2.2.3直线与平面平行的性质
2.2.3《直线与平面平行的性质》
直线与平面平行的性质定理： 直线与平面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行， 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示： 符号表示：
a // α , a ⊂ β , α ∩ β = b
a // b
β a b
例题示范 例4：已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。 于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。 第一步: 第一步:将原题改写成数学 符号语言 如图,已知直线a,b,平面 如图,已知直线a,b,平面α, a,b,平面 a//b,a//α,a,b都在平面 且a//b,a//α,a,b都在平面 α外.求证:b// . 求证:b//α. :b// 第二步:分析：怎样进行平 第二步:分析： 行的转化？ 行的转化？→如何作辅助平 面？ 第三步: 第三步:书写证明过程
探研新知
已知：如图，a∥α， 已知：如图，a∥α， α∩β＝ a ⊂β，α∩β＝b。 求证：a∥b。 求证：a∥b。 证明： α∩β＝ 证明：∵α∩β＝b，∴b⊂α a∥α， 无公共点， ∵ a∥α，∴a与b无公共点， a∥b。 ∵a⊂β，b⊂β，∴a∥b。 我们可以把这个结论作定理来用. 我们可以把这个结论作定理来用.
探究: 变式：如果AD∥BC BC∥面A′C′，那么， AD∥BC， 变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD 和面BC′ BC′、 BF、 A′C′都有怎样的位置关 和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关 为什么？ 系．为什么？
练一练: 练一练: 设平面α α∩β＝ β∩γ＝ 设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b， γ∩α＝ 求证： γ∩α＝c，且a//b. 求证：a∥b∥c.
导学案1：2.2.3~2.2.4直线与平面平行的性质~2.2.4平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质1探究导航[知识要点]1．直线与平面平行的性质定理；2．平面与平面平行的性质定理．[学习要求] 1．能熟练地利用直线与平面平行的性质定理、平面与平面平行的性质定理解决相关问题；2．培养和提高学生类比、转化等辩证思维能力．2记忆和理解教材新知知识点一：[提出问题]将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的每页纸和桌面的交线与书脊的位置．问题1：上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？问题2：每页纸与桌面的交线之间有何关系？问题3：书脊所在的直线与桌面上任何直线都平行吗？[导入新知]直线与平面平行的性质定理（1） 文字语言：一条直线与一个平面平行，则 与该直线平行．（2）图形语言：（3）图形语言：（4）作用：线面平行⇒线线平行．（5）同学们！你们能写出已知，求证，证明吗？ba //⇒知识点二：[提出问题]同学们，你们教室的左右两侧的墙面是什么位置关系？它们都与你们前面的这侧墙面相交，则它们的交线是什么位置关系？[导入新知]平面与平面平行的性质定理（1）文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面 ，那么它们的交线 ．（2）图形语言：（3）符号语言：（4）作用：面面平行⇒线线平行．（5）同学们！你们能写出已知，求证，证明吗？3突破常考题型题型一：直线与平面平行的性质及应用[例1] 如图已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．[活学活用]如图所示，已知三棱锥A -BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：CD //平面ba //⇒EFGH．题型二：平面与平面平行的性质及应用[例2]求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．[活学活用]α,分别交于点B，A和D，C；M，N分如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面β别是AB，CD的中点，求证：MN//平面α题型三：直线与平面平行和平面与平面平行的综合应用[例3]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示．求证：平面AB1D1//平面C1BD．[活学活用]如图，棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点（1）求证：PQ//平面DCC1D1；（2）求PQ的长；（3）求证：EF//平面BB1D1D．4应用落实体验[随堂即时演练]1．下列命题正确的是（ ）A ．如果b a ,是两条直线，且b a //，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线α//a ，那么a 与α内的任何直线平行C ．直线α//a ，直线α//b ，那么b a //D ．若直线αα⊄b a b a ,//,//，那么α//b2．如图，四棱锥P -ABCD 中，M ，N 分别是AC ，PC 上的点，且MN //平面P AD ，则（）A ．MN //PDB ．MN //P AC ．MN //AD D ．以上均有可能3．在下列命题中，正确的有 （填序号）①若αβα⊂=b a , ，则b a //；②若//a 平面α，α⊂b ，则b a //；③若平面α//平面β,βα⊂⊂b a ,，则b a //；④若平面α//平面β,点P α∈，β//a ，且a P ∈，则α⊂a ．参考答案3突破常考题型题型一：直线与平面平行的性质及应用[例1] 已知：a，b在平面α外，a∥α．求证：b∥α．证明：过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c．因为a∥α，a⊂β，α∩β=c，所以，a∥c．因为a∥b，所以，b∥c．又因为c⊂α，b不在α内，所以，b∥α．[活学活用]证明：由于EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．由于GH⊂平面BCD中，EF不在平面BCD中，故有EF∥平面BCD．而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD=CD，根据直线和平面平行的性质定理可得EF∥CD．EF⊂平面EFGH，CD不在平面EFGH内，故有CD∥平面EFGH．题型二：平面与平面平行的性质及应用[例2]如图：已知：如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB=CD．证明：∵AB∥CD，可过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交与AC和BD．∵α∥β，∴BD∥AC．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD．[活学活用] 略题型三：直线与平面平行和平面与平面平行的综合应用[例3]证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴AB1∥DC1，AD1∥BC1，又AB1∩AD1=A，AB1∥DC1，AD1⊂平面AB1D1，AB1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面C1BD．[活学活用] 略4应用落实体验1．D2．B3．④。
课件3：2.2.3 直线与平面平行的性质
课堂小结： 1．直线与平面平行的性质定理
a∥b．
a
性质定理的运用．
b
2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：
⑴判定定理． 线线平行
线面平行
⑵性质定理． 线面平行
线线平行
3．要注意判定定理与性质定理的综合运用
再见
简记为： 线线平行，则线面平行。
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面平行的问题 （即所需条件）；反之，在直线与平面平行的条件下， 会得到什么结论？
讲授新课：
线面平行的性质定理：
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行。
l //
l
l // m
β l
m
m
简记为：“线面平行，则线线平行” α
线//面
证法2 （略写） 利用相似三角形对应边成比例
及平行线分线段成比例的性质
PBM∽AA1 M
PM MA
PB AA1
PBN∽ CC1 N
PN NC
PB CC1
PM PN CC1 AA1 AC // MN
MA NC MN 面ABCD
AC 面ABCD
D1
C1
A1
M D
B1
P N C
A
B
MN // 面ABCD
a
d c
b
证明： a // b a b
a // a c
b c
a
a // c
a //b
a //b// c
例题：
长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P BB（1 异于B、B1） PA BA1 M , PC BC1 N , 求证：MN // 平面ABCD
2[1].2.3直线与平面平行的性质
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2.2.3直线与平面平行的性质一、学习导引【知识梳理】直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.【重点难点】重点：直线与平面平行的性质定理难点：通过辅助平面独立发现或探索结论【创新学法】1. 当直线与平面平行时，通过辅助平面找到平行线.2. 直线与平面平行的判定定理与性质定理的一体化认识.【易错警示】平面内的平行直线必须通过辅助平面得到，避免直接在平面内作平行线.二、典题解读例1． 下列命题正确的是 （ C ）（A ）若b a b a //,,//则αα⊂ （B ）若αα//,//,//b b a a 则（C ）若βαβα////,,//a a b b a 或则 = （D ）若b a b a //,//,//则αα解：C 正确. 选项 A 、D 中直线b a ,可能异面；B 中的直线b 可能α⊂b例2． 已知βαβα//,//,a a l = ，求证：l a //.证明：如图，过a 作平面γ使γ与α相交，记交线为bb a a ////⇒α同理c a //又l c c b c //////⇒⇒α∴l c b a //////∴l a //例3． 正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在1AD 上，点F 在BD 上，若EF //平面11C CDD ，求证：1ED AE FD BF =. 证明：连接AF ，并交DC 于G ,连G D 1EF //平面11C CDD ∴G D EF 1// ∴1ED AE FGAF =-------(1) 又DG AB // ∴FDBF FG AF =-------(2) 由（1）（2）得1ED AE FD BF =三、 延伸拓展 例4．已知a 、b 是异面直线，αββα//,//,,b a b a ⊂⊂.求证：βα//。
证明：在直线b 上任取一点B ，则a B ∉记点B 和直线a 确定的平面为γ记'a =⋂βγ'////a a a ⇒βα//'//'a a a ⇒而α//b 且B b a = '故βα//A1A G四、随堂练习1. 设是b a ,两条异面直线，在下列命题中正确的是 （ D ）(A)有且仅有一条直线与b a ,都垂直(B)过空间任一点必可作一条直线与b a ,都相交(C)过b a ,外一点有且仅有一个平面与b a ,都平行(D)过直线a 有且仅有一个平面与b 平行2. 经过平面外一条直线a 与平面α平行的平面 （ C ）(A)有且只有一个 (B)不存在 (C)至多有一个 (D)至少有一个3．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中的真命题是 （ C ）(A)若α⊂m ，α⊄n ，m 、n 是平行直线，那么α//n(B)若α⊂m ，α⊄n ，m 、n 是平行直线，那么n 与α相交(C)若α⊂m ，α//n ，m 、n 共面，那么n m //(D)若,//,//ααn m m 、n 共面， 那么n m //4．下列命题正确的是 （ D ）（A ）βαββαα////,//,,⇒⊂⊂b a b a （B ）⇒⊂⊂b a b a //,,βαβα//（C ）⇒b a b a //,//,//且βαβα// （D ）βαβα////,//l l ⇒或β⊂l5．已知l =βα ，给出关于：①α//a ②β//a ③l a //选其中一个或二个关系推出另一个或另二个关系的一个真命题是： . ①且②⇒③ ③⇒①或②6.正方体1111ABCD A BC D -中，M F ,依次为BC 、11D C 的中点。
高中数学2.2.3 直线与平面平行的性质定理 教学设计
《直线与平面平行的性质定理》教学设计一．教材内容与学情分析：本节课内容是人教A版数学必修2第二章第二节第三课时《直线与平面平行的性质定理》，“直线与平面平行的位置关系〞是“空间直线平行关系〞和“空间平面平行关系〞的桥梁和纽带。
“直线与平面平行的性质〞是立体几何的第一节性质定理课，揭示了“直线与平面平行的判定定理〞与“直线与平面平行的性质定理〞的内在关系，构建了新的知识与方法体系。
本节课也是在学生已经学习了“空间直线与平面的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞等知识的根底上展开的，这为学习“直线与平面平行的性质〞作了必要的知识准备。
其次学生通过“空间几何体〞，“空间点，直线，平面之间的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞的学习，已经初步形成了一定的空间思维和想象能力，以及初步具备了逻辑思维和推理论证能力，从而提高了学习的效率。
二、教学目标：1．知识与技能：学生初步学会应用直线与平面平行的性质定理解决简单问题；2．过程与方法：学生通过对线面平行性质的学习，进一步掌握直线与平面平行的判定和性质定理；通过对探究成果的归纳，整理，分析，从而认清结论的地位和作用，建立知识之间的联系；3．情感态度、价值观：学生通过对线面平行的性质的学习，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，养成实事求是的学习态度。
三、教学重点、难点：1．重点：线面平行的性质定理及应用。
2．难点：发现线面平行的性质，理解性质定理与判定定理的关系，并把它们整合到数学知识方法体系中。
四、教法与教具选择：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论2．教学手段：多媒体、三角板、纸棒。
五、教学过程设计：〔一〕导直线与平面平行的判定定理〔符号描述〕线线平行→线面平行【设计意图】“温故而知新，可以为师也〞，回忆上节课的内容既可以对上节课内容作以稳固，也可为本节内容的展开做铺垫。
尤其是“线线平行→线面平行〞要板书在黑板的左方，等线面平行的性质定理得出后，提炼为“线面平行→线线平行〞只需要在原根底上加上反向箭头即可。
学案5：2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.3直线与平面平行的性质【自主预习】[新知初探]直线与平面平行的性质定理思考：若a∥α，b⊂α，则直线a一定与直线b平行吗？[初试身手]1．如图，过正方体ABCDA′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，则BB′与EE′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定2．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)【题型探究】[探究问题]1．直线与平面平行性质定理的条件有哪些？2．直线与平面平行的性质定理有什么作用？3．直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系？【例1】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[母题探究] 将本例变为：如图所示，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．[规律方法]1．利用线面平行性质定理解题的步骤：2．证明线线平行的方法：(1)定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．(3)线面平行的性质定理： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．【例2】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且P A ＝3，点F 在棱P A 上，且AF＝1，点E 在棱PD 上，若CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值．[规律方法]利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．(3)利用所得关系计算求值．[跟踪训练]如图所示，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．【课堂小结】1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【当堂达标】1．如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB, SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条3．过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.【参考答案】【自主预习】[新知初探]平行交线平行a⊂β，α∩β＝b思考：[提示]不一定．由a∥α，，可知直线a与平面α无公共点，又b⊂α，，所以a与b无公共点，所以直线a与直线b平行或异面．[初试身手]1．A[因为BB′∥平面CDD′C′，BB′⊂平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]2．①②⇒③(或①③⇒②)[设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.]【题型探究】[探究问题]1．[提示]线面平行的性质定理的条件有三个：(1)直线a与平面α平行，即a∥α；(2)平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；(3)直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．2．[提示]定理的作用：(1)线面平行⇒线线平行；(2)画一条直线与已知直线平行．3．[提示]经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行．【例1】[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ为平行四边形．[母题探究][证明]因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，因为AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，所以BC∥平面P AD.因为平面BCFE∩平面P AD＝EF，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．【例2】[解]过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，所以FO∥CG，又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.[跟踪训练]613＋32[如图所示，延长EF，A1B1相交于点M，连接AM，交BB1于点H，连接FH，延长FE，A1D1相交于点N，连接AN交DD1于点G，连接EG，可得截面五边形AHFEG，因为几何体ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E 、F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，所以EF ＝32，易知B 1M ＝C 1E ＝12C 1D 1＝12A 1B 1，又B 1H ∥AA 1，所以B 1H ＝13AA 1＝2，则BH ＝4，易知AG ＝AH ＝62＋42＝213，EG ＝FH ＝32＋22＝13，所以截面的周长为613＋3 2.]【当堂达标】1．B [因为平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，又因为EF ∥平面ABC ，所以EF ∥BC .]2．C [过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．]3．平行 [因为A 1C 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，由线面平行的性质定理，所以A 1C 1∥l .]4．[证明] 如图，连接AB 1与BA 1交于点O ，连接OD ，因为PB 1∥平面BDA 1，PB 1⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BDA 1＝OD ，所以OD ∥PB 1，又AO ＝B 1O ，所以AD ＝PD ，又AC ∥C 1P ，所以CD ＝C 1D .。
2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠
b α
内找出和直线a （2）已知直线 ∥平面 ，如何在平面 内找出和直线 ）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 平行的一条直线？ 平行的一条直线？
思考
如图， 直线A 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1.
β b α a
⊂ β.
又因为a 又因为 ∥α， 所以a,b无公共点. 所以 , 无公共点. 无公共点 又因为a β 所以a∥ 又因为 ⊂ ，b ⊂β，所以 ∥b
back
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 例 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证另一条也平行于这个平面. 求证另一条也平行于这个平面.
α
(2)该定理作用：“线面平行⇒线线平行” 该定理作用： 线面平行⇒线线平行” 该定理作用 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相 应用该定理 并找出两平面的交线. 交，并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面 平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
O
C1
E
D
在 DBD1中，O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.
A
B
练习
三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的点，A1B//平面 上的点， 平面ADC1 . 三棱柱 是 上的点 平面 求证:点 为 的中点 的中点. 求证 点D为BC的中点
课件4：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
知识点一 直线与平面平行的性质 线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
题型三 线面平行和面面平行的综合问题 例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′ 分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、 β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°,OA∶OA′ ＝3∶2.求△A′B′C面和两平行平面α、β分 别相交于AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、 B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′. ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.
练习
5.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一 点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若APA′A′＝23， 求S△A′B′C′的值．
S△ABC
解 平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC， ∠A′C′B′＝∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5. ∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
证明 如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β 于E，连接DE与BE. ∵AE∥CD， ∴由AE与CD可以确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE. 取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示． ∵M与P分别为线段AB与CD的中点，
2.2.3直线与平面平行的性质1
a
b
思考：
1、求证:如果三个平面两两相交于三条直线, 并且其中两条直线平行,那么第三条直线也 和它们平行.
已知：平面，，， m
n, l且 L∥m
求证：n∥L , n ∥m
LLeabharlann n m思考：2、 如果三个平面两两相交于三条直线，并 且其中两条直线相交，那么第三条直线和 这两条直线有怎样的位置关系呢？
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 （线面平行 线线平行） 线和交线平行．
（1）三个条件：
b
a
a //
a // b
（2）用途：证明线线平行
（3）线面平行
判定定理
性质定理
线线平行
例题讲解：
判断下列说法是否正确： ①一条直线和一个平面平行，它就和这 个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这 个平面内的任何条直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和 已知直线平行； ④如果直线l和平面α平行，那么过平 面α内一点和直线l平行的直线在α内。
练习
一.指出下列命题是否正确，说明理由： 1. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线 就与这个平面平行； 2. 过直线外一点有无数个平面与这条直线平 行； 3. 过平面外一点有无数条直线与这个平面平 行。 二、已知直线a,b和平面α，下列命题的是 A、若a ∥α,b ∥ α,则a ∥ b B、若a ∥α,b ∥ α,则a ∥ b C、若a ∥ b,b ∥ α,则a ∥α D、若a ∥ b,a ∥ α,则b ∥ α或b α
2.2.3直线与平面平行的性质
复习 直线和平面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的 一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行． 符号表示:
学案4：2.2.3 直线与平面平行的性质~ 2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质~ 2.2.4 平面与平面平行的性质问题导学一、直线与平面平行的性质定理的应用活动与探究1求证：若一条直线分别和两个相交平面平行，则这条直线必与它们的交线平行．迁移与应用1．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，则直线BB1与EE1的关系是________．2．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG．求证：EH∥BD．名师点津运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．二、面面平行的性质定理的应用活动与探究2如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N 分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α．迁移与应用1．如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则线段AD与BC的长度关系是__________．2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)．直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．名师点津面面平行的性质定理的几个有用推论：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．三、平行关系的综合应用活动与探究3如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用在三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，G是AB上任意一点．求证：SG∥平面DEF．名师点津在平行关系中，线线、线面、面面平行关系经常交替使用，相互转化，特别是一些复杂的题目，在线线、线面、面面平行关系中，判定了一个成立，接着可以利用性质转化成另一个也成立，其关系可用下图示意．当堂检测1．如果直线a∥平面α，则()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线2．如果一条直线和一个平面平行，两端点分别在直线和平面上的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．皆有可能3．若α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．5．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AC∩α＝M，BD∩α＝N，其中M 是AC的中点．AB＝4，CD＝6，则MN＝________．参考答案问题导学活动与探究1【解析】先写出已知与求证，再利用线面平行的性质定理及判定定理证明．解：已知：a∥α，a∥β，α∩β＝b．求证：a∥b．证明：设A∈α，且A∉b，过直线a和点A作平面γ交平面α于直线c，如图，∵a∥α，a⊂γ，α∩γ＝c，∴a∥c(直线和平面平行的性质定理)．再设B∈β，且B∉b，同样，过直线a和点B的平面δ交平面β于直线d．同理a∥d(直线和平面平行的性质定理)．∴d∥c．又∵d⊂β，c⊄β，∴c∥β(直线与平面平行的判定定理)．又∵c⊂α，α∩β＝b，∴c∥b(直线与平面平行的性质定理)．从而a∥b．迁移与应用1．BB1∥EE12．证明：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD．因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD．活动与探究2【解析】利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．证明：过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC．∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC．则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE．又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE．PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α．又M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α．∴平面MPN∥平面α．又MN⊂平面MPN，∴MN∥α．迁移与应用1．AD＝BC2．(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．又α∥β，∴AC∥BD．(2)解：由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD．∴45＝3CD．∴CD＝154．∴PD＝PC＋CD＝274(cm)．活动与探究3【解析】充分利用A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后再由面面平行的性质定理得线线平行．证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′．∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C．同理AA′∥平面BB′C′C．∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C．又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线，故AD∥BC．同理可证AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．迁移与应用证明：∵D，E分别是AC，BC的中点．∴DE∥AB．又DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴DE∥平面SAB．同理可证EF∥平面SAB．∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面SAB．∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF．当堂检测1．B2．D 3．D4．l∥A1C15．5。
课件6：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
课堂检测
5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α. 求证：CD∥EF.
课堂检测
证明：因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD， 所以AB∥CD. 同理可证AB∥EF， 所以CD∥EF.
典型例题 类型2 面面平行性质定理的应用 例2 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与 β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.
典型例题
(1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又 α∥β，∴AC∥BD.
课堂检测 【解析】 由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不 垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E， G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边 形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直， 故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平 行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D. 【答案】 D
跟踪训练
3．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰 梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上 的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF. 又因为AB＝2CD，所以CD＝AF. 因为AB∥CD，所以CD∥AF， 所以AFCD为平行四边形． 所以FC∥AD. 又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1， 所以FC∥平面ADD1A1.
学案3：2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标1．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件．2．能利用性质定理解决有关的平行问题．基础知识直线与平面平行的性质定理________⇒a∥b归纳总结(1)性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．(2)若a∥α，在平面α内找到一条直线b，使b∥a的作法是：经过已知直线作一个平面和已知平面相交，则交线和已知直线a平行，此交线就是要找的直线b.做一做如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，求证：AB∥GH.重点、难点1．理解直线与平面平行的性质定理剖析：(1)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线．(2)条件：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a β.三个条件缺一不可．(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，即线面平行转化为线线平行．2．解决线面平行问题的策略剖析：解决证明问题的策略是由求证想判定，由已知想性质，总是对“判定”和“性质”进行转化，最终就能统一起来，即找到了证明思路．如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，那么在解决过程中，一定会用到线面平行的性质定理．在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线不仅起到与已知直线平行的作用，而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用，这反映了线面平行、线线平行间的相互转化，也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁．典型例题题型一：线面平行性质定理的简单应用例1 如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.反思：利用线面平行的性质定理解题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出结论．题型二：线面平行性质定理与判定定理的综合应用例2 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与相交平面的交线平行．随堂练习1．如图所示，过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EE 1，则BB 1与EE 1的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定3．如图所示，AB ∥α，CD ∥α，AC ，BD 分别交α于M ，N 两点，AM MC ＝2，则BNND＝__________.4．如图所示，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．5．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：EFHG是一个平行四边形．参考答案基础知识平行α∩β＝b平行做一做证明：∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.典型例题例1 证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β.又∵AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，∴AB∥CD.∴四边形ABDC是平行四边形．∴AC＝BD.例2 解：已知：a∥α，a∥β，且α∩β＝b.求证：a∥b.证明：如图，在平面α上任取一点A，且使A∉b.∵a∥α，∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.同理，在平面β上任取一点B，且使B∉b，则B和a确定平面δ，设δ∩β＝n.∵a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，∴a∥m.同理a∥n，则m∥n.又m⊄β，n⊂β，∴m∥β.又∵m⊂α，α∩β＝b，∴m∥b.又a∥m，∴a∥b.随堂练习1．A2．A3．24．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又∵平面BCFE∩平面APD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∴AD∥EF.又∵E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD.∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．5．证明：∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB.同理，FH∥AB，∴EG∥FH.同理，EF∥GH.∴四边形EFHG是一个平行四边形．。
课时作业15：2.2.3 直线与平面平行的性质--2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面二、填空题6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．7．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC 分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.三、解答题8．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．9．如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.10．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.参考答案一、选择题1．【答案】 B【解析】 过a 和平面内n 条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a 平行，这条交线可能不是这n 条直线中的一条，也可能是．故选B.2．【答案】 C【解析】 条件即为线面平行的性质定理，所以a ∥b ，又a 与α无公共点，故选C.3．【答案】 A【解析】 选项A 中直线a 可能与β平行，也可能在β内，故选项A 不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C 正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B ，D 也正确，故选A.4．【答案】 A【解析】 由长方体性质知：EF ∥平面ABCD ，∵EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ABCD ＝GH ，∴EF ∥GH ，又∵EF ∥AB ，∴GH ∥AB ，∴选A.5．【答案】 D【解析】 无论点A 、B 如何移动，其中点C 到α、β的距离始终相等，故点C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．二、填空题6．【答案】 2【解析】 因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC .又点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，所以点F 是CD 的中点，所以EF ＝12AC ＝ 2. 7．【答案】 32【解析】 EF 可看成直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 三、解答题8．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD .又平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF .又E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC .∴四边形BCFE 是梯形．9．证明：在AB 上取一点P ，使AP BP ＝AM SM，连接MP ，NP ，则MP ∥SB .∵SB ⊂平面SBC ，MP ⊄平面SBC ，∴MP ∥平面SBC .又AM SM ＝DN NB ，∴AP BP ＝DN NB，∴NP ∥AD . ∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC .又BC ⊂平面SBC ，NP ⊄平面SBC ，∴NP ∥平面SBC .又MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面SBC ，而MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面SBC .10．解：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ＝BF .所以四边形BFEP 为平行四边形，所以PB ∥EF .又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .。
2.2.3直线与平面平行的性质
a // , a , b
作用： 可证明两直线平行。
a // b
β a
欲证“线线平行”，可先证明“线面平理: 直线与直线平行 直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理: 注意: 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平 行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若 一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面 内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线 平行．
直线与平面平行的性质
复习：
１．直线与平面平行的判定定理是什么？ 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线 平行,则该直线与此平面平行. 用符号表示： a , b , 且a // b a // . ２．证明直线与平面平行的思路是什么？ 欲证“线面平行”，必须先证“线线平 行”。
a // , a , c, a // c. a // b, b // c, 又 c , b , b // .
已知A，B，C，D四点不共面，且 1，
AB∥α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F， BD∩α=G，BC∩α=H。 求证：EFGH是一个平行四边形。
平行或异面 如果一条直线与一个平面平行时，过这条直线作一 平面与已知平面相交，那么这条直线与这两个平面的交 线的位置关系是什么? 平行
两种证明方法：
１．从正面证明 ２．反证法
a
β
b
直线与平面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平 面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示：
B A 若一条直线平行于两个相交平面， 2， 求证这条直线平行于两个平面的交线。 H G α E 已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β α F 求证：a∥b b C β D
教学设计7：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质【知识导图】【学法指导】学习本节知识的过程中，一方面要把握好性质定理的条件(切不可漏掉某个条件)和结论，根据结论来找条件；另一方面要熟练掌握平行关系的转化，根据题目的条件和结论，巧妙地实现线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．【自主预习】知识点一 直线与平面平行的性质 文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b图形语言定理中有三个条件：①直线a 和平面α平行，即a ∥α；②直线a 在平面β内，即a ⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b . 三个条件缺一不可．知识点二 平面与平面平行的性质文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b图形语言1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．2．该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．【基础自测】1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.()(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．()(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()答案：(1)×(2)√(3)√2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图，则BC 与α的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 异面解析：因为AD∶DB＝AE∶EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.答案：A3．过平面外一条直线作已知平面的平行平面()A．必定可以并且可以作一个B．至少可以作一个C．至多可以作一个D．一定不能作解析：直线与平面相交时，平行的平面不存在；直线与平面平行时，平行的平面唯一．答案：C4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．解析：由线面平行的性质得，AB∥CD，AB∥EF，由公理4得CD∥EF.答案：平行【课堂探究】类型一线面平行的性质定理的应用例1如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面P AGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴点O是AC的中点，又E是PC的中点，∴AP∥OE.∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AP⊂面P AGF，AP∥平面BDE.∵平面P AGF∩平面BDE＝GF，∴AP∥GF.方法归纳(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．跟踪训练1如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．类型二面面平行性质定理的应用例2如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．【解】直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a，同理可证AD∥b.又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′BB′，又BB′AA′，∴DD′AA′，∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.方法归纳面面平行性质定理的两个主要应用(1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行．(2)判断线面平行：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．跟踪训练2如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE 与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.类型三平行关系的综合应用例3如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【解】(1)法一如图，连接AC，CD1.因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.法二 取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ，则有PG ∥DD 1，PG ⊄平面DCC 1D 1，DD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PG ∥平面DCC 1D 1，同理GQ ∥平面DCC 1D 1，又PG ∩GQ ＝G ，PG ⊂平面DCC 1D 1，GQ ⊂平面DCC 1D 1，所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ ⊂平面PGQ ，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a . (3)法一 取B 1D 1的中点O 1，连接FO 1，BO 1，则有FO 112B 1C 1. 又BE 12B 1C 1，所以BE FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形，所以EF ∥BO 1，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，FE 1⊄平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以PE 1∥平面BB 1D 1D ，同理EE 1∥平面BB 1D 1D ，又FE 1∩EE 1＝E 1，所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法归纳(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．跟踪训练3如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A＝3.F在棱P A 上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE ED的值．解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又CE∥平面BDF，EG∩CE＝E，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又CG⊂平面P AC，平面BDF∩平面P AC＝FO，所以FO∥CG.又O为AC中点，所以F为AG中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD中点，PE：ED＝1：1.。
课件10：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
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∵NP⊄平面 AA1B1B，AB⊂平面 AA1B1B， ∴NP∥平面 AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面 AA1B1B，BB1⊂平面 AA1B1B， ∴MP∥平面 AA1B1B. 又∵MP⊂平面 MNP，NP⊂平面 MNP，MP∩NP＝P， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∵MN⊂平面 MNP，∴MN∥平面 AA1B1B.
[类题通法] 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[针对训练] 2．给出下列说法： ①若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ； ②若平面 α∥平面 β，直线 a 与 α 相交，则 a 与 β 相交； ③若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α； ④若直线 a∥平面 β，直线 b∥平面 α，且 α∥β，则 a∥b. 其中正确说法的序号是________．
文字语言 那么它们的交线__平__行___
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b_
图形语言
三、综合迁移·深化思维 (1)若直线 a∥平面 α，则直线 a 平行于平面 α 内的任意一条直线，对吗？ 提示：错误．若直线 a∥平面 α，则由线面平行的性质定理可知直线 a 与平面 α 内的一组直线平行． (2)若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 就与平面 α 内的任一直线都不 平行，对吗？ 提示：不对．若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 与平面 α 相交或 a⊂α，当 a⊂α 时，α 内有直线与直线 a 平行．
(3)两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示：不一定．它们可能异面． (4)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？ 提示：一定平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则 其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，因而它们平行．
课时作业23：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质基础过关1.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交C.异面D.平行、相交或异面解析 画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D. 答案 D2.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A.平行B.相交C .异面D.平行和异面解析 ∵E ，F 分别是AA 1，BB 1的中点，∴EF ∥AB . 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH .又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH . 答案 A3.α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）①⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a ；⑥⎭⎬⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内. 答案 C4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝ . 解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223. 答案2235.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于 .解析 因为EF ∥平面AB 1C ，且EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝ 12AC ＝12×22＝ 2. 答案26.如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.求证：CD ∥平面EFGH . 证明 ∵截面EFGH 是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB ＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.证明因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.能力提升8.设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C（）A.不共面B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A，B如何移动，都共面解析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′中点C′.连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，CC′，AA′，BB′.则CE∥AA′，从而易得CE∥α.同理C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.故不论A，B如何移动，所有的动点C都在过点C且与α，β平行的平面上.答案D9.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（）A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.答案D10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是.解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，连接ME，B1O.∵平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，∴B1O∥ME.又四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD.故E与D重合.答案与D重合11.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使α，β都平行于γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有个.解析若α与β相交，如图所示，可在α内找到A，B，C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的.答案212.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心.（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）求S △MNG ∶S △ADC .（1）证明 如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD . 同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，MG ，MN ⊂平面MNG ， ∴平面MNG ∥平面ACD .（2）解 由（1）可知，MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.创新突破13.已知：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值.解 如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点. 因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，所以BC 1∥D 1O ， 所以D 1为线段A 1C 1的中点， 所以D 1C 1＝12A 1C 1.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面AA 1C 1C ∩平面BDC 1＝DC 1， 平面AA 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝AD 1， 所以AD 1∥DC 1.又因为AD ∥D 1C 1， 所以四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝C 1D 1＝12A 1C 1＝12AC ，所以ADDC ＝1.。
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高一数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质导学案(解析版)
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、课标解读1、掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2、学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、进一步提高学生空间想象能力、思维能力；二、自学导引问题1:在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.问题2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？问题3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？问题4：平面与平面平行的性质定理：问题5：符号语言表述：问题6：面与面平行的性质定理有何作用？三、合作探究探究1:如果直线a 与平面α平行，那么直线a 与平面α内的直线有哪些位置关系？探究2:若直线a 与平面α平行，那么在平面α内与直线a 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？探究3:如果直线a 与平面α平行，那么经过平面α内一点P 且与直线a 平行的直线怎样定位？探究4：如果α∥β，,,βα⊂⊂b a 则直线a 与直线b 的位置关系如何？四、典例精析例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.已知：βαβα//,//,a a l =求证：l a //变式训练1 已知,,321l l l ===γβγαβα ，1l ∥2l .求证:3l ∥1l ,3l ∥2l例2.如图所示,三棱椎BCD A -被一平面所截,截面为平行四边形EFGH .求证:CD ∥平面EFGH变式训练2 在长方体1111ABCD A BC D -中,点重合）不与11,(B B BBP ∈M BA PA =1 N BC PC =1 ,求证：MN ∥平面AC例 3 已知N M CD AB ,,之间的线段，，是夹在两个平行平面βα分别为CD AB ,的中点.求证：MN ∥α变式训练3 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P N M ,,分别为11111,,B A D B B A上的点，若311111==BA BM D B N B ,又PN ∥11D A ，求证：MN ∥平面11BCC B例4 如图所示，已知的分别是所在平面外一点，是平行四边形PC AB N M ABCD P ,,中点，平面l PBC PAD =平面 .（1） 求证：l ∥BC（2） MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论.五、自主反馈 1．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面 3．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能 6 用一个平面去截正方体，所得的截面可能是______________________________；7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；8. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________；9. P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N 分别在PA 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________； 答案2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质例1 证明：过b a 于交作平面αγb a a //,//∴α，于交平面作平面过c βδα βββ⊂⊄∴c b c b c a a ,,//,//,//又l a l b l b b //,//,,,//∴∴=⊂∴βααβ 又例2 略例3 证明：情形一：若ABCD CD AB 在同一平面内，则平面, BD AC BD AC //,//,,∴βαβα 的交线为，与BD MN CD AB N M //,,∴的中点，为又αα平面平面又//,MN BD ∴⊂P AE E CD AE A CD AB 中点，取于交作异面，过情形二：若α//, 连接AEDC CD AE CD AE ED BE PN MP 确定平面,,//,,,,∴ 且平面AC ED AEDC ,的交线为，与βα的中点分别为又CD AE N P ED AC ,,,//,//∴βααα//,//,//,//MP BE MP PN ED PN ∴∴∴同理可证 αα//,,//MN MPN MN MPN ∴⊂∴平面又平面例4 证明：（1）PAD AD PAD BC AD BC 平面平面⊂⊄,,// l PAD PBC PAD BC =∴平面平面，又平面 //l BC //∴（2）平行证明：取NE AE E PD ,,连接的中点AM NE AM NE =且可得,//是平行四边形可知四边形AMNEPAD MN AE MN 平面//,//∴∴变式训练1.略2.证明：M BA PA AA BB BA B A =11111,// 且中，在平面 1111,,CC PB MA PM CC AA AA PB MA PM =∴==∴又 ① N BC PC CC BB BCC B =11111,// 且中，在平面1CC PB NC PN =∴ ② 由①②得AC MN NC PN MA PM //,∴=AC MN AC AC AC MN 平面，平面平面//,∴⊂⊄3．证明：31,31,//11111111==A B P B D B N B D A PN 得由 ,//,3111BB PM BA BM ∴=又 11111,BCC B BB BCC B PM 平面平面又⊂⊄ 11111111//,////C B D A D A PN BCC B PM ，又平面∴ 111111//,C B PN BCC B C B ∴⊂平面1111//BCC B PN BCC B PN 平面，平面又∴⊄ 11//,BCC B PMN P PN PM 平面平面又∴= 11//,BCC B MN PMN MN 平面平面∴⊂ 自主反馈答案1.D2.A3.C4.A5.D6. 3,4,5,6边形7. 平行或交于一点 8.3392 9. 19。
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⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 已知：直线a、b，平面，
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 已知：直线a、b，平面，且a//b，
A a B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
A a B
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
A a B
E
F
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 证明： a b
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 证明：过a作平面， a b
C'
A' D
A
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？ 解： ⑴如图，在平面A'C'内，
作直线EF//B'C'， 分别交
棱A'B'、C'D'于点E、F， A'
D' E P
F B'
C' C
连结BE、CF，
下面证明EF、BE、 A CF为应画的线．
解决问题 已知：直线a∥平面,
求证：a∥b．
a
b 证明：
∴a与b无公共点． 又∵ 即a与b共面．
∴ a∥ b．
讲授新课
直线与平面平行的性质定理
线面平行 线线平行
一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
符号语言： a a∥ b． b
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？ D' F E P B' C B
D
A B
C
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
α
a
β
b
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面
中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个 平面平行；
例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条
c
a//b
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 且 证明：过a作平面， 性质定理 a b
c
a//b b//c
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 且 证明：过a作平面， 性质定理 a b
A a B
E
F
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
A a B
AB//EF？
E F
直线与平面平行的性质的进一步思索： 练习1: 判断下列命题是否正确？ ⑴若直线a与平面平行，则a与内任何直线平 ( ) 行． ⑵若直线a、b都和平面平行， 则a与b平行． ( ) ⑶若直线a和平面, 都平行， 则 ( )
∴点P是 AD1的中点， ∵PQ//面AB1，
D
A B
C
练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点， 且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 解析： 连结AB1、AD1，
2 2
． Q B1 C
1
Dห้องสมุดไป่ตู้ A1 P
∵点P是面AA1D1D的中心，
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 且 证明：过a作平面， 性质定理 a b
c
a//b b//c 判定定理
练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点， 且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 D1 A1 P ． Q B1 C
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 且 证明：过a作平面， a b
c
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ． 且 证明：过a作平面， a b
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 练习1: 判断下列命题是否正确？ ⑴若直线a与平面平行，则a与内任何直线平 ( ) 行． ⑵若直线a、b都和平面平行， 则a与b平行． ( ) ⑶若直线a和平面, 都平行， 则 ( )
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
例2 P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、 PD两点M、N满足AM：MB=ND：NP。
求证：MN∥平面PBC。
1
∵点P是面AA1D1D的中心，
∴点P是 AD1的中点，
D
A B
C
练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点， 且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 解析： 连结AB1、AD1， D1 A1 P ． Q B1 C
1
∵点P是面AA1D1D的中心，
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 已知：直线a、b，平面，且a//b，
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ．
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 直线与平面平行的性质定理和判定定理的运用： 已知：直线a、b，平面，且a//b， 求证：b// ．
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
B
直线与平面平行的性质定理与判定定理的运用: 例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？ D' 解： ⑵ 由⑴，得 EF//BC， EF//BC A' EF//面AC BE、CF都与面相交． 线面平行 线线平行 A D
F
E
P
B'
C' C
B
线面平行
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
灯管
地面
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
a
思考：教室内的日光灯管所在的直线与地 面平行，如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行？
1
D
A B
C
练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点， 且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 解析： 连结AB1、AD1， A1 P D1 ． Q B1 C
1
D
A B
C
练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点， 且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 解析： 连结AB1、AD1， D1 A1 P ． Q B1 C
平面与平面平行的性质
复习
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
如果两个平面平行，那么一个平 面内的直线与另一个平面的直线具有 什么位置关系？
D1 A1 B1 C1
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这 ) 个平面，则另一条也平行于这个平面． (
直线与平面平行的性质的进一步思索： 练习1: 判断下列命题是否正确？ ⑴若直线a与平面平行，则a与内任何直线平 ( ) 行． ⑵若直线a、b都和平面平行， 则a与b平行． ( ) ⑶若直线a和平面, 都平行， 则 ( )
N P
D
E
C
A
M
B
例4
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
2.2.3直线与平面 平行的性质
复习引入
1.直线与直线的位置关系有
共面
相交
平行
异面
2.直线与平面平行的判定方法：
⑴定义法； ⑵判定定理．
a b
思考问题 1. 已知直线a与平面平行，那么直线a与平面 内的直线有什么位置关系？ a 异面 或 平行 2. 什么条件下，平面内的直线与直线a平行 呢？ 若“不异面(共面)”必平行