华二附中高三上数学期中考(2015.11)

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上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高三上学期质量调研数学试卷

华东师范大学第二附属中学 2023学年第一学期高三年级质量调研数学试卷考生注意：1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知全集()[),12,U =-∞+∞，集合()[)1,13,A =-+∞，则A =________.2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=-（i 为虚数单位），则Im z =________.3.设常数0a >且1a ≠，若函数()log 1a y x =+在区间[]0,1上的最大值为1，最小值为0，则实数a =________.4.已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为23π的扇形，则该圆锥的高为________.5.若()42340123412x a a x a x a x a x -=++++，则1234a a a a +++=________.6.方程1x y +=所表示的图形围成的区域的面积是________.7.在等比数列{}n a 中，3a ，11a 分别是函数32432y x x x =+++的两个驻点，则7a =________.8.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a +>⎧⎪⎨>⎪⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 9.若直线e 4eln 40x y -+=是指数函数xy a =（0a >且1a ≠）图像的一条切线，则底数a =________.10.在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是________. 11.点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为________.12.已知正整数m ，n 满足24m n <≤，若关于x 的方程()()1122sin 2sin mx nx +=--有实数解，则符合条件的(),m n 共有________对.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.两个变量x 与y 之间的回归方程（） A.表示x 与y 之间的函数关系 B.表示x 与y 之间的不确定关系 C.反映x 与y 之间的真实关系D.是反映x 与y 之间真实关系的一种最佳拟合14.已知事件A ，B 满足()01P A <<，()01P B <<，则不能说明事件A ，B 相互独立的是（）A.()()P A B P A B = B.()()P A B P A = C.()()P B A P B =D.()()P B A P B A =15.在ABC △中，已知sin A a =，3cos 5B =，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（） A.{}30,15⎛⎤ ⎥⎝⎦B.40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C.4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}40,15⎛⎤ ⎥⎝⎦16.已知圆锥曲线Γ：(),1f x y =关于坐标原点O 对称，定点P 的坐标为()00,x y .给出两个命题：①若()000,1f x y <<，则曲线Γ上必存在两点A ，B ，使得P 为线段AB 的中点；②若()00,0f x y =，则对曲线Γ上任一点A ，Γ上必定存在另外一点B ，使得PA PB =.其中（）A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三梭柱111ABC A B C -中，2AB =，14AA =.点M 是11AC 的中点.（1）求四面体11MBB C 的体积；（2）求直线MA 与平面11BCC B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若数列{}n a 为等差数列，()2392n S tn t n t =+-+-（t 为常数），求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，11a =，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小满分8分）已知F 为抛物线Γ：24y x =的焦点，O 为坐标原点.过点(),4P p 且斜率为1的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，与x 轴交于点M . （1）若点P 在抛物线Γ上，求PF ；（2）若AOB △的面积为p 的值；（3）是否存在以M 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线Γ上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线Γ交于另外两点C ，D 时，总有直线CD 也与圆M 相切？若存在，求出此时p 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小满分6分第3小题满分8分）设函数()y f x =的定义域为开区间I ，若存在0x I ∈，使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点，则称切线l 是()y f x =的一条“L 切线”.（1）判断函数ln y x =是否存在“L 切线”，若存在，请写出一条“L 切线”的方程，若不存在，请说明理由.（2）设()()()3210,f x x ax x c =++∈，若对任意正实数c ，函数()y f x =都存在“L 切线”，求实数a 的取值范围.（3）已知实数0b >，函数()()2ee 6xx g x b x x =-+∈R ，求证：函数()y g x =存在无穷多条“L 切线”，且至少一条“L 切线”的切点的横坐标不超过ln2b .。

2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)

1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________．二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。

!华师大二附中高三数学综合练习试卷(共十套)

上海市华师大二附中高三综合练习试卷（共十套）上海市华师大二附中高三年级综合练习[1]数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点。

2．已知集合，集合，则集合。

3．若角终边落在射线上，则。

4．关于的方程有一实根为，则。

5．数列的首项为，且，记为数列前项和，则。

6．（文）若满足，则目标函数取最大值时。

（理）若的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第项。

7．已知函数，若对任意有成立，则方程在上的解为。

8．某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为。

（结果用分数表示）9．将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的的一个可能值为。

10．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。

年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65 ……收缩压110 115 120 125 130 135 145 ……（水银柱/毫米）舒张压70 73 75 78 80 73 85 ……（水银柱/毫米）11．若函数，其中表示两者中的较小者，则的解为。

12．如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形，记纸板的面积为，则。

二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

2015年11月华东师大二附中高三数学期中考试试卷

2015年11月华东师大二附中高三数学期中考试试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本题满分64分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知全集U R =，集合{}1|-==x y x M ，则=M C U 。

2．设i z -=11，ai a z 22+=)(R a ∈，其中i 是虚数单位，若复数21z z +是纯虚数，则a ＝。

3．经过圆1)1(22=+-y x 的圆心M ，且与直线0=-y x 垂直的直线方程是。

4．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，︒===60,3,2B b a ，那么A 等于。

5．已知数列{}n a 为等差数列，且π=++1371a a a ，则)tan(122a a +的值为。

6．若命题“存在x ∈R ，使得2(1)10x a x +-+=”是真命题，则实数a 的取值范围是 . 7．对任意非零实数a b 、，定义一种运算：a b ⊗，其结果b a y ⊗=的值由右图确定，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭。

8．（理科）极坐标系中两点)6,3(πA ，)2,1(πB ，则线段AB 的长等于．（文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．9．若关于,x y 的二元一次方程组1112mx m m y m+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭至多有一组解，则实数m 的取值范围主视图左视图俯视图是 .10．从集合{}2,1,1-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 ___ .11．不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 . 12. 已知每条棱长都为3的直平行六面体1111ABCD A BC D -中，60BAD ∠=︒，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____ .13. 在平面直角坐标系中，定义*11()n n nn n nx y x n yy x ++=-⎧∈⎨=+⎩N 为点()n n n P x y ，到点111()n n n P x y +++，的一个变换，我们把它称为点变换．已知1(0,1)P ，222(,)P x y ，…，()n n n P x y ，，111()n n n P x y +++，是经过点变换得到的一列点．设1||n n n a P P +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么limnn nS a →∞的值为 14.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是．．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得 4分，否则一律得零分.15．A ,B 两点在半径为2的球面上，且以线段AB 为直径的小圆周长为2π，则A ,B 两点间的球面距离为………………………………………………………………………………（） A ．π B ．π2 C ．3πD ．32π16．已知函数1()(),2ax f x a R x +=∈+则“(2)(3)f f <”是“()f x 在区间(2,)-+∞上单调递增”的什么条件. …………………………………………………………………………（） A ．“充要”、 B ．“充分不必要”、 C ．“必要不充分”、Ｄ．“既不充分也不必要”17．（理科）设直线:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交 ②存在一个圆与所有直线不相交 ③存在一个圆与所有直线相切 ④M 中所有直线均经过一个定点 ⑤存在定点P 不在M 中的任一条直线上A 1⑥对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等A 、3B 、4C 、5D 、6（文科）在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,042y x y x S y x 下，若53≤≤S ，目标函数y x Z 23+=的最大值变化范围是………………………………………………………………………………………（） A ．]8,6[ B ．]15,6[ C. ]8,7[ D. ]15,7[18.长度分别为2x x x x x 、、、、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是………………………………………（） (A) 3x >(B) 23x << (C)33x <<D ) 1>x 三、解答题19 .(本题满分12分,第1小题满分6分，第2小题满分6分) 关于x 的不等式012<+xa x 的解集为()b ,1-．（1）求实数a 、b 的值；（2）若bi a z +=1，ααsin cos 2i z +=，且21z z 为纯虚数，求)32cos(πα-的值．20．(本题满分14分,第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA ABCD ⊥底面,//AB DC ,11AA =,3AB k =,4AD k =,5BC k =,6DC k =(0)k >.(1)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67,求k 的值; (2)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为()f k ,写出()f k 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)A 121. (本题满分14分,第1小题满分7分，第2小题满分7分)ABC ∆的内切圆与三边,,AB BC CA 的切点分别为,,D E F ，已知)0,2(),0,2(C B -，内切圆圆心(1,),0I t t ≠，设点A 的轨迹为L . （1）求L 的方程；（2）过点C 的动直线m 交曲线L 于不同的两点,M N （点M 在x 轴的上方），问在x 轴上是否存在一定点Q （Q 不与C 重合），使QM QC QN QCQM QN⋅⋅=恒成立，若存在，试求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由.22(本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分6分,第2小题满分6分)设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出如下两个命题上：命题p ：{}n a 是等差数列；命题q ：等式1113221111+++=+++n n n a a bkn a a a a a a 对任意n （*N n ∈）恒成立，其中b k ,是常数。

华二附中高三数学期中试卷

一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[1, 2]上单调递增，则f'(x)的取值范围是（）A. [0, 3]B. [3, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 3]2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则该数列的前10项之和为（）A. 160B. 170C. 180D. 1903. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)4. 已知复数z = a + bi（a, b ∈ R），若|z| = 1，则复数z的辐角为（）A. π/2B. π/4C. 0D. π5. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x^2 - 4)B. y = 1/xC. y = log2(x + 1)D. y = sin(x)二、填空题（每题5分，共20分）6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点坐标为__________。

7. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10 =__________。

8. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|^2 =__________。

9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 0，f(2) = 5，则f(3) =__________。

三、解答题（每题15分，共60分）10. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 - 4，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

11. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项之和。

12. 已知复数z = 1 + 2i，求复数z的辐角。

13. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 0，f(2) = 5，求函数f(x)的表达式。

14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学试卷含详解

华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．3.设252i1i i z +=++，则z =________．4.钝角ABC中，3,60a b A ===，则ABC 的面积是__________.5.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M+∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<< B.4231r r r r <<< C.4213r r r r <<< D.2413r r r r <<<15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.2122⎡-⎢⎣ D.22,122+⎣⎦16.已知曲线:1(0,)nnx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C .①不成立②成立D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=-⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】334【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是1sin 24bc A =.故答案为：45.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】3【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】12+-【分析】据题意设(,)b x y =，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b += ，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即12t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b 在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：122+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n nn⎛⎫-⎪⎝⎭到直线2y x=-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y+-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a=>，在y轴正半轴上存在一点P，使过P的任意直线交抛物线于M N、，都有2211||||MP NP+为定值，则点P的坐标为________．【答案】10,2a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设直线MN的解析式为y kx m=+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．【详解】设(0,)P m．设直线MN的解析式为y kx m=+，联立2(0)y ax a=>得到：22ax kx m ax m kx=+-=，，整理，得20ax kx m--=，则1212,k mx x x xa a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax则()()222222222222111222()1,()1PM x m ax k x PN x m ax k x=+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x xMP NP k x x++=⨯+()2121222212211,x x x xk x x+-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或331cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当331cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：3318．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x yx y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣⎦D.,122+⎣⎦【答案】C【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin 12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为212⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,2m n m n m n⋅===，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=，又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：322S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫-⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。

!华师大二附中高三数学综合练习试卷(共十套)

1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x fy 的图象必过定点。

2．已知集合{}R x y y A x∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=。

3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 。

4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+nim 1。

5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+ ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S = 。

6．（文）若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 。

（理）若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第项。

7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为。

（结果用分数表示） 9．将最小正周期为2π的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4π个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为。

上海市名校数学真题之华二附中高三月考(2015.12)

【精品资料、学习必备】上海市名校数学真题系列各大名校数学真题Word精排版，可以自由编排打印使用华师大二附中高三月考数学试卷2015.12一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 22lim 21n n C n →∞=+ ； 2. 若直线(32)80m x y +++=不经过第二象限，则m 的取值范围是；3. 不等式||1x x ⋅≤的解为；4.若二项式51)a 的展开式中的第二项等于20a -（a 为大于零的常数），则实数x = ；5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项之和，若{}n S 是等差数列，则q = ；6. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若22a b -=，sin C =B ，则A = ；7. 已知方程cos 23sin 20x x +-=，则该方程在区间[,]ππ-上的所有解之和为；8. 已知数列{}n a 的通项公式为1133()[()1]44n n n a --=-*()n N ∈，则数列{}n a 中的最小项的值为； 9. 已知,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为；10. 一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为；11. 记51251...i i a a a a =∑=+++，若1 4.47a =， 2 4.51a =，3 4.61a =，4 4.65a =，5 4.76a =，则5123i i a =∑=，另有正整数i A (15)i ≤≤的和仍是23，若以i A 来估计i a ，则“误差和”51||i i i A a =∑-的最小值为； 12. 若数列x 、1a 、2log a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b、2b 、y 成等比数列，则21212()a a b b +⋅ 的取值范围是；13. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是；（写出所有正确命题的序号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 存在恰经过一个整点的直线；③ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数；④ 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；14. 几位高一学生学习函数的性质后感觉很有收获，分别有下列表述：① 函数251x y x -=-在其定义域上是单调递增的函数； ② 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x R ∈，都有()(1)f x f x >+，则函数()f x 没有单调递增区间；③ 若定义在[2016,2016]-上的函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，则一定存在0x ∈[2016,2016]-，使00()()f x f x -≠-且00()()f x f x -≠；④ 定义在R 上的函数()f x ，如果对任意x R ∈，都存在0x R ∈，当0x x ≠时，都有 0()()f x f x <成立，则函数()f x 的最大值就是0()f x ；⑤ 定义1231...n k n k a a a a a π==，已知2()n n f x x =**(,)n N k N ∈∈，则121()()()...nk k f x f x f x π== ()n f x 为偶函数的n 的最小正整数为3；以上几位同学错误的表述是；（写出所有错误表述的序号）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程20x ax b ++=没有实根B. 方程20x ax b ++=至多有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根16. 已知复数122z i =+，222z i =--在复平面上对应的点分别为A 、B ，点B 绕点A 逆时针旋转90︒到达点C ，则点C 所对应的复数为（）A. 2iB. 62i -C. 24i -+D. 22i -17. 若||x y e =([,])x a b ∈的值域为2[1,]e ，则点(,)a b 的轨迹是图中的（）A. 线段AB 和OAB. 线段AB 和BCC. 线段AB 和OCD. 点A 和点C18. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A . 4a B. 2()a c - C. 2()a c + D. 以上答案均有可能三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为2，点E 为棱AD 的中点，求：（1）正四面体ABCD 的体积；（2）直线CE 与平面BCD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）；20. 已知平面向量(sin(),1)a x π=-，(3,cos )b x =，函数()f x a b =⋅；（1）写出函数()f x 的单调递减区间；（2）设()()16g x f x π=-+，求直线2y =与()y g x =在闭区间[0,]π上的图像的所有交点坐标；21. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+，向量(,1)b x y =-，a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ；（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知14m =，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），并求出该圆的方程；22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ；（1）当123n n a -=⋅*()n N ∈时，请写出用n S 表示为1n S +的函数式：1()n n S f S +=；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠，试判断数列{}n a 是否为等比数列？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若数列{}n a 对任意的3n ≥的正整数满足：1()2n n n a a S +=，试证明{}n a 是等差数列；23. 已知函数2()(2)3f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[2,2]-上是偶函数，求实数a 的值；（2）当2a =时，是否存在实数,m n ，使函数()y f x =在区间[,]m n 上的值域也是[,]m n ？如果存在，求出实数,m n 的值；（3）是否存在整数,m n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值，若不存在，请说明理由；。

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)

2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。

2019-2020学年上海市华师大二附中高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市华师大二附中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 若二项式(x 2−2x )n 展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为( )A. −1B. 1C. 27D. −272. 已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B −OA −C 的大小是( )A. π4B. π3C. π2D. 2π33. 若曲线C 1： x 2+ y 2−2x =0与曲线C 2： y( y − mx − m)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )A. (−√33,0)∪(0,√33) B. (−√33,√33) C. [−√33,√33] D. (−∞,−√33)∪(√33,+∞) 4. 设a ⃗ 、b ⃗ 、c⃗ 是任意的非零向量，且相互不平行，则下面四个命题： ①(a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ =0⃗ ； ②|a ⃗ |−|b ⃗ |<|a ⃗ −b ⃗ |； ③(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ 不与c⃗ 垂直； ④(3a ⃗ +2b ⃗ )⋅(3a ⃗ −2b ⃗ )=9|a ⃗ |2−4|b ⃗ |2．其中是真命题的为( )A. ①③B. ②③C. ③④D. ②④二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 抛物线x 2+12y =0的准线方程是______ ．6. 若点(8,4)在函数f(x)=1+log a x 图象上，则f(x)的反函数为______ ．7. 设a >0，a ≠1，行列式D =∣∣∣∣log a x−1120122−3∣∣∣∣中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数y =f(x)的反函数经过点(1,2)，则a =______．8. 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x +2)的定义域是__________，值域是__________．9. 在正八边形的8个顶点中，任取3点能组成直角三角形的概率是___________．10. 已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若对任意的k ∈N ∗，都有n →∞lim(S n −S k+1)=a k成立，则q =______．11. 若线性方程组的增广矩阵为(12c 120c 2)的解为{x =1y =3，则c 1+c 2=______12.某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元13.已知定义在R上的函数f(x)在(−∞,1)上是减函数，且y=f(x+1)是偶函数，则关于x的不等式f(2x+1)−f(x−1)<0的解集为______．14.盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有______种不同的取法(用数字作答)15.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律下去可得数列{a n}，则a n−a n−1=_________(n≥2)，a n=__________．16.设x，y均为正实数，且2x+y=1x，则16x2+2xy+y2的最小值为________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知向量a⃗=(sin(ω2x+φ),1)，b⃗ =(1,cos(ω2x+φ))(ω>0,0<φ<π4)，记函数f(x)=(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ ).若函数y=f(x)的周期为4，且经过点M(1,12).(1)求ω的值；(2)当−1≤x≤1时，求函数f(x)的最值．18. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．(1)若AE =√2，求证：DE ⊥BC ；(2)若二面角A −BE −D 的大小为π3，求线段AE 的长．19. (1)对于任意实数a ，试比较(x −4)2与(x −3)(x −5)的大小．(2)已知函数f (x )=−2x +3,求f (−3),f (0),f (a +1)．20. 已知椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，F 2与椭圆上点的连线中最短线段的长为√2−1． (1)求椭圆Γ的标准方程;(2)已知Γ上存在一点P ，使得直线PF 1，PF 2分别交椭圆Γ于点A ，B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，求直线PB 的斜率．21. 数列{a n }满足a 1+2a 2+⋯+na n =4−n+22n−1，n ∈N ∗，求a 3的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了二项式展开式的二项式系数之和与展开式的各项系数之和的计算问题，是基础题．根据二项式展开式的二项式系数之和2n，求出n的值；再令x=1求出二项式展开式的系数之和．【解答】解：二项式(x2−2x)n展开式的二项式系数之和为8，所以2n=8，解得n=3；所以(x2−2x)3展开式的系数之和为：(1−2)3=−1．故选：A．2.答案：C解析：球O的半径是R=1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是π4，则∠AOB，∠AOC都等于π4，AB=AC，B、C两点的球面距离是π3，则∠BOC=π3，BC=1，过B作BD⊥AO，垂足为D，连结CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角B−OA−C的平面角，BD=CD=√22，∴cos∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD =0，二面角B−OA−C的大小是π2．3.答案：A解析：【分析】本题考查直线与圆位置关系，曲线C2:y ( y−mx−m )=0表示的为两条直线y=0和y−mx−m=0，本题难度较大，考查学生数形结合思想的运用能力．【解答】解：由题意可知曲线C1： x2+ y2−2x=0表示一个圆，化为标准方程得：(x−1)2+y2=1，所以圆心坐标为(1,0)，半径r=1；C2：y(y−mx−m)=0表示两条直线y=0和y−mx−m=0，由直线y−mx−m=0可知：此直线过定点(−1,0)，在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y −mx −m =0与圆相切时，圆心到直线的距离d =|2m|√m 2+1=r =1，化简得:m 2=13，解得m =±√33，而m =0时，直线方程为y =0，即为x 轴，不合题意，则直线y −mx −m =0与圆相交时，m ∈(−√33,0)∪(0,√33)．故选A ．4.答案：D解析：解：设a ⃗ 、b ⃗ 、c⃗ 是任意的非零向量，且相互不平行：对于①，(a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ 是与c ⃗ 共线的向量，(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ 是与b ⃗ 共线的向量故(a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ =0⃗ 错；对于②，由向量减法的三角形法则，及三角形的两边之差小于第三边知|a ⃗ |−|b ⃗ |<|a ⃗ −b ⃗ |，正确；对于③，∵[(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ ]⋅c ⃗ =0，故错；对于④，(3a ⃗ +2b ⃗ )⋅(3a ⃗ −2b ⃗ )=9|a ⃗ |2−4|b ⃗ |2，正确；故选：D ．①，(a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ 是与c ⃗ 共线的向量，(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ 是与b ⃗ 共线的向量；②，由向量减法的三角形法则，及三角形的两边之差小于第三边可知； ③，[(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ ]⋅c ⃗ =0，；④，(3a ⃗ +2b ⃗ )⋅(3a ⃗ −2b ⃗ )=9|a ⃗ |2−4|b ⃗ |2成立；本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5.答案：y =3解析：解：抛物线x 2+12y =0可化为x 2=−12y ，则2p =12，∴p 2=3∴抛物线x 2+12y =0的准线方程是y =3 故答案为：y =3．抛物线x 2+12y =0化为x 2=−12y ，即可得到抛物线的准线方程．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：f −1(x)=2x−1．解析：解：函数f(x)=1+log a x 图象过点(8,4)，可得：4=1+log a 8，解得：a =2． ∴f(x)=y =1+log 2x 则：x =2y−1， ∴反函数为y =2x−1．故答案为f −1(x)=2x−1．求出函数f(x)的解析式，用x 表示y 的函数，把x 与y 互换可得答案．本题考查了反函数的求法，属于基础题．7.答案：2解析：解：∵a >0，a ≠1，行列式D =∣∣∣∣log a x−1120122−3∣∣∣∣中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，∴函数y =f(x)=−∣∣∣log a x121∣∣∣=2−log a x ， ∵函数y =f(x)的反函数经过点(1,2)， ∴y =2−log a x 经过点(2,1)， ∴1=2−log a 2，解得a =2．故答案为：2．利用代数余子式的定义求出函数y =f(x)=−∣∣∣log a x121∣∣∣=2−log a x ，由函数y =f(x)的反函数经过点(1,2)，得到y =2−log a x 经过点(2,1)，由此能求出a 的值．本题考查实数值的求法，考查行列式的展开法则、代数余子式、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：[−2,−1][1,2]解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，∴0≤x +2≤1，∴−2≤x ≤−1.即f(x +2)的定义域为[−2,−1]，值域仍然为[1,2]．9.答案：37解析：【分析】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件总数，求出构成直角三角形的个数是关键．确定基本事件总数，求出构成直角三角形的个数，即可求得概率．【解答】解：∵任何三点不共线，∴共有C 83=56个三角形．8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6=24个，所以构成直角三角形的概率为2456=37，故答案为37．10.答案：√5−12解析：解，①当q =1时，n →∞lim(S n −S k+1)=n →∞lim[na 1−(k +1)a 1]，极限不存在． ②q ≠1时，n →∞lim(S n −S k+1)=n →∞lim[a 1(1−q n )1−q−a 1(1−q k+1)1−q]=a 1q k−1，若q >1或q <0，则极限不存在．故0<q <1，上式可化为：n →∞lim(S n −S k+1)=n →∞lim[a 1(1−q n )1−q−a 1(1−q k+1)1−q]=a 11−qq k+1=a 1q k−1，即q 2+q −1=0，解得q =√5−12或q =√5+12>1(舍去)．故填：√5−12．先分q 是否为1进行讨论，排除q =1的情况，然后将等比数列的前n 项和公式代入，求极限即可．本题考查了数列极限，讨论q 的情况，以确定极限是否存在，是解决问题的突破口，本题主要考查极限的计算，等比数列的前n 项和公式，属中档题．11.答案：8解析：解：由线性方程组的增广矩阵为(12c 120c 2)，则{x +2y =c 1x +0×y =c 2，由{x =1y =3，解得：{c 1=7c 2=1，∴c 1+c 2=8，故答案为：8．根据增广矩阵求得方程组，代入即可求得c 1，c 2，即可求得答案．本题考查方程组的增广矩阵的应用，考查转化思想，属于基础题．12.答案：5000解析：【分析】依题意，每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30−x −y)个遥控火车，根据题意即可得出每天的利润；先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z =40x +60y +3600，再利用z 的几何意义求最值．【解答】解：设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30−x −y)个遥控火车模型，依题得，实数x,y 满足线性约束条件{10x +12y +8(30−x −y)≤320,30−x −y ≥0,x ≥0,y ≥0,目标函数为z =160x +180y +120(30−x −y)，化简得{x +2y ≤40,x +y ≤30,x ≥0,y ≥0, z =40x +60y +3600，作出不等式组{x +2y ≤40,x +y ≤30,x ≥0,y ≥0,表示的可行域(如图所示)：作直线l 0:y =−23x −60，将直线l 0向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大，由{x +2y =40,x +y =30,得{x =20,x =10,所以P(20,10)，此时z max =40×20+60×10+3600=5000(元)．故答案为：5000 【点睛】本题考查线性规划的实际应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．)13.答案：(−2,23解析：【分析】本题考查关于抽象函数的不等式问题，涉及函数的奇偶性与单调性的性质，属于基础题．根据题意，分析可得函数f(x)关于直线x=1对称，进而可得f(x)在(1,+∞)上为增函数，据此可得f(2x+1)−f(x−1)<0⇒|2x|<|x−2|，变形可得3x2+4x−4<0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，y=f(x+1)是偶函数，则函数f(x)关于直线x=1对称，又由函数f(x)在(−∞,1)上是减函数，则其在(1,+∞)上为增函数，f(2x+1)−f(x−1)<0⇒f(2x+1)<f(x−1)⇒|2x|<|x−2|，变形可得：4x2<x2−4x+4，即3x2+4x−4<0，，解可得：−2<x<23)；即不等式的解集为(−2,23).故答案为：(−2,2314.答案：32解析：解：根据题意，分6种情况讨论：①，若6个球一次取完，即一次取出6个球，有1种取法，②，若6个球分2次取完，有1、5，2、4，3、3，4、2，5、1，共5种取法，③，若6个球分3次取完，有1、1、4，1、2、3和2、2、2三种情况，有10种取法，④，若6个球分4次取完，有1、1、2、2和1、1、1、3两种情况，共有10种取法，⑤，若6个球分5次取完，即其中有1次取出2个球，有5种取法，⑥，若6个球分6次取完，每次取出1个球，只有1种情况，共有1+5+10+10+5+1=32种不同的取法；故答案为：32．根据题意，按6个球取出的数目分6种情况讨论，分析求出每一种情况的取法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意转化思路，分析．15.答案：3n−2,3n2−n2．解析：【分析】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，本题的关键在于由数列的前几项分析出数列的特征，难度适中．【解答】解：由a2−a1=4,a3−a2=7,a4−a3=10...归纳得：a n−a n−1=3n−2，a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(a n−a n−1)=1+4+7+..(3n+1)=3n2−n2．故答案为3n−2,3n2−n2．16.答案：6解析：【分析】本题考查基本不等式求最值，是中档题．由2x+y=1x 得：y=1x−2x，然后将16x2+2xy+y2化简，利用基本不等式求解即可．【解答】解：根据题意，由2x+y=1x 得：y=1x−2x，则16x2+2xy+y2=16x2+2x(1x −2x)+(1x−2x)2=16x2+1x2−2≥2×4−2=6．当且仅当16x2=1x2时取等号．故答案为6．17.答案：解：(1)f(x)=(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=sin2(ω2x+φ)−cos2(ω2x+φ)=−cos(ωx+2φ)．由题意得：周期T=2πω=4，故ω=π2；(2)∵图象过点M(1,12)，∴−cos(π2+2φ)=12，即sin2φ=12，而0<φ<π4，故2φ=π6，则f(x)=−cos(π2x+π6).当−1≤x≤1时，−π3≤π2x+π6≤2π3，∴−12≤cos(π2x +π6)≤1．∴当x =−13时，f(x)min =−1，当x =1时，f(x)max =12．解析：(1)由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；(2)由(1)及函数图象经过点M(1,12)求得函数具体解析式，在由x 的范围求得相位的范围，则函数f(x)的最值可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象和性质，是中档题． 18.答案：解：因为正方形ABCD 的边长为2，所以AB ⊥AD ，CB ⊥CD ，AB =AD =CD =BC =2．又AE ⊥平面ABD ，AB ，AD ⊂平面ABD ，所以AE ⊥AB ，AE ⊥AD ，以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ．作CF ⊥BD ，垂足为F ．因为平面ABD ⊥平面CBD ，CF ⊂平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD =BD ，所以CF ⊥平面ABD ．因为CB =CD =2，所以点F 为BD 的中点，CF =√2．(1)因为AE =√2，所以E(0,0，√2)，B(2,0，0)，D(0,2，0)，F(1,1，0)，C(1,1，√2)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，√2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⊥BC ；(2)设AE 的长度为a(a >0)，则E(0,0，a).由AD ⊥AE ，AD ⊥AB ，AE ，AB ⊂平面ABE ，且AE ∩AB =A ，得AD ⊥平面ABE ，所以平面ABE 得一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)．设平面BDE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，a)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，所以n 2⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{n2⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x1+az1=0, n2⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x1+2y1=0,解得{x1=a2z1, x1=y1取z1=2，则x1=y1=a，所以平面BDE的一个法向量为n2⃗⃗⃗⃗ =(a,a，2)，所以|cos<n1⃗⃗⃗⃗ ,n2⃗⃗⃗⃗ >|=|n1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n2⃗⃗⃗⃗⃗ |=a√2a2+4，因为二面角A−BE−D的大小为，所以√2a2+4=12，解得a=√2，所以AE的长度为√2．解析：本题考查异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求法，属于中档题．(1)以点A为原点，AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，作CF⊥BD，垂足为F，利用向量法能求出直线DE与直线BC所成角；(2)求出平面ABE的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出AE的长度．19.答案：解(1)∵(x−4)2−(x−3)(x−5)=x2−8x+16−x2+8x−15=1>0，∴(x−4)2>(x−3)(x−5)．(2)因为f(x)=−2x+3,则f(−3)=−2×(−3)+3=9，f(0)=0+3=3，f(a+1)=−2×(a+1)+3=−2a+1．解析：(1)本题主要考查了比较大小，属于基础题．两式相减即可求解．(2)本题考查了函数的值求解，属于基础题．已知函数f(x)=−2x+3,代入求解即可．20.答案：解：(1)椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，∴ca =√22，…①右焦点F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为√2−1，即a−c=√2−1；…②由①②解得a=√2，c=1，∴b=√a2−c2=1，∴椭圆Γ的标准方程是x22+y2=1；(2)设点P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则直线l PA 的方程为：x =my −1；由{x =my −1x 2+2y 2=2，消去x ，得(m 2+2)y 2−2my −1=0；则y 0⋅y 1=−1m 2+2，又1m =y 0x 0+1，∴m =x 0+1y 0；∴|PF 1|1=−y 01=−y 0−1(m 2+2)y 0 =(m 2+2)y 02=[(x 0+1)2y 02+2]y 02 =(x 0+1)2+2y 02=(x 0+1)2+2−x 02， ∴|PF 1||F 1A|=3+2x 0，∴3+2x 0=2，解得x 0=−12，∴P(−12,±√144)， ∴K PB =K PF 2=±√144−12−1=+√146，故直线PB 的斜率为±√146．解析：本题考查了直线与圆锥曲线方程的综合应用问题，也考查了方程组和根与系数的应用问题，是综合性题目．(1)根据椭圆的离心率和右焦点F 2与椭圆上点的连线的中最短线段的长，列出方程组求出a 、c 的值，再求出b 的值，即可写出椭圆Γ的标准方程；(2)设点P 、A 和B 的坐标，写出直线l PA 的方程，并与椭圆方程组成方程组，消去x ，得关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系，结合题意求出点P 的坐标，即可求出直线PB 的斜率值．21.答案：解：由题意得3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)−(a 1+2a 2)=4−3+223−1−(4−2+222−1)=34，所以a 3=14．解析：本题考查了数列的递推关系，数列的综合应用．。

华二附中高三期中(2019.11)

华二附中高三期中数学卷2019.10一. 填空题1. 已知集合2{|430}A x x x =++≥，{|21}x B x =<，则A B =I2. 若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-= 3. 若(2)i z a a =-+为纯虚数（i 是虚数单位），其中a ∈R ，则7i 1ia a +=+4. 高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为5. 6个不同的球，全部放到编号分别为1，2，3的盒子中，每个盒子中的球数和编号一致，有种放法6. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=7. 在1020191(2)x x+-展开式中，4x 项的系数为（结果用数值表示）8. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6m ，最低点B 处离地面3.5m ，若从离地高2m 的C 处观赏它，则离墙 m 时视角θ最大9. 已知O 为坐标原点，过椭圆2214x y +=上一点00(,)P x y 的切线0014x x y y +=分别交x 、y 轴于A 、B 两点，则当||AB 最小时，||OP =10. 已知实数x 、y 满足22(2cos 3)(2sin 4)1x y αα--+--=，α∈R ，则22x y +的最大值为11. 已知函数2()|1||1|f x x x a x =+-++，x ∈R 上有两个不同的零点，则a 的取值范围12. 已知数列{}n a 满足：1[(25)]2n n n a =++（*n ∈N ），其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，设A 为实数，且对任意的正整数n ，都有121ni i i A a a =+≤∑（其中符号∑为连加号，如112ni i n ==++⋅⋅⋅+∑），则A 的最小值是二. 选择题13. 若实数x 、y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A. 1-B. 1C. 10D. 1214. 设点A 、B 、C 不共线，则“AB uu u r 与AC uuur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，若()24g π=，则3()8f π=（） A. 2- B. 2- C.2 D. 216. 已知EF 半径为22的圆C 上的一条动弦，且4EF =，D 为圆C 内接正三角形边上一动点，则ED DF ⋅uu u r uuu r的最大值为（）A. 3B. 23C. 4D.三. 解答题17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值.18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值.19. 华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）经过点(2,1)A=，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N . （1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅uuu r uuu r的取值范围；（3）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值.21. 已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件：1a a =，21a a ≠，当*n ∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a 、k 均为非零常数.（1）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1n n n b a a +=-（*n ∈N ），若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明：{}n a 是等比数列的充要条件是()f x kx =（1k ≠）.参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--U2. 79-3. i -4. 6π5. 606. 507. 1808.9. 10. 8 11. (3--- 12.1288二. 选择题13. C 14. C 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（218.（1）3π；（2）b =sin(2)A B -=19.（1）不符合；（2）910a =或911或91220.（1）22163x y +=；（2）(2,3)；（3）2- 21.（1）1；（2）1n n b k -=；（3）略.。

0033-华二附中高三月考(2015.12)

华师大二附中高三月考数学试卷2015.12一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1. 22lim 21nn C n →∞=+ ； 2. 若直线(32)80m x y +++=不经过第二象限，则m 的取值范围是； 3. 不等式||1x x ⋅≤的解为；4.若二项式51a-的展开式中的第二项等于20a -（a 为大于零的常数），则实数x = ；5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项之和，若{}n S 是等差数列，则q = ；6. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若22a b -=，sin C =B ，则A = ；7. 已知方程cos 23sin 20x x +-=，则该方程在区间[,]ππ-上的所有解之和为； 8. 已知数列{}n a 的通项公式为1133([(1]44n n n a --=-*()n N ∈，则数列{}n a 中的最小项的值为；9. 已知,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为； 10. 一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为；11. 记51251...i i a a a a =∑=+++，若1 4.47a =，2 4.51a =，3 4.61a =，4 4.65a =，5 4.76a =，则5123i i a =∑=，另有正整数i A (15)i ≤≤的和仍是23，若以i A 来估计i a ，则“误差和”51||i i i A a =∑-的最小值为；12. 若数列x 、1a 、2log a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b、2b 、y 成等比数列，则21212()a a b b +⋅的取值范围是；13. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是；（写出所有正确命题的序号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 存在恰经过一个整点的直线；③ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ④ 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； 14. 几位高一学生学习函数的性质后感觉很有收获，分别有下列表述：① 函数251x y x -=-在其定义域上是单调递增的函数； ② 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x R ∈，都有()(1)f x f x >+，则函数()f x 没有单调递增区间；③ 若定义在[2016,2016]-上的函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数，则一定存在0x ∈[2016,2016]-，使00()()f x f x -≠-且00()()f x f x -≠；④ 定义在R 上的函数()f x ，如果对任意x R ∈，都存在0x R ∈，当0x x ≠时，都有0()()f x f x <成立，则函数()f x 的最大值就是0()f x ；⑤ 定义1231...nk n k a a a a a π==，已知2()n n f x x =**(,)n N k N ∈∈，则121()()()...nk k f x f x f x π==()n f x 为偶函数的n 的最小正整数为3；以上几位同学错误的表述是；（写出所有错误表述的序号）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程20x ax b ++=没有实根B. 方程20x ax b ++=至多有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根 D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根 16. 已知复数122z i =+，222z i =--在复平面上对应的点分别为A 、B ，点B 绕点A 逆时针旋转90︒到达点C ，则点C 所对应的复数为（）A. 2i -B. 62i -C. 24i -+D. 22i - 17. 若||x y e =([,])x a b ∈的值域为2[1,]e ，则点(,)a b 的轨迹是图中的（）A. 线段AB 和OAB. 线段AB 和BCC. 线段AB 和OCD. 点A 和点C18. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）A . 4a B. 2()a c - C. 2()a c + D. 以上答案均有可能三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为2，点E 为棱AD 的中点，求：（1）正四面体ABCD 的体积；（2）直线CE 与平面BCD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）；20. 已知平面向量(sin(),1)a x π=- ，)b x = ，函数()f x a b =⋅ ；（1）写出函数()f x 的单调递减区间；（2）设()(16g x f x π=-+，求直线2y =与()y g x =在闭区间[0,]π上的图像的所有交点坐标；21. 设m R ∈，在平面直角坐标系中，已知向量(,1)a mx y =+ ，向量(,1)b x y =- ，a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ；（1）求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知14m =，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），并求出该圆的方程；22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ；（1）当123n n a -=⋅*()n N ∈时，请写出用n S 表示为1n S +的函数式：1()n n S f S +=；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠，试判断数列{}n a 是否为等比数列？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若数列{}n a 对任意的3n ≥的正整数满足：1()2n n n a a S +=，试证明{}n a 是等差数列；23. 已知函数2()(2)3f x x a x a =--+-；（1）若函数()y f x =在区间[2,2]-上是偶函数，求实数a 的值；（2）当2a =时，是否存在实数,m n ，使函数()y f x =在区间[,]m n 上的值域也是[,]m n ？如果存在，求出实数,m n 的值；（3）是否存在整数,m n ，使得关于x 的不等式()m f x n ≤≤的解集恰好为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值，若不存在，请说明理由；。

2018-2019学年华二附中高三期中考

华二附中高三期中数学试卷2018.11一.填空题1.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为_____________ 2.函数()()22log 10y x x =+<的反函数是____________3.已知1020lg 034x π=，则x =_____________4.若函数211x y x -=-的值域是(,0][3,)-∝+∝U ，则此函数的定义域是__________ 5.在平面直角坐标系中，从六个点A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三个点能构成三角形的概念是_____________（结果用分数表示）6.已知实数a 满足3a i +≥，则212lim 2n nnn n a a +-→∝+=+___________ 7.一般地，矩阵运算''a b x x c d y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可以看作向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭变换为向量''x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，我们把矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做变换矩阵，向量''x y ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭叫做向量x y ⎛⎫⎪⎝⎭的像，已知向量cos sin r r αα⎛⎫⎪⎝⎭的像是()()cos sin r r αθαθ+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，则对应的变换矩阵是_______ 8.某家具公司生产甲、乙两种书柜，制柜需先制白胚再油漆，每种柜的制造白胚工则该公司合理安排这两种产品的生产，每天可获得的最大利润为______________ 9.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意()1212,[2,)x x x x ∈+∝≠0 ，都有()()12120f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是_________10.已知三棱锥A-BCD ，从B 、C 、D 三点及各棱中点共9个点中任取不共面4点，共____________种不同的取法（用数字作答）11.如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴y 上运动，在第一秒时它从原点运动到点（0，1），接着它按图所示在x 轴、y 轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点_______________.12.已知正实数p 、q 满足2p q pq +=，则22p q p q ++的最小值是_________ 二.选择题13.若()''3x y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（） A.15 B.10C.8D.514.已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） A.7π B.9πC.11πD.13π15.使直线1ax by +=和2250x y +=只有整数公共点的有序实数对(),a b 的个数为（） A.72B.74C.78D.8216.定义向量的外积：a b ⨯r r 叫做向量a r 与b r的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1）,a a b b a b ⊥⨯⊥⨯r r r r r r ，且,a b r r 和a b ⨯r r构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯r r 的模sin ,a b a b a b ⨯=•r r r r r r ,a b r r表示向量a r 、b r 的夹角）；如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论： ①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB BC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等；④()1AB AB CB ⨯•与正方体体积的数值相等；这四个结论中，正确的结论有（）个 A.4 B.3 C.2D.1三.解答题17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图像与y 轴交于点302⎛⎫⎪⎝⎭，，它在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3M x 、()02,3N x π+-，点P 是()f x 图像上任意一点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知()0,1j =r，求()j MP NP •+r 的取值范围.18.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB 23=.（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.19.已知二次函数()2f x ax bx c =++（a 、b 、c 均为实常数，*a N ∈）的最小值是0，函数()y f x x =-的零点是352x +=和352x =，函数()g x 满足()()21f x g x x k =•+-，其中2k ≥，为常数.（1）已知实数1x 、2x ，满足120x k x <<<，且212x x k •>，试比较()1g x 与()2g x的大小关系，并说明理由；（2）求证：()()()()()()1211221g g g k g k g k g k +++->++++-L L .20.已知A 、B 为椭圆()222210x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且()(),>1AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈，设AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若2λ=，求2OP 的值（用a 、b 的代数式表示）；（2）求证：12340k k k k +++=；（3）设1F 、2F 分别为椭圆和双曲线的右焦点，若22F P F Q P ，求22221234k k k k +++的值.21.已知数列{}()()11:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,1,...,1k k k n a k k ----------644474448个，即当()()()*1122k k k k n k N -+<≤∈时，()11k na k -=-，记()*12n n S a a a n N =+++∈L .（1）求2018S 的值；（2）求当（()()()()*11222k k k k n k N +++<≤∈，试用n 、k 的代数式表示()*n S n N ∈；（3）对于*t N ∈，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n N ∈，且1}n t ≤≤，求集合2018P 中元素的个数.参考答案一.填空题1.142.)0y x =>3.14.[0,1)(1,2]U5.346.a7.cos sin sin cos θθθθ- 8.2729.13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.6911.()6,4412.10二.选择题 13.D 14.A 15.A 16.D三.解答题17.（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[]6,6-18.（1）d =（2 19.（1）()()()21221,f x x x g x g x =-+<；（2）略20.（1）22532a b +；（2）证明略；（3）821.（1）1888；（2）()()()11112k n k k S m k -+⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，其中1,2,...,1m k =+，()()()()*11222k k k k n k N +++<≤∈；（3）65.。

上海市华师大二附中高三上学期综合练习十(数学).doc

上海市华师大二附中高三上学期综合练习十（数学）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知集合A={(x ，y)|y=sinx ，∈x (0，2π)}，B={(x ，y)|y=a ，∈a R}，则集合A∩B 的子集个数量多有个.2、若函数)(x f =x 21log 2的值域是[-1，1]，则函数)(1x f-的值域为 .3、(文)若⎩⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，，则目标函数y x z 2+=的取值范围是 .(理)将曲线 )(sin cos R y x ∈⎩⎨⎧==θθθ，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的21倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .4、在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n 的值为 .5、函数x x x x f cos sin 42sin )(3-=的图象上相邻二条对称轴之间的距离是 .6、设1e 和2e是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a +-=+=，则b a ⋅= .7、若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 .8、在正三棱锥S －ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成角为︒45，则SD 与底面所成角的正弦值为 .9、一动圆与两圆(x+4)2+y 2=25和(x-4)2+y 2=4都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 . 10、)(x f 是偶函数，且)(x f 在(0，+∞)上是增函数，若∈x [21,1]时，不等式)2()1(-≤+x f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402，745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有个.12、对于正整数n 和m(m<n)定义!m n =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n -km)其中k 是满足n>km 的最大整数,则!20!1864=________. 二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

上海市华东师大二附中高三数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= ．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= ．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= ．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为= ．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”18．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．619．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= {x|x＜1} ．【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意全集U=R，再根据函数的定义域写出集合M，然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可．【解答】解：因为集合M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，全集U=R，∴C U M={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】首先把两个复数相加，实部和虚部分别相加，得到复数的标准形式，根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部等于0，虚部不等于0，解出结果．【解答】解：∵z1=1﹣i，z2=a+2ai，∴z1+z2=a+1+（2a﹣1）i，∵复数z1+z2是纯虚数，∴a+1=0，2a﹣1≠0，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算，是一个基础题，解题的关键是看清题目中的要求，注意一定要上虚部不等于0．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是x+y﹣1=0 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】易得圆心坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M为（1，0），又直线x﹣y=0的斜率为1，由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣1，∴直线方程为y﹣0=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及圆的标准方程，属基础题．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= 45°．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由a小于b，利用三角形中大边对大角得到A小于B，确定出A的范围，进而由sinA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=，b=，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA==，又＜，即a＜b，∴A＜B，则A=45°．故答案为：45°【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质易得a7=，进而可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7+a13=3a7=2π，∴a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正切的运算，属基础题．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根∴△=（a﹣1）2﹣4＞0∴a＜﹣1或a＞3故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= 1 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】通过程序框图判断出新运算S=a⊗b的解析式，化简，再利用新运算法则求出值．【解答】解：由程序框图知 S=a⊗b=，∴=3⊗4==1故答案为：1．【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则．利用运算法则求值，属于基础题．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；定义法；坐标系和参数方程．【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可．【解答】解：极坐标系中，，∴线段AB的长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径和正方体的棱长，即可求体积【解答】解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为2，半径为1，正方体的棱长为2∴原几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力．属简单题10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，+∞）．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组；二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题．【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后消去y得（m2﹣1）x=m（m﹣1），当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解，从而求出m的范围．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组即二元一次方程组①×m﹣②得（m2﹣1）x=m（m﹣1）当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解∴m≠1故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数，以及矩阵的乘法运算，属于中档题．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=，故答案为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为a≥1或a≤﹣2 ．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需，求得a≥1或a≤﹣2，故答案为：a≥1或a≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积【解答】解：取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（）MN=∴x2+y2+z2=4∴∴OP2=1即OP=1∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分又∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°∴点P的轨迹是球的∴几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为=2+．【考点】数列的极限．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】由题设知a1=|（0，1）•（1，1）|=1，a2=|（1，1）•（0，2）|=，a3=|（0，2）•（2，2）|=2，a4=|（2，2）•（0，4）|=2，…，a n=（）n﹣1，S n=a1+a2+a3+…+a n=．由此可求出的值．【解答】解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，且当n≥2时，a n2=|P n P n+1|2=（x n+1﹣x n）2﹣（y n+1﹣y n）2=[（y n﹣x n）﹣x n]2+[（y n+x n）﹣y n]2=5x n2﹣4x n y n+y n2a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（x n﹣x n﹣1）2﹣（y n﹣y n﹣1）2①由定义（n∈N），得，∴，代入①计算化简得a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（）2+（）2=（5x n2﹣4x n y n+y n2）=a n2．∴=（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=（）n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=．∴=•=，则===2+．故答案为：．【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用，属于中档题．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出球的半径，利用等边三角形求出∠AOB的大小，再求球面距离弧AB．【解答】解：根据题意画出示意图，如图所示：∵球的半径为R=2，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，∴小圆直径为AB=2；∴在三角形AOB中，AO=AB=BO=2，∴∠AOB=，∴A，B两点间的球面距离为：l=R=．故选：D．【点评】本题考查了球面距离的应用问题，也考查了圆的周长与弧长的计算问题，是基础题目．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出函数f（x）的导数，求出“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，从而得到答案．【解答】解：f′（x）==，如f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则2a﹣1＞0，解得：a＞，由f（2）＜f（3），得：＜，解得：a＞，故f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题．18．设直线系M：xco sθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以⑥都正确．⑦可以举反例．【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个故选：B【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域．19．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y 过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当S=3时，对应的平面区域为四边形OCAD，当直线z=3x+2y经过点A（1，2）时，z最大，最大值为7．当S=5时，对应的平面区域为三角形OBD，当直线z=3x+2y经过点B（0，4）时，z最大，最大值为8，故当3≤S≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键．20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1【考点】棱锥的结构特征．【专题】压轴题；探究型．【分析】用极限的角度考虑，可求x接近最小的数值，得不到最大值，求出结果．【解答】解：用极限的角度考虑，四面体趋近于在一个平面内的菱形时x最小，不能低于，最大可以无穷大（就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于0），【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】（1）将原不等式转化为（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0，根据解集为（﹣1，b）得到﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解（2）根据z1z2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于α的条件式并解得：tanα=﹣，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将化为关于tanα的代数式即可求解【解答】解：（1）原不等式等价于（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0由题意得，解得a=﹣1，b=2．（2）z1=﹣1+2i，z1z2=（﹣cosα﹣2sinα）+i（2cosα﹣sinα）若z1z2为纯虚数，则，解得==．【点评】本题考查了二阶矩阵，两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力，属于基础题．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】压轴题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x0，0），再设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，从而说明存在点Q．【解答】解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．∴|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CF|=|BE|﹣|CE|=|BO|+|OE|﹣（|OC|﹣|OE|）=2|OE|I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|﹣|AC|=2x2﹣y2=1（x＞1）（2）设点Q（x0，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）∵⇔⇔⇔∠MQC=∠NQC于是：①当MN⊥x，点Q（x0，0）在x上任何一点处，都能够使得：∠MQC=∠NQC成立，②当MN不垂直x时，设直线．由得：则：∴∵，要使∠MQC=∠NQC成立，只要t an∠MQC=tan∠NQC：⇒x2y1﹣x0y1+x1y2﹣x0y2=0即=∴⇒∴当时，能够使：对任意的直线m成立．【点评】本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设{a n}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，代入求和公式S n=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以•=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{a n}为等差数列”．当n=1时， =显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得， =（﹣），即na n﹣（n﹣1）a n+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n=a1④，即2a n=a n﹣1+a n+1．所以{a n}为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，所以r≤．设{a n}的公差为d，则a n+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以a n=rsinθ﹣，S n==r≤•=，所以S n的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得f（f（x））=f（）=x，（2）作函数y=||与函数y=a﹣|x|的图象，从而化为x+=a有一个解，从而利用判别式解得．。