江苏专用2018版高考数学专题复习专题2函数概念与基本初等函数第14练函数模型及其应用练习文

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等
函数 第14练 函数模型及其应用练习 文
1．(2016·扬州模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系
可近似地表示为：y ＝12
x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
2．(2016·广东江门普通高中调研测试)某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m 2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
3．(2016·镇江模拟)经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价格f (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝100(1＋k
t
)(k 为正常数)，日销售量g (t )(件)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝125－|t －25|，且第25天的销售金额为13 000元．
(1)求实数k 的值；
(2)试写出该商品的日销售金额w (t )关于时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式；
(3)该商品的日销售金额w(t)的最小值是多少？
4．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
答案精析
1．解 设该单位每月获利为S 元，
则S ＝100x －y ＝100x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12
x 2＋300x －80 000 ＝－12
(x －300)2－35 000， 因为400≤x ≤600，
所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
2．解 设房屋地面长为y m ，宽为x m ，总造价为z 元(x ，y ，z ＞0)，则xy ＝12，z ＝3y ×1
200＋2×3x ×800＋5 200.∵y ＝12x
， ∴z ＝12×3 600x
＋4 800x ＋5 200. ∵x ＞0，y ＞0，
∴z ≥2 12×3 600x
×4 800x ＋5 200＝34 000. 当12×3 600x
＝4 800x ，即x ＝3时，z 取最小值，最小值为34 000元． 答 当房屋地面长为4 m ，宽为3 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元．
3．解 (1)由题意得f (25)·g (25)＝13 000，
即100(1＋k 25
)·125＝13 000，解得k ＝1. (2)w (t )＝f (t )·g (t )
＝100(1＋1t
)(125－|t －25|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100 t ＋100t ＋101 ，1≤t ＜25，t ∈N ，100 149＋150t
－t ，25≤t ≤30，t ∈N . (3)①当1≤t ＜25时，因为t ＋100t
≥20， 所以当t ＝10时，w (t )有最小值12 100；
②当25≤t ≤30时，因为150t
－t 在[25,30]上单调递减， 所以当t ＝30时，w (t )有最小值12 400.
因为12 100＜12 400，所以当t ＝10时，该商品的日销售金额w (t )取得最小值为12 100元．
4．解 (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，
得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40.
图②是一个二次函数的部分图象，
故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．
(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为
h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.
故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，
60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2
＋8t ，20＜t ≤30，
60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2
＋240，30＜t ≤40.
当0≤t ≤20时，
F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，
∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，
∴F (t )在[0,20]上是增函数，
∴F (t )在此区间上的最大值为
F (20)＝6 000＜6 300.
当20＜t ≤30时，
F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t .
由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，
解得t ＝703(舍去)或t ＝30.
当30＜t ≤40时，
F (t )＝60⎝ ⎛⎭
⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在(30,40]上是减函数，
得F (t )＜F (30)＝6 300.
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．。