后由B 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，根据三角形的面积公式表示出△ABC的面积，让面积等于10化简后，得到a与c的关系式，记作①，利用余弦定理表示出cosB，把①代入也得到关于a与c的关系式，记作②，①②联立利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形BAC的周长．解：由正弦定理得：=2R，又b=10，R=13，解得sinB=，由△ABC为锐角三角形，得到cosB=，∵△ABC的面积为10，∴acsinB=10，解得ac=52①，则cosB===，化简得：a2+c2=196②，联立①②得：（a+c）2=a2+c2+2ac=104+196=300，解得a+c=10，则△ABC的周长为10+10．故答案为10+10．【点评】此题考查学生灵活应用正弦、余弦定理化简求值，掌握完全平方公式的灵活运用，灵活运用三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．11．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=1，公比为q，前n项和为S n，若，则公比为q的取值范围是（0，1] ．【分析】根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．=（n+1）a1，所以成立，解：当q=1的情况，S n+1当q≠1是的情况，，所以可以看出当q为小于1的分数的时候成立，故答案为（0，1]．【点评】本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．12．已知函数f（x）=2，若g（x）=f（3x）在上是增函数，则ω的最大值．【分析】g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．解：∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴由2kπ﹣≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：≤x≤（k∈Z），∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（0，）上是增函数，∴≤，∴0＜ω≤．∴ωmax=．故答案为：．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期与单调性，考查三角综合运算能力，属于中档题．13．记数列a n是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列b n满足2b n=（n+1）a n，若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围为[﹣22，﹣18] ．【分析】根据题意数列{a n}是等差数列可得其通项公式为a n=2n+（a﹣2），进而得到b n=+﹣1，结合二次函数的性质解决问题即可．解：由题意可得：数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列所以a n=a+2（n﹣1）=2n+（a﹣2）．所以b n=+﹣1，即b n是关于n的一元二次函数．由二次函数的性质可得：，解得：﹣22≤a≤﹣18．故答案为：[﹣22，﹣18]．【点评】解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键．14．（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有3个．【分析】由=0可得，分类作图可得结论．解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15．设p，q是两个命题，（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】先分别化简p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0，再考虑p与q的推出关系，即可得结论．解：由题意，p：﹣1≤x＜0，q：﹣1＜x＜0∴由q可以推出p，由p不可以推出q∴p是q的必要非充分条件故选：B．【点评】本题的考点是四种条件，以不等式解集为依托，合理运用定义时解题的关键．16．数列{a n}中，已知S1=1，S2=2，且S n﹣3S n+2S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此+1数列为（）A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列【分析】根据题意，利用数列{a n}的前n项和为S n，转化为通项公式a n的关系，从而判断{a n}的特征是什么．解：数列{a n}中，∵S1=1，∴a1=1；又∵S2=2，∴a2=1；﹣3S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），又∵S n+1﹣S n﹣2S n+2S n﹣1=0（n∈N*且n≥2），∴S n+1﹣S n）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）=0（n∈N*且n≥2），即（S n+1=2a n（n∈N*且n≥2），∴a n+1∴数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列．故选：D．【点评】本题考查了数列的前n项和与通项公式的应用问题，也考查了等比数列的判断问题，是基础题目．17．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（）A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项解：∵∴函数是一个偶函数又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立综上知，C选项是正确的故选：C．【点评】本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题18．函数f（x）=，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．无论k为何值，均有2个零点B．无论k为何值，均有4个零点C．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点D．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x ≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，（5）x=0时，显然函数无零点；综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选：D．【点评】本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题．三、简答题（本大题满分74分）19．（理）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求直线SC与平面SAB所成角；（2）求△SAB绕棱SB旋转一圈形成几何体的体积．【分析】（1）由已知得SA⊥BC，CB⊥AB，从而BC⊥平面SAB，∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，由此能求出直线SC与平面SAB所成角．（2）作AE⊥SB于E，由已知AE===，由此能求出几何体的体积．【解答】（理）解：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，又底面ABCD为正方形，∴CB⊥AB，又SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴∠BSC是直线SC与平面SAB所成角，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan，∴直线SC与平面SAB所成角为arctan．（2）作AE⊥SB于E，Rt△SBC中，AB=3，SA=4，SB=5，==，又S△SAB∴AE===，∴几何体的体积V===．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，且．（1）求角A的大小；（2）若，求证△ABC是直角三角形．【分析】（1）利用，得到，然后求角A的大小；（2）利用B+C=120°化简，通过两角和的正弦函数求出B的大小，然后证明△ABC是直角三角形．解：（1）=∴，则A=60°（2）证明：B+C=120°，所以，，则，所以B+30°=60°或B+30°=120°B=30°，则C=90°，或B=90°．所以△ABC是直角三角形【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，考查计算能力，推理证明能力．21．已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．【分析】（1）由题意可得≥3x从中解得﹣1≤3x≤，解此指数不等式即可求得x的取值范围；（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（﹣1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x1，x2∈R，x1＜x2，再作差f（x1）﹣f（x2），最后判断符号即可．解：（1）由题意，≥3x，化简得3•（3x）2+2×3x﹣1≤0…解得﹣1≤3x≤…所以x≤﹣1…（，如果是其它答案得5分）（2）已知定义域为R，所以f（0）==0⇒a=1，…又f（1）+f（﹣1）=0⇒b=3，…所以f（x）=；…f（x）==（）=（﹣1+）对任意x1，x2∈R，x1＜x2，可知f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=﹣（）…因为x1＜x2，所以﹣＞0，所以f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．…【点评】本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．22．（16分）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1和g（x）=2x﹣1是否是集合M的元素，并说明理由；（2）设函数f（x）=，试求函数f（x）的反函数f﹣1（x），并证明f﹣1（x）∈M；（3）若f（X）=（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．【分析】（1）欲判断函数f（x）=﹣x=1，lg（x）=2x﹣1是否是M的元素，只须验证对任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；（2）先求出函数f（x）的反函数f﹣1（x），然后直接根据题中的定义判断f﹣1（x）是否是M的元素即可；（3）根据定义，问题可转换为f2（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立，建立等式，从而可得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范围．解：（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=﹣（﹣x+1）+1=x，所以f（x）=﹣x+1∈M因为g（g（x））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3不恒等x，所以g（x）∉M（2）因为f（x）=log2（1﹣2x），所以x∈（﹣∞，0），f（x）∈（﹣∞，0）…函数f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（1﹣2x），（x＜0）…又因为f﹣1（f﹣1（x））=log2（1﹣）=log2（1﹣（1﹣2x））=x…所以f﹣1（x）∈M…（3）因为f（x）=，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立，∴即解得：（a+b）x2﹣（a2﹣b2）x=0恒成立，故a+b=0…由f（x）＜1，得＜1即…若a=1则＜0，所以x∈（﹣∞，1）…若0＜a＜1，则且a＜，所以x∈（﹣∞，a）∪（，+∞）…（16分）若a＞1，则且a＞，所以x∈（，a）…（18分）【点评】本题主要考查了函数恒成立问题和反函数，函数值的求法等，是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．【分析】（1）根据“生成数列”的定义，数列{b n}满足，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结论；（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c n}的“生成数列”{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．解：（1）∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，∴3分综合得：b n=2n﹣14分（2）6分当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4（常数）所以此时数列{c n}的“生成数列”{l n}是等差数列8分当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分此时c1+c3≠2c2，∴此时数列{c n}的“生成数列”{l n}不是等差数列．10分（3）11分当n=1时，T n=p1=312分当n≥2时=3+（3•2+3•22+…+3•2n﹣1）+（3+5+…+2n﹣1）=3•2n+n2﹣4，14分所以，15分若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0，则2012≤T n≤626016分由于{T n}对于一切自然数是增函数，T9=1613＜2012，T10=3168＞2013T11=6261＞6260所以存在唯一的自然数m=10满足若（T m﹣2012）（T m﹣6260）≤0成立18分．【点评】本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．。
上海市十二校高三12月联考——数学(理)数学理
上海市十二校 2015届高三12月联考数学（理）试题一、填空题 （本大题满分56分，每题4分） 1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则_______. 2. 已知为等差数列， ++=9， =15，则 ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则5．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则 ． 6．方程cos2x+sinx=1在上的解集是_______________．7. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫⎝⎛-=π在区间上的取值范围是 ．9．已知， 与的夹角为，则在上的投影为 ．10. 在锐角中，角B 所对的边长，的面积为10，外接圆半径，则的周长为 ． 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是 ． 12．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若在上是增函数，则的最大值 ．13. 记数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足，若对任意都有成立，则实数的取值范围为 ．14．若平面向量满足且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分） 15． 设是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(，n ∈N*)，则此数列为 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 17.关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则18. 函数,下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论为何值,均有2个零点B ．无论为何值,均有4个零点C ．当时,有3个零点；当时,有2个零点D ．当时,有4个零点；当时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
上海市普陀区2016届高三上学期12月调研数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷(理科）一、填空题(本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分,填错或不正确的位置一律得零分)1．若全集U=R,集合M=｛x｜x(x﹣2）≤0｝，N=｛1，2,3，4｝，则N∩∁U M= ．2．若函数,，则f（x）+g（x）= ．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．在，则函数y=tanx的值域为．5．在数列｛a n}中，a1=1,，则数列的各项和为．6．若函数f(x）=(x≥0)的反函数是f﹣1(x），则不等式f﹣1（x）＞f(x）的解集为．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点,则扇形AOB的面积为．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180,则这个棱柱的体积为．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．10．方程的解x= ．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1,d2，则d1•d2= ．12．如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D,若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13．若F是抛物线y2=4x的焦点,点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且,则= ．14．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分)15．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则16．若集合，则“x ∈A”是“x∈B”成立的( ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．如图,在四面体ABCD,AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60°,则MN和CD所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60° D．15°或60°18．若函数,关于x的方程f2(x）﹣（a+1）f（x)+a=0,给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是( ）A．1个B．2个 C．3个 D．4个三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1｜的值x（2)求△PF1A的面积．20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm,高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1)求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21．已知函数f（x)=2sin2x+sin2x﹣1．(1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．22．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n,且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；(2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数）,若a i和a j的所有乘积a i•a j 的和记为T n，试求的值；（3)设，若数列{c n｝的前n 项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n 都有成立,若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体,存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立,称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1)判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；(2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”;（3）若（1,1）,（2，﹣1)都是函数f（x）的“伴随数对”,当1≤x＜2时，；当x=2时,f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．2015—2016学年上海市普陀区高三(上）12月调研数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分,填错或不正确的位置一律得零分）1．若全集U=R,集合M=｛x|x（x﹣2）≤0},N=｛1，2，3，4｝，则N∩∁U M= {3，4｝．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x（x﹣2）≤0｝={x｜0≤x≤2}，∴∁U M={x｜x＜0或x＞2｝，又N=｛1，2，3，4｝，∴N∩∁U M=｛3，4｝．故答案为：{3,4｝．2．若函数,，则f（x）+g（x）= 1（0≤x≤1)．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g(x)的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得,0≤x≤1;∴（0≤x≤1）．故答案为:．3．在(2x﹣1)7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．【解答】解:在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为:=﹣560．故答案为：﹣560．4．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【考点】正切函数的图象．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈［﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为［﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．5．在数列{a n}中,a1=1，,则数列的各项和为2n﹣1 ．【考点】数列的求和．【分析】由，变形a n+1+1=2（a n+1)，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵,∴a n+1+1=2(a n+1）,∴数列{a n+1｝是等比数列,首项为2，公比为2．∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．6．若函数f（x)=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x)的解集为｛x|x＞1｝．【考点】反函数．【分析】由y=f(x）=（x≥0)，求出f﹣1（x)=x3，x ≥0,由此能求出不等式f﹣1(x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y=f（x）=(x≥0），则x=y3，x,y互换，得f﹣1（x)=x3，x≥0,∵f﹣1（x）＞f（x),∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1(x）＞f（x）的解集为｛x｜x＞1}．故答案为:｛x|x＞1}．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点,则扇形AOB的面积为．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点),y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0)∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点)y=时，∠AOB=π,扇形AOB的面积为=．故答案为：．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积,代入体积公式得出体积．【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S 底==150．∴正六棱柱的体积V=S 底h=450．故答案为:450．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解:地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：,所以两点间的球面距离是：，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：．10．方程的解x= log 23 ．【考点】对数的运算性质．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2)，从而可得(2x)2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4(2x﹣2)，即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去)或2x=3;∴x=log23，故答案为：log23．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定两条渐近线方程,设双曲线C上的点P （x，y）,求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P(x，y)，则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1•d2=•==．故答案为：．12．如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示)【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数,由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n==220,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8,∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===．故答案为：．13．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10)在抛物线上,且,则= 200 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0),准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i（i=1，2，3，…,2015)到焦点的距离等于P i到准线的距离，即|P i F|=x i+1，,可得1﹣x 1+1﹣x2+…+1﹣x100=0，∴x1+x2+…+x100=100∴｜P1F|+|P2F|+…|P100F｜=（x1+1)+（x2+1）+…+（x100+1）=(x1+x2+…+x100）+100=100+100=200．故答案为:200．14．若函数最大值记为g（t)，则函数g（t)的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，从而求得g（t）=f max（x）=，从而求值．【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3,∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4,∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤,∴g(t)=f max（x）=,∴当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分) 15．下列命题中的假命题是( )A．若a＜b＜0,则B．若，则0＜a＜1 C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．【解答】解：对于A,a＜b＜0,则•a＜•b，∴，正确对于B,，则＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确;对于D，a=，=2＞1，不正确,故选:D．16．若集合，则“x ∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=（0，3]，∵lg｜2x﹣3｜＜0=lg1，∴|2x﹣3｜＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=(1，）∪（，2)，∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，故选:B．17．如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60°，则MN和CD所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．30°或60° D．15°或60°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结MO、NO,由已知得∠ONM是MN和CD所成的角（或补角），且∠MON=60°，OM=ON，由此能求出MN和CD所成的角的大小．【解答】解:取BD中点O，连结MO、NO，∵在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD 的中点，AB与CD所成的角的大小为60°，∴MO，NO，∴∠ONM是MN和CD所成的角（或所成角的补角），且∠MON=60°,OM=ON,∴∠ONM=60°，或∠ONM=30°，∴MN和CD所成的角为60°或30°．故选:C．18．若函数,关于x的方程f2(x）﹣（a+1）f（x)+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根;③存在这样的实数a,使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f2（x）﹣（a+1）f(x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解．【解答】解：∵f2（x）﹣(a+1)f（x)+a=0,∴f（x)=1或f（x）=a，作函数的图象如下，，当a=1时,方程有3个不同的实根,故①正确；当a＞1或a≤﹣1时,方程有6个不同的实根，故④不正确；当﹣1＜a＜1时,方程有5个不同的实根，故③正确;综上可知，不存在这样的实数a,使得方程由4个不同的实根；故②正确；故选：C．三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤。
上海市十二校高三数学上学期12月联考试题 理 沪教版
2012-2013学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2012•黄浦区二模）函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）．∴x＞﹣的定义域为（﹣，+∞），+∞）2．（4分）已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．=，=+（﹣故答案为：．3．（4分）（2010•徐汇区二模）设集合，则A∪B={x|﹣1≤x＜2}4．（4分）（2012•黄浦区二模）若π≤x≤，则方程2sinx+1=0的解x= ．sin=≤x≤+故答案为：5．（4分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b= 2 ．6．（4分）已知幂函数y=f（x）存在反函数，若其反函数的图象经过点（，9），则的值是 2 ．，）），∴，即=，=27．（4分）若等差数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）．则a1的值为﹣．﹣8．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 20 吨．则需要购买次，运费为万元，=160当且仅当9．（4分）函数（x∈[0，π]）的值域是．）∈﹣，解：∵函数sinx﹣），∴x﹣∈﹣，﹣，）∈10．（4分）（2009•浦东新区一模）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，若S2=12，S 3=a1﹣6，则= 16 ．即可求出q=；所以=11．（4分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数f（x）=k（x﹣1）（k＞1）的图象与x轴交于点A，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于点B，并且这两个函数的图象交于点P．若四边形OAPB的面积是3，则k= ．，所以）得：故答案为13．（4分）（2011•浦东新区三模）已知数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列{S n}中的唯一最小项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是（﹣30，﹣27）．=n=n==＜1014．（4分）（2012•松江区三模）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设则f的n阶周期点的个数是2n．]∈（]∈（，x=∈（，∈（x=二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．16．（5分）函数的图象如图所示，则y 的表达式为（）．．C．．=﹣，再由ω=＜=﹣，=×2+，﹣＜）17．（5分）若，则该数列的前2012项=，则﹣﹣=18．（5分）（2009•海淀区一模）对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，a n与a n+1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．）由分式不等式的解法，解＞）根据题意，＞，）∪（，+∞））可得20．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求tanC的值；（2）若△ABC最长的边为1，求b．）由，得到）∵cosB=sinB=∴tanB=﹣，∴C=135°，∴sinC=21．（14分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）若函数（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．）上是增函数，但在（）因为（在（﹣]=且22．（16分）已知（a∈R）的图象关于坐标原点对称（1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；（2）若函数在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围（3）设，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．）函数）在上恒成立，利用基本不等式可求出=时函数在，显然，即23．（18分）已知数列{a n}，如果数列{b n}满足满足，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”（1）若数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}的通项为c n=An+B，（A．、B是常数），试问数列{c n}的“生成数列”{l n}是否是等差数列，请说明理由．（3）已知数列{d n }的通项为，设{d n }的“生成数列”为{p n }．若数列{L n }满足求数列{L n }的前n 项和T n ．）），综合：。
2016-2017学年上海市北虹、上理工附中等七校联考高三(上)12月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分.1．函数的最小正周期T=．2．函数的反函数是．3．计算：=．4．已知a＞0且b＞0，函数g（x）=2x，且g（a）•g（b）=2，则ab的最大值是．5．方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B=．7．设x0为函数f（x）=2x+x﹣2的零点，且x0∈（m，n），其中m，n为相邻的整数，则m+n=．8．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）•f（x+5）=3，f（1）=2，则f（2016）=．9．已知，，则θ=．10．设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=．11．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且，点F为DE中点，则的值为．12．若不等式|x+a|≤2在x∈[1，2]时恒成立，则实数a的取值范围是．13．设集合A={a1，a2，a3，a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={﹣1，3，5，8}，则集合A=．14．把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行…，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依次为1、5、13、25、…，按这样的顺序，排在第30个的数是．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律不得分.15．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．16．已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）17．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D．“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件18．已知函数f（x）=，x∈[2，4]对于满足2＜x1＜x2＜4的任意x1，x2，给出下列结论：①x1f（x2）＞x2f（x1）②x2f（x1）＞x1f（x2）③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．已知．（1），求（2）若与的夹角为60°，求|；（3）若与垂直，求与的夹角．20．某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1≤n≤30，n∈N+）的日销售量为f（n）（单位；台）．函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m∈N+），已知1≤n≤m时，函数f（n）=32﹣n．（1）当m≤n≤30时，求函数f（n）的解析式；（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？21．（16分）如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤），分别设S△OAC，S△ABC的面积为S1和S2．（1）用sinθ、cosθ表示S1和S2；（2）求+的最大值及取最大值时θ的值．22．（16分）已知a，b为实数，函数f（x）=x2+ax+1，且函数y=f（x+1）是偶函数，函数g（x）=﹣b•f（f（x+1））+（3b﹣1）•f（x+1）+2在区间（﹣∞，﹣2]上的减函数，且在区间（﹣2，0）上是增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数b的值；（3）设h（x）=f（x+1）﹣2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得h（x）在区间[0，2]上有最小值为﹣2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．23．（18分）已知等差数列{a n}的首项为c，公差为d，等比数列{b n}的首项为d，公比为c，其中c，d∈Z，且a1＜b1＜a2＜b2＜a3．（1）求证：0＜c＜d，并由b2＜a3推导c的值；（2）若数列{a n}共有3n项，前n项的和为A，其后的n项的和为B，再其后的n项的和为C，求的比值．（3）若数列{b n}的前n项，前2n项、前3n项的和分别为D，G，H，试用含字母D，G的式子来表示H（即H=f（D，G），且不含字母d）2016-2017学年上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分.1．函数的最小正周期T=2．【分析】求三角函数的周期主要是用公式T=，由函数的解析式读出ω的值，代入公式即可求出周期．解：由题意函数f（x）=sin（πx+1），所以它的最小正周期是T===2．故答案为：2．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，解题的关键是由解析式中读出ω的值，熟记公式T=，准确记忆公式是解这类题的重点，求周期的题是高考必考题，一定要把公式记牢，记准，属于基础题．2．函数的反函数是f﹣1（x）=x2（x≥0）．【分析】令y=，则x=y2（y≥0），x，y互换，可得函数的反函数．解：令y=，则x=y2（y≥0），∴函数的反函数是f﹣1（x）=x2（x≥0），故答案为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．【点评】本题考查反函数的求法，考查方程思想，比较基础．3．计算：=﹣．【分析】对分式同除以n2，运用=0，=0，计算即可得到所求值．解：===﹣．a故答案为：﹣．【点评】本题考查极限运算，注意运用常见极限公式，考查运算能力，属于基础题．4．已知a＞0且b＞0，函数g（x）=2x，且g（a）•g（b）=2，则ab的最大值是．【分析】由题意和指数的运算易得a+b=1，由基本不等式可得ab≤（）2=，注意等号成立的条件即可．解：∵函数g（x）=2x，且有g（a）g（b）=2，∴2=2a•2b=2a+b，∴a+b=1，∵a＞0且b＞0，∴ab≤（）2=，当且即当a=b=时，ab取最大值，故答案为：．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数的运算，属基础题．5．方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为{2} ．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴，解得：x=2．故答案为：{2}．【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B=．【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可．解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB===﹣，得到B为钝角即B∈（，π），所以B=故答案为【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力．7．设x0为函数f（x）=2x+x﹣2的零点，且x0∈（m，n），其中m，n为相邻的整数，则m+n=1．【分析】通过f（0）＜0，f（1）＞0，可得f（0）•f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x ﹣2的零点在区间（0，1）内，由此可得k的值，解：函数f（x）=2x+x﹣2的零点为x0，且x0∈（m，n），f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0；f（1）=2+1﹣2=1＞0，∴f（0）•f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x﹣2的零点在区间（0，1）内，故m=0，n=1，m+n=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）•f（x+5）=3，f（1）=2，则f（2016）=．【分析】推导出f（x）是一个周期为10的周期函数，f（1）•f（6）=3，从而能求出结果．故答案为：．解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）•f（x+5）=3，∴f（x+5）•f（x+10）=3，∴f（x）=f（x+10），∴f（x）是一个周期为10的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2016）=f（6），∵f（1）•f（6）=3，∴f（6）==．∴f（2016）=f（6）=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9．已知，，则θ=﹣arccos．【分析】利用诱导公式和三角函数的反函数进行解答．解：∵，∴cosθ=．又，∴θ=﹣arccos．故答案是：﹣arccos．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，注意诱导公式、三角函数反函数的应用．10．设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=．【分析】经观察，S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），从而得到q+q2=3（q2﹣1），而q ＞0，从而可得答案．解：∵等比数列{a n}中，S2=3a2+2，S4=3a4+2，∴S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），∴a2（q+q2）=3a2（q2﹣1），又a2≠0，∴2q2﹣q﹣3=0，又q＞0，∴q=．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的性质，观察得到S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2）是关键，考查观察、分析及运算能力，属于中档题．11．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且，点F为DE中点，则的值为4．【分析】运用向量的数量积的定义和向量的三角形法则，结合向量的平方即为模的平方，注意运用平面向量基本定理，将所有向量统一为、的式子，计算即可得到．解：由AB=4，AC=6，∠BAC=60°，即有•=4×6×cos60°=24×=12，则=（﹣）•（﹣）=（﹣）•（﹣）=（﹣﹣）•（﹣）=+﹣=+×16﹣=2+6﹣4=4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．12．若不等式|x+a|≤2在x∈[1，2]时恒成立，则实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【分析】直接求出绝对值不等式的解集，利用恒成立直接求出a的值即可．解：不等式|x+a|≤2可得x∈[﹣2﹣a，2﹣a]，∵不等式|x+a|≤2在x∈[1，2]时恒成立，∴，解得a∈[﹣3，0]．∴实数a的取值范围是：[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力．13．设集合A={a1，a2，a3，a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={﹣1，3，5，8}，则集合A={﹣3，0，2，6} ．【分析】由题意可知，集合A的所有三元子集都是从A中的四个元素中任意取的三个元素构成的集合，总共4种情况，每个元素被取了3次，集合B中的元素应是4种情况的3个元素的和．解：在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以3（a1+a2+a3+a4）=（﹣1）+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5，于是集合A的四个元素分别为5﹣（﹣1）=6，5﹣3=2，5﹣5=0，5﹣8=﹣3，因此，集合A={﹣3，0，2，6}．故答案为{﹣3，0，2，6}．【点评】本题考查了集合中元素的三个特性，是新定义题型，解答时正确理解三元集合定义，从而明确集合B中各个元素的来由．14．把自然数按如图所示排列起来，从上往下依次为第一行、第二行、第三行…，中间用虚线围起来的一列数，从上往下依次为1、5、13、25、…，按这样的顺序，排在第30个的数是1741．【分析】中间用虚线围的一列，从上至下，相邻两个数都相差4，由此可求出第30个数．解：中间用虚线围的一列，从上至下：第一个数为1，第二个数为5=1+4×1，第三个数为13=1+4×1+4×2，第四个数为25=1+4×1+4×2+4×3，…，则第30个数为1+4×1+4×2+4×3+…+4×29=1+4（1+2+3+…+29）=1+4×=1741．故答案为1741【点评】本题属于规律探究题，关注相邻两个数之间的关系是解决本题的关键．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律不得分.15．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．16．已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ，使=λ+μ成立．根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围．解：根据题意，向量、是不共线的向量∵=（1，2），=（m，3m﹣2）由向量、不共线⇔解之得m≠2所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}．故选：D．【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题．17．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D．“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件【分析】对选项逐个进行判断，即可得出结论．解：A：命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故不正确；B：“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件，故不正确；C：命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题，故正确；D：“tanx=1”是“x=”的必要不充分条件，故不正确故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题．18．已知函数f（x）=，x∈[2，4]对于满足2＜x1＜x2＜4的任意x1，x2，给出下列结论：①x1f（x2）＞x2f（x1）②x2f（x1）＞x1f（x2）③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】易得函数f（x）=在∈[2，4]上为减函数，故由减函数的性质得出结论．解：∵g（x）=4﹣（x﹣2）2在[2，4]上为减函数，∴由复合函数的单调性法则可知f（x）=在[2，4]上为减函数，又∵2＜x1＜x2＜4，∴f（x2）＜f（x1），∴x2f（x1）＞x1f（x2）故②正确；又由x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜0得（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0 故③正确．故选：C．【点评】利用减函数的性质以及不等式的有关性质很容易得出结论，属基础题．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．已知．（1），求（2）若与的夹角为60°，求|；（3）若与垂直，求与的夹角．【分析】（1）由已知可得且方向相同，然后直接由数量积公式求值；（2）由已知求出，开方得答案；（3）与垂直，可得，再由数量积求夹角公式求得与的夹角．解：（1）∵，∴且方向相同，因此；（2）∵与的夹角为60°，∴，=，因此；（3）∵与垂直，∴，整理得，令与的夹角为θ，因此cosθ=，∴与的夹角．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积求向量的夹角，是中档题．20．某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1≤n≤30，n∈N+）的日销售量为f（n）（单位；台）．函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m∈N+），已知1≤n≤m时，函数f（n）=32﹣n．（1）当m≤n≤30时，求函数f（n）的解析式；（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？【分析】（1）根据题意，当m≤n≤30时，设f（n）=kn+b，（n∈N*），利用f（16）=40，f（30）=68，求出参数，进而得到f （n）的表达式；（2）利用1≤n≤m时，函数f（n）=32﹣n；当m≤n≤30时，f（n）=2n+8，建立方程，求出m，利用等差数列的求和公式求出前m天此型号空调的销售总量；（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+≥570，求出x，即可得出结论．解：（1）根据题意，当m≤n≤30时，设f（n）=kn+b，（n∈N*）∵f（16）=40，f（30）=68，∴，∴k=2，b=8，∴f（n）=2n+8（m≤n≤30），（2）∵1≤n≤m时，函数f（n）=32﹣n；当m≤n≤30时，f（n）=2n+8，∴32﹣m=2m+8，∴m=8．∴该店前m天此型号空调的销售总量=220台；（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+≥570，∴x2+9x﹣386≥0，∴x≥18，∴设该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销．【点评】已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．21．（16分）如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cosθ，sinθ），B（cos2θ，sin2θ），C（cos3θ，sin3θ）（0＜θ≤），分别设S△OAC，S△ABC的面积为S1和S2．（1）用sinθ、cosθ表示S1和S2；（2）求+的最大值及取最大值时θ的值．【分析】（1）根据三角函数定义，有∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，可求得S1的值，由S1+S2=四边形OABC的面积即可求S2的值．（2）由（1）知，+=sin（θ﹣）+1，可得﹣＜θ﹣≤，从而可求得﹣≤sin（θ﹣）≤sin=即可求得最大值及取最大值时θ的值．解：（1）根据三角函数定义，有∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，∴∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，∴S1=sin（3θ﹣θ）=sin2θ，∵S1+S2=四边形OABC的面积=，∴S2=sinθ﹣sin2θ=sinθ（1﹣c osθ）．（2）由（1）知，+==sinθ﹣cosθ+1=sin（θ﹣）+1，∵0＜θ≤，∴﹣＜θ﹣≤，∴﹣≤sin（θ﹣）≤sin=，∴+的最大值为，此时θ的值为．【点评】本题主要考查了单位圆与周期性，三角函数的求值，三角函数值域的解法，属于基本知识的考查．22．（16分）已知a，b为实数，函数f（x）=x2+ax+1，且函数y=f（x+1）是偶函数，函数g（x）=﹣b•f（f（x+1））+（3b﹣1）•f（x+1）+2在区间（﹣∞，﹣2]上的减函数，且在区间（﹣2，0）上是增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数b的值；（3）设h（x）=f（x+1）﹣2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得h（x）在区间[0，2]上有最小值为﹣2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用函数y=f（x+1）是偶函数，求函数f（x）的解析式；（2）利用复合函数的单调性，求实数b的值；（3）分类讨论，求出函数的最小值，利用h（x）在区间[0，2]上有最小值为﹣2，得出结论．解：（1）∵函数y=f（x+1）是偶函数，∴（x+1）2+a（x+1）+1=（﹣x+1）2+a（﹣x+1）+1，∴4x+2ax=0，∴a=﹣2，∴f（x）=（x﹣1）2；（2）g（x）=﹣b•f（f（x+1））+（3b﹣1）•f（x+1）+2=﹣bx4+（5b﹣1）x2+2﹣b，令t=x2，u（t）=﹣bt2+（5b﹣1）t﹣（b﹣2），在区间（﹣∞，﹣2]上，t=x2是减函数，且t∈[4，+∞），由g（x）是减函数，可知u（t）为增函数；在区间（﹣2，0）上，t=x2是减函数，且t∈（0，4），由g（x）是增函数，可知u（t）为减函数，∴由u（t）在（0，4）上是减函数，（4，+∞）上是增函数，可得二次函数开口向上，b＜0，且﹣=4，∴b=﹣；（3）h（x）=f（x+1）﹣2qx+1+2q=x2=2qx+2q，x∈[0，2]．q＜0，y min=h（0）=1+2q=﹣2，q=﹣；0≤q≤2，y min=h（q）=﹣q2+2q+1=﹣2，∴q=3或﹣1，舍去；q＞2，y min=h（2）=﹣2q+5=﹣2，q=，综上所述，q=﹣或．【点评】本题考查函数的性质，考查函数解析式的求解，考查学生的最值，正确分类讨论是关键．23．（18分）已知等差数列{a n}的首项为c，公差为d，等比数列{b n}的首项为d，公比为c，其中c，d∈Z，且a1＜b1＜a2＜b2＜a3．（1）求证：0＜c＜d，并由b2＜a3推导c的值；（2）若数列{a n}共有3n项，前n项的和为A，其后的n项的和为B，再其后的n项的和为C，求的比值．（3）若数列{b n}的前n项，前2n项、前3n项的和分别为D，G，H，试用含字母D，G的式子来表示H（即H=f（D，G），且不含字母d）【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可以推知0＜c＜d，结合已知条件a1＜b1＜a2＜b2＜a3列出不等式组：，通过解该不等式组推导c 的值；（2）根据等差数列的通项公式和性质推知A=S n，B=S2n﹣S n，C=S3n﹣S2n，易得B、A+C=2B，结合代数式的变形来求的值；（3）根据等比数列的前n项和公式分别表示出D、G、H，然后找到它们的数量关系．解：（1）已知a1=c，a2=c+d，a3=c+2d，b1=d，b2=dc，由b1＜a2可知c＞0，因此0＜c＜d，由a1＜b1＜a2＜b2＜a3可得：c＜d＜c+d＜cd＜c+2d，且c，d∈Z，因此可得不等式组：⇒⇒1＜c＜3．又因为c∈Z，因此c=2；（2）数列{a n}的通项为数列a n=2+（n﹣1）d，S n=n2+（2﹣）n，A=S n，B=S2n ﹣S n，C=S3n﹣S2n，B=（4n2﹣n2）+（2﹣）（2n﹣n）=•3n2+（2﹣）n，可得A+C=n2+（2﹣）n+（9n2﹣4n2）+（2﹣）（3n﹣2n）=3d•n2+（2﹣）•2n，可得A+C=2B，因此==；（3）数列{b n}的通项为b n=d•2n﹣1．因此D==d（2n﹣1），G=d（22n﹣1），H=d（23n﹣1）．所以，因此H=D•（﹣1）2+G=+2D﹣G．【点评】本题考查等比、等差数列的通项公式及应用，数列的求和，考查计算能力，属于难度较大的题目．。
上海市长宁区2016届高三12月质量检测数学试题 Word版
2016年上海市长宁区高考数学一模试卷一.填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式|x﹣3|＜5的解集是．2．方程9x+3x﹣2=0的解是．3．若复数z满足z2﹣z+1=0，则|z|=．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6+a14=20，则S19=．5．若，则sin2θ的值是．6．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是．7．（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），则f﹣1（﹣1）=．8．设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=．9．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有种（以数字作答）．10．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若，且a，b，c成等差数列，则c的值是．11．已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．12．在△ABC中，点M满足++=，若++m=，则实数m的值为．13．设命题p：函数的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a 对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值范围是．14．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=．二.选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一从此正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知集合P={0，a}，Q={1，2}，若P∩Q≠∅，则a等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．316．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．917．（文）设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（）A．B．C． D．18．已知函数（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（）A．仅②④B．仅②③C．仅①②D．仅③④三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．关于x的不等式|＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a，b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求tanα的值．20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点，求：（1）异面直线EF和A1B所成的角；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，若∥．（1）求角A、B、C的值；（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．22．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围．23．已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…P n（a n，b n），（n为正整数）都在函数y=（）x的图象上．（1）若数列{a n}是等差数列，证明：数列{b n}是等比数列；（2）设a n=n，（n∈N+），过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c n，试求最小的实数t，使c n≤t对一切正整数n恒成立；（3）对（2）中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k﹣1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．2016年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式|x﹣3|＜5的解集是（﹣2，8）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|x﹣3|＜5⇔﹣5＜x﹣3＜5，从而可得答案．【解答】解：∵|x﹣3|＜5，∴﹣5＜x﹣3＜5，解得：﹣2＜x＜8，故答案为：（﹣2，8）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想，属于基础题．2．方程9x+3x﹣2=0的解是0．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；一元二次不等式与一元二次方程．【专题】计算题．【分析】将原方程中的9x看成是3x的平方，对方程进行因式分解，求出x，化简成同底的指数方程，利用函数的单调性解指数方程即可．【解答】解：∵9x+3x﹣2=0即（3x）2+3x﹣2=0∴（3x+2）（3x﹣1）=0⇒3x=﹣2（舍），3x=1．解得x=0故答案为0【点评】本题考查了指数函数的定义、解析式、定义域和值域、一元二次不等式与一元二次方程求解，属于基础题．3．若复数z满足z2﹣z+1=0，则|z|=1．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】计算题．【分析】由求根公式求出z2﹣z+1=0的虚根，再代入复数的模的公式进行求解．【解答】解：∵z2﹣z+1=0，∴z===±i，∴|z|==1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次方程虚根的求法，以及复数的模公式应用．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6+a14=20，则S19=190．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】等差数列性质得出a6+a14=a1+a19=20，代入S19=即可．【解答】解：根据等差数列性质a6+a14=a1+a19=20，∴S19==190．故答案为：190．【点评】本题考查等差数列前n项和计算，利用有关性质，则能巧妙解决．5．若，则sin2θ的值是．【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．【分析】只需将已知式两边平方，化简即可．【解答】解：∵∴两边平方得：，即，∴故答案为：【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式．计算能力是高考考查的能力之一，防止计算出错，是基础题．6．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的，f（﹣1）=﹣f（1）=0，得当x＜0时，f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0），再根据函数为偶函数在（0，+∞）上为增函数，得到当f（x）＜0=f（1）时，0＜x＜1，最后结合f（0）=﹣f（0）=0，得到x的取值范围．【解答】解：首先，当x＜0时，根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的所以f（x）＜0=f（﹣1），可得﹣1＜x＜0又∵偶函数图象关于y轴对称∴在（﹣∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数因为f（1）=0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1而f（0）=﹣f（0）=0所以使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）【点评】本题以函数奇偶性为例，考查了用函数的性质解不等式，属于基础题．解题时应该注意函数单调性与奇偶性的内在联系，是解决本题的关键．7．（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），则f﹣1（﹣1）=2．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】由函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），我们可得函数y=f﹣1（x）过点（﹣1，2），进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（x）过点P（2，﹣1），∴函数y=f﹣1（x）过点（﹣1，2）故f﹣1（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是反函数，其中原函数过（a，b）点，反函数必过（b，a）点的原则，是解答本题的关键．8．设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则= 1．【考点】数列的极限；二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】先利用展开式中x3的系数为，求出a的值，再利用无穷等比数列和的极限公式求解．【解答】解：由题意，展开式的通项为令，则r=2∵展开式中x3的系数为，∴∵a＞0，∴∴故答案为：1．【点评】本题以二项式为载体，考查数列的极限，关键是利用展开式中x3的系数为，求出a的值，从而求极限．9．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有36种（以数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个排列组合的实际应用，甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门．【解答】解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用，∵甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，有C65=6种方案；第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门，有C21C64=30种方案．∴根据分类计数原理知共有6+30=36种方案．故答案为：36【点评】本题考查排列组合的实际应用，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．10．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若，且a，b，c成等差数列，则c的值是．【考点】数列递推式；极限及其运算．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据洛必达法则求出a n===3，b n=（b﹣a）=b=﹣，再根据等差中项即可求出c的值．【解答】解：a n===3，b n=（b﹣a）=b=﹣，∴a=﹣，∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴c=﹣﹣（﹣）=，故答案为：【点评】本题考查了函数极限的求法和等差中项的性质，属于基础题．11．已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】若f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立，即x2+（2﹣k）x+1≤0对任意实数x∈（1，m]都成立，即（1，m]是不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集的一个子集，设不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集为a≤x≤b，则a≤1，b≥m，进而根据使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，构造关于k的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：设g（x）=x2+（2﹣k）x+1设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．则△=（2﹣k）2﹣4＞=0，解得k≥4或k≤0又∵函数f（x）=x2+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；∴（1，m]⊆[a，b]∴a≤1，b≥m∴f（1）=4﹣k＜0，解得k＞4m的最大值为b，所以有b=5．即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=故答案为：【点评】本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，其中将已知条件转化为（1，m]是不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集的一个子集，是解答本题的关键．12．在△ABC中，点M满足++=，若++m=，则实数m的值为﹣3．【考点】相等向量与相反向量．【专题】计算题．【分析】根据已知中在△ABC中，点M满足++=，我们可以判断出M点为△ABC 的重心，进而可得=（+），结合++m=，即可求出实数m的值．【解答】解：∵△ABC中，点M满足++=，根据三角形重心的性质可得M为△ABC的重心则=（+）又∵++m=，∴m=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是相等向量与相反向量，三角形重心的性质，其中熟练掌握三角形重心的性质：M为△ABC的重心⇔++=，是解答本题的关键．13．设命题p：函数的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a 对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值范围是a＞2或a ＜0．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】先求出函数的值域为R即取遍所有的正实数的a 的范围求出y=3x﹣9x的最大值进一步求出不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立的a的范围．【解答】解：若命题p为真，当a=0时符合条件，故a=0可取；当a＞0时，△=≥0，解得a≤2，故0≤a≤2，若q为真，令y=3x﹣9x则令3x=t（t＞1）则所以a≥0所以命题p和q不全为真命题，a＞2或a＜0，故答案为：a＞2或a＜0．【点评】本题考查对数函数的值域为R的参数的求法；解决不等式恒成立问题常转换为求函数的最值来解决．14．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=或．【考点】函数与方程的综合运用；三角函数的化简求值．【专题】新定义．【分析】先设出不等式的对应方程两个根为a、b，推出不等式的对应方程两个根为a、b，利用韦达定理，求得关于θ的三角方程，根据θ的范围求解即可．【解答】解：不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，设不等式的对应方程两个根为a、b，则不等式2x2+4xsin2θ+1＜0对应方程两个根为：所以即：tan2θ=﹣因为θ∈（0，π），所以θ=或故答案为：或【点评】本题是新定义的创新题，考查逻辑思维能力，考查韦达定理等有关知识，是中档题．二.选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一从此正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知集合P={0，a}，Q={1，2}，若P∩Q≠∅，则a等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．3【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】根据题意P∩Q≠∅，说明P、Q两个集合中必定有公共元素，由此说明只能P∩Q={1}或{2}，所以a=1或2【解答】解：∵集合P={0，a}，Q={1，2}，且P∩Q≠∅，∴P∩Q={1}或P∩Q={2}，说明集合P中有元素1或者2因此a=1或2故选C【点评】本题考查了集合关系中参数的取值问题，属于基础题．牢记集合的定义和集合交集非空的含义，是解决好本题的关键．16．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．【解答】解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．17．（文）设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（）A．B．C． D．【考点】任意角的三角函数的定义；基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用基本不等式，我们可以确定出当最小时，P点的坐标，进而求出cosα的值，即可得到答案．【解答】解：∵t＜0，==≥，当且仅当t=﹣2时，最小为．此时，点P（﹣2，1），cosα==．故选D．【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，基本不等式，其中根据基本不等式，求出当且仅当t=﹣2时，最小为，是解答本题的关键，注意t＜0 这个条件．18．已知函数（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（）A．仅②④B．仅②③C．仅①②D．仅③④【考点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；压轴题．【分析】①当a=x=1时f（x）=0，采用举反例的方法得到答案是否正确；②利用f（﹣x）+f（x）看是否为0即可判断函数是否为奇函数；③求出f′（x）判断其符号即可知道函数单调与否；④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x﹣=±a化简求出x即可判断．【解答】解：①当a=x=1时f（x）=0，所以f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），错误；②f（﹣x）=﹣x+，而f（x）=x﹣，所以f（﹣x）+f（x）=﹣x++x﹣=0得到函数为奇函数，正确；③因为f′（x）=1+，由a＞0得到f′（x）＞1＞0，所以函数单调递增，区间不能用并集符号，错误；④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x﹣=±a，x＞0，x＜0各有两解，则方程有四个解，正确．故选A．【点评】考查学生会用反例法说明一个命题错误的能力，判断函数单调性及证明的能力，判断函数奇偶性的能力，会判断根的存在性及根的个数的能力．三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．关于x的不等式|＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a，b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求tanα的值．【考点】复数代数形式的乘除运算；二阶矩阵．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】（1）由题意可得：﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．（2）z1z2=（﹣cosα﹣2sinα）+（2cosα﹣sinα）i为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：（1）不等式|＜0即x（x+a）﹣2＜0的解集为（﹣1，b）．∴﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个实数根，∴﹣1+b=﹣a，﹣b=﹣2，解得a=﹣1，b=2．（2）z1z2=（﹣1+2i）（cosα+isinα）=（﹣cosα﹣2sinα）+（2cosα﹣sinα）i为纯虚数，∴﹣cosα﹣2sinα=0，2cosα﹣sinα≠0，解得tanα=﹣．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点，求：（1）异面直线EF和A1B所成的角；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】整体思想；定义法；空间角．【分析】（1）根据异面直线所成角的定义即可qui异面直线EF和A1B所成的角；（2）直接利用三棱柱的体积公式即可求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】解：（1）连接BC1，∵E，F分别是CC1，BC的中点，∴EF是△BC1C的中位线，则EF∥BC1，即BC1与A1B所成的角，即为异面直线EF和A1B所成的角；在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，∴△BA1C1为直角三角形，则A1C1=AC=2，A1B==，则tan∠A1BC1===，即∠A1BC1=，即异面直线EF和A1B所成的角是．（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V===4．【点评】本题主要考查异面直线所成角的求解以及三棱柱的体积的计算，根据相应的定义进行求解是解决本题的关键．比较基础．21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，若∥．（1）求角A、B、C的值；（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．【考点】正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由∥的条件得acosB=bcosA，由正弦定理把边化为角，再用两角差的正正弦公式得sin（A﹣B）=0，在三角形内角的范围内得A=B，由向量模的值为3，得其平方为9，用坐标来表示，得关于cosA的方程，求得cosA的值，A是三角形内角，可得一个确定的角A，从而求出其它两角．（2）用两角和的正弦公式把f（x）化为f（x）=sin（x+）的形式，由【解答】解：（1）∵∥，由正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A=B而，∴8+4sin2A=9，∴4（1+cosA）+4（1﹣cos2A）=9，∴4cos2A﹣4cosA+1=0，∴（2cosA﹣1）2=0∴，又0＜A＜π，∴，∴．（2），∵∴x=0时，，时，．【点评】此题是解三角形与三角函数的综合运用，在求角时，得到一个关于三角函数的等式，把这个式子要么全化成角，要么全化成边；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）形式．22．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围．【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，转化为a＜==（x﹣1）﹣，利用基本不等式求解即可．（2）分类讨论f得出f（x）在[0，+∞）上单调递增，m＞0且m n•2n﹣n＞m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．【解答】解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，∵x∈[3，+∞）∴a＜==（x﹣1）﹣，令x﹣1=t，则t∈[2，+∞），g（x）=t﹣在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min=g（2）=1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x﹣1）=m•2x﹣1，当x∈[n，n+1]时，f（x）=mf（x﹣1）=m2f（x﹣2）=…=m n f（x﹣n）=m n•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=m n•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且m n•2n﹣n＞m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．【点评】本题综合考查了函数的性质，推理变形能力，分类讨论的思想，属于难题23．已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…P n（a n，b n），（n为正整数）都在函数y=（）x的图象上．（1）若数列{a n}是等差数列，证明：数列{b n}是等比数列；（2）设a n=n，（n∈N+），过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c n，试求最小的实数t，使c n≤t对一切正整数n恒成立；（3）对（2）中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k﹣1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．【考点】数列与函数的综合；等比关系的确定．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，推导出=（）d，（常数），由此能证明数列{b n}是等比数列．（2）若a n=n，则，推导出c n﹣c n+1＞0，从而数列{c n}随n增大而减小，进而．由此能求出最小的实数t的值为，使c n≤t对一切正整数n恒成立．（3）a n=n，数列{d n}中，从第一项a1开始到a k为止，（含a k项）的所有项的和是，从而得到存在自然数m，使S m=2008．由此能推导出2016不是其中的一项．【解答】证明：（1）设数列{a n}的公差为d，由已知得，∴=（）=（）d，（常数），∴数列{b n}是等比数列．解：（2）若a n=n，则，∴，P n+1（n+1，（）n+1），==﹣（）n+1，直线P n P n+1的方程为，它与x轴，y轴分别交于点A n（n+2，0），B n（0，），∴c n=|OB n|=，c n﹣c n+1==＞0，∴数列{c n}随n增大而减小，∴．∴最小的实数t的值为，使c n≤t对一切正整数n恒成立．（3）2016不是数列{S n}中的某一项，证明如下：∵a n=n，∴数列{d n}中，从第一项a1开始到a k为止，（含a k项）的所有项的和是：（1+2+…k）+（31+32+…+3k﹣1）=，当k=7时，其和为：28+=1120＜2008，而当k=8时，其和是36+=3315＞2008，∵2008﹣1120=888=296×3，是3的倍数，∴存在自然数m，使S m=2008．此时，m=7+（1+3+32+33+34+35）+296=667．将2016代入，可知2016不是其中的一项．【点评】本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数的最小值的求法，考查2016是否是数列中的某一项的探究与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列性质、作差法、数列求和等知识点的合理运用．。
上海市闸北区高三数学上学期12月月考试卷(含解析)
2015-2016学年上海市闸北区高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．的展开式的常数项是．2．函数的单调性为；奇偶性为．3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为米；（结果四舍五入取整）6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．7．已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是．8．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是．9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．112．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．14．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．15．如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足：b1=0，b n+1+b n=a n，求数列{b n}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市闸北区高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．的展开式的常数项是 3 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵而项式=（x2+2）•（•﹣•+•﹣•+•﹣1），故它的展开式的常数项为﹣2=3，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2．函数的单调性为单调递增；奇偶性为奇函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据复合函数单调性的性质判断函数的定义域，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=ln（1+x）为增函数，且f（x）≥f（0）=0，当x＜0时，f（x）=ln=﹣ln（1﹣x）为增函数，且f（x）＜0，则函数f（x）在定义域上为增函数，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=ln（1﹣x），f（x）=ln=﹣ln（1﹣x），此时f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=ln=﹣ln（1+x），此时f（﹣x）=﹣f（x），综上f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故答案为：单调递增，奇函数；【点评】本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义以及复合函数单调性的性质是解决本题的关键．3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．4．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将表示为+，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积运算．考查向量的加减运算．5．如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为176 米；（结果四舍五入取整）【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】在△PAB中使用正弦定理求出PA的长，再在直角三角形中利用三角函数定义求出上高．【解答】解：如图，∠PAB=180°﹣30°﹣40°=110°，∴∠APB=180°﹣110°﹣56°=14°．在△ABP中，由正弦定理得：，即，∴AP=≈274.4．∴山高h=APsin40°≈176．故答案为176．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．7．已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是 5 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意易得d＜0，a n=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，可得等差数列{a n}的前5项为正，从第6项开始为负，从而可得答案．【解答】解：因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，所以d＜0，且81d+18a1=0，解得a1=，故a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，（注意d＜0），解得n≥，即等差数列{a n}的前5项为正，从第6项开始为负，故数列{a n}的前5项和S5取最大，故答案为：5【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值问题，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．8．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x∈[0，π]），f（x）+f（π﹣x）=4，因此对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4，故正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据充分必要条件的定义结合双曲线和抛物线的定义判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查运算能力，考查充分必要条件，属于基础题和易错题．11．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由题意可依据空间中点线面的位置关系对四个命题作出判断得到正确选项，①可用平面之间的位置关系判断，②可用直线与平面平行的条件判断，③利用相交平面以及直线与平面平行的性质，判断；④利用直线与平面垂直的性质判断即可．【解答】解：由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行，利用正方体的两个相邻侧面不满足题意，故①不对；若m，n平行于同一平面，则m与n平行，可能相交也可能平行也可以异面，故②不对；若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线，利用正方体中点侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以③不正确；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，如果两条直线垂直同一个平面，则两条直线平行，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握空间中线线平行、面面平行、线线垂直的条件及有着较强的空间想像能力，本题考查了推理判断的能力．12．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），进而可求出tanθn，结合函数的单调性即可判断．【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）先分别表示出A，B的坐标，求得sinα的值，进而求得α，则B的横坐标可求．（2）分别表示出）|OA|，|OC|和∠AOC，利用三角形面积公式表示出S，利用两角和公式化简，根据α的范围确定S的最大值．【解答】解：（1）由定义得，A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），依题意知sinα=，α∈[，]，所以α=，所以点B的横坐标为cos（α+）=cos=﹣，（2）∵|OA|=1，|OC|=sin（α+），∠AOC=﹣α，∴S=|OA|•|OC|sin∠AOC=sin（α+）sin（﹣α）=（sinα+cosα）cosα=（sinαcosα+cos2α）=（sin2α+cos2α）+=sin（2α+）+，∵α∈[，]，∴（2α+）∈[，），∴当2α+）=，即α=时，sin（2α+）取最大值，∴S的最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，最值，两角和与差的三角公式，二倍角公式三角函数的恒等变换等．考查了运算求解能力，数形结合思想，转化与化归思想的运用．14．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=，将p=3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；（Ⅱ）===﹣，当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为=13 万元；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意求出B的纵坐标，得到直线OA的方程，与圆的方程联立求点A、点B 的坐标；（2）设出OA所在直线方程，与圆的方程联立求出A的坐标，再求出B的坐标，然后利用向量相等得到关于M的参数方程，消去参数后得答案；（3）取y为﹣y，曲线方程不变，可得曲线C关于x轴对称，再由y2≥0求得范围；（4）直接由x→6，→+∞得到曲线的渐近线方程．【解答】解：（1）由已知可得B点的横坐标为6，则纵坐标为=±3，设直线l为y=kx，把B点坐标代入得k=则，联立，解得．∴A（，），B（6，±3）；（2）设OA所在直线方程为y=kx，联立，得，又x B=6，y B=6k，∴，设M（x，y），则，消去k得：；（3）取y为﹣y，曲线方程不变，∴曲线C关于x轴对称；由，解得：0≤x＜6，∴曲线C的顶点为（0，0）；图形范围满足x∈[0，6）；（4）当0≤x＜6时，若x→6，则→+∞，∴曲线C的渐近线方程为x=6．【点评】本题考查直线和圆的位置关系的应用，考查了曲线参数方程的求法，训练了极限思想方法的应用，是中档题．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足：b1=0，b n+1+b n=a n，求数列{b n}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由题意可知，分当n=1，和n≥2两种情况，可得数列{a n}的通项公式；（II）可得，分n为奇数和n为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；（III）由（II）可知，分当n为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得的最大值是1，进而可得结论．【解答】解：（I）由题意可知，．当n≥2时，，当n=1时，也满足上式，所以．…（II）由（I）可知，即．当k=1时，，…①当k=2时，，所以，…②当k=3时，，…③当k=4时，，所以，…④……当k=n﹣1时（n为偶数），，所以…n﹣1以上n﹣1个式子相加，得===，又b1=0，所以，当n为偶数时，．同理，当n为奇数时，=，所以，当n为奇数时，．…因此，当n为偶数时，数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n===；当n为奇数时，数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n﹣1+b n===．故数列{b n}的前n项和．…（III）由（II）可知，①当n为偶数时，，所以随n的增大而减小，从而，当n为偶数时，的最大值是．②当n为奇数时，，所以随n的增大而增大，且．综上，的最大值是1．因此，若对于任意的n∈N*，不等式b n＜λb n+1恒成立，只需λ＞1，故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…【点评】本题考查数列的求和，涉及等差数列等比数列，以及分类讨论的思想，属中档题．。
高三数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三（上）12月联考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合（∁U B）=（）A．（2，3）B．（2，4）C．（3，4] D．（2，4]2．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．904．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．在公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．18．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（）种．A．240 B．180 C．150 D．5409．若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．10．若x、y满足，目标函数z=x﹣ky的最大值为9，则实数k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣111．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．3012．过曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（）A．B．﹣1 C． +1 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．15．设数列{a n}是公差不为0的等差数列，S n为其前n项和，若，S5=5，则a7的值为．16．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a （f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5大题，每题12分）17．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某商场根据市场调研，决定从3种服装商品、2种家电商品和4种日用商品中选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（Ⅱ）被选中的促销商品在现价的基础上提高60元进行销售，同时提供3次抽奖的机会，第一次和第二次中奖均可获得奖金40元，第三次中奖可获得奖金30元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，顾客所得奖金总数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•大连二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1和C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将l1逆时针旋转得到l2：θ=α+，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合（∁U B）=（）A．（2，3）B．（2，4）C．（3，4] D．（2，4]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵≥0，即（x﹣2）（x﹣4）≤0，且x≠2，解得2＜x≤4，∴A=（2，4]，∵x2﹣7x+12≤0，即（x﹣3）（x﹣4）≤0，解得3≤x≤4，∴B=[3，4]，∴∁U B（﹣∞，3）∪（4，+∞），∴A∩∁U B（2，3），故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．【解答】解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．3．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．。
【配套K12】上海市五校2016届高三数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
2015-2016学年上海市五校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= ．2．（理）函数y=sin2aπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a= ．3．函数的定义域为．4．集合A={x||x﹣2|≤3，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}则∁R（A∩B）= ．5．如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为．6．已知双曲线=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．8．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20= ．9．在△ABC中，AB=5，AC=6，点P是△ABC的外接圆圆心，则•= ．10．无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项是a1＞0，若S n=，则a1的取值范围是．11．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是．12．已知数列{a n}满足，当n≥3时，a n=2a n﹣1或a n=a n﹣1+a n﹣2，若a1=1，a2=2，则此数列的前2015项中，奇数项最多有项．13．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且=2，∠BAC=30°若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别是x，y，z，则的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2则||的取值范围是．二、选择题15．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜117．下列命题正确的是（）A．若ab≠0，则≥2B．若a＜0，则a+≥﹣4C．若a＞0，b＞0，则lga+lgb≥2D．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x+≥518．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]三、解答题19．如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠COA=α．（1）当点A的坐标为时，求的值．（2）若0≤α≤，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有∠AOB=，试求BC的取值范围．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C．（1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的﹣条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．22．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，其中常数a≠0（1）当a=1时，f（x）的最小值；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．23．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}是“E数列”．（1）数列{a n}的前n项和S n=3n（n∈N*），判断数列{a n}是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列{b n}是等差数列，其首项b1=1，公差d＜0，数列{b n}是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“E数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．2015-2016学年上海市五校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= 3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（理）函数y=sin2aπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a= ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数的表达式，直接利用周期公式求解即可．【解答】解：函数y=sin2aπx=，因为函数的周期为2，所以2=，所以a=；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的应用，考查计算能力．3．函数的定义域为（0，10] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据根式有意义的条件和对数函数的定义求函数的定义域．【解答】解：∵函数，∴1﹣lgx≥0，x＞0，∴0＜x≤10，故答案为（0，10]．【点评】此题主要考查了对数函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题．4．集合A={x||x﹣2|≤3，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}则∁R（A∩B）= （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B交集的补集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴A=[﹣1，5]，由B中y=﹣x2，﹣1≤x≤2，得到﹣4≤y≤0，即B=[﹣4，0]，∴A∩B=[﹣1，0]，则∁R（A∩B）=（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为﹣20 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，2﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，然后利用根与系数的关系求得m，n的值得答案．【解答】解：∵2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，2﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则﹣m=（2+i）+（2﹣i）=4，m=﹣4，n=（2+i）（2﹣i）=5．∴mn=﹣40．故答案为：﹣20．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程虚根成对原理，是基础题．6．已知双曲线=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=4x的焦点为：（，0）可得所求的双曲线c=，根据a2=c2﹣b2可求a 的值，从而可得双曲线的方程为．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为：（，0）∴所求的双曲线的右焦点为（，0），故c=根据双曲线的定义可知，a2=c2﹣b2=1则双曲线的方程为： =1故答案为： =1．【点评】本题以抛物线的焦点的求解为切入点，主要考查了双曲线的方程的求解，比较基础．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．8．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20= 50 ．【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，则a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20==ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．9．在△ABC中，AB=5，AC=6，点P是△ABC的外接圆圆心，则•= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】设外接圆的半径为r，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到．设外接圆的半径为r，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到．【解答】解：设外接圆的半径为r，∴•=（﹣）=•﹣•=r•6•cos∠OAC﹣r•5•cos∠OAB，=6×﹣5×=，故选：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项是a1＞0，若S n=，则a1的取值范围是（0，1）∪（1，）．【考点】等比数列的前n项和；极限及其运算．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的求和公式和极限运算可得q=1﹣a12，由|q|＜1可得不等式，解不等式可得．【解答】解：∵S n=，a1＞0且S n=，∴|q|＜1，且=，故a12=1﹣q，q=1﹣a12，由|q|＜1可得﹣1＜1﹣a12＜1，解得0＜a1＜，又当a1=1时，q=1﹣a12=0，故答案为：（0，1）∪（1，）【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及极限的运算和不等式的解法，属基础题．11．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是[﹣，﹣1] ．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．【解答】解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令t=2x∈[，2]，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈．故答案为：．【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力12．已知数列{a n}满足，当n≥3时，a n=2a n﹣1或a n=a n﹣1+a n﹣2，若a1=1，a2=2，则此数列的前2015项中，奇数项最多有1343 项．【考点】数列递推式．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由题意结合数列递推式求出数列中出现奇数最多项的情况，然后利用所得规律求得是奇数的最多项数．【解答】解：a1=1，a2=2，由a n=a n﹣1+a n﹣2，得a3=3，a4=a3+a2=5，a5=a4+a3=8，a6=a5+a4=13，a7=a6+a5=21，a8=a7+a6=34，…∴当n≥3时，数列是两项奇数一项偶数重复出现，此时数列的前2015项中，是奇数的项最多有；或a1=1，a2=2，由a n=a n﹣1+a n﹣2，得a3=3，a4=a3+a2=5，由a n=2a n﹣1，得a5=10，a6=a5+a4=15，a7=a6+a5=25，由a n=2a n﹣1，得a8=50，…∴当n≥3时，数列是两项奇数一项偶数重复出现，此时数列的前2015项中，是奇数的项最多有．∴此数列的前2015项中，是奇数的项最多有1343项．故答案为：1343．【点评】本题考查数列递推式，关键是明确能使数列中出现奇数最多项的情况，属中档题．13．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且=2，∠BAC=30°若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别是x，y，z，则的最小值为9 ．【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；数形结合法；解三角形；不等式．【分析】由向量和三角形的知识可得正数x，y，z满足x+y+z=1，整体代入可得=（）（x+y+z）=5++，由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得=bccos30°=2，解得bc=4，故△ABC的面积S=b csin30°=1，∴正数x，y，z满足x+y+z=1，∴=（）（x+y+z）=5++≥5+2=9当且仅当=即z=2（x+y）时取等号，结合x+y+z=1可得x+y=且z=．故选答案为：9．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及三角形和向量的知识，属中档题．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2则||的取值范围是[4，8] ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2，OM≤OC+r=3+1=4．∴2≤||≤4，∴4≤||≤8．故答案为：[4，8]．【点评】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案．二、选择题15．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化法；直线与圆；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，若l1∥l2，当a=0时，两直线分别为x+2=0和﹣2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件．当a≠0时，若两直线平行则≠，由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，当a=﹣1时， =，不满足条件．则a≠﹣1，即a=3，故“a=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键．16．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．17．下列命题正确的是（）A．若ab≠0，则≥2B．若a＜0，则a+≥﹣4C．若a＞0，b＞0，则lga+lgb≥2D．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x+≥5【考点】基本不等式．【专题】函数思想；综合法；不等式．【分析】由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得．【解答】解：选项A，当ab异号时，≤﹣2，故A错误；选项B，由a＜0可得a+≤﹣2=﹣4，故B错误；选项C，当a＞0，b＞0时，lga和lgb可能为负数，故错误；选项D，∵x≠kπ，k∈Z，∴sin2x∈（0，1]，∴sin2x+=t+在（0，1]单调递减，∴当t=1时，t+取最小值5，即sin2x+≥5故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．三、解答题19．如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠COA=α．（1）当点A的坐标为时，求的值．（2）若0≤α≤，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有∠AOB=，试求BC的取值范围．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】（1）根据三角形函数线以及点A的坐标，求出sinα=，cosα=，再根据二倍角公式，分别求出cos2α，sin2α，代入计算即可；（2）先表示出点B的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，BC的取值范围．【解答】解：（1）∵点A的坐标为，∴sin α=，cos α=，∴cos2α=2cos 2α﹣1=﹣，sin2α=2sin αcos α=，∴==﹣（2）∵B（cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤，∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤．【点评】本题考查了三角函数线的问题，二倍角的问题，以及点与点的距离公式和三角函数的图象与性质，属于基础题．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v （x ）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=x•v（x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v （x ）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v （x ）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．21．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C．（1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的﹣条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，确定Q（﹣4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，求出直线l的方程，再求|AB|．【解答】解：（1）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|P M|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（去掉点（﹣2，0））（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，直线l的方程为x=0，|AB|=2．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则=，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l与M相切可得： =1，解得k=±．∴直线l的方程为y=±（x+4），代入，可得7x2+8x﹣8=0，∴|AB|=•=．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．22．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，其中常数a≠0（1）当a=1时，f（x）的最小值；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用不等式的基本性质求最值；（2）利用f（﹣x）=﹣f（x）及f（﹣x）=f（x）求得a值，从而得到函数为奇函数或偶函数的a 的取值；（3）由原函数可得当a=256时，函数在（0，4）上是减函数，利用单调性直接转化为k﹣cosx≤k2﹣cos2x恒成立，分离参数求解即可得到k值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2x+2﹣x=，当且仅当，即x=0时取等号；（2）f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+a•2x=，﹣f（x）=，f（x）=2x+a•2﹣x=，由f（﹣x）=f（x），得，即a•22x+1=22x+a，∴（a﹣1）22x﹣（a﹣1）=0，即a=1；由f（﹣x）=﹣f（x），得，即a•22x+22x+a+1=0，∴（a+1）22x+a+1=0，即a=﹣1．∴当a=1时，函数f（x）=2x+a•2﹣x为偶函数；当a=﹣1时，函数f（x）=2x+a•2﹣x为奇函数；当a≠1且a≠﹣1时，f（x）=2x+a•2﹣x为非奇非偶函数；（3）当k∈（1，2]时，0＜k﹣cosx≤3，0＜k2﹣cos2x≤4．当a=256时，f（x）=2x+256•2﹣x=，由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x），x∈R，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x（x∈R），即cos2x﹣cosx≤k2﹣k（x∈R）①设，则函数g（x）在R上的最大值为2．要使①式恒成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1．∴在区间k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．【点评】本题考查利用不等式的基本性质求最值，考查了函数的单调性和奇偶性，考查综合分析和解决问题的能力，体现了数学转化思想方法，是中档题．23．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}是“E数列”．（1）数列{a n}的前n项和S n=3n（n∈N*），判断数列{a n}是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列{b n}是等差数列，其首项b1=1，公差d＜0，数列{b n}是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“E数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）运用a1=S1，a n=S n﹣S n﹣1，（n＞1），可得a n，再由新定义即可判断；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得m，再由新定义即可求得d=﹣1；（3）若d n=bn（b是常数），求得前n项和，设b n=na1，c n=（d﹣a1）（n﹣1），再由新定义可得则a n=b n+c n，即可得证．【解答】解：（1）由S n=3n（n∈N*），且a1=S1，a n=S n﹣S n﹣1，（n＞1），可得a n=，当n=2时，9=2•3n﹣1，得m∉N*，所以不是“E数列”；（2）由数列{b n}是等差数列，其首项b1=1，公差d＜0，可得n+d=1+（m﹣1）d，即为m=++1，小初高试卷类教案类K12分别是小学初中高中为非负整数，所以首先要恒为整数，d 为所有非负整数的公约数且d ＜0，所以d=﹣1； （3）证明：首先，若d n =bn （b 是常数），则数列{d n }前n 项和为S n=b 是数列{d n }中的第项，因此{d n }是“E 数列”，对任意的等差数列{a n }，a n =a 1+（n ﹣1）d （d 为公差），设b n =na 1，c n =（d ﹣a 1）（n ﹣1），则a n =b n +c n ，而数列{b n }，{c n }都是“E 数列”，故对任意的等差数列{a n }，总存在两个“E 数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n （n ∈N *）成立．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项和求和，考查推理和运算能力，属于中档题．。
上海市闸北区高三数学上学期12月月考试卷(含解析)
2015-2016学年上海市闸北区高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．的展开式的常数项是．2．函数的单调性为；奇偶性为．3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为米；（结果四舍五入取整）6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．7．已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是．8．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是．9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．112．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．14．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．15．如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足：b1=0，b n+1+b n=a n，求数列{b n}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市闸北区高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．的展开式的常数项是 3 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵而项式=（x2+2）•（•﹣•+•﹣•+•﹣1），故它的展开式的常数项为﹣2=3，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2．函数的单调性为单调递增；奇偶性为奇函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据复合函数单调性的性质判断函数的定义域，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=ln（1+x）为增函数，且f（x）≥f（0）=0，当x＜0时，f（x）=ln=﹣ln（1﹣x）为增函数，且f（x）＜0，则函数f（x）在定义域上为增函数，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=ln（1﹣x），f（x）=ln=﹣ln（1﹣x），此时f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=ln=﹣ln（1+x），此时f（﹣x）=﹣f（x），综上f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故答案为：单调递增，奇函数；【点评】本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义以及复合函数单调性的性质是解决本题的关键．3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．4．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将表示为+，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积运算．考查向量的加减运算．5．如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为176 米；（结果四舍五入取整）【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】在△PAB中使用正弦定理求出PA的长，再在直角三角形中利用三角函数定义求出上高．【解答】解：如图，∠PAB=180°﹣30°﹣40°=110°，∴∠APB=180°﹣110°﹣56°=14°．在△ABP中，由正弦定理得：，即，∴AP=≈274.4．∴山高h=APsin40°≈176．故答案为176．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．7．已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是 5 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意易得d＜0，a n=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，可得等差数列{a n}的前5项为正，从第6项开始为负，从而可得答案．【解答】解：因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，所以d＜0，且81d+18a1=0，解得a1=，故a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，（注意d＜0），解得n≥，即等差数列{a n}的前5项为正，从第6项开始为负，故数列{a n}的前5项和S5取最大，故答案为：5【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值问题，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．8．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f （x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x∈[0，π]），f（x）+f（π﹣x）=4，因此对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4，故正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据充分必要条件的定义结合双曲线和抛物线的定义判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查运算能力，考查充分必要条件，属于基础题和易错题．11．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由题意可依据空间中点线面的位置关系对四个命题作出判断得到正确选项，①可用平面之间的位置关系判断，②可用直线与平面平行的条件判断，③利用相交平面以及直线与平面平行的性质，判断；④利用直线与平面垂直的性质判断即可．【解答】解：由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行，利用正方体的两个相邻侧面不满足题意，故①不对；若m，n平行于同一平面，则m与n平行，可能相交也可能平行也可以异面，故②不对；若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线，利用正方体中点侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以③不正确；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，如果两条直线垂直同一个平面，则两条直线平行，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握空间中线线平行、面面平行、线线垂直的条件及有着较强的空间想像能力，本题考查了推理判断的能力．12．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），进而可求出tanθn，结合函数的单调性即可判断．【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）先分别表示出A，B的坐标，求得sinα的值，进而求得α，则B的横坐标可求．（2）分别表示出）|OA|，|OC|和∠AOC，利用三角形面积公式表示出S，利用两角和公式化简，根据α的范围确定S的最大值．【解答】解：（1）由定义得，A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），依题意知sinα=，α∈[，]，所以α=，所以点B的横坐标为cos（α+）=cos=﹣，（2）∵|OA|=1，|OC|=sin（α+），∠AOC=﹣α，∴S=|OA|•|OC|sin∠AOC=sin（α+）sin（﹣α）=（sinα+cosα）cosα=（sinαcosα+cos2α）=（sin2α+cos2α）+=sin（2α+）+，∵α∈[，]，∴（2α+）∈[，），∴当2α+）=，即α=时，sin（2α+）取最大值，∴S的最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，最值，两角和与差的三角公式，二倍角公式三角函数的恒等变换等．考查了运算求解能力，数形结合思想，转化与化归思想的运用．14．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=，将p=3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；（Ⅱ）===﹣，当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为=13 万元；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意求出B的纵坐标，得到直线OA的方程，与圆的方程联立求点A、点B 的坐标；（2）设出OA所在直线方程，与圆的方程联立求出A的坐标，再求出B的坐标，然后利用向量相等得到关于M的参数方程，消去参数后得答案；（3）取y为﹣y，曲线方程不变，可得曲线C关于x轴对称，再由y2≥0求得范围；（4）直接由x→6，→+∞得到曲线的渐近线方程．【解答】解：（1）由已知可得B点的横坐标为6，则纵坐标为=±3，设直线l为y=kx，把B点坐标代入得k=则，联立，解得．∴A（，），B（6，±3）；（2）设OA所在直线方程为y=kx，联立，得，又x B=6，y B=6k，∴，设M（x，y），则，消去k得：；（3）取y为﹣y，曲线方程不变，∴曲线C关于x轴对称；由，解得：0≤x＜6，∴曲线C的顶点为（0，0）；图形范围满足x∈[0，6）；（4）当0≤x＜6时，若x→6，则→+∞，∴曲线C的渐近线方程为x=6．【点评】本题考查直线和圆的位置关系的应用，考查了曲线参数方程的求法，训练了极限思想方法的应用，是中档题．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足：b1=0，b n+1+b n=a n，求数列{b n}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由题意可知，分当n=1，和n≥2两种情况，可得数列{a n}的通项公式；（II）可得，分n为奇数和n为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；（III）由（II）可知，分当n为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得的最大值是1，进而可得结论．【解答】解：（I）由题意可知，．当n≥2时，，当n=1时，也满足上式，所以．…（II）由（I）可知，即．当k=1时，，…①当k=2时，，所以，…②当k=3时，，…③当k=4时，，所以，…④……当k=n﹣1时（n为偶数），，所以…n﹣1 以上n﹣1个式子相加，得===，又b1=0，所以，当n为偶数时，．同理，当n为奇数时，=，所以，当n为奇数时，．…因此，当n为偶数时，数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n===；当n为奇数时，数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n﹣1+b n===．故数列{b n}的前n项和．…（III）由（II）可知，①当n为偶数时，，所以随n的增大而减小，从而，当n为偶数时，的最大值是．②当n为奇数时，，所以随n的增大而增大，且．综上，的最大值是1．因此，若对于任意的n∈N*，不等式b n＜λb n+1恒成立，只需λ＞1，故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…【点评】本题考查数列的求和，涉及等差数列等比数列，以及分类讨论的思想，属中档题．。
上海市长宁区2016届高三数学12月质量检测试题(含解析)
2016年某某市长宁区高考数学一模试卷一.填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式|x﹣3|＜5的解集是．2．方程9x+3x﹣2=0的解是．3．若复数z满足z2﹣z+1=0，则|z|=．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6+a14=20，则S19=．5．若，则sin2θ的值是．6．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值X围是．7．（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），则f﹣1（﹣1）=．8．设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=．9．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有种（以数字作答）．10．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若，且a，b，c成等差数列，则c的值是．11．已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．12．在△ABC中，点M满足++=，若++m=，则实数m的值为．13．设命题p：函数的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a 对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值X围是．14．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=．二.选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一从此正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知集合P={0，a}，Q={1，2}，若P∩Q≠∅，则a等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．316．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．917．（文）设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（）A．B．C． D．18．已知函数（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（）A．仅②④B．仅②③C．仅①②D．仅③④三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．关于x的不等式|＜0的解集为（﹣1，b）．（1）某某数a，b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求tanα的值．20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点，求：（1）异面直线EF和A1B所成的角；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，若∥．（1）求角A、B、C的值；（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．22．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，某某数a 的取值X围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，某某数m的取值X围．23．已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…P n（a n，b n），（n为正整数）都在函数y=（）x的图象上．（1）若数列{a n}是等差数列，证明：数列{b n}是等比数列；（2）设a n=n，（n∈N+），过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，试求最小的实数t，使≤t对一切正整数n恒成立；（3）对（2）中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k﹣1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．2016年某某市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式|x﹣3|＜5的解集是（﹣2，8）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|x﹣3|＜5⇔﹣5＜x﹣3＜5，从而可得答案．【解答】解：∵|x﹣3|＜5，∴﹣5＜x﹣3＜5，解得：﹣2＜x＜8，故答案为：（﹣2，8）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想，属于基础题．2．方程9x+3x﹣2=0的解是0 ．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；一元二次不等式与一元二次方程．【专题】计算题．【分析】将原方程中的9x看成是3x的平方，对方程进行因式分解，求出x，化简成同底的指数方程，利用函数的单调性解指数方程即可．【解答】解：∵9x+3x﹣2=0即（3x）2+3x﹣2=0∴（3x+2）（3x﹣1）=0⇒3x=﹣2（舍），3x=1．解得x=0故答案为0【点评】本题考查了指数函数的定义、解析式、定义域和值域、一元二次不等式与一元二次方程求解，属于基础题．3．若复数z满足z2﹣z+1=0，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】计算题．【分析】由求根公式求出z2﹣z+1=0的虚根，再代入复数的模的公式进行求解．【解答】解：∵z2﹣z+1=0，∴z===±i，∴|z|==1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次方程虚根的求法，以及复数的模公式应用．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6+a14=20，则S19= 190 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】等差数列性质得出a6+a14=a1+a19=20，代入S19=即可．【解答】解：根据等差数列性质a6+a14=a1+a19=20，∴S19==190．故答案为：190．【点评】本题考查等差数列前n项和计算，利用有关性质，则能巧妙解决．5．若，则sin2θ的值是．【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．【分析】只需将已知式两边平方，化简即可．【解答】解：∵∴两边平方得：，即，∴故答案为：【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式．计算能力是高考考查的能力之一，防止计算出错，是基础题．6．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值X围是（﹣1，1）．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的，f（﹣1）=﹣f（1）=0，得当x＜0时，f（x）＜0的x的取值X围是（﹣1，0），再根据函数为偶函数在（0，+∞）上为增函数，得到当f（x）＜0=f（1）时，0＜x＜1，最后结合f（0）=﹣f（0）=0，得到x的取值X围．【解答】解：首先，当x＜0时，根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的所以f（x）＜0=f（﹣1），可得﹣1＜x＜0又∵偶函数图象关于y轴对称∴在（﹣∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数因为f（1）=0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1而f（0）=﹣f（0）=0所以使f（x）＜0的x的取值X围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）【点评】本题以函数奇偶性为例，考查了用函数的性质解不等式，属于基础题．解题时应该注意函数单调性与奇偶性的内在联系，是解决本题的关键．7．（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），则f﹣1（﹣1）= 2 ．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】由函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），我们可得函数y=f﹣1（x）过点（﹣1，2），进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（x）过点P（2，﹣1），∴函数y=f﹣1（x）过点（﹣1，2）故f﹣1（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是反函数，其中原函数过（a，b）点，反函数必过（b，a）点的原则，是解答本题的关键．8．设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则= 1 ．【考点】数列的极限；二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】先利用展开式中x3的系数为，求出a的值，再利用无穷等比数列和的极限公式求解．【解答】解：由题意，展开式的通项为令，则r=2∵展开式中x3的系数为，∴∵a＞0，∴∴故答案为：1．【点评】本题以二项式为载体，考查数列的极限，关键是利用展开式中x3的系数为，求出a的值，从而求极限．9．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有36 种（以数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个排列组合的实际应用，甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门．【解答】解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用，∵甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，有C65=6种方案；第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门，有C21C64=30种方案．∴根据分类计数原理知共有6+30=36种方案．故答案为：36【点评】本题考查排列组合的实际应用，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．10．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若，且a，b，c成等差数列，则c的值是．【考点】数列递推式；极限及其运算．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据洛必达法则求出a n===3， b n=（b﹣a）=b=﹣，再根据等差中项即可求出c的值．【解答】解： a n===3， b n=（b﹣a）=b=﹣，∴a=﹣，∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴c=﹣﹣（﹣）=，故答案为：【点评】本题考查了函数极限的求法和等差中项的性质，属于基础题．11．已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】若f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立，即x2+（2﹣k）x+1≤0对任意实数x∈（1，m]都成立，即（1，m]是不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集的一个子集，设不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集为a≤x≤b，则a≤1，b≥m，进而根据使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，构造关于k的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：设g（x）=x2+（2﹣k）x+1设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．则△=（2﹣k）2﹣4＞=0，解得k≥4或k≤0又∵函数f（x）=x2+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；∴（1，m]⊆[a，b]∴a≤1，b≥m∴f（1）=4﹣k＜0，解得k＞4m的最大值为b，所以有b=5．即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=故答案为：【点评】本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，其中将已知条件转化为（1，m]是不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集的一个子集，是解答本题的关键．12．在△ABC中，点M满足++=，若++m=，则实数m的值为﹣3 ．【考点】相等向量与相反向量．【专题】计算题．【分析】根据已知中在△ABC中，点M满足++=，我们可以判断出M点为△ABC的重心，进而可得=（+），结合++m=，即可求出实数m的值．【解答】解：∵△ABC中，点M满足++=，根据三角形重心的性质可得M为△ABC的重心则=（+）又∵++m=，∴m=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是相等向量与相反向量，三角形重心的性质，其中熟练掌握三角形重心的性质：M为△ABC的重心⇔++=，是解答本题的关键．13．设命题p：函数的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a 对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值X围是a＞2或a ＜0 ．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】先求出函数的值域为R即取遍所有的正实数的a的X围求出y=3x﹣9x的最大值进一步求出不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立的a的X围．【解答】解：若命题p为真，当a=0时符合条件，故a=0可取；当a＞0时，△=≥0，解得a≤2，故0≤a≤2，若q为真，令y=3x﹣9x则令3x=t（t＞1）则所以a≥0所以命题p和q不全为真命题，a＞2或a＜0，故答案为：a＞2或a＜0．【点评】本题考查对数函数的值域为R的参数的求法；解决不等式恒成立问题常转换为求函数的最值来解决．14．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=或．【考点】函数与方程的综合运用；三角函数的化简求值．【专题】新定义．【分析】先设出不等式的对应方程两个根为a、b，推出不等式的对应方程两个根为a、b，利用韦达定理，求得关于θ的三角方程，根据θ的X围求解即可．【解答】解：不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，设不等式的对应方程两个根为a、b，则不等式2x2+4xsin2θ+1＜0对应方程两个根为：所以即：tan2θ=﹣因为θ∈（0，π），所以θ=或故答案为：或【点评】本题是新定义的创新题，考查逻辑思维能力，考查韦达定理等有关知识，是中档题．二.选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一从此正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知集合P={0，a}，Q={1，2}，若P∩Q≠∅，则a等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．3【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】根据题意P∩Q≠∅，说明P、Q两个集合中必定有公共元素，由此说明只能P∩Q={1}或{2}，所以a=1或2【解答】解：∵集合P={0，a}，Q={1，2}，且P∩Q≠∅，∴P∩Q={1}或P∩Q={2}，说明集合P中有元素1或者2因此a=1或2故选C【点评】本题考查了集合关系中参数的取值问题，属于基础题．牢记集合的定义和集合交集非空的含义，是解决好本题的关键．16．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．【解答】解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．17．（文）设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（）A．B．C． D．【考点】任意角的三角函数的定义；基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用基本不等式，我们可以确定出当最小时，P点的坐标，进而求出cosα的值，即可得到答案．【解答】解：∵t＜0， ==≥，当且仅当t=﹣2时，最小为．此时，点P（﹣2，1），cosα==．故选D．【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，基本不等式，其中根据基本不等式，求出当且仅当t=﹣2时，最小为，是解答本题的关键，注意t＜0 这个条件．18．已知函数（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（）A．仅②④B．仅②③C．仅①②D．仅③④【考点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；压轴题．【分析】①当a=x=1时f（x）=0，采用举反例的方法得到答案是否正确；②利用f（﹣x）+f（x）看是否为0即可判断函数是否为奇函数；③求出f′（x）判断其符号即可知道函数单调与否；④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x﹣=±a化简求出x即可判断．【解答】解：①当a=x=1时f（x）=0，所以f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），错误；②f（﹣x）=﹣x+，而f（x）=x﹣，所以f（﹣x）+f（x）=﹣x++x﹣=0得到函数为奇函数，正确；③因为f′（x）=1+，由a＞0得到f′（x）＞1＞0，所以函数单调递增，区间不能用并集符号，错误；④|f（x）|=a得到f（x）=±a即x﹣=±a，x＞0，x＜0各有两解，则方程有四个解，正确．故选A．【点评】考查学生会用反例法说明一个命题错误的能力，判断函数单调性及证明的能力，判断函数奇偶性的能力，会判断根的存在性及根的个数的能力．三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．关于x的不等式|＜0的解集为（﹣1，b）．（1）某某数a，b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求tanα的值．【考点】复数代数形式的乘除运算；二阶矩阵．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】（1）由题意可得：﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．（2）z1z2=（﹣cosα﹣2sinα）+（2cosα﹣sinα）i为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：（1）不等式|＜0即x（x+a）﹣2＜0的解集为（﹣1，b）．∴﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个实数根，∴﹣1+b=﹣a，﹣b=﹣2，解得a=﹣1，b=2．（2）z1z2=（﹣1+2i）（cosα+isinα）=（﹣cosα﹣2sinα）+（2cosα﹣sinα）i为纯虚数，∴﹣cosα﹣2sinα=0，2cosα﹣sinα≠0，解得tanα=﹣．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点，求：（1）异面直线EF和A1B所成的角；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】整体思想；定义法；空间角．【分析】（1）根据异面直线所成角的定义即可qui异面直线EF和A1B所成的角；（2）直接利用三棱柱的体积公式即可求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】解：（1）连接BC1，∵E，F分别是CC1，BC的中点，∴EF是△BC1C的中位线，则EF∥BC1，即BC1与A1B所成的角，即为异面直线EF和A1B所成的角；在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，∴△BA1C1为直角三角形，则A1C1=AC=2，A1B==，则tan∠A1BC1===，即∠A1BC1=，即异面直线EF和A1B所成的角是．（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V===4．【点评】本题主要考查异面直线所成角的求解以及三棱柱的体积的计算，根据相应的定义进行求解是解决本题的关键．比较基础．21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，若∥．（1）求角A、B、C的值；（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．【考点】正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由∥的条件得acosB=bcosA，由正弦定理把边化为角，再用两角差的正正弦公式得sin（A﹣B）=0，在三角形内角的X围内得A=B，由向量模的值为3，得其平方为9，用坐标来表示，得关于cosA的方程，求得cosA的值，A是三角形内角，可得一个确定的角A，从而求出其它两角．（2）用两角和的正弦公式把f（x）化为f（x）=sin（x+）的形式，由【解答】解：（1）∵∥，由正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A=B而，∴8+4sin2A=9，∴4（1+cosA）+4（1﹣cos2A）=9，∴4cos2A﹣4cosA+1=0，∴（2cosA﹣1）2=0∴，又0＜A＜π，∴，∴．（2），∵∴x=0时，，时，．【点评】此题是解三角形与三角函数的综合运用，在求角时，得到一个关于三角函数的等式，把这个式子要么全化成角，要么全化成边；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）形式．22．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，某某数a 的取值X围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，某某数m的取值X围．【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，转化为a＜==（x﹣1）﹣，利用基本不等式求解即可．（2）分类讨论f得出f（x）在[0，+∞）上单调递增，m＞0且m n•2n﹣n＞m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．【解答】解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，∵x∈[3，+∞）∴a＜==（x﹣1）﹣，令x﹣1=t，则t∈[2，+∞），g（x）=t﹣在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min=g（2）=1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x﹣1）=m•2x﹣1，当x∈[n，n+1]时，f（x）=mf（x﹣1）=m2f（x﹣2）=…=m n f（x﹣n）=m n•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=m n•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且m n•2n﹣n＞m n﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．【点评】本题综合考查了函数的性质，推理变形能力，分类讨论的思想，属于难题23．已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…P n（a n，b n），（n为正整数）都在函数y=（）x的图象上．（1）若数列{a n}是等差数列，证明：数列{b n}是等比数列；（2）设a n=n，（n∈N+），过点P n，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，试求最小的实数t，使≤t对一切正整数n恒成立；（3）对（2）中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k﹣1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．【考点】数列与函数的综合；等比关系的确定．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，推导出=（）d，（常数），由此能证明数列{b n}是等比数列．（2）若a n=n，则，推导出﹣+1＞0，从而数列{}随n增大而减小，进而．由此能求出最小的实数t的值为，使≤t对一切正整数n恒成立．（3）a n=n，数列{d n}中，从第一项a1开始到a k为止，（含a k项）的所有项的和是，从而得到存在自然数m，使S m=2008．由此能推导出2016不是其中的一项．【解答】证明：（1）设数列{a n}的公差为d，由已知得，∴=（）=（）d，（常数），∴数列{b n}是等比数列．解：（2）若a n=n，则，∴，P n+1（n+1，（）n+1），==﹣（）n+1，直线P n P n+1的方程为，它与x轴，y轴分别交于点A n（n+2，0），B n（0，），∴=|OB n|=，﹣+1==＞0，∴数列{}随n增大而减小，∴．∴最小的实数t的值为，使≤t对一切正整数n恒成立．（3）2016不是数列{S n}中的某一项，证明如下：∵a n=n，∴数列{d n}中，从第一项a1开始到a k为止，（含a k项）的所有项的和是：（1+2+…k）+（31+32+…+3k﹣1）=，当k=7时，其和为：28+=1120＜2008，而当k=8时，其和是36+=3315＞2008，∵2008﹣1120=888=296×3，是3的倍数，∴存在自然数m，使S m=2008．此时，m=7+（1+3+32+33+34+35）+296=667．将2016代入，可知2016不是其中的一项．【点评】本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数的最小值的求法，考查2016是否是数列中的某一项的探究与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列性质、作差法、数列求和等知识点的合理运用．。
[推荐学习]高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析)
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2015-2016学年上海市建平中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．若集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，则实数m= ．2．函数y=（x≥﹣1）的反函数为．3．设集合，B={x|log4（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是．4．若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a= ．5．直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，直线l的点法向式方程为．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=4x，= ．8．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为．9．经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．11．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则||的最小值是；12．已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，i=0时，a i=1，当1≤i≤k 时，a i为0或1，记I（n）为上述表示中a i为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）= ．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面16．记方程①x2+a1x+1=0，②x2+a2x+1=0，③x2+a3x+1=0，其中a1，a2，a3是正实数，当a1，a2，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A．方程①有实根或方程②无实根B．方程①有实根或方程②有实根C．方程①无实根或方程②无实根D．方程①无实根或方程②有实根17．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A．B．C．D．π+218．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（）A．y=x2B． C．D．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，AC、BD相交于点M；（1）求证：CN⊥平面ADN；（2）已知圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为，求异面直线AB与DN所成角的值．20．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为（1）求角C的大小；（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．2015-2016学年上海市建平中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．若集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，则实数m= 1 ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】已知中集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，根据集合并集运算的定义，可得实数m的值．【解答】解：∵A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，∴m=1，∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，属于基础题．2．函数y=（x≥﹣1）的反函数为y=x2﹣1（x≥0）．【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由y=解出x，互换变量x，y即可．【解答】解：∵y=（x≥﹣1），∴y≥0，x=y2﹣1，∴y=（x≥﹣1）的反函数为y=x2﹣1，（x≥0）．故答案为y=x2﹣1（x≥0）．【点评】本题考查了反函数解析式求解，注意自变量的取值是关键．3．设集合，B={x|log4（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是[1，2] ．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先分别求出集合A和集合B，再由A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：集合={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＞3或x＜﹣2}，B={x|log4（x+a）＜1}={x|0＜x+a＜4}={x|﹣a＜x＜4﹣a}，∵A∩B=∅，∴，解得1≤a≤2．故答案为：[1，2]．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，先分别求出集合A和集合B，再由A∩B=∅，求实数a的取值范围．4．若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a= 2 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得=a，由此能求出a．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，∴S n=，∵=a，∴ =a，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，直线l的点法向式方程为2（x﹣3）﹣3（y+1）=0 ．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】先设直线上任一点的坐标M（x，y），根据法向量的概念，易得⊥，根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．【解答】解：设直线上任一点的坐标M（x，y）．直线l过点P（3，﹣1），且与向量垂直，根据法向量的概念，易得：得⊥，根据向量垂直的条件得：，即2（x﹣3）﹣3（y+1）=0，点法向式直线方程为2（x﹣3）﹣3（y+1）=0．故答案为：2（x﹣3）﹣3（y+1）=0；【点评】本题考查两向量垂直的性质，以及用点法向式求直线的方程．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据已知，求出圆锥的母线，底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，∴圆锥的母线l=，半径r==，∴圆锥的高h==3，故圆锥的体积V==3π；故答案为：3π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积公式，难度不大，属于基础题．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=4x，= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得f （x ）是周期为4的周期函数，故=f （﹣），结合f （x ）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f （﹣）=﹣f （），可得答案． 【解答】解：∵f（x+2）=﹣f （x ），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x ）是周期为4的周期函数，∴=f （﹣），又∵f（x ）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（﹣）=﹣f （）， 又由当0≤x≤1时，f （x ）=4x ，∴f（）=1，∴=f （﹣）=﹣1；故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．8．函数f （x ）=sin πx+cos πx+|sin πx ﹣cos πx|对任意x ∈R 有f （x 1）≤f（x ）≤f（x 2）成立，则|x 2﹣x 1|的最小值为．【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x 2﹣x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．【解答】解：由题意可得，f （x ）=，若f （x 1）≤f（x ）≤f（x 2）恒成立，则f （x 1）为函数的最小值，f （x 2）为函数的最大值． |x 2﹣x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x= 时，函数取得最大值2，x= 时，sin πx=cos πx=﹣，函数取得最小值，∴|x 2﹣x 1|的最小值为﹣=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的性质，确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．9．经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为y=1 ．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】分类讨论；分类法；直线与圆．【分析】先讨论可得当直线l的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合，求出直线的斜率，可得直线的方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0的交点P1、P2的坐标分别为（0，）（0，8），不满足，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+1，则直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0的交点P1、P2的横坐标分别为，，∵，∴0﹣=2（﹣0），解得：k=0，故直线l的方程为：y=1；故答案为：y=1【点评】本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是（，] ．【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于，能求出m的范围．【解答】解：∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b≤，∵短半轴长b==，∴，解得m≤，∴m的取值范围是（]．故答案为：（，]．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则||的最小值是；【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】首先将向量用，表示，然后求向量，整理为关于n的二次函数的形式求最小值．【解答】解：∵，，，∴= [（1﹣m）+（1﹣n）]，∵m+2n=1，∴ [2n+（1﹣n）]，则，又AB=AC=2，∠A=120°，∴=|AB|×|AC|×cos120°=2=﹣14，∴，n∈（0，1）．∴当n=时，7（7n2﹣4n+1）有最小值为于是3∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用，考查二次函数的最值求法等知识，是中档题．12．已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是①②③．（填写出所有真命题的序号）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】考虑①时用基本不等式进行放缩；考虑②时，验证f（1﹣x）=f（x）；考虑③时，sinπx=0，故x=k，k为整数，可得零点的个数；考虑④时，验证f（0）=f（1）=0，故无单调性；【解答】解：考虑①：函数f（x）=≤=，当且仅当x=时取等号，故函数由最大值；取x=﹣，有f（﹣）=＜＜，当x＞10时，f（x）＞＞﹣＞f（），当x＜﹣9时，f（x）＞＞﹣＞f（），而f（x）在[﹣9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（﹣），所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．故①正确；考虑②：因为f（1﹣x）=f（x），所以x=为f（x）的对称轴，故②正确；考虑③：因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[﹣π，π]上有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；综上①②③正确，故答案为：①②③【点评】本题主要考查函数的有关性质，要分析函数的表达式，进行合理的变形，同时要验证特殊值．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【考点】数列与三角函数的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，i=0时，a i=1，当1≤i≤k 时，a i为0或1，记I（n）为上述表示中a i为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）= 3280 ．【考点】归纳推理．【专题】计算题；动点型；推理和证明．【分析】将n分为128≤n≤255，64≤n≤127，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案，【解答】解：255=1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设128≤n≤255，且n为整数；则n=1×27+a1×26+a2×25+a3×24+a4×23+a5×22+a6×21+a7×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中7个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C70种情况，即有C70个I（n）=7；其中有一个为1时，有C71种情况，即有C71个I（n）=6；其中有2个为1时，有C72种情况，即有C72个I（n）=5；…综上可得： 2I（n）=C7027+C71×26+C72×25+C73×24+C74×23+C73×22+C76×2+1=（2+1）7=37，同理可得： 2I（n）=36，…2I（n）=31，2I（1）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=1+3+32+…+37==3280；故答案为：3280；【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义，及2I（n）的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】规律型．【分析】由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．【解答】解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，属于基础题．16．记方程①x2+a1x+1=0，②x2+a2x+1=0，③x2+a3x+1=0，其中a1，a2，a3是正实数，当a1，a2，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A．方程①有实根或方程②无实根B．方程①有实根或方程②有实根C．方程①无实根或方程②无实根D．方程①无实根或方程②有实根【考点】等比数列的通项公式；二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】当方程③有实根时，≥0，又a3＞0，解得a3≥2．由于a1，a2，a3成等比数列，可得．对于方程①x2+a1x+1=0，△1=；对于方程②x2+a2x+1=0，△2=﹣4．对△2分类讨论即可得出．【解答】解：当方程③有实根时，≥0，又a3＞0，解得a3≥2．∵a1，a2，a3成等比数列，∴．对于方程①x2+a1x+1=0，△1=；对于方程②x2+a2x+1=0，△2=﹣4．假设△2＜0，则0＜a2＜2，则a1=＜2，可得△1＜0，因此方程①无实数根；假设△2≥0，则a2≥2，则a1=与2的大小不确定，因此△1与0大小关系不确定，即方程①可能有实数根也可能无实数根．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A．B．C．D．π+2【考点】圆的标准方程；集合的表示法．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，利用公式，即可得出结论．【解答】解：如图，“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，∴“水滴”部分的面积=S半圆+S△ABC+2S弓形AmB=+2（﹣）=．故选：A．【点评】本题考查集合知识的运用，考查圆的知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（）A．y=x2B． C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义．【分析】由已知，先得出M、N横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．①对于函数y=x2，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y﹣1=（x﹣1），即y=3x﹣2|MN|=|x2﹣（3x﹣2）|=|（x﹣）2﹣|≤，线性近似阀值为．②同样对于函数，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=﹣x+3，|MN|═﹣x+3﹣=3﹣（x+）≤3﹣2，线性近似阀值为3﹣2．③同样对于函数，A（1，），B（2，），AB方程为y=，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1﹣，线性近似阀值为1﹣，④同样对于函数，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x﹣1）∴|MN|=﹣（x﹣1）=﹣（），线性近似阀值为．由于为＞3﹣2＞1﹣＞．所以线性近似阀值最小的是故选D【点评】本题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，AC、BD相交于点M；（1）求证：CN⊥平面ADN；（2）已知圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为，求异面直线AB与DN所成角的值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知得CN⊥DN，CN⊥AD，由此能证明CN⊥平面ADN．（2）以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DN所成角的大小．【解答】证明：（1）∵矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，∴CN⊥DN，AD⊥平面CDN，∵CN⊂平面CDN，∴CN⊥AD，∵AD∩DN=D，∴CN⊥平面ADN．解：（2）∵圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，∴MC=MD=MA=MB=2，设AD=c，则AB=，以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），C（0，b，0），则A（a，0，﹣c），B（0，b，﹣c），N（0，0，0），=（a，0，﹣c），=（0，b，0），=（0，0，c），设平面NAC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），∵直线BC与平面CAN所成角的正切值为，∴直线BC与平面CAN所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|===，解得c=2，∴AB==2，a2+b2=AB2=4，∵=（a，﹣b，﹣c），平面NAC的法向量=（1，0，），∴=a﹣1=0，解得a=1，∴b=，∴=（﹣1，，0），=（1，0，0），设异面直线AB与DN所成角为α，则cosα===，∴，∴异面直线AB与DN所成角为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为（1）求角C的大小；（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．【考点】正弦定理的应用；平面向量的坐标运算；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先根据向量的数量积运算表示出，进而求出cosC的值，再求出C的值．（2）先根据三角形的面积公式求出ab的值，再运用余弦定理可得最终答案．【解答】解：（1）由条件得，又，∴，0＜C＜π，因此．（2），∴ab=6．由余弦定理得，得出：，∴．【点评】本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理和向量的数量积运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要给予重视．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h （1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数在x≥4上是增函数；且h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，知整治后有23个月的污染度不超过60．【解答】解：（1）∵f（1）=g（1）=h（1）=60；f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3；f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9；f（4）=g（4）=h（4）=0；由此可得h（x）更接近表中的实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因为函数y1=log2x在（x≥4）上是增函数，函数y2=﹣在（x≥4）上是增函数，所以，函数在x≥4上也是增函数；又因为h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，故整治后有23个月的污染度不超过60．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2•x3=1，x1•x4=1，∴x1•x2•x3•x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1•x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，可得=为正整数，即可得出正整数λ．（2）由（1）可得：S n=2a n﹣μ，可得a n=μ•2n﹣1，因此A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，利用2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，可得i=1，即可得出j，μ．（3）当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用3×2n＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即可得出．（n∈N*）．【解答】（1）证明：∵S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，∴a n=λa n﹣λa n﹣1，λ≠1，∴，∴数列{a n}为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n=2a n﹣μ，当n=1时，a1=μ，则a n=μ•2n﹣1，∴A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，∵2015∈A，∴2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，∵j﹣i＞0，则1+2j﹣i必为不小于3的奇数，∵2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，∴i=1，∴μ（1+2j﹣1）=5×13×31，只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），若j＞n+2，则2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+1＞3×2n+1，矛盾．若j＜n+2，则2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n，矛盾．∴j=n+2，又∵（21+2n+2）﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n＞0，∴3×2n＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即i=1，2，…，n时，共有n个不同的解（i，j），即共有n个不同的x∈B n，∴b n=n（n∈N*）．【点评】本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推式的应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．计算： = ．3．方程9x=3x+2的解为．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ= ．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k 恰有两个零点，则k的取值范围为．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4} ．【考点】并集及其运算．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．2．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．方程9x=3x+2的解为x=log32 ．【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题．【分析】由9x=3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，由此能求出方程9x=3x+2的解．【解答】解：∵9x=3x+2，∴（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，∴x=log32．故答案为：x=log32．【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为∅．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次方程与对应二次函数和一元二次不等式的关系，即可得出解集．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，∴二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，且开口向上，与x轴无交点，∴一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为∅．故答案为：∅．【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数和一元二次不等式的应用问题，是基础题目．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n= 2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ﹣3 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求【解答】解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0∴m=﹣1∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用f（0）=0求出m．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ﹣2 ．【考点】反函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，故可得f（1+x）+f（1﹣x）=4，用引恒等式建立相关的方程即可解出f﹣1（4）的值．【解答】解：由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得 f（x+1）+f（1﹣x）=4，对任何x 都成立在上式中，取x=3，得到 f（4）+f（﹣2）=4，又f （4）=0∴f（﹣2）=4∴f﹣1（4）=﹣2故应填﹣2【点评】本题考查函数的对称性与反函数的性质，知识性较强．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ= ．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x ﹣θ），即 cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ﹣+．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件求得∠α的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵两曲线y=和y=的交点为P（﹣1，），故∠α的终边经过点P（﹣1，），故cosα==﹣，sinα==，tanα=﹣，∴cos2α+cot（+α）=2cos2α﹣1﹣tanα=2•﹣1+=﹣+，故答案为：﹣ +．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题设条件可化为∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求出﹣在x∈（﹣∞，1]上的最大值即可．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t=﹣=﹣（）2x﹣（）x=﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了应用函数的性质将不等式恒成立转化为求函数值域的问题，是基础题．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．【考点】极限及其运算；等差数列的通项公式．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．【解答】解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，由余弦定理，cosC n=，整理得，cosC n=，又==，所以， cosC n=，若b n是最大的边，解法同上，结果一致，故填：．【点评】本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（1，2）．【考点】函数零点的判定定理；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；作图题；方案型；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简f（x）=（1+）⊗log2x=，从而作函数f（x）与y=k的图象，利用数形结合求解．【解答】解：由题意得，f（x）=（1+）⊗log2x=，作函数f（x）与y=k的图象如下，，结合图象可知，1＜k＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．【考点】归纳推理．【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】设第一行公差为d，第一列的公比为q，根据已知求出d，q利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；【解答】解：设第一行公差为d，第一列的公比为q，∵a11=，a24=1，a32=，∴，解出d=q=，则a ij==，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，∴当n=1时，f（1）=﹣2，f（2）=﹣1；∴f（1）+f（2）≤kf（1），即﹣3≤﹣2k，解得：k≤；当n=2时，f（3）=min{3，5﹣3，32﹣2×3﹣1}=2，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即﹣2﹣1+2+1≤k×（﹣1），解得：k≤0；当n=3时，f（5）=0，f（6）=﹣1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=﹣1≤kf（3）=2k，解得：k≥﹣；同理可得，当n=4时，f（7）=﹣2，f（8）=﹣3，依题意，可解得k≥﹣6；当n=5时，f（9）=﹣4，f（10）=﹣5，同理解得k∈R；当n=6时，f（11）=﹣6，f（12）=﹣7，依题意得k≤15；…∵对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，∴常数k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；正弦函数的图象．【专题】作图题；压轴题；分类讨论．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．故选A．【点评】本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得： =b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选A【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．【分析】（1）分别解不等式，即可求集合A和B；（2）若A⊂B，结合（1）求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由≥1，可得A=[﹣，2）；由＞0，可得B=（﹣∞，a）∪（a2+1，+∞）；（2）∵A⊂B，∴a＞2．【点评】本题考查函数的定义域，考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b2=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．【解答】解：（1）法1：由f（x）=0，得sin cos+cos2=cos（sin+cos）=0，由cos=0，得=kπ+，∴x=2kπ+π（k∈Z）；由sin+cos=0，得tan=﹣，∴=kπ﹣，即x=2kπ﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ﹣（k∈Z）}；法2：f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，由f（x）=0，得sin（x+）=﹣，可得x+=kπ﹣（﹣1）k（k∈Z），即x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z）}；（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），∴由余弦定理得cosB==≥，又B为三角形的内角，∴0＜B≤，由题意得x=B，即x∈（0，]，f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵x+∈（，]，则此时函数f（x）的值域为[， +1]．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．【解答】解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，由300=30k解得，k=10；故P=10v，当30≤v≤36时，设P=mv2，由300=302m解得，m=；故P=；（2）当0＜v≤30时，Y=（10v+480）=1000+，当30≤v≤36时，Y=（v2+480）•=v+；故Y=；（3）当0＜v≤30时，Y=1000+是减函数，当30≤v≤36时，Y=v+在[30，36]上是减函数；故Y在（0，36]上是减函数，故当x=36时，Y有最小值为×36+=（元）．【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=，从而可判断出g（x）为奇函数；（2）由方程g（x）=x可以得到a2x2+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b2＞4a2，由a＞0，便可得出b＞2a，或b＜﹣2a，进一步可以求出的范围，从而可判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先得到，可设α为x1，x2中的一个数，从而可以得到，而根据便可得到．这时可讨论a，从而可以化简：a＞0时会得到a﹣a2＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a﹣a2＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1；∴b=0；∴；g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）=g（x）；∴g（x）为奇函数；（2）由g（x）=x得，；整理得，a2x2+bx+1=0，该方程有两个不等实根；∴△=b2﹣4a2＞0，a＞0；∴b＞2a，或b＜﹣2a；∴；f（x）的对称轴为；∴b＞2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，b＜﹣2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）由得，；设α为x1，x2中的一个数，则：；∵；∴；①若a＞0，则；两式联立可得（a﹣a2）α2＞0；∴a﹣a2＞0；∴0＜a＜1；②若a＜0，则；联立两式得（a﹣a2）α2＜0；∴a﹣a2＜0；∴a＞1，或a＜0；∴a＜0；∴综上得，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）．【点评】考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）【考点】数列与函数的综合；归纳推理．【分析】（1）a n=p+（n﹣1）d，直角梯形A n A n+1B n+1B n的两底长度AnBn=f（a n），A n+1B n+1=f（a n+1）．高为A n A n+1 =d，利用梯形面积公式表示出s n．利用等比数列定义进行证明即可．（2）a n=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，bn=（）n﹣2，以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n考查次不等式解的情况作解答．（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=＞2010，探讨p的存在性．【解答】解：（1）由等差数列通项公式可得a n=p+（n﹣1）d，…，对于任意自然数n， =，所以数列{s n}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…（写成，得公比也可）（2）a n=p+（n﹣1）=n+p﹣1，，对每个正整数n，b n＞b n+1＞b n+2若以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n，即，令n=﹣1，得1+2＞4，这是不可能的．所以对每一个正整数n，以b n，b n+1，b n+2为边长不能构成三角形．…（3）（理科做，文科不做），所以=如果存在p使得，即两边取对数得：p＜﹣log21340，因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=﹣11等．…说明：通过具体的p值，验证也可．【点评】本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力。