学年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理习题苏教版选修22

2.1.2 演绎推理明目标、知重点 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，通常称为演绎推理．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．三段论是演绎推理的主要形式．2．三段论(1)三段论的组成①大前提——提供了一个一般性的原理．②小前提——指出了一个特殊对象．③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．(2)三段论的常用格式为M－P(M是P)S－M(S是M)S－P(S是P)[情境导学]小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．思考2 演绎推理有什么特点？答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．思考3 演绎推理的结论一定正确吗？答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．思考4 演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC 三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形．结论(2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，大前提函数y ＝2x ＋5是一次函数，小前提函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线．结论(3)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，小前提y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．结论探究点二 三段论推理中的易错点例 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常函数的导函数为0，大前提函数f (x )的导函数为0，小前提f (x )为常函数．结论(3)无限不循环小数是无理数，大前提13(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提 13是无理数．结论 解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数． 反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形．结论解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，小前提所以△ABD 是直角三角形．结论同理，△AEB 也是直角三角形．(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，小前提所以DM ＝12AB .结论 同理EM ＝12AB . 所以DM ＝EM .反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF ∥平面BCD .证明 三角形的中位线平行于底边，大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提EF∥平面BCD.结论1．下面几种推理过程是演绎推理的是________．①两条直线平行，内错角相等，如果∠A与∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质；④在数列{a n}中a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式．答案①解析①是演绎推理，②④是归纳推理，③是类比推理．2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是________．答案②解析三段论推理中小前提是指研究的特殊情况．3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：______；小前提：_________________________；结论：___________________________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD, ②于是∠ACD>∠BCD. ③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．[呈重点、现规律]1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础过关1．下列表述正确的是________．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．答案①③⑤解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)．答案③解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理错误的原因是________．答案小前提不正确解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是________．答案矩形都是对角线相等的四边形解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理错误的原因是________．答案 大前提错误6．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________________．答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4.7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A 、∠B ，则有∠A ＋∠B ＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A ＋∠B ＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A ＋∠B ＝90°(结论)．二、能力提升8．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是______________． 答案 a >0，b >c ⇒ab >ac解析 ∵a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34>0. ∴(a 2＋a ＋1)x >3⇒x >3a ＋a ＋1. 其前提依据为不等式的乘法法则：a >0，b >c ⇒ab >ac .9．设a ，b 为两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是____________(填序号)．①a ⊥α，b ∥β，α⊥β； ②a ⊥α，b ∥β，α∥β；③a ⊂α，b ⊥β，α∥β； ④a ⊂α，b ∥β，α⊥β.答案 ②(或③)10．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.答案 12解析 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)①令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2)∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，∴f (x )＝f (x ＋6)．即f (x )周期为6，∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)，对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)，∴f (0)＝12即f (2 010)＝12. 11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .证明 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，∴AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .三、探究与拓展13.设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32×a 2－a －22＋a 3－a －32×a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x－a －x 2，(大前提)所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －x ＋y 2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2，(小前提及结论)所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2×a y －a －y 2＋a x －a －x 2×a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －x ＋y 2＝g (x ＋y ).。