广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学理试题(全WORD版)
湖南省长沙市2020届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
湖南省长沙市2017届高三12月联考数学(理科)本试题卷共6页,23题(含选考题) 全卷满分150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合{|A x x =≥2},1{|0}4x B x x -=>-,则A B =( ) A .∅ B .[2,4)C .[2,)+∞D .(4,)+∞(2)已知复数z 满足11zi z-=+,则||z =( ) A .1BC . 2D.(3)已知数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+(0)q ≠,则“A B =-”是“数列{}n a 是等比数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分且不必要条件(4)在矩形ABCD 中,2AB AD =,在CD 上任取一点P ,ABP ∆的最大边是AB 的概率是( )AB .C1 D1(5)如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )正视图侧视图俯视图A BCD PA .272π B . 27π C.D(6)若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩,则2z x y =+的最小值是__ __.A .4B .6C .8D .12(7)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左,右焦点,过点1F 且与x 垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ,已知2MF N ∆是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( ) AB .2C.1D.2(8)ABC ∆是边长为2的等边三角形,向量a ,b 满足2AB a =,2AC a b =+,则向量a ,b 的夹角为( )A .30B .60C .120D .150 (9)执行如图所示程序框图,若输出的S 值为20-,则条件框内应填写( ) A .3?i > B .4?i < C .4?i > D .5?i <(10)等差数列{}n a 的前n 和为n S ,且1a <0,若存在自然数m ≥3,使得m m a S =,则当n >m 时,n S 与n a 的大小关系是( )A .n S <n aB .n S ≤n aC .n S >n aD .大小不能确定(11)已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>,||2πϕ<)的部分图象如图,则20161()6n n f π==∑( ) A .1- B .0 C .12D .1(12)已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.⎛-∞ ⎝ B.(-∞C.⎛ ⎝ D.⎛ ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.(13)已知直线:0l mx y ++=与圆22(1)2x y ++=相交,弦长为2,则m =________. (14)在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________(用数字作答). (15)有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直,则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________.(16)有一支队伍长L 米,以一定的速度匀速前进.排尾的传令兵因传达命令赶赴排头,6π 512π 1-1到达排头后立即返回,且往返速度不变.如果传令兵回到排尾后,整个队伍正好前进了L 米,则传令兵所走的路程为___________.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边,且cos sin 0a C C b c --= (I )求A ;(II )若AD 为BC 边上的中线,1cos 7B =,2AD =,求ABC ∆的面积.(18)(本小题满分12分)为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”的战略,进一步优化能源消费结构,某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(I )在该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X ,求X 的数学期望;(II )已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度进ABD行收购.经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度,试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元?(19)(本小题满分12分)如图,在四棱锥中P ABCD -,PA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AD CD ⊥,且AD CD ==BC =2PA =.(I )求证:AB PC ⊥;(II )在线段PD 上,是否存在一点M ,使得二面角M AC D --的大小为45,如果存在,求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值,如果不存在,请说明理由.PBCDMA(20)(本小题满分12分)如图,设点,A B的坐标分别为(0),0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23-. (I )求点P 的轨迹方程;(II )设点P 的轨迹为C ,点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满足//AP OM ,//BP ON ,求证:MON ∆的面积为定值.(21)(本小题满分12分),函数31()||3f x x x a =+-(x R ∈,a R ∈). (I )若函数()f x 在R 上为增函数,求a 的取值范围; (II )若函数()f x 在R 上不单调时:(i )记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ,求()()M a m a -; (ii )设b R ∈,若2|()|3f x b +≤对[1,1]x ∀∈-恒成立,求a b -的取值范围.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一个题记分. (22)(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数)相交于不同的两点A 、B .(I )若3πα=,求线段AB 的中点的直角坐标;(II )若直线l 的斜率为2,且过已知点(3,0)P ,求||||PA PB ⋅的值.(23)(本小题满分10分)(选修4-5:不等式选讲)已知函数()|||3|f x x a x =-+-(3a <). (I )若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥,求a 的值. (II )若对x R ∀∈,()|3|1f x x +-≥,求实数a 的取值范围.数学(理科)参考答案1.命题依据:以一元二次、一元一次不等式的解法切入,然后考查集合的交并运算. 答案:D .2.命题依据:考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算. 答案:A .1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===-++-.,故选A . 3.命题依据:具体情境中识别数列的性质,充分条件与必要条件.答案:B .若0A B ==,则0n S =,故数列{}n a 不是等比数列;若数列{}n a 是等比数列,则1a A q B =+,22a Aq Aq =-,323a Aq Aq =-,由3221a a a a =,得A B =-.选B .4.命题依据:几何概型.答案:D .分别以A 、B 为圆心,AB 为半径作弧,交CD 于1P 、2P ,则当P 在线段12P P 间运动时,能使得ABP ∆的最大边是AB,易得121PP CD=,即ABP ∆的最大边是AB1.5.命题依据:由三视图认识空间几何体的结构特征,球的表面积计算.答案:B .由三视图可知,该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥,则该几何体的外接球的半径为2,从而计算得表面积为24()272ππ=.故选B . 6.命题依据:线性规划的应用.答案:B .作出可行域为开放区域,2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6.故选B .7.命题依据:双曲线的标准方程及简单几何性质,离心率求解.答案:C .由已知22b c a=,即2220c ac a --=,得2210e e --=,解得1e =故选C .8.命题依据:平面向量基本定理,向量的数量积运算. 答案:C .易得120. 9.命题依据:算法,程序框图. 答案:D .ABD PCP 1 P 210.命题依据:等差数列的性质,等差数列的单调性答案:C .若1a <0,存在自然数m ≥3,使得m m a S =,则0d >.因为若d <0,则数列是递减数列,则m m S a <,不会有m m a S =.由于1a <0,0d >,当m ≥3,有m m a S =,则0m a >,0m S >,而1n m m n S S a a +=+++,显然n n S a >.故选C .11.命题依据:()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质.答案:B .易得2ω=,由五点法作图可知262ππϕ⨯+=,得6πϕ=.即()sin(2)6f x x π=+.故()16f π=,21()62f π=,31()62f π=-,4()16f π=-,51()62f π=-,61()62f π=,201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑.故选B . 12.命题依据:函数的零点、方程的根的关系.答案:B .由题意得即方程()221ln 2x x e x x a -+-=++有正根,即()1ln 2x e x a --=+有正根, 作函数12x y e -=-与()ln y x a =+的图象,则可知0x =时,()1ln 2x a +<故a <B .13.命题依据:直线方程,圆的方程,直线与圆的位置关系.答案:3m =.由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离为d =,所以212+=,解得3m =. 14.命题依据:二项式定理的应用.答案:223355(1)2(1)10C C -+-=-.15.命题依据:线线角,面面垂直.答案:14. 16.命题依据:数学应用,数学建模.答案:(1L +.思路一:设传令兵的速度为v ',队伍行进速度为v ,则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-,从排头到队尾的时间为L v v '+,往返共用时间为L Lt v v v v=+''-+,则传令兵往返路程S v t '=.由于传令兵回到排尾后,整个队伍正好前进了L 米,则L vt =.故22()2t v v v L ''-=,可得222()2t v v v tL ''-=.即22()2()0v t L v t L ''--=,解得(1v t L '=+,传令兵所走的路程为(1L . 思路二:设传令兵的速度为v ',队伍行进速度为v ,则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-,从排头到队尾的时间为Lv v '+,则易得 L L Lv v v v v +=''-+,化简得222v v v v ''-=,得1v v'=,由于队伍与传令兵行进时间相等,故传令兵所走路程为(1L +.17.命题依据:三解形中的恒等变换,正、余弦定理.【分析】(I )利用正弦定理将边的关系化为角的关系,利用三角恒等变换求出B 值. (II )先根据两角和差的正弦公式求出sin C ,再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系,再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值,再由三角形面积公式可求结果.【解答】(I )因为cos sin 0a C C b c --= ,由正弦定理得:sin cos sin sin sin A C A C B C +=+,即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++,……3分cos 1A A -=,所以1sin(30)2A ︒-=.……5分 在ABC ∆中,0180A ︒︒<<,所以3030A ︒︒-=,得60A ︒=.……6分(II )在ABC ∆中,1cos 7B =,得sin B =.……7分则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==.……9分 设7a x =,5c x =,在ABD ∆中,由余弦定理得: 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯,解得1x =, 即7,5a c ==,……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==.……12分18.命题依据:统计与概率,离散型随机变量的期望,统计思想的应用.数学抽象与应用意识.解:(I )记在该县山区居民中随机抽取1户,其年用电量不超过600度为事件A .由抽样可知, 3()5P A =.……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布,即3~(10,)5X B ,故3()1065E X =⨯=.……6分(II )设该县山区居民户年均用电量为()E Y ,由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(度)……10分 则该自然村年均用电约150000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度,能为该村创造直接收益120000元.……12分19.命题依据:垂直的判定与证明,空间角的求解,空间向量的应用. 【分析】(I )利用几何图形的特点,将空间问题平面化后,找出垂直关系,进行证明; (II )假设存在点M ,利用二面角M AC D --的大小为45确定点M 的位置,再利用平面MAC 的法向量求线面角. 【解答】(I )如图,由已知得四边形ABCD 是直角梯形,由已知AD CD ==BC =可得ABC ∆是等腰直角三角形,即AB AC ⊥,又PA ⊥平面ABCD ,则PA AB ⊥, 所以AB ⊥平面PAC , 所以AB PC ⊥.……4分 (II )存在.法一:(猜证法)观察图形特点,点M 可能是线段PD 的中点.下面证明当M 是线段PD 的中点时,二面角M AC D --的大小为45.……5分过点M 作MN AD ⊥于N ,则//MN PA ,则MN ⊥平面ABCD . 过点M 作MG AC ⊥于G ,连接NG ,则M G N ∠是二面角M AC D --的平面角.因为M 是线段PD 的中点,则1MN =,A DBCAN =在四边形ABCD 求得1NG =,则45MGN ∠=.……8分在三棱锥M ABC -中,可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅, 设点B 到平面MAC 的距离是h ,13B MAC MAC V S h -∆=⋅,则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅,解得h =.……10分 在Rt BMN ∆中,可得BM =.设BM 与平面MAC 所成的角为θ,则sin h BM θ==.……12分 法二:(作图法)过点M 作MN AD ⊥于N ,则//MN PA ,则MN ⊥平面ABCD .过点M 作MG AC ⊥于G ,连接NG ,则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角. 若45MGN ∠=,则NG MN =,又AN ==,易求得1MN =.即M 是线段PD 的中点.……8分 (以下同解法一) 法三:(向量计算法)建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,0)A,C,(0,D ,(0,0,2)P,B,(0,2)PD =-.设PM tPD =(01t ≤≤),则M的坐标为(0,,22)t -.……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量,则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得0(22)0t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩,则可取(1,1,)1n t =--.……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量,所以|||||cos ,|cos 45||||m n m n mn ⋅<>===解得12t =.即点M 是线段PD 的中点.……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,n =-,(BM =-.BM 与平面MAC 所成的角为θ,则sin |cos ,|n BM θ=<>=.……12分20.命题依据:椭圆的方程、轨迹的求解,解析几何中的定值问题,运算能力。
2022-2023学年福建省福州市仓山区高三上学期12月质检数学试题(word版)
福州市仓山区2022-2023学年高三上学期12月质检数学考试时间:120分钟 总分:150分一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.每题有且只有一个选项是正确的,请把答案填在答卷相应位置上.)1.集合{}2,0,1,2M =-,{}211N x x =->,则M N ⋂=( ) A.{}2,1,2-B.{}0,2C.{}2,2-D.[]2,2-2.已知复数z 满足()11i iz +=,则在复平面内复数z 对应的点在( ) A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.已知向量()1,2a =,(),2b m m =-,若a b ∥,则m =( ) A.23B.1C.43D.2-4.已知0x >,0y >,且2x y +=,则2221x y x y+++的最小值为( )A.5B.72C.72+ D.55.已知8cos 5αα+=,则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.725-B.725C.45D.756.已函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ,且()()0f x f x '->,()01f =,则关于x 的不等式()e x f x >的解集为( )A.{}0x x >B.{}0x x <C.{}1x x <D.{}1x x >7.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,过正方体中两条异面直线AB ,11A D 的中点P ,Q 作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为( )A.21 D.18.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的左右焦点分别为1F ,2F ,O 为坐标原点,点M 为双曲线右支上一点,若122F F OM =,213MF F π∠≥,则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A.(1⎤+⎦B.1⎤⎦C.D.)1,+∞二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的XX 、XX 填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.=++i1i 3A .i 21+B .i 21-C .i 2+D .i 2-2.设集合{}4 2 1,,=A ,{}042=+-=m x x B ,若{}1=B A ,则=B A .{}3 1-, B. .{}0 1, C .{}3 1, D .{}5 1, 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?〞意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .π90 B .π63 C .π42 D .π365.设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+,,,0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是A .15-B .9-C .1D .96.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有A .12种B .18种C .24种D .36种理科数学试题第1页〔共4页〕7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的1-=a ,则输出的=S A .2B .3C .4D .59.若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ,的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2,则C 的离心率为A .2B .3C .2D .33210.已知直三棱柱111C B A ABC -中, 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .23 B .515 C .510 D .33 11.若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点,则)(x f 的极小值为A .1-B .32--eC .35-eD .112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则)(PC PB PA +⋅的最小值是A .2-B .23-C .34- D .1-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
【广东省广州】2017届高三12月模拟考试理科数学年试题
广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷答 案一、选择题(1)~(5)BDABA(6)~(10)CDCBB(11)~(12)DA二、填空题 (13)6 (14)40 (15)3 (16)2 三、解答题 (17)解:(Ⅰ)因为1a =,2cos 2C c b +=,由余弦定理得2221222b c c b b+-⨯+=,即221b c bc +-=.……………………(2分)所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===.…………………………………………(4分)由于0πA <<,所以π3A =.…………………………………………(6分)(Ⅱ)法1:由12b =及221bc bc +-=,得2211()122c c +-=,……………………(7分)即24230c c --=,………………………………………………………………(8分)解得c =或c =(舍去).…………………………………………(9分)由正弦定理得sin sin c aC A=,…………………………………………(10分)得sin sin60C =︒=.………………………………………(12分) 法2:由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=,…………………………………………(7分)得1sin sin602B =︒=.…………………………………………(8分)由于b a <,则060B A ︒=︒<<,则cos B =.…………………………………………(9分) 由于180A B C ++=︒,则120C B =︒-.………………………………………(10分)所以sin sin(120)C B =︒-sin120cos cos120sin B B =︒-︒.………………………………………(11分)12+E8=……………………………………………………………(12分) (18)解: (Ⅰ)150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=,即67 3.2a b +=,……………………(1分) 又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=,……………………(2分) 得0.3a =,0.2b =.…………………………………………………………(4分) (Ⅱ)由已知得,样本的频率分布表如下:………………………………………………………………(5分)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数2X 的概率分布列如下:………………………………………………………………(6分)所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………(7分) 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8.……………………………………………(8分) (Ⅲ)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为616=,…………(9分) 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为4.81.24=,…(10分)据此,乙厂的产品更具可购买性.……………………………………………(12(19)解:(Ⅰ)因为ABC △是等边三角形,M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥.…………………………………(1分) 因为EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥.…………………………………(2分) 因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM .……………………(3分) 因为EM ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥.……………………………(4分)(Ⅱ)法1:以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -. 因为DB ⊥平面ABC ,PN M DECBA所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角.……………………………………(5分) 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =,…………………………………(6分) 从而BD AC =.不妨设2AC =,又2AC AE =,则CM 1AE =.…………………………(7分) 故(0,1,0)B,C ,(0,1,2)D ,(0,1,1)E -.……………………………(8分) 于是(3,1,0)BC =-,(0,0,2)BD=,(1,1)CE =-,(CD =, 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =,222(,,)n x y z =由00m BC m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得111020y z -==⎪⎩,令11x=,得1y所以(1,3,0)m =.…………………………………(9分)由00n CE n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩,令21x =,得2y =2z =.所以3(1,n =-.…………………………………(10分)所以cos ,0||||m nm n m n <>==.…………………………………(11分) 所以二面角B CD E --的余弦值为0.…………………………………(12分) 法2:因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角.…………………………………(5分) 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =,…………………………………(6分) 从而BD AC =.不妨设2AC =,又2AC AE =,则CM =1AE =,2AB BC BD ===.…………………………………(7分) 由于EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,则EA BD ∥. 取BD 的中点N ,连接EN ,则2EN AB ==. 在Rt END △中,ED= 在Rt EAC △中,EC =在Rt CBD △中,CD ,取CD 的中点P ,连接EP ,BP ,BE ,则EP CD ⊥,BP CD ⊥…………………………………(8分)所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角.…………………………………(9分) 在Rt EPC △中,EP在Rt CBD △中,12BP CD =在Rt EAB △中,EB =因为2225EP BP EB +==,…………………………………(10分) 所以90EPB ∠=︒.…………………………………(11分)所以二面角B CD E --的余弦值为0.…………………………………(12分) (20)解:(Ⅰ)设圆P 的半径为R ,圆心P 的坐标为(,)x y ,由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切,且与圆222:(2)1F x y -+=相内切,所以动圆P 与圆1F 只能内切.…………………………………(1分) 所以1271PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………………………………(2分)则121264PF PF F F +=>=.…………………………………(3分) 所以圆心P 的轨迹是以点1F ,2F 为焦点的椭圆, 且3a =,2c =,则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为22195x y +=.…………………………………(4分)(Ⅱ)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,33(,)Q x y ,直线MN 的方程为2x my =+,由222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(59)20250m y my ++-=,则1222059my y m +=-+,1222559y y m =-+.…………………………………(5分)所以||MN =(6分)2230(1)59m m +=+.…………………………………(7分) 因为MN OQ ∥,所以QMN △的面积等于OMN △的面积.…………………(8分)点O 到直线:2MN x my =+的距离d .……………………………(9分)所以QMN △的面积221130(1)||2259m S MN d m +==⨯+.………(10分) t =,则221(1)m t t =-≥,2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++.设4()5(1)f t t t t=+≥,则222454()5t f t t t -'=-=. 因为1t ≥,所以2254()0t f t t -'=>.所以4()5f t t t=+在[1,)+∞上单调递增.所以当1t =时,()f t 取得最小值,其值为9.…………………………………(11分)所以QMN △的面积的最大值为309.…………………………………(12分) 说明:QMN △的面积2121||||2S OF y y =-. (21)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x+'=+.………………………………………………………………(1分) 依题意得(e)e f =,'(e)2f =,即e e e 2e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………(3分) 所以1m =,0n =.………………………………………………………………(4分) 所以()ln f x x x =,()ln 1f x x '=+.当1(0,)ex ∈时,()0f x '<;当1(,)e x ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e,单调递增区间是1(,)e +∞.………………(6分)(Ⅱ)当a ,b +∈R 时,()()()22f a f b a bf ++≥.()(b)()22f a f a b f ++≥等价于ln ln ln222a ab b a b a b+++≥, 也等价于2ln (1)ln(1)ln20a a a ab b b b-+++≥.………………………………………(7分)不妨设a b ≥,设()ln(2)(1)ln(1)ln2g x x x x x =-+++([1,)x ∈+∞)则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+.…………………………………………………………(8分) 当[1,)x ∈+∞时,()0g x '≥,所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数,即()ln2(1)ln(1)ln2(1)0g x x x x x g =-+++≥=,……………………(9分)故当[1,)x ∈+∞时,()ln2(1)ln(1)ln20g x x x x x =-+++≥(当且仅当1x =时取等号).令1ax b=≥,则()0a g b ≥,…………………………………………(10分)即2ln (1)ln(1)ln20a a a a b b b b-+++≥(当且仅当a b =时取等号),……………(11分) 综上所述,当a ,b +∈R 时,()()()22f a f b a bf ++≥(当且仅当a b =时取等号)………(12分)(22)解:(Ⅰ)由sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=,……………………(1分)所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=.……………………(2分) 由2cos 4sin ρθθ=,得2(cos )4sin ρθρθ=,……………………(3分) 把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入上式,得24x y =,所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =.…………………………………………(5分) (Ⅱ)将直线l 的参数方程代入24x y =,得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=,………………(6分)当πϕ=时,||AB 的最小值为4.…………………………………………(10分)(Ⅱ)因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x+--++--+==≥………………(7分)(8分)(9分)2)(,)3+∞.(10分)。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
(1)求 BC 边长; (2)求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】(1) 3 2 ;(2) 13 .
33.ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a 3, cos A 6 , B A ,
【答案】C
3.在 ABC 中,若 a b cb c a 3bc ,则 A ( )
A. 90
B. 60
C.135
D.150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷(带解析)
【答案】B
4.设在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21.设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =( )
A.
3 3
C.
4
2
B.
3 5
D.
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(安徽卷带解析)
【答案】B
22.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2 b2 c2 tanB 3ac ,
A.3 6
B.9 6
C.3
D.6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且cc−−ba=sinCsi+nAsinB,则 B= (
)
A.π
6
广东省13大市区高三数学 最新试题精选二模分类汇编15 常用逻辑用语 理
一、选择题1 .(广东省江门市2013年高考模拟考试(即一模)数学(理)试题 )若0>x 、0>y ,则1>+y x 是122>+y x 的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件 【答案】B 2 .(广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析))在四边形ABCD中,“AB DC =,且0AC BD ⋅=”是“四边形ABCD 是菱形”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C 3 .(广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学(理)试题)下列命题正确的是 ( )A .2000,230x R x x ∃∈++=B .32,x N x x ∀∈> C .1x >是21x >的充分不必要条件 D .若a b >,则22a b >【答案】C4 .(广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学(理)试题)如果命题“()p q ⌝∨”是假命题,则下列说法正确的是( )A .p q 、均为真命题B .p q 、中至少有一个为真命题C .p q 、均为假命题D .p q 、中至少有一个为假命题【答案】B5 .(广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 )已知命题p :,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b+=;命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥恒成立,则下列命题是假命题的是( )A .()()p q ⌝∨⌝B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q ⌝∨D .()p q ⌝∧【答案】B6 .(广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题)已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b⊥的充要条件是 ( )A .0x =B .5x =C .1x =-D .12x =-【答案】A7 .(广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学(理)试题)“1a =”是“(1)(2)0a a --=”成立的A . 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】A 8 .(广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学(理)试题)给出下述四个命题中:①三角形中至少有一个内角不小于60°; ②四面体的三组对棱都是异面直线;③闭区间[a ,b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点;④当k >0时,方程x 2+ ky 2= 1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】解:当k =1时,曲线是圆,故D 错误.其余三个命题都是正确的.选 C . 9 .(广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模))已知x R ∈,则1x ≥是|1||1|2||x x x ++-=的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件【答案】A10.(广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是( ) A .10x -<<或1x > B .1x <-或01x <<C .1x >- D .1x >【答案】D 画出直线y x =与双曲线1y x=,两图象的交点为(1,1)、(1,1)--,依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*),显然1x >⇒(*);但(*)⇒/1x >. 11.(广东省广州市2013届高三调研测试数学(理)试题)设向量=a ()21x ,-,=b ()14x ,+,则“3x =”是“a //b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A分析:当//a b 时,有24(1)(1)0x x ,解得3x =±;所以3//x a b =⇒,但//3a bx =,故“3x =”是“//a b ”的充分不必要条件12.(广东省湛江市2013届高三4月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题,则 ( )A .命题p 、q 均为假命题B .命题p 、q 均为真命题C .命题p 、q 中至少有一个是真命题D .命题p 、q 中至多有一个是真命题 【答案】D 13.(广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学(理)试题)设命题p:函数y=sin2x 的最小正周期为2π; 命题q:函数y=cosx 的图象关于直线x=2π对称,则下列的判断正确的是 ( )A .p 为真B .⌝q 为假C .p ∧q 为假D .p q ∨为真【答案】C14.(广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学(理)试题)“22ab >”是 “22log log a b >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B15.(广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学(理)试题)下面是关于复数21z i=- 的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为.A 23,p p .B 12,p p .C 24,p p .D 34,p p【答案】C 16.(广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学(理)试题)设x,y ∈R,则“x=0”是“复数x+yi为纯虚数”的A 充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B 17.(广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版))“|x -1|<2成立”是“x(x -3)<0成立”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B 18.(广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学(理)试题 )50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A19.(广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题)给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若a b ≤,则221a b ≤-”; ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”④等比数列{}n a 中,首项10a <,则数列{}n a 是递减数列的充要条件是公比1q >; 其中不正确...的命题个数是 ( )A .4B .3C .2D .1【答案】C20.(广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟(二)测试数学(理)试题(详解))设命题p:“若对任意x R ∈,|x+1|+|x-2|>a,则a<3”;命题q:“设M 为平面内任意一点,则 ( ) A . B .C 三点共线的充要条件是存在角α,使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”,则( )A .p q ∧为真命题B .p q ∨为假命题C .p q ⌝∧为假命题D .p q ⌝∨为真命题 【答案】C解析:P 正确,q 错误:22sin cos MB MA MC αα=+⋅,<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC,==>A,B,C 三点共线.反之,不成立.例如,A(0,0),B(1,0),C(2,0),BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角a,使向量MA=(sina)^2*向量MB+(cosa)^2*向量 M C .所以这个命题是假的. 21.(广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学(理)试题)已知:230p x x ---≤,:3q x ≤,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件【答案】A22.(2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理)试题)命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ,则p ⌝是( )A .2,11x x ∀∈+<R B .2,11x x ∃∈+≤R C .2,11x x ∃∈+<RD .2,11x x ∃∈+≥R【答案】C 二、填空题 23.(广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)命题“∃0x ∈R,0x e ≤0”的否定是______________.【答案】∀x ∈R,x e >0 24.(广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)已知函数()4||21f x a x a =-+.若命题:“0(0,1)x ∃∈,使0()0f x =”是真命题,则实数a 的取值范围为____________.【答案】由“∃)1,0(0∈x ,使得0)(0=x f ”是真命题,得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >. 25.(广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学(理)试题)已知命题2:,10,p x R x x ∃∈+-<则命题p ⌝是______________________. 【答案】2,10x R x x ∀∈+-≥三、解答题26.(广东省广州市2013届高三4月综合测试(二)数学理试题(WORD 版))已知0a >,设命题p :函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点;命题q :()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值.若()p q ⌝∧是真命题,求实数a 的取值范围.【答案】(本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点,必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0,≥0,即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.解得1212a -<≤.所以当1212a -<≤时,函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围:方法1:因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥①当1a >时,()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减,()g x 在()0,+∞上无最小值; ②当1a =时,()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-; ③当01a <<时,()g x 在()0,a 上单调递减,在[),a +∞上单调递增,()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-所以当01a <≤时,函数()g x 在()0,+∞上有最小值方法2:因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥因为0a >,所以()10a -+<.所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的要使()g x 在()0,+∞上有最小值,必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数 即10a -≥,即1a ≤所以当01a <≤时,函数()g x 在()0,+∞上有最小值若()p q ⌝∧是真命题,则p ⌝是真命题且q 是真命题,即p 是假命题且q 是真命题所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或解得01a <-或112a <≤ 故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦。
广东省江门市届高三12月调研考试数学理试题Word版含答案
江门市2017届普通高中高三调研测试数学(理科)试题2016.12第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.错误!未找到引用源。
是虚数单位,若错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
A .1B .错误!未找到引用源。
C .错误!未找到引用源。
D .错误!未找到引用源。
2.已知集合错误!未找到引用源。
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A .错误!未找到引用源。
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A .错误!未找到引用源。
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4.若等差数列错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。
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的前2016项之和错误!未找到引用源。
A .1506B .1508C .1510D .15125.若错误!未找到引用源。
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B .错误!未找到引用源。
C .错误!未找到引用源。
D .错误!未找到引用源。
6.在平面直角坐标系中,“直线错误!未找到引用源。
与直线错误!未找到引用源。
平行”是“错误!未找到引用源。
”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件7.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱BB 1的中点,用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是8.如图,空间四边形错误!未找到引用源。
中,点错误!未找到引用源。
分别错误!A B C D A B C D 1111E未找到引用源。
上,错误!未找到引用源。
2022-2023学年江苏省盐城中学等四校高三上学期12月联考试题 数学(word版)
16.有一张面积为 的矩形纸片 ,其中 为 的中点, 为 的中点,将矩形 绕 旋转得到圆柱 ,如图所示,若点 为 的中点,直线 与底面圆 所成角的正切值为 , 为圆柱的一条母线(与 , 不重合),则当三棱锥 的体积取最大值时,三棱锥 外接球的表面积为___________.
22.已知函数 .( 是自然对数的底数)
(1)若 ,求 的单调区间;
(2)若 ,试讨论 在 上的零点个数.(参考数据: )
2023届高三年级第一学期四校联考
数学试卷参考答案
1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.C
解:设 ,则 (不恒为零),
C.圆 的圆心为 ,半径为
D.圆 的圆心为 ,半径为
3.已知向量 , , , ,则下列说法正确的是()
A.若 ,则 有最小值 B.若 ,则 有最小值
C.若 ,则 的值为 D.若 ,则 的值为1
4.2021年4月29日,中国空间站天和核心舱发射升空,这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开,我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天,天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里,空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说,航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆,其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点,我们把椭圆轨道上距地心最近(远)的一点称作近(远)地点,近(远)地点与地球表面的距离称为近(远)地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行,它的近地点高度大约351km,远地点高度大约385km,地球半径约6400km,则该轨道的离心率为()
C.当 时,平面 截球O所得截面的周长为
D.当 时,将正四面体ABCD绕EF旋转 后与原四面体的公共部分体积为
2021届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学试题(一)(word版,含官方答案)
★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学本试卷共5页,22小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写 上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={x|-7<3x-1<2},N={x|x+1>0},则M ∪N=A.(-2,+∞)B. (-1,1)C.(-∞,1)D.(-1,+∞) 2.若复数z 满足(z-1)(1+i)=2-2i,则|z|=3.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称,则f(2e)= A. 2e 2 B. 2e C. 1+ln2 D. 21n 24.函数f(x)=cos 2x+6cos(2π-x)(x ∈[0, 2π])的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.75.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列{log 2a n }的前10项和等于 A. 1023 B.55 C.45 D.356.已知a,b 是两个正数,4是2a 与16b 的等比中项,则下列说法正确的是A. ab 的最小值是1B.ab 的最大值是1C. 11a b +的最小值是92D. 11a b +的最大值是927.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍,其中记载有求“困盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V≈2136L h .用该术可求得圆率π的近似值。
高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U是实数集R,M={x|y=ln(x2﹣2x) },N={y|y=},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|﹣2≤x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|x<1}2.已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=( ) A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣3.给出如下命题,正确的序号是( )A.命题:∀x∈R,x2≠x的否定是:∃x0∈R,使得x02≠xB.命题:若x≥2且y≥3,则x+y≥5的否命题为:若x<2且y<3,则x+y<5C.若ω=1是函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的充分不必要条件D.命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则实数a的取值X围是a>04.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.B.C.D.5.设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,•的值等于( )A.0 B.2 C.4 D.﹣26.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( )A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b7.执行如图所示的程序框图,如果输入P=153,Q=63,则输出的P的值是( )A.2 B.3 C.9 D.278.若点(16,tanθ)在函数y=log2x的图象上,则=( ) A.B.C.4 D.49.已知函数f(x)=()x﹣log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值( )A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零10.已知数列{a n}的前n项和为S n,过点P(n,S n)和Q(n+1,S n+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2,则a2+a4+a5+a9的值等于( )A.52 B.40 C.26 D.2011.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A.B. C.D.12.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1﹣3x)的解集是( )A.(,+∞)B.(﹣∞,)C.(0,)D.(﹣∞,)∪(,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.计算:()+lg+lg70+=__________.14.设变量x,y满足约束条件,则z=x﹣3y的最小值是__________.15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[﹣8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=__________.16.关于函数f(x)=(x≠0),有下列命题:①f(x)的最小值是lg2;②其图象关于y轴对称;③当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;④f(x)在区间(﹣1,0)和(1,+∞)上是增函数,其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知p:|1﹣|≤2;q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,某某数m的取值X围.18.已知函数f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)﹣m有零点,求m的取值X围;(2)确定m的取值X围,使得g(x)﹣f(x)=0有两个相异实根.19.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值X围.20.某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利总额y元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利?(3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.21.已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.(1)讨论函数h(x)=的单调性;(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,某某数a的取值X围.四、选做题:请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ.(1)求曲线C1与C2交点的极坐标;(2)A、B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).23.已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|>a.(1)当a=0时,求不等式的解集(2)若不等式在区间[﹣4,2]内无解.某某数a的取值X围.2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U是实数集R,M={x|y=ln(x2﹣2x) },N={y|y=},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|﹣2≤x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|x<1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】应用题;集合思想;定义法;集合.【分析】由图知,阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的,即N∩C U M.【解答】解:由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩(C U M)M={x|y=ln(x2﹣2x) }∴x2﹣2x>0,解得x<0,或x>2,∴M={x|x<0,或x>2},∴C U M={x|0≤x≤2}=[0,2],N={y|y=}={y|y≥1}=[1,+∞),∴N∩(C U M)=[1,2],故选:C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识,属于基础题2.已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=( ) A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣【考点】分段函数的应用;函数的零点.【专题】函数的性质及应用.【分析】由f(a)=﹣3,结合指数和对数的运算性质,求得a=7,再由分段函数求得f(6﹣a)的值.【解答】解:函数f(x)=且f(a)=﹣3,若a≤1,则2a﹣1﹣2=﹣3,即有2a﹣1=﹣1<0,方程无解;若a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,则f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.故选:A.【点评】本题考查分段函数的运用:求函数值,主要考查指数和对数的运算性质,属于中档题.3.给出如下命题,正确的序号是( )A.命题:∀x∈R,x2≠x的否定是:∃x0∈R,使得x02≠xB.命题:若x≥2且y≥3,则x+y≥5的否命题为:若x<2且y<3,则x+y<5C.若ω=1是函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的充分不必要条件D.命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则实数a的取值X围是a>0【考点】命题的真假判断与应用.【专题】计算题;规律型;简易逻辑.【分析】利用命题的否定判断A的正误;四种命题的逆否关系判断B的正误;充要条件判断C 的正误;命题的真假判断D的正误;【解答】解:对于A,命题:∀x∈R,x2≠x的否定是:∃x0∈R,使得x02≠x0,不满足命题的否定形式,所以不正确;对于B,命题:若x≥2且y≥3,则x+y≥5的否命题为:若x<2且y<3,则x+y<5,不满足否命题的形式,所以不正确;对于C,若ω=1是函数f(x)=cosx在区间[0,π]上单调递减的,而函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的,ω≤1,所以ω=1是函数f(x)=cosωx在区间[0,π]上单调递减的充分不必要条件,正确.对于D,命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则命题:a≥0,∀x∈R,x2+a≥0是真命题;所以,命题:∃x0∈R,x02+a<0为假命题,则实数a的取值X围是a>0,不正确;故选:C.【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,基本知识的考查.4.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.B.C.D.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】图表型.【分析】先由三视图还原成原来的几何体,再根据三视图中的长度关系,找到几何体中的长度关系,进而可以求几何体的体积.【解答】解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,所以根据三视图中的数据可得:V=××=,故选C.【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是组合体的体积,一般组合体的体积要分部分来求.三视图的投影规则是:“主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等”.三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视.5.设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,•的值等于( )A.0 B.2 C.4 D.﹣2【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2面积最大.进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标,进而求得和,则•的值可求得.【解答】解:根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2面积最大.这时,F1(﹣,0),F2(,0),P(0,1),∴=(﹣,﹣1),=(,﹣1),∴•=﹣2.故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力.6.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( )A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b【考点】对数值大小的比较.【专题】函数的性质及应用.【分析】分别讨论a,b,c的取值X围,即可比较大小.【解答】解:1<log37<2,b=21.1>2,c=0.83.1<1,则c<a<b,故选:B.【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据指数和对数的性质即可得到结论.7.执行如图所示的程序框图,如果输入P=153,Q=63,则输出的P的值是( )A.2 B.3 C.9 D.27【考点】程序框图.【专题】图表型;算法和程序框图.【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的R,P,Q的值,当Q=0时,满足条件Q=0,退出循环,输出P的值为3.【解答】解:模拟执行程序,可得P=153,Q=63不满足条件Q=0,R=27,P=63,Q=27不满足条件Q=0,R=9,P=27,Q=9不满足条件Q=0,R=0,P=9,Q=0满足条件Q=0,退出循环,输出P的值为9.故选:C.【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的R,P,Q的值是解题的关键,属于基本知识的考查.8.若点(16,tanθ)在函数y=log2x的图象上,则=( ) A.B.C.4 D.4【考点】三角函数的化简求值.【专题】计算题;转化思想;转化法;三角函数的求值.【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ,再化简代值计算即可.【解答】解:点(16,tanθ)在函数y=log2x的图象上,∴tanθ=log216=4,∴====,故选:B.【点评】本题考查了二倍角公式,函数值的求法,以及对数的运算性质,属于基础题.9.已知函数f(x)=()x﹣log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值( )A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】由函数的性质可知,f(x)=()x﹣log3x在(0,+∞)上是减函数,且可得f(x0)=0,由0<x0<x1,可得f(x1)<f(x0)=0,即可判断【解答】解:∵实数x0是方程f(x)=0的解,∴f(x0)=0.∵函数y()x,y=log3x在(0,+∞)上分别具有单调递减、单调递增,∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵0<x0<x1,∴f(x1)<f(x0)=0.∴f(x1)的值恒为负.故选A.【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用,解题的关键是准确判断函数f(x)的单调性并能灵活应用.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,过点P(n,S n)和Q(n+1,S n+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2,则a2+a4+a5+a9的值等于( )A.52 B.40 C.26 D.20【考点】数列的求和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n,过点P(n,S n)和Q(n+1,S n+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2,进一步求出数列的通项公式,然后根据通项公式求出各项的值,最后确定结果.【解答】解:已知数列{a n}的前n项和为S n,过点P(n,S n)和Q(n+1,S n+1)(n∈N*)的直线的斜率为3n﹣2则:∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选:B【点评】本题考查的知识点:根据点的斜率求出数列的通项公式,由通项公式求数列的项.11.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A.B. C.D.【考点】对数的运算性质;函数的图象与图象变化.【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点(1,1),再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性,得到答案.【解答】解:由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知:函数过点(1,1),当0<x<1时,y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1,y′=﹣+1<0.∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数;若当x>1时,y=e lnx﹣x+1=1,故选D.【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系.12.已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1﹣3x)的解集是( )A.(,+∞)B.(﹣∞,)C.(0,)D.(﹣∞,)∪(,+∞)【考点】函数奇偶性的性质.【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】f(x)是定义在R上的奇函数,可得:f(﹣x)=﹣f(x).对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),可得:xf′(x)+2f(x)>0,由g(x)=x2f(x),可得g′(x)>0.可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.即可得出.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x).对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),∴xf′(x)+2f(x)>0,∵g(x)=x2f(x),∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0.∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(0)=0,g(﹣x)=x2f(﹣x)=﹣g(x),∴函数g(x)是R上的奇函数,∴g(x)是R上的增函数.由不等式g(x)<g(1﹣3x),∴x<1﹣3x,解得.∴不等式g(x)<g(1﹣3x)的解集为:.故选:B.【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.计算:()+lg+lg70+=.【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可.【解答】解:()+lg+lg70+=+lg()+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=,故答案为:.【点评】本题考查了对数和幂的运算性质,关键是掌握性质,属于基础题.14.设变量x,y满足约束条件,则z=x﹣3y的最小值是﹣8.【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】将z=x﹣3y变形为,此式可看作是斜率为,纵截距为的一系列平行直线,当最大时,z最小.作出原不等式组表示的平面区域,让直线向此平面区域平移,可探求纵截距的最大值.【解答】解:由z=x﹣3y,得,此式可看作是斜率为,纵截距为的直线,当最大时,z最小.画出直线y=x,x+2y=2,x=﹣2,从而可标出不等式组表示的平面区域,如右图所示.由图知,当动直线经过点P时,z最小,此时由,得P(﹣2,2),从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8,即z=x﹣3y的最小值是﹣8.故答案为:﹣8.【点评】本题考查了线性规划的应用,为高考常考的题型,求解此类问题的一般步骤是:(1)作出已知不等式组表示的平面区域;(2)运用化归思想及数形结合思想,将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理.15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[﹣8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=﹣8.【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的周期性.【专题】数形结合.【分析】由条件“f(x﹣4)=﹣f(x)”得f(x+8)=f(x),说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题.【解答】解:此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(﹣6),另两个交点的横坐标之和为2×2,所以x1+x2+x3+x4=﹣8.故答案为﹣8.【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.16.关于函数f(x)=(x≠0),有下列命题:①f(x)的最小值是lg2;②其图象关于y轴对称;③当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;④f(x)在区间(﹣1,0)和(1,+∞)上是增函数,其中所有正确结论的序号是①②④.【考点】命题的真假判断与应用;奇偶性与单调性的综合.【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用.【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断.②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断;③利用对勾函数的单调性判断;④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可.【解答】解:①函数f(x)=lg,(x∈R且x≠0).∵=2,∴f(x)=lg≥2,即f(x)的最小值是lg2,故①正确,②∵f(﹣x)==f(x),∴函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,故②正确;③当x>0时,t(x)=,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,∴f(x)=lg在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,故③错误;④∵函数f(x)是偶函数,由③知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上得到递增,∴在(﹣1,0)上单调递增,在(﹣∞,﹣1)上得到递减,故④正确,故答案为:①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数奇偶性的性质,考查了复合函数的单调性,是中档题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知p:|1﹣|≤2;q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,某某数m的取值X围.【考点】必要条件;绝对值不等式的解法.【专题】规律型.【分析】先求出命题p,q的等价条件,利用¬p是¬q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件,建立条件关系即可求出m的取值X围.【解答】解:由||=,得|x﹣4|≤6,即﹣6≤x﹣4≤6,∴﹣2≤x≤10,即p:﹣2≤x≤10,由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+(1﹣m)][x+(1+m)]≤0,即1﹣m≤x≤1+m,(m>0),∴q:1﹣m≤x≤1+m,(m>0),∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件.即,且等号不能同时取,∴,解得m≥9.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,将¬p是¬q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键.18.已知函数f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)﹣m有零点,求m的取值X围;(2)确定m的取值X围,使得g(x)﹣f(x)=0有两个相异实根.【考点】函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断.【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)由基本不等式可得g(x)=x+≥2=2e,从而求m的取值X围;(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x++x2﹣2ex﹣m+1,求导F′(x)=1﹣+2x﹣2e=(x﹣e)(+2);从而判断函数的单调性及最值,从而确定m的取值X围.【解答】解:(1)∵g(x)=x+≥2=2e;(当且仅当x=,即x=e时,等号成立)∴若使函数y=g(x)﹣m有零点,则m≥2e;故m的取值X围为[2e,+∞);(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x++x2﹣2ex﹣m+1,F′(x)=1﹣+2x﹣2e=(x﹣e)(+2);故当x∈(0,e)时,F′(x)<0,x∈(e,+∞)时,F′(x)>0;故F(x)在(0,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,故只需使F(e)<0,即e+e+e2﹣2e2﹣m+1<0;故m>2e﹣e2+1.【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用,同时考查了函数零点的判断与应用,属于中档题.19.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值X围.【考点】求对数函数解析式;函数解析式的求解及常用方法;函数最值的应用.【专题】计算题;转化思想.【分析】(1)由已知条件可知函数g(x)的图象上的任意一点P(x,y)关于原点对称的点Q (﹣x,﹣y)在函数f(x)图象上,把Q(﹣x,﹣y)代入f(x),整理可得g(x)(2)由(1)可令h(x)=f(x)+g(x),先判断函数h(x)在[0,1)的单调性,进而求得函数的最小值h(x)min,使得m≤h(x)min【解答】解:(1)设点P(x,y)是g(x)的图象上的任意一点,则Q(﹣x,﹣y)在函数f (x)的图象上,即﹣y=log a(﹣x+1),则∴(2)f(x)+g(x)≥m 即,也就是在[0,1)上恒成立.设,则由函数的单调性易知,h(x)在[0,1)上递增,若使f(x)+g(x)≥m在[0,1)上恒成立,只需h(x)min≥m在[0,1)上成立,即m≤0.m的取值X围是(﹣∞,0]【点评】本题(1)主要考查了函数的中心对称问题:若函数y=f(x)与y=g(x)关于点M (a,b)对称,则y=f(x)上的任意一点(x,y)关于M(a,b)对称的点(2a﹣x,2b﹣y)在函数y=g(x)的图象上.(2)主要考查了函数的恒成立问题,往往转化为求最值问题:m≥h(x)恒成立,则m≥h(x)m≤h(x)恒成立,max则m≤h(x)min20.某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利总额y元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利?(3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】计算题.【分析】(1)赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用,维修、保养的费用历年成等差数增长,,(2)由(1)的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利.(3)算出每一种方案的总盈利,比较大小选择方案.【解答】解:(1)y=﹣2x2+40x﹣98,x∈N*.(2)由﹣2x2+40x﹣98>0解得,,且x∈N*,所以x=3,4,,17,故从第三年开始盈利.(3)由,当且仅当x=7时“=”号成立,所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114(万元).由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2(x﹣10)2+102≤102,所以按第二方案处理总利润为102+12=114(万元).∴由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理.【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力,其中第二问中考查了一元二次不等式的解法,第三问中考查到了基本不等式求最值,本题是一个函数基本不等式相结合的题.属应用题中盈利最大化的问题.21.已知函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3.(1)讨论函数h(x)=的单调性;(2)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,某某数a的取值X围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【专题】综合题;导数的综合应用.【分析】(1)求导数,利用导数的正负,即可讨论函数h(x)=的单调性;(2)求出g(x)max=g(2)=1,当x∈[,2]时,f(x)=+xlnx恒成立,等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立,然后利用导数求函数u(x)=x﹣x2lnx在区间[,2]上取得最大值,则实数a的取值X围可求.【解答】解:(1)h(x)==+lnx,h′(x)=,①a≤0,h′(x)≥0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增②a>0时,h'(x)>0,则x∈(,+∞),函数h(x)的单调递增区间为(,+∞),h'(x)<0,则x∈(0,),函数h(x)的单调递减区间为(0,),.(2)g(x)=x3﹣x2﹣3,g′(x)=3x(x﹣),x 2g′(x)0 ﹣0 +g(x)﹣递减极小值递增 13由上表可知,g(x)在x=2处取得最大值,即g(x)max=g(2)=1所以当x∈[,2]时,f(x)=+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立,记u(x)=x﹣x2lnx,所以a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知u′(1)=0,当x∈(,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则u′(x)>0,∴u(x)在x∈(,2)上单调递增;当x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减;故当x=1时,函数u(x)在区间[,2],上取得最大值u(1)=1,所以a≥1,故实数a的取值X围是[1,+∞).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了导数在最大值、最小值问题中的应用,考查了数学转化思想方法和函数构造法,训练了利用分离变量法求参数的取值X围,属于中档题.四、选做题:请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ.(1)求曲线C1与C2交点的极坐标;(2)A、B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).【考点】参数的意义;简单曲线的极坐标方程.【专题】选作题;转化思想;综合法;坐标系和参数方程.【分析】(1)把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程组求出交点的坐标,再把交点的直角坐标化为极坐标;(2)画出图象,由平面几何知识可知,A,C1,C2,B依次排列且共线时|AB|最大.【解答】解:(1)由(θ为参数),消去参数得:x2+(y﹣2)2=4,即x2+y2﹣4y=0;由ρ=﹣4cosθ,得ρ2=﹣4ρcosθ,即x2+y2=﹣4x.两式作差得:x+y=0,代入C1得交点为(0,0),(﹣2,2).其极坐标为(0,0),(2,);(2)如图,由平面几何知识可知,A,C1,C2,B依次排列且共线时|AB|最大.此时|AB|=2+4,O到AB的距离为.∴△OAB的面积为S=×(2+4)×=2+2.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.23.已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|>a.(1)当a=0时,求不等式的解集(2)若不等式在区间[﹣4,2]内无解.某某数a的取值X围.【考点】绝对值不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(2)求得f(x)=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4,2]内的值域,结合|2x+2|﹣|x﹣1|>a无解,求得a的X围.【解答】解:(1)当a=0时,不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|>0,可得①,或②,或③.解①求得 x<﹣3,解②求得﹣<x<1,解③求得x≥1.综上可得,原不等式的解集为{x|x<﹣3,或x>﹣}.(2)当x∈[﹣4,2],f(x)=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2,3],而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|>a无解,故有a≤3.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想;还考查了分段函数的应用,求函数的值域,属于中档题.。
【广东省广州市】2017届高三12月模拟考试理科数学试卷
广东省广州市2017届高三12月模拟考试理科数学试卷本试卷共4页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{|||2}A x x =≤,2{|230}B x x x =--≤,则A B =( )A .[2,3]-B .[1,2]-C .[2,1]-D .[1,2](2)设(1i)(i)2x y ++=,其中,x y 是实数,则|2i|x y +=( ) A .1BCD(3)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =( ) A .1-B .1C .2-D .2(4)已知双曲线C :22221y x a b -=(0a >,0b >)的渐近线方程为12y x =±,则双曲线C 的离心率为( )ABCD(5)若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图像向左平移ϕ个单位,所得图像关于轴对称,则ϕ的最小正值是( ) A .π8B .π4C .3π8D .3π4(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目,分A ,B ,C 三期播出,A 期播出两间学校,B 期,C 期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有( ) A .140种B .420种C .840种D .1 680种(7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧⎪=⎨⎪⎩≥<()()g x f x =--,则函数()g x 的图像是( )A .B .C .D . (8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b a c <<B .a c b <<C .b c a <<D .c b a <<(9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )yA .7B .9C (10)已知抛物线:C 28y x =的焦点为若3PF MF =,则||MN =( ) A .212 B .323C (11A .25πB .254C .29π D .294(12)若函数()e (sin cos )x f x x a x =+在A .(,1]-∞ B .(,1)-∞ C 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本小题共4题,每小题5分.(13)已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,则BD CD =________. (14)按照国家规定,某种大米质量(单位:kg )必须服从正态分布2(10,)N ξσ,根据检测结果可知(9.910.1)0.96P ξ=≤≤,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有2000名职工,则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工数大约为________.(15)已知x ,y 满足约束条件22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≤,若z x ay =-(0a >)的最大值为4,则a =________.(16)在数列{}n a 中,12a =,28a =,对所有正整数n 均有21n n n a a a +++=,则20171n n a ==∑________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1a =,2cos 2C c b +=.M DE BA(Ⅰ)求A ; (Ⅱ)若12b =,求sin C . (18)(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,…,8,其中5X ≥为标准A ,3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲,乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示:且1X 的数学期望16EX =,求a ,b 的值;(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数2X ,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数2X 的数学期望;(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价;②“性价比”大的产品更具可购买性.(19)(本小题满分12分)如图,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,ABC △是等边三角形,2AC AE =,M 是AB 的中点.(Ⅰ)求证:CM EM ⊥,(Ⅱ)若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2,求二面角B CD E --的余弦值. (20)(本小题满分12分) 已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切,且与圆222:(2)1F x y -+=相内切,记圆心P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于M ,N 两个不同的点,求QMN △面积的最大值. (21)(本小题满分12分)设函数()()ln f x mx n x =+,若曲线()y f x =在点(e,(e))P f 处的切线方程为2e y x =-(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)若a ,b +∈R ,试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小,并予以证明.请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为sin 1cos x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩(t 为参数,0πϕ<<),曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,当ϕ变化时,求||AB 的最小值. (23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知()|1|f x ax =-,不等式()3f x ≤的解集是{|12}x x -≤≤. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若()()||3f x f x k +-<存在实数解,求实数k 的取值范围.。
广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学理试题(全WORD版)
yxO 2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学本试卷共4页,23小题, 满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x x x =--≤,则AB =(A) []2,3- (B) []1,2- (C) []2,1- (D) []1,2 (2)设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y +=(A )1 (B )2 (C )3 (D )5 (3)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2(4)已知双曲线:C 12222=-b x a y (0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为(A) 25 (B) 5 (C) 26 (D) 6(5)若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 (A )8π (B )4π(C )38π (D )34π(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 (A )140种 (B )420种 (C )840种 (D )1680种(7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是(8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << (9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11(10)已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与曲线C 相交于M ,N两点,若MF PF 3=,则=MN (A)221 (B)332 (C) 10 (D) 11(11)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是(A) π25 (B) π425(C) π29 (D) π429(12) 若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增,则实数a 的取值范围是 (A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省广州市2019届高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2018-2019学年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题温馨提示:多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。
高考保持心平气和,不要紧张,像对待平时考试一样去做题,做完检查一下题目,不要直接交卷,检查下有没有错的地方,然后耐心等待考试结束。
目要求的.1.已知集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<2,x∈Z},则()A.M⊆N B.N⊆M C.M∩N={0}D.M∪N=N2.已知复数z=,其中i为虚数单位,则|z|=()A.B.1 C.D.23.已知cos(﹣θ)=,则sin()的值是()A.B.C.﹣D.﹣4.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,则P(2<x<4)=()A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.165.不等式组的解集记为D,若(a,b)∈D,则z=2a﹣3b的最小值是()A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.46.使(x2+)n(n∈N)展开式中含有常数项的n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.67.已知函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<)的图象的一个对称中心为(,0),则函数f (x)的单调递减区间是()A.[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z)B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)C.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)D.[kπ+,kπ+](k∈Z)8.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R.AB=AC=2,∠BAC=120°,则球O的表面积为()A.π B.π C.π D.π9.已知命题p:∀x∈N*,()x≥()x,命题q:∃x∈N*,2x+21﹣x=2,则下列命题中为真命题的是()A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q)D.(¬p)∧(¬q)10.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.4+6π B.8+6π C.4+12πD.8+12π11.已知点O为坐标原点,点M在双曲线C:x2﹣y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON|•|MN|的值为()A.B.C.λD.无法确定12.设函数f(x)的定义域为R,f(﹣x)=f(x),f(x)=f(2﹣x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3.则函数g(x)=|cos(πx)|﹣f(x)在区间[﹣,]上的所有零点的和为()A.7 B.6 C.3 D.2二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.曲线f(x)=+3x在点(1,f(1))处的切线方程为______.14.已知平面向量与的夹角为,=(1,),|﹣2|=2.则||=______.15.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上,则椭圆C的方程为______.16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a+c=4,(2﹣cosA)tan=sinA,则△ABC的面积的最大值为______.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.设S n是数列{a n}的前n项和,已知a1=3,a n=2S n+3(n∈N)+1(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=(2n﹣1)a n,求数列{b n}的前n项和T n.18.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(I)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(Ⅱ)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如表:学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩60 65 70 75 85 87 90x i物理成绩70 77 80 85 90 86 93y i(i)若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(ii)根据上表数据,求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:回归直线的方程是:,其中b=,a=.76 83 812 52619.如图,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD.(Ⅰ)求证:CD⊥AM;(Ⅱ)若AM=BC=2,求直线AM与平面BDM所成角的正弦值.20.已知点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2,l1⊥l2,线段AF的垂直平分线与l2交于点P.(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求的取值范围.21.已知函数f(x)=e﹣x﹣ax(x∈R).(Ⅰ)当a=﹣1时,求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若x≥0时,f(﹣x)+ln(x+1)≥1,求实数a的取值范围;(Ⅲ)求证:.四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,AB是圆O的直径,BC=CD,AD的延长线与BC的延长线交于点E,过C作CF⊥AE,垂足为点F.(Ⅰ)证明:CF是圆O的切线;(Ⅱ)若BC=4,AE=9,求CF的长.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).以点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+=.(Ⅰ)将曲线C和直线l化为直角坐标方程;(Ⅱ)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣a).(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的最大值.2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<2,x∈Z},则()A.M⊆N B.N⊆M C.M∩N={0}D.M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】N={x|x2<2,x∈Z}={﹣1,0,1},从而解得.【解答】解:N={x|x2<2,x∈Z}={﹣1,0,1},故M∩N={0},故选:C.2.已知复数z=,其中i为虚数单位,则|z|=()A.B.1 C.D.2【考点】复数求模.【分析】先根据复数的运算法则化简,再根据计算复数的模即可.【解答】解:z====,∴|z|=1,故选:B.3.已知cos(﹣θ)=,则sin()的值是()A.B.C.﹣D.﹣【考点】三角函数的化简求值.【分析】由已知及诱导公式即可计算求值.【解答】解:cos(﹣θ)=sin[﹣(﹣θ)]=sin()=,故选:A.4.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,则P(2<x<4)=()A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】根据对称性,由P(x≤4)=0.84的概率可求出P(x<2)=P(x>4)=0.16,即可求出P(2<x<4).【解答】解:∵P(x≤4)=0.84,∴P(x>4)=1﹣0.84=0.16∴P(x<2)=P(x>4)=0.16,∴P(2<x<4)=P(x≤4)﹣P(x<2)=0.84﹣0.16=0.68故选B.5.不等式组的解集记为D,若(a,b)∈D,则z=2a﹣3b的最小值是()A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域,从而可得当a=﹣2,b=0时有最小值,从而求得.【解答】解:由题意作平面区域如下,,结合图象可知,当a=﹣2,b=0,即过点A时,z=2a﹣3b有最小值为﹣4,故选:A.6.使(x2+)n(n∈N)展开式中含有常数项的n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【考点】二项式定理的应用.【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出n与r的关系值,即可求得n的最小值.=••x2n﹣5r,【解答】解:(x2+)n(n∈N)展开式的通项公式为T r+1令2n﹣5r=0,求得2n=5r,可得含有常数项的n的最小值是5,故选:C.7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<)的图象的一个对称中心为(,0),则函数f (x)的单调递减区间是()A.[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z)B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)C.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)D.[kπ+,kπ+](k∈Z)【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式,可得单调递减区间.【解答】解:由题意可得sin(2×+φ)=0,故2×+φ=kπ,解得φ=kπ﹣,k∈Z,由0<φ<可得φ=,∴f(x)=sin(2x+),由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+,∴函数f(x)的单凋递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.故选:D.8.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R.AB=AC=2,∠BAC=120°,则球O的表面积为()A.π B.π C.π D.π【考点】球的体积和表面积.【分析】利用余弦定理求出BC的长,进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径,结合球心距,求出球的半径,代入球的表面积公式,可得答案.【解答】解:在△ABC中,∵AB=AC=2,∠BAC=120°,∴BC==2,由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径(即△ABC的外接圆半径),r==2,又∵球心到平面ABC的距离d=R,∴球O的半径R=,∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π,故选:D.9.已知命题p:∀x∈N*,()x≥()x,命题q:∃x∈N*,2x+21﹣x=2,则下列命题中为真命题的是()A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q)D.(¬p)∧(¬q)【考点】复合命题的真假.【分析】命题p:利用指数函数的性质可得:是真命题;命题q:由2x+21﹣x=2,化为:(2x)2﹣2•2x+2=0,解得2x=,∴x=,即可判断出真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出.【解答】解:命题p:∀x∈N*,()x≥()x,利用指数函数的性质可得:是真命题;命题q:由2x+21﹣x=2,化为:(2x)2﹣2•2x+2=0,解得2x=,∴x=,因此q是假命题.则下列命题中为真命题的是P∧(¬q),故选:C.10.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.4+6π B.8+6π C.4+12πD.8+12π【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是组合体:下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥,并求出圆柱的底面半径、母线,四棱锥的高和底面边长,代入体积公式求值即可.【解答】解:根据三视图知几何体是组合体,下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥,圆柱的底面半径为2,母线长为3;四棱锥的高是2,底面是边长为4、3的矩形,∴该几何体的体积V==6π+8,故选:B.11.已知点O为坐标原点,点M在双曲线C:x2﹣y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON|•|MN|的值为()A.B.C.λD.无法确定【考点】双曲线的简单性质.【分析】设M(m,n),即有m2﹣n2=λ,求出双曲线的渐近线为y=±x,运用点到直线的距离公式,结合勾股定理可得|ON|,化简整理计算即可得到所求值.【解答】解:设M(m,n),即有m2﹣n2=λ,双曲线的渐近线为y=±x,可得|MN|=,由勾股定理可得|ON|===,可得|ON|•|MN|=•==.故选:B.12.设函数f(x)的定义域为R,f(﹣x)=f(x),f(x)=f(2﹣x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3.则函数g(x)=|cos(πx)|﹣f(x)在区间[﹣,]上的所有零点的和为()A.7 B.6 C.3 D.2【考点】函数零点的判定定理.【分析】根据f(x)的对称性和奇偶性可知f(x)在[﹣,]上共有3条对称轴,x=0,x=1,x=2,根据三角函数的对称性可知y=|cos(πx)|也关于x=0,x=1,x=2对称,故而g(x)在[﹣,]上3条对称轴,根据f(x)和y=|cos(πx)|在[0,1]上的函数图象,判断g(x)在[﹣,]上的零点分布情况,利用函数的对称性得出零点之和.【解答】解:∵f(x)=f(2﹣x),∴f(x)关于x=1对称,∵f(﹣x)=f(x),∴f(x)根与x=0对称,∵f(x)=f(2﹣x)=f(x﹣2),∴f(x)=f(x+2),∴f(x)是以2为周期的函数,∴f(x)在[﹣,]上共有3条对称轴,分别为x=0,x=1,x=2,又y=|cos(πx)关于x=0,x=1,x=2对称,∴x=0,x=1,x=2为g(x)的对称轴.作出y=|cos(πx)|和y=x3在[0,1]上的函数图象如图所示:由图象可知g(x)在(0,)和(,1)上各有1个零点.∴g(x)在[﹣,]上共有6个零点,设这6个零点从小到大依次为x1,x2,x3,…x6,则x1,x2关于x=0对称,x3,x4关于x=1对称,x5,x6关于x=2对称.∴x1+x2=0,x+x4=2,x5+x6=4,∴x1+x2+x+x4+x5+x6=6.故选:B.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.曲线f(x)=+3x在点(1,f(1))处的切线方程为y=x+4.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解即可.【解答】解:函数的导数f′(x)=﹣+3,则f′(1)=﹣2+3=1,即切线斜率k=1,∵f(1)=2+3=5,∴切点坐标为(1,5),则切线方程为y﹣5=x﹣1,即y=x+4,故答案为:y=x+414.已知平面向量与的夹角为,=(1,),|﹣2|=2.则||=2.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程,即可解出.【解答】解:||=2,=||||cos=||,∵|﹣2|=2,∴()2=,即4||2﹣4||+4=12,解得||=2.故答案为:2.15.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上,则椭圆C的方程为+=1.【考点】椭圆的简单性质.【分析】设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意可得c=1,设点F(1,0)关于直线y=x的对称点为(m,n),由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及中点坐标公式,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程.【解答】解:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意可得c=1,即a2﹣b2=1,设点F(1,0)关于直线y=x的对称点为(m,n),可得=﹣2,且n=•,解得m=,n=,即对称点为(,).代入椭圆方程可得+=1,解得a2=,b2=,可得椭圆的方程为+=1.故答案为: +=1.16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a+c=4,(2﹣cosA)tan=sinA,则△ABC的面积的最大值为.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】使用半角公式化简条件式,利用正弦定理得出a,b,c的关系,使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值.【解答】解:在△ABC中,∵(2﹣cosA)tan=sinA,∴(2﹣cosA)=sinA,即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC,∴2b=a+c=4,∴b=2.∵a+c=4,∴a=4﹣c.∴S==∵(3﹣c)(c﹣1)≤=1,∴S≤.故答案为:.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.设S n是数列{a n}的前n项和,已知a1=3,a n+1=2S n+3(n∈N)(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=(2n﹣1)a n,求数列{b n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(I)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出;(II)利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出.【解答】解:(I)∵a n+1=2S n+3,∴当n≥2时,a n=2S n﹣1+3,∴a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,化为a n+1=3a n.∴数列{a n}是等比数列,首项为3,公比为3.∴a n=3n.(II)b n=(2n﹣1)a n=(2n﹣1)•3n,∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+(2n﹣1)•3n,3T n=32+3×33+…+(2n﹣3)•3n+(2n﹣1)•3n+1,∴﹣2T n=3+2(32+33+…+3n)﹣(2n﹣1)•3n+1=﹣3﹣(2n﹣1)•3n+1=(2﹣2n)•3n+1﹣6,∴T n=(n﹣1)•3n+1+3.18.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(I)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(Ⅱ)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如表:学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩x i60 65 70 75 85 87 90物理成绩y i70 77 80 85 90 86 93(i)若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(ii)根据上表数据,求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:回归直线的方程是:,其中b=,a=.76 83 812 526【考点】离散型随机变量的期望与方差;线性回归方程;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.(Ⅱ)(i)ξ的取值为0,1,2,3,计算出相应的概率,即可得ξ的分布列和数学期望.(ii)根据条件求出线性回归方程,进行求解即可.【解答】(Ⅰ)解:依据分层抽样的方法,24名女同学中应抽取的人数为名,18名男同学中应抽取的人数为18=3名,故不同的样本的个数为.(Ⅱ)(ⅰ)解:∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名,∴ξ的取值为0,1,2,3.∴P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=.(ⅱ)解:∵b=0.65,a==83﹣0.65×75=33.60.∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时,=0.65×96+33.60=96.可预测该同学的物理成绩为96分.19.如图,在多面体ABCDM中,△BCD是等边三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD.(Ⅰ)求证:CD⊥AM;(Ⅱ)若AM=BC=2,求直线AM与平面BDM所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(I)取CD的中点O,连接OB,OM,则可证OM∥AB,由CD⊥OM,CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM,于是CD⊥AM;(II)以O为原点建立空间直角坐标系,求出和平面BDM的法向量,则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos<>|.【解答】(Ⅰ)证明:取CD的中点O,连接OB,OM.∵△BCD是等边三角形,∴OB⊥CD.∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,∴OM⊥CD.∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM⊂平面CMD,∴OM⊥平面BCD.又∵AB⊥平面BCD,∴OM∥AB.∴O,M,A,B四点共面.∵OB∩OM=O,OB⊂平面OMAB,OM⊂平面OMAB,∴CD⊥平面OMAB.∵AM⊂平面OMAB,∴CD⊥AM.(Ⅱ)作MN⊥AB,垂足为N,则MN=OB.∵△BCD是等边三角形,BC=2,∴,CD=2.在Rt△ANM中,.∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,∴.∴AB=AN+NB=AN+OM=2.以点O为坐标原点,以OC,BO,OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,则M(0,0,1),,D(﹣1,0,0),.∴,,.设平面BDM的法向量为=(x,y,z),由n•,n•,∴,令y=1,得=.设直线AM与平面BDM所成角为θ,则==.∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为.20.已知点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2,l1⊥l2,线段AF的垂直平分线与l2交于点P.(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(Ⅰ)点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l1的距离,从而点P的轨迹是以点F 为焦点,直线l1:x=﹣1为准线的抛物线,由此能求出曲线C的方程.(Ⅱ)设P(x0,y0),点M(﹣1,m),点N(﹣1,n),直线PM的方程为(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1,圆心(0,0)到直线PM的距离为1,由x0>1,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,同理,,由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率,结合已知条件能求出的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2,l1⊥l2,线段AF的垂直平分线与l2交于点P,∴点P到点F(1,0)的距离等于它到直线l1的距离,∴点P的轨迹是以点F为焦点,直线l1:x=﹣1为准线的抛物线,∴曲线C的方程为y2=4x.(Ⅱ)设P(x0,y0),点M(﹣1,m),点N(﹣1,n),直线PM的方程为:y﹣m=(x+1),化简,得(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1,∴圆心(0,0)到直线PM的距离为1,即=1,∴=,由题意得x0>1,∴上式化简,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,同理,有,∴m,n是关于t的方程(x0﹣1)t2+2y t﹣(x0+1)=0的两根,∴m+n=,mn=,∴|MN|=|m﹣n|==,∵,|y0|=2,∴|MN|==2,直线PF的斜率,则k=||=,∴==,∵函数y=x﹣在(1,+∞)上单调递增,∴,∴,∴0<<.∴的取值范围是(0,).21.已知函数f(x)=e﹣x﹣ax(x∈R).(Ⅰ)当a=﹣1时,求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)若x≥0时,f(﹣x)+ln(x+1)≥1,求实数a的取值范围;(Ⅲ)求证:.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值;(Ⅱ)得到e x+ax+ln(x+1)﹣1≥0.(*)令g(x)=e x+ax+ln(x+1)﹣1,通过讨论a的范围,确定函数的单调性,从而求出满足条件的a的具体范围即可;(Ⅲ)令a=2,得到,从而证出结论.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣1时,f(x)=e﹣x+x,则.…1分令f'(x)=0,得x=0.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.…2分∴函数f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.∴当x=0时,函数f(x)取得最小值,其值为f(0)=1.…3分(Ⅱ)若x≥0时,f(﹣x)+ln(x+1)≥1,即e x+ax+ln(x+1)﹣1≥0.(*)令g(x)=e x+ax+ln(x+1)﹣1,则.①若a≥﹣2,由(Ⅰ)知e﹣x+x≥1,即e﹣x≥1﹣x,故e x≥1+x.∴.…4分∴函数g(x)在区间[0,+∞)上单调递增.∴g(x)≥g(0)=0.∴(*)式成立.…5分②若a<﹣2,令,则.∴函数φ(x)在区间[0,+∞)上单调递增.由于φ(0)=2+a<0,.…6分故∃x0∈(0,﹣a),使得φ(x0)=0.…7分则当0<x<x0时,φ(x)<φ(x0)=0,即g'(x)<0.∴函数g(x)在区间(0,x0)上单调递减.∴g(x0)<g(0)=0,即(*)式不恒成立.…8分综上所述,实数a的取值范围是[﹣2,+∞).…9分(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当a=﹣2时,g(x)=e x﹣2x+ln(x+1)﹣1在[0,+∞)上单调递增.则,即.…10分∴.…11分∴,即.…12分.四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,AB是圆O的直径,BC=CD,AD的延长线与BC的延长线交于点E,过C作CF⊥AE,垂足为点F.(Ⅰ)证明:CF是圆O的切线;(Ⅱ)若BC=4,AE=9,求CF的长.【考点】与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明.【分析】(Ⅰ)连接OC,AC,证明:AE∥OC,利用CF⊥AE,可得CF⊥OC,即可证明CF 是圆O的切线;(Ⅱ)由割线定理:EC•EB=ED•EA,且AE=9,得,利用勾股定理求CF的长.【解答】(Ⅰ)证明:连接OC,AC,∵BC=CD,∴∠CAB=∠CAD.…1分∵AB是圆O的直径,∴OC=OA.∴∠CAB=∠ACO.…2分∴∠CAD=∠ACO.∴AE∥OC.…3分∵CF⊥AE,∴CF⊥OC.…4分∴CF是圆O的切线.…5分(Ⅱ)解:∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BE.∵∠CAB=∠CAD,∴点C为BE的中点.∴BC=CE=CD=4.…6分由割线定理:EC•EB=ED•EA,且AE=9.…7分得.…8分在△CDE中,CD=CE,CF⊥DE,则F为DE的中点.∴.…9分在Rt△CFD中,.…10分∴CF的长为.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).以点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+=.(Ⅰ)将曲线C和直线l化为直角坐标方程;(Ⅱ)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(Ⅰ)由曲线C的参数方程为(θ为参数)利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程.由ρsin(θ+=,得,(II)解法1:由于点Q是曲线C上的点,则可设点Q的坐标为,点Q 到直线l的距离为d=.利用三角函数的单调性值域即可得出.解法2:设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m,与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0,令△=0,解得m即可得出.【解答】解:(Ⅰ)解:由曲线C的参数方程为(θ为参数)可得,∴曲线C的直角坐标方程为.由ρsin(θ+=,得,化简得,ρsinθ+ρcosθ=2,∴x+y=2.∴直线l的直角坐标方程为x+y=2.(Ⅱ)解法1:由于点Q是曲线C上的点,则可设点Q的坐标为,点Q到直线l的距离为=.当时,.∴点Q到直线l的距离的最大值为.解法2:设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m,由,消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0,令△=(6m)2﹣4×4×(3m2﹣3)=0,解得m=±2.∴直线l'的方程为x+y=﹣2,即x+y+2=0.∴两条平行直线l与l'之间的距离为.∴点Q到直线l的距离的最大值为.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣a).(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的最大值.【考点】对数函数的图象与性质;其他不等式的解法.【分析】(Ⅰ)a=7时便可得出x满足:|x+1|+|x﹣2|>7,讨论x,从而去掉绝对值符号,这样便可求出每种情况x的范围,求并集即可得出函数f(x)的定义域;(Ⅱ)由f(x)≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立,而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3,这样便可得出3≥a+8,解出该不等式即可得出实数a的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由题设知:|x+1|+|x﹣2|>7;①当x>2时,得x+1+x﹣2>7,解得x>4;②当1≤x≤2时,得x+1+2﹣x>7,无解;③当x<﹣1时,得﹣x﹣1﹣x+2>7,解得x<﹣3;∴函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞);(Ⅱ)解:不等式f(x)≥3,即|x+1|+|x﹣2|≥a+8;∵x∈R时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3;又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R;∴a+8≤3,即a≤﹣5;∴a的最大值为﹣5.2016年10月6日。
高三数学 备考冲刺140分 问题41 统计图表的应用(含解析)-人教版高三全册数学试题
问题41 统计图表的应用一、考情分析统计图表有频率分布直方图、茎叶图、折线图、条形图、饼形图、雷达图等,它们广泛应用于实际生活之中,也是历年高考的热点,求解此类的关键是由图表读出有用的数据,再根据数据进行分析.二、经验分享1.明确频率分布直方图的意义,即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率,所有小矩形的面积和为1.2.对于统计图表类题目,最重要的是认真观察图表,从中提炼有用的信息和数据.由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐.3.频率分布直方图是高考考查的热点,考查频率很高,题型有选择题、填空题,也有解答题,难度为低中档.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布;难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计数和计算时一定要准确,在绘制小矩形时,宽窄要一致.通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计.频率分布直方图的纵坐标为频率/组距,每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率;条形图的纵坐标为频数或频率,把直方图视为条形图是常见的错误.三、知识拓展统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形,以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具。
表现统计数字大小和变动的各种图形总称。
其中有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、象形图等。
在统计学中把利用统计图形表现统计资料的方法叫做统计图示法。
其特点是:形象具体、简明生动、通俗易懂、一目了然。
其主要用途有:表示现象间的对比关系;揭露总体结构;检查计划的执行情况;揭示现象间的依存关系,反映总体单位的分配情况;说明现象在空间上的分布情况。
一般采用直角坐标系.横坐标用来表示事物的组别或自变量x,纵坐标常用来表示事物出现的次数或因变量y;或采用角度坐标(如圆形图)、地理坐标(如地形图)等。
【广东省广州】2017届高三12月模拟考试理科数学年试题答案
()
A. π 8
B. π 4
3π C.
8
(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目,分
3π D.
4 A,B,C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期, C 期各播出
1 间学校,现从 8 间候选学校中选出 4 间参与这三项任务,不同的选法共有(
)
A . 140 种
B. 420 种
C. 840 种
D .1 680 种
x2 , x≥0,
(7)已知函数 f ( x) 1
g( x) f ( x) ,则函数 g( x) 的图像是(
)
, x<0,
x
A.
B.
C.
D.
(8)设 a 0.70.4 , b 0.40.7 , c 0.40.4 ,则 a, b, c 的大小关系为(
)
A . b<a< c
B . a< c<b
C. b<c< a
(Ⅰ)求曲线 C 的方程;
(Ⅱ)设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M ,
N 两个不同的点,求 △QMN 面积的最大值.
(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) (mx n)ln x ,若曲线 y f ( x) 在点 P(e, f (e)) 处的切线方程为 y 2x e( e 为自然对数的底
A . [ 2,3]
B. [ 1,2]
C. [ 2,1]
D . [1,2]
(2)设 (1 i)( x yi) 2 ,其中 x, y 是实数,则 |2x yi| ( )
A.1
B. 2
C. 3
D. 5
(3)等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 S3 0 ,则公比 q (
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yxO 2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学 2016.12本试卷共4页,23小题, 满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x x x =--≤,则AB =(A) []2,3- (B) []1,2- (C) []2,1- (D) []1,2 (2)设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y +=(A )1 (B )2 (C )3 (D )5 (3)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2(4)已知双曲线:C 12222=-bx a y (0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6(5)若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 (A )8π (B )4π(C )38π (D )34π(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 (A )140种 (B )420种 (C )840种 (D )1680种(7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是(8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << (9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11(10)已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与曲线C 相交于M ,N 两点,若MF PF 3=,则=MN(A)221(B)332 (C) 10 (D) 11(11)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是(A) π25 (B) π425(C) π29 (D) π429(12) 若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛ 2,4ππ上单调递增,则实数a 的取值范围是 (A) (],1-∞ (B) (),1-∞ (C) [)1,+∞ (D) ()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个考生都必须作答。
第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本小题共4题,每小题5分。
(13)已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠= , 则BD CD ⋅=________. (14)按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布()210,N ξσ, 根据检测结果可知()9.910.10.96P ξ≤≤=,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该M DE CBA公司有2000名职工, 则分发到的大米质量在9.9kg 以下的职工数大约为 .(15)已知,x y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩若()0z x ay a =->的最大值为4,则a = .(16)在数列{}n a 中,12a =,28a =,对所有正整数n 均有21n n n a a a +++=,则20171nn a==∑ .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1=a ,b c C 2cos 2=+. (Ⅰ)求A ; (Ⅱ)若12b =, 求sin C . (18)(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,…,8,其中5X ≥为标准A ,3X ≥为标准B . 已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示:且1X 的数学期望16EX =, 求,a b 的值;(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数2X ,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数2X 的数学期望; (Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由. 注: ①产品的“性价比”;②“性价比”大的产品更具可购买性.(19) (本小题满分12分)如图, EA ^平面ABC ,DB ^平面ABC , △ABC 是等边三角形,2AC AE =,M 是AB 的中点. (Ⅰ)求证:EM CM ⊥;(Ⅱ)若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2, 求二面角B CD E --的余弦值.(20) (本小题满分12分)1X 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1已知动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切,且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切,记圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点, 求△QMN 面积的最大值.(21) (本小题满分12分)设函数()()ln f x mx n x =+. 若曲线()y f x =在点e,(e))P f (处的切线方程为2e y x =-(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)若,R a b +∈,试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小,并予以证明.请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为sin ,(1cos x t t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数,0)ϕπ<<, 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.(Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(II )设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点, 当ϕ变化时, 求AB 的最小值.(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知()1fx ax =-,不等式()3f x ≤的解集是}{21|≤≤-x x .(Ⅰ)求a 的值; (II )若()()||3f x f x k +-<存在实数解,求实数k 的取值范围.2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题(1)B (2)D (3)A (4)B (5)A (6)C(7)D (8)C (9)B (10)B (11)D (12)A 二、填空题(13)6 (14)40 (15)3 (16)2 三、解答题 (17)解:(Ⅰ)因为1=a ,b c C 2cos 2=+,由余弦定理得2221222b c c b b +-⨯+=,即221b c bc +-=. ……………………2分 所以22211cos 222b c bc A bc bc +-===. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3A π=. …………………………………………6分(Ⅱ)法1: 由12b =及221b c bc +-=, 得2211122c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, ……………………7分即24230c c --=, ………………………………………………………………8分 解得1134c +=或1134c -=(舍去). …………………………………………9分 由正弦定理得sin sin c aC A=, …………………………………………10分 得113339sin sin 6048C ︒++=⨯=. ………………………………………12分 法2: 由12b =及正弦定理得sin sin b aB A=, …………………………………………7分得13sin sin 6024B ︒==. …………………………………………8分 由于b a <, 则060B A ︒︒<<=, 则213cos 1sin 4B A =-=. …………………………………………9分zyxM DE CB A由于180A B C ︒++=, 则120C B ︒=-. ………………………………………10分 所以()sin sin 120C B ︒=-sin120cos cos120sin B B ︒︒=- ………………………………………11分 313132424=⨯+⨯ 3938+=. ……………………………………………………………12分 (18) 解:(Ⅰ)150.46780.16EX a b =⨯+++⨯=, 即67 3.2a b +=, ① ……………………1分又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+=, ② ……………………2分 由①②得0.3,0.2.a b == …………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知得,样本的频率分布表如下:……………………………………………………………5分用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数2X 的概率分布列如下:………………………………………………………………6分所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………7分即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8. ……………………………………………8分 (Ⅲ)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6, 价格为6元/件,所以其性价比为616=, ………………………………………………………………………………9分因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8, 价格为4元/件,所以其性价比为4.81.24=, ……………………………………………………………………………10分据此,乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分 (19) 解:(Ⅰ)因为△ABC 是等边三角形,M 是AB 的中点, 所以CM AB ⊥. …………………………………1分 因为EA ⊥平面ABC , CM ⊂平面ABC , 所以CM EA ⊥. …………………………………2分 因为AM EA A =,所以CM ⊥平面EAM . ……………………3分 因为EM ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥. ……………………………4分2X3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.12X3 4 5 6 7 8 p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1PNM DECB A(Ⅱ)法1: 以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -.因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. ……………………………………5分 由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…………………………………6分 从而BD AC =.不妨设2AC =, 又2AC AE =, 则3CM =, 1AE =.…………………………7分 故()0,1,0B ,()3,0,0C , ()0,1,2D , ()0,1,1E -. ……………………………8分于是()3,1,0BC =-, ()0,0,2BD =,()3,1,1CE =--,()3,1,2CD =-,设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==,由0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11130,20,x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 令11x =,得13y =,所以()1,3,0m =. …………………………………9分由0,0,n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22222230,320,x y z x y z ⎧--+=⎪⎨-++=⎪⎩ 令21x =,得233y =-, 2233z =.所以3231,,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. …………………………………10分所以cos ,0m n m n m n⋅<>==. …………………………………11分所以二面角B CD E --的余弦值为0. …………………………………12分法2: 因为DB ^平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. …………………………………5分由题意得tan 2BDDMB MB∠==, 即2BD MB =,…………………………………6分 从而BD AC =.不妨设2AC =, 又2AC AE =,则3CM =, 1AE =, 2AB BC BD ===. …………………………………7分 由于EA ^平面ABC ,DB ^平面ABC , 则EA ∥BD . 取BD 的中点N , 连接EN , 则2EN AB ==. 在Rt △END 中, 225ED EN ND =+=,在Rt △EAC 中, 225EC EA AC =+=, 在Rt △CBD 中, 2222CD BC BD =+=,取CD 的中点P , 连接EP ,BP , BE ,则,EP CD BP CD ⊥⊥. …………………………………8分 所以EPB ∠为二面角B CD E --的平面角. …………………………………9分 在Rt △EPC 中, 223EP EC CP =-=, 在Rt △CBD 中, 122BP CD ==, 在Rt △EAB 中, 225EB EA AB =+=,因为2225EP BP EB +==, …………………………………10分 所以90EPB ︒∠=. …………………………………11分 所以二面角B CD E --的余弦值为0. …………………………………12分 (20) 解:(Ⅰ)设圆P 的半径为R , 圆心P 的坐标为(,)x y ,由于动圆P 与圆221:(2)49F x y ++=相切,且与圆1)2(:222=+-y x F 相内切,所以动圆P 与圆1F 只能内切. …………………………………1分所以127,1.PF R PF R ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ …………………………………2分则4||6||||2121=>=+F F PF PF . …………………………………3分 所以圆心P 的轨迹是以点12,F F 为焦点的椭圆, 且3,2a c ==, 则2225b a c =-=.所以曲线C 的方程为15922=+y x . …………………………………4分 (Ⅱ)设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ,直线MN 的方程为2x my =+,由222,1,95x my x y ì=+ïïïíï+=ïïî可得225920250m y my ++-=(),则1212222025,5959m y y y y m m +=-=-++. …………………………………5分所以()()22121214MN m y y y y 轾=++-犏臌 …………………………………6分 ()22222010015959m m m m 轾骣犏÷ç=+-+÷ç犏÷ç桫++犏臌()22301.59m m +=+ …………………………………7分因为//MN OQ ,所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积. …………………8分 点O 到直线2:+=my x MN 的距离221d m=+. ……………………………9分所以△QMN 的面积222221130(1)23012259591m m S MN dm m m ++=?创=+++.…………………………………10分 令21m t +=,则221m t =-(1)t ≥ ,()223030304545195t t S t t t t===+-++. 设()()451f t t t t=+?,则()2224545t f t t t -¢=-=. 因为1t ³, 所以()22540.t f t t-¢=> 所以()45f t t t=+在[)1,+?上单调递增. 所以当1t =时, ()f t 取得最小值, 其值为9. …………………………………11分所以△QMN 的面积的最大值为309. …………………………………12分 说明: △QMN 的面积()222121212213014259m S OF yy y y y y m +=?=+-=+. (21) 解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x+'=+. ………………………………………………………………1分依题意得(e)e,(e)2f f '==,即e e,e 2,e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………3分 所以1,0m n ==. ………………………………………………………………4分 所以()ln f x x x =,()ln 1f x x '=+.当1(0,)ex ∈时, ()0f x '<; 当1(,)e x ∈+∞时, ()0f x '>. 所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e , 单调递增区间是1(,)e+∞.………………6分(Ⅱ)当,R a b +∈时,()()()22f a f b a b f ++≥.()()()22f a f b a b f ++≥等价于ln ln ln222a a b b a b a b+++≥, 也等价于2ln (1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥. ………………………………………7分不妨设a b ≥,设()()ln 2(1)ln(1)ln 2g x x x x x =-+++([1,)x ∈+∞),则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+. …………………………………………………………8分当[1,)x ∈+∞时,()0g x '≥,所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数, 即()ln 2(1)ln(1)ln 2(1)0g x x x x x g =-+++≥=, ……………………9分 故当[1,)x ∈+∞时,()ln 2(1)ln(1)ln 20g x x x x x =-+++≥(当且仅当1x =时取等 号).令1a x b =≥,则()0ag b ≥, …………………………………………10分 即2ln (1)ln(1)ln 20a a a a b b b b-+++≥(当且仅当a b =时取等号),……………11分 综上所述,当,R a b +∈时,()()()22f a f b a b f ++≥(当且仅当a b =时取等号).………………………………………………………………12分(22) 解: (Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos 4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分(II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分 设A 、B 两点对应的参数分别为12,t t ,则122cos sin t t ϕϕ+=4, 122sin t t ϕ=-4 , …………………………………………7分 所以2121212()4AB t t t t t t =-=+-=242216cos 16sin sin sin ϕϕϕϕ+=4. ……9分 当2πϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分 (23) 解:(Ⅰ)由13ax -≤, 得313ax -≤-≤,即24ax -≤≤. ……………………1分当0a >时,24x a a-≤≤. …………………………………………………………2分 因为不等式()3f x ≤的解集是}{|12x x -≤≤所以21,42,a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得 2.a =…………………………………………………………3分 当0a <时,42x a a ≤≤-. …………………………………………………………4分 因为不等式()3f x ≤的解集是}{|12x x -≤≤所以22,41,a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 无解. …………………………………………………………5分所以 2.a =(II )因为()()()()212121212.3333x x x x f x f x --+-+++-=≥=………………7分所以要使()()3f x f xk+-<存在实数解,只需23k>. ………………8分解得23k>或23k<-. ………………………………………………………9分所以实数k的取值范围是22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………10分。