第2章 数据编码和数据运算

N 8 = K n −1 8n −1 + K n − 2 8n − 2 + … + K1 81 + K 0 80 + K −1 8−1 + … + K − m 8− m
=
2 1 0 −1 −2 例如: 例如: (256.73)8 = 2 × 8 + 5 × 8 + 6 × 8 + 7 × 8 + 3 × 8
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计算机内部处理的所有数据都是“数字化编码” 计算机内部处理的所有数据都是“数字化编码”的二进 制数据。计算机的输入设备（或接口芯片） 制数据。计算机的输入设备（或接口芯片）实现将现实世界 中的媒体信息（模拟信号），如声音、文字、图画、 ），如声音 中的媒体信息（模拟信号），如声音、文字、图画、活动图 像等转化为二进制数据（数字信号）。在计算机中进行处理、 ）。在计算机中进行处理 像等转化为二进制数据（数字信号）。在计算机中进行处理、 存储和传输的信息采用二进制进行编码的原因有以下几点： 存储和传输的信息采用二进制进行编码的原因有以下几点： （1）二进制只有两种基本状态，使用有两个稳定状态 ）二进制只有两种基本状态， 的物理器件（如三极管）就可以表示二进制数的每一位， 的物理器件（如三极管）就可以表示二进制数的每一位，而 制造有两个稳定状态的物理器件要比制造有多个稳定状态的 物理器件容易得多。例如用高、低两个电位， 物理器件容易得多。例如用高、低两个电位，或用脉冲的有 或脉冲的正、负极性等都可以方便、可靠地表示“ 和 无，或脉冲的正、负极性等都可以方便、可靠地表示“0”和 “1”； ； （2）二进制的编码、计数和运算规则都很简单。可用 ）二进制的编码、计数和运算规则都很简单。 开关电路实现，简便易行； 开关电路实现，简便易行； （3）两个符号“1”和“0”正好与逻辑命题的两个值 ）两个符号“ 和 正好与逻辑命题的两个值 相对应， “真”和“假”相对应，为计算机中实现逻辑运算和程序中 的逻辑判断提供了便利的条件。 的逻辑判断提供了便利的条件。
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第2章 数据编码和数据运算
数据是计算机处理的对象。从外部形式来看， 数据是计算机处理的对象。从外部形式来看， 计算机可处理数值、文字、 声音、视频， 计算机可处理数值、文字、图、声音、视频，甚至 各种模拟信息量。这些形式的信息， 各种模拟信息量。这些形式的信息，在计算机系统 内部，主要表示成定点数（整数）、浮点数（ ）、浮点数 内部，主要表示成定点数（整数）、浮点数（实 ）、逻辑数 布尔数）、字符、字符串等形式， 逻辑数（ ）、字符 数）、逻辑数（布尔数）、字符、字符串等形式， 并且都必须采用数字化编码。在计算机中如何完成 并且都必须采用数字化编码。 数据的各种运算，如何通过硬件电路实现运算， 数据的各种运算，如何通过硬件电路实现运算，如 何校验数据的正确性是本章讨论的主要内容。 何校验数据的正确性是本章讨论的主要内容。
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1．几种常用进制
（1）十进制（Decimal） ）十进制（ ） 十进制用0～9十个数字符号，以一定的规律排列 十进制用 ～ 十个数字符号， 十个数字符号 起来，表示数值的大小。相邻位之间， 起来，表示数值的大小。相邻位之间，低位逢十向 高位进一。它的基数为10,各位的系数 可以是0～ 各位的系数Ki可以是 高位进一。它的基数为 各位的系数 可以是 ～9 十个数字中任一个。各位的权为10i。因而， 十个数字中任一个。各位的权为 。因而，任意一 位十进制数Ni可表示为 个n位十进制数 可表示为 位十进制数 可表示为:
N 2 = K n −1 2 n −1 + K n − 2 2 n − 2 + … + K1 21 + K 0 20 + K −1 2 −1 + … + K − m 2 − m
=
i= − m
∑
n −1
K
i
2
i
例如: 例如
(10110.1) 2 = 1× 24 + 0 × 23 + 1× 2 2 + 1× 21 + 0 × 20 + 1× 2−1
N10 = K n −110n −1 + K n − 210n − 2 + … + K1101 + K 0100 + K −110−1 + … + K − m10− m
=
i =− m n −1
∑
K i 10i
例如： 例如：
2361.7 = 2 × 103 + 3 × 10 2 + 6 × 101 + 1× 100 + 7 × 10 −1
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为了区分这几种进制数， 为了区分这几种进制数，规定在数字的后面 加字母D表示十进制数 加字母B表示二进制数 表示十进制数， 表示二进制数， 加字母 表示十进制数，加字母 表示二进制数， 加字母O表示八进制数 加字母H表示十六进制数 表示八进制数， 表示十六进制数， 加字母 表示八进制数，加字母 表示十六进制数， 十进制数可以省略不加。例如： 十进制数可以省略不加。例如：11D和11都表示 和 都表示 是十进制数。另外，也可以用基数作下标表示， 是十进制数。另外，也可以用基数作下标表示， 例如： 例如： 表示十进制数， （15）10或15表示十进制数， ） 或 表示十进制数 表示二进制数， （15）2表示二进制数， ） 表示二进制数 表示八进制数， （15）8表示八进制数， ） 表示八进制数 表示十六进制数。 （15）16表示十六进制数。 ） 表示十六进制数
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本章要点： 本章要点： 常用的进位计数制及其相互转换 定点和浮点数数据的表示和运算 数据校验
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2.1 数据编码
2.1.1 数据编码的概念 目前，计算机的应用非常广泛， 目前，计算机的应用非常广泛，遍及人类社会 生活的各个领域， 生活的各个领域，产生了巨大的经济效益和社会影 从用户角度来看，计算机能够处理数值、文字、 响。从用户角度来看，计算机能够处理数值、文字、 声音、图画、活动图像等。但是，在计算机内部， 声音、图画、活动图像等。但是，在计算机内部， 这些都不能直接由计算机进行处理和存储， 这些都不能直接由计算机进行处理和存储，它们必 须采取“特殊的表示形式” 须采取“特殊的表示形式”才能由计算机进行加工 处理。这种特殊的表示形式就是二进制编码形式， 处理。这种特殊的表示形式就是二进制编码形式， 即采用二进制编码表示的数值、文字、图画、 即采用二进制编码表示的数值、文字、图画、声音 和活动图像才能由计算机进行处理。所以， 和活动图像才能由计算机进行处理。所以，在计算 机系统中所指的数据均是以二进制编码形式出现的。 机系统中所指的数据均是以二进制编码形式出现的。
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对于任何进制数，都有以下几个基本特点。 对于任何进制数，都有以下几个基本特点。 在某种数制中，允许使用的数字符号的个数， （1）基数 在某种数制中，允许使用的数字符号的个数， ） 称为这种数制的基数或基。例如：十进制的基数为10， 称为这种数制的基数或基。例如：十进制的基数为 ，有十 个数码0～ ；二进制的基数为2，有两个数码0和 ； 个数码 ～9；二进制的基数为 ，有两个数码 和1；八进制 的基数为8，有八个数码0～ ；十六进制的基数为16， 的基数为 ，有八个数码 ～7；十六进制的基数为 ，有十 六个数码0～9和A到F。 六个数码 ～ 和 到 。 任一种N进制中 进制中,Ni 称为第 位的权。例如十进 称为第i位的权 位的权。 （2）位权 任一种 进制中 ） 制数756中最高位的位权为 中最高位的位权为102，中间位的位权为 制数 中最高位的位权为 ，中间位的位权为101，最低 ， 位的位权为100。 位的位权为 。 在同一位权上计数值达到基数时， （3）进位 在同一位权上计数值达到基数时，就要进入 ） 高一级的位权，这就是数制中的进位。 高一级的位权，这就是数制中的进位。基数是不同数制的进 位条件。例如十进制数是“逢十进一” 借一当十” 位条件。例如十进制数是“逢十进一”和“借一当十”。
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（3）八进制 ）八进制(Octal) 如果将一个数值较大的十进制数转换为二进制 不仅位数多，难以记忆，且不便书写,易出错 易出错。 数，不仅位数多，难以记忆，且不便书写 易出错。 因而除了二进制外，常用的还有八进制或十六进制。 因而除了二进制外，常用的还有八进制或十六进制。 八进制中，各相邻位之间， 八进制中，各相邻位之间，低位逢八向高位进 它的基数为8，各位的权为8i，各位的系数Ki可 一。它的基数为 ，各位的权为 ，各位的系数 可 以是0～7八个数字中任意一个 因而任意一个n位 八个数字中任意一个， 以是0～7八个数字中任意一个，因而任意一个n位 八进制数N8可表示为 可表示为： 八进制数 可表示为：
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i =− m
∑K8
i
n −1
i
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（4）十六进制 ）十六进制(Hexadecimal) 十六进制数中，各相邻位之间， 十六进制数中，各相邻位之间，低位逢十六向高 位进一。它的基数为16，为了书写和计算方便， 位进一。它的基数为 ，为了书写和计算方便，在 十六进制数中，各位的系数Ki可以是 可以是0、 、 、 、 十六进制数中，各位的系数 可以是 、1、2、3、 4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 十六个数 字符号中任一个。各位的权为16i, 因而任一个n位 字符号中任一个。各位的权为16i, 因而任一个n位 十六进制数N16可表示为： 可表示为： 十六进制数 可表示为
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2）二进制 ）二进制(Binary)二进制是数字电路中应用最 二进制是数字电路中应用最 广泛的计数制。 广泛的计数制。因为在数字电路中通常只有高电平 和低电平两个状态。 和低电平两个状态。这两个状态刚好可以用二进制 数中的两个符号0和 来表示 它的运算规则简单,在 来表示。 数中的两个符号 和1来表示。它的运算规则简单 在 电路中易于实现。在二进制中,相邻位之间 相邻位之间,低位逢 电路中易于实现。在二进制中 相邻位之间 低位逢 二向高位进一。它的基数为2,各位的系数 可以是0 各位的系数Ki可以是 二向高位进一。它的基数为 各位的系数 可以是 各位的权为2i。因而任一个n位二进制数 位二进制数N2可 或1,各位的权为 。因而任一个 位二进制数 可 各位的权为 表示为： 表示为：
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2.1.2 二进制编码和码制转化
在计算机里，常常需要将某一信息（输入） 在计算机里，常常需要将某一信息（输入）变换为某一 特定的代码（输出）。把二进制码按一定的规律编排， ）。把二进制码按一定的规律编排 特定的代码（输出）。把二进制码按一定的规律编排，使每 组代码具有一特定的含义称为二进制编码。例如， 组代码具有一特定的含义称为二进制编码。例如，电报码中 位十进制数字表示汉字， 用4位十进制数字表示汉字，就是编码的典型例子。 位十进制数字表示汉字 就是编码的典型例子。 编码是计算机系统的基础，而编码的基础是数制。 编码是计算机系统的基础，而编码的基础是数制。数 制是用于描述数字系统或体系结构的一种方法。 制是用于描述数字系统或体系结构的一种方法。为了描述数 的大小，人类采用进位技术的方法，称为进位计数制， 的大小，人类采用进位技术的方法，称为进位计数制，简称 数制” 人们在日常生活中，习惯于用十进制数， “数制”。人们在日常生活中，习惯于用十进制数，而在计 算机中，多采用二进制数， 算机中，多采用二进制数，二进制数的优点是其运算规律简 单且实现二进制数的数字装置简单。 单且实现二进制数的数字装置简单。二进制数的缺点是人们 对其使用时不习惯且当二进制位数较多时，书写起来很麻烦， 对其使用时不习惯且当二进制位数较多时，书写起来很麻烦， 特别是在写错了以后不易查找错误，为此， 特别是在写错了以后不易查找错误，为此，书写时常采用八 进制和十六进制数。 进制和十六进制数。