立体几何复习资料[1]
立体几何复习知识点汇总(全)
立体几何知识点汇总（全）1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2. 空间直线.（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ba,是夹在两平行平面间的线段，若a,的位置关系为相交或平行或异面.a=，则bb⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
立体几何复习知识点
立体几何复习知识点在数学的学习中，立体几何是一个重要且富有挑战性的部分。
它要求我们具备空间想象能力、逻辑推理能力以及对各种几何概念和定理的熟练掌握。
接下来，让我们一起系统地复习一下立体几何的相关知识点。
一、空间几何体（一）棱柱棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及侧面都是平行四边形的多面体。
棱柱根据侧棱与底面的关系可分为直棱柱和斜棱柱。
直棱柱的侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱不垂直于底面。
（二）棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面所组成的多面体。
如果棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。
（三）棱台棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
（四）圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
（五）圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴为圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线。
（六）圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台。
（七）球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
二、空间几何体的表面积和体积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
（二）圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积圆柱的侧面积公式为＼（S_{侧}＝2\pi rh\），表面积公式为＼（S ＝ 2\pi r(r ＋ h)＼）；圆锥的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi rl\），表面积公式为＼（S ＝＼pi r(r ＋ l)＼）；圆台的侧面积公式为＼（S_{侧}＝＼pi （r ＋ R)l\），表面积公式为＼（S ＝＼pi （r^2 ＋R^2 ＋ rl ＋ Rl)＼）。
高中数学立体几何知识点复习总结[资料]
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高中课程复习专题——数学立体几何一 空间几何体㈠ 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
㈡ 几种空间几何体的结构特征1 棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类1.3 棱柱的性质⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。
1.4 长方体的性质⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：图1-1 棱柱图1-2 长方体图1-1 棱柱cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 11.5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
1.6 棱柱的面积和体积公式S 直棱柱侧面= c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高)S直棱柱全= c ·h+ 2S底V 棱柱 = S 底 ·h2 圆柱的结构特征2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结立体几何知识点总结「篇一」(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的.圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
立体几何知识点总结「篇二」1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系(1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。
（2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.（2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。
题型二证明垂直关系(微专题)微专题1:证明线线垂直(1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。
求证：PM⊥QN.（2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证:DF⊥AE。
微专题2：证明线面垂直（3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.(4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。
微专题3：证明面面垂直（5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1.（6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。
思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点,作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。
立体几何复习1详解版
立体几何复习1详解版一、知识梳理1．几何体的概念、侧面积与体积(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．3．空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)二面角的有关概念①二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4．空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法①利用图中已有的平行线平移．②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．③补形平移．(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；①垂线法；①垂面法． 二、练习1．关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是( ) A ．棱锥的侧棱长都相等B ．三棱台的上、下底面是相似三角形C ．有的棱台的侧棱长都相等D ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 答案 A解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析 观察所给几何体知侧视图应该是一个正方形，所以D 错；中间的棱在侧视图中应该为正方形的从左上到右下的一条对角线，所以A ，C 错，故B 选项正确．答案 B3．如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′＝2，则这个平面图形的面积是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．22解析 ∵Rt △O ′A ′B 是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′＝2， ∴Rt △O ′A ′B 的直角边长是2， ∴Rt △O ′A ′B 的面积是12×2×2＝1，∴原平面图形的面积是1×22＝2 2. 故选D. 答案 D4．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( ) A.23B.76C.45D.56解析 易知V ＝1－8×13×12×12×12×12＝56. 答案 D5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析 由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A 1－BCD ， V A 1－BCD ＝13×12×3×5×4＝10，故选D.答案 D6．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即：2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ， θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°. 答案 C7.如图，在正四面体D －ABC 中，P ∈平面DBA ，则在平面DAB 内过点P 与直线BC 成60°角的直线共有（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条解析 过点P 分别作BD ，AB 的平行线，这两条线都符合题意. 答案 C8.E ，F ，G 分别为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中平面A 1C 1，平面B 1C ，平面CD 1的对角线交点，则AE 与FG 所成的角为（ ） A.90°B.60°C.45°D.30°解析 如图，易得FG ∥BD ，B 1D 1∥BD ，AE ⊥B 1D 1.所以选A.答案 A9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．πB.3π4C.π2D.π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心．球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝ π·r 2·h ＝π·⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4. 答案 B10.如图，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A －MNCB 的体积为（ ）A.32B.32C. 3D.3解析 如图，作出二面角A －MN －B 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A －MNCB 的高.由题意，得ED ＝3，AO ＝32，S 四边形MNCB ＝12×（2＋4）×3＝3 3.V ＝13×32×33＝32. 答案 A11．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 的底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63，∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26. 答案 A12.已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为（ ） A. 3 B.2C.2 3D.4解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值，故选C. 答案 C13．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为________．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积 题点 其他求体积、表面积问题 答案124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高为h2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ，∵V 1＝13S △ADE ·h2，V 2＝S △ABC ·h ，∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 14．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，且AB ＝AD ，则AC 与平面BCD 所成的角是________． 考点 空间角题点 求空间角或其三角函数值 答案 45°解析 如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO .因为AB ＝AD ，所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD . 因此，∠ACO 即为AC 与平面BCD 所成的角． 由于∠BAD ＝90°＝∠BCD ，所以AO ＝OC ＝12BD ，又AO ⊥OC ，所以∠ACO ＝45°.15.已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________.解析 由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高.设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt △ASO中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案 8π16.已知四面体P －ABC 中，P A ＝PB ＝4，PC ＝2，AC ＝25，PB ⊥平面P AC ，则四面体P －ABC 外接球的体积为 .解析 ∵P A ＝4，PC ＝2，AC ＝25，∴在△P AC 中，P A 2＋PC 2＝20＝AC 2，可得AP ⊥PC ， 又∵PB ⊥平面P AC ，P A ，PC ⊂平面P AC ， ∴PB ⊥P A ，P A ⊥PC .以P A ，PB ，PC 为长、宽、高，作长方体如图所示， 则该长方体的外接球就是四面体P －ABC 的外接球. ∵长方体的体对角线长为42＋42＋22＝6，∴长方体外接球的直径2R ＝6，得R ＝3，因此，四面体P －ABC 的外接球体积为V ＝4π3R 3＝36π.答案 36π17．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形． (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的外接球的体积．17.解 (1)由题意可知，该几何体是长方体， 底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm 2)，即几何体的表面积是 64 cm 2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线长为d ，球的半径是r ， d ＝16＋16＋4＝36＝6(cm)， 所以球的半径为r ＝3(cm)．因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)，所以外接球的体积是36π cm 3.18．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC ＝30°)解 如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1. 在半圆中可得∠BCA ＝90°， ∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，CO 1＝32R ， ∴V 圆锥AO 1＋V 圆锥BO 1＝13π·CO 21·AO 1＋13π·CO 21·BO 1＝13π·CO 21·(AO 1＋BO 1) ＝13π×⎝⎛⎭⎫32R 2×2R ＝π2R 3， 又V 球＝43πR 3，∴所求几何体的体积V ＝43πR 3－π2R 3＝56πR 3.19.如图，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，求： (1)AO 与A ′C ′所成角的大小；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小． 考点 空间角题点 求空间角或其三角函数值 解 (1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵AB ⊥平面BC ′，OC ⊂平面BC ′，∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO ＝B ，AB ，BO ⊂平面ABO ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2，sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， ∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角为30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .∵平面BC ′⊥平面ABCD ，平面BC ′∩平面ABCD ＝BC ，OE ⊂平面BC ′， ∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为55. (3)由(1)可知OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.20.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点. （1）求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；（2）若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角. （1）证明 如图，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD . 因为E 是A 1C 1的中点，所以DE 綉12B 1C 1.又因为BC 綉B 1C 1，BF ＝12BC ，所以DE 綉BF .所以四边形BDEF 为平行四边形.所以BD ∥EF . 又因为BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ， 所以EF ∥平面AA 1B 1B .（2）解 如图，取AC 的中点H ，连接HF ，EH . 因为EH ∥AA 1，AA 1⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC . 所以∠EFH 就是EF 与平面ABC 所成的角. 在Rt △EHF 中，FH ＝3，EH ＝AA 1＝3， 所以tan ∠EFH ＝EHFH ＝3，所以∠EFH ＝60°.故EF 与平面ABC 所成的角为60°.21.如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.(1)证明 由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .11(2)解 如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND .又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC .在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰△DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326. 所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326. (3)解 连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD .所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4. 在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34. 所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.\。
立体几何知识点归纳
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
立体几何知识点归纳(复习资料)
立体几何知识点归纳(复习资料)高考总复习主干知识三：立体几何主干知识三：立体几何知识点归纳一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l方法一：用线线平行实现。
l//m??m????l//? l????方法二：用面面平行实现。
α符号表示：αlAβl2. 线面相交?//????l//? l???方法三：用平面法向量实现。
符号表示：若n为平面?的一个法向量，n?l且lαnl3. 线在面内ααl??,则l//?。
符号表示：3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。
二．平行关系： 1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。
l?l//l’??l????l//m ????m?? l//???m//m’????//?l,m??且相交?αl’,m’??且相交?? 方法二：用线面平行实现。
βl’m’ml?ml//?方法二：用面面平行实现。
lβγαm?//???????l??l//m ????m??? ?m//???/ /??l,m??且相交?? 方法三：用向量方法：两个平面的法向量共线三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
βml α方法三：用线面垂直实现。
若l??,m??，则l//m。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。
2. 线面平行： 1 / 8 l?AC?l?AB??lAC?AB?A??l?? ?CAC,AB? ???αAB方法二：用面面垂直实现。
????βl????m???l?? l?m,l???m?α方法三：用向量方法：直线与平面的法向量共线 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
l???βll???????? α方法二：计算所成二面角为直角。
方法三：用向量方法：两平面的法向量垂直 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
ll???m?????l?m mα 方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO???Pl?OA???l?PA l????αAlO方法三：用向量方法：若向量l和向量m 的数量积为0，则l?m。
(完整)非常好高考立体几何专题复习
一、考点分析基本图形1．棱柱 ——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
斜棱柱① 棱柱棱垂直于底面 底面是正多形正棱柱 ★ 直棱柱其他棱柱 L②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形2. 棱锥棱锥 ——有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
3．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★② rR 2 d 2 （其中，球心到截面的距离为d 、球的半径为 R 、截面的半径为 r ） ★球与多面体的组合体： 球与正四面体，球与长立体几何习题正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体侧棱底面顶点侧面斜高球面 半径O1长方体 底面为正方形E' D'AB注：球的有关问题转化为圆的问题解决球面积、体积公式：S球4 R2,V球4R3（其中R 为球的半径）球球3异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★1．求异面直线所成的角0 ,90 ：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。
常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。
常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2 求直线与平面所成的角0 ,90 ：关键找“两足” ：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。
3 求二面角的平面角0,解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
期末复习立体几何
高一期末复习（三）——立体几何一、空间几何体（一）基本知识回顾：1. 空间几何体——柱、锥、台、球的结构特征：2. 三视图、斜二测画法：3. 空间几何体的表面积：棱柱、棱锥的表面积：圆柱的表面积= 圆锥的表面积=圆台的表面积= 球的表面积=扇形的面积=4. 空间几何体的体积：柱体的体积= 锥体的体积=台体的体积= 球的体积=（二）复习练习：1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④2. 若一个几何体的正视图与侧视图均是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图是（）A B C3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A．14+πB．134+πC．834+πD．84+π4.5. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是（）A．8 B．12 C．4(1D．6. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm），则这个几何体的表面积、体积分别是（）A．29πcm、315cmπB．212πcm、312cmπC．215πcm、315cmπD．224πcm、312cmπ俯视图7. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视 图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积为 A ．24 B ．8 C ．12 D ．48. 一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高 和底面边长分别为（ ）A. 2，B.2 C. 4，2 D. 2，49. 已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如图所示，则它的左(侧)视图的面积是．10. 如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. A. π B.4π C. π D.32+π11. 设某几何体的三视图如下左边所示（尺寸的长度单位为m ）。
则该几何体的体积为3m 12. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如上右图，则该几何体的侧面积为________cm 2.13. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.14. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图 是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为 正方形，那么该几何体的表面积是（ ） A. 16 B. 2412+C. 20D. 2416+15. 正方体ABCD-A’B’C’D 中，E 、F 分别为A A’,C’D’的中点，G 为正方形BCC’B’中心，则四边形AEFG 在该正方体各个面的投影可能是.①② ③ ④16. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ）17. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A. 12B. 32C. 23 D. 6直观图正视图（11题） （12题） （13题）E 正视图侧视图俯视图A 主视俯视图左视正视俯视侧视CA二、点、直线、平面间的位置关系（切忌死记硬背，提倡灵活运用） （一）立体几何网络图：（二）空间角的求法：（了解）1. 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所 成的角。
立体几何初步章节复习
拼成一个正三棱锥型，使它的全面积与原
来三角形面积相等，则剪拼成的三棱锥的
体积是
2
12 __________． A
B
D
O
C
E
解:V 1 ( 3 12 ) 12 ( 2 3 1)2 2 .
34
32
12
应用举例
例5．边长为5cm的正方形ABCD是圆柱的轴 截面，则从A到C绕圆柱侧面的最短路程是
证法二：
过N作AB ∥PQ分别与两 个 平 面 交 于 A ， B. 连 AP
PR
A
，BQ，AR，BT.
M
AR∥BT AN＝BN
N
□PABQ，PM＝QM，
AN＝BN MN∥PA
Q
B
T
MN∥
应用举例
证法三：
连接QN并延长交平面
于点A.连AP，AR.
PR
A
根据 ∥
得QT∥AR.
M
N
又RN=NT，所以QN=NA.
D
C
P
D
C
A
B
PA
B
应用举例
（3）l∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD ．又平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l．
D
C
l
P
D
C
A
B
PA
B
应用举例
例15. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD
＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60．平面ACFE⊥平
面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，M为
正视图 侧视图
俯视图
应用举例
例1．下列几何体各自的三视图中，有且 仅有两个视图相同的几何体的序号是 ___________．（填上所有符合要求的）
立体几何单元复习
简单多面体：棱柱 棱锥 棱台
2.三视图：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等
3.表面积与体积：
• 斜二测画法的基本特点：
• 公理体系和推论：
• 空间的平行体系和垂直体系：
平行体系
线线平行 线面平行
垂直体系 线线垂直 线面垂直
面面平行
面面垂直
立体几何单元复习
• 复习目标： • 1.夯实基础，构建知识体系； • 2.强化训练，提高空间想象能力、 作图能力 、几何证明和计算能力；
• 空间几何体：基本特征、三视图特征、面 积和体积公式 • 多面体：棱柱、棱锥、棱球 圆柱 圆锥 圆台 1.简单几何体
立体几何复习资料
..DOC版. 立体几何复习资料（1）一、空间几何体1．1棱柱、棱锥和棱台知识点：1、棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
平移的起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面。
底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…2、棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。
3、棱台：棱锥被平行于地面的一个平面所截之后，截面和底面之间的部分叫做棱台。
1．2圆柱、圆锥、圆台和球知识点：1、将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着他的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做地面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。
2、球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球，半圆弧旋转而成的曲面叫做球面。
3、旋转面旋转体：一般的，一条平面曲线饶它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何称陈为旋转体。
1．3中心投影和平行投影1、投影：投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。
2、平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影，按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。
3、中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影。
4、视图：视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。
光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下地称为俯视图，自左向右地称为左试图，用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称之为三视图。
5、三视图要点主视图与左视图高要保持平齐，主视图与俯视图的长应对正，俯视图与左视图的宽度应相等（高平齐，宽相等，长对正）1．4直观图画法斜二测画法(1)在空间图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz=90°,∠y Oz=90°(2) 画直观图时把他们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，他们相交与O′，并使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°. x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面。
立体几何复习知识点
.
答案
(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量，
→ → → → → → → OM ＋xMA＋yMB 推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O，有OP＝
→ → → → 或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中 x＋y＋z＝ 1 .
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔ u1 ∥u2 . 3.用向量证明空间中的垂直关系
v2＝0 . (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔ v1·
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔ v∥u .
u 2＝ 0 . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔ u1⊥u2 ⇔ u1·
设n2＝(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，
— → n2· AA1＝0， 则 → AD＝0， n2· y＋ 3z＝0， 即 － 3x＋y＝0，
取 n2＝(1， 3，－1)，则〈n1，n2〉即为二面角 D－A1A－C 的平面角， n1· n2 5 ∴cos〈n1，n2〉＝ ＝ ， |n1||n2| 5
答案
1.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ 范围 求法 cos θ＝
|a· b| |a||b|
a与b的夹角β [0，π]
b cos β＝ a· |a||b|
答案
2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ， |a· n| a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝ . |a||n|
答案
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉 叫做向量a，b的数量积， b ，即a· 记作 a· b＝ |a||b|cos〈a，b〉 . (2)空间向量数量积的运算律
立体几何复习讲义
期末复习讲义（一）立体几何．基础知识．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达;3.8,请同学们自己梳理一下问题(还会吗?)(结合以前做过的题目)(1)和几何体的展开图及展开图还原的相关问题;(2)什么叫截面?如何找几何体的截面及和截面相关的问题;(3)如何利用等积法求三棱锥的体积及点到平面的距离?(4)探索性问题及折叠问题.综合例题讲解(一)类型一：平行垂直的证明例：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.工(1)求证：PA1±BC；(2)求证：PB1〃平面AC1D；(3)求证：B1D，平面ADC1.(二)类型二：求空间中的角/PAB=60。
AB=BC=CA平面例：如图在三棱锥P—ABC中/APB=90。
PAB1平面ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的正切值(II)求二面角B—AP—C的正切值(求异面直线与的夹角的余弦值。
(三)类型三：有关求体积或求距离的综合问题例3:如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.(2)求异面直线PB与CD所成角的正切值的大小;(3)线段AD上是否存在点。
，使得它到'平面PCD的总若不存在,请说明理由．PA(1)求证：PO，平面ABCD；C 0,,,3离为2? 存在，求出QD的值;(四)类型四:有关折叠的综合性问题(探索性问题等)例：如图Z ACB=45。
BC=3过动点作AD1BC垂足在线段上且异于点连接沿AD将^ABD折起使Z BDC=90。
(如图所示)(I)当BD的长为多少时三棱锥A-BCD的体积最大(II)当三棱锥A-BCD的体积最大时设点EM分别为棱BCAC的中点试在棱CD上确定一点N使得EN1BM。
AAMD・.CBE图1图2作业：如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB1C1C，底中面ABC.⑴若D是BC的中点，求证：AD±CC/⑵过侧面BB1C1C的对角线BC1的平山上侧面BB1c1C.C.2.如图，正方体的棱长为1,B'C n BC=0,求:(1)A0与A，C'所成角的度数；(2)A0与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面A0B与平面A0C所成角的度数.3..如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,,DB的中点.(1)求证：EF〃平面ABC1D1；(2)求证：EF±B1C；(3)求三棱锥B1-EFC的体积.AB1如图直三棱柱ABC—ABC中AC=BC=—AAD是棱AA1的中点DC11BD11121证明DC1BC1求二面角A—BD—C的大小11。
立体几何复习纲要
立体几何复习纲要一、空间几何体 1、点 线 面① 点、线、面 是构成几何体的基本元素。
② 平面 是没有厚薄、无限延展、平直的面。
③ 点动一定成线，线动可以成面，面动可以成体。
2、棱柱 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩斜棱柱一般直棱柱直棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。
平行六面体⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩斜平行六面体一般直平行六面体直平行六面体长方体（底面是矩形）正方体（棱长相等的长方体） 3、棱锥： 有一个面是多边形，其余各面是有共同顶点的三角形。
正棱锥： 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
4、棱台： 棱锥被平行底面的平面所截，截面和底面间的几何体。
正棱台：正棱锥截得的棱台。
5、圆柱、圆锥、圆台、6、球球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 ；不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 。
球面上两点间的距离：是经过这两点大圆对应的劣弧的长度。
7、平行投影与直观图① 用来表示空间立体图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。
② 直观图形一般用斜二测画法：实际图形中，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持 长度不变，平行于y 的线段长度减半，角度减半。
③ 直观图形的面积与实际图形面积的换算：24S S =直观实际 ；42S S =直观实际 。
8、三视图正投影：投射线与投射面垂直的平行投影。
主视图、俯视图、左视图都是正投影。
三视图中：“长对正，高平齐，宽相等”；即“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”。
9、直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥、正棱台、圆台、球的表面积 ① S ch =直棱柱侧面积 直棱柱的侧面积等于底面周长与高的乘积（或者等于各侧面面积之和）。
② 2S Rh π=圆柱侧面积圆柱的侧面积等于底面周长与高的乘积。
③ //11.22S n ah ch ==正棱锥侧面积正棱锥的侧面积等于n 个侧面三角形面积和， 或者等于底面周长和斜高/h 乘积的一半。
④ S Rl π=圆锥侧面积R 为底面半径，l 为圆锥的母线。
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专题三：立体几何§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1.棱柱的结构特征：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
2.棱锥的结构特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
3.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴。
5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
6.圆台的结构特征：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
圆台也可以看作由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
例题：如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．巩固练习：1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）A．六棱锥B．六棱台C．六棱柱D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体2下列说法中，正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱都相等D．棱柱的各条棱都相等3．构成多面体的面最少是（）A．三个B．四个C．五个D．六个4．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）A．一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台B．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台C．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台D．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台5．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（）A．圆锥B．圆柱C．圆台D．以上均不正确6．A、B为球面上相异两点, 则通过A、B可作球的大圆有（）A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个7．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？例题：长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可如上图中三种方法展开, 表面展开后, A 与C1两点间的距离===为从A 点沿表面到C1点的最短距离．§1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图； ②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；③会画一些几何体的三视图与直观图④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（1）多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。
可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。
圆柱的表面积：)(2222l r r rl r S +=+=πππ（其中r 是底面半径，l 是母线长） 圆锥的表面积：)(2l r r rl r S +=+=πππ（其中r 是底面半径，l 是母线长）圆台的表面积：)('22'rl l r r r S +++=π（其中r r ,'是圆台的上，下底面半径，l 是母线长）柱体的体积：Sh V =（S 为底面半径，h 为高）锥体的体积：Sh V 31=（S 为底面半径，h 为高） 台体的体积: h S S S S V )(31''++=（S S ,'分别是上，下底面面积，h 为圆台（棱台）的高）球的表面积：24R S π=（R 是球的半径） 球的体积：334R V π=（R 是球的半径） 巩固练习：1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（ ） A ． 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D.球体 2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（ ）A ． 球和圆柱B ． 圆柱和圆锥C ． 正方体和圆柱D ． 球和正方体3．如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，则主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）A ．平行且相等B ． 平行但不相等C ．. 相等但不平行D ． 既不平行也不相等 5．下列说法中正确的是（ ）A ． 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B ． 梯形的直观图可能是平行四边形C ． 矩形的直观图可能是梯形D ． 正方形的直观图可能是平行四边形6．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（ ）A ． 直角梯形B ．等腰梯形C ． 不可能是梯形D ．平行四边形 7．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）A ． 3B ． 223 C ． 6 D ．. 328．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 39．若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）A ．8R 2B ． 9R 2C ．10R 2D ．12R 210.一个长方体的顶点都在球面上，它的长，宽，高分别是cm cm cm 5,4,3，求球的体积 11.正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ）A ．81B ．241C ．242D ．48512．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________．13．A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．§1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号语言：ααβ⊂∈∈∈∈l B A l B l A 则且若,,,,作用是：判断直线是否在平面内。
◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．（确定平面的依据） 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行线，有且只有一个平面．注意：经过一点、两点或同一条直线的三点可能有无数个平面。
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 符号语言：l P l P P ∈=⋂∈∈且则且若,,,βαβα作用是：判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线。
巩固练习：1．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ）A ．N a α∈∈B ．N a α∈⊂C ．N a α⊂⊂D ．N a α⊂∈ 2． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ． 无法确定 3． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）A ． 4或6或7个部分B ． 4或6或7或8个部分C ． 4或7或8个部分D ． 6或7或8个部分4．下列说法正确的是（ ）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A ． ①②③B ． ②③④C ． ③④D ． ②③ 5．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）A ．1个B ．1个或2个C ．1个或3个D ．3个§1.2.2 空间两直线的位置关系重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。
（2）平行直线：同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
例题1．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm,BD=14cm ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN=72cm ， 求异面直线AC 与BD 所成的角．巩固练习：1．若a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是（ ）A ． 相交、平行或异面B ． 相交或平行C ． 异面D ． 平行或异面 2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ） A ． 一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ． 不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线3．M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，(1)求MN 与AD 所成的角；(2)求MN 与CD 1所成的角．4．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=3, BD=2, AC=2, 且AD BC , 则异面直线AC 和BD 所成的角为__________________．5. 正方体AC 1中，E 、F 分别是AB 、BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成的角的余弦值是A ．12B ．2C ．25D ．5§1.2.3 直线与平面的位置关系重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．直线与平面的位置关系有且只有三种： （1） 直线在平面内：有无数个公共点；（2） 直线与平面相交：有且只有一个公共点； （3） 直线与平面平行：没有公共点。
巩固练习：1．下面命题正确的是 （ ）A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这个平面相交MBFCNDAEDEM ABNPD ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行 2．下列命题正确的个数是（ ）①若直线 上有无数个点不在平面α内, 则l ∥α; ②若直线 与平面α平行, 则 与平面α内的任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面α平行, 则 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A ．0个B ． 1个C ． 2个D ．3个◆直线与平面平行的判断定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．（由线线平行⇒线面平行） 符号语言：a b a 且,,αα⊂⊄∥a b ⇒∥α◆ 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．（线面平行⇒线线平行） 符号语言：a ∥α，a b a ⇒=⋂⊂βαβ,∥b例题．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ACD ABC ∆∆和的重心， 求证： BD ∥平面CMN ；巩固练习1．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD.求证：（1）AC ∥平面MNP ； （2）平面MNP 与平面ACD 的交线∥AC ．§1.2.4平面与平面的位置关系： （1）两个平面平行：没有公共点； （2）两个平面相交：有一条公共直线。