中南大学研究生入学考试试题高等代数
中南大学研究生入学考试试题高等代数
中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目:高等代数注:以下2R 表示n 维实列向量空间,n n R ⨯表示n 阶实矩阵的全体,T A 表示矩阵A 的转置,()Tr A 表示矩阵A 的迹。
一、(20分)设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量,,0k R k ∈≠,定义变换00(,),Tx x k x x x x V =+∈1.验证T 是线性变换; 2.设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ,求在该基下的矩阵;3.证明T 为对称变换,即(,)(,)Tx y x Ty =,,x y V ∀∈; 4.证明:T 为正交变换的充要条件是22k x =-。
二、(16分)设n n A R ⨯∈,记(){:,}.n n C A B AB BA B R ⨯==∈1.证明:()C A 是n n R ⨯的子空间; 2.当A I =时,求()C A ; 3.当100002000A n ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时,求()C A 的维数和一组基。
三、(16分)设12(,,,)T n b b b b =为n 维非零列向量,求矩阵00H b A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量,其中H b 表示列向量b 的共轭转置。
四、(14分)设,,n n n A R b x R ⨯∈∈,证明线性方程组T T A Ax A b =必有解。
五、(12分)设,A B 为n 阶实矩阵,证明0.A B BA≥-六、(12分)求证:A 为幂零阵(即存在正整数m ,使得0m A =)的充要条件是:对任一自然数r ,有()0.r Tr A =七、(10分)设,A B 是n 阶实对称矩阵,0A ≠,证明:A 为正定矩阵的充要条件是,对所有正定矩阵B ,恒有()0.Tr AB >中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目:高等代数一、填空题:(每小题6分,共30分)1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=,1234(,,,)B βααα=,其中1234,,,,ααααβ为4维列向量,若||1,||2A B ==,则||()A B +=。
高等代数习题及答案
⾼等代数习题及答案⾼等代数试卷⼀、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每⼩题1分,共10分)1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式,那么)(x p 在F 中必定没有根。
()2、若线性⽅程组的系数⾏列式为零,由克莱姆法则知,这个线性⽅程组⼀定是⽆解的。
()3、实⼆次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
()4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的⼀个⼦空间。
() 5、数域F 上的每⼀个线性空间都有基和维数。
()6、两个n 元实⼆次型能够⽤满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
()7、零变换和单位变换都是数乘变换。
() 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。
()9、欧⽒空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
()10、若n ,,,21 是欧⽒空间V 的标准正交基,且 ni i i x 1,那么 ni ix12。
()⼆、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案,并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。
答案选错或未作选择者,该题⽆分。
每⼩题1分,共10分)1、关于多项式的最⼤公因式的下列命题中,错误的是()① n n nx g x f x g x f,, ;② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ;③ x g x g x f x g x f ,, ;④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是⼀个n 阶⾏列式,那么()①⾏列式与它的转置⾏列式相等;②D 中两⾏互换,则⾏列式不变符号;③若0 D ,则D 中必有⼀⾏全是零;④若0 D ,则D 中必有两⾏成⽐例。
3、设矩阵A 的秩为r r (>)1,那么()①A 中每个s s (<)r 阶⼦式都为零;②A 中每个r 阶⼦式都不为零;③A 中可能存在不为零的1 r 阶⼦式;④A 中肯定有不为零的r 阶⼦式。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、(清华2000—20分)试求7次多项式()f x ,使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、(南航2001—20分)(1)设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ,求p,q 之值。
(2)设f(x),g(x),h(x)∈R[x],而满足以下等式 (x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 (x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明:x 2+1∣f(x),x 2+1∣g(x) 3、(北邮2002—12分)证明:x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n (这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、、(北邮2003—15分)设在数域P 上的多项式g 1(x),g 2(x ),g 3(x ),f(x),已知g 1(x)∣f(x),g 2(x)∣f(x), g 3(x)∣f(x),试问下列命题是否成立,并说明理由:(1)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)两两互素,则一定有g 1(x),g 2(x),g 3(x)∣f(x) (2)如果g 1(x),g 2(x), g 3(x)互素,则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、(北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身,则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、(大连理工2003—12分)证明:次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是,对任意的多项式g(x),h(x) ,由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x),或者对某一正整数m ,f(x)∣h m (x)。
7、(厦门2004—16分)设f(x),g(x)是有理数域上的多项式,且f(x)在有理数域上不可约。
中南大学2013年高等代数
中南大学2013年硕士研究生入学考试试题(883高等代数)一、(16分)设12,,,n ααα 是n 个(2)n ≥互不相同的整数.证明: 1()()()1n f x x a x a =--- 不能表示成两个次数大于零的整系数多 项数之积.二、(16分)计算n 阶2n ≥行列式1221233312211111221000100111n n n n n n n nnnnk C k C C k D C C C k C C C k ------=其中k 为正整数。
三、(14分)设12(,,,)n A a a a = 是数域F 上的一个m n ⨯矩阵,对A 施 行若干初等行变换后得到矩阵12(,,,)n B b b b = 。
证明: 1.向量组12,,,n a a a 中的向量12,,,j j jk a a a 线性无关的充要条件是 向量组12,,,n b b b 中的向量12,,,j j jk b b b 线性无关; 2.向量组12,,,n a a a 中的向量12,,,ri i i i a a a a 满足121212(,,,)ri i i r i r a k a k a k a k k k F =+++∈ 的充要条件是向量组12,,,n b b b 中的向量12,,,ri i i i b b b b 满足1212ri i i r i b k b k b k b =+++ 。
四、(16分)设m n ⨯矩阵A 的秩为r 。
1.证明:存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶矩阵Q ,使得000rE PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭, 其中r E 为r 阶单位矩阵;2.证明:存在m r ⨯矩阵B 和r n ⨯矩阵C ,使得秩B=秩C=r 且A=BC ;3.设计一个用矩阵的初等变换求1.中P 与Q 的方法。
五、(14分)设A,B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵,满足ABA=A ,b 是一个 m 维列向量。
证明:方程Ax=b 有解的充要条件是ABb=b ,且在 有解时,通解为()n x Bb E BA y =+-,其中n E 为n 阶单位矩阵,y 为任意n 维列向量。
中南大学考试卷
中南大学第二学期期末考试试卷考试科目高等数学考试时间:100分钟 试卷总分100分一、填空题(每小题10分,总计60分)1、螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在xoy 上的投影曲线方程为 .222()x y a += 2、设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中,f g 均可微,则z x ∂=∂ .1221()y yf f g y x '''+- 3、设()12sin cos x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 .(220)y y y '''-+= 4、二次积分10x y dx dy y =⎰ .(1sin1)- 5、设L 为逆时针取向的圆周222x y R +=,则22L ydx xdy x y -=+⎰Ñ .(2)π- 二、设平面π是过直线3220260x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面, 且点()1,2,1M 到平面π的距离为 1,求平面π的方程. 解:(22100;43160)x y z y z ++-=+-=三、设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y x y f x y x y ⎧++++≠⎪+=⎨⎪+=⎩(1)问(),f x y 在原点()0,0处是否连续?(2)问(),f x y 在原点()0,0处的偏导数是否存在?(3)问(),f x y 在原点()0,0处是否可微?解:(1)连续;(2)存在;(3)可微.四、设Ω是由z =及1z =围成的立体, 求221zdv x y Ω++⎰⎰⎰.解:1(ln 2)2π-五、(1)求函数23u x y z =-+在222236x y z ++=条件下的最大值与最小值.(2)求圆锥面222z x y =+被柱面222x y x +=截下有限部分的面积.解:(1)6±;(2).六、计算333x y z I dydz dzdx dxdy r r r ∑=++⎰⎰Ò,其中∑取曲面2222x y z a ++=的外侧. 解:4π七、(1)计算23ydx xzdy yz dz Γ--⎰Ñ,其中Γ为曲面222x y z +=与平面2z =的交线,从z 轴正向看是逆时针方向.(20)π-(2)求方程()3232(3)30x xy dx y x y dy -+-=的通解.解:44226x y x y c +-=八、设()),0u f r r r ==>,其中f 具有二阶连续导数,且函数u 满足方程2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂,求函数()f r 求的表达式.解:112c r c -=+。
高等代数考研试题精选
《高等代数》试题库一、选择题1.在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是( )。
A .零多项式B .零次多项式C .本原多项式D .不可约多项式2.设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k ( )。
A .1 B .2 C .3 D .43.以下命题不正确的是 ( )。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则;B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域;C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式;D .设()'()1p x f x k -是的重因式,则()()p x f x k 是的重因式4.整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D .既不充分也不必要5.下列对于多项式的结论不正确的是( )。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ,那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ,那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ,那么][)(x F x h ∈∀,有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ,那么)()(x h x f6. 对于“命题甲:将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -;命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立;B . 甲不成立, 乙成立;C .甲, 乙均成立;D .甲, 乙均不成立7.下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根;B . 代数基本定理适用于复数域;C .任一数域包含Q ;D . 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8.设ij D a =,ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
中南大学研究生入学考试数学分析试题
2002年一、(共18分,每小题6分)求下列极限(1)lim ,(0)n n n n n x x x x x --→+∞->+; (2)1lim ()1x x x x →+∞+-;(3)01lim sin AA xdx A→∞⎰。
二、(共16分,每小题8分)设函数()sin f x xπ=,(0,1)x ∈(1)证明()f x 连续;(2)()f x 是否一致连续?(请说明理由)。
三、(共16分,每小题8分) (1)设ax by u e +=,求n 阶全微分n d u ;(2)设cos u x e θ=,sin u y e θ=,变换以下方程22220z zx y ∂∂+=∂∂。
四、(共20分,每小题10分)(1)求积分101ln 1dx x-⎰;(2)求曲面22az x y =+ (0)a >,和z =所围成的体积。
五、(共12分,每小题6分)设1cos 21p qn n n I nπ∞==+∑,(0)q > (1)求I 的条件收敛域; (2)求I 的绝对收敛域。
六、证明:积分2()0()x a F a e dx +∞--=⎰是参数a 的连续函数。
七、(8分)设定义于(,)-∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ,且(1)0f -=,(1)1f =,(1)(0)0f =证明:(3)(1,1)sup ()3x f x ∈-≥。
2003年一、(共27分,每小题9分)求下列极限(1)lim n →+∞; (2)12200lim[3(cos )]xxxx t dt →+⎰;(3)设()f x 在[0,1]上可积,且1()1f x dx =⎰,求1121lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。
二、(共24分,每小题12分)设函数()f x 在[,)a +∞上连续, (1)证明:若lim ()x f x →+∞存在,则()f x 在[,)a +∞上一致连续;(2)上述逆命题是否成立?(请给出证明或举出反例)。
高等代数综合考试试题
高等代数综合考试试题一、选择题(每题3分,共20题,总分60分)1. 高等代数的基本概念中,下列哪个选项是正确的?A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容?A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵,若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$,则矩阵A的阶数n最小可能是:A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$,若$A^{-1}$存在,则方程组的解为:A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2,特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为:A. -1,2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1,-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1,2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1,-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵,若A的行列式$|A|=0$,则下列哪个选项是正确的?A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题(每空3分,共10题,总分30分)1. 设A为对称矩阵,若$A^2 = 4I$,则A的特征值为______。
中南大学研究生入学考试试题高等代数
中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目:高等代数注:以下2R 表示n 维实列向量空间,n n R ⨯表示n 阶实矩阵的全体,T A 表示矩阵A 的转置,()Tr A 表示矩阵A 的迹。
一、(20分)设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量,,0k R k ∈≠,定义变换1. 验证T 是线性变换;2. 设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ,求在该基下的矩阵;3. 证明T 为对称变换,即(,)(,)Tx y x Ty =,,x y V ∀∈;4. 证明:T 为正交变换的充要条件是202k x =-。
二、(16分)设n n A R ⨯∈,记1. 证明:()C A 是n n R ⨯的子空间;2. 当A I =时,求()C A ;3. 当时,求()C A 的维数和一组基。
三、(16分)设12(,,,)T n b b b b =为n 维非零列向量,求矩阵 的特征值和特征向量,其中H b 表示列向量b 的共轭转置。
四、(14分)设,,n n n A R b x R ⨯∈∈,证明线性方程组必有解。
五、(12分)设,A B 为n 阶实矩阵,证明六、(12分)求证:A 为幂零阵(即存在正整数m ,使得0m A =)的充要条件是:对任一自然数r ,有()0.r Tr A =七、(10分)设,A B 是n 阶实对称矩阵,0A ≠,证明:A 为正定矩阵的充要条件是,对所有正定矩阵B ,恒有()0.Tr AB >中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目:高等代数一、填空题:(每小题6分,共30分)1、 设四阶方阵1234(,,,)A αααα=,1234(,,,)B βααα=,其中1234,,,,ααααβ为4维列向量,若||1,||2A B ==,则||()A B +=。
2、 设六阶方阵A 的秩等于4,则A 的伴随矩阵*A 的秩等于()。
3、 设三阶方阵A 的行列式1||2A =,1A -为A 的逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,则*11|()|()2A A --=。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题15分,每小题3分)1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵,其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=,则=B 。
2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且3||=A ,则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ,且2)(=A R ,则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ,则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 .5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=,则=a 。
二、选择题(本题15分,每题3分)1、设A 是n 阶方阵,则0||=A 的必要条件是( )。
(A )A 中两行(列)元素对应成比例; (B)A 中有一行元素全为零; (C)任一行元素为其余行的线性组合; (D )必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵,B 是n 阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( ) (A )BAB ; (B )ABA ; (C )ABAB ; (D )BABA .3、设向量组()()(),,,,,,,,,TTTt 31321111321===ααα当=t ( )时,向量组321ααα,,线性相关。
(A)5(B)4(C )3(D )24、设A 为34⨯矩阵,321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量,21,k k 为任意常数,则非齐次线性方程组b Ax =的通解为( )。
(A ))(212132ηηηη-++k ; (B))(212132ηηηη-+-k ; (C ))()(213212132ηηηηηη-+-++k k ; (D ))()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
最新高等代数全国考研试题精选打印版.doc(PDF版)
《高等代数》试题库一、选择题1.在F[x]里能整除任意多项式的多项式是()。
A.零多项式B.零次多项式C.本原多项式D.不可约多项式2.设g(x)=x+1是f(x)=x-k x+4kx+x-4的一个因式,则k=()。
6242A.1B.2C.3D.43.以下命题不正确的是()。
A.若f(x)|g(x),则f(x)|g(x);B.集合F={a+bi|a,b∈Q}是数域;C.若(f(x),f'(x))=1,则f(x)没有重因式;D.设p(x)是f'(x)的k-1重因式,则p(x)是f(x)的k重因式4.整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( )条件。
A.充分B.充分必要C.必要D.既不充分也不必要5.下列对于多项式的结论不正确的是()。
A.如果f(x)g(x),g(x)f(x),那么f(x)=g(x)B.如果f(x)g(x),f(x)h(x),那么f(x)(g(x)±h(x))C.如果f(x)g(x),那么∀h(x)∈F[x],有f(x)g(x)h(x)D.如果f(x)g(x),g(x)h(x),那么f(x)h(x)6.对于“命题甲:将n(>1)级行列式D的主对角线上元素反号,则行列式变为-D;命题乙:对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有( )。
A.甲成立,乙不成立;B.甲不成立,乙成立;C.甲,乙均成立;D.甲,乙均不成立7.下面论述中,错误的是( )。
A.奇数次实系数多项式必有实根;B.代数基本定理适用于复数域;C.任一数域包含Q;D.在P[x]中,f(x)g(x)=f(x)h(x)⇒g(x)=h(x)A 11 A 12 ... A 1n A21...An1 A22...An2 .........A2n...Ann8.设D=aij ,Aij为aij的代数余子式,则=( )。
A.DB.-DC.D/D.(-1)n D49.行列式31-250a 中,元素a 的代数余子式是()。
中南大学2002-2009研究生入学考试试题高等代数
中南大学2002-2009研究生入学考试试题高等代数中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目:高等代数注:以下2R 表示n 维实列向量空间,n n R ?表示n 阶实矩阵的全体,T A 表示矩阵A 的转置,()Tr A 表示矩阵A 的迹。
一、(20分)设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量,,0k R k ∈≠,定义变换00(,),Tx x k x x x x V=+∈1.验证T 是线性变换;2.设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ ,求在该基下的矩阵;3.证明T 为对称变换,即(,)(,)Tx y x Ty =,,x y V ?∈; 4.证明:T 为正交变换的充要条件是22k x =-。
二、(16分)设n n A R ?∈,记(){:,}.n nC A B AB BA B R==∈1.证明:()C A 是n n R ?的子空间; 2.当A I =时,求()C A ;3.当100002000A n ?? ? ?= ? ???时,求()C A 的维数和一组基。
三、(16分)设12(,,,)T n b b b b = 为n 维非零列向量,求矩阵0H b A b=?的特征值和特征向量,其中H b 表示列向量b 的共轭转置。
四、(14分)设,,n n n A R b x R ?∈∈,证明线性方程组TTA Ax A b=必有解。
五、(12分)设,A B 为n 阶实矩阵,证明0.A B BA ≥-六、(12分)求证:A 为幂零阵(即存在正整数m ,使得0m A =)的充要条件是:对任一自然数r ,有()0.r Tr A =七、(10分)设,A B 是n 阶实对称矩阵,0A ≠,证明:A 为正定矩阵的充要条件是,对所有正定矩阵B ,恒有()0.Tr AB > 中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目:高等代数一、填空题:(每小题6分,共30分)1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=,1234(,,,)B βααα=,其中1234,,,,ααααβ为4维列向量,若||1,||2A B ==,则||()A B +=。
中南大学线性代数试卷
考试试卷1闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题 分,每小题 分)、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵,其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=,则=B 。
、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且3||=A ,则=-*|)(|1A 。
、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ,且2)(=A R ,则=t 。
、若n 阶方阵A 有特征值λ,则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=,则=a 。
二、选择题(本题 分,每题 分)、设A 是n 阶方阵,则0||=A 的必要条件是( )。
( )A 中两行(列)元素对应成比例;( )A 中有一行元素全为零;( )任一行元素为其余行的线性组合; ( )必有一行元素为其余行的线性组合。
、设A 是n 阶对称阵,B 是n 阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是( )( )BAB ; ( )ABA ; ( )ABAB ; ( )BABA 。
、设向量组()()(),,,,,,,,,TTTt 31321111321===ααα当=t ( )时,向量组321ααα,,线性相关。
( )( )( )( )、设A 为34⨯矩阵,321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的 个线性无关的解向量, 21,k k 为任意常数,则非齐次线性方程组b Ax =的通解为( )。
( ))(212132ηηηη-++k ; ( ))(212132ηηηη-+-k ;( ))()(213212132ηηηηηη-+-++k k ; ( ))()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
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中南大学2002年研究生入学考试试题高等代数注:以下2R 表示n 维实列向量空间,n n R ⨯表示n 阶实矩阵的全体,T A 表示矩阵A 的转置,()Tr A 表示矩阵A 的迹。
一、(20分)设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量,,0k R k ∈≠,定义变换00(,),Tx x k x x x x V =+∈1.验证T 是线性变换;2.设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ ,求在该基下的矩阵;3.证明T 为对称变换,即(,)(,)Tx y x Ty =,,x y V ∀∈; 4.证明:T 为正交变换的充要条件是22k x =-。
二、(16分)设n n A R ⨯∈,记(){:,}.n n C A B AB BA B R ⨯==∈1.证明:()C A 是n n R ⨯的子空间; 2.当A I =时,求()C A ; 3.当10000200000A n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时,求()C A 的维数和一组基。
三、(16分)设12(,,,)T n b b b b = 为n 维非零列向量,求矩阵00H b A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量,其中H b 表示列向量b 的共轭转置。
四、(14分)设,,n n n A R b x R ⨯∈∈,证明线性方程组T T A Ax A b =必有解。
五、(12分)设,A B 为n 阶实矩阵,证明0.A B BA ≥-六、(12分)求证:A 为幂零阵(即存在正整数m ,使得0m A =)的充要条件是:对任一自然数r ,有()0.r Tr A =七、(10分)设,A B 是n 阶实对称矩阵,0A ≠,证明:A 为正定矩阵的充要条件是,对所有正定矩阵B ,恒有()0.Tr AB >中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目:高等代数一、填空题:(每小题6分,共30分)1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=,1234(,,,)B βααα=,其中1234,,,,ααααβ为4维列向量,若||1,||2A B ==,则||()A B +=。
2、设六阶方阵A 的秩等于4,则A 的伴随矩阵*A 的秩等于()。
3、设三阶方阵A 的行列式1||2A =,1A -为A 的逆矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,则*11|()|()2A A --=。
4、设A 为n 阶可逆矩阵,如果交换A 的第i 行与第j 行得到B ,则1()BA -=。
5、设A 为n 阶方阵,若3A E ≠,秩(3)A E -+秩(5)A E n +=,则数()λ=必为A 的特征值。
二、(本题满分20分)设()f x 是数域P 上的一个n 次多项式,这里1n >,且设()f x 的一阶微商可以整除()f x 。
证明()()n f x a x b =-,这里,,0a b P a ∈≠。
三、(本题满分20分)解方程组12312322221231x x x ax bx cx da xb xc x d⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 其中,,a b c 为互不相同的常数。
四、(本题满分25分)设P 是一个数域A 是n n P ⨯中的一个矩阵,令(){()|()[]}.F A f A f x P x =∈证明:(1)()F A 是n n P ⨯的一个线性子空间; (2)可以找到非负整数m ,使2,,,,m E A A A是()F A 的一组基;(3)()F A 的维数等于A 的最小多项式的次数。
五、(本题满分25分)设2R 是实数域R 上的2维向量空间,22:T R R → 1221(,)(,)x x x x →- 是线性变换。
(1) 求T 在基12(1,2),(1,1)αα==-下的矩阵;(2) 证明对于每个实数C ,线性变化T CE -是可逆变换,这里E 是2R 上的恒等变换;(3) 设T 在2R 的某一基下的矩阵为11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭证明乘积1221a a ⨯不等于零。
六、(本题满分20分)设,A B 为n n ⨯矩阵。
证明:如果0AB =,那么 秩()A +秩()B n ≤。
七、(本题满分10分)设,,n nA B C R⨯∈,若矩阵T A B B C ⎛⎫⎪⎝⎭是正定的,证明1TC BA B--也正定。
中南大学2004年研究生入学考试试题考试科目:高等代数下面的E 均为n 阶单位矩阵。
一、填空。
(5分×5=25分)1、当k =______时,向量(1,,5)k β=能由向量1(1,3,2)α=-,2(2,1,1)α=-线性表示。
2、假设n 阶方阵A 满足2320A A E -+=,则A 的特征值为______。
3、已知n 阶方阵A 满足2230A A E +-=,则1(4)A E -+=______。
4、设A 是n 阶方阵,满足T AA E =(T A 是A 的转置矩阵),||0A <,则||A E +=______。
5、设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1,2,,n ,则当满足______时,tE A -为正定矩阵。
二、计算n 阶行列式。
(15分)12222122221212111nnn n n nnn nnx x x x x x D x x x x x x ---=三、证明方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩有解的充要条件是510i i a ==∑,在有解的情况下求出它的一切解。
(15分)四、证明,若方程30x px q ++=的两个跟α和β有关系式0αβαβ++=,则2()q p q -=-。
(15分)五、(20分)1、证明:向量12(1,1,,1,1),(1,1,,1,0),,(1,0,,0)n ααα=== 是n 维向量空间的一组基。
2、求向量12(,,,)n a a a α= 在此基下的坐标。
六、设100101010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,证明当3n ≥时,有22n n A A A E -=+-,并求100A (E 为3阶单位矩阵)。
(20分)七、设实二次型122121()n si i i n i f a x a x a x ==++∑ ,证明:f 的秩等于矩阵111212122212n n s s sn a aa a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩。
(20分) 八、设A 、B 分别为n 阶正定矩阵和半正定矩阵,证明||||||A B A B +≤+,且仅当0B =时取等号。
(20分)南大学2005年研究生入学考试试题考试科目:高等代数1.(10分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵),0A <,求:A E +. 2.(12分)求证:下列齐次线性方程组的可解性:122122120,2220,0.n nn n n x x x x x x nx n x n x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 3.(12分)设()f x 和()g x 是数域p 上的多项式,n 为正整数.证明:如果()|()n n f x g x ,则()|()f x g x .4.(15分)设1(1,2,3)α=,2(3,1,2)α=-,3(2,3,)t α=.求解:(1) t 为何值时,123,,ααα线性无关? (2) 选取t ,将3α表示成12,αα的线性组合。
5.(15分) 设二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+问t 取何值时,该二次型为正定型? 6.(12分)设A 是非奇异实对称矩阵,B 是反对称矩阵,且AB BA =。
证明A B +必是非奇异的。
7.(20分)设矩阵A 的一个特征值为3,10010000010012A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(1)求a ; (2)求矩阵P ,使()T AP AP 为对角矩阵。
8.(12分)设A 与B 是n 阶矩阵,证明AB 与BA 有相同的特征值。
9.(20分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,满足:2A A =。
证明:(1)A 的核(){|}Ker A A V ξξξ=-∈;(2)V 等于A 的核与值域的直和:()Im()V Ker A A =⊕。
10.(25分)设η是欧氏空间V 中的单位向量,定义2(,)A ααηαη=-。
证明: (1)A 是正交变换。
这样的正交变换称为镜面反射。
(2)A 是第二类的正交变换。
(3)如果在n 维欧氏空间中,正交变换B 以1作为一个特征值,且属于1的特征子空间1V 是1n -维的,那么B 是镜面反射。
中南大学2006年研究生入学考试试题试题类型:高等代数一、填空题(每小题5分,共25分)1、若二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定的,则t 的取值范围为( )2、设A 为五阶矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,若秩()A +秩*()5A =,则秩()A =( )3、设A 为四阶矩阵,且1A =,B 为交换A 的两列得到的矩阵,则2B 的值为( )4、设T 是向量空间,2P 的线性变换,221221:(,)(,)T P P x x x x →- 则T 在基12(1,2),(1,1)αα==-下的矩阵为( )5、设125,,,ααα 线性无关,且125,,,ααα 可以由向量组12,,,t βββ 线性表出,而12,,,t βββ 可以由向量组128,,,γγγ 线性表出,则t 的取值范围为( ) 二、(本题满分15分)求证:21x x ++整除32313m n p x x x ++++,这里,,m n p 是正整数.三、(本题满分15分)设,A B 都是n 阶矩阵,则证明AB 与BA 有相同的特征多项式.四、(本题满分15分)计算n 级行列式11122221211111121100011001011n n n n n n nnnnC x C C xD C C C x C C C x ------=五、(本题满分20分)设1α为线性变换T 的特征向量,1()0T E λα-=,这里E为恒等变换,且向量组12,,,r ααα 满足1(),1,2,, 1.i i T E i r λαα+-==- 证明:向量12,,,r ααα 线性无关.六、(本题满分20分)设12,,,r ααα 是欧氏空间V 的一标准正交向量组,证明:V β∀∈有221,.ri i βαβ=<>≤∑七、(本题满分20分)设T 是n 维向量空间V 的线性变换,且20.T =证明2dim(Im()),T n ≤这里0表示零变换,dim(Im())T 表示象空间的维数.八、(本题满分20分)设A 为m n ⨯实矩阵,秩()A n =,证明: (1)(15分)'A A 是正定矩阵;(2)(5分)方程组0AX =只有零解,这里123n x x X x x ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.中南大学2007年研究生入学考试试题考试科目:高等代数一、填空题(每小题5分,共25分)1.设4322()441,()1,f x x x x x g x x x =--++=--((),())f x g x =( )2.设1234(2,4,2),(1,2,1),(3,5,4),(1,4,1)αααα==---==-,则秩1234(,,,)αααα=( )3.设R 是实数域,{(,)|}W a a a R =∈,试写出2R 中W 的正交补( ) 4.设σ是向量空间2F 上的线性变换,221221:(,)(,).F F x x x x σ→- 向量(1,2)ξ=,则()σξ在基12(1,2),(1,1)αα==-下的坐标为( ) 5.t 取何值时,222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定二次型? ( )二、(本题满分15分)设,m n 为正整数,证明1m x -整除1n x -的充要条件是m 整除.n三、(本题满分15分)设,A B 都是n 阶矩阵,且1.ABA B -= 证明: 秩()E AB -+秩().E AB n +=四、(本题满分15分)设n F 表示数域F 上向量空间,ϕ是按如下方法定义的线性变换::,n n F F A ϕαα→这里,1231010000010000000,0000100000n n a a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求线性变换ϕ的核()Ker ϕ和像Im()ϕ以及2Im().ϕ五、(本题满分20分)设A 是非零实方阵,*A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,'*.A A = 1.(10分)证明0A ≠;2.(10分)若λ是A 的特征值,则2.A λ=六、(本题满分20分)求下列矩阵的特征值和特征向量:000100002000030000112310n n n A n n n -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭七、(本题满分20分)设B 是正定矩阵,A B -是半正定矩阵,证明: 1.(10分)0A B λ-=的所有根1λ≤; 2.(10分).A B ≥八、(本题满分20分)设V 和W 都是数域F 上向量空间,()L V 和()L W 分别是V和W 的线性变换组成的向量空间,f 是V 到W 的同构映射。