新人教版八年级下册一次函数与正比例函数讲义

一次函数与正比例函数讲义

1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)．

谈重点 一次函数的条件

函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式．

【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )．

A ．y ＝7x 2

B ．y ＝x －9

C ．y ＝6x

D ．y ＝1x ＋1

解析：

A × x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数．

B

√ 符合一次函数的一般形式． C

× 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数．

D × 答案：B

2．正比例函数的定义

对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数．

辨误区 一次函数与正比例函数的关系

需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．

【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )．

A ．y ＝－2x

B ．y ＝－2x ＋1

C ．y ＝－2x 2

D ．y ＝－2x

A √ 符合正比例函数的一般形式．

B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数．

C

× x 的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数. D × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.

辨误区 正比例函数的判断

要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y ＝kx (k ≠0)的形式．

3．根据条件列一次函数关系式

列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．

点技巧 如何列函数关系式

列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．

【例3】 甲、乙两地相距30 km ，某人从甲地以每小时4 km 的速度走了t h 到达丙地，并继续向乙地走．

(1)试分别确定甲、丙两地距离s 1(km)及丙、乙两地距离s 2(km)与时间t (h)之间的函数关系式．

(2)它们是什么函数．

分析：路程＝速度×时间，s 2＝30－s 1.

解：(1)s 1＝4t ，s 2＝30－4t .

(2)两个函数都是一次函数，而s 1＝4t 还是正比例函数．

点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．

4．一次函数与正比例函数的联系与区别

若两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数，特别地当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．

区别：

①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．

联系：

①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b ＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．

【例4－1】 在下列函数中，x 是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

(1)y ＝3x ；(2)y ＝1x

；(3)y ＝－3x ＋1；(4)y ＝x 2. 分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式． 解：一次函数是(1)y ＝3x 和(3)y ＝－3x ＋1.其中(1)y ＝3x 还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．

【例4－2】 已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．

分析：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，要求出待定系数k ，必须有x 与y 的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x ＝0时，y ＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x ＝1时，y ＝－2.这就是我们需要的等量关系．

解：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，

根据题意，当x ＝1时，y ＝－2.

代入函数解析式，得－2＝k .

故所求函数解析式为y ＝－2x .

5．用一次函数解决实际问题

函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．

辨误区 写解析式，定自变量的范围

通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．

【例5】 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L ，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.

(1)求油箱中的剩余油量Q (L)与行驶的时间t (h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；

(2)如果摩托车以60 km/h 的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L 时，老王行驶了多少千米？

分析：根据油箱中原有油9 L,1 h 耗油1.5 L ，则t h 耗油1.5t L ，得到行驶t h 后油箱中剩余油量为(9－1.5t )L ，由此可得出函数关系式．

解：(1)Q ＝9－1.5t ，