2010全国大学生数学建模竞赛二等奖论文

储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要本文对A 试题进行了分析和研究。

为了解决加油站中储油罐的变位识别与罐容表标定问题，同时分析罐体变位对罐容表的影响，通过建立出在不同油位值情况下比较精准的罐内油位高度与储油量的函数关系模型，利用采集到的小椭圆型储油罐和实际储油罐的实验数据，借助相关软件对问题进行深入研究。

针对问题一：为了研究罐体变位后对罐容表的影响，本文首先根据所给的简化小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），利用微元法，建立出在不同油位值情况下的平头罐体油位高度与储油量的函数对应关系——积分模型（模型一）。

对于倾斜角为 4.1a =︒的纵向变位情况，通过等面积法找到倾斜时油标显示值H 1与对应同体积的水平状态下液高2H 的函数关系，从而得出倾斜角为 4.1a =︒时罐内油位高度与储油量的函数关系。

利用添加多项式对模型进行校正，用MATLAB 软件编程得到所加多项式的参数，得到贴近实际的油位高度与储油量的数学关系模型，并运用该模型得到初始油标值为0，间隔1cm 的罐容表标定值。

再用SPSS 软件中的曲线估计过程拟合得到小椭圆储油罐无变位时油位高度与储油量的函数关系，求解得到无变位时的罐容表。

通过比较小椭圆储油罐无变位和变位斜角为 4.1a =︒时的罐容表标定值，分析出罐体变位前后储油量最大差值大约为270L ，较小差值65L ，平均差值为178.87L ，说明小椭圆罐体变位后对罐容表的影响是很大的。

针对问题二：研究主体为圆柱体、两端为球冠体的实际储油罐，对其进行分段计算，主体1V 的求法沿用问题一中所建立的分段函数数学模型，两端球冠体采用近似椭球的体积求法。

建立出含有参数纵向倾斜角度α和横向偏转角度β的实际罐体显示与储油量的函数对应关系——积分模型（模型二）。

并根据所给采集数据在MATLAB 软件中利用最小二乘法估计出变位参数角度α和β的数值： 2.779, 4.693αβ==将得到的α和β估计值代入模型二中的分段函数关系式中，通过计算理论的累加出油量与检测数据的累加出油量差值，用SPSS 软件中的曲线估计过程拟合得到罐内探针、管线等所占的体积与显示油高的函数关系，并作为修正因子带入的建立的模型二中，得到修正后的模型二（实际罐体显示油高与储油量的函数关系式）。

运用该模型得到初始油标值为0，间隔10cm 的实际储油罐罐容表标定值。

同样用SPSS 软件中的曲线估计过程拟合得到实际储油罐显示油高与显示油量容积的函数关系，求解得到无变位时的罐容表。

通过比较两个罐容表，分析出实际平均差值为2123L ，平均相对误差达到14.54%。

说明实际储油罐罐体变位后对罐容表的影响是比较大。

最后使用中途补充进油之后的采集数据对模型二进行检验。

通过比较模型二得到的理论累加出油量与实际累加出油量，二者平均相对差值为0.162%，说明用最小二乘法拟合得到的参数α、β的估计值与真实值是非常接近的，也证明了所建立的模型二是正确的并且所运用的最小二乘法、曲线估计法等方法是可靠的。

关键字: 积分模型 微元法 最小二乘法 曲线估计 罐容表一、问题的提出“油位计量管理系统”是采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

有些储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。

典型的储油罐主体为圆柱体，两端为球冠体。

现研究典型的变位后罐内油位高度与储油量的对应关系，并对变形后的罐容表进行重新标定。

现在通过数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 4.1a=︒的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题的分析罐容表是储油罐内油位高度与储油量的对应关系。

当罐体变位时，储油罐内燃油的几何形状会发生改变，罐体在水平状态时的罐容表不再如实反映储油罐内油位高度与储油量的对应关系。

问题一：根据题中所给的储油罐尺寸，建立起罐体在不同位置状态下罐内油位高度与储油量的函数关系。

要想解出这种函数关系，应首先理清罐体在水平状态时储油罐内油位高度与储油量的关系。

确立这一关系后，可以利用一些等效几何关系将罐体变位后的罐内储油量转换为罐体在水平状态下的某一油位高度对应的储油量，进而初步确立罐体变位后的罐容表。

由于实际的储油罐并非简单的密闭容器，其内部还有一些管线。

为使所得到的数学模型能跟贴近实际，应根据附表中所给数据进行相关修正，并利用相关实际数据对修正后的模型进行验证，进而得到更贴近真实的罐体变位的罐容表标定值。

问题二：在建立实际油罐的数学模型时，可在问题一中已建立的模型基础上，分别探究罐体发生纵向倾斜和横向偏转时，含有参数α和度β的实际罐体油位高度与储油量的函数对应关系。

利用MATLAB软件，通过最小二乘法可以估计出变位参数角度α和β的数值。

三、模型的假设1、储油罐的几何形状均是规则的，内部不存在凸凹是完全光滑的；2、不考虑温度对油体积变化的影响；3、在问题1中罐体的变位只是纵向变位，问题2中储油管的变位也只是纵向倾斜和横向偏转，不存在其他形式的变位；4、忽略油浮子的体积，并假设油浮子及油位探针之间无摩擦，移动是灵活的；5、附表中的数据均是真实可信的采集数据，不存在会导致结果不真实的问题。

四、符号的约定与说明a——椭圆体截面的长轴半径b——椭圆体截面的短轴半径c——实际油罐中球冠体的近似椭球形的横轴半径S——罐内所储油的截面面积H——在油浮子处的油深1H——水平状态时的相当高度2h——发生纵向倾斜和横向倾斜时的显示油高α——纵向倾斜角度β——横向偏转角度R——实际油罐直圆柱部分的半径D——实际油罐直圆柱部分的直径L——小椭圆型储油罐/实际油罐内的纵向长度L——油罐从一端开始到油位探针在储油罐底面投影点的距离1V——小椭圆型储油罐/实际油罐内的燃油体积V——实际油罐中直圆筒部分燃油的体积1V——实际油罐中左边球冠体内燃油的体积2V——实际油罐中右边球冠体内燃油的体积3x——进行曲线拟合时的自变量y——进行曲线拟合时的因变量五、模型的建立与求解问题1：为了研究罐体变位后对罐容表的影响，根据所给的简化小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），利用微元法建立出在不同油位值情况下的平头罐体油位高度与储油量的函数对应关系——积分模型（模型一）。

问题一的解题过程如图1-1所示。

图1-1 问题一的解题过程示意图对于倾斜角为 4.1a =︒的纵向变位情况，通过等面积法找到倾斜时油标显示值1H 与对应同体积的水平状态下液高2H 的函数关系，从而得出倾斜角为 4.1a =︒时罐内油位高度与储油量的积分模型。

利用添加修正因子对模型进行校正，得到贴近实际的油位高度与储油量的数学关系模型。

模型一 平头罐体内油位高度与储油量的函数关系 ——积分模型1、罐体无变位时的积分模型当罐体无变位时，利用微元法推导得出在不同油位值情况下的油位高度2H 与平头罐体储油量V 的函数关系，建立油位高度与储油量的积分模型。

首先，建立如图1-2所示的坐标系，平头罐体的横截面积为椭圆形，其长半轴为a ，短半轴为b ，油面高度为2H （图中CD ）。

图1-2-1 图 1-2-2图1-2 油罐的椭圆横截面积积分示意图在图1-2坐标系下的椭圆方程为：22221x y a b+= （1） 直线AB 的方程为：AB 2()y b H =-- （2）由（1）式得到的曲线ACB 的方程为：ACB y =将（2）式代入（1）式，整理后得到：x =微元面积（图1-2中所示黑条面积）：d S y d x =其中[]AB ACB 2()y y y b H ⎡=-=---⎢⎣ 当油面低于O 点时（即20H b <≤时），如图1-2-1所示，油面横截面积为：[]())2022022()2arcsin 2xS b H dx b a x H b x a a H b ab ⎡=---⎢⎣⎡⎫=-+⎢⎥⎪⎭⎣⎦=-+⎰ （3）当油面高于O 点时（即22b H b <≤时），如图1-2-2所示，同理可得油面横截面积为)2S ab b H ab π=--+⎥⎦（4） 其次，根据无倾斜时的罐体内油量V S L =⋅，按照2H 的不同情况将列出如下表达式：（1）当20H b <≤时：)2V H b abL =-+ （5） （2）当22b H b <≤时：)2V abL L b H ab π=--+⎥⎦（6） 上述表达式（5） （6）为平头罐体无变位时，储油量与油位高度的积分模型。

2、罐体有变位时的积分模型罐体发生变位后油罐内的燃油变成了不规则的几何体，罐体内油位高度与储油量不再满足水平状态下的关系。

由于纵向倾斜角很小（4.10），利用等面积法（即将罐内燃油的纵向截面形状转化为相等面积的矩形），将有变位时的油体积转化为无变位时的油体积，再利用罐体无变位时的函数关系求解，得到罐体发生纵向倾斜变位时的积分模型。

首先，按照等面积法求出有变位时油位高度1H 与水平状态时的相当高度2H 的函数关系211()H F H =。

有变位时的储油量V 等于在相当高度2H 时的油面横截面积与储油罐纵向长度的乘积，函数关系为22()V F H =。

根据1f 和2f 的表达式可推导出储油量V 和油位高度1H 的函数关系，即1()V F H =。

过程如下：图1-3中显示了罐体倾斜时储油罐中的油面情况，其中2OM FQ 2b ==（椭圆短轴），1GQ H =（变位时油位高度），12EC H =（水平状态时的相当高度）, 1OB N =（变位时油面较高处的油深），12AC N =（变位时油面较低处的油深），WP H =，1OC L =，1OQ L =。

图1-3 罐体倾斜时储油罐的纵向截面其次，将该模型根据油面位置的高低分四段来推导其几何关系：（1）当油面处于11M C 油面下时，即1220tan H L α≤≤，罐内所储油的纵向截面为三角形（如图1-4）。