概率求法二选一 (2)

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概率算法公式

概率算法公式概率算法公式，这玩意儿听起来好像挺高深莫测的，但其实它就在我们生活的方方面面发挥着作用呢！就说我前几天遇到的一件事儿吧。

我去商场逛街，正巧碰上一家店在搞抽奖活动。

抽奖箱里有 100 个小球，其中 10 个是红色的，90 个是白色的。

抽到红色球就能获得大奖。

这时候，概率算法公式就派上用场啦。

从概率的角度来看，抽到红球的概率就是红球的数量除以总球数，也就是 10÷100 = 0.1 ，这意味着我抽到大奖的可能性只有 10% 。

但你可别小瞧这 10% ，在概率的世界里，任何可能性都有可能变成现实。

那咱们再深入聊聊概率算法公式。

比如说抛硬币，抛一次硬币出现正面或者反面的概率都是 50% 。

可要是连续抛 10 次都是正面，你是不是会觉得很神奇？但从概率的角度算一算，这种情况出现的概率其实是 (1/2) 的 10 次方，约等于 0.0009766 ，虽然概率很小，但也不是完全不可能。

再比如说抽奖，假如有 1000 个人参加抽奖，只有 1 个一等奖。

那么每个人抽中一等奖的概率就是1÷1000 = 0.001 。

这时候你可能会想，这概率也太低了吧！但万一你就是那个幸运儿呢？概率算法公式在数学、统计学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

在数学里，它能帮助我们解决各种难题，像计算组合数、排列数等等。

在统计学中，通过概率算法公式，我们可以对大量的数据进行分析和预测。

而在计算机科学中，概率算法常常被用于优化算法、随机数生成等方面。

就拿随机数生成来说吧，我们在电脑上玩一些游戏，比如抽奖类的小游戏，它背后就是通过概率算法公式来决定你是否能中奖。

还有在一些模拟实验中，比如模拟天气变化、交通流量等，概率算法公式也发挥着重要的作用。

再回到生活中，比如说买彩票。

大家都知道中大奖的概率极低，但还是有很多人愿意去尝试，为啥呢？就是因为那一点点的可能性带来的巨大诱惑。

但咱们可不能只靠运气，还是要理性对待。

概率问题常见解题方法

概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。

在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。

高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。

因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。

一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ）（3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）（4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。

例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=⇒K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。

例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

数学概率题解思路

数学概率题解思路数学概率是数学中一个重要的分支，它研究的是随机事件发生的可能性。

概率问题在我们的日常生活中无处不在，无论是赌博、投资还是天气预报，都离不开概率的计算和推理。

在解决概率问题时，我们需要运用一些基本的概率原理和计算方法，下面我将通过几个具体的例子来介绍概率问题的解题思路。

例子一：抛硬币假设我们有一枚均匀的硬币，我们要计算抛掷这枚硬币时正面朝上的概率。

首先，我们需要知道硬币的正反面是等概率出现的，即正面朝上的概率和反面朝上的概率都是1/2。

因此，我们可以得出结论，抛掷这枚硬币时正面朝上的概率是1/2。

然而，有时候我们会遇到一些复杂的情况。

比如，如果我们连续抛掷这枚硬币三次，问至少出现一次正面朝上的概率是多少？这时，我们可以通过计算出至少出现一次正面朝上的概率的补集，即计算一次都没有正面朝上的概率，然后用1减去这个概率即可。

假设事件A表示至少出现一次正面朝上，事件B表示一次都没有正面朝上。

那么事件B的概率是多少呢？由于每次抛掷硬币正反面出现的概率都是1/2，那么一次都没有正面朝上的概率就是(1/2)^3=1/8。

因此，事件A的概率就是1-1/8=7/8。

例子二：生日问题生日问题是一个经典的概率问题，它的问题是：在一个房间里，至少需要多少人，才能使得至少两人生日相同的概率超过50%？为了解决这个问题，我们可以先考虑只有两个人的情况。

第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。

而第二个人的生日要与第一个人的生日相同，概率为1/365。

因此，只有两个人时，至少两人生日相同的概率为1/365。

接下来，我们考虑三个人的情况。

第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。

第二个人的生日要与第一个人的生日不同，概率为364/365。

第三个人的生日要与前两个人的生日都不同，概率为363/365。

因此，只有三个人时，至少两人生日相同的概率为1-(364/365)*(363/365)≈0.0082。

通过类似的推理，我们可以得到当有23个人时，至少两人生日相同的概率超过50%。

随机事件和的概率计算公式

随机事件和的概率计算公式
我们要探讨随机事件和的概率计算公式。

首先，我们需要了解什么是随机事件和。

随机事件和是指两个或多个随机事件同时发生的概率。

例如，投掷一枚骰子，出现1或2的概率就是随机事件和。

假设有两个随机事件A和B，它们的概率分别是P(A)和P(B)。

那么，A和B同时发生的概率P(A∩B)可以用以下公式计算：
P(A∩B) = P(A) × P(BA)
其中，P(BA)表示在事件A发生的情况下，事件B发生的条件概率。

对于多个随机事件的概率和，我们可以用类似的公式来计算。

例如，如果有三个随机事件A、B和C，那么它们同时发生的概率P(A∩B∩C)可以用以下公式计算：
P(A∩B∩C) = P(A) × P(BA) × P(CA∩B)
这个公式告诉我们如何计算多个随机事件同时发生的概率。

通过这个公式，我们可以计算出任意多个随机事件同时发生的概率。

例如，如果我们有四个随机事件A、B、C和D，那么它们同时发生的概率P(A∩B∩C∩D)可以用以下公式计算：
P(A∩B∩C∩D) = P(A) × P(BA) × P(CA∩B) × P(DA∩B∩C)
这个公式为我们提供了一种计算多个随机事件同时发生的概率的方法。

总结：
通过使用条件概率的概念，我们可以推导出随机事件和的概率计算公式。

这个公式告诉我们如何计算多个随机事件同时发生的概率，为我们解决概率问题提供了重要的工具。

概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一.公式法P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0<P(随机事件)<1.例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162 . 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法例2 如图2是地板格的一部分，一只图1蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178.评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积.三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12 .（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 .由题意得21122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个（2）树状图如下：∴两次摸到都是白球的概率 =61122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的.本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？黄白2白1蓝黄白1蓝黄白2（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是.2142= (2)解法一(树形图):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 解法二(列表法):12 3图图3第一次抽取12 3 第二次抽取 21 3 31 2 41 2 1共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122 评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效.概率计算一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？1条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)【本讲教育信息】一. 教学内容：概率计算二. 重点、难点：1. 古典概型∴2. A、B互斥，则3. A的对立事件，4. A、B独立，则【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。

数学中概率题解题技巧与关键知识点

数学中概率题解题技巧与关键知识点在数学中，概率是一个非常重要的概念，它涉及到我们在现实生活中做出决策时对可能结果的估计。

为了解决概率问题，我们需要掌握一些解题技巧和关键知识点。

本文将介绍一些常见的概率题解题技巧，并概述一些关键的数学知识点。

一、条件概率的计算条件概率是指在某个条件下事件发生的可能性。

我们可以通过以下公式计算条件概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

二、独立事件的计算在概率中，独立事件是指两个或多个事件之间相互不影响的事件。

如果事件A和事件B是独立事件，则它们同时发生的概率为它们各自发生的概率的乘积。

P(A∩B) = P(A) * P(B)这个公式可以用于计算多个独立事件同时发生的概率。

三、排列组合的运用在解决概率问题时，排列组合是一个常用的工具。

当我们需要确定一个事件发生的可能性时，我们可以使用排列或组合的方法。

排列是指从一组对象中选择若干个对象，并按照一定的顺序进行排列。

当我们需要确定事件的顺序时，我们可以使用排列的方法计算概率。

组合是指从一组对象中选择若干个对象，并不考虑它们的顺序。

当我们不关心事件的顺序时，我们可以使用组合的方法计算概率。

四、概率分布的理解概率分布是指在一定条件下某个事件发生的可能性分布情况。

概率分布可以用来描述某个事件发生的概率与结果之间的关系。

常见的概率分布包括均匀分布、正态分布和二项分布等。

在解决概率问题时，了解不同的概率分布特点和计算方法是很有帮助的。

五、贝叶斯定理的应用贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它用于更新先验概率的值，以得到后验概率。

贝叶斯定理可以帮助我们在得到新的信息后，重新评估事件发生的概率。

贝叶斯定理的公式如下：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)其中，P(A)表示事件A发生的先验概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

概率求解题技巧

概率求解题技巧概率求解题是数学中的一个重要分支，广泛应用于统计学、金融学、计算机科学等领域。

掌握概率求解题的技巧能够帮助我们更好地理解随机事件的发生规律和可能性。

下面是一些概率求解题的技巧，希望对你有所帮助。

1. 确定问题的背景和条件：在开始解决概率问题之前，首先要明确问题的背景和条件。

了解问题的背景有助于我们选择合适的数学模型和方法，从而更好地解决问题。

2. 划定样本空间和事件集合：样本空间是指所有可能的结果组成的集合，事件是样本空间中的一个子集，表示我们感兴趣的某个结果。

在求解概率问题时，需要明确样本空间和我们感兴趣的事件集合，以便进行进一步计算。

3. 使用基本概率公式：基本概率公式是求解概率问题的基础。

它可以表示为P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A的概率，N(A)表示事件A中有多少个样本点，N(S)表示样本空间中有多少个样本点。

基本概率公式可以帮助我们计算事件的概率。

4. 运用排列组合原理：在一些问题中，需要用到排列组合原理来计算概率。

排列是指从n个不同元素中取出m 个元素进行一定的顺序排列，组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合。

利用排列组合原理，可以求解一些有关排列组合的概率问题。

5. 利用条件概率和乘法原理：在一些问题中，已知一些条件下发生某个事件的概率，需要用到条件概率和乘法原理来计算概率。

条件概率是指在给定其他事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。

乘法原理是指两个事件同时发生的概率等于它们分别发生的概率乘积。

6. 利用加法原理和互斥事件：在一些问题中，需要用到加法原理来计算概率。

加法原理是指两个事件A和B的概率是它们各自的概率之和减去它们同时发生的概率。

互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。

利用加法原理和互斥事件，可以计算一些有关事件并集、交集等的概率问题。

7. 进行概率分布计算：在一些问题中，我们需要计算随机变量的概率分布。

概率分布是指随机变量取值的可能性和相应的概率的分布情况。

求概率解题技巧

】求概率解题技巧《概率》这个章的主要内容就是求随机事件的概率问题。

包括两种基本类型：1、古典概型；2、几何概型。

它们相同点：①基本事件发生的可能性相等②求概率公式和求法步骤相似。

不同点：古典概型要求基本事件的个数有限，而几何概型要求基本事件的个数无限。

一、古典概型。

求它的概率基本方法：列举法、列表法，树图法、排除法。

例1：一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数字，现随机地抽取两个小球。

（1）小球是不放回的，求两个小球上的数字为相邻整数的概率。

（2）小球是放回的，求两个小球上的数字为相邻整数的概率。

分析：小球是放回与不放回，基本事件的总数是不同的。

有放回的抽取标号数字能够重复出现，而不放回抽取标号数字不能够重复出现。

解：方法一（列举法）：记事件A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能的结果为（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），（5,6），(6,7),(7,8),(8,9),（9,10），（2,1），（3,2），（4,3），（5,4），（6,5），（7,6），（8,7），（9,8），（10,9）共18种。

（1）小球是不放回的，可列举出基本事件的总数90种，故519018)(==A P （2）小球是放回的，可列举出基本事件的总数100种，故50910018)(==A P 方法二（列表法）：（1）如下表所示，基本事件的总数90种，事件A 包含基本事件为18种，故118)(==A P注：打“ √”表示事件A 包含基本事件，10×10方格总格数去掉打“×”的为基本事件的总数。

（2））如下表所示，基本事件的总数100种，事件A 包含基本事件为18种，故918)(==A P注：打“ √”表示事件A 包含基本事件，10×10方格总格数为基本事件的总数。

法三（树图法）：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧10987654321⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧10987654312 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧10987654213 … ，519018)(==A P （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧109876543211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧109876543212⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧109876543213…，50910018)(==A P 剖析：有放回与不放回对基本事件的总数是有影响的，有放回的抽样必须考虑顺序，不放回的抽样，能够考虑顺序，也可不考虑顺序，但概率公式中的分子和分母必须一致，即分子和分母要么都考虑顺序，要么都不考虑顺序。

搞笑的概率问题

搞笑的概率问题
概率问题一直以来都是数学中的重要部分，而有些概率问题却可以让人大笑不止。

下面就来介绍几个搞笑的概率问题吧！
1. 一个人有50%的概率猜中一道二选一的题目，那么两个人同时猜中的概率是多少？
答案：25%。

因为这是两个独立的事件，每个人猜中的概率都是50%，所以两个人同时猜中的概率为0.5*0.5=0.25，也就是25%。

2. 如果你在一张扑克牌中随机选择一张牌，猜对的概率是多少？
答案：1/52。

因为扑克牌的总数是52张，所以你猜对的概率为1/52。

3. 如果你在一张扑克牌中随机选择两张牌，猜对的概率是多少？
答案：1/2652。

因为你先选出一张牌的概率是1/52，然后你选出第二张牌的概率是1/51（因为你已经选了一张牌，所以剩下的牌只有51张），所以你猜对两张牌的概率为1/52*1/51=1/2652。

4. 在一个房间里，如果有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？
答案：50%。

这个问题涉及到概率学中的“生日悖论”。

由于一年只有365天，所以当有23个人时，至少有两个人生日相同的概率是50%。

这些搞笑的概率问题展示了数学的趣味性和应用性。

通过解决这
些问题，我们不仅可以开心地笑一笑，还可以深入了解概率学的基本原理。

概率计算的常用方法

概率计算的常用方法
概率计算是全国中考的高频考点，三大题型都会考查，且在解答题中多数会涉及游戏公平性问题，下面我们聊聊一般情形下的概率计算方法（如下图所示）：
方法一：列举法
1. 列表：适用于一步概率计算
例1 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为____．
2. 画树状（形）图：适用于两步及以上概率计算
例2 在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（）
方法二：频率估计概率
例3 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____．
方法三：几何面积概型
例4 如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为____．
应用：游戏公平性问题
例5 一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．（1）用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．。

高中数学概率解题技巧

高中数学概率解题技巧概率是高中数学中的一个重要知识点，也是学生们常常遇到的难题之一。

在考试中，概率题目常常出现，因此掌握概率解题技巧对于学生来说至关重要。

本文将从常见的概率题型出发，介绍一些解题技巧，并通过具体题目进行说明，帮助学生和家长更好地应对概率题目。

一、基本概念和计算方法在解概率题目之前，首先需要掌握一些基本概念和计算方法。

概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数表示。

计算概率的方法有多种，其中最常见的是利用频率计算概率和利用排列组合计算概率。

例如，有一个装有红球和蓝球的袋子，红球有5个，蓝球有3个。

从袋子中随机取出一个球，求取出的是红球的概率。

根据频率计算概率的方法，我们可以得到答案为5/8。

而根据排列组合计算概率的方法，我们可以得到答案为C(5,1)/C(8,1)=5/8。

二、事件的独立性和互斥性在概率题目中，经常会涉及到事件的独立性和互斥性。

事件的独立性指的是多个事件之间相互独立，一个事件的发生不会影响其他事件的发生。

事件的互斥性指的是多个事件之间互相排斥，同时只能发生一个事件。

例如，有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心和抽到红色的概率。

由于红心是红色的一种，所以这两个事件是互斥的，即P(红心和红色)=P(红心)+P(红色)=13/52+26/52=39/52。

三、事件的补事件在概率题目中，经常会涉及到事件的补事件。

事件的补事件指的是与事件A相对立的事件，即A事件不发生的事件。

例如，有一个有10个红球和10个蓝球的袋子，从中随机取出一个球，求取出的不是红球的概率。

根据补事件的概念，我们可以得到答案为1-P(取出的是红球)=1-10/20=1/2。

四、事件的条件概率在概率题目中，经常会涉及到事件的条件概率。

条件概率指的是在已知事件B 发生的条件下，事件A发生的概率。

例如，有一个有10个红球和10个蓝球的袋子，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求袋子中还剩下红球的概率。

两个独立二选一事件的预测及数学原理

两个独立二选一事件的预测及数学原理支太坤2020年11月15日前言：本文只对两个独立二选一事件的预测做简单概率学分析，并做初步的数学证明。

问题：有一对情侣被一个罪犯所绑架，罪犯给这对情侣出了一个难题。

两人会被分别关押到两个地方，罪犯每天会分别到两个牢房掷硬币，情侣需要猜测对方硬币的正反面，两人中只要有任一一人猜对了对方牢房的硬币，就能苟活一天，如果两人都猜错了对方牢房的硬币正反面，那这对可怜的情侣将被杀害。

万幸的是，在罪犯将两人带往牢房的途中，两人还有不到一分钟的时间可以交流。

两队小情侣将如何做才能保证自己的生命一直延续呢？1.1穷举法解答解析：从问题中我们可以看到，情侣双方的生死取决于对另一人硬币正反面的预测，基于此，我们用穷举法，将所有的可能性都列举出来并将所有会造成情侣死亡的可能性用红色标出。

如下图1。

图1、投掷及预测的所有可能性从上表可以看出，投掷及预测的可能性有16种。

如果从正面分析如何保证情侣的存活会比较麻烦，因此我们反过来分析情侣为什么会死亡，只要避免这个死亡的条件，就能保证情侣的存活，而在这其中，有四种可能性会造成情侣的死亡。

如下图2。

图2、会造成情侣死亡的可能性仔细观察这个表格，不难发现，情侣双方在选择同样的策略，即对方投掷结果和自己的投掷结果相同/相反，此时情侣双方会同时猜错投掷结果，造成情侣的死亡。

如下图3。

因此我们只需要让情侣双方约定选择不同的策略，即一方猜测对方投掷结果与自己相同，另一方猜测对方投掷结果与自己相反，就能无限的延续情侣的生命。

图3、会造成死亡的可能性的分析当然，对于这个结论，我们首先要返回去查找情侣生存的可能性，看这些可能性是否满足结论，如下图4。

图4、不会造成死亡的可能性的分析从图四中我们可以看出，当男女双方选择不同的策略时，一定会有一个人猜对，并且只有一个人猜对，而如果双方选择同样的策略，则有可能双方同时猜错或者同时猜对。

下一步，我们尝试使用这一策略，看看取得的结果是否满足我们的预期。

求概率的方法

求概率的方法在日常生活或科学研究活动中，有时会遇到这样的情况，即对S类部分对象考察的结果表明，有S是P，也有S不是P，即并非所有S都是P，或都不是P。

即个别S是否具有P属性，是偶然的、随机的。

如掷骰子，不大可能都是出现一点或二点等，而是有时一点、有时二点、有时三点等，那么出现一至六点中每一种点数的可能性有多大，这就是一个概率问题。

一般来说，有一事件A，对其出现某种可能性的大小做出数量方面的估计，这就是概率。

一个事件发生的概率，通常可以通过给出1到0的概率值来表示。

如果说一个事件发生的概率是1，就是在断定它肯定会出现。

如果说一个事件发生的概率是0，就是在断言它不会发生。

概率的中间值，暗示着我们对事件发生有信心或缺乏信心。

对一个事件的陈述称为命题，复合命题是对一个复合事件的陈述，简单命题则是对某一特定事件的陈述。

求一个复合命题的概率，称为概率演算；求一个简单命题的概率，则叫做求事件的初始概率。

一、求初始概率的方法求事件初始概率的方法很多，这里介绍先验概率、频率概率和主观概率三种。

1、先验概率先验概率，是指对于某一特定事件A，如果总共有n种可能而且互斥的结果，并且其中有m种对事件A出现是有利的，那么事件A的概率P(A)就等于有利事件出现的数目与所有可能出现的数目之比，即：P(A)= m/n如投掷一枚硬币，总共有正面和反面两种可能的结果，而出现正面的可能性又是全部可能性的一半，所以，投掷一枚硬币出现正面的概率是1/2。

再如从一批标有号码（1-60）的产品中任意抽取一个，求取到前20号事件A的概率。

由于每件产品被抽到的可能性都是相同的，因此抽取的全部可能次数n=60，而有利事件A 的可能次数是20，所以，P（A）=20/60=1/3。

先验概率也称为结构概率，它是建立在对事件结构分析的基础上，并且要求事件出现的结果，必须是两两互斥而且是等可能的，即出现每一种结果的可能性必须是均等的。

但是在现实中，上述情况是很少的，因此，尽管先验概率可以作为一种极有价值的指导，但我们最终还是得依靠观察和经验来确定事件的概率。

随机事件概率的公式求法

随机事件概率的公式求法江苏省赣榆县沙河中学（222141）张庆华一般地，对于一件事件，所有可能出现的结果数共m 种，其中满足某个条件的事件A 出现的结果数是n 种，那么事件A 发生的概率为：P （A ）=所有可能出现的结果数可能出现的结果数事件A ，即P （A ）=mn [0≤P ≤1]。

注意：求事件发生的概率可以列举出所有可能出现的结果，但要注意不重不漏.概率主要研究的是不确定现象出现的可能性大小，这就是概率的意义所在。

求随机事件概率的方法，除了可以用树状图和列表法以后，还有特殊的公式法。

规律一：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件（一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件）的概率都是n 1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P （A ）=nm 。

典例：一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在下图所示的某个方格中（每个方格除颜色以外完全一样），那么小鸟落在黑色方格中的概率是（）.【思考与解】本题中，小鸟在白色方格中或黑色方格中落下是等可能的.我们从图中看到，一共有15个方格，其中黑色方格有5个，所以P （小鸟落在黑色方格中的概率）＝31155 .故选B.规律二：如果A 、B 不可能同时发生的两个事件，那么A 、B 中有一个发生的概率等于A 、B 分别发生的概率的和，即P （A ）+P （B ）。

典例：学校门口经常有小商贩搞摸奖活动，某小商贩在一个黑色的口袋里装上只有颜色不同的50个小球，其中红球1个，黄球2个，绿球10个，其余的为白球。

搅拌均匀后，规则是：每2元钱摸一个球，如果摸到红球，则奖励8元的奖品，如果摸到黄球则奖励5元的奖品，如果摸到绿球，则奖励1元的奖品，摸到白球无奖。

问：如果花2元钱摸一次，中奖的概率是多少【思考与解】本题中中奖分为三种情况，并且这三种事件不可能同时发生。

P （摸到红球）=501，P （摸到黄球）=251502=，P （摸到绿球）=515010=，所以P （中奖）= P （摸到红球）+ P （摸到黄球）+ P （摸到绿球）=501351251501=++。

二选一的概率计算公式

二选一的概率计算公式
摘要：
1.二选一概率计算的基本概念
2.二选一概率计算的公式推导
3.二选一概率计算的实际应用
正文：
【1.二选一概率计算的基本概念】
在概率论中，二选一问题指的是在两个互斥且完全覆盖的事件中选择一个。

例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是两个互斥且完全覆盖的事件。

计算这类问题的概率通常使用二选一的概率计算公式。

【2.二选一概率计算的公式推导】
二选一的概率计算公式可以简单地表示为：P(A) = A 的概率+ B 的概率，其中A 和B 是两个互斥且完全覆盖的事件，P(A) 表示事件A 发生的概率。

例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上是两个互斥且完全覆盖的事件。

假设正面朝上的概率为P(正面)，反面朝上的概率为P(反面)，则根据二选一的概率计算公式，P(正面) = P(正面) + P(反面)。

【3.二选一概率计算的实际应用】
二选一概率计算公式在实际问题中有广泛的应用，例如在概率论的教学、科研和工程应用等领域。

通过计算二选一问题的概率，可以帮助人们更好地理解概率论的基本原理，并为解决实际问题提供理论依据。

总之，二选一概率计算公式是概率论中的一个基本工具，它帮助我们计算在两个互斥且完全覆盖的事件中选择一个的概率。

求随机事件概率的三种方法

求随机事件概率的三种方法学习了概率，除了正确理解概率的意义外，还要熟练掌握求概率的几种方法。

一、枚举法例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ，d ，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是．分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=106=53评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.二、树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

解：画树状图如图2树状图。

由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）=31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能图2的结果，通过画树形图的方法来计算概率三、列表法例3将图3中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；图3（2）组成的两位数是6的倍数的概率．分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数是6的倍数的可能情况。

求概率的方法

即个别S是否具有P属性，是偶然的、随机的。

一般来说，有一事件A，对其出现某种可能性的大小做出数量方面的估计，这就是概率。

一个事件发生的概率，通常可以通过给出1到0的概率值来表示。

如果说一个事件发生的概率是1，就是在断定它肯定会出现。

如果说一个事件发生的概率是0，就是在断言它不会发生。

概率的中间值，暗示着我们对事件发生有信心或缺乏信心。

对一个事件的陈述称为命题，复合命题是对一个复合事件的陈述，简单命题则是对某一特定事件的陈述。

求一个复合命题的概率，称为概率演算；求一个简单命题的概率，则叫做求事件的初始概率。

一、求初始概率的方法求事件初始概率的方法很多，这里介绍先验概率、频率概率和主观概率三种。

再如从一批标有号码（1-60）的产品中任意抽取一个，求取到前20号事件A的概率。

由于每件产品被抽到的可能性都是相同的，因此抽取的全部可能次数n=60，而有利事件A 的可能次数是20，所以，P（A）=20/60=1/3。

但是在现实中，上述情况是很少的，因此，尽管先验概率可以作为一种极有价值的指导，但我们最终还是得依靠观察和经验来确定事件的概率。

数字概率计算方法

数字概率计算方法
1.频率法：根据大量的实验数据或观察数据，计算事件发生的频率，并将频率作为概率的估计值。

例如，投掷一个均匀的骰子，每个面出现的频率应当接近1/6，即可以估计骰子每个面出现的概率为1/6
2.轴定理：通过对事件空间的划分，利用轴定理来计算概率。

轴定理是概率论中的一条基本定理，可以用来计算随机变量的概率。

轴定理将概率定义为事件发生次数与总次数之比，当试验次数趋于无穷大时，概率趋于一个确定的极限值。

3.组合法：当事件发生的样本空间较大且难以列举完全时，可以利用组合法来计算概率。

组合法通过计算事件发生的可能性数目与总的可能性数目之比来计算概率。

例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，计算抽到红心牌的概率可以使用组合法。

4.边缘概率和条件概率：边缘概率是指单一事件发生的概率，条件概率是指在给定其中一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

通过边缘概率和条件概率的定义和计算公式，可以计算组合事件的概率。

例如，计算先下红牌，再下黑牌的概率可以利用条件概率来计算。

这些方法只是概率计算的一部分，根据具体的问题和条件，还可以选择其他适用的方法来计算数字的概率。

选中概率公式(二)

选中概率公式(二)
选中概率公式
1. 离散型随机变量的选中概率公式
•对于一个离散型随机变量X，它的选中概率可以通过以下公式计算：
P(X=x)=n(x) N
其中，P(X=x)表示X取值为x的概率，n(x)表示X 取值为x的次数，N表示总的样本空间大小。

•举例说明：
假设有一副标准扑克牌，共有52张牌。

现在从中随机抽取一张牌，求选中黑桃A的概率。

解：黑桃A只有一张，所以n(x)=1，总共有52张牌，所以N=52。

代入公式可得：
P(X=黑桃A)=1 52
2. 连续型随机变量的选中概率公式
•对于一个连续型随机变量X，它的选中概率在某个区间[a, b]内的概率可以通过以下公式计算：
P(a≤X≤b)=∫f
b
a
(x)dx
其中，P(a≤X≤b)表示X在区间[a, b]内的概率，f(x)表示X的概率密度函数。

•举例说明：
假设X是一个服从正态分布的连续随机变量，其概率
密度函数为f(x)=
√2πσe−(x−μ)
2
2σ2，其中μ为均值，σ为标准差。

现
在求X在区间[-1, 1]内的概率。

解：将概率密度函数代入公式中计算可得：
P(−1≤X≤1)=∫
1√2πσ
1−1−
(x−μ)2
2σ2dx
由于正态分布的概率密度函数无法直接积分求解，通常需要使用数值积分方法来进行计算。