平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
又│COSθ│ 1
思考：在什么情况下取等号？ 0 或 180
返回练习
a•b=│a││b│COSθ
(4)cos ＝ 练习
a b ab
设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ 54 2 ，求a和b的夹角
cos ＝ －
2 2
平面向量的数量积
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，我们把
a b a b cos
数量 a b cos 叫做 a与b 的数量（或内积,点乘），即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
2、向量投影的几何意义
向量的投影可正、可负、可为零
课堂小结：
3、向量数量积的性质 设 a, b都是非零向量 ,则 1)a b a b 0 2）当a , b 同向时a b | a || b | ； 当a , b反向时a b | a || b | ； 2 2 特别的a a 或 a a a
平面向量的数量积
问题情境
θ
F
F θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
平面向量的数量积
学习目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及投影定义 2、掌握平面向量数量积的性质 请同学们思考如下问题：
看课本103—104页并思考如下问题： 1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
A BC•CA=-20 b 60° C 变式： │ │ │ 若 a=5, b=8,a与b平行，则 a b = │ a B
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
二、已知 ABC 中， AB a , AC b , 当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC 的形状。
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4 72
2 2
例已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相 垂直
练习：
一、判断下列各命题是 否正确，并说明理由
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
| a || b |
r r r r (2)a b a b 0
检测：1.已知： a与b是非零向量
(1) a b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a a | a | (3) | a b || a || b | (4) a b 0 a b
(5) a b a b 0 (6)a // b a b | a || b |
(× ) (√)
(× )
(√)
(× )
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10 2
变式一
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意 （2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求 角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
练习
1.已知 | a | 8, e为单位向量,当它们的夹角为 时, 3 4 求a在e方向上的投影 ________
2.已知 | a | 2 2,| b | 3, a b 6,
2 则a在b上的投影为 ________
O为ABC所在平面内一点，且满 足 (OB OC ) (OB OC 2OA) 0 试判断ABC形状。
例2 已知 ABC中， AB=a, AC b, 当a b 0或a b 0, 试判断 ABC的形状
练习：
1.已知| a |=2,||=3, b a与b夹角为90则a b 0
2.若 a 1, b 3, a、b 共线,则a b 3或－3
3.已知 m 3, n 4, m n 6, 则m与n夹角为 60°
二、向量
已知两个非零向量a与b, 他们的夹角为， 我们把数量 a b cos 叫做a与b的数量积 （或内积） .记作a b, 即a b a b cos .
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
a与 b 的数量积的概念
注意：
b =| a || b |cos 数量积 a ·
平面向量的数量积的运算律：
(1)交换律 a b b a
(2)数乘结合律 ( a ) b (a b ) a (b ) (3)分配律 (a b ) c a c b c
其中， a、b 、c是任意三个向量， R
注：
(a b ) c a (b c )
§2.4.1 平面向量数量
积的物理背景及其含义
zxxk
一、向量数量积的物理背景
F
θ
O
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
§241平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。
教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析1．有利因素学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
平面向量数量积的物理背景及其含义
ab=|a| |b| cosθ
为正; 当0°≤θ < 90°时ab为正; ° ° 为正 为负. 当90°<θ ≤180°时ab为负. ° ° 为负 为零. 当θ =90°时ab为零. ° 为零
e b 设 a, 是非零向量, 是与 方向相同的 b 是非零向量,
单位向量, a e 的夹角, 单位向量, 是 与 的夹角,则 θ
a b =
|
a
| |
b
| c o s
θ
(1)e a = a e =| a | cosθ
(2)a ⊥ b a b = 0 (3)当a与b同向时,a b =| a || b |;
b
O
B
θ B1 a
A
当a与b 向时,a b = | a || b |;
2
a a =| a |
a b (4) cosθ = | a || b |
平面向量的数量积及运算律 数量积的运算律: 数量积的运算律:
(1)a b = b a (2)(λa) b = λ(a b) = a (λb) (3)(a + b) c = a c + b c
其中, 其中, , , 是任意三个向量, ∈R a b c是任意三个向量, λ 注:1 (a b) c ≠ a (b c) ,
平面向量的数量积及运算律
过点B作 OB 作OA = a, = b ,过点 作 BB1 垂直于直线OA,垂足为 B1,则 OB1 = | b | cosθ 垂直于直线 , | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影 叫向量b 方向上的投影 叫向量 B B B b b b
θ
O a BA 1 θ为锐角时, 为锐角时, 为锐角时 | b | cosθ>0
2.3.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
（ 1 ）求t的值；
（2）若a与b共线同向，求证： b a tb
5.a (2,3), b (4, k ), 若(5a b) (b 3a) 55， 求k的值。
k 10或k 6
6.a (4， 3） ,b （2， 1 ） , 若a t b与b 的夹角为45 ，求实数t的值。
a b | a | | b | cos
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量 a , b 作 OA a , OB b , 则 AOB 称作向量 a和向量 b 的夹角,
A 记作 a , b ,并规定 0 a , b a , b b , a O B 当 a, b 时，记作 a b 2 共起点作
0
（2）当 90 时a在b上的投影为 0
0
（3）当 120 时a在b上的投影为 2
0
（4）当 120 时b在a上的投影为 4
0
四. 向量的数量积(内积)定义
定 义 a b cos a , b 叫 做 向 量 a与b的 数 量 积 （或内积）， 记 作a b, 即a b a b cos a , b
结论：(1) a b 0 a b
前提： a与b是非零向量 (2) 当a与b同向时， a b | a || b | ；
当a与b反向时， a b | a || b |
2
(3) a a | a | 或 | a | a a a
2
4 a b a b
t=1
7.已知a (2,3), b (1,2),且c a, b c 1
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0. 思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 1．条件：向量a 与b 的夹角为θ. 2．投影3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ. 1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a·b|a||b|.5．|a·b|≤|a||b|.知识点四平面向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × ) 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × ) 3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |22|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 方法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.方法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16，∴|a ＋b |＝4. 题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n2a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， ∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a ＋b |，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|， ∴∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°.∵∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， 又|OA →|＝|OB →|，∴∠OAB ＝30°， 即a 与a －b 的夹角为30°.反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角解 ∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2. |a |＝|b |＝2，∴a ·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小； ②求|a －2b |的值．解 ①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13，所以|a －2b |＝13.[素养评析] 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值答案 A解析 a·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A.2．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2 D ．2 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2.3．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×12＝97，∴|c ＋2d |＝97.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |.4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B解析 由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－6 3 D ．6 3 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A解析 根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a·b |b|＝－4，故选A.5．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值解析 由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.7．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12 D ．18 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D解析 如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ，可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝3×6＋0＝18，故选D.8．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A解析 如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，OD →＝a ＋b ，OC →＝c ，则|OD →|＝ 2.又|c －b －a |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知当点C 与O ，D 共线时，|OC →|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 －9211．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________． 考点 向量的投影题点 求向量的投影 答案101313解析 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a·b ＝4×16－3×9－4a·b ＝61，解得a·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝16＋9－12＝13，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝13，设a 与a ＋b 的夹角为θ，∴cos θ＝104×13＝5213，则a 在a ＋b 方向上的投影为|a |cos θ＝4×5213＝101313.三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 如图，由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1， 即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°， 所以①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.。
2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
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投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
2.4平面向量数量积的物理背景及其含义
( 3 ) 若 a b 1 0 3 , 试 求 a 与 b 的 夹 角 . a b a b c o s 0 a b 20. 解 : ( 1 ) 当 a / / b 时 , 若 a 与 b 同 向 , 则 = 0 , ab 2 0 . a b a b c o s 1 8 0 若 a 与 b 反 向 , 则 = 1 8 0 ,
（3）运算中涉及到了哪些量？ 它们之间具有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ样的关系？
向 量 数 量 积 的 定 义
已知两个非零向量a 与b ，它们的 夹角为 θ，我们把数量| a| | b|cosθ叫做 a b . a 与b 的数量积（或内积）, 记作
a · b =| a
|| b
| cosθ
1、本节课的主要内容是什么？ 通过本节学习，掌握平面向量的数量积的 定义、重要性质、并能简单运用。 2、平面向量的数量积有哪些应用？ 求向量的夹角、模、判断位置关系。
１、教材Ｐ108 A组2、6； ２、预习平面向量数量积的运算律及应用．
将尝试练习中的(1)(2)(3)中的结论推广到一般向量， 你能归纳出什么结论？
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , 则
向 量 数 量 积 的 性 质
( 1 ) ab a b 0 ( 2 ) 当 a 与 b 同 向 时 ， a b || a || b ; 当 a 与 b 反向时， a b | a || b |; 2 2 特别地： a |a | a a a |a |或 a ab (3 )c o s | a|| b |
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水 成功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
数的积是一个实数.
(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写
a·b;(2)求|x a+y b|2=x2|a|2+2xy a·b+y2|b|2;(3)求|x a+y b|.
题型三
求两向量的夹角
【例 3】 已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,求 a 与 b 的夹角 θ.
分析:求出 a,b 的数量积 a·b,代入夹角公式求得 cos θ,从而确定
形.
的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距
离等于a,b到原点的距离的积.
题型一
求向量的数量积
【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的
值为
.
解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8.
答案:-8
在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘
中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).
(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的
长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的
几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
• 向量的数量积
• 对于向量a示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相 反，而a(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一 定相同或相反，故该等式不一定成立．
• 1.两个向量的数量积含义
• (2)若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac
• 可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.理由：若a、 b的夹角为θ1，a、c的夹角为θ2，则由a·b＝a·c得|a|·|b|cos θ1＝|a|·|c|cos θ2及|a|≠0，只能得到|b|cos θ1＝|c|cos θ2，即b、 c在a方向上投影相等，而不能得出b＝c(见图)．
• (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ 的符号所决定．
• (2)两个向量的数量积称为内积，写成a·b；今后要学到两 个向量的外积a×b.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既 不能省略，也不能用“×”代替．
• 2．向量的数量积与实数积的区别
• (1)若a、b为实数，且 a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝ 0却不能得出a＝0或b＝0.因为只要a⊥b就有a·b＝0，而不 必a＝0或b＝0.
(3)A→B与A→D的夹角为 60°， 所以A→B与D→A的夹角为 120°， 所以A→B·D→A＝|A→B|·|D→A|·cos 120° ＝4×3×－12＝－6. (4)A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B) ＝A→D2－A→B2＝32－42＝－7.
• (3)若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向 量a、b、c，则(a·b)·c与a·(b·c)都是无意义的，这是因为 a·b与b·c是数量，不是向量，而数量与向量是没有点乘定 义的．同时，(a·b)c≠a(b·c)，这是因为数量a·b与向量c相 乘是与c共线的向量，而数量b·c与向量a相乘是与a共线的
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
[小组合作型]
与向量数量积有关的概念
(1)以下四种说法中正确的是________． ①如果 a· b＝0，则 a＝0 或 b＝0； ②如果向量 a 与 b 满足 a· b<0，则 a 与 b 所成的角为钝角； → → ③△ABC 中，如果AB·BC＝0，那么△ABC 为直角三角形； ④如果向量 a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2.
1．求平面向量数量积的步骤是：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；②分 别求|a|和|b|；③求数量积，即 a· b＝|a||b|cos θ. 2．非零向量 a 与 b 共线的条件是 a· b＝± |a||b|.
[再练一题] 2．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： → → → → (1)AB·AC；(2)AB·BC； → → (3)BC·AC.
阶 段 一
阶 段 三
2.4 平面向量的数量积
2.4.1
阶
学 业 分 层 测 评
1．平面向量的数量积．(重点) 2．平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
[基础· 初探] 教材整理 1 向量数量积的定义及性质 阅读教材 P103～P104“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量的数量积的定义
2．向量数量积的运算律 b· a (1)a· b＝_______( 交换律)．
λ(a· b) ＝_________( a· (λb) (2)(λa)· b＝________ 结合律)．
a· c＋b· c (3)(a＋b)· c＝___________( 分配律)．
π 已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a 在 b 方向上的投影为________． 3 π 3 【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝ . 3 2 3 【答案】 2
数量积的基本运算
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 135 °时，分别求 a 与 b 的数量积. 【导学号：00680054】
【精彩点拨】 为 a，b 夹角)求值． (1)当 a∥b 时，a 与 b 夹角可能为 0°或 180°.(2)当 a⊥b 时，a 与 b 夹角为 90°.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a· b＝|a|· |b|· cos θ(θ
[再练一题] 1．给出下列判断：①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非 零向量， 若 a＋b＝0， 则|a· c|＝|b· c|； ③a， b 共线⇔a· b＝|a||b|； ④|a||b|<a· b； ⑤a· a· a ＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a· b；⑦向量 a，b 满足：a· b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；⑧ 若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影长．其中正 确的是：________．
1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系． 2． 利用 a· a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[再练一题] 3．题干条件不变，求|a－b|.
【解】 因为|a|＝4，|b|＝2，且 a 与 b 的夹角 θ＝120°. 所以|a－b|＝ （a－b）2＝ a2－2a· b＋b2 ＝ 42－2×4×2×cos 120°＋22＝2 7， 所以|a－b|＝2 7.
|b|cos θ |a|cos θ 叫做向量 a 在 b ___________ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，___________
方向上的投影．
图 2－4－1
(2)数量积的几何意义：
a的长度|a| a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于______________ 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ ___________ 的乘积．
图 2－4－2
→ → 【解】 (1)AB与AC的夹角为 60°， → → → → ∴AB·AC＝|AB||AC|cos 60° 1 1 ＝1×1×2＝2.
→ → (2)AB与BC的夹角为 120°， → → → → ∴AB· BC＝|AB||BC|cos 120°
1 1 ＝1×1× －2 ＝－ . 2
|a||b|cos θ 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量_____________ 叫 数量积 内积 ，记作_____ a· b＝|a||b|cos θ a· b ，即__________________ 做 a 与 b 的__________( 或______) ．
0 ． 规定零向量与任一向量的数量积为_____
(3)如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D． 因为 AB＝AC， 1 所以 BD＝ BC＝2， 2 → → 于是|BA|cos∠ABC＝|BD| 1→ 1 ＝ |BC|＝ ×4＝2. 2 2 → → 所以BA·BC → → ＝|BA||BC|cos∠ABC＝4×2＝8. 12 【答案】 (1)③④ (2)－ 5 －4 (3)8
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律 阅读教材 P104 例 1 以下至 P105 例 2 以上内容，完成下列问题． 1．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 → → 如图 2－4－1 所示：OA＝a，OB＝b，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA，垂足为 |b|cos θ ． B1，则 OB1＝_________
【自主解答】 角)．
(1)由数量积的定义知 a· b＝|a||b|cos θ(θ 为向量 a，b 的夹
①若 a· b＝0，则 θ＝90°或 a＝0 或 b＝0，故①错； ②若 a· b<0，则 θ 为钝角或 θ＝180°，故②错； → → ③由AB·BC＝0 知 B＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确； ④由 a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
2．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． a· b＝0 ． (1)a⊥b⇔________
|a||b| ； (2)当 a 与 b 同向时，a· b＝_______ －|a||b| ． 当 a 与 b 反向时，a· b＝_________
2 | a | (3)a· a＝______或|a|＝ a· a＝ a2.
[探究共研型]
平面向量数量积的性质
探究 1 设 a 与 b 都是非零向量， 若 a⊥b， 则 a· b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 a⊥b⇔a· b＝0.
探究 2 当 a 与 b 同向时， a· b 等于什么？当 a 与 b 反向时， a· b 等于什么？ 特别地，a· a 等于什么？
【提示】 当 a 与 b 同向时， a· b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时， a· b＝－|a||b|； a· a ＝a2＝|a|2 或|a|＝ a· a.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且 a· b＝－12，则 a 在 b 方向上的投影为________， b 在 a 方向上的投影为________． → → (3)已知等腰△ABC 的底边 BC 长为 4，则BA·BC＝________.
【精彩点拨】 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
【自主解答】
设向量 a 与 b 的夹角为 θ，
(1)a∥b 时，有两种情况： ①若 a 和 b 同向，则 θ＝0°，a· b＝|a||b|＝20； ②若 a 与 b 反向，则 θ＝180°，a· b＝－|a||b|＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90°， ∴a· b＝0. (3)当 a 与 b 夹角为 135°时， a· b＝|a||b|cos 135°＝－10 2.
(2)设 a 与 b 的夹角为 θ，则有 a· b＝|a|· |b|cos θ＝－12， a·b －12 12 所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|· cos θ＝ ＝ ＝－ ；向量 |b| 5 5 a·b －12 b 在向量 a 方向上的投影为|b|· cos θ＝ |a| ＝ 3 ＝－4.
【自主解答】 ＝16，b2＝|b|2＝4.
由已知 a· b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2
(1)∵|a ＋ b|2 ＝ (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2a· b ＋ b2 ＝ 16 ＋ 2×( － 4) ＋ 4 ＝ 12 ，∴ |a ＋ b|＝ 2 3. (2)∵(a＋b)· (a－2b)＝a2－a· b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)· (a－ 2b)|＝12.
已知|a|＝3，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝3a＋5b，d＝ma －3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
【精彩点拨】 由条件计算 a· b，当 c⊥d 时，c·d＝0 列方程求解 m.
【自主解答】 由已知得 a· b＝3×2×cos 60°＝3.
由 c⊥d，知 c· d＝0， 即 c· d＝(3a＋5b)· (ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a· b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， 29 29 ∴m＝ ，即 m＝ 时，c 与 d 垂直． 14 14
探究 3 的夹角 θ？
|a· b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们
【提示】
|a· b|≤|a||b|，设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a· b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得： |a· b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝± 1，θ＝0 或π时，取“＝”， 所以|a· b|≤|a||b|. a· b cos θ＝|a||b|.