§4.1 数学期望

设供电公司在某指定时段的供电 例4.1.5 设供电公司在某指定时段的供电 上均匀分布,而用户的 量X(万kWh)在[10,20]上均匀分布 而用户的 万 在 上均匀分布 需求量Y在 上均匀分布.设公司每供电 需求量 在[10,30]上均匀分布 设公司每供电 上均匀分布 1kWh获利 元.若需求量超过供电量 则公 获利0.1元 若需求量超过供电量 若需求量超过供电量,则公 获利 司可从电网上取得附加电量来补充,每供电 司可从电网上取得附加电量来补充 每供电 1kWh获利 获利0.05元.求供电公司在这段时间内 获利 元 求供电公司在这段时间内 获利的数学期望. 获利的数学期望 1.7083
Y
pk
g ( x1 )
p1
g( x2 )
p2
L
L
按照离散型数学期望的定义, 按照离散型数学期望的定义
E (Y ) = E ( g ( X )) = ∑∞=1 g ( xk ) pk . k
(2)若X是连续型的 其密度函数为 f ( x ), 若 若 是连续型的 是连续型的,其密度函数为
∞ 绝对收敛,则 广义积分 ∫−+∞ g ( x ) f ( x )dx 绝对收敛 则
(5)若X与Y独立 则 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ). 若 与 独立 独立,则 一般地,若 互相独立,则 一般地 若 X 1 , X 2 ,L, X n 互相独立 则
E (∏ n=1 X i ) = ∏ n=1 E ( X i ). i i
证明 设X与Y的联合密度为f ( x , y ), 边缘密度为 与 的联合密度为
+∞
定义4.1.2 设连续型随机变量 的密度函 设连续型随机变量X的密度函 定义
∞ 绝对收敛,则 数为 f ( x ),若广义积分 ∫−+∞ xf ( x )dx 绝对收敛 则
称这个积分为随机变量的数学期望 记为 称这个积分为随机变量的数学期望,记为 数学期望
E ( X ) = ∫− ∞ xf ( x )dx .
由于X与 独立 易知(X,Y)的联合密度为 独立， 解 由于 与Y独立，易知 的联合密度为
1 / 200, 10 ≤ x ≤ 20,10 ≤ y ≤ 30 f ( x, y) = 其它. 0, 利润函数 X ≥Y 0.1Y , Z = g ( X ,Y ) = 0.1 X + 0.05(Y − X ), X < Y
如图4.1所示，把矩形 ， × ， 分成 如图 所示，把矩形[10，20]×[10，30]分成 所示 两个区域 D1与D2 .则
E ( g ( X ,Y )) = ∫− ∞ ∫− ∞ g ( x , y ) ⋅ f ( x , y )dxdy 1 1 dxdy + ∫∫ 0.05( x + y ) ⋅ dxdy = ∫∫ 0.1 y ⋅ D1 D2 200 200 1 20 x 0.05 20 30 = ∫10 dx ∫10 ydy + ∫10 dx ∫x ( x + y )dy 2000 200 = 1.7083(万元 )
P ( x i −1 < X ≤ x i ) ≈ f ( x i ) ∆x i ( ∆x i = x i − x i −1 )
于是X的平均值近似地等于 i 于是 的平均值近似地等于 ∑n=1 xi f ( xi )∆xi . 记 λ = max{∆xi },当λ → 0时, 若 lim ∑n=1 xi f ( xi )∆xi i λ →0 i 存在,则这个极限值为 存在 则这个极限值为 I = ∫− ∞ xf ( x )dx .
§4.1 数学期望
4.1.1 数学期望的定义 某自动化车床在一天内加工的零件中， 某自动化车床在一天内加工的零件中，出 现次品的数量X是一个随机变量 由多日统计 现次品的数量 是一个随机变量.由多日统计 是一个随机变量 由多日统计, 得X的分布律如下 的分布律如下: 的分布律如下
X
0 1 2 3 4
pk = P ( X = x k ), k = 1,2,L.
绝对收敛,则 若级数 ∑ g ( xk ) pk绝对收敛 则
∞ k =1
E (Y ) = E ( g( X )) = ∑
∞ k =1
g ( x k ) pk .
仅对离散型情形予以证明.若 有分 证明 仅对离散型情形予以证明 若X有分 布律 pk = P ( X = xk ), k = 1,2,L，则Y = g( X )有 分布律
E ( X ) = ∑ ∞=1 x k pk . k
求例2.2.1中投篮次数 的数学期 中投篮次数X的数学期 例4.1.1 求例 中投篮次数 望.
X pk
1
2
3
4
0.7 0.21 0.063 0.027
设随机变量X在区间 在区间[-1， 上服从均匀 例 设随机变量 在区间 ，2]上服从均匀 分布， 分布，随机变量
E ( X + Y ) = ∫− ∞ ∫−∞ ( x + y ) f ( x , y )dxdy = ∫− ∞ ∫−∞ xf ( x , y )dxdy + ∫− ∞ ∫− ∞ yf ( x , y )dxdy = ∫− ∞ x[ ∫−∞ f ( x , y )dy ]dx + ∫− ∞ y[ ∫− ∞ f ( x , y )dx ]dy = ∫− ∞ xf X ( x )dx + ∫− ∞ yfY ( y )dy = E ( X ) + E (Y ).
E (Y ) = E ( g ( X )) = ∫− ∞ g ( x ) f ( x )dx .
+∞
该定理的重要性在于:不必求出随机变量 该定理的重要性在于 不必求出随机变量 函数的分布,可直接由 的分布求出其函数的 函数的分布 可直接由X的分布求出其函数的 可直接由 数学期望. 数学期望
定理4.1.2 设( X ,Y ) 为二维随机变量 为二维随机变量, 定理 的函数； Z = g ( X ,Y )是( X ,Y ) 的函数； (1)若 ( X ,Y )是离散型的 其联合分布律为 若 是离散型的,其联合分布律为
E ( Z ) = E ( g ( X ,Y )) = ∫− ∞ ∫− ∞ g ( x , y ) f ( x , y )dxdy .
+∞ +∞
设随机变量X的分布律为 例4.1.3 设随机变量 的分布律为
X
pk
2
−1
0
1
2
1/ 4 1/ 8 1/ 4 3 / 8
47 2; 96
1 求X 及 的数学期望 . X +2
于是
E (Y ) = E ( g( X )) = ∫0 ( −300) ⋅ 1 / 5e
1 −1 / 5 x
dx + ∫1 200 ⋅ 1 / 5e
−1 / 5 x + ∞ 1
+∞
−1 / 5 x
dx
= 300 ⋅ e
−1 / 5 x 1 0
− 200 ⋅ e
= 109.37 109.
即售出一个产品将赢利109.37元. 元 即售出一个产品将赢利
1, X > 0 Y = sgn( X ) = 0, X = 0 − 1, X < 0
则数学期望 E (Y ) = _____ .
的取值范围(有限区 设X有密度 f ( x ), 把X的取值范围间)分成 个不相交的小区间 x0 < x1 < L < xn , 分成 落入第i个小区间 则X落入第 个小区间( xi −1 , xi ] 的概率为 落入第
f X ( x )与 f Y ( y ), 则由独立性 , 有f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y )
从而
E ( XY ) = ∫− ∞ ∫− ∞ [ xyf ( x , y )]dxdy = ∫− ∞ ∫− ∞ [ xyf X ( x ) fY ( y )]dxdy = ∫− ∞ xf X ( x )dx ⋅ ∫− ∞ yfY ( y )dy = E ( X ) E (Y )
+∞
例4.1.2 设随机变量 X ~ e(λ ), 求E ( X ). 解 X的密度函数为 的密度函数为
λe f ( x) = 0
− λx
x>0 x≤0
+∞
所以
E ( X ) = ∫−∞ xf ( x )dx = ∫0 λxe − λx dx
+∞
= =
1
λ
1
(λ x )e −( λx ) d (λ x ) ∫0
定义4.1.1 设离散型随机变量 的分布律 设离散型随机变量X的分布律 定义 为
pk = P ( X = xk ), k = 1,2,L.
若级数 ∑∞=1 xk pk 绝对收敛 则称这个级数为随 绝对收敛,则称这个级数为随 k 机变量X的数学期望 或均数 均值),记为 或均数、 机变量 的数学期望(或均数、均值 记为
pk
0.15 0.27 0.44 0.10 0.04
问该车床平均一天出几个次品? 问该车床平均一天出几个次品
0
1
2
3 10
4 4
15 27 44
0 × 15 + 1 × 27 + 2 × 44 + 3 × 10 + 4 × 4 100 = 0 × 0.15 + 1 × 0.27 + 2 × 0.44 + 3 × 0.10 + 4 × 0.04 = 1.61
E (cX ) = ∫− ∞ cxf ( x )dx = c ∫− ∞ xf ( x )dx = cE ( X ).
+∞ +∞
问题： ) 问题：E(LE( X)L = ? 1 3 2
k
( 3) E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ).