高2019届重庆高三二诊理数试题及答案(康德卷)

2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（二）理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． （1） 集合{1012}M =-， ， ， ，集合{0246}N =， ， ， ，则=N M I（A ）{11}-，（B ）{1012}-， ， ， （C ）{0246}， ， ， （D ）{02}，（2） 设1i +是方程20()x ax b a b R ++=∈，的一个根，则 （A ）11a b ==， （B ）22a b ==-， （C ）22a b =-=， （D ）21a b =-=-， （3） 已知A B ， 两组数据如茎叶图所示，它们的平均数相同且2x y =，若将A B ， 两组数据合在一起，得到的这组新数据的中位数是 （A ）23 （B ）24 （C ）23.5 （D ）24.5（4） 设x 、y 满足约束条件2022030x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =-的最大值为（A ）1（B ）2 （C ）10 （D ）12 （5） 若向量a b r r ， 满足(2)a b a +⊥r r r ，()a b b +⊥r r r ，则a r 与b r的夹角为（A ）45︒ （B ）60︒ （C ）120︒（D ）135︒ （6） 在ΔABC 中，sincos 22C C =10AB =，AC =BC = （A ）5（B ）8（C ）11（D ）5或11（7） 命题:0p x ∀>；命题2:e 5x x q x R ∃∈=， （e 为自然对数的底数），则下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∨（C ）p q ⌝∧ （D ）p q ∨（8） 给图中的A B C D ， ， ， （A ）36 （B ）54（C ）84 （D ）120 （9） 执行如图所示的程序框图，若输入28=A ，6=B ，则输出的结果是 （A ）2 （B ）4（C ）6 （D ）28A 组B 组 x 1 4 6 4 2y9（10）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点、右焦点分别为A B F ， ， ，22(1)BF BA a b ⋅=+-u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为 （A）2 （B）2（C ）12（D）4（11）已知0ab >，22a b ab +=，则21a b a b+++的最小值为 （A ）34（B ）1（C ）54（D ）32（12）已知()3sin 2cos f x x x x =++，当1a b +=时，不等式()(0)()(1)f a f f b f +>+恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）(0)-∞，（B ）1(0)2，（C ）1(1)2，（D ）(1)+∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上． （13）二项式6(x 的展开式中的常数项为 . （14）已知函数3log ()0()20x x f x x x x⎧-<⎪=⎨->⎪⎩， ， ，则函数()()3g x f x =-的零点个数为 .（15）已知()sin f x x x ωω=，把()f x 的图象向左平移3π个单位得到()y g x =的图象,若()()0g x g x +π-=恒成立，则正整数ω的最小值为 .（16）在正项数列{}n a 中，11a =，若2112n a +是(1)n n a a n ++与1(1)n n a ++的等差中项，则18na n+ ()n N *∈的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且134a a +=，621S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足(5)n n T n a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n n a b 的前n 项和为n A ，证明：38n A <．（18）（本小题满分12分）下图是重庆某地7个企业今年总投入（单位：万元）与总产出（单位：万元）的折线图．y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；（Ⅱ）若用$2y ax bx c =++回归模型拟合y 与x 的关系，得回归方程$20.17520y x x =-++，再计算得该模型的20.93R ≈，（Ⅰ）中线性回归模型的20.75R ≈，请用相对合适模型预测该地企业总投入9万元时的总产出.（参考公式：$1221ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑$$， ）（19）（本小题满分12分）在ABC ∆中，3A π=，2B π=，AB =（Ⅰ）以A 为原点，AC u u u r为x 轴正方向建立直角坐标系，若函数sin y t x ω=(001)t ω><<，的图象同时经过A B C ， ， 三点，求t 与ω的值；（Ⅱ）D 为边BC 上一点，AD 为角平分线，若以A 为原点，AD u u u r为x 轴正方向建立平面直角坐标系，是否存在函数sin()y t x ωϕ=+(00)t ω>>， 的图象同时经过A B C D ， ， ， 四点？若存在，写出一个这样的函数；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2且过点(12-，.A B ， 为椭圆上两个不同的点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线OA OB ， 的斜率之积为12-，M 为线段OA 的中点， 连结BM 并延长交椭圆C 于点N ，求||||BM BN 的值.（21）（本小题满分12分）已知221()e e 2xf x ax x =-+. （Ⅰ）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12x x ，12()x x <，证明：22()e f x <.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t R t ∈， 为参数），在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()sin ραθα-=（0α<<π，θ为极角），直线l 与曲线C 相交于A B ， 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴相交于点M ，当[]63αππ∈， 时，求MA MB ⋅的取值范围.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()37.f x x x =+--（Ⅰ）若关于x 的不等式()42f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）讨论关于x 的方程()(0)f x kx k =>的实数根的个数.2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（二）参考答案一、选择题1～6 DCCCDD 7～12 DCABBD（12）解析：()3cos 2sin f x x x '=+-，sin cos [11]x x ∈-Q ，， ，故()0f x '>，故()f x 在R 上单增，原不等式即()()(1)(0)f a f b f f ->-，若(01)a b ∈，， ，显然不成立，故1a >. 故选D.二、填空题（13）240 （14）3 （15）2 （16）132（16）解析：211(1)(1)n n n n a a n n a a ++++++=，即111()()(1)()n n n n n n a a a a n a a ++++-=++，{}n a Q 是正项数列，11n n a a n +∴-=+，故11221,12n n n n a a n a a n a a ----=-=--=L ， ，累加得(1)2n n n a +=，故1813613(1)22n a n n n +=++≥，当且仅当6n =时等号成立. 三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）616217S a a =⇒+=，又134a a +=，故1d =，11a =，n a n ∴=； ……4分（Ⅱ）(5)n T n n =+，当2n ≥时124n n n b T T n -=-=+，当1n =时116b T ==，故对任意*n N ∈，24n b n =+，11111()2(2)42n n a b n n n n ==-++， 11113(1)42128n A n n ∴=+--<++. ……12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）27947842ˆ 1.7708764b-⨯⨯==-⨯，ˆ42 1.7828.4a=-⨯=，故ˆ 1.728.4y x =+； ……6分 （Ⅱ）由0.930.75>知，选择回归方程2ˆ0.17520yx x =-++拟合更好，代入9x =，可算得ˆ51.23y=， 即总投入为9万元时的总产出约为51.23万. ……12分（19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）01ω<<Q ，故22T ωπ=>π，故A C ， 恰好为相邻的零点，此时2T AC==故ω==0t >Q ，故3)22B ， ，∴3sin42t π=即2t =， 故经过A BC ， ，三点的函数为y x =；……6分 （Ⅱ）建系如图，由题意知，D 必为sin()y t x ωϕ=+的对称中心， 若B C ， 均在函数图象上，则必关于D 点对称，而BD DC ≠，故不成立，即不存在满足条件的函数. ……12分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知2221112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，故2221a b ==， ， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=； ……4分（Ⅱ）设112233()()()A x y B x y N x y ， ， ， ， ， ，则121212y y x x =-，11()22x y M ， ，设BM BN λ=u u u u r u u u r ，则1232()2x x x x λ-=-，1232()2y y y y λ-=-，解得32111(1)2x x x λλ=-+，32111(1)2y y y λλ=-+，又N 点在椭圆C 上，2221211111[(1)]2[(1)]222x x y y λλλλ∴-++-+=， 即222222211121221111(1)(2)(2)(1)(2)24x y x y x x y y λλλλ-++++-+=， 即22112(1)022λλ-++=，解得58λ=，故||5||8BM BN =. ……12分 （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()xf x e x e '=-+，()1xf x e ''=-，故当(0)x ∈-∞， 时()0f x ''<，()f x '单减，当(0)x ∈+∞， 时()0f x ''>，()f x '单增，2(0)10f e '=+>，故()f x '恒大于0， 即()f x 在R 上单调递增； ……4分（Ⅱ）2()x f x e ax e '=-+，12x x ， 是方程20x e ax e -+=的两个不等实根，()xf x e a ''=-，若0a ≤则()0f x ''>，()f x '单增，()0f x '=不可能有两个不等实根，故0a >，此时()f x '在(ln )a -∞，上单减，在(ln )a +∞， 上单增，当x →-∞时，()0f x '>， 当x →+∞时，()0f x '>，故只需(ln )0f a '<，即2a e >，又2220x e ax e -+=，∴22222222222222221111()()(1)2222x x x x f x e ax e x e e e x e x x e e x =-+=-++=-+，设211()(1)22x g x x e e x =-+，则2111()()222x g x x e e '=-+，1()2x g x xe ''=-， 2ln 2x a >>Q ，故()0g x ''<，()g x '在(2)+∞， 上单减，(2)0g '=，故()g x '在(2)+∞， 上恒小于0，故()g x 在(2)+∞， 上单减，2()(2)g x g e ∴<=，即22()f x e <. ……12分（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为24y x =，直线l 的极坐标方程可化为：sin()sin (sin cos cos sin )sin sin cos sin x y ραθαραθαθαααα-=⇒-=⇒-=即cos (1)sin y x αα=-； ……5分 （Ⅱ）显然(10)M ， ，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程可得22sin 4cos 40t t αα--=， 故2416||||[16]sin 3MA MB α⋅=∈， . ……10分 （23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）即()f x 的最大值|42|m -≤，又()|3||7||37|10f x x x x x =+--+-+=≤，故|42|10m -≥，即3m ≥或2m -≤； ……5分 （Ⅱ）函数()y f x =的图象如右图所示，y kx =是过原点的直线，结合图形可知：当1007k <<时，有三个交点，即方程有3个根； 当107k =时，有两个交点，即方程有2个根； 当107k >时，有一个交点，即方程有1个根. ……10分。